[精品]新人教A版高中数学必修42.3.4平面向量共线的坐标表示教学案
高中数学第2章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示教案含解析新人教A版必修4
2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb ．(2)如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b≠0)共线．思考：两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标条件能表示成x 1x 2＝y 1y 2吗？[提示] 不一定，x 2，y 2有一者为零时，比例式没有意义，只有x 2y 2≠0时，才能使用．1．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8) D [AB →＝(1，2)，根据平行条件知选D.] 2．下列各对向量中，共线的是( ) A ．a ＝(2，3)，b ＝(3，－2) B ．a ＝(2，3)，b ＝(4，－6) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(1，2) D ．a ＝(1，2)，b ＝(2，2)D [A ，B ，C 中各对向量都不共线，D 中b ＝2a ，两个向量共线．] 3．已知a ＝(－3，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝ ． －4 [∵a ∥b ，∴6－3＝y2，解得y ＝－4.] 4．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝ ．－9 [AB →＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)，∵A ，B ，C 三点共线，即AB →∥AC →，∴－8(y ＋6)－8×3＝0，解得y ＝－9.]【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断． (2)判断向量AB →，CD →平行→无相关点→AB ∥CD(1)D [A 中，－2×6－3×4≠0，B 中3×3－2×2≠0，C 中1×14－(－2)×7≠0，D 中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.](2)[解] ∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， CD →＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0， ∴AB →∥CD →.又AC →＝(2，6)，AB →＝(2，4)， ∴2×4－2×6≠0， ∴A ，B ，C 不共线， ∴AB 与CD 不重合， ∴AB ∥CD .向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线． [证明] AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b 与非零向量a 共线等价于b ＝λa (λ>0，b 与a 同向；λ<0，b 与a 反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k ，再利用b ＝λa 判定同向还是反向． [解] 法一：(共线向量定理法)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：(坐标法)由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )，所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路： (1)利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解． (2)利用向量平行的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ ． 12[由题可得2a ＋b ＝(4，2)， ∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即λ＝12.故答案为12.]等于( )A ．3B ．－3C ．－45D ．45(2)如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．思路点拨：(1)先由a ∥b 推出sin α与cos α的关系，求tan α，再用“1”的代换求2sin αcos α.(2)要求点P 的坐标，只需求出向量OP →的坐标，由OP →与OB →共线得到OP →＝λOB →，利用AP →与AC →共线的坐标表示求出λ即可；也可设P (x ，y )，由OP →∥OB →及AP →∥AC →，列出关于x ，y 的方程组求解．(1)C [因为a ∥b ，所以cos α×1－(－2)sin α＝0，即cos α＝－2sin α，tan α＝－12，所以2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝－45.] (2)[解] 法一：(定理法)由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)，AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)．由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：(坐标法)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3，3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤3.如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．[解] 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.因为AM →∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.1．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，如何求线段P 1P 2的中点P 的坐标？ 提示：如图所示，∵P 为P 1P 2的中点，∴P 1P →＝PP 2→， ∴OP →－OP 1→＝OP 2→－OP →，∴OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴线段P 1P 2的中点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.2．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则P 点坐标是什么？提示：点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，分两种情况：①当P 1P →＝13P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 23，2y 1＋y 23；②当P 1P →＝23P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋23P 1P 2→＝OP 1→＋23(OP 2→－OP 1→)＝13OP 1→＋23OP 2→ ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，y 1＋2y 23.3．当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标是什么？提示：∵OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， ∴OP →＝OP 1→＋λOP 2→1＋λ＝11＋λ(x 1，y 1)＋λ1＋λ(x 2，y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λx 1，11＋λy 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λx 2，λ1＋λy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 【例4】 已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．思路点拨：点P 在直线AB 上，包括点P 在线段AB 内和在线段AB 的延长线上，因此应分类讨论．[解] 设P 点坐标为(x ，y )， |AP →|＝2|PB →|.当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8， ∴P 点坐标为(－5，8)．综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0或(－5，8)．1．若将本例条件“|AP →|＝2|PB →|”改为“AP →＝3PB →”其他条件不变，求点P 的坐标． [解] 因为AP →＝3PB →，所以(x －3，y ＋4)＝3(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3－3x ，y ＋4＝6－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.2．若将本例条件改为“经过点P (－2，3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB →|＝3|AP →|”，求点A ，B 的坐标．[解] 由题设知，A ，B ，P 三点共线，且|AB →|＝3|AP →|，设A (x ，0)，B (0，y )， ①点P 在A ，B 之间，则有AB →＝3AP →， ∴(－x ，y )＝3(－2－x ，3)， 解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)． ②点P 不在A ，B 之间， 则有AB →＝－3AP →，同理，可求得点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)． 综上，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)．求点的坐标时注意的问题(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．若点P 是P 1P 2的中点时，则P (x ，y )为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)求线段P 1P 2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．(3)若P 1P →＝λP 1P 2→，(λ≠0) ①0＜λ＜1时，P 在线段P 1P 2上； ②λ＝1时，P 与P 2重合；③λ＞1时，点P 在线段P 1P 2延长线上；④λ＜0时，点P 在线段P 1P 2反向延长线上．1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．下列说法不正确的是( )A ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2. B ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2≠x 2y 1，则a 与b 不共线． C ．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量． D ．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝－9.A [A 中，x 2或y 2为零时，比例式无意义，B 、C 很明显都正确；D 中AB →∥BC →，由AB →＝(－8，8)，BC →＝(11，y －2)，则－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.∴D 正确．]2．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 可以是( ) A ．(1，－2) B ．(9，3) C ．(－2，4)D ．(－4，－8)D [由题意，得AB →＝(1，2)，所以a ＝λAB →＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D 项，故选D.]3．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于 ． (－4，－8) [∵a ∥b ，∴1×m －(－2)×2＝0，∴m ＝－4，∴a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)， ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]4．设O 是坐标原点，OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 又A ，B ，C 三点共线，∴由两向量平行，得(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.即当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．。
高中数学 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案 新人教A版必修4
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高中数学新人教版A版精品教案《2.3.4 平面向量共线的坐标表示》
平面向量共线的坐标表示教学设计点评导学案：做的比较好的个人，小组予以表扬加分。
首先带领大家解读本节课的学习目标：1.掌握向量共线的坐标表示；学会根据向量的坐标判断向量是否共线；了解中点坐标公式.2.在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件.3.了解数学知识体系的延伸、变迁与发展，并体会运用数学知识解决实际问题的方法. 学习重难点使用坐标方法判断向量的共线.运用向量共线的坐标表示，用向量解决等分点的有关问题.复习回顾，知识梳理：1. 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可得，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。
这样，平面内的任一向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）y上式叫做向量的坐标表示。
其中的x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标。
2. 向量的坐标运算：， 探究环节：探究一：向量共线的坐标表示向量的运算以及相等关系都可以用坐标表示，向量共线关系（向量共线定理）能否用坐标表示？若能，请写出表示过程设a =（x 1, y 1），b =（x 2, y 2），其中b ≠a ∥b ⇔问题: 上述过程中，λ是怎样消去的？当用坐标表示向量共线时，是否要求b ≠0？向量共线的两种表示形式各有什么特点？例1: 已知a =（4，2），b =（6，y ），且a ∥b ，求y22()b x y =，11()a x y =，12121212()()(,)a b x x y y a b x x y y a x y λλλ+=++-=--=，，11222121(,),(,),(,).A x yB x y AB x x y y =--若则思考 1: 本题中的a ，b 是同向还是反向？说出你的理由.2: 已知a =（2，-1），b =（x, 2）,c =(-3, y), 且a ∥b ∥c ，求x, y探究二：三点共线的判断例2 已知A （-1，-1），B （1，3），C （2，5），试判断A ，B ，C 之间的位置关系三点共线有哪些证法？请写下归纳小结：变式：判断下列各组的点是否共线：（1）7(1,2) (3,4)2,2A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、、； （2）1(9,1) Q(1,3)8,2P R ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、探究三：中点坐标公式例3： 设点P 是线段P 1 P 2上的一点，P 1，P 2 的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2（1）当P 是线段P 1 P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当P 是线段P 1 P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标。
高二数学(人教A版)必修4精品教案—2.3.4平面向量共线的坐标表示
2. 3.4 平面向量共线的坐标表示教学目标：1．复习巩固平面向量坐标的概念和平面向量的坐标运算；2．能说出平行（共线）向量充要条件的坐标表示，并会用它解决向量平行（共线）的有关问题；3．弄清向量平行和直线平行的区别．教学重点：向量平行的充要条件的坐标表示．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解教学过程【提出问题】①如何用坐标表示两个共线向量?②已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，且向量a、b共线，试证明：x1 y2—x2 y1= 0。
③已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，且x1 y2—x2 y1= 0试证明：向量a、b共线。
【得出结论】当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.从而向量共线有两种表述形式:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔x1 y2—x2 y1= 0【应用示例】例1、已知a=(4,2), b=(6,y),且a∥b,求y.练习1：已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.例2、设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.练习2：①已知=(2,3),=(6,-3),点P是线段AB的三等分点，求P点坐标。
②已知A(2,3)，B（4，-3）点P在线段AB的延长线上，,求P点坐标。
例3、在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.练习3、已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,OP=OA+t AB.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.【课堂小结】1、复习平面向量的和、差、数乘的坐标运算。
2、学习两个向量共线的坐标表示.3、总结本节学习的数学方法和思想方法。
新人教A版必修4高中数学平面向量共线的坐标表示学案
高中数学 平面向量共线的坐标表示学案新人教A 版必修4一、预习导航：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a=λb ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠0） 其中b ≠a 由a=λb ， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ：x 1y 2－x 2y 1=0二：结论：a∥b (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b≠0，∴x 2, y 2中至少有一个不为0.2︒充要条件不能写成2211x y x y =∵x 1, x 2有可能为0. 3︒从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b(b≠0)01221=-=⇔y x y x ba λ二、课堂听评：你能掌握要领,提高能力吗？ 例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ． 提示：利用平面向量共线的充要条件直接求解.变式训练1：已知平面向量)2,1(=a ，),2(m b -= ，且b a //，则b a 32+等于_________.例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线． 提示:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.变式训练2：若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为_________.例3:设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.提示:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.【课堂小结与反思】1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。
高中数学必修四(人教新A版)教案20共面向量共线的坐标表示
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
（一）创设情景，揭示课题
1．平面向量的坐标运算公式
2．向量的数乘运算
3.平面向量的共线定理
4.请说出下列各组中两向量的位置关系(共线或不共线),并指出它们的特点.
（二）研探新知
1.向量共线定理的坐标形式
学生回忆概念
学生完成
高中数学必修四课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
如果用坐标表示，可写为
消去 可得
思考：若 ，能得到 与 共线吗？
（三）质疑答辩，排难解惑
例1.பைடு நூலகம்
例2.已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，
(x2，y2).⑴当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
是什么?
（三） 巩固练习：
4． 4、5
在充分独立思考的基础上，进行小组讨论.
教
学
小
结
（1）根据向量的坐标，判断向量是否共线
（2）能用平面向量共线解决平面几何问题.
课后
反思
高中数学必修四课时教案
备课人
授课时间
课题
§2.3.4平面向量共线的坐标表示
课标要求
平面向量共线的坐标表示
教
学
目
标
知识目标
会用坐标表示平面向量共线条件
技能目标
通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用
情感态度价值观
新人教A版必修4高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示学案
高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A 版必修4【学习目标】1、理解平面向量的坐标的概念；2、掌握平面向量的坐标运算；3、会根据向量的坐标,判断向量是否共线.【重点难点】教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解。
【学习内容】平面向量的坐标运算一、预习导航：预习时完成下列题目,试试你的身手.(一)温故而知新：1、平面向量基本定理：如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a = .(1) 我们把 向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一,关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底1e ,2e 的条件下进行分解；(4) 基底给定时,分解形式 . λ1,λ2是被a ,1e ,2e 唯一确定的数量.(二)阅读课本,完成下列题目1)若11(,)a x y =22(,)b x y =,则a b += ,a b -= 语言叙述：(2)若),(y x a = 和实数λ,则=a λ(3) 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=语言描述：(三)试试你的自学能力1、已知向量a ,b 的坐标,求b a +,b a -的坐标：(1)、)4,2(-=a ,)2,5(=b(2)、)3,4(=a ,)8,3(-=b2、已知)2,3(=a ,)1,0(-=b,求b a 42+-,b a 34+的坐标3、已知A (1,2)、B (－1,3)两点的坐标,求AB ,BA 的坐标二、课堂听评：你能掌握要领,提高能力吗？例1： 已知a =(2,1),b =(－3,4),求a +b ,a －b ,3a +4b 的坐标.例2： 已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C (3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4：已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AC AB AP λ+=(λ∈R),试求λ为何值时,点P 在第三象限内?。
人教A版必修4 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 学案
2.3.4 平面向量共线的坐标表示Q 情景引入ing jing yin ru首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在北京700余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是，科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合．你知道如何判断两条直线平行或重合吗，两向量是否共线又如何判断呢？X 新知导学in zhi dao xue平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当__x 1y 2＝x 2y 1__时，a ∥b . [知识点拨]两个向量共线条件的三种表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)当b ≠0时，a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系． (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2.即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．Y 预习自测u xi zi ce1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2.( × )(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2≠x 2y 1，则a 与b 不共线．( √ ) (3)若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量．( √ ) (4)已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则m ＝－12.( √ )2．下列各组向量中，共线的是( D ) A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6) B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)3．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( D ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9[解析] AB →＝(－8,8)，BC →＝(11，y －2)，则AB →∥BC →， 所以－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨向量共线条件的坐标表示典例1 已知a ＝(2,1)，b ＝(3，－4)，当λ为何值时，λa －b 与a ＋2b 平行？平行时，它们是同向还是反向？[思路分析] 求λa －b 与a ＋2b 的坐标→根据平行条件构造方程→求λ→判断方向. [解析] λa －b ＝λ(2,1)－(3，－4) ＝(2λ，λ)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，a ＋2b ＝(2,1)＋2(3，－4)＝(2,1)＋(6，－8)＝(8，－7)， ∵(λa －b )∥(a ＋2b )，∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0⇒22λ＋11＝0⇒λ＝－12.∴－12a －b ＝(－12×2－3，－12＋4)＝(－4，72)，即λa －b ＝－12(a ＋2b )．故当λ＝－12时，λa －b 与a ＋2b 平行；平行时它们反向．『规律总结』 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．对条件的理解有两方面的含义：由x 1y 2－x 2y 1＝0，可判定a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则x 1y 2－x 2y 1＝0.〔跟踪练习1〕(2018·全国卷Ⅲ理，13)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝__12__.[解析] 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.命题方向2 ⇨三点共线问题典例2 O 是坐标原点，OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？[思路分析] 由A 、B 、C 三点共线可知，AB →、AC →、BC →中任两个共线，由坐标表示的共线条件解方程可求得k 值．[解析] ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,5)－(k,12)＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(10，k )－(4,5)＝(6，k －5)． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与BC →共线，∴(4－k )(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝11，或k ＝－2.『规律总结』 使用A 、B 、C 三点共线这一条件时，AC →＝λBC →，或AB →＝λAC →等，都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式，故用AB →和BC →.〔跟踪练习2〕如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线．[解析] 依题意知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC →＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )． ∵AB →、BC →共线，∴1×m －(－2)×1＝0.∴m ＝－2. 即当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线． X 学科核心素养ue ke he xin su yang向量法在解析几何中的应用典例3 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求直线AC 与OB 交点P 的坐标．[思路分析] (1)AC 与OB 相交于点P ，则必有O ，P ，B 三点共线和A ，P ，C 三点共线；(2)根据O ，P ，B 三点共线可得到点P 坐标应满足的关系，再根据A ，P ，C 三点共线即可求得点P 坐标．[解析] 解法一：由O ，P ，B 三点共线， 可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)， AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)．由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．解法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)， ∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →.∴4x －4y ＝0. 又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )， AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →.∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6(x －4)＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴点P 的坐标为(3,3)．『规律总结』 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤：首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向量化，再利用题目条件，寻找向量关系，列出方程(组)求出有关变量，最后回归到几何问题中．〔跟踪练习3〕已知两点A (3，－4)，B (－9,2)，在直线AB 上求一点P ，使AP →＝13AB →.[解析] 设点P (x ，y )，则AP →＝(x －3，y ＋4)，AB →＝(－12,6)， ∴(x －3，y ＋4)＝13(－12,6)＝(－4,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋4＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)． Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况典例4 已知a ＝(3,2－m )与b ＝(m ，－m )平行，求m 的值．[错解] 由题意，得3m ＝2－m－m，解得m ＝5.[错因分析] 本题中，当m ＝0时，b ＝0，显然a ∥b 成立．错解中利用坐标比例形式判断向量共线的前提是m ·(－m )≠0，漏掉了m ＝0这种情况．[正解] ∵a ∥b ，∴3(－m )－(2－m )m ＝0，解得m ＝0或m ＝5.[误区警示] 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a 与b 共线的条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.要注意此条件与条件x 1x 2＝y 1y 2的区别，应用x 1x 2＝y 1y 2时，分母应不为零．〔跟踪练习4〕已知向量a ＝(－1，－1)，b ＝(－m,4m ＋5)，且a ∥b ，则m 等于( A ) A ．－1 B ．－53C ．－1或－53D ．0或－2[解析] 由a ∥b 得：－(4m ＋5)－m ＝0，－5m －5＝0，解得m ＝－1. K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列各组向量中，可以作为基底的是( B ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,1) B ．e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,1) C ．e 1＝(－3,4)，e 2＝(35，－45)D ．e 1＝(2,6)，e 2＝(－1，－3)2．已知向量a ＝(－1，m )，b ＝(－m,2m ＋3)，且a ∥b ，则m 等于( C )A ．－1B ．－2C ．－1或3D ．0或－23．若A (2,1)，B (－1，－2)，C (0，y )三点共线，则y 等于( A ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．24．(2018·湖南长沙市中学期末)已知a ＝(2,1)，b ＝(x ，－1)且a －b 与b 共线，则|x |＝__2__. [解析] a －b ＝(2－x,2)，∵(a －b )∥b ，∴(2－x )×(－1)－2x ＝0，解得x ＝－2，∴|x |＝2.。
新人教A版必修四3.4《平面向量共线的坐标表示》word教案
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示主编：彭小武 审核：罗伍生 班级 姓名【学习目标】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。
2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。
【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += ，a b -= ，a λ=（二）自主探究：（预习教材P98—P101） 探究：平面向量共线的坐标表示问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？若,a b （0b ≠）共线，当且仅当存在实数λ，使 。
问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==（0b ≠），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？2、设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则//a b 等价于______________________。
二、合作探究1、已知()2,4-=a ，()6,b y =，且//a b ，求y .变式：判断下列向量a 与b 是否共线①(2,3) (3,4)a b ==②8(2,3) (,4)3a b ==2、向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k =，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.变式：证明下列各组点共线：（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --（2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2P R -3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y .⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.*变式： 当12PP PP λ=，点P 的坐标是什么？三、交流展示1已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB 与CD 是否共线？2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==-，且////a b c ，求,x y 的值.3、平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，求：(1)求3a ＋b －2；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知向量()2,4a =-，()1,2b =-，则a 与b 的关系是（ ）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2. 已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（ ）A.13-B.9C.9-D.133. 点(),A m n 关于点(),B a b 对称点坐标为（ ）A.(),m n --B.(),a m b n --C.()2,2a m b n --D.()2,2a m b n --4. 已知()1,2a =，(),1b x =，若2a b +与2a b -平行，则x 的值为 .B 组：1、(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心2、已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．(1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？。
高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案 新人教A版必修4
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示【学习目标】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。
2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。
【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习： ⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB u u u r 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则a b +=r r ，a b -=r r ，a λ=r（二）自主探究：（预习教材P98—P101） 探究：平面向量共线的坐标表示问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？若,a b r r （0b ≠r r ）共线，当且仅当存在实数λ，使 。
问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==r r （0b ≠r r），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？2、设1122(,),(,)a x y b x y ==v v ，其中0b ≠v ，则//a b v v等价于______________________。
二、合作探究1、已知()2,4-=，()6,b y =r ，且//a b r r ，求y .变式：判断下列向量a v 与b v 是否共线①(2,3) (3,4)a b ==v v②8(2,3) (,4)3a b ==v v2、向量(),12OA k =u u u r ，()4,5OB =u u u r ，()10,OC k =u u u r ，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.变式：证明下列各组点共线：（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --（2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2P R -3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y .⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.*变式： 当12PP PP λ=u u u r u u u r，点P 的坐标是什么？三、交流展示1已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB u u u v 与CD uuu v 是否共线？2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==-r r r ，且////a b c r r r ，求,x y 的值.3、平面内给定三个向量a r ＝(3,2)，b r ＝(－1,2)，＝(4,1)，求：(1)求3a r ＋b r －2；(2)求满足a r ＝m b r ＋n 的实数m ，n ；(3)若(a r ＋k c )∥(2b r －a r )，求实数k .四、达标检测（A 组必做，B 组选做） A 组：1. 已知向量()2,4a =-r ，()1,2b =-r ，则a r 与b r 的关系是（ ）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2. 已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（ ）A.13-B.9C.9-D.133. 点(),A m n 关于点(),B a b 对称点坐标为（ ）A.(),m n --B.(),a m b n --C.()2,2a m b n --D.()2,2a m b n --4. 已知()1,2a =r ，(),1b x =r ，若2a b +r r 与2a b -r r 平行，则x 的值为 .B 组：1、(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心 2、已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．(1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？。
高中数学 必修四 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案 新人教A版必修4
2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 向量AB 的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。
3．练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2BC = .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，如何求证：四边形ABCD 是梯形.？二、讲解新课：1、思考：（1）两个向量共线的条件是什么？（2）如何用坐标表示两个共线向量？设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？ （不能。
高中数学 必修四 (2.3.4 平面向量共线的坐标表示)教案 新人教A版必修4
2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学过程导入新课思路 1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y 的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？推进新课新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗?②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: ||=||=221221)()(y y x x -+-.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能. ②AB =OB -OA =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件? 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0. 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线.又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0. 2°充要条件不能写成2211x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0).3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x b a λ应用示例 思路1例1 已知a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量21a 23-b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全国高考,3) 已知向量a =(-5,6),b =(6,5),则a 与b …( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A图2 例2 如图2,已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD 的坐标,进而得到点D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D 的坐标为(x,y). ∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x∴⎩⎨⎧==.2,2y x∴顶点D 的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知+=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D 的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图3如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2);当平行四边形为ACDB 时,仿例二得:D 2=(4,6);当平行四边形为DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点,观察图形,我们猜想A 、B 、C 三点共线.下面给出证明. ∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC =(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴AB ∥AC ,且直线AB 、直线AC 有公共点A,∴A、B 、C 三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练已知a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,求解:∵a ∥b ,∴4y -2×6=0.∴y=3.思路2例2 设点P 是线段P 1P 2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法: 由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y), 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4解:(1)如图4,由向量的线性运算可知=21 (1+2)=(.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++) (2)如图5,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,即21PP P P =21或21PP P P =2. 如果21PP P P =21,那么图5=1+P P 1=1+3121P P =1OP +31(2OP -1OP ) =321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理,如果21PP P P =2,那么点P 的坐标是.32,322121y y x x ++ 点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在△A BC 中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上,求点C 的坐标.解:(1)若AC 的中点在y 轴上,则BC 的中点在x 轴上,设点C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得,025,023=+=+y x ∴x=-3,y=-5,即C 点坐标为(-3,-5).(2)若AC 的中点在x 轴上,则BC 的中点在y 轴上,则同理可得C 点坐标为(2,-7). 综合(1)(2),知C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 已知点A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点,=+t .若点P 在第二象限,求实数t 的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若点P 在第二象限,则3132023013-<<-⇒⎩⎨⎧>+<+t t t 故t 的取值范围是(32-,31-). 点评:此题通过向量的坐标运算,将点P 的坐标用t 表示,由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组,这个不等式组的解集就是t 的取值范围.变式训练已知=(cos θ,sin θ),=(1+sin θ,1+cos θ),其中0≤θ≤π,求||的取值范围.解:∵=-=(1+sin θ,1+cos θ)-(cos θ,sin θ)=(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ). ∴|AB |2=(1+sin θ-cos θ)2+(1+cos θ-sin θ)2=［1+(sin θ-cos θ)］2+［1-(sin θ-cos θ)］2=2+2(sin θ-cos θ)2=2+2(1-2sin θcos θ)=4-4sin θcos θ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故||的取值范围是［2,6］.知能训练课本本节练习.解答:1.(1)a +b =(3,6),a -b =(-7,2);(2)a +b =(1,11),a -b =(7,-5);(3)a +b =(0,0),a -b =(4,6);(4)a +b =(3,4),a -b =(3,-4).2.-2a +4b =(-6,-8),4a +3b =(12,5).3.(1)=(3,4),=(-3,-4);(2)=(9,-1),=(-9,1); (3)=(0,2),=(0,-2);(4)=(5,0),=(-5,0).4.AB ∥CD .证明:=(1,-1),=(1,-1),所以=.所以AB ∥CD.点评:本题有两个要求:一是判断,二是证明.通过作图发现规律,提出猜想,然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程.5.(1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5).6.(310,1)或(314,-1). 7.解:设P(x,y),由点P 在线段AB 的延长线上,且|AP |=23|PB |,得 (x-2,y-3)=23(x-4,y+3), 即⎩⎨⎧+=--=-.9362.12342y y x x 解之,得⎩⎨⎧-==.15,8y x 所以点P 的坐标为(8,-15).。
高中数学必修四《平面向量共线的坐标表示》优秀教学设计
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）掌握平面向量共线的坐标运算；（2）会根据向量的坐标判断向量是否共线.学情分析：学生在前面刚学过了平面向量加、减与数乘的坐标运算的基础上，再学习平面向量共线的坐标表示，应该是比较容易接受的，关键是运算的准确性。
教学重点：理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能会应用教学难点：会根据平面向量的坐标判断向量是否共线授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj把 (x, y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a =( x,y)，其中x 叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地i=（1,0 ),j =（0,1）0=(0,0).2．平面向量的坐标运算若 a =(x1, y1)，), b =(x2，y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)若A(x1，y1),B(x2,y2)，则AB=(x2-x1,y2-y1)二、讲解新课：a∥≠的充要条件是x1y2-x2y1=0设a=(x1，y1) ，b=(x2，y2) 其中由a=λ得，(x1，y1) =λ (x2，y2) 消去λ得x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵≠∴x2，y2中至少有一个不为0 ；（2）充要条件不能写成 x1y1-x2y2=0 ∵x1， x2有可能为0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥≠λ或 x1y2-x2y1=0三、讲解范例：例6（课本第98页）已知a=(4，2)，b=(6， y)，且a∥，求y例7（课本第98页）已知A(-1 -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.例8（课本第99页）设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标补例1若向量a =(-1，x)与b=(-x，2)共线且方向相同，求x 解：∵a =(-1，x)与b=(-x，2) 共线∴(-1)³2- x•(-x)=0∴x=± 2∵a与b方向相同∴x=2补例2已知A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：∵AB=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2x2-4x1=0 ∴AB∥CD又∵ AC=(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB=(2，4)，2x4-2x6=0 ∴AC与AB不平行∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD四、课堂练习：1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）A.-3B.-1C.1D.33.若AB=i+2j， DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为5.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=五、小结（略）六、作业：P101 6、7题。
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2. 3.4平面向量共线的坐标表示
【教学目标】
1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】
教学重点： 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解． 教学难点： 定比分点的理解和应用． 【教学过程】 一、〖创设情境〗
前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。
这就为解决问题提供了方便。
我们又知道共线向量的条
件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa
，那么这个条件是否也能用坐
标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。
二、〖新知探究〗
思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a
=λb ，那
么这个条件是否也能用坐标来表示呢？
设a
=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠） 其中b ≠a
由a
=λb ， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2
121
y y x x λλ 消去λ：x 1y 2
－x 2y 1=0
结论：a
∥b (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0
注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b
≠0，
∴x 2, y 2中至少有一个不为0. 2︒充要条件不能写成
2
2
11x y x y =
∵x 1, x 2有可能为0. 3︒从而向量共线的充要条件有两种形式：
a
∥b
(b
≠)0
1221=-=⇔
y x y x λ
三、〖典型例题〗
例1. 已知(4,2)a = ，(6,)b y =
，且//a b ，求y ． 解：∵//a b
，∴4260y -⨯=．∴3y =．
点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.
变式训练1：已知平面向量)2,1(=a ，),2(m b -= ，且//，则
32+等于_________.
例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．
证明：(1(1),3(1))(2,4)AB =----= ，(2(1),5(1))(3,6)AC =----=
， 又26340⨯-⨯=，∴//AB AC
.∵直线AB 、直线AC 有公共点A ，
∴A ，B ，C 三点共线。
点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.
变式训练2：若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的
值为_________.
例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).
(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 解：（1）)(2
121OP OP +=＝⎪⎭⎫
⎝⎛++2,2
2121y y x x 所以，点P 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛++2,22121y y x x （2）当212
1
PP P =时，可求得：点的坐标为：⎪⎭
⎫
⎝⎛++32,322121y y x x 当212PP P =时，可求得：点的坐标为：⎪⎭
⎫
⎝⎛++32,322121y y x x 点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.
变式训练3：当21PP P λ=时,点P 的坐标是什么？ 四、〖课堂小结〗
1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；
3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。
五、〖反馈测评〗
1.已知=a +5b ，=－2a +8b ，=3（a
－b ），则（ ）
A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线 D. A 、C 、D 三点共线
2.若向量a
=(-1，x)与b
=(-x ， 2)共线且方向相同，则x 为
________.
3．设3(,sin )2a α= ，1
(cos ,)3
b α= ，(0,2)απ∈，且//a b ，求角α．
【板书设计】
【作业布置】课本 P108 4、5、6、7
2.3.4平面向量共线的坐标表示
课前预习学案
一、预习目标：通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示的充要条件进行预算.
二、预习内容：
1、知识回顾：平面向量共线定理________________________________________.
2.平面向量共线的坐标表示：
设a
=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠） 其中b ≠a ， 则a
∥b (b ≠0)⇔_____________________.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
课内探究学案
一、学习目标：
1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
二、学习内容
1.思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa
，
那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？
设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)（ b ≠0） 其中b ≠a
由
a
=λ
b
，得___________________,即
__________________________,消去λ后得:
__________________________________.这就是说,当且仅当
___________________时,向量a
与b 共线.
2.典型例题
例1 已知(4,2)a = ，(6,)b y =
，且//a b ，求y ．
例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证A 、B 、C 三点共线．
例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).
(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.
三、反思总结
1．平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么?
2．如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行?
3．判断两直线平行与两向量平行有什么异同?
四、当堂检测
1.已知=a +5b ，BC =－2a +8b ，CD =3（a
－b ），则（ ）
A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线 D. A 、C 、D 三点共线
2.若向量a
=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，则x 为
________.
3．设3(,sin )2a α= ，1
(cos ,)3
b α= ，(0,2)απ∈，且//a b ，求角α．
课后练习与提高
1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a
∥b ，则y =（ ）
A.6 B .5 C.7 D.8 2.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ）
A.-3 B .-1 C.1 D.3 3.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、
y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分
别为（ ）
A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a
∥b ，则y = .
5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值
为
6.已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？。