数学·必修5(苏教版)练习：章末过关检测卷(二)含解析
数学·必修5(苏教版)练习模块综合检测卷(二) Word版含解析
模块综合检测卷(二)(测试时间：分钟评价分值：分)一、选择题(每小题共个小题，每小题共分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)．对于任意实数，，，命题：①若>，≠，则>；②若<，则>；③若>，则>.其中真命题的个数是( )．．．．解析：当<时，①不正确；当＝时，②不正确；只有③正确．答案：．历届现代奥运会召开时间表如下：)．．．．解析：由题意得，历届现代奥运会召开时间构成以为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(－)·，解得＝.答案：．若点(，)位于曲线＝与＝所围成的封闭区域，则－的最小值为( )．－．－．．解析：＝与＝的图象围成一个三角形区域，如图所示，个顶点的坐标分别是(，)，(－，)，(，)．在封闭区域内平移直线＝，在点(－，)时，－＝－取最小值．答案：．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的长为，∠＝°，∠＝°后，就可以计算出，两点的距离为( )．．．解析：由正弦定理得∠)＝∠)，又因为∠＝°－°－°＝°，所以＝∠∠)＝＝()．答案：．等比数列{}前项的积为，若是一个确定的常数，那么数列，，，中也是常数的项是( )．．．．解析：因为··＝···＝是一个确定常数，所以为确定的常数．＝··…·＝()，所以选.答案：．以原点为圆心的圆全部都在平面区域内，则圆面积的最大值为( )．π．π解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，。
苏教版高中数学必修5试卷参考答案.doc
11. 45°8^3 2 ------313. 40° 14.30^217.60°专题一《正弦定理、余弦定理及其应用》综合检测、选择题二、填空题三、解答题15. a=亦 + 血,A=105°, C=30°16.略专题一《正弦定理、余弦定理及其应用》模拟试卷13 ・ 45°14. 5A /215. (V2,A /3)16. 9 17. (A /5, A /13) 1& 厉：3三、解答题19.468m 20 •等腰三角形或直角三角形21.Q = 6, b=5, c=4 22.-23. (I)sin6^-V3 cos^ + —A /3(2)2+-A /3944【选做题】方法1正确.专题二《等差数列、等比数列》综合检测、选择题二、填空题12.713. 1三、解答15.(1) a = 16. (1) a = 2n⑵ = 2x(1-.r")⑵ 到第6年这个县的养鸡业比第1年(3)第2年的规模最13. —14. 2n3三、解答题19. 60 20.略【选做题】(1)40220311023~T~16. ±1617.»(H+1) 11 丄2"18.1 22. 2996na aq(l — q") i_q (i-/(3)592814. h •/?= h 'b. h (n < 17,n e N*)12n1 217-n \7/(兀=1),17.⑴第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只18. 3n -n-l专题二《等差数列、等比数列》模拟试卷一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBCACCCDABD二、填空题专题三《不等关系、一元二次不等式》综合检测、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCCACDACAD二、填空题11. (-8, 8) 12. +oo| 13. -2V2 14. 1821.12 ----- n5三、解答题15. 当时解集为；当时[鯉橐扯<1}a16. 卩，19) 17.半圆直径与矩形的高的比为2 :118. [0, +8)U[-1, 0)专题三《不等关系、一元二次不等式》模拟试卷、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCCBDBACDCB二、填空题13. (-1, 3) 14.(ci,-) a 15-1<6?<116. {—2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}17[-5V2,5^2 ] 18.a {~~二解答题19. [-1, 1]2O.(-2,l)21.(-1, 3)22. 79.94km/h23.4 2 4【选做题】(1)卜 8, ⑵ - ¥，1专题四《二元一次不等式组和简单的线性规划》综合检测一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案DBACCBAAAc%1. 填空题11. -12.5 12. 3, 2, 1113.把ySxl 中的等号去掉，也可把6.r+3y<15中的等号去掉 14.2, 0三、 解答题15. 3 16. -17.派轮船7艘，不派飞机能完成运输任务218.安排中、乙二种柜的日产量分别为4台和8台可获最大利润272元{兀II <兀<a13.0, 114. 1三、解答题15. —1816. 1(Ov*l), a (a 〉l)0<^<1,17.j<2x,18. (0, 5)x < 1.519.2520.(1)⑵最大值为7+3a,最小值为 -1 一2a(° >专题四《二元一次不等式组和简单的线性规划》模拟试卷、选择题21. 每天安排I 级车工6人，II 级车工7人22. 甲、乙钢板各5张 23. 34专题五《基本不等式》综合检测一、选择题— 填空题1-x/2-11 12.360013・714.对22三、 解答题15y[ab16.略17.(1)1⑵7 718.存在，c =—、43专题五《基本不等式》模拟试卷113. A>B 14.215.— 16. -82三、解答题19. 72 20.当a>l时,1, ,^log。
2016-2017学年高中数学苏教版必修5章末综合测评2 含解析
章末综合测评(二）（时间120分钟,满分160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上）1．（2016·江苏高考）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a2，2＝－3，S5＝10,则a9的值是________．【解析】法一：设等差数列｛a n｝的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋错误!d＝10，得a1＋2d＝2,即a1＝2－2d。
所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a错误!＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3,a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20。
法二:设等差数列｛a n｝的公差为d，由S5＝10,知错误!＝5a3＝10，所以a3＝2。
所以由a1＋a3＝2a2,得a1＝2a2－2，代入a1＋a错误!＝－3，化简得a错误!＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1。
公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20。
【答案】202．(2016·全国卷Ⅰ改编）已知等差数列{a n｝前9项的和为27，a10＝8，则a100＝________.【解析】法一：∵{a n}是等差数列，设其公差为d，∴S9＝错误!（a1＋a9)＝9a5＝27,∴a5＝3。
又∵a10＝8，∴错误!∴错误!∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.法二：∵｛a n}是等差数列，∴S9＝92（a1＋a9）＝9a5＝27,∴a5＝3。
在等差数列｛a n｝中,a5，a10,a15，…，a100成等差数列,且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.【答案】983．已知数列｛a n｝的前n项和为S n＝kn2,若对所有的n∈N＊,都有a n＋1〉a n,则实数k的取值范围是________．【解析】由S n＝kn2,得a n＝k（2n－1)．∵a n＋1>a n，∴{a n｝是递增数列，∴k>0。
苏州市必修五第二章《解三角形》检测(含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC 的面积为3154，则a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c ac b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（ ）A ．33,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．()3,24．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知3a =，(2332)b ∈，，且223cos cos a b B b A =+，则cos A 的取值范围为（ ）A ．[12，34] B ．(12，34) C ．[1324，34] D ．(1324，34) 5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为3a ，则c bb c+的最大值是（ ） A ．8B ．6C ．32D ．46．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF 与ABC 的面积之比为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．177．在ABC 中，tan sin 2A BC +=，若2AB =，则ABC 周长的取值范围是( ) A ．(2,22⎤⎦B ．(22,4⎤⎦C ．(4,222⎤+⎦D ．(222,6⎤+⎦8．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若3013C c a =︒==，，，则ABC ∆的面积为A ．3 B ．3C ．34D ．329．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m10．在△ABC 中，AC 2=BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°11．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是（ ） A ．35mB ．10mC ．490013m D ．521m12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，2b =B 为（ ） A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒二、填空题13．已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，133sin sin B C +=，则bc 的值为______. 14．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC 的面积为S ，若3cos cos 3S a B b A =+，cos sin 7tan cos sin 12A A A A π+=-，3c =，则a =__________. 15．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．16．给出以下四个结论：①函数()211x f x x -=+的对称中心是()1,2-；②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥；③在ABC 中，若cos cos b A a B =则ABC 为等腰三角形；④若将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后变为偶函数，则ϕ的最小值是12π.其中正确的结论是________.17．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2222b a c ac +-=，3sin B =，则C =__________． 18．如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD 的高度，在塔底D 和A ，B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点A ，B 处测得塔顶C 的仰角分别为45︒和30，且A ，B 两点相距127m ，150ADB ∠=︒，则古塔CD 的高度为______m ．19．如图，要计算某湖泊岸边两景点B 与C 的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒，则两景点B 与C 的距离为________km.20．在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足222b c bc a +-=和132c b =，则tan B =______ 三、解答题21．将函数()sin f x x x =图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos 364B B ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，,6c g b π⎛⎫== ⎪⎝⎭ABC 的面积. 22．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3a b =，求cos(2)B C +的值.23．在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sin sin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2b c +=，______，求A 和C ．注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．24．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bcos A c ⋅=. （1）求角B ；（2）若ABC 的面积为BC 边上的高1AH =，求b ，c . 25．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角C 为23π，且()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++．（1）求::a b c 的值；（2）若ABC 的内切圆的半径32r =，求ABC 的面积．26．在ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23B π=，b = （Ⅰ）若2cos cos 3A C =，求ABC 的面积； （Ⅱ）试问111a c+=能否成立？若能成立，求此时ABC 的周长；若不能成立，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】首先利用正弦定理表示为23b c =，再结合余弦定理求cos A 和sin A ，并利用1sin 24ABCS bc A ==求a的值. 【详解】2sin 3sin B C =，由正弦定理可知23b c =， 14b c a -=，可得13,24c a b a ==，∴2221cos 24b c a A bc +-==-，sin A ==，1131sin 224244ABCSbc A a a ==⨯⨯⨯=，解得：4a =. 故选：C 2．B解析：B 【分析】利用正弦定理、余弦定理将角化为边，即可得到,a b 之间的关系，从而确定出三角形的形状. 【详解】因为2cos sin sin B A C =，所以22222a c b a c ac+-⋅⋅=，所以22a b =，所以a b =，所以三角形是等腰三角形， 故选：B. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形的形状，难度一般.本例还可以直接利用()sin sin C A B =+，通过三角函数值找到角之间的联系从而判断三角形形状. 3．A解析：A 【分析】 由余弦定理求得6B π=，并求得32A ππ<<，利用三角恒等变换思想将cos sin A C +化为以角A 为自变量的正弦型函数，利用正弦函数的基本性质可求得cos sin A C +的取值范围.【详解】由222a cb ++和余弦定理得222cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈，6B π∴=.因为三角形ABC 为锐角三角形，则0202A C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32A ππ<<，1cos sin cos sin cos sin cos cos 662A C A A A A A A Aπππ⎛⎫⎛⎫+=+--=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos 223A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 32A ππ<<，即25336A πππ<+<，所以，1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，3cos sin 2A C <+<，因此，cos sin AC +的取值范围是32⎫⎪⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形中代数式取值范围的计算，涉及利用余弦定理求角，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将代数式转化为以某角为自变量的三角函数来求解，考查计算能力，属于中等题.4．D解析：D 【分析】本题先求9c b=，再化简22222819cos 218b bc a b A bc +-+-==，接着求出22817545()42b b +∈，，最后求出cos A 的取值范围即可. 【详解】解：由题意有3a =，223cos cos a b B b A =+，由余弦定理得：2222222233232a c b b c a b b c bc+-+-=⋅+⋅⨯⨯，整理得：9bc = ， 所以9c b=，则22222819cos 218b bc ab A bc+-+-==.因为b ∈，所以2(1218)b ∈，，所以22817545()42b b +∈，， 则133cos (,)244A ∈. 故选：D. 【点睛】本题考查余弦定理，利用函数ky x x=+，（0k >）的单调性求范围，是中档题. 5．D解析：D 【分析】首先利用面积公式可得：2sin a A =，再利用余弦定理2222cos b c a bc A +=+，两者结合可得22sin 2cos b c A bc A +=+，而22c b b c b c bc++=，即可得c bb c+2cos A A =+，再利用辅助角公式即可求解. 【详解】由已知可得：11sin 22bc A a =，所以2sin a A =，因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+所以222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭， 所以c bb c+的最大值是4 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由题意得出点D 为AF的中点，由余弦定理得出AB =，结合三角形面积公式得出正确答案. 【详解】2,BD AD AF BD ==，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+解得：AB =)22ABC1()sin 601217sin 602DEF AD S S ︒︒∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.7．C解析：C 【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 则：21sin22C =，即：1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯⎪⎝⎭，据此有：a b+≤△ABC 的周长：2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,4a b a b c +>∴++>， 综上可得：ABC 周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.8．A解析：A 【分析】根据已知求出b 的值，再求三角形的面积.【详解】在ABC ∆中，301C c a =︒==，， 由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅， 即2320b b -+=， 解得：1b =或2b =.∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）.∴ABC ∆的面积为111sin 1222ab C =⨯=. 故选A . 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC3tan 3020320AB BC故选D 【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．10．A解析：A 【分析】直接利用正弦定理求出sin A 的大小，根据大边对大角可求A 为锐角，即可得解A 的值． 【详解】因为：△ABC 中，BC ＝1，AC =∠B ＝45°，所以：BCAC sinA sinB=，sinA 112BC sinB AC ⨯⋅===． 因为：BC ＜AC ，可得：A 为锐角， 所以：A ＝30°． 故选：A ． 【点评】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．11．D解析：D【分析】设塔底为O ，设塔高为h ，根据已知条件求得,OA OB 的长，求得AOB ∠的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ，设塔高为h ，由已知可知3,OA h OB h ==，且150AOB ∠=，在三角形AOB 中，由余弦定理得22233352cos15033h h h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得521h m =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.12．C解析：C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =，再根据a b >知A B >，得到答案.【详解】 根据正弦定理：sin sin a bA B =，即1sin 2B =，根据a b >知A B >，故30B =︒.故选：C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.二、填空题13．40【分析】首先根据正弦定理求并表示最后根据余弦定理求的值【详解】根据正弦定理可知根据余弦定理可知得解得：故答案为：40【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更适合或解析：40 【分析】首先根据正弦定理求2R ，并表示sin sin 22b c B C R R+=+，最后根据余弦定理求bc 的值. 【详解】22sin 3a R R A =⇒==，根据正弦定理可知1322b c b c R R +=⇒+=， 根据余弦定理可知()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，得249133bc =-，解得：40bc =. 故答案为：40 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．14．【分析】先根据三角形面积公式以及正弦定理化简条件得再利用弦化切以及两角和正切公式化简条件得即得最后根据余弦定理解得【详解】由可知根据正弦定理知又得因为所以故因此又故故答案为：【点睛】本题考查三角形面【分析】cos cos a B b A =+得sin b A =再利用弦化切以及两角和正切公式化简条件cos sin 7tan cos sin 12A A A A π+=-得3A π=，即得4b =，最后根据余弦定理解得a =. 【详解】cos cos S a B b A =+1sin cos cos 2ab C a B b A =+，1sin sin sin cos sin cos sin 2A b C AB B AC ⋅=+=，又0,sin 0C C π<<>，得sin b A =cos sin 1tan cos sin 1tan A A A A A A ++=--7tan tan 412A ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()0,A π∈，所以7412A ππ+=，故3A π=，因此4b =，又2222cos 13a b c bc A =+-=，故a .【点睛】本题考查三角形面积公式、正弦定理、余弦定理，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】利用正弦定理得到再根据有两解得到计算得到答案【详解】由正弦定理得：若有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理有两解意在考查学生的计算能力解析：【分析】利用正弦定理得到sinA =ABC ∆有两解得到sin sin 1B A <=<，计算得到答案. 【详解】由正弦定理得：sinsin sin sin a b x A A B A =⇒== 若ABC ∆有两解：sin sin 13B A x <=<⇒<<故答案为 【点睛】本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力.16．①③④【分析】将化成后可得图象的对称中心故可判断①的正误；参变分离后考虑在上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出的值从而可判断④的正误【详解】对于①因为故的图解析：①③④ 【分析】将()f x 化成()321f x x -=++后可得图象的对称中心，故可判断①的正误；参变分离后考虑1y x x=-在()0,1上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出ϕ的值，从而可判断④的正误. 【详解】对于①，因为()321f x x -=++，故()f x 的图象可以看出3y x-=向左平移1个单位，向上平移2个单位，故()f x 的图象的对称中心为()1,2-，故①正确. 对于②，考虑方程10x k x -+=在()0,1上有实数根即1k x x=-在()0,1上有实数根， 故(),0k ∈-∞， 故关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根时，则[)0,k ∈+∞，故②错误. 对于③，由正弦定理得到sin cos sin cos =B A A B ，故()sin 0B A -=， 因为(),B A ππ-∈-，故0B A -=即B A =，故③正确. 对于④，平移后得到的图象对应的解析式为sin 223πy x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为该函数为偶函数，故202,32ππφk πk Z ⨯--=+∈， 故5,212k ππφk Z =--∈，因为0ϕ>，故min 12πϕ=，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查分式函数的图象性质、函数值域的求法、正弦定理和三角变换以及正弦型函数的图象特征，注意在三角形中，可利用正弦定理把边角的混合关系转化为边的关系或角的关系，而正弦型函数图象的性质，可利用整体法结合正弦函数的性质来讨论，本题属于中档题.17．【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到根据正弦定理可得结合三角形内角的取值范围最后求得结果【详解】内角的对边分别为且整理得所以由正弦定理得整理得因为所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形 解析：6π【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到cos b C c =，根据正弦定理可得sin tan B C ==，结合三角形内角的取值范围，最后求得结果. 【详解】ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222b a c ac +-=， 整理得222cos 22b a c ab ac C +-==，所以cos b C c =，由正弦定理得sin cos sin B C C =，整理得sin tan 3B C ==，因为(0,)C π∈，所以6B π=，故答案为：6π. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理、正弦定理、已知三角函数值求角，属于中档题.18．12【分析】设用表示出在中由余弦定理列方程求出【详解】由题意知：平面设则在中由余弦定理得：即解得故答案为：12【点睛】此题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握余弦定理是解本题的关键属于中档题解析：12 【分析】设CD h =，用h 表示出,AD BD ，在ABD △中，由余弦定理列方程求出h ． 【详解】由题意知：CD ⊥平面,45,30,150,,ABD DAC DBC ADB AB ∠=︒∠=︒∠=︒=设CD h =，则,AD CD h BD ====，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠即(222233h h h =++，解得12h m =故答案为：12 【点睛】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．19．【分析】在中根据由余弦定理解得然后在中利用正弦定理求解【详解】在中因为由余弦定理得整理得解得或（舍去）在中因为所以由正弦定理得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用还考查了运算【分析】在ABD △中，根据5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，由余弦定理解得8BD =，然后在BCD △中，利用正弦定理sin sin BD BCBCD BDC=∠∠求解.【详解】在ABD △中，因为5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒， 由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠， 整理得249255BD BD =+-， 解得8BD =或3BD =-（舍去），在BCD △中，因为15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒， 所以45BDC ∠=︒， 由正弦定理得： sin sin BD BCBCD BDC=∠∠，所以sin 45sin1203BD BC ⋅︒==︒.【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】先利用余弦定理求得再由正弦定理结合已知条件求得的关系式求得即可【详解】由得又因为得由正弦定理得又因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用属于中档题 解析：12【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再由正弦定理()sin sin sin sin A B c C b B B+==结合已知条件，求得tan B 的关系式，求得tan B 即可.【详解】由222b c bc a +-=得2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0A π∈，得3A π=.由正弦定理，得()sin sin sin sin A B c C b B B +==sin cos cos sin 1sin 2tan 2A B A B B B +==+又因为12c b =+1=2+12+1tan 2B =. 故答案为：12．【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用，属于中档题.三、解答题21．（1）()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈；（2）【分析】（1）由题可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+即可解得单调递增区间；（2）由题可得2c =，6B π=或2B π=，由余弦定理可求得a ，即可求出面积.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ()f x 图象向右平移6π个单位长度得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，横坐标缩短为原来的12 (纵坐标不变)得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象， 所以()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()g x 的单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈ （2）由（1）知，62c g π⎛⎫⎪⎝⎭==， 因为21sin cos cos 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=+=，所以1cos 62B π⎛⎫ ⎪⎝=±⎭+ 又因为()0,B π∈，所以7,666B πππ+=⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=⎭+时，,636B B πππ+==，此时由余弦定理可知，2422cos 126a a π+-⨯⨯=，解得a所以12sin262ABCSπ=⨯⨯⨯=， 当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=-⎭+时，2,632B B πππ+==，此时由勾股定理可得，a ==，所以122S =⨯⨯△ABC 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图象变换求三角函数的性质，以及解三角形的应用，解题的关键是根据图象变换正确得出变换后的解析式. 22．（Ⅰ）3π；（Ⅱ）17-. 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）利用正弦定理的边角互化可得sin 3sin A B =，再由23A B π+=求出tan B =再利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】（Ⅰ）∵22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=- ∴由正弦定理得22()a b c ab -=-，即222a b c ab +-= ∴1cos 2C =， 又∵(0,)C π∈ ∴3C π=；（Ⅱ）∵3a b =，∴由正弦定理得sin 3sin A B =， ∵23A B π+=，∴2sin 3sin 3B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴tan B =，∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴sin B B == ，∴11sin 22sin cos 214B B B B === ∴1cos(2)cos 2cos sin 2sin 7B C B C B C +=-=-23．选择见解析；3A π=，512C π=．【分析】若选择条件①，先由正弦定理和余弦定理求出角A ，再利用正弦定理化简2b c +=，把23B C π=-代入，化简求值即可；若选择条件②，利用正弦定理和二倍角公式解出sin2A的值，进而得出角A ； 若选择条件③，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式可求出tan A ，进而得出角A 和C ．【详解】（1）选择条件①，由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-及正弦定理知，()22b c a bc -=-，整理得，222b c a bc +-=；由余弦定理可得，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===；又因为()0,A π∈，所以，3A π=．2b c +=sin 2sin A B C +=；由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；整理得，sin 6C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 从而64C ππ-=，解得512C π=（2）选择条件②，因为A B C π++=，所以222B C Aπ+=-； 由sinsin 2B C b a B +=得，cos sin 2Ab a B =由正弦定理知，sin cos sin sin 2sin cos sin 222A A AB A B B ==； 又sin 0B >，sin02A >，可得1sin 22A =；又因为()0,A π∈，所以，26A π=，故3A π=．2b c +=sin 2sin A B C +=；由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；整理得，sin 6C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 从而64C ππ-=，解得512C π=． （3）选择条件③，由sin cos 6a B b A π⎛⎫=-⎪⎝⎭及正弦定理知， sin sin sin cos 6A B B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭又sin 0B >，从而1sin cos sin 62A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，解得tan A =又因为()0,A π∈，所以，3A π=．2b c +=sin 2sin A B C +=；由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；整理得，sin 6C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 从而64C ππ-=，解得512C π=． 【点睛】方法点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，解三角形问题中可以应用正余弦定理的题型有： 1.已知一边和两角；2.已知两边和其中一边的对角；3.已知两边和它们所夹的角；4.已知三边．24．（1）6π；（2）b =2c =. 【分析】（1）化角为边，化简得222c a b +-=，再利用余弦定理求角B ；（2）由正弦定理算出c ，由面积公式算出a ，由余弦定理计算b 中即可. 【详解】解：（1）因为cos b A c =-，所以2222b c a b c bc +-⋅=-，所以22222b c a c +-=，即222c a b +-=.由余弦定理可得222cos 22c a b B ac +-==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）由正弦定理可得sin sin 22sin sin6AH AH AHBc Bππ∠===.因为ABC的面积为11sin 22ac B a ==a =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-=4842228+-⨯⨯=，则b = 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 25．（1）2【分析】（1）利用诱导公式可将已知等式化简得到sin sin A B =，知A B =，a b =，由正弦定理可知::sin :sin :sin a b c A B C =，由此可求得结果； （2）根据()12ABC S a b c r =++⋅△和1sin 2ABCS ab C =，根据（1）中c =，可构造方程求得a ，代入可得所求面积. 【详解】 （1）A B C π++=，()sin sin A C B ∴+=，()sin sin B C A +=，()cos cos A B C +=-，由()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++得：2sin 2sin cos 2sin cossin 3B AC A A π=-=-=，A B ∴=，a b =，2::sin :sin :sin sin:sin :sin 663a b c A B C πππ∴=== （2）由（1）知：c =， ()()1132222ABC S a b c r a ⎫=++⋅=+⎪⎭，又21sin 24ABC S ab C a ==，(23222a ⎫+⎪⎝⎭∴=，解得：1a =，2ABC S ∴==. 【点睛】关键点点睛：第二问求解三角形面积的关键是能够利用两种不同方式表示出所求三角形的面积，即()11sin 22S a b c r ab C =++⋅=，从而构造方程求得所需的边长. 26．（Ⅰ；（Ⅱ）不能成立，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）由于3A C π+=，cos()cos cos sin sin A C A C A C +=-，得1sin sin 6A C =，结合正弦定理与面积公式可得结果；（Ⅱ）假设111a c+=能成立，得a c ac +=，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-可得3ac =，结合基本不等式判断即可.【详解】（Ⅰ）由23B π=，得3A C π+=，cos()cos cos sin sin A C A C A C +=-， 即1cos cos sin sin 2A C A C =-. 又∵2cos cos 3A C =，∴1sin sin 6A C =.∵sin sin a c A C ===∴a A =，c C =.∴1sin 4sin sin sin 2ABC S A C B A B C =⋅⋅⋅=△146=⨯=. （Ⅱ）假设111a c +=能成立，∴a c ac +=. 由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，∴226a c ac =++.∴2()6a c ac +-=，∴2()60ac ac --=，∴3ac =或-2（舍），此时3a c ac +==.不满足a c +≥，∴111a c +=不成立. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.。
苏教版高中数学必修5试卷专题二综合检测.doc
专题二《等差数列、等比数列》综合检测一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的.1. 数列 V2,V5,2V2,VH,-, WJ2V5 是该数列的（）A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项 2. 方程x ：-6x + 4 = 0的两根的等比中项是（）A. 3B. ±2C. ±V6D. 23. 已知弓，为，…*，为各项都大于零的等比数列，公比0/1,则（）A. 。
] +。
8〉。
4 + %B. % + % V 。
4 +C. %+%=。
4+。
5D.％+。
8和。
4+%的大小关系不能由已知条件确定4. ―个有限项的等差数列，前4项之和为40,最后4项之和是80,所有项之和是210,则 此数列的项数为（）A. 12B. 14C. 16D. 185. 若。
、b 、c 成等差数列，力、c 、d 成等比数列，成等差数列，则a> c> e 成（）c d eA.等差数列B.等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.以上答案都不是6. 在等差数列｛□〃｝中，Q] — % —。
8 —。
12 + 05 = 2，则。
3 + "13 =（） A. 4B. -4C. 8D. -8 7.两等差数列国｝、｛久｝的前&项和的比鱼 S n 一驾；;，则:的值是 () A 28 A. 17 n 4825C.里 27D.癸 15 8. ｛□〃｝是等差数列， S lo >O,5n <O,则使％<0的最小的"值是 () A. 5 B. 6 C. 7D. 8 9. 0｝是实数构成的等比数列，是其前〃 项和，则数列｛，｝ 中（ )A.任一项均不为0 C.至多有一项为B.必有一项为0D.或无一项为0,或无穷多项为010.某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是()A.公差为0的等差数列B.公比为1的等比数列C.常数数列1,1,1,-D.以上都不对二、填空题，本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.H.已知等差数列｛山｝的公差刁知，且。
【苏教版】高中数学必修5同步辅导与检测：模块综合检测卷(二)(含答案)
模块综合检测卷(二)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(每小题共12个小题，每小题共5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．对于任意实数a，b，c，d命题：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a<b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：当c<0时，①不正确；当c＝0时，②不正确；只有③正确．答案：B2．历届现代奥运会召开时间表如下：A．29 B．30 C．31 D．32解析：由题意得，历届现代奥运会召开时间构成以1 896为首项，4为公差的等差数列，所以2 016＝1 896＋(n－1)·4，解得n＝31.答案：C3．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x －y的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．2解析：y ＝|x |与y ＝2的图象围成一个三角形区域，如图所示，3个顶点的坐标分别是(0，0)，(－2，2)，(2，2)．在封闭区域内平移直线y ＝2x ，在点(－2，2)时，2x －y ＝－6取最小值．答案：A4．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的长为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m解析：由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，又因为∠ABC ＝180°－45°－105°＝30°， 所以AB ＝AC sin ∠ACB sin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．答案：A5．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25解析：因为a 3·a 6·a 18＝a 9q 6·a 9q 3·a 9·q 9＝a 39是一个确定常数，所以a 9为确定的常数．T 17＝a 1·a 2·…·a 17＝(a 9)17，所以选C. 答案：C6．以原点为圆心的圆全部都在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2≥0内，则圆面积的最大值为( )A.18π5B.9π5C ．2πD ．π 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，最大圆的半径为点(0，0)到直线x －y ＋2＝0的距离， 即|0－0＋2|12＋（－1）2＝2，所以圆面积的最大值为π·(2)2＝2π. 答案：C7．已知三角形的两边长分别为4，5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( )A.20B.21C.22D.61解析：设长为4，5的两边的夹角为θ，由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为 42＋52－2×4×5×12＝21.答案：B8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎨⎧－8，n ＝1，－10＋2n ，n ≥2.因为n ＝1时适合a n ＝2n －10， 所以a n ＝2n －10(n ∈N *)． 因为5<a k <8，所以5<2k －10<8. 所以152<k <9.又因为k ∈N *，所以k ＝8.答案：C9．函数f (x )＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)B ．(－4，0)∪(0，1)C ．[－4，0)∪(0，1]D ．[－4，0)∪(0，1)解析：函数f (x )有定义等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1.答案：D10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a ＝a ＝a sin A ， 所以sin A ＝1.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．答案：B11．在数列{x n }中，2x n ＝1x n －1＋1x n ＋1(n ≥2)，且x 2＝23，x 4＝25，则x 10等于( )A.211B.16C.112D.15解析：由已知可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 成等差数列，而1x 2＝32，1x 4＝52，所以2d ＝52－32＝1，即d ＝12.故1x 10＝1x 1＋(10－1)d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9×12＝112.所以x 10＝211. 答案：A12．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)解析：因为x >0，y >0且2x ＋1y ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y，即x ＝4，y ＝2时取等号， 所以(x ＋2y )min ＝8.要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0.则不等式f (x )<4的解集是________．解析：不等式f (x )<4等价于⎩⎨⎧x >0，x 2＋1<4或⎩⎨⎧x ≤0，－x <4，即0<x <3或－4<x ≤0.因此，不等式f (x )<4的解集是(－4，3)． 答案：(－4，3)14．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －2004，则这个数列的前________项和最小．解析：设a n ＝2n －2 004的对应函数为y ＝2x －2 004.易知函数y ＝2x －2 004在R 上是增函数，且当y ＝0时，x ＝1 002. 因此，数列{a n }是单调递增数列，且当1≤n ≤1 002时，a n ≤0；当n >1 002时，a n >0. 所以数列{a n }的前1 001项或前1 002项的和最小． 答案：1 001或1 002.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于________．解析：由正弦定理，且sin C ＝23sin B ⇒c ＝23b .又a 2－b 2＝3bc ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（b 2＋3bc ）2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝（23b ）2－3b ·23b 2b ·23b＝32，所以A ＝30°. 答案：30°16．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy .又x >0，y >0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． 答案： 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)(2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ，所以sin C ＝ABBC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2·217·277＝437.18．(本小题满分12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N ＋)．(2)S n ＝2（1－2n ）1－2＋n ·1＋n （n －1）2·2＝2n ＋1＋n 2－2.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边c 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求C 的大小．解：(1)由sin A ＋sin B ＝2sin C 及正弦定理可知： a ＋b ＝2c .又因为a ＋b ＋c ＝2＋1，所以2c ＋c ＝2＋1，从而c ＝1. (2)三角形面积S ＝12ab sin C ＝16sin C ，所以ab ＝13，a ＋b ＝ 2.因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －12ab ＝12，又因为0<C <π，所以C ＝π3.20．(本小题满分12分)如图所示，公园有一块边长为2的等边三角形ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，点D 在AB 上，点E 在AC 上．(1)设AD ＝x (x ≥0)，ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式； (2)如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又在哪里？解：S △ABC ＝34×4＝3，所以S △ADE ＝12·x ·AE · sin 60°＝32，所以x ·AE ＝2，所以AE ＝2x≤2，所以x ≥1.(1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2·x ·2x ·cos 60°＝x 2＋4x 2－2，所以y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)令t ＝x 2，则1≤t ≤4，所以y ＝t ＋4t－2(1≤t ≤4)． 当t ＝2，即x ＝2时，即当AD ＝2，AE ＝2时，DE 最短为2；当t ＝1或4，即AD ＝2，AE ＝1或AD ＝1，AE ＝2时，DE 最长为 3.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－ax (a ∈R)， (1)若不等式f (x )>a －3的解集为R ，求实数a 的取值范围； (2)设x >y >0，且xy ＝2，若不等式f (x )＋f (y )＋2ay ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )>a －3的解集为R ，即不等式x 2－ax －a ＋3>0的解集为R ，所以Δ＝a 2＋4(a －3)<0恒成立，即a 2＋4a －12<0恒成立，所以－6<a <2.(2)不等式f (x )＋f (y )＋2ay ≥0恒成立，即不等式x 2－ax ＋y 2－ay ＋2ay ≥0恒成立，所以x 2＋y 2≥a (x －y )恒成立．所以实数a 的取值范围为(－∞，4]．22．(本小题满分12分)已知公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c ； (3)若(2)中的{b n }的前n 项和为T n ，求证：2T n －3b n －1>64b n （n ＋9）b n ＋1. (1)解：{a n }为等差数列，因为a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22， 又因为a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程n 2－22x ＋117＝0的两个根． 又因为公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13.所以⎩⎨⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13即⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)解：由(1)知，S n ＝n ·1＋n （n －1）2·4＝2n 2－n ， 所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c， b 3＝153＋c. 因为{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)． (3)证明：由(2)得b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，T n ＝2n ＋n （n －1）·22＝n 2＋n ，2T n －3b n －1＝2(n 2＋n )－3(2n －2)＝2(n －1)2＋4≥4，当n ＝1时取“＝”，又n >1，所以取不到“＝”，即2T n －3b n －1>4.64b n （n ＋9）b n ＋1＝64×2n （n ＋9）·2（n ＋1）＝64n n 2＋10n ＋9＝64n ＋9n＋10≤4，当n ＝3时取“＝”．上述两式中“＝”不可能同时取到，所以2T n －3b n －1>64b n （n ＋9）b n ＋1.。
苏教版高中数学必修5第2章章末过关检测卷(二)(附答案)
章末过关检测卷(二)(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．在等差数列{a n }中，已知a 6＝8，则前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 解析：由等差数列的求和公式和性质可得：S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝88. 答案：B2．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，＋∞ B ．(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 解析：依题意可知⎩⎨⎧a 9≤0，a 10＞0，即⎩⎨⎧－24＋8d ≤0，－24＋9d ＞0，解得83＜d ≤3.答案：D3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9根B ．10根C ．19根D ．29根解析：设钢管被放成n 层，则钢管数为S n ＝n （n ＋1）2，当n ＝19时，钢管数为190，当n ＝20时，钢管数为210＞200，故知只能放19层，剩余钢管为10.答案：B4．(2014·天津卷)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1，2a 1－1，4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1 ·(4a 1－6)．解得a 1＝－12.答案：D5．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24解析：由等比数列的前三项为x ，3x ＋3，6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x ＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.答案：A6．等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是( )A ．a 11B ．a 10C ．a 9D ．a 8解析：因为数列{a n }的前11项的平均值是5，即a 1＋a 112＝5，故得a 11＝15，又数列前11项的和为55，抽取1项后，余下10项的和为40，故知抽取的项是15，即抽取的项是a 11.答案：A7．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：由已知a n ＝70＋(n －1)·(－9)＝79－9n . 令a n ＝0得n ＝799，所以n ＝9时，|a 9|＝|－2|＝2，即绝对值最小的项为a 9. 答案：B8．若{a n }，{b n }满足a n ·b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( )A.12B.512C.13D.712解析：b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2），用裂项法可求{b n }的前10项和为512.答案：B9．将全体正整数排成一个三角数阵(如图所示)，根据图中规律，数阵中第n 行(n ≥3)的从左到右的第3个数是( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … … …A.n （n －1）2B.n （n ＋1）2C.n （n －1）2＋3D.n （n ＋1）2＋3解析：由第一行起每行中的第一个数构成一个数列{a n }，由表格可知a n －a n －1＝n －1，由叠加法可得a n ＝1＋n （n －1）2，故第n 行第3个数为n （n －1）2＋3.答案：C10．各项都是正数的等比数列{a n }中，公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于( )A.－1－52 B ．2＋ 5 C.5＋12 D.5－12解析：由2a 5＝a 3＋a 6，得2a 1q 4＝a 1q 2＋a 1q 5， 即2q 2＝1＋q 3，q 2－1＝q 3－q 2，因为q ≠1，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1±52，又a n >0，所以q ＝1＋52.而a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 1q 2（1＋q 2）a 1q 3（1＋q 2）＝1q ＝5－12. 答案：D11．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列．则( )A ．d ＜0B ．d ＞0C ．a 1d ＜0D ．a 1d ＞0解析：因为{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以2a 1a n ＝2a 21＋a 1(n －1)d ，又由于{2a 1a n }为递减数列，所以2a 1a n 2a 1a n ＋1＝2－a 1d ＞1＝20，所以a 1d ＜0.答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2015·课标全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝______．解析：由题意知{a n }为等比数列．首项a 1＝2，公比q ＝2，由S n＝2（1－2n ）1－2＝126，得n ＝6.答案：614．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，a 1＝2，且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项公式b n ＝________．解析：由3a n ＋1＝a n ，a 1＝2得a n ＝2×13n ＋1，又因为b n ＝a n ＋a n ＋12，所以b n ＝2×13n －1＋2×13n2＝13n －1＋13n ＝43n .答案：43n15．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋2tn ，当且仅当n ＝7时S n 最大，则t 的取值范围是________．解析：数形结合，利用二次函数图象可得对称轴x ＝t ∈(6.5，7.5)． 答案：(6.5，7.5)16．(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝__________.解析：因为 a 2，a 3，a 7成等比数列，所以 a 23＝a 2·a 7， 所以 (a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.① 又因为 2a 1＋a 2＝1，所以 3a 1＋d ＝1.② 由①②解得a 1＝23，d ＝－1.答案：23－1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)(2015·重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和为S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92，解得a 1＝1，d ＝12，故{a n }的通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2，故{b n }的前n 项和T n ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1.18．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{}a n 的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{}a n 的通项公式为a n ＝13－3n (n ∈N *)．(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫110－3n －113－3n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎪⎪⎫110－3n －110 ＝n 10（10－3n ）.19．(本小题满分12分)(2015·北京卷)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a 4＝4＋2(n －1)＝2n ＋2 (n ＝1，2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }中的第63项相等．20．(本小题满分12分)(2015·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． (1)解：当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．因为 4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以 4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以 a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－a n2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．21．(本小题满分12分)用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%，按复利计算．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保留4个有效数字)参考数据：(1＋1%)19＝1.208，(1＋1%)20＝1.220，(1＋1%)21＝1.232.解：由题易得x (1＋1%)19＋x (1＋1%)18＋…＋x (1＋1%)＋x ＝1000(1＋1%)20，即x ·（1＋1%）20－11%＝1 000×(1＋1%)20， 所以x ＝1 000×1%×（1＋1%）20（1＋1%）20－1≈55.45，即每月还款55.45元． 所以买这件家电实际付款55.45×20＋150＝1 259(元)，每月还款55.45元．22．(本小题满分12分)(2014·课标全国Ⅰ卷)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和． 解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12， 从而a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. (2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则 S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.。
2019-2020年苏教版高中数学必修5 期末模块综合检测卷(含答案)
模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(每小题共10个小题，每小题共5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝(D ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7解析：∵{a n }为等比数列，∴a 4a 7＝a 5a 6＝－8.又a 4＋a 7＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，a 1＝－8，a 10＝1，∴a 1＋a 10＝－7； 当a 4＝－2，a 7＝4时，a 10＝－8，a 1＝1，∴a 1＋a 10＝－7. 综上，a 1＋a 10＝－7.2．某人投资10 000万元，如果年收益利率是5%，按复利计算，5年后能收回本利和为(B )A ．10 000×(1＋5×5%)B ．10 000×(1＋5%)5C ．10 000×1.05×（1－1.054）1－1.05 D ．10 000×1.05×（1－1.055）1－1.05解析：注意与每年投入10 000万元区别开来．3．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为(A )A.1665B.5665 C.1665或5665 D ．－1665解析：∵cos A ＝513＞0，∴sin A ＝1213＞sin B ＝35.∴B 为锐角，故cos B ＝45.从而cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝1665.4．若a <b <0，d >c >0，则不等式①ad >bc ；②c a >cb；③a 2>b 2；④a －d <b －c 中正确的个数是(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①错，②③④正确．将a <b <0转化为－a >－b >0，可得(－ad )>(－bc )，即ad <bc ，故知①错；由a <b <0⇒1a >1b，c >0，故②正确；因为函数y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，故③正确；由d >c >0，得－d <－c <0，故知a －d <b －c ，故④正确．5．设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，下列结论中正确的是(A ) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥22＋2解析：∵1＋x ＋y ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.即x ＋y ≥2(1＋2)(当x＝y ＝1＋2时等号成立)，x ＋y 的最小值为2(1＋2)．6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 015等于(D )A ．1 006B ．1 008C ．－1 006D ．－1 008 解析：由a n ＝n cosn π2可得S 2 015＝1×0－2×1＋3×0＋4×1＋…－2 014×1＋2 015×0＝－2＋4－6＋…－2 010＋2 012－2 014＝2×503－2 014＝－1 008.7．已知方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0有两个正实根，则实数m 的取值范围是(D ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－4] C ．(－5，＋∞) D ．(－5，－4] 解析：方程两根为正，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－（m ＋2）>0，⇒－5<m ≤－4m ＋5>0. 8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是(D)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，112C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，132D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 解析：用待定系数法可得 2a ＋3b ＝52(a ＋b )－12(a －b )，由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＋b ＜3，2＜a －b ＜4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－52＜52（a ＋b ）＜152，－2＜－12（a －b ）＜－1. 两式相加即得－92＜2a ＋3b ＜132.9．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x ，则x 的取值范围是(B ) A ．(1，3) B ．(5，13) C ．(0，5) D ．(13，5)解析：由三角形的三个角为锐角，结合余弦定理的推论可知，⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，32＋x 2－22>0，解得5＜x 2＜13，即5<x < 13.10．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则(A ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x ＝－1，a >0，又∵x 1＋x 2＝0，x 1与x 2的中点为0，x 1<x 2，∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离．∴f (x 1)<f (x 2)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝________．解析：先求出角A 的余弦值，再利用余弦定理求解． 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， 解得cos A ＝±15.∵A 是锐角，∴cos A ＝15.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴49＝b 2＋36－2×b ×6×15.∴b ＝5或b ＝－135.又∵b ＞0，∴b ＝5. 答案：512．(2013·陕西卷)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n 个等式可为____________．解析：当n 为偶数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n （n ＋1）2；当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－（n －1）n 2＋n 2＝n （n ＋1）2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）213．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：作出可行域(如图)，由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，则当目标函数过C (1，－1)时z取得最大值，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.答案：314．若a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n由大到小的顺序是__________________________．解析：用特殊值法或作差比较法都很容易得出答案． 答案：a b ＞a ＋nb ＋n ＞b ＋m a ＋m ＞ba三、解答题(本题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 15．(本小题满分12分)等差数列{}a n 不是常数列，a 5＝10，且a 5，a 7，a 10是某一等比数列{}b n 的第1，3，5项．(1)求数列{}a n 的第20项； (2)求数列{}b n 的通项公式．解析：(1)设数列{}a n 的公差为d ，则a 5＝10，a 7＝10＋2d ，a 10＝10＋5d . 因为等比数列{}b n 的第1、3、5项成等比数列， 所以a 27＝a 5a 10，即(10＋2d )2＝10(10＋5d )． 解得d ＝2.5，d ＝0(舍去)． 所以a 20＝47.5.(2)由(1)知{}a n 为各项非负的数列，所以q 2＝b 3b 1＝a 7a 5＝32.∴q ＝±32.又b 1＝a 5＝10， ∴b n ＝b 1q n －1＝±10·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *.16．(本小题满分12分)(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解析：(1)由正弦定理得： 3sin A ＝26sin 2A ，解得cos A ＝63. (2)由cos A ＝63⇒sin A ＝33，又∠B ＝2∠A ， ∴cos B ＝2cos 2A －1＝13.∴sinB ＝223，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×13＋63×223＝539. ∴c ＝a sin Csin A＝5. 17．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，求－cx 2＋2x －a ＞0的解集．解析：由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a ＜0，－13和12是方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由韦达定理－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a ＞0，即－2x 2＋2x ＋12＞0亦即x 2－x －6＜0.其解集为(－2，3)．18．(本小题满分14分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析：方法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是 z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．方法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出平行域如下图所示．让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．19．(本小题满分14分)如右图，某观测站C在城A南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？解析：根据题意，可得下图，其中BC ＝31千米，BD ＝20千米，CD ＝21千米，∠CAD ＝60°.设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CDB 中，由余弦定理得：cos β＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝212＋202－3122×21×20＝－17，sin β＝1－cos 2β＝437. sin α＝sin(180°－∠CAD －∠CDA ) ＝sin(180°－60°－180°＋β) ＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60° ＝437×12＋17×32＝5314.在△ACD 中，由正弦定理得：AD ＝CDsin A ·sin α＝21sin 60°×5314＝15. 此人还得走15千米到达A 城．20．(本小题满分14分)数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n ； (3)设b n ＝1n （12－a n ）(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有T n ＞m32成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ⇒a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 可知{a n }成等差数列，d ＝a 4－a 14－1＝－2，∴a n ＝8＋(n －1)·(－2)＝10－2n (n ∈N)． (2)由a n ＝10－2n ≥0得n ≤5，∴当n ≤5时，S n ＝－n 2＋9n .当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝n 2－9n ＋40.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，1≤n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥5.(3)b n ＝1n （12－a n ）＝1n （2n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2（n ＋1）＞n －12n ＝T n －1＞T n －2＞…T 1.∴要使T n ＞m 32总成立，需m 32＜T 1＝14恒成立，即m ＜8(m ∈Z)．故适合条件的m 的最大值为。
苏教版高一数学必修5模块测试二答案详解
必修五模块测试二一．填空题1. 2x 2－3x －2≥0的解集是 。
2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a,则cosB= 。
3.如果点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为 。
4.设α、β是方程x 2-2x+k 2=0的两根，且α,α+β,β成等比数列，则k= 。
5.已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝2x 212-（）(x ＜0)，则m 与n 的大小关系为 .6.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是7.若以2,3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的范围为 .8.数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n+1}是公比为q(q ＞0)的等比数列，满足a n a n+1+a n+1a n+2＞a n +2a n+3(n ∈N *)，则公比q 的取值范围是 。
9.三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.10.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于_______________.11.一段长为L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积是 。
12. 在△ABC 中,若sinB 、cos2A、sinC 成等比数列,则此三角形的形状为 。
13．将给定的25个数排成如图所示的数表， 若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a 33=1,则表中所有数之和为__________.14.半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.则四边形OACB 的面积最大值是 。
苏教版数学高二-必修五章末检测 第2章 数列 (A)
第2章 数 列(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 011，则序号n 等于________．2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________.3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为________．4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________．5．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．6．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________.7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________.910．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝________. 12．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 取到最大值的n 是________．13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的第________项． 14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99·a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号)二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．16．(14分)已知等差数列{a n}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{a n}的前n项和S n. 17．(14分)已知数列{log2(a n－1)} (n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1a n＋1－a n<1.18．(16分)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝a n2n－1.证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和．19．(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列{1b n b n ＋1}的前n 项和T n ＝n 1＋n.20．(16分)已知数列{a n }的各项均为正数，对任意n ∈N *，它的前n 项和S n 满足S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，并且a 2，a 4，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ＋1a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T 2n .第2章 数 列(A)答案1．671解析 由2 011＝1＋3(n －1)解得n ＝671.2．15解析 在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝a 4＋a 12，∴a 12＝16－1＝15.3．120解析 由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120. 4．180解析 ∵(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝3(a 1＋a 20)＝－24＋78＝54，∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝180. 5．－4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d <0，解得－235≤d <－236， ∵d ∈Z ，∴d ＝－4.6．8解析 ∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64， ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.7．－1或2解析 依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.8．3∶4解析 显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12， 故S 15S 5＝1－q 151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34. 9．n 2＋n解析 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .10．15解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式得na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.11.1316解析 因为a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋8d )．所以a 1＝d .所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316. 12．20解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ，∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.∴当n ＝20时，S n 有最大值．13．50解析 将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫12，21，⎝⎛⎭⎫13，22，31，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，…，n 1， 则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.14．①②④解析 ①中，⎩⎪⎨⎪⎧ (a 99－1)(a 100－1)<0a 99a 100>1a 1>1⇒⎩⎨⎧a 99>10<a 100<1⇒q ＝a 100a 99∈(0,1)，∴①正确． ②中，⎩⎨⎧ a 99a 101＝a 21000<a 100<1⇒a 99·a 101<1，∴②正确． ③中，⎩⎨⎧T 100＝T 99·a 1000<a 100<1⇒T 100<T 99，∴③错误． ④中，T 198＝a 1a 2…a 198＝(a 1·a 198)(a 2·a 197)…(a 99·a 100)＝(a 99·a 100)99>1，T 199＝a 1a 2…a 198·a 199＝(a 1a 199)…(a 99·a 101)·a 100＝a 199100<1，∴④正确．15．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝－6，a 6＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0.解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1(1－q n )1－q＝4(1－3n )． 16．解 设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，d ＝－2. 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．17．(1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 18．(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.19．(1)解 由已知⎩⎨⎧ a n ＋1＝12S n ，a n ＝12S n －1(n ≥2)，得a n ＋1＝32a n (n ≥2)． ∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列． 又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×(32)n －2(n ≥2)． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12×(32)n －2， n ≥2.(2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32[32×(32)n －1]＝n . ∴1b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －11＋n. ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －11＋n) ＝1－11＋n ＝n 1＋n. 20．解 (1)∵对任意n ∈N *，有S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，① ∴当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或2.当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)．② ①－②并整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0. 而数列{a n }的各项均为正数，∴a n －a n －1＝3. 当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， 此时a 24＝a 2a 9成立；当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1， 此时a 24＝a 2a 9不成立，舍去．∴a n ＝3n －2，n ∈N *.(2)T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1) ＝－6a 2－6a 4－…－6a 2n＝－6(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－6×n (4＋6n －2)2＝－18n 2－6n .。
【苏科版】高中数学必修五期末模拟试卷附答案
一、选择题1．若关于x的不等式2220x x c-+<的解集为(),a b ，则14 a b+的最小值为（）A．9B．9-C．92D．92-2．已知函数()32f x x ax bx c=+++，且()()()01233f f f<-=-=-≤，则( ) A．c3≤B．3c6<≤C．6c9<≤D．c9>3．设x，y满足约束条件261322x yx yy-≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y=-+的最小值是（）A．1-B．0 C．1 D．24．设x，y满足约束条件1x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay=+的最小值为7，则a=（）A．5-B．3C．5-或3D．5或3-5．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A．10kmB．20kmC．103kmD．53km6．在直角梯形ABCD中，//AB CD，90ABC∠=，22AB BC CD==，则cos DAC∠=（）A25B5C310D107．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD=，则DEF与ABC的面积之比为（）A ．12B ．13C ．15D ．178．在△ABC 中，AC 2=BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°9．已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =（ ） A ．21nn - B ．21nn + C ．221nn + D ．42nn + 10．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，11．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问相逢时驽马行几里？（ ） A ．540B ．785C ．855D ．95012．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．88-或二、填空题13．西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，同时该项工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.在输气管道工程建设过程中，某段直线形管道铺设需要经过一处平行峡谷，勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角，用测量仪器得到此横截圆面的圆心为O ，半径OM ON =且为1米，而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的要经过此圆弧拐角，需从宽为38米的峡谷拐入宽为16米的峡谷.如图所示，位于峡谷悬崖壁上的两点A ，B 的连线恰好与圆弧拐角相切于点T （点A ，T ，B 在同一水平面内），若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过______________米.14．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.15．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若2322+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．16．在ABC 中，cos cos 3A B +=，3AB =sin sin A B +取最大值时，ABC 的外接圆半径为________．17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 22sin sin b C c B a B C +=，2226b c a +-=，则ABC 的面积为_______．18．在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足222b c bc a +-=和132c b =，则tan B =______ 19．已知等差数列{}n a 中，268,0a a ==，等比数列{}n b 中， 122123,b a b a a a ==++，那么数列{}n b 的前4项和4S =________20．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论：①0<q<1；②a 1a 99－1<0；③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98.其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题21．已知函数()()212log 1f x x =+，()26g x x ax =-+. （1）若关于x 的不等式()0g x <的解集为{}|23x x <<，当1x >时，求()1g x x -的最小值；（2）若对任意的1[1,)x ∈+∞、2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()2π2sin cos 6f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()14f A =，1a =，求ABC 的面积的取值范围．24．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边．若2,cos b c C -==，再从条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题： （1）求,b c 的值；（2）求角A 的值及ABC 的面积． 条件①：cos cos a B b A +=；条件②：2cos 2b C a =． 25．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和. 26．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，若1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项． （1）求数列{}n b 的公比； （2）若11a =，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为n S 且99200nS >，求n 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由韦达定理可得出2a b +=，2ab c =，分析出a 、b 均为正数，将代数式()12a b +与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得14a b+的最小值. 【详解】 由于代数式14a b+有意义，则0ab ≠， 因为关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则a 、b 为方程2220x x c -+=的两根，由韦达定理可得22a b ab c +=⎧⎨=>⎩，所以，a 、b 均为正数，所以，()141141419552222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 当且仅当242,,33b a a b ===时，等号成立，因此，14a b +的最小值为92. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．3．C解析：C【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案.【详解】作出x，y满足约束条件261322x yx yy-≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y=-+可化为1y x z=+-，当直线1y x z=+-过点A时，此时直线在y轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132yx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A，所以目标函数的最小值为min2211z=-+=.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．4．B解析：B【分析】画出可行域，讨论当0a=时,当0a<时，当0a>时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a的值.【详解】根据题中约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示，两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭， 当0a =时，z x ay =+无最小值；当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值． 当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处有最小值： 21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.5．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=， 在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30103sin120PB ==，即这时船与灯塔的距离是103km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+=，同理可得225AC AB BC =+=，在ACD ∆中，由余弦定理得2222310cos 210252AC AD CD DAC AC AD +-∠===⋅⨯⨯， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．7．D解析：D 【分析】由题意得出点D 为AF 的中点，由余弦定理得出7AB AD =，结合三角形面积公式得出正确答案. 【详解】2,BD AD AF BD ==，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+ 解得：7AB AD =)22ABC1()sin 601217sin 6072DEFAD S S AD ︒︒∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.8．A解析：A 【分析】直接利用正弦定理求出sin A 的大小，根据大边对大角可求A 为锐角，即可得解A 的值． 【详解】因为：△ABC 中，BC ＝1，AC =∠B ＝45°，所以：BC AC sinA sinB=，sinA 112BC sinB AC ⋅===． 因为：BC ＜AC ，可得：A 为锐角， 所以：A ＝30°． 故选：A ． 【点评】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．9．B解析：B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+， 在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-， ()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选：B. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．10．C解析：C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nnn n n n S S λ+++++---<===----， 所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．11．C解析：C 【分析】由已知条件转化为两个等差数列的前n 项和为定值问题，进而计算可得结果． 【详解】由题可知，良马每日行程构成一个首项为103，公差13的等差数列{}n a ， 驽马每日行程构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列{}n b ， 则a n ＝103+13（n ﹣1）＝13n +90，b n ＝97﹣0.5（n ﹣1）＝97.5﹣0.5n ，则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250， 又∵数列{a n }的前n 项和为2n ×（103+13n +90）＝2n×（193+13n ）， 数列{b n }的前n 项和为2n ×（97+97.5﹣0.5n ）＝2n ×（194.5﹣2n）， ∴2n ×（193+13n ）+2n ×（194.5﹣2n）＝2250，整理得：25n 2+775n ﹣9000＝0，即n 2+31n ﹣360＝0，解得：n ＝9或n ＝﹣40（舍），即九日相逢，相逢时驽马行了92×（194.5﹣92）=855. 故选：C 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列及等差数列的前n 项和，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算6a ，代入，计算式子，即可． 【详解】48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两实根，所以24821064a a a a a ===，由48480,100a a a a >+=-<得480,0a a <<，所以2640a a q =<，即62a =-，所以26108a a a =-.故选B【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．二、填空题13．75【分析】设则可得AB 长度的表达式利用凑1法结合基本不等式即可求得答案【详解】设其中延长OM 交AB 于D 过B 做SB 垂线交DO 于G 延长ON 交AB 于E 过A 做SA 垂线交NO 于F 如图所示：在中AF=39则即解析：75 【分析】设=MOT θ∠，则可得AB 长度的表达式，利用凑“1”法，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】设=MOT θ∠，其中(0)2πθ∈，，延长OM ，交AB 于D ，过B 做SB 垂线，交DO 于G ，延长ON ，交AB 于E ，过A 做SA 垂线，交NO 于F ，如图所示：在Rt AEF 中，AEF θ∠=，AF =39，则sin AF AE θ=，即39sin AE θ=， 在Rt BDG 中，DBG θ∠=，17BG =，则cos BG BD θ=，即17cos BD θ=， 在Rt DOE 中， OT DE ⊥，OT=1，所以11,cos sin DO EO θθ==， 又1122DO EO DE OT ⨯⨯=⨯⨯，所以1sin cos DE θθ=， 所以39171()sin cos sin cos AB f AE BD DE θθθθθ==+-=+-=39cos 17sin 1sin cos θθθθ+-， 因为4sin 3cos 5sin()5θθθϕ+=+≤，其中3tan 4ϕ=，当且仅当2πθϕ+=时，等号成立，所以1(4sin 3cos )(39cos 17sin )139cos 17sin 15()sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθ++-+-=≥22221(68sin 207sin cos 117cos )(sin cos )5sin cos θθθθθθθθ++-+==2263207112sin sin cos cos 716207555(9tan )sin cos 5tan 5θθθθθθθθ++=++71620729tan 755tan 5θθ≥⨯⨯=， 当且仅当169tan tan θθ=，即4tan 3θ=时等号成立，所以若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过75米. 故答案为：75. 【点睛】解题的关键是根据题意，得到AB 长度的表达式，难点在于需利用凑“1”法，将表达式化简成齐次式，结合基本不等式求解，考查计算化简的能力，属中档题.14．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y 过点A （20）时z 取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条解析：【解析】作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题解析：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用“1”的替换求出2x y +的最小值92，再解不等式23922m m -≤即可.【详解】 因为121122192()(2)(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当22y xx y=， 即32x y ==时等号成立，所以23922m m -≤，解得332m -≤≤.故答案为：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.16．2【分析】设与两边平方后相加可得即可知时最大可得角再利用正弦定理即可求解【详解】设则又因为所以所以所以当时此时的外接圆半径为故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理二倍角公式三角函数的性质同角三角解析：2 【分析】设sin sin A B t +=与cos cos A B +=两边平方后相加，可得2322cos()A B t +=+-，即21cos()2t A B +-=，可知A B =时，sin sin =+t A B 最大，可得角C ，再利用正弦定理即可求解. 【详解】设sin sin A B t +=，则()2222sin sin sin sin 2sin sin t A B A B A B =+=++，又因为()2223cos cos cos cos 2cos cos A B A B A B =+=++，所以222223sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos t A A B B A A B B +=+++++22cos()B A =+-，所以21cos()2t A B +-=，所以当A B =时，max 1=t ，23C π∠=，此时ABC 2=． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、同角三角函数基本关系，属于中档题.17．【分析】由正弦定理得由平方关系和余弦定理可得再利用面积公式即可得解【详解】由已知条件及正弦定理可得易知所以又所以所以所以即所以的面积故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用解析：32【分析】由正弦定理得sin A =32bc =，再利用面积公式1sin 2S bc A =即可得解.【详解】由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，易知sin sin 0B C ≠，所以sin A =， 又2226b c a +-=，所以2223cos 2b c a A bc bc+-==，所以cos 0A >，所以cos A =，即32bc =，bc =，所以ABC 的面积113sin 2222S bc A ==⨯=． 故答案为：32. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.18．【分析】先利用余弦定理求得再由正弦定理结合已知条件求得的关系式求得即可【详解】由得又因为得由正弦定理得又因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用属于中档题 解析：12【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再由正弦定理()sin sin sin sin A B c C b B B+==结合已知条件，求得tan B 的关系式，求得tan B 即可.【详解】由222b c bc a +-=得2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0A π∈，得3A π=.由正弦定理，得()sin sin sin sin A B c C b B B +==sin cos cos sin 1sin 2tan 2A B A B B B +==+又因为12c b =+1=2+12+1tan 2B =. 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用，属于中档题.19．320【分析】先求出等差数列的通项公式即可求出即可得通项再利用等比数列前项和公式求【详解】设等差数列的公差为则解得所以所以数列的公比为所以故答案为：320【点睛】本题主要考查了等比数列求和涉及等差数解析：320 【分析】先求出等差数列{}n a 的通项公式，即可求出1b ，2b ，即可得{}n b 通项，再利用等比数列前n 项和公式求4S【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2161850a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩ ， 1(1)10(1)(2)212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+ ，所以128b a ==，2123108624b a a a =+=++=+， 所以数列{}n b 的公比q 为213b b = ， 所以448(13)32013S ⨯-==-.故答案为：320 【点睛】本题主要考查了等比数列求和，涉及等差数列通项公式，等比数列通项公式，属于基础题.20．①②③④【解析】由条件a1>1a49a50－1>0(a49－1)(a50－1)<0可知a49>1a50<1所以0<q<1①对；∵a1a99＝<1②对；因为a49>1a50<1所以T49的值是Tn 中最解析：①②③④ 【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.三、解答题21．（1）3（2）112a -≤≤ 【分析】（1）根据二次不等式的解集得5a =，再根据基本不等式求解即可； （2）根据题意将问题转化为261x ax -+≥-在[]2,4x ∈-恒成立，再令()27F x x ax =-+，（24x -≤≤），分类讨论即可求解.【详解】（1）由关于x 的不等式()0<g x 的解集为{}23x x <<，所以知235a =+=∴()()256213111g x x x x x x x -+==-+----又∵1x >，∴()21331x x -+-≥-，取“=”时1x = ∴()31g x x ≥-即()1g x x -的最小值为3，取“=”时1x = （2）∵1≥x 时，212x +≥，()()212log 11f x x =+≤-∴根据题意得：261x ax -+≥-在[]2,4x ∈-恒成立 记()27F x x ax =-+，（24x -≤≤）①当4a ≤-时，()()min 2211F x F a =-=+ 由1121102a a +≥⇒≥-，∴1142a -≤≤-②当48a -<<时，()2min724a a F x F ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭由2704a a -+≥⇒-≤≤∴4a -<≤③当8a ≥时，()()min 4423F x F a ==-+ 由2342304a a -+≥⇒≤，a ∈∅综上所述，a 的取值范围是112a -≤≤【点睛】本题的第二问中关键是采用动轴定区间的方法进行求解，即讨论对称轴在定区间的左右两侧以及对称轴在定区间上的变化情况，从而确定该函数的最值. 22．（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃． 【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解.【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3， 则2(2)2(3)30m m -+++=， 整理得5100m +=， 解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<． ①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ， 则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤．综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.23．（1）ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）12⎛ ⎝⎦. 【分析】（1）把函数利用二倍角公式、两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后结合sin y x =的单调性求()f x 的增区间；（2）由(A)f 求得A 角，利用正弦定理把,b c 用sin ,sin B C 表示，从而求得ABCS ，并转化为B 的函数，注意转化为一个角的一个三角函数形式，由锐角三角形及A 角大小求得B角范围，从而得面积的范围． 【详解】 （1）由题意知()2πcos 21π32sin cos sin 262x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=++=⋅+ ⎪⎝⎭111πcos 22sin 2sin 22sin 22224423x x x x x x ⎫⎛⎫=-+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 令ππ2π,π32x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，则ππππ,62122k k x ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （2）因为()14f A =，所以1π1sin 2234A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π36A k +=+或5π2π6k +，k Z ∈，即ππ12A k =-+或ππ4k +，k Z ∈．又ABC 为锐角三角形，故π4A =，因为1a =，所以由正弦定理可知，bB =，c C =．所以11πsin sin sin 224ABC S bc A B C B C B B ⎛⎫====+ ⎪⎝⎭△()()21111cos 21sin sin cos sin sin cos sin 222222B B B B B B B B -⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭()11π1sin 2cos 2244444B B B ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π0,42C B π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π2,444B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 24B ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，所以π1112,44424ABCS B ⎛+⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎦△． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的性质，正弦定理等．解题方法一般是由二倍角公式降幂，由辅助角公式化函数为()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后结合正弦函数性质求解单调性、对称性、周期性、最值等等．24．（1）6,4b c ==； （2）3A π=，S = 【分析】（1）选用条件①：由正弦定理求得a =2b c -=，即可求解；选用条件②：由正弦定理求得cos B =，得出sin B =cos C =，求得得sin C =（2）由余弦定理求得A 的值，结合面积公式，即可求解． 【详解】（1）选用条件①：因为cos cos a B b A +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin 14A B B A C +=，可得sin sin 14C a C =，又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得a =又由cos 7C =，由余弦定理得22227a b c ab +-=， 将2b c -=代入上式，解得6,4b c ==．选用条件②：因为2cos 2b C a =-，由正弦定理得2sin cos 2sin B C A C =2sin()B C C =+2(sin cos cos sin )7B C B C C =+-即2cos sin 0B C C =，又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得cos 14B =，则sin 14B =，又由cos C =，可得221sin 1cos C C由正弦定理sin sin b cB C =，得sin 3sin 2b Bc C ==， 又由2b c -=，可得6,4b c ==．（2）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=．所以ABC 的面积为11sin 6422S bc A ==⨯⨯= 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.25．（1）2nn a =；（2）()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.【分析】(1)求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换； (2) ()121221n nn n n b a ⎛⎫=- ⎝=⎪⎭-，用错位相减法求和. 【详解】解：（1）设{}n a 的公比为q ，0q > 2232S a a =+∴()12122a a a q a q +=+∴2q∴1222n n n a -=⋅=.（2）()1212n n b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设{}n b 的前n 项和为n T ∴()()23111111135232122222n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭① ()()2311111113232122222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭② ①-②()23111111122221222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111112211121122212n n n T n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯ ⎪⎝⎭- ()1111112212222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=+-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()11342122n n n T n ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭. 【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 26．（1）5；（2）50.【分析】（1）利用基本量代换，求出12d a =，直接求出公比；（2）裂项相消法求出n S ，解不等式即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项，得23113a a a =⋅，即()()2111212a d a a d +=⋅+，化简得2148d a d =． 10,2d d a ≠∴=．设数列{}n b 的公比的公比为q ，则3111111245a a d a a q a a a ++====． （2）若11a =，则1111112,21,(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫==-==- ⎪-+-+⎝⎭， 111112133557(21)(21)n S n n ⎫⎛=++++⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭ 111111111111233557212122121n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 由99200n S >，得9999,212002n n n >∴>+，故n 的最小值为50． 【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．。
苏教版数学高二苏教版必修5章末检测卷 第2章 数列
章末检测卷(二)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n ＝________.答案 672解析 由2 014＝1＋3(n －1)，解得n ＝672.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．答案 2解析 ∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，∴d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5＝________.答案 1解析 ∵a 3·a 11＝a 27＝16，∴a 7＝4，∴a 5＝a 7q 2＝422＝1. 4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________.答案 88解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为________．答案 120解析 由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120. 6．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013＝________.答案 －1 007解析 S 2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________. 答案 －1或2解析 依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.8．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是________． 答案 －4解析 由题意，知a 6≥0，a 7＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝23＋5d ≥0a 1＋6d ＝23＋6d ＜0， ∴－235≤d ＜－236. ∵d ∈Z ，∴d ＝－4.9．在等比数列{a n }中，a 1＝1,9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为________． 答案 3116解析 若q ＝1，则9S 3＝27a 1，S 6＝6a 1，∵a 1≠0，∴9S 3≠S 6，矛盾，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q， 解得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.∴1a n ＝(12)n －1. ∴{1a n }的前5项和S 5＝1－(12)51－12＝3116. 10．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为________． 答案 (1＋q )12－1解析 设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂第一年的生产总值为 S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，∴该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1 ＝(1＋q )12－1.11．{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________． 答案 2解析 设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.12．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝______.答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1，∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63. 13．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)，∴a n ＝2a n －1，经检测n ＝1也符合，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.14．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．答案 5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2(q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．16．(14分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 3＝5，S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12×4n ＋2n ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23. 17．(14分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1. (1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 18．(16分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{1S n }的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38. (1)解 因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ S 5＝70，a 27＝a 2a 22， 即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d ). 解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．(2)证明 由(1)可得S n ＝2n 2＋4n .所以1S n ＝12n 2＋4n ＝12n (n ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. 所以T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n －1＋1S n＝14⎝⎛⎭⎫1－13＋14⎝⎛⎭⎫12－14＋14⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，即T n ＋1＞T n ，所以数列{T n }是递增数列， 所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38. 19．(16分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1. (2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝⎛⎭⎫13n －1， 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列． 从而∑n ＝1m 1a n ＝35⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列， 从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *).故∑n ＝1m1a n <1. 综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n <1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立． 20．(16分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1. ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n . ∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1， 两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。
2020年苏教版必修5课后练习(2)(有答案解析)
2020年苏教版必修5课后练习（2）一、解答题（本大题共9小题，共108.0分）1.如图，从A点和B点测得上海东方明珠电视塔塔顶C的仰角分别为和B两点与塔底D点在同一条直线上，，求东方明珠电视塔的高度精确到．2.一艘船以的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30min后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上．求灯塔S与B之间的距离精确到．3.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，试判断的形状．4.仿照正弦定理的证法证明，并运用这一结论解决下面的问题：在中，已知，，，求；在中，已知，，，求b和；证明正弦定理．5.在中，已知，试判断的形状．6.在，设，，，已知，证明：为正三角形．7.在中，的外角平分线交BC的延长线于D，用正弦定理证明：．8.在中，斜边c等于外接圆的直径故有，这一关系对任意三角形也成立吗如图？探索并证明你的结论．9.在已知两边a，b和一边的对角A，求角B时．如果A为锐角，那么可能出现以下情况如图：如果A为钝角，那么可能会出现哪几种情况？试画出草图加以说明．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：由题得：在，，中，，，；；东方明珠电视塔的高度468m．解析：确定、，利用，求出CD，即可得到结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2.答案：解：由题意，中，，，；，由正弦定理得，故灯塔S与B之间的距离为．解析：确定中的已知边与角，利用正弦定理，即可求得结论．本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．3.答案：解：根据正弦定理得：，整理得：，，，代入已知等式得：，即，整理得：，，即，则为等腰直角三角形．解析：已知等式利用正弦定理化简，得到，即可确定出三角形形状．此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4.答案：证明：中，，则，故，，，，；，，，，由正弦定理可得，，，；证：为锐角三角形时，圆心在内部，连接CO并延长交圆于D，连接BD，则，中，，所以，同理，故有，为钝角三角形时，圆心在外部，连接BO并延长交圆于D，连接CD，则，，，，同理，故有，当为直角三角形时，c为斜边，易得综上，任意ABC外接圆的直径都有有．解析：先结合锐角三角函数定义及三角形的面积公式可证明，直接结合三角形的面积公式即可求解；由已知结合三角形的内角和可求B，然后结合正弦定理可求b，代入三角形的面积公式可求；分别对直角，锐角，钝角三角形各种情况，结合锐角三角函数定义可证．本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．5.答案：解：，，由正弦定理可得：，，，，，，，，，或，化为，或．为等腰三角形或直角三角形．解析：由，利用同角三角函数基本关系式与正弦定理可得，再利用倍角公式及其三角函数的单调性即可得出．本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、倍角公式及其三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：证明：由，，，可知，即，根据，所以，即，所以，即，所以，同理可得，故可得：为正三角形．解析：根据向量的数量积性质与和向量可得，同理可得，即证了为正三角形．本题考查三角形的形状的判断及数量积的运算性质，属于中档题．7.答案：证明：设，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，即两式相除，可得，结论成立．解析：分别在、中根据正弦定理列式，再将所得的式子相除并利用比例的性质，可得成立．本题考查利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题．8.答案：证：成立，证明如下：为锐角三角形时，圆心在内部，连接CO并延长交圆于D，连接BD，则，，中，，故，所以，同理，故有，为钝角三角形时，圆心在外部，连接BO并延长交圆于D，连接CD，则，，，，同理可得，，综上，任意ABC外接圆的直径都有．解析：由已知结合锐角三角函数定义及圆的内角三角形的性质，就锐角及钝角三角形两种情况分别进行证明．本题考查三角形的正弦定理的证明，考查转化能力，属于基础题．9.答案：解：如果A为钝角，可能会出现3种情况，如图所示：，无解，，无解，，有一解，解析：由A为锐角，出现的几种情况，进行简单的合情推理，得到A为钝角，可能会出现2种情况，画出图即可．本题主要考查了正弦定理中已知三角形两边和一边所对的角的解得情况，是中档题．。
【苏科版】高中数学必修五期末试卷含答案
一、选择题1．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-12．已知实数x ，y 满足260,{0,2,x y x y x -+≥+≥≤若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,1-B ．[]1,3-C ．[]1,2-D ．[]2,33．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A ．22B ．3C．1D ．24．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最小值为14，命题q :直线2x =的倾斜角为2π，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝5．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．66．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知2cos 0b a C -=，()sin 3sin A A C =+，则2bca =（ ） A ．74B ．149C ．23D ．697．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF 与ABC 的面积之比为（ ）A ．12B．13C．15D．178．在钝角ABC∆中，角A B C，，的对边分别是a b c，，，若3013C c a=︒==，，，则ABC∆的面积为A．34B．32C．34D．329．在数列{}n a中，11a=-，33a=，212n n na a a++=-（*n N∈），则10a=（）A．10 B．17 C．21 D．3510．设n S是等差数列{}n a的前n项和，若735S=，则4a=（）A．5 B．6 C．7 D．811．记n S为等比数列{}n a的前n项和，若数列{}12nS a-也为等比数列，则43aa=（）．A．2B．1C．32D．1212．等差数列{}n a的前n项和为n S，1000S>，101S<，则满足1n na a+<的n=（）A．50 B．51 C．100 D．101二、填空题13．已知x，y满足41x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为________.14．在ABC中，2AB=，4AC=，则C∠的取值范围为______.15．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75︒，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为__________海里/小时.16．已知实数,x y满足不等式组201030yx yx y-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx的取值范围为__________．17．已知函数()21f x x x=-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m>+恒成立，则实数m的取值范围是___________.18．如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得5kmAB=，7kmAD=，60ABD∠=︒，15CBD∠=︒，120BCD ∠=︒，则两景点B 与C 的距离为________km.19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ﹣1是a n 和S n 的等比中项，设1(1)(21)n n n b n a +=-⋅+，则数列{b n }的前100项和为_____.20．已知下列结论：①若数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 一定为等差数列.②若数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 一定为等比数列.③非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等差数列，则111,,a b c 可能构成等差数列. ④非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等比数列，则111,,a b c一定构成等比数列. 则其中正确的结论是_______.三、解答题21．（1）已知3x <，求43x x +-的最大值； （2）已知,x y 是正实数，且4x y +=，求13x y+的最小值．（3）若实数,x y 满足2228x y +=，求244y x +-的取值范围．22．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y =1被椭圆截得的弦的中点坐标为3144P ⎛⎫⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程. 23．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -= （1）求tan tan AB的值； （2）若点D 为边AB 的中点，10,5AB CD ==，求BC 的值．24．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A 处时测得公路北侧一山顶D 在北偏西45°的方向上，仰角为α，行驶300米后到达B 处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为β，若β=45°，则此山的高度CD 和仰角α的正切值．25．已知公差为2的等差数列{}n a ，且1a ，7a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项.26．设等差数列{}n a 的首项1a 为()0a a >，其前n 项和为n S . （Ⅰ）若1S ，2S ，4S 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，问是否存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln k S 、1ln k S +、2ln k S +成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1，故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.2．C解析：C 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点()2,10取得最大值，在点()2,2-取得最小值.由图可知，当0m ≥时，[]0,2m ∈，当0m <时，[)1,0m ∈-，故取值范围是[]1,2-.考点：线性规划.3．D解析：D 【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】111()2()22f x x b k f b b b x b b''=+-∴==+≥⋅= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D. 【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4．A解析：A 【分析】由约束条件作出可行域，由yz x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式yz x=表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．5．C解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．6．D解析：D 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得c =，最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中，sin sin a b A B=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，由①②可知：2cos 3C =，又2222cos 23a b c C ab +-==③，把①代入③化简可得：c ，则23bc a b ==， 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由题意得出点D 为AF的中点，由余弦定理得出AB =，结合三角形面积公式得出正确答案. 【详解】2,BD AD AF BD ==，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+解得：AB =)22ABC1()sin 601217sin 602DEFAD S S ︒︒∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据已知求出b 的值，再求三角形的面积.【详解】在ABC ∆中，301C c a =︒==，，由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅， 即2320b b -+=， 解得：1b =或2b =.∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）.∴ABC ∆的面积为111sin 1222ab C =⨯=. 故选A . 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．B解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.10．A解析：A 【分析】由等差数列的前n 和公式，求得1710a a +=，再结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】由题意，根据等差数列的前n 和公式，可得1777()352a a S +==，解得1710a a +=， 又由等差数列的性质，可得17452a a a +==. 故选：A. 【点睛】熟记等差数列的性质，以及合理应用等差数列的前n 和公式求解是解答的关键11．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==.故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．二、填空题13．6【分析】作出不等式组所表示的平面区域结合图象确定目标函数的最优解即可得到答案【详解】由题意作出不等式组所表示的平面区域如图所示因为目标函数可化为直线当直线过点A 时此时目标函数在轴上的截距最大此时目解析：6 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案. 【详解】由题意，作出不等式组041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，如图所示，因为目标函数2z x y =+，可化为直线2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，此时目标函数在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由04x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，所以目标函数2z x y =+的最大值为2226z =⨯+=.故答案为：6.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14．【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围再结合余弦定理可以用表示求出的范围进而求得的取值范围【详解】解：在中内角的对边分别是由题意得即令所以所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调 解析：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出a 的范围，再结合余弦定理可以用a 表示cos C ，求出cos C 的范围，进而求得C ∠的取值范围.【详解】解：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意得2c =，4b =，b c a b c -<<+，即26a <<，2222123cos 2882a b c a a C ab a a+-+===+，令()382x f x x =+，所以()2221312'828x f x x x-=-=， 所以根据导数与函数单调性的关系得：函数()f x 在()2,23上单调递减，在()23,6上单调递增， 所以当26x <<时，()f x 的取值范围为3,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 所以3cos ,1C ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭又因为0πc <<， 所以π0,6C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故答案为：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的性质，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.15．【解析】如图在△MNO 中由正弦定理可得则这艘船的航行速度(海里/小时)点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题 解析：176【解析】如图,在△MNO 中，由正弦定理可得，68sin120686346sin 45MN ===则这艘船的航行速度346176v ==(海里/小时). 点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．16．【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单的线性规解析：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】 作出可行域，yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解. 【详解】如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩表示的平面区域ABC （包括边界），所以yx 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.17．【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所解析：(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立， 只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-， 所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】在中根据由余弦定理解得然后在中利用正弦定理求解【详解】在中因为由余弦定理得整理得解得或（舍去）在中因为所以由正弦定理得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用还考查了运算解析：3【分析】在ABD △中，根据5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，由余弦定理解得8BD =，然后在BCD △中，利用正弦定理sin sin BD BCBCD BDC=∠∠求解.【详解】在ABD △中，因为5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒， 由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠， 整理得249255BD BD =+-， 解得8BD =或3BD =-（舍去），在BCD △中，因为15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒， 所以45BDC ∠=︒， 由正弦定理得： sin sin BD BCBCD BDC=∠∠，所以sin 45sin1203BD BC ⋅︒==︒.【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】利用等比中项列方程然后求得再利用裂项求和法求得数列的前项和【详解】依题意当时解得当时解得当时解得以此类推猜想下用数学归纳法证明：当时成立假设当时当时所以假设成立所以对任意（证毕）所以所以数列 解析：100101【分析】利用等比中项列方程，然后求得n a ，再利用裂项求和法求得数列{}n b 的前100项和. 【详解】依题意()21n n n S a S -=⋅，当1n =时，()22111a a -=，解得111212a ==⨯， 当2n =时，()()2122121a a a a a +-=⋅+，解得211623a ==⨯， 当3n =时，()()212331231a a a a a a a ++-=⋅++，解得3111234a ==⨯， 以此类推，猜想()11111n a n n n n ==-++，1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 下用数学归纳法证明： 当1n =时，1112S a ==成立. 假设当n k =时，1k k S k =+ 当1n k =+时，()21111k k k S a S +++-=⋅，()()21111k k k k S S S S +++-=-⋅，22111121k k k k k S S S S S ++++-+=-⋅，1121k k k S S S ++-+=-⋅，()121k k S S +⋅-=-，1122111k k k k S S k k ++--⎛⎫⋅-=⋅=- ⎪++⎝⎭，()111211k k k S k k +++==+++，所以假设成立. 所以对任意*N n ∈，()11111n a n n n n ==-++，1n n S n =+.（证毕） 所以()11111(1)(21)(1)(21)(1)111n n n n n b n a n n n n n +++⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⎪==+⋅-⋅+ +⎝⎭，所以数列{}n b 的前100项和为111111111001122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++--+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：100101【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查裂项求和法，属于中档题.20．②④【分析】①先求出再当时求出判断当时有判断①错误；②先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断②正确；③先建立方程组再整理得与非零实数不全相等矛盾判断③错误；④先得方程整理得判断解析：②④ 【分析】①先求出12a =，再当2n ≥时求出21n a n =-，判断当1n =时有11n a a =≠，判断①错误；②先求出11a =，再当2n ≥时求出12n na ，判断数列{}n a 是以1为首项以2为公比的等比数列，判断②正确；③先建立方程组2112a c b a c ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，再整理得a b c ==与非零实数,,a b c 不全相等矛盾，判断③错误；④先得方程2b ac =，整理得2111()b a c=⨯，判断④正确. 【详解】①：数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，当1n =时，211112a S ==+=，当2n ≥时，221(1)(1)121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦，当1n =时，11n a a =≠， 故①错误；②：数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，当1n =时，111211a S ==-=，当2n ≥时，111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11n a a ==，且12nn a a -= 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列， 故②正确；③：若111,,a b c是等差数列，则211a c b a c ac+=+=， 因为,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，则2112a cb ac ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，整理得a b c ==，与非零实数,,a b c 不全相等矛盾， 故③错误；④：因为非零实数,,a b c 不全相等，且,,a b c 成等比数列， 所以2b ac =，则21111b ac a c==⨯， 则111,,a b c一定构成等比数列. 故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题.三、解答题21．（1）1-；（2）1+3）[12,6]-. 【分析】 （1）由于()443333x x x x +=+-+--，再根据基本不等式求解即可； （2）根据题意得()114x y +=，再利用基本不等式“1”的用法求解即可； （3）将2282y x =-代入244y x +-，再配方求解即可得答案. 【详解】解：（1）因为3x <，所以30x -<，30x ->， 所以()443333x x x x ⎡⎤+=-+-+⎢⎥--⎣⎦31≤-=-，当且仅当4323x x=-=-，即1x =时等号成立， 所以43x x +-的最大值为1-. （2）由于,x y 是正实数，且4x y +=，所以()1311313444y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1414⎛≥+=+ ⎝当且仅当3y xx y=，即(23y ==时等号成立.故13x y +的最小值为12+. （3）由于实数,x y 满足2228x y +=，故22820,22y x x =-≥∴-≤≤ 所以22448244y x x x +-=-+-()222442166x x x =-++=--+≤，当2x =-时，244y x +-取得最小值为12- 故244y x +-的取值范围为[12,6]-. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，注意自变量的取值范围，考查化归转化思想，运算能力，是中档题.22．（Ⅰ）23x +y 2=1；（Ⅱ）x ﹣y =0或x +y =0.【分析】（Ⅰ）根据直线椭圆的过上顶点，得b =1，再利用点差法以及弦中点坐标解得a 2=3，即得椭圆方程；（Ⅱ）先设直线l 方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以|F 1F 2|为底边长求△ABF 2面积函数关系式，在根据基本不等式求△ABF 2面积最大值，进而确定直线l 的方程. 【详解】（Ⅰ）直线x +y =1与y 轴的交于（0，1）点，∴b =1， 设直线x +y =1与椭圆C 交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 232=，y 1+y 212=，∴221122x y a b +=1，222222x y a b+=1，两式相减可得21a （x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0， ∴()2121221212()y y b x x x x a y y -+=--+， ∴22b a- ⋅3212=-1， 解得a 2=3，∴椭圆C 的方程为23x +y 2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F 1（0），F 20），设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），可设直线l 的方程x =my l 的方程x =my 代入23x +y 2=1，可得（m 2+3）y 2﹣2﹣1=0， 则y 3+y4=y 3y 4213m -=+， |y 3﹣y 4|==，∴212ABF S =|F 1F 2|⋅|y 3﹣y 4|=⋅|y 3﹣y 4|==≤=，=，即m =±1，△ABF 2面积最大，即直线l 的方程为x ﹣y =0或x +y =0. 【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法、基本不等式求最值以及利用韦达定理研究直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题. 23．（1）4；（2） 【分析】（1）由3cos cos 5a B b A c -=，带入余弦定理整理可得22235a b c -=，所以222222222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B a c b ac b c a B A B b c a bbc+-⋅+-===+-+-⋅，带入22235a b c -=即可得解；（2）作AB 边上的高CE ，垂足为E ，因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所tan tan A BEBAE=． 又tan 4tan AB=，所以4BE AE =，因为点D 为边AB 的中点且10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===，再根据勾股定理即可得解.【详解】（1）因为3cos cos 5a Bb Ac -=， 所以2222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=，即22235a b c -=． 又222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B ac b c a B A B bbc+-⋅==+-⋅， 所以22222222tan 854tan 52A a c b c B b c a c+-==⨯=+-．（2）如图，作AB 边上的高CE ，垂足为E ， 因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所以tan tan A BEB AE=． 又tan 4tan AB=，所以4BE AE =． 因为点D 为边AB 的中点，10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===． 在直角三角形CDE 中，5CD =，所以22534CE -=． 在直角三角形BCE 中，8BE =，所以224845BC +． 24．231． 【分析】设山的高度CD =x ，在ABC 中，利用正弦定理求得CB ，AC ，在Rt BCD 中，由∠CBD =45°得CD =CB Rt ACD 中，由tan CDACα=求解. 【详解】设山的高度CD =x 米，由题可得∠CAB =45°，∠ABC =105°，AB =300米，∠CBD =45°． 在ABC 中，得：∠ACB =180°-45°-105°=30°， 利用正弦定理可得sin 30sin 45sin105AB CB AC==， 所以()300sin 45300sin1053002,15062sin30sin30CB AC ⨯⨯====+，在Rt BCD 中，由∠CBD =45°得CD =CB在Rt ACD 中可得tan 1CD AC α=== 25．（1）211n a n =-；（2）最小项为第7项为297. 【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；（2）当5n ≤时，由112n a n =-得出n S ，由二次函数的性质得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项，当6n >时，由211n a n =-得出n S 结合导数数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项. 【详解】（1）由题知：2715a a a =⋅，则()()2111128a a a +=⋅+得：19a =-即1(1)211n a a n d n =+-=- （2）当5n ≤时，112n a n =-，29112102n nS n n n +-=⨯=- 则21010n S n n n n n-==-，即5n =时，min 5n S n ⎛⎫= ⎪⎝⎭当6n ≥时，211n a n =-，251211(5)10502n n S S n n n +-=+⨯-=-+，则5010n S n n n=+- 令50()10,6f x x x x =+-≥，2225050()1x f x x x -'=-=当6x <<()0f x '<，当x >()0f x '>即函数()f x 在(上单调递减，在()+∞上单调递增即7n =时，min 297n S n ⎛⎫=⎪⎝⎭ 最小项为第7项为297【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于先讨论211n a n =-的正负，从而确定{}n a 的通项公式，进而得出n S ，最后由二次函数的性质以及导数得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性，由此得出最小值. 26．（Ⅰ）0d =时，n a a =；2d a =时，2n a an a =-；（Ⅱ）不存在，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）根据等差数列写出(1)2n n n dS na -=+，利用等比中项性质列式代入求解；（2）设存在()*2,k k k ≥∈N ，根据等比中项列式，整理化简之后分类讨论0d =与0d >是否成立. 【详解】（Ⅰ）因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S ，又因为数列{}n a 是等差数列，首项1a 为()0a a >，所以(1)2n n n d S na -=+，则()()2246a d a a d +=+，可得0d =或2d a =，当0d =时，n a a =；当2d a =时，2(1)2n a a n a an a =+-=-.（Ⅱ）设存在()*2,k k k ≥∈N ，使ln k S 、1ln k S +、2ln k S +成等比数列，则122ln l ln n k k k S S S ++=⋅，对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，首项0a >，所以0d ≥因为()22222ln ln ln ln ln 22k k k k k k S S S S S S +++⋅⎡⎤+⎡⎤⋅<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()22211121112ln ln 22k k k k k k k k S dS a a S a S a ++++++++⎡⎤+--+⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 当0d =时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k S dS a a S a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立； 当0d >时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k k S dS a a S dS a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；综上，不存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln k S 、1ln k S +、2ln k S +成等比数列.【点睛】关于等比中项性质的运用，需要注意,,a b c 三个数成等比数列，列式得2b ac =，然后再根据数列是等差还是等比数列化为基本量1,a d 或1,a q 计算.。
【苏科版】高中数学必修五期末模拟试卷(含答案)(2)
一、选择题1．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．15B．8+C ．16D．8+2．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D3．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2B ．1CD ．4．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215 C ．516 D ．6545．在三棱锥A BCD -中，已知所有棱长均为2，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）AB ．16C ．13D．36．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2 D17．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,且0AD AC ⋅=,sin BAC ∠=AB =BD =, 则cos C ( ) A ．63B．3C．3D ．139．已知数列{}n a 中，11n n a a n +-=+，11a =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭)的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知数列{}n a 为等比数列，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为（ ） A ．5B ．512C ．1024D ．204811．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D ．25912．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ） A ．50B ．51C ．100D ．101二、填空题13．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________．14．在△ABC 中，∠ABC 为直角，点M 在线段BA 上，满足BM ＝2MA ＝2，记∠ACM ＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC 是唯一确定的，则BC ＝_____．15．如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），在所在的河岸边选取相距30m 的C ，D 两点，测得75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，其中A ，B ，C ，D 四点在同一平面内，则A ，B 两点之间的距离是_______m .16．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．17．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的增函数，则实数m 的取值范围是__________. 18．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 19．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．20．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且133,12n n a S a λ++==，则实数λ的值为_____三、解答题21．定义两个函数的关系：函数()m x ，()n x 的定义域为A ，B ，若对任意的1x A ∈，总存在2x B ∈，使得()()12m x n x =，我们就称函数()m x 为()n x 的“子函数”.设,0a b >，已知函数()f x=23(1)b a b+--，22||11()1822||x g x x a a x x =+-++. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 是()g x 的“子函数”，求22a b ab+的最大值.22．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且24006,040()740040000,40x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩，（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.23．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C +c cos A （1）求角B 的大小；（2）若线段BC 上存在一点D ，使得AD ＝2，且AC =CD =1，求S △ABC .24．在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若()()2sin 2sin sin 2sin sin a A B C b C B c =+++.（1）求A 的大小； （2）求sin sin B C +的最大值.25．已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且232n n n T S S =+，*n N ∈.（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若有111n n b a +=-，求证：231321n b b b +++<26．从①1a 、2a 、5a 成等比数列，②525S =，③222n nS S n n+-=+，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47a =， ，122n a n nb a +=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=，则()121223888348a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即13,46a b -==时等号成立，故12a b +的最小值为8+ 故选：D. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用x y +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.2．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为d ==小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.3．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）()()a b a c ++2， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．4．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n +的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =，所以116m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.5．A解析：A 【分析】取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，于是得到异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠，然后计算出CEF ∆的三条边长，并利用余弦定理计算出CEF ∠，即可得出答案． 【详解】如下图所示，取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，由于E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则//EF BD ，且112EF BD ==， 所以，异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠或其补角，三棱锥A BCD -是边长为2的正四面体，则ABC ∆、ACD ∆均是边长为2的等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ⊥，且223CE AC AE =-3CF =在CEF ∆中，由余弦定理得2223cos 2231CE EF CF CEF CE EF +-∠===⋅⨯ 因此，异面直线CE 与BD 3，故选A ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下： （1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角； （2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．6．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．8．A解析：A 【分析】求出90BAC BAD ∠=∠+︒，代入利用诱导公式化简sin BAC ∠，求出cos BAD ∠的值，根据余弦定理求出AD 的长度，再由正弦定理求出BC 的长度，求得sin C ，再利用同角三角函数基本关系式即可计算求得结果 【详解】0AD AC ⋅=，可得AD AC ⊥90DAC ∴∠=︒，90BAC BAD DAC BAD ∠=∠+∠=∠+︒()22sin sin 90cos BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠=在ABC 中，32AB =3BD =根据余弦定理可得22222cos 1883BD AB AD AB AD BAD AD AD =+-∠=+-=解得3AD =或5AD =当5AD =时，AD AB >，不成立，故设去 当3AD =时，在ABD 中，由正弦定理可得:sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又22cos 3BAD ∠=，可得1sin 3BAD ∠=，则6sin 3ABsin BAD ADB BD ∠∠==ADB DAC C ∠=∠+∠，90DAC ∠=︒6cosC =故选A【点睛】本题是一道关于三角函数的题目，熟练运用余弦定理，正弦定理以及诱导公式是解题的关键，注意解题过程中的计算，不要计算出错，本题有一定综合性9．C解析：C 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法可求得n S ，然后解不等式143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭即可得解.【详解】因为2132123n n a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎨⋅⋅⎪⎪-=⎩，所以123n a n a =+-++，()11232n n n a n +∴=++++=,()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n nS n n n ⎛⎫=⨯-+-++-=⎪++⎝⎭， 由21413n n S n n n ⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，化简得2311200n n --≤，解得453n -≤≤， *n ∈N ，所以，满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭的n 的最大值为5.故选：C. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.10．C解析：C 【分析】用1a 和q 表示出2a 和3a 代入2312a a a ⋅=求得4a ，再根据3474422a a a a q +=+，求得q ，进而求得1a 到6a 的值，即得解. 【详解】2231112a a a q a q a ⋅=⋅=42a ∴=3474452224a a a a q +=+=⨯12q ∴=，41316a a q == 故1415116()2222n n n n a ---=⨯=⨯=，所以123456116,8,4,2,1,12a a a a a a ======<， 所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为16842=1024⨯⨯⨯. 故选：C 【点睛】结论点睛：等比数列{}n a 中，如果11,01a q ><<，求123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值，一般利用“1交界”法求解，即找到大于等于1的项，找到小于1的项，即得解.11．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案．【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．二、填空题13．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的解析：a <<【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩，解得a << ∴实数a的取值范围是．答案： 点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．14．【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出的值再利用两角差的正切公式求得从而求出的值【详解】解：设则为锐角∴∴依题意若对于给定的是唯一的确定的可得解得即的值为故答案为：【点睛】本题主要考查直角三角【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出tan ACB ∠、tan NCB ∠的值，再利用两角差的正切公式求得tan tan()ACB MCB θ=∠-∠，从而求出BC 的值．【详解】解：设BC x =，ACM θ∠=，则θ为锐角，∴3tan ACB x ∠=，2tan MCB x∠=， ∴tan tan()ACB MCB θ=∠-∠232132661x x x x x x x x -===+++， 依题意，若对于给定的ACM ∠，ABC ∆是唯一的确定的， 可得6x x=， 解得6x =BC 6，6． 【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题．15．【分析】本题先在中得出得的值然后在中由正弦定理得出的长最后在中由余弦定理算出即可得到AB 之间的距离【详解】解：如图所示∵∴∴在中∴∵在中∴由正弦定理得可得在中由余弦定理得∴（米）即AB 之间的距离为米解析：1015 【分析】本题先在ACD △中，得出30CAD ADC ∠=∠=︒，得CD 的值，然后在BCD 中由正弦定理得出BC 的长，最后在ABC 中由余弦定理，算出21500AB =，即可得到A ，B 之间的距离. 【详解】解：如图所示，∵75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒， ∴7545120ACD ACB BCD ︒︒∠=∠+∠=+=︒，∴在ACD △中，18030CAD ACD ADC ADC ∠=︒-∠-∠=︒=∠， ∴30AC CD ==.∵在BCD 中，60CBD ∠=︒， ∴由正弦定理，得30sin 75sin 60BC =︒︒，可得sin 753020375sin 60BC ︒=⋅=︒︒. 在ABC 中，由余弦定理，得()222222cos 30203sin 75230203sin 75cos 75AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+︒-⨯⨯︒︒1500=，∴1015AB =（米），即A ，B 之间的距离为1015米. 故答案为：1015.【点睛】本题考查利用正余弦定理解决实际应用问题，是中档题.16．【分析】由题中定义得出作差变形后得出对任意的恒成立结合得出由此可求得实数的取值范围【详解】因为函数是距增函数所以恒成立由所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数新定义考查二次不等式恒成 解析：(1,)+∞【分析】由题中定义得出()()f x a f x +>，作差变形后得出22313304ax a x a a ++->对任意的x ∈R 恒成立，结合0a >得出∆<0，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x ax a x a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为函数()y f x =是“a 距”增函数，所以22313304ax a x a a ++->恒成立， 由0a >，所以2210912014a a a ⎛⎫∆<⇒--<⇒> ⎪⎝⎭． 因此，实数a 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.17．【分析】由题意知在上恒成立从而结合一元二次不等式恒成立问题可列出关于的不等式进而可求其取值范围【详解】解：由题意知知在上恒成立则只需解得故答案为:【点睛】本题考查了不等式恒成立问题考查了运用导数探究解析：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于m 的不等式，进而可求其取值范围. 【详解】解：由题意知，知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，则只需22430m ∆=-⨯⨯≤，解得13m ≥. 故答案为:1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调性.一般地，由增函数可得导数不小于零，由减函数可得导数不大于零.对于一元二次不等式在R 上恒成立问题，如若()200ax bx c a ++≥≠在R 上恒成立，可得00a >⎧⎨∆≤⎩ ；若()200ax bx c a ++≤≠在R 上恒成立，可得0a <⎧⎨∆≤⎩. 18．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考 解析：4【分析】根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x+-的最值，进而即可得到结论. 【详解】由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=， 所以，()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭， 当且仅当11x xx x -=-，即12x =时取等号， 所以，4m ≤，即m 的最大值为4.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.19．32【分析】利用数列的递推公式推导出由此能求出数列的前6项和【详解】∵数列中∴解得∴数列的前6项和为：故答案为：32【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法考查递推公式递推思想等基础知识考查运算求解解析：32 【分析】利用数列的递推公式推导出11a =，由此能求出数列{}n a 的前6项和. 【详解】∵数列{}n a 中，22a =，21n n n a a a ++=+，834a =， ∴32112a a a a =+=+，43211224a a a a a =+=++=+，543162a a a a =+=+，6541103a a a a =+=+， 7651165a a a a =+=+，876126834a a a a =+=+=，解得11a =，∴数列{}n a 的前6项和为：()()()()61111112246210324832S a a a a a a =+++++++++=+=，故答案为：32. 【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法，考查递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.20．【分析】首先利用与的关系式得到求得公比首项和第二项再通过赋值求的值【详解】当时两式相减得即并且数列是等比数列所以当时解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列和的关系式求数列的通项解析：34-【分析】首先利用1n a +与n S 的关系式，得到14n n a a +=，求得公比，首项和第二项，再通过赋值2n =求λ的值. 【详解】当2n ≥时，1133n nnn a S a S λλ+-+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()1133n n n n n a a S S a +--=-=，即14n n a a +=，并且数列{}n a 是等比数列， 所以4q =，312a =，2133,4a a ∴==，当2n =时，()321233a S a a λ+==+， 解得34λ=-. 故答案为：34- 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列n a 和n S 的关系式，求数列的通项.三、解答题21．（1）减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞；（2）18. 【分析】（1）根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解；（2）先求得函数()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭，利用基本不等式，求得函数()g x 的值域为116,)[a -+∞，根据题意，得到2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数233()1b f x b+=-有意义，则满足2430x x -+≥，解得1x ≤或3x ≥， 即定义域为{|1x x ≤或3}x ≥， 又由函数243y x x =-+在减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 的减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞.（2）由函数233()1b f x b+=--，可得()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭， 211111()||||20422016||2||2g x x x x a x a a ⎛⎫⎛⎫=+++-≥+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1||||x x =时，即1x =±，等号成立， 所以()g x 的值域为116,)[a-+∞，因为()f x 是()g x 的“子函数，所以2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞，所以233116b a b a+--≥-，即13316a b a b +++≤，又13(3)()103()b aa b a b a b++=++，221331316(3)6422a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫++≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，当且仅当1338a b a b+=+=时取“=”，即72a -=，32b +=或72a +=，32b -=时，等号成立， 所以103()64b a a b ++≤，即2218a b b aab a b+=+≤所以22a b ab +的最大值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．（1）2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6104万美元. 【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式； （2）分段求出函数的最大值，比较可得结论． 【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-； 当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪∴=⎨--+>⎪⎩；（2）当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；当40x >时，400004000016736027360W x x x=--+-， 当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W == 61045760>32x ∴=时，W 的最大值为6104万美元． 【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题. 23．（1）3π；（2. 【分析】（1）由2b cos B ＝a cos C +c cos A ，利用正弦定理与两角和的正弦公式算出2sin B cos B ＝sin （A +C ），再根据诱导公式化简可得cos B 12=，结合B ∈（0，π）可得角B 的大小. （2）由余弦定理求得cos C 的值，可得C 的值，利用三角形内角和公式求得A 的值，再利用正弦定理求得AB 的值，从而求得S △ABC 12=⋅AB ⋅AC ⋅sin A 的值. 【详解】（1）∵2b cos B ＝a cos C +c cos A ，∴根据正弦定理，可得2sin B cos B ＝sin A cos C +sin C cos A ， 即2sin B cos B ＝sin （A +C ）.又∵△ABC 中，sin （A +C ）＝sin （180°﹣B ）＝sin B ＞0 ∴2sin B cos B ＝sin B ，两边约去sin B 得2cos B ＝1，即cos B 12=， ∵B ∈（0，π）， ∴B 3π=.（2）∵在△ACD中，AD ＝2，且AC =CD =1，∴由余弦定理可得：cosC ==， ∴C 4π=，∴A ＝π﹣B ﹣C 512π=， 由sin sin AC AB B C=sin sin 34ABπ=，∴AB ＝2， ∴S △ABC 12= ⋅AB ⋅AC ⋅sin A 12= ⋅2⋅⋅sin （46ππ+）=⋅（sin4πcos 6π+cos 4πsin 6π）=⋅= 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 24．（1）23π；（2）1. 【分析】(1)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小； (2)由题意结合(1)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值. 【详解】（1）由己知，根据正弦定理得()()2222a b c b c b c =+++即222a b c bc =++由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-故1cos 2A =-，所以23A π=. （2）由（1）得：1sin sin sin sin sin sin 323B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当6B π=时，sin sin B C +取得最大值1.【点睛】方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）11a =，12n n a ；（2）证明见解析．【分析】（1）已知等式中令1n =，可求得1a ，在232n n n T S S =+中用1n +代n ，然后两式相减，得出n a 的递推关系，从而可得其通项公式； （2）4n ≥时，由111212(2)2n n n ---=-11528n -≥⋅，用放缩法求出23n b b b +++后可证得不等式成立． 【详解】（1）在232n n n T S S =+中令1n =得2211132a a a =+，因为10a >，所以11a =， 又由232n n n T S S =+①得211132n n n T S S +++=+②②－①得211113()()2n n n n n n a S S S S a ++++=-++，即211113()2n n n n n a a S S a ++++=++，因为10n a +>，所以1132n n n a S S ++=++③，于是有132(2)n n n a S S n -=++≥④， ③－④得1133n n n n a a a a ++-=+，所以2n ≥时，12n na a +=， 又由222232T S S =+，即222223(1)(1)2(1)a a a +=+++，整理得22220a a -=，又20a >，所以22a =，所以212a a =． 所以12n na a +=，*n N ∈． 所以{}n a 通项公式为12n n a ；（2）由（1）111121n n n b a +==--， 4n ≥时，111112121222(2)22n nn n n n ------=⋅-=-11528n -≥⋅，所以118121152n n -≤⋅-， 所以23341118111()3715222n n b b b -+++<+++++ 11081110210313()2115422115212121n -=+-<+<+=． 【点睛】 关键点点睛：本题考查由n S 的关系式求通项公式，考查数列不等式的证明．已知n S 的关系一般可用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推式，然后求解．与数列和有关的不等式的证明，在和不能直接求出时，可利用放缩法适当放缩后使得和能求出，从而证明不等式成立． 26．答案见解析. 【分析】选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可求得数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而可求得n T ；选②，设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可求得数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而利用分组求和法可求得n T ； 选③，设等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式求出d 的值，可求得1a 的值，求出数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而利用分组求和法可求得n T . 【详解】解:选①，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=，由1a 、2a 、5a 成等比数列得()()21114a a d a d +=+，可得212d a d =，所以，121372a d d a d +=⎧⎨=⎩，解得170a d =⎧⎨=⎩或112a d =⎧⎨=⎩，若17a =，0d =，则7n a =，23n b =，23n T n =；若11a =，2d =，则()1121n a a n d n =+-=-，212nn b n =-+，()()()()23123252212nn T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦()()1221212122212nn n n n +-+-=+=+--；选②，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=， 由525S =得1545252a d ⨯+=，即125a d +=， 联立以上两式可得11a =，2d =，所以，()1121n a a n d n =+-=-，212nn b n =-+，()()()()23123252212nn T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦()()1221212122212nn n n n +-+-=+=+--；选③，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=，()112n n n d S na -=+，()112n n d S a n -∴=+，()21122n n d S a n ++∴=++， 由222n nS S n n+-=+得2d =，则11a =， 所以，()1121n a a n d n =+-=-，212nn b n =-+，()()()()23123252212n n T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦ ()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦ ()()1221212122212n n n n n +-+-=+=+--.【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。
苏教版高中数学必修五高一下学期期末复习试卷答案2.docx
高一下学期期末练习试卷答案CDDBD,BBDAB7,3x <-,或1x >;12n -, 060;16 ; ①③⑤17.解：cos CA CB ab C ⋅=，又由余弦定理得2222()(2cos )c a b a b ab C --=+-22(2)2(1cos )a b ab ab C -+-=-．cos 2(1cos )ab C ab C ∴=-，cos 2(1cos )C C ∴=-，得2c o s 3C =，5sin 3C ∴=．又2a b +=，∴21555sin ()26626a b S ab C ab +==≤⋅=． 当且仅当1a b ==时，等号成立．∴max 56S =． 18、 E 为中点; EOC ∠为二面角的平面角, tan 2θ=19、解：（Ⅰ）因为从第2个正方形A 1B 1C 1D 1起，每一个正方形的面积均为上一个正方形面积的21，所以数列}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列。
----------------------------3分 故n a ＝2×（21）n －1＝（21）n －2； ----------------------------6分 （Ⅱ）∵n b ＝12+⋅n n ，n a ＝（21）n －2； ∴n n n b a c =＝（21）n －2（12+⋅n n ）＝4n ＋（21）n －2 ---------------------------7分 ∴n S ＝12n c c c +++＝[4×1＋（21）－1] ＋[ 4×2 ＋（21）0] ＋… ＋[4n ＋（21）n －2] ＝4（1＋2 ＋… ＋n ）＋[（21）－1＋（21）0＋… ＋（21）n －2] -------------------9分 ＝2n （n ＋1）＋1111()()22112n ---- ------------------------------------13分 注：两个和各2分＝2n （n ＋1）＋4－（21）n －2 ------------------------------------------------------------14分 20.解：（1）当*,800N x x ∈<<时，当80≥x ，*N x ∈时，*),80(*),800()10000(12002504031)(2N x x N x x x x x x x L ∈≥∈<<⎪⎩⎪⎨⎧+--+-=∴ （2）当*,800N x x ∈<<时，950)60(31)(2+--=x x L ∴当60=x 时，)(x L 取得最大值950)60(=L当,,80N x x ∈≥,100020012001000021200)10000(1200)(=-=⋅-≤+-=x x x x x L ∴当xx 10000=，即100=x 时，)(x L 取得最大值.9501000)100(>=L 综上所述，当100=x 时)(x L 取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.21、本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥．（Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++，① 在①式两端同乘1r +，得 12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++ ②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-1[(1)1](1)n n n d r r a r a r =+--++-． 即1122(1)n n a r d a r d d T r n r r r++=+--． 25040312501031100001000500)(22-+-=---⨯=x x x x x x L )10000(120025014501000051100001000500)(x x x x x x L +-=-+--⨯=如果记12(1)n n a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--， 则n n n T A B =+．其中{}n A 是以12(1)a r d r r ++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，d r-为公差的等差数列．。
苏教版数学高二-苏教版必修5练习 章末知识整合2
章末知识整合[整合·网络构建]专题1 求数列的通项公式 一、观察法[典例1] 写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)－1，12，－13，14；(2)112，245，3910，41617；(3)－3，7，－15，31，…； (4)2，6，2，6，….分析：观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，每一项分子与分母的关系，前后项间的关系归纳通项．解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：a n ＝(－1)n ·1n .(2)112＝1＋112＋1，245＝2＋2222＋1， 3910＝3＋3232＋1， 41617＝4＋4242＋1， …，故a n ＝n ＋n 2n 2＋1(n ∈N *)．(3)正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，所以a n ＝(－1)n ·(2n ＋1－1)．(4)这样的摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．a n ＝4＋(－1)n ·2或a n ＝⎩⎨⎧2 （n 是奇数），6 （n 是偶数）.归纳拓展(1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键． (2)由数列的前n 项归纳出的通项公式不一定唯一．如数列5，0，－5，0，5，…的通项公式可为5cos （n －1）π2(n ∈N *)，也可为a n ＝5sin n π2(n ∈N *)．(3)已知数列的前n 项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列．如{(－1)n}，{n }，{2n －1}，{2n }，{2n －1}，{n 2}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式．[变式训练]1．写出下列数列的一个通项公式． (1)1，－14，19，－116，…；(2)2，6，23，25，…； (3)1，3，6，10，15，…； (4)1，－4，7，－10，13，…. 解：(1)a n ＝(－1)n ＋11n2(n ∈N *)．(2)原数列可写成2， 6，12，20，…， 易得a n ＝n （n ＋1）(n ∈N *)．(3)因为3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，15＝1＋2＋3＋4＋5，…，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *)．(4)因为1，4，7，10，13，…组成1为首项，3为公差的等差数列，易得a n ＝(－1)n ＋1(3n －2)(n ∈N *)．二、利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n[典例2] 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N ＋)，求a n 的通项公式．分析：利用a n ＝⎩⎨⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），将式中的S n 去掉求解．解：当n ＝1时，a 1＝5S 1－3＝5a 1－3， 得：a 1＝34，当n ≥2时，由已知a n ＝5S n －3， 得：a n －1＝5S n －1－3，两式作差得a n －a n －1＝5(S n －S n －1)＝5a n ， 所以a n ＝－14a n －1.所以数列{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－14的等比数列．所以a n ＝a 1·q n －1＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n －1.归纳拓展已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是a n＝S n －S n －1(n ≥2)．这里常常因为忽略了n ≥2的条件而出错，即由a n ＝S n －S n －1求得a n 时的n 是从2开始的自然数，否则会出现当n ＝1时S n －1＝S 0，而与前n 项和定义矛盾．可见由a n ＝S n －S n －1所确定的a n ，当n ＝1时的a 1与S 1相等时，a n 才是通项公式，否则要用分段函数表示为a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[变式训练]2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，而T 1＝S 1＝a 1， 所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1.所以S n ＝2S n －1＋2n －1，① S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1.② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，亦即a n ＋1＋2a n ＋2＝2.a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，a 2＋2a 1＋2＝2，所以{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3·2n －1，故a n ＝3·2n －1－2(n ∈N *)． 三、叠加法[典例3] 已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n －n . (1)求a 2，a 3；(2)求证：a n ＝2n－n （n －1）2－1.分析：由数列{a n }的递推公式，令n ＝1，2逐项求出a 2，a 3；由递推公式的特点，可采用叠加法求通项．(1)解：因为a 1＝1， 所以a 2＝a 1＋2－1＝2， a 3＝a 2＋22－2＝4.(2)证明：因为a n ＋1－a n ＝2n －n ，所以a 2－a 1＝21－1，a 3－a 2＝22－2，a 4－a 3＝23－3，…， 当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1－(n －1)． 所以n ≥2时，将以上(n －1)个式子相加，得 a n －a 1＝(21＋22＋…＋2n －1)－[1＋2＋…＋(n －1)]， 所以a n ＝2n－n （n －1）2－1.而n ＝1时，a 1＝1也适合上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n－n （n －1）2－1.归纳拓展(1)对n ＝1时，检验a 1 ＝1是否满足a n ＝3n －12是必要的，否则就要写成分段函数的形式．(2)如果给出数列{a n }的递推公式为a n ＝a n －1＋f (n )型，并且{f (n )}容易求和，这时可采用叠加法．对n ＝1检验是必要的，否则就要写成分段函数的形式，这里说的f (n )易求和，指的是f (n )的形式为等差数列前n 项和、等比数列前n 项和，或是常见的特殊公式，如12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6等．[变式训练]3．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n 2，且a 1＝1，求{a n }的通项公式． 解：因为a n ＋1＝a n ＋n 2，所以a n ＋1－a n ＝n 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝12，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝（n －1）2.叠加即得a n －a 1＝12＋22＋…＋(n －1)2＝（n －1）n （2n －1）6，所以a n ＝16n (n －1)(2n －1)＋1(n ∈N *)．四、叠乘法[典例4] 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋2)a n ，求a n . 分析：数列{a n }中的递推公式可化为a n ＋1a n ＝n ＋2n 可采用叠乘法求通项．解：因为a n ＋1a n ＝n ＋2n，所以n ≥2时，a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝31×42×53×64×75×…×n n －2·n ＋1n －1＝n （n ＋1）2，即a n a 1＝n （n ＋1）2. 又因为a 1＝1， 所以a n ＝n （n ＋1）2.而a 1＝1也适合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝12n (n ＋1)．归纳拓展如果数列{a n }的递推公式为a n ＋1a n＝f (n )型时，并且{f (n )}容易求前n项的积，这时可采用叠乘法．叠乘的目的是使分子、分母相抵消．[变式训练]4．在数列{a n }中，已知a 1＝14，a n ＋1＝2n a n ，求a n .解：由a n ＋1＝2na n 得a n ＋1a n＝2n ，所以a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1.叠乘得a n a 1＝2×22× (2)－1＝2n （n －1）2，所以a n ＝2n （n －1）2·14＝2n 2－n －42(n ∈N *)．五、构造转化法[典例5] 已知{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝12a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n .分析：两边同除以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，可转化为b n ＋1＝b n ＋t 的形式，即{b n }为等差数列．解：在a n ＋1＝12a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1的两边同乘以2n ＋1，得2n ＋1a n ＋1＝2n a n＋1，令b n ＝2n a n ，则b n ＋1＝b n ＋1.于是{b n }是以53为首项，以1为公差的等差数列．则b n ＝53＋(n －1)·1，即2na n ＝n ＋23，故a n ＝n ＋232n .归纳拓展根据已知条件构造一个与{a n }有关的新的数列，通过新数列通项公式的求解求得{a n }的通项公式．新的数列往往是等差数列或是等比数列．例如形如a n ＝pa n －1＋q (p ，q 为常数)的形式，往往变为a n －λ＝p (a n －1－λ)，构成等比数列，求a n －λ通项公式，再求a n .[变式训练]5．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n －2，求a n . 解：由a n ＋1＝3a n －2，设a n ＋1＋k ＝3(a n ＋k )，其中k 是待定系数，即a n ＋1＝3a n ＋2k 与条件进行对比， 得2k ＝－2，所以k ＝－1. 故a n ＋1－1＝3(a n －1)，所以{a n －1}是2－1＝1为首项，公比为3的等比数列． 所以a n －1＝1×3n －1. 所以a n ＝3n －1＋1(n ∈N *)． 专题2 数列的求和 一、公式法[典例6] (1)求1＋4＋7＋…＋(3n ＋1)的值；(2)若数列{x n }满足log a x n ＋1＝1＋log a x n (n ∈N *，a ＞0，且a ≠1)且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，求x 101＋x 102＋…＋x 200的值．分析：(1)中1，4，7，…，3n ＋1是个等差数列，但容易这样求解：S n ＝n [1＋（3n ＋1）]2＝3n 22＋n .这是错误的，错在没搞清此数列有多少项．(2)可以作个变换log a x n ＋1－log a x n ＝log a x n ＋1x n＝1，推导出{x n }是等比数列再求解．解：(1)因为数列中3×0＋1＝1，所以第1项1是n ＝0时得到的．所以此数列是首项为1，末项为3n ＋1，项数为n ＋1的等差数列．所以S n ＝（n ＋1）[1＋（3n ＋1）]2＝3n 22＋5n 2＋1. (2)由log a x n ＋1＝1＋log a x n 得log a x n ＋1－log a x n ＝1，所以log a x n ＋1x n＝1. 所以x n ＋1x n＝a . 所以数列{x n }是公比为a 的等比数列．由等比数列的性质得：x 101＋x 102＋…＋x 200＝(x 1＋x 2＋…＋x 100)a 100＝100×a 100.归纳拓展数列求和常用的公式有：等差数列：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d .等比数列：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a nq 1－q ，q ≠1. ∑k ＝1nk ＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)． ∑k ＝1n k 2＝12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． [变式训练]6．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1，1，2，…，求{c n }的前10项之和．解：设{a n }的首项为a ，公比为q ，{b n }首项为b ，公差为d ，b 1＝0，由c 1＝a 1＋b 1＝1，知a 1＝1.c 2＝a 2＋b 2＝q ＋d ＝1，c 3＝a 3＋b 3＝q 2＋2d ＝2，解得q ＝2，d ＝－1，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)，b n ＝1－n (n ∈N *)．所以c n ＝2n －1＋(1－n )(n ∈N *)．所以{c n }前10项和为a 1＋a 2＋…＋a 10＋(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝1－2101－2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤10×0＋10×92×（－1）＝978. 二、分组求和法[典例7] 求数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n 为奇数），2n （n 为偶数）的前2n 项和， 分析：由数列{a n }的通项可知，数列{a n }中的奇数项构成一个等差数列，偶数项构成一个等比数列，故可将所有奇数项分成一组，将所有的偶数项分成一组求和．解：因为2n 为偶数所以奇数项与偶数项各有n 项，所以S 2n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(22＋24＋26＋…＋22n )＝n [1＋（2n －1）]2＋4（1－4n ）1－4＝n 2＋43(4n －1)． 归纳拓展将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用的是化归的数学思想，通项变形是这种方法的关键．[变式训练]7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)，求{a n }的前n 项和S n .解：a n ＝n (n ＋1)＝n ＋n 2(n ∈N *)，所以S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋22＋32＋…＋n 2)＝n （n ＋1）2＋n （n ＋1）（2n ＋1）6＝n （n ＋1）（n ＋2）3. 三、裂项相消法[典例8] 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2. 分析：由于通项a n ＝1n 2－1＝1（n ＋1）（n －1）＝12·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1n －1－1n ＋1(n ≥2)，所以采用裂项相消法． 解：因为1n 2－1＝1（n －1）（n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＋1， 所以原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋ ⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1（n －1）－1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝34－2n ＋12n （n ＋1）. 归纳拓展裂项相消求和就是将数列的每一项拆成二项或多项．使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的．常见的拆项公式有：(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1； (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1； (3)1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）； (4)1a ＋b ＝1a －b(a －b )； (5)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)．[变式训练] 8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1n 2（n ＋1）2，求{a n }的前n 项和S n .解：因为2n ＋1n 2（n ＋1）2＝（n ＋1）2－n 2n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－142＋…＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1n 2－1（n ＋1）2＝1－1（n ＋1）2＝n （n ＋2）（n ＋1）2. 四、错位相减法[典例9] 求数列{n ·22n －1}的前n 项和．分析：该数列为非等差非等比数列，其通项a n ＝n ·22n －1可看成一个等差数b n ＝n ，与一个等比数列C n ＝22n －1相应项的积，所以本题可用错位相减法求解．解：S n ＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]． 归纳拓展若数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该新数列前n 项和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以公比，并向后错一项与{a n b n }的同项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种求和的方法称为错位相减法．[变式训练]9．求和：S n ＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n －2)·2n .解：因为S n ＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋[3(n －1)－2]·2n －1＋(3n －2)·2n ，①2S n ＝1×22＋4×23＋…＋[3(n －1)－2]·2n ＋(3n －2)·2n ＋1，②所以①－②得－S n＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3·2n －(3n －2)×2n ＋1＝3(2＋22＋…＋2n )－(3n －2)·2n ＋1－4＝3(2n ＋1－2)－(3n －2)·2n ＋1－4＝3×2n ＋1－6－3n ·2n ＋1＋2n ＋2－4＝2n ＋2＋3(1－n )·2n ＋1－10.所以S n ＝3(n －1)·2n ＋1－2n ＋2＋10.五、倒序相加法求和[典例10] 已知函数对一切x ∈R ，f (x )＋f (1－x )＝1.求f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)． 解：因为S ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －2n ＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －1n ＋f (1)，①将①式右边反序得S ＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f (0)，② ①＋②，得2S ＝n ＋1，所以S ＝n ＋12. 归纳拓展倒序相加法是推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排序(反序)，再把它与原数列相加，这样就得数列{a k ＋a n ＋1－k }(k ＝1，2，…，n )的前n 项和，若该数列为等差(或等比)数列，则{a n }可用倒序相加法求和．[变式训练]10．设f (x )＝x 21＋x 2，求和S ＝f (2 014)＋f (2 013)＋f (2 012)＋…＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014. 解：因为f (x )＝x 21＋x 2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝11＋x2. 所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1. S ＝f (2 014)＋f (2 013)＋…＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014， 又S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)，两式相加得2S ＝2 014＋2 013，所以S ＝4 0272. 专题3 数列应用题一、与等差数列有关的实际应用题[典例11] 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min 可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？分析：由于本题每隔相等的时间关闭一个水龙头，使每个水龙头放水的时间构成等差数列．故可利用等差数列，前n 项和的知识求解．解：设共有n 个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x 1，x 2，…，x n ，由已知可知x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1，所以数列{x n }成等差数列．每个水龙头1 min 放水124n(这里不妨设水池的容积为1)， 所以124n ·(x 1＋x 2＋…＋x n )＝1，即S n ＝24n . 所以n （x 1＋x n ）2＝24n .所以x 1＋x n ＝48. 又因为x n ＝5x 1，所以6x 1＝48.所以x 1＝8，x n ＝40.故最后关闭的水龙头放水40 min.归纳拓展建立数学模型的一般步骤：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题；②弄清题目中的主要已知事项；③明确所求的结论是什么．(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，根据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系式或方程或不等式)．建立数列模型时，应明确是否是等差数列模型，是求a n ，还是求S n ，n 是多少．[变式训练]11．有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存，到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取，它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎢⎡⎦⎥⎤存期＋12存期×（存期＋1）×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元，月利率为5.1‰，则到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月初应存入多少钱？解：(1)设每期存入金额为A ，每期利率为p ，存的期数为n ，则各期利率之和为Ap ＋2Ap ＋3Ap ＋…＋nAp ＝12n (n ＋1)Ap ，连同本金可得本利和nA ＋12n (n ＋1)Ap ＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋12n （n ＋1）p . (2)当A ＝100，p ＝5.1‰，n ＝12时，本利和＝100×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形，得A ＝本利和n ＋12n （n ＋1）p ＝2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)，即每月初应存入161.32元．二、与等差、等比数列有关的综合应用题[典例12] 某工厂三年的生产计划中，从第二年起，每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划的年产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值．分析：将实际问题转化为数列，弄清哪部分为等差数列或等比数列，结合等差、等比数列性质求解．解：由题意得原计划三年中每年的产值组成等差数列，设为a －d，a，a＋d(d＞0)，则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝300，解得a＝100.又由题意得(a－d)＋10，a＋10，(a＋d)＋11组成等比数列，所以(a＋10)2＝[(a－d)＋10][(a＋d)＋11]．将a＝100代入上式，得1102＝(110－d)(111＋d)，所以d2＋d－110＝0，解得d＝10，或d＝－11(舍)．所以原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万元、110万元．归纳拓展读懂题意，将实际问题转化为等差或等比数列问题，找准首项，公差(公比)，弄清求什么．混合型应用题常有两种解法：一是归纳法，归纳出前n次(项)，寻找规律，再写出前n次(项)的通项(前n项和)，此时要注意下标或指数的规律．二是逆推法，寻找前后两项的逆推关系，再从逆推关系求a n，S n，此时应注意第(n－1)次变到第n次的变化过程．[变式训练]12．某地房价从2004年的1 000元/m2增加到十年后2014年的5 000元/m2，问平均每年增长百分之几？[注意：当x∈(0，0.2)时，ln(x＋1)≈x，取lg 2＝0.3，ln 10＝2.3]解：设年增长率为x，则每年的房价依次排列组成首项为1 000，公比为(1＋x)的等比数列．由题意可得1 000×(1＋x)10＝5 000，即(1＋x)10＝5.取自然对数有10ln(1＋x)＝ln 5＝ln 10×lg 5＝2.3×(1－lg 2)＝1.61，再利用ln(x＋1)≈x，可得x≈ln 5≈0.16＝16%.10故每年约增长16%.。
2019-2020学年高中数学苏教版必修5同步训练：第二章 章末检测 Word版含答案
第二章 章末检测1、等比数列,33,66x x x ++,…的第四项等于( ) A.-24B.0C.12D.242、现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9B.10C.19D.293、设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列{}12n a a 为递减数列,则( ) A. 0d < B. 0d > C. 10a d > D. 10a d <4、某工厂月生产总值的平均增长率为q ,则该工厂的年平均增长率为( ) A. q B. 12q － C. ()q +121 D. ()1q +-1215、各项都是正数的等比数列{}n a 中,公比1q ≠,且356,,a a a 成等差数列,则3546a a a a ++等于( ) A.B.C.D.6、将全体正整数排成一个三角数阵(如图所示),根据图中规律,数阵中第n 行(3n ≥)的从左到右的第3个数是( )A.()12n n - B.()12n n + C.()132n n -+ D.()132n n ++ 7、若{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项和为( )A.12 B. 512C. 13D. 7128、等差数列{}n a 的首项为70,公差为9-,则这个数列中绝对值最小的一项为( ) A. 8a B. 9aC. 10aD. 11a9、等差数列{}n a 中, 15a =-,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项的平均值是4,则抽取的是( ) A. 8a B. 9a C. 10a D. 11a10、设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列, n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A. 2 B. 2-C.12 D. 12-11、已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,若237,,a a a 成等比数列,且1221a a +=,则1a = , d = .12、数列{}n a 是等差数列,若11a +,33a +,55a +构成公比为q 的等比数列,则q =__________.13、数列{}n a 中, 12a =,12n n a a +=,n S 为{}n a 的前n 项和,若126n S =,则n =__________.14、在数列{}n a 和{}n b 中, n b 是n a 与1n a +的等差中项, 12a =,且对任意*n N ∈都有130n n a a +-=,则数列{}n b 的通项公式n b =________.15、已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且1212112a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,34534511164a a a a a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.1.求{}n a 的通项公式.2.设21n n n b a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求数列{}n b 的前n 项和n T .答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：由题意知()()23366x x x +=+,即2430x x ++=,解得3x =-或1x =- (舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.2答案及解析： 答案：B解析：设钢管被放成n 层,则钢管数为()12n n n S +=,当19n =时,钢管数为190,当20n =时,钢管数为210200>,故知只能放19层,剩余钢管为10.3答案及解析： 答案：D 解析：设12na a nb =,则1112n a a n b ++=,由于{}12na a 是递减数列,则1n n b b +>,即11122nn a a a a +>.∵2xy =是单调增函数, ∴111n n a a a a +>,∴()110n n a a a a d -+>, ∴()10n n a a a d -->, 即()10a d ->, ∴10a d <4答案及解析： 答案：D 解析：设第一年第1个月的生产总值为1,公比为()1q +,该厂一年的生产总值为()()()21111111S q q q =+++++⋯++.则第2年第1个月的生产总值为()121q +,第2年全年生产总值()()()()12132312211111S q q q q S =++++⋯++=+,所以该厂生产总值的年平均增长率为()2121112111S S S q S S =-=-+-.5答案及解析： 答案：D 解析：由5362a a a =+,得4251112a q a q a q =+,即2323221,1q q q q q =+-=-,因为1q ≠,所以210q q --=,解得q =, 又0n a >,所以12q +=. 而()()221353246111121a q q a a a a q a q q ++===++6答案及解析： 答案：C 解析：由第一行起每行中的第一个数构成一个数列{}n a ,由表格可知11n n a a n --=-,由叠加法可得()112n n n a -=+,故第n 行第3个数为()132n n -+.7答案及解析： 答案：B 解析：()()21113212n n n b a n n n =++==++,用裂项法可求{}n b 的前10项和为512.8答案及解析： 答案：B 解析：由已知()()7019799n a n n ⋅=+--=-. 令0n a =得9,79n =所以9n =时9,22a =-=, 即绝对值最小的项为9a .9答案及解析： 答案：D解析：试题分析:设抽取的是第n 项. ∵111155,a 40n S S =-=∴15n a =又∵11611,a 55S ==,解得65a =由15a =-61261a a d -==-令1552(1)n =-+-∴11n = 故答案为:D10答案及解析： 答案：D 解析：因为等差数列{}n a 的前n 项和为()112n n n S na d -=+,所以124,,S S S 分别为111,21,46a a a --.因为124,,S S S 成等比数列,所以()()21112146a a a -=⋅-.解得11.2a =-11答案及解析： 答案：23, 1?- 解析：∵237,,a a a 成等比数列,∴2327a a a =⋅,即()()()211126a d a d a d +=++,化简得132d a =-. 又121231a a a d +=+=,∴1312a =,即12,13a d ==-.12答案及解析： 答案：1解析：因为1351,3,5a a a +++成等比,所以()()111141a a d +⋅+++⎡⎤⎣⎦()21121a d =+++⎡⎤⎣⎦,令11a x +=,1d y +=,则()()242x x y x y +=+,即222444x xy x xy y +=++,所以0y =,即10d +=,所以1q =.13答案及解析： 答案：6解析：∵12a =,12n n a a +=∴数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列∴2(12)12612n n S -==- ∴264n = ∴6n =考点:等比数列定义与前n 项和公式14答案及解析： 答案：43n解析：由13n n a a +=,12a =得1132n n a +=⨯,又因为12n n n a b a ++=,所以111122114332333n n n n n nb --⨯+=+==⨯15答案及解析：答案：1.设公比为q ,则11n n a a q -=.由已知,得111123411123411111+2{11164a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭,化简,得212612{64a q a q ==.又10a >,故2q =,11a =,所以12n n a -=.2.由1问知222112n n n n n b a a a a ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ 111424n n --=++. 因此()11111441244n n n T n --⎛⎫=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭11414214114n n n --=++-- ()1144213n n n -=-++. 解析：1.本题考查了数列通项、前n 项和及方程与方程组的基础知识.设出公比根据条件列出关于1a 与q 的方程,求得1a 与q ,可求得数列的通项公式;2.由1中求得数列通项公式,可求出n b 的通项公式,由其通项公式可知其和可分成两个等比数列,分别求和即可求得.【点评】本题在求数列{}n b 的前n 项和过程中运用了分组求和,这是一种很重要的数学方法,在平时的解题中时常用到,应熟练掌握.。
【苏教版】2021年高中数学必修5配套练习+章节检测试卷+章节知识点汇总
(苏教版)高中数学必修5配套练习+章节检测试卷+章节知识点汇总第1章解三角形1.1 正弦定理A级根底稳固一、选择题1．在△ABC 中, 边长BC ＝10, ∠A ＝30°, ∠B ＝45°, 那么边长AC 等于( )A ．202 B.1063C ．10 2 D.563解析: 由正弦定理得10sin 30°＝ACsin 45°, 解之得AC ＝10 2.答案: C2．在△ABC 中, ∠A ＝60°, a ＝43, b ＝42, 那么∠B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 解析: 因为sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22,所以∠B ＝45°或135°.但当∠B ＝135°时, 不符合题意, 所以∠B ＝45°. 答案: C3．假设a sin A ＝b cos B ＝ccos C , 那么△ABC 为( )A ．等边三角形B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形解析: 由a sin A ＝b sin B ＝csin C, 故sin B ＝cos B ,sin C＝cos C,所以B＝C＝45°.答案: C4．在△ABC中, 假设∠A＝30°, ∠B＝60°, 那么a∶b∶c＝()A．1∶3∶2 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．1∶2∶2解析: 由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶3∶2.答案: A5．在△ABC中, 假设sin A>sin B, 那么A与B的大小关系为()A．A>B B．A<BC．A≥B D．A、B的大小关系不能确定解析: sin A＞sin B⇔2R sin A＞2R sin B⇔a＞b⇔A＞B(大角对大边)．答案: A二、填空题6．△ABC中, AB＝6, ∠A＝30°, ∠B＝120°, 那么△ABC的面积为________．解析: 由正弦定理得ABsin C＝BCsin A, 解得BC＝6,所以S△ABC＝12AB·BC·sin B＝12×6×6×32＝9 3.答案: 9 37．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.A＝π6, a＝1, b＝3, 那么B＝________．解析: 由正弦定理a sin A ＝bsin B .把A ＝π6, a ＝1,b ＝3代入, 解得sin B ＝32.因为b >a , 所以B >A , 结合题意可知B ＝π3或2π3.答案: π3或2π38．在△ABC 中, c ＋b ＝12, A ＝60°, B ＝30°, 那么b ＝________, c ＝________．解析: 由正弦定理知sin B b ＝sin C c , 即b ＝12c , 又b ＋c ＝12, 解得b ＝4, c ＝8.答案: 4 8 三、解答题9．在△ABC 中, a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B , 判断△ABC 的形状．解: 因为a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B , 所以a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得: a ·a 2R ＝b ·b2R ,所以a 2＝b 2, 所以a ＝b . 所以△ABC 为等腰三角形．10．在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且A ＋C ＝2B . (1)求cos B 的值;(2)假设b 2＝ac , 求sin A sin C 的值．解析: (1)由2B ＝A ＋C 和A ＋B ＋C ＝180°, 得∠B ＝60°,所以cos B ＝12.(2)由b 2＝ac 及正弦定理得sin A sin C ＝sin 2B ＝sin 260°＝34.B 级 能力提升一、选择题11．在△ABC 中, a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a , 那么ba ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析: 因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .由正弦定理可得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A , 即sin B ＝2sin A , 所以b a ＝sin Bsin A ＝ 2.答案: D12．在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c , 假设3a ＝2b , 那么2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B.13 C ．1D.72解析: 由正弦定理得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1, 又3a ＝2b , 所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×94－1＝72.所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×sin 2B sin 2A －1＝2×94－1＝92－1＝72.答案: D 二、填空题13．在△ABC 中, 假设a ＝3, b ＝3, A ＝π3, 那么C 的大小为________．解析: 在△ABC 中, 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ,即sin B ＝b sin Aa＝3×323＝12. 又因为a >b , 所以B ＝π6.所以C ＝π－A －B ＝π2.答案: π214．在△ABC 中, a ＝1, b ＝3, A ＋C ＝2B , 那么sin C ＝________．解析: 在△ABC 中, A ＋B ＋C ＝π, 又A ＋C ＝2B , 故B ＝π3, 由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12,又a ＜b , 因此A ＝π6, 从而C ＝π2, 即sin C ＝1.答案: 115．在△ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c .假设a ＝2, b ＝2, sin B ＋cos B ＝2, 那么角A 的大小为________．解析: 因为sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1, 解得B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin A＝12, 因为a ＜b , 所以0＜A ＜B ＝π4.所以A ＝π6.答案: π6三、解答题16．在△ABC中, a＝3, b＝26, B＝2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值．解: (1)因为a＝3, b＝26, B＝2A,由正弦定理得3sin A＝26sin2A.所以2sin A cos Asin A＝263.故cos A＝6 3.(2)由(1)知cos A＝63, 所以sin A＝1－cos2A＝33.又因为∠B＝2∠A, 所以cos B＝2cos2A－1＝1 3.所以sin B＝1－cos2B＝22 3.在△ABC中,sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝53 9.所以c＝a sin Csin A＝5.第1章解三角形1.2 余弦定理A级根底稳固一、选择题1．在△ABC中, A, B, C的对边分别为a, b, c, 假设c2－a2－b22ab>0,那么△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形解析: 由题意知a2＋b2－c22ab<0, 即cos C<0,所以△ABC为钝角三角形．答案: C2．在△ABC中, a＝1, b＝3, c＝2, 那么B等于() A．30°B．45°C．60°D．120°解析: cos B＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12,所以B＝60°.答案: C3．边长为5, 7, 8的三角形的最大角与最小角的和是() A．90°B．120°C．135°D．150°解析: 设边长为7的边所对的角为θ, 那么由余弦定理得:cos θ＝52＋82－722×5×8＝12, 所以θ＝60°.所以最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.答案: B4．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且a2＝b2－c 2＋2ac , 那么角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135° 解析: 因为a 2＝b 2－c 2＋2ac , 所以a 2＋c 2－b 2＝2ac ,由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22,又0°<B <180°, 所以B ＝45°. 答案: A5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7, BC ＝5, CA ＝6, 那么AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19 解析: 由余弦定理的推论知 cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935,所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝7×5×⎝⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.答案: D 二、填空题6．△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 假设3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0, 那么cos C ＝_____________________________.解析: 由3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0得a 2＋b 2－c 2＝－23ab , 从而cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－13.答案: －137．(2021·福建卷)在△ABC 中, A ＝60°, AC ＝2, BC ＝3, 那么AB 等于________．解析: 由余弦定理可知: cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝4＋AB 2－32×2AB ＝12, 所以AB ＝1. 答案: 18．设2a ＋1, a , 2a －1为钝角三角形的三边, 那么a 的取值范围是________．解析: 由题意知2a ＋1是三角形的最大边, 那么⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ＋2a －1>2a ＋1a 2＋ (2a －1 )2－ (2a ＋1 )22a (2a －1 )<0所以2<a <8. 答案: (2, 8) 三、解答题9．在△ABC 中, B ＝120°, 假设b ＝13, a ＋c ＝4, 求△ABC 的面积．解: 由余弦定理得: b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ,即b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12, 所以ac ＝3.故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334.10．在△ABC 中, ∠C ＝90°, 现以a ＋m , b ＋m , c ＋m (m ＞0)为边长作一个△A ′B ′C ′, 试判断△A ′B ′C ′的形状．解: 最大边长c ＋m 所对角为C ′, 那么cos C ′＝ (a ＋m )2＋ (b ＋m )2－ (c ＋m )22 (a ＋m ) (b ＋m )＝ (a 2＋b 2－c 2 )＋2m (a ＋b －c )＋m 22 (a ＋m ) (b ＋m )＝2m (a ＋b －c )＋m 22 (a ＋m ) (b ＋m )＞0,所以C ′为锐角, 而C ′为△A ′B ′C ′的最大角, 故△A ′B ′C ′为锐角三角形．B 级 能力提升一、选择题11．三角形的两边分别为5和3, 它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根, 那么三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4解析: 设夹角为α, 所对的边长为m , 那么由5x 2－7x －6＝0, 得(5x ＋3)(x －2)＝0, 故得x ＝－35或x ＝2, 因此cos α＝－35, 于是m 2＝52＋32－2×5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝52, 所以m ＝213.答案: B12．在不等边三角形中, a 为最大边, 如果a 2<b 2＋c 2, 那么A 的取值范围是( )A ．90°<A <180°B ．45°<A <90°C ．60°<A <90°D ．0°<A <90°解析: 由余弦定理可知, cos A >0, 故知A 为锐角, 又A 是不等边三角形的最大角, 故A >60°, 所以60°<A <90°.答案: C13．在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 假设(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac , 那么B ＝( )A.π6B.π3或2π3C.π6或5π6D.π3解析: 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得a 2＋c 2－b 2＝3actan B , 再由余弦定理得: cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B,即tan B cos B ＝32, 即sin B ＝32, 所以B ＝π3或2π3. 答案: B 二、填空题14．(2021·天津卷)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c .b －c ＝14a , 2sin B ＝3sin C , 那么cos A 的值为________．解析: 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c , 即b ＝32c .代入b －c ＝14a , 整理得a ＝2c .故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ·c ＝－14.答案: －1415．△ABC 的三边a , b , c , 且面积S ＝a 2＋b 2－c 24, 那么C ＝________．解析: 由12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24得a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C , 再由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab得sin C ＝cos C ,所以C ＝π4.答案: π4三、解答题16．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , a ＝1, b ＝2, cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长; (2)求cos(A －C )的值．解: (1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4, 所以c ＝2.所以△ABC 的周长为1＋2＋2＝5.(2)因为cos C ＝14, 所以sin C ＝1－cos 2C ＝154,cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22＋22－122×2×2＝78.所以sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.第1章解三角形1.3 正弦定理、余弦定理的应用A级根底稳固一、选择题1．在某测量中, 设点A在点B的南偏东34°27′, 那么点B在点A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西55°33′答案: A2.如以下图, 为了测量某湖泊两侧A, B的距离, 绘出以下数据, 其中不能唯一确定A, B两点间的距离的是()A．角A, B和边bB．角A, B和边aC．边a, b和角CD．边a, b和角A解析: 根据正弦定理和余弦定理可知, 当知道两边和其中一边的对角解三角形时, 得出的结果不一定唯一, 应选D.答案: D3．一船自西向东匀速航行, 上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处, 下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处, 那么这只船的航行速度为( )A.1762 n mileB ．34 6 n mile C.1722n mileD ．34 2 n mile解析: 如以下图, 在△PMN 中, PM sin 45°＝MNsin 120°,所以MN ＝68×32＝34 6.所以v ＝MN 4＝1726( n mile/h)． 答案: A4．某人向正东方向走x km 后, 他向右转150°, 然后朝新方向走3 km, 结果他离出发点恰好 3 km, 那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3解析: 依题意可得, 32＋x 2－2×3·x cos 30°＝(3)2. 解得x ＝23或x ＝ 3. 答案: C5．江岸边有一炮台高30 m, 江中有两条船, 由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°, 而且两条船与炮台底部连线成30°角, 那么两条船相距( )A ．10 3 mB ．100 3 mC ．2030 mD ．30 m解析: 设炮台顶部为A , 两条船分别为B 、C , 炮台底部为D , 可知∠BAD＝45°,∠CAD＝60°, ∠BDC＝30°,AD＝30.分别在Rt△ADB, Rt△ADC中,求得DB＝30, DC＝30 3.在△DBC中, 由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos 30°,解得BC＝30.答案: D6．有一长为10 m的斜坡, 倾斜角为75°, 在不改变坡高和坡顶的前提下, 通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°, 那么坡底要延长的长度(单位: m)是()A．5 B．10 C．10 2 D．10 3解析: 如以下图, 设将坡底加长到B′时, 倾斜角为30°,在△ABB′中, 利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中, ∠B′＝30°,∠BAB′＝75°－30°＝45°, AB＝10 m,由正弦定理, 得BB′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝10 2 (m)．所以斜坡的倾斜角变为30°时, 坡底延伸10 2 m. 答案: C二、填空题7．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后, 望见塔在正北, 假设路途测得塔的最大仰角为30°, 那么塔高为________m.解析: 设塔高为AB, 某人由C前进到D, 依题意可得CD＝40 m, ∠ACD＝90°－60°＝30°, 作AE⊥CD于点E, 那么∠AEB ＝30°, 那么AD＝CD sin 30°＝20,AE＝AD sin 60°＝103,所以AB＝AE tan 30°＝103×33＝10 m.答案: 108．一树干被台风吹断, 折断局部与残存树干成30°角, 树干底部与树尖着地处相距5 m, 那么树干原来的高度为________．解析: 如以下图, AB＝AC·tan 60°＝53, BC＝ACsin 30°＝10,所以AB＋BC＝(53＋10)m.答案: (10＋53)m三、解答题9.如以下图, 一船以每小时15 km 的速度向东航行, 船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°, 行驶4 h 后, 船到达C 处, 看到这个灯塔在北偏东15°, 求此时船与灯塔的距离．解: 如题图所示, 由正弦定理得, BCsin (90°－60° )＝15×4sin 45°,所以BC ＝30 2 km.所以此时船与灯塔的距离为30 2 km.10．如以以下图所示, 在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°, 在它的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°, AB 的距离是84 m, 求塔高．解: 设塔高CD ＝x m , 那么AD ＝x m , DB ＝3x m.在△ABD 中, 利用余弦定理得842＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x tan 45°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫xtan 30°2－23·x 2cos(90°＋60°),解得x ＝±127(负值舍去), 故塔高为127 m.B 级 能力提升一、选择题11．如以下图, 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等, 灯塔A在观察站C的北偏东40°, 灯塔B在观察站C的南偏东60°, 那么灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析: 如题图所示, 结合题意得∠ACB＝180°－60°－40°＝80°.因为AC＝BC, 所以∠ABC＝50°, α＝60°－50°＝10°.答案: B12．假设水平面上, 点B在点A南偏东30°方向上, 那么在点A 处测得点B的方位角是()A．60°B．120°C．150°D．210°解析: 根据方位角的意义, 可得点B的方位角是180°－30°＝150°.答案: C13．当甲船位于A处时得悉, 在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救, 甲船立即前往营救, 同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船, 乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救, 那么sin θ的值为()A.217 B.22 C.32 D.5714解析: 连接BC.在△ABC中, AC＝10, AB＝20,∠BAC ＝120°, 由余弦定理, 得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC · cos120°＝700,所以BC ＝107, 再由正弦定理, 得BC sin ∠BAC＝ABsin θ, 所以sin θ＝217.答案: A 二、填空题14．(2021·课标全国Ⅰ卷)如以下图, 为测量山高MN , 选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°, C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°; 从C 点测得∠MCA ＝60°.山高BC ＝100 m, 测山高MN ＝________m.解析: 根据图示, AC ＝100 2 m.在△MAC 中, ∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中, MNAM ＝sin 60°,所以MN ＝1003×32＝150(m)．答案: 15015．甲船在岛B 的正南A 处, AB ＝10千米, 甲船以每小时4千米的速度向正北航行, 同时, 乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时, 它们所航行的时间是________小时．解析: 设行驶x h 后甲到点C , 乙到点D , 两船相距y km , 那么∠DBC ＝180°－60°＝120°.所以y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100.所以当x ＝514时, y 2有最小值, 即两船相距最近．答案:514三、解答题16．在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , b ＝27, B ＝60°, a ＋c ＝10.(1)求sin ()A ＋30°;(2)假设D 为△ABC 外接圆中弦AC 所对劣弧上的一点且2AD ＝DC , 求四边形ABCD 的面积．解: (1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝bsin B ＝473,因为a ＋c ＝10, 所以sin A ＋sin C ＝5327. 因为B ＝60°, 所以C ＝120°－A ,所以sin A ＋sin(120°－A )＝sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A ＝5327,于是得sin ()A ＋30°＝5714. (2)因为A , B , C , D 共圆, B ＝60°, 所以D ＝120°.在△ADC 中, 由余弦定理可得 cos D ＝AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC ＝－12,解之得AD ＝2,所以S △ACD ＝12AD ·CD ·sin 120°＝23,在△ABC 中, 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12.解之得ac ＝24.所以S △ADC ＝12ac sin 60°＝63,所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝8 3.第2章数列2.1 数列A级根底稳固一、选择题1．以下命题中错误的选项是()A．f(n)＝2n－1(n∈N*)是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列答案: C2．以下说法中正确的选项是()A．数列2, 3, 5可表示为{2, 3, 5}B．数列2, 4, 6, 8与数列8, 6, 4, 2是相同的数列C．集合{1, 3, 5, 7}与集合{7, 5, 3, 1}是相同的集合D．数列1, 3, 5, 7, …可记为{2n＋1}(n∈N*)解析: 考查数列的定义及数列与数集的区别．答案: C3．数列1, 3, 7, 15, …的一个通项公式是a n＝()A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2n－1解析: 由数列的前四项可知, 该数列的一个通项公式为a n＝2n －1.答案: D4．数列{a n}的通项公式是a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝1n 2n ≥2那么这个数列的前3项是( )A ．1, 4, 9B ．2, 4, 9C ．2, 1, 4D ．2, 6, 11解析: 考查数列的通项． 答案: B5．数列12, 23, 34, 45, …, nn ＋1, …, 那么0.96是该数列的第( )A ．20项B ．22项C ．24项D ．26项 解析: 由a n ＝n n ＋1, 令nn ＋1＝0.96, 解得n ＝24.即a 24＝0.96.答案: C 二、填空题6．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n12n ＋1, 那么a 10＝______;a 2n ＋1＝________．解析: a 10＝(－1)1012×10＋1＝121,a 2n ＋1＝(－1)2n ＋112 (2n ＋1 )＋1＝－14n ＋3.答案: 121 －14n ＋37．a n ＝n 2－7n ＋6, 那么从第________项起{a n }的各项为正数．解析: 由n 2－7n ＋6＞0得n ＜1或n ＞6, 而n ∈N *, 所以n ＞6. 答案: 78．由数列53, 108, 17a ＋b ,a －b24, …, 可得有序数对(a , b )为________．解析: 从上面的规律可以看出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15a －b ＝26 解得⎩⎨⎧a ＝412b ＝－112.答案: ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫412 －112 三、解答题9．根据数列的通项公式, 写出数列的前5项, 并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n ＋2; (2)a n ＝n ＋1n.解: (1)a 1＝1, a 2＝3, a 3＝1, a 4＝3, a 5＝1.图象如图①所示． (2)a 1＝2, a 2＝32, a 3＝43, a 4＝54, a 5＝65.图象如图②所示．图① 图②10．数列{a n }的通项公式a n ＝3n －23n ＋1.(1)求这个数列的第10项; (2)98101是不是该数列的项? (3)判断数列{a n }的单调性, 并求数列的最大项、最小项． 解: (1)由a n ＝3n －23n ＋1, 令n ＝10, 得a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101, 得: 9n ＝300,所以n ＝1003, 由于n 不是正整数,因此, 98101不是该数列的项．(3)由于a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1, 那么a n ＋1－a n ＝1－33n ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－33n ＋1 ＝9(3n ＋1 ) (3n ＋4 ). 又n ∈N ＋, (3n ＋1)(3n ＋4)>0, 所以a n ＋1>a n ,即数列{a n }是递增数列, 所以数列中的最小项为a 1＝14, 无最大项．B 级 能力提升一、选择题11．在数列a 1, a 2, a 3, a 4, …, a n , …的每相邻两项中插入4个数, 构成一个新数列, 那么新数列的第36项( )A ．不是原数列的项B ．是原数列的第7项C ．是原数列的第8项D ．是原数列的第9项解析: 在数列中插入四个数后, 原数列中的k 项变为新数列中的[5(k －1)＋1]项．依题意得, 5(k －1)＋1＝36, 解得k ＝8.应选C.答案: C12．数列1, －1, －1, 1, 1, －1, －1, 1, …的一个通项公式可以是( )A ．a n ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4B ．a n ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4C ．a n ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋1D ．a n ＝ (－1 )n ＋1＋12解析: 令n ＝1, 2, 3, 检验可知, 数列的通项为a n ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4. 答案: A13．a n ＝n 2－21n 2, 那么数列{a n }中相等的连续两项是( )A ．第9项, 第10项B ．第10项, 第11项C ．第11项, 第12项D ．第12项, 第13项解析: 假设a n ＝a n ＋1, 那么有n 2－21n 2＝ (n ＋1 )2－21 (n ＋1 )2,解之得n ＝10, 所以, 相等的连续两项是第10项和第11项．答案: B 二、填空题14．数列32, 83, 154, 245, 356, 487, …的一个通项公式为________．解析: 数列的分母具有明显规律, 因而只要进一步观察分子, 发现分母比分子的平方小1, 故知数列的通项公式为a n ＝ (n ＋1 )2－1n ＋1＝n 2＋2nn ＋1(n ∈N *)．答案: a n ＝n 2＋2nn ＋1(n ∈N *)15．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋), 那么a n ＋1－a n等于________．解析: 因为a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋),所以a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2.所以a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案: 12n ＋1－12n ＋2三、解答题16．数列{a n }中, a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋), 且{a n }单调递增, 求实数k 的取值范围．解: 因为a n ＝n 2－kn , 所以a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)．所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 因为数列{a n }单调递增, 所以a n ＋1－a n >0,即2n ＋1－k >0对n ∈N ＋恒成立． 所以k <2n ＋1对任意n ∈N ＋恒成立． 而2n ＋1的最小值为3. 故只需k <3即可．所以k 的取值范围为(－∞, 3)．第2章数列2.2 等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2 等差数列的通项公式A级根底稳固一、选择题1．等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n, 那么它的公差d为() A．2 B．3 C．－2 D．－3－a n＝3－2(n＋1)－3＋2n＝－2.选C.解析: d＝a n＋1答案: C2．等差数列{a n}的首项a1＝4, 公差d＝－2, 那么通项公式a n＝()A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6解析: a n＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.答案: C3．m和2n的等差中项是4, 2m和n的等差中项是5, 那么m和n的等差中项是()A．2 B．3 C．6 D．9解析: 由题意2m＋n＝10, 2n＋m＝8, 两式相加得3m＋3n＝18,所以m ＋n ＝6.所以m ＋n2＝3.答案: B4．在首项为81, 公差为－7的等差数列中, 值最接近零的项是( )A ．第11项B ．第12项C ．第13项D ．第14项解析: 由a n ＝a 1＋(n －1)d 得a n ＝－7n ＋88, 令a n ≥0, 解得n ≤887＝1247.而a 12＝4, a 13＝－3, 故a 13的值最接近零． 答案: C5．假设数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1, 那么数列是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列解析: 因为3a n ＋1＝3a n ＋1, 所以3a n ＋1－3a n ＝1. 所以a n ＋1－a n ＝13.故数列{a n }为公差为13的等差数列．答案: B 二、填空题6．在等差数列{a n}中, a3＋a7＝37, 那么a2＋a4＋a6＋a8＝________．解析: 根据等差数列的性质, a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝37.所以原式＝37＋37＝74.答案: 747．在等差数列{a n}中, a3＋a8＝10, 那么3a5＋a7＝______．解析: 由a3＋a8＝10得a1＋2d＋a1＋7d＝10, 即2a1＋9d＝10, 3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝2 (2a1＋9d )＝20.答案: 208．假设a, b, c成等差数列, 那么二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．解析: 因为a, b, c成等差数列, 所以a＋c＝2b.又Δ＝(2b)2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0,所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1个或2个．答案: 1或2三、解答题9．在等差数列{a n}中, a1＋a6＝12, a4＝7.(1)求a9;(2)求此数列在101与1 000之间共有多少项．解: (1)设首项为a1, 公差为d, 那么2a1＋5d＝12,a1＋3d＝7, 解得a1＝1, d＝2,所以a9＝a4＋5d＝7＋5×2＝17.(2)由(1)知, a n＝2n－1, 由101＜a n＜1 000知101＜2n－1＜1 000,所以51＜n ＜1 0012.所以共有项数为500－51＝449.10．数列{a n }中, a 1＝12, 1a n ＋1＝1a n ＋13, 求a n .解: 由1a n ＋1＝1a n ＋13知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为2, 公差为13的等差数列, 所以1a n ＝2＋(n －1)·13＝n ＋53. 所以a n ＝3n ＋5(n ∈N *)． B 级 能力提升一、选择题11．数列{a n }的首项为3, {b n }为等差数列, 且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *), 假设b 3＝－2, b 10＝12, 那么a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析: 由b 3＝－2和b 10＝12得b 1＝－6, d ＝2,所以b n ＝2n －8, 即a n ＋1－a n ＝2n －8, 由叠加法得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 8－a 7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0.所以a 8＝a 1＝3. 答案: B12．等差数列{a n }中, 前三项依次为: 1x ＋1, 56x , 1x , 那么a 101等于( )A ．5013B ．1323C ．24D ．823解析: 由1x ＋1＋1x＝2×56x 解得x ＝2, 故知等差数列{a n }的首项为13, 公差d ＝112, 故a 101＝a 1＋100d ＝13＋100×112＝263＝823. 答案: D13．?莱因德纸草书?是世界上最古老的数学著作之一, 书中有这样的一道题目, 把100个面包分给5个人, 使每人所得成等差数列, 且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．那么最小的1份为( )A.53B.56C.103D.116解析: 设这5份分别为a －2d , a －d , a , a ＋d , a ＋2d (d >0), 那么有17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d , a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a＋2d ＝100, 故a ＝20, d ＝556, 那么最小的一份为a －2d ＝20－553＝53. 答案: A 二、填空题14．设数列{a n }, {b n }都是等差数列, 假设a 1＋b 1＝7, a 3＋b 3＝21, 那么a 5＋b 5＝________．解析: 因为{a n }, {b n }都是等差数列, 所以{a n ＋b n }也是等差数列, 其公差为21－72＝142＝7.所以a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35. 答案: 3515．递增的等差数列{a n }满足a 1＝1, a 3＝a 22－4, 那么a n ＝________．解析: 设等差数列公差为d , 那么由a 3＝a 22－4, 得1＋2d ＝(1＋d )2－4,所以d 2＝4.所以d ＝±2.由于该数列为递增数列, 所以d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1(n ∈N *)． 答案: 2n －1(n ∈N *) 三、解答题16． "三个数成递减等差数列, 且三数和为18, 三数的积为66〞, 求这三个数．解: 法一: 设三个数分别为a 1, a 2, a 3.依题意, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝18 a 1·a 2·a 3＝66所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝18a 1· (a 1＋d )· (a 1＋2d )＝66解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11 d ＝－5.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝5.因为数列{a n }是递减等差数列, 所以d <0. 所以d ＝－5, a 1＝11, 所以a 2＝6.a 3＝1. 所以这三个数为11, 6, 1.法二: 设等差数列{a n }的前三项依次为a －d , a , a ＋d ,那么⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋ (a ＋d )＝18 (a －d )·a · (a ＋d )＝66 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6 d ＝±5.又因为{a n }是递减等差数列, 所以d <0, 所以取a ＝6, d ＝－5. 所以这三个数分别为11, 6, 1.17．1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b是等差数列, 求证: a 2, b 2, c 2是等差数列．证明: 由条件, 得1b＋c＋1a＋b＝2c＋a,所以2b＋a＋c(b＋c ) (a＋b )＝2c＋a.所以(2b＋a＋c)(a＋c)＝2(b＋c)(a＋b)．所以a2＋c2＝2b2, 即a2, b2, c2是等差数列．第2章数列2.2 等差数列2.2.3 等差数列的前n项和A级根底稳固一、选择题1．等差数列{a n}中, S10＝120, 那么a1＋a10等于() A．12B．24C．36D．48解析: 根据等差数列的前n项和公式S n＝ (a1＋a n )n2,可得S10＝ (a1＋a10 )·102＝5(a1＋a10)＝120⇒a1＋a10＝24.答案: B2．在等差数列{a n}中, 前15项的和S15＝90, 那么a8等于() A．3 B．4 C．6 D．12答案: C3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n , 假设S 4＝20, S 2＝4, 那么公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析: 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4 S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4 4a 1＋6d ＝20⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12 d ＝3.答案: B4．1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)等于( ) A.n (3n ＋8 )2B. (n ＋2 ) (3n ＋8 )2C. (n ＋3 ) (3n ＋8 )2D.n (3n －1 )2解析: 根据题意, 记等差数列{a n }的通项公式a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2, 那么1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)＝(n ＋3)[1＋3(n ＋3)－2]＝ (n ＋3 ) (3n ＋8 )2.答案: C5．假设等差数列{a n }的前三项和S 3＝9, 且a 1＝1, 那么a 2等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析: S 3＝3a 1＋3×22d ＝9, 且a 1＝1,所以d ＝2, 所以a 2＝a 1＋d ＝3. 答案: A 二、填空题6．假设一个等差数列{a n }的前3项和为34, 最后3项的和为146, 且所有项的和为390, 那么这个数列有________项．解析: a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180, 所以3(a 1＋a n )＝180, 即a 1＋a n ＝60.由S n ＝390, 知n (a 1＋a n )2＝390,所以n ·602＝390, 解得n ＝13.答案: 137．在项数为2n ＋1的等差数列中, 所有奇数项的和为165, 所有偶数项的和为150, 那么n ＝________．解析: (1)由S 奇S 偶＝ (n ＋1 )· (a 1＋a 2n ＋1 )2n · (a 2＋a 2n )2＝n ＋1n ＝165150.解得: n ＝10. 答案: 108．设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 假设a 1＝－11, a 4＋a 6＝－6, 那么当S n 取最小值时, n ＝________．解析: a 4＋a 6＝2a 5＝－6, 得a 5＝－3, 所以公差d ＝a 5－a 15－1＝－3＋114＝2.法一: 由d ＝2>0可知, 数列{a n }是递增数列． a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13.令a n ＝0, 得n ＝612.所以a 1<a 2<…<a 6<0<a 7<…. 故数列{a n }的前6项和最小．法二: S n ＝na 1＋n (n －1 )2d ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36.所以当n ＝6时, S n 最小．答案: 6 三、解答题9．等差数列51, 48, 45, …. (1)第几项开始为负? (2)前多少项的和最大?解: (1)易得a 1＝51, d ＝48－51＝－3, 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋54.由－3n ＋54≤0得n ≥18.故第19项开始为负．(2)由a 18＝0, 且a 1>0, d <0, 故前17项或前18项的和最大． 10．数列{b n }的前n 项和S n ＝9－6n 2, 假设b n ＝2n －1a n , 求数列{a n }的通项公式．解: 当n ＝1时, b 1＝S 1＝9－6×12＝3,当n ≥2时, b n ＝S n －S n －1＝9－6n 2－9＋6(n －1)2＝－12n ＋6, 当n ＝1时, b 1＝3不符合b n ＝－12n ＋6的形式,所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1 ) 6－12n (n ≥2 ).又b n ＝2n －1a n ,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1 ) 6－12n 2n －1 (n ≥2 ).B 级 能力提升一、选择题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n , S m －1＝－2, S m ＝0, S m ＋1＝3, 那么m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析: a m ＝S m －S m －1＝2, a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3,所以公差d＝a m＋1－a m＝3－2＝1.由S m＝m (a1＋a m )2＝0得a1＝－a m＝－2,所以a m＝－2＋(m－1)·1＝2, 解得m＝5.答案: C12．设S n是等差数列{a n}的前n项和, 假设a5a3＝59, 那么S9S5等于()A．1 B．－1 C．2 D.1 2解析: S9S5＝92 (a1＋a9 )52 (a1＋a5 )＝9×2a55×2a3＝9a55a3＝95×59＝1.答案: A13．等差数列{a n}的前m项的和为10, 前2m项的和为100, 那么它的前3m项的和为()A．130 B．170 C．270 D．260解析: 因为S m＝10, S2m＝100, 故S2m－S m＝90, 故知S m, S2m －S m, S3m－S2m构成首项为10, 公差为80的等差数列, 所以S3m－S2m＝90＋80＝170.所以S3m＝100＋170＝270.答案: C二、填空题14．{a n}是等差数列, a1＝1, 公差d≠0, S n为其前n项和, 假设a1a5＝a22, 那么S8＝________．解析: 由a1a5＝a22得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2, 解得d＝2, 所以S8＝8a1＋8×72d＝8×1＋8×72×2＝64.答案: 6415．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月曾发生流感, 据资料记载, 11月1日, 该市新的流感病毒感染者有20人, 以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人, 那么到11月7日该市新感染者共有________人．解析: 设从11月1日起, 第n 天的新感染者有a n 人, 那么a n ＋1－a n ＝50,那么每天的新感染者构成以a 1＝20, d ＝50的等差数列{a n }, 所以到11月7日该市新感染者共有S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×20＋7×62×50＝1 190人．答案: 1 190 三、解答题16．设等差数列{a n }满足a 3＝5, a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解: (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5, a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5 a 1＋9d ＝－9可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9d ＝－2.数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)． (2)由(1)知, S n ＝na 1＋n (n －1 )2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25, 所以当n ＝5时, S n 取得最大值．第2章数列2.3 等比数列2.3.1 等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式A级根底稳固一、选择题1．以下说法: ①公差为0的等差数列是等比数列; ②b2＝ac, 那么a, b, c成等比数列; ③2b＝a＋c, 那么a, b, c成等差数列; ④任意两项都有等比中项．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析: 公差为0的非零数列是等比数列, 故①不正确; ②中只有a, b, c都不为0才正确; ④也需要看首项是正还是负．所以只有③正确．答案: B2．在等比数列{a n}中, a1＝8, a4＝64, 那么a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32解析: 因为a4＝a1q3＝8·q3＝64, 所以q3＝8, q＝2.所以a3＝a1q2＝8×22＝32.答案: C3．等比数列x , 3x ＋3, 6x ＋6, …的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24解析: 由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)⇒x ＝－3(x ＝－1舍去)．该数列为－3, －6, －12, －24, ….答案: A4．{a n }是等比数列, 下面四个命题中真命题的个数为( ) ①{a 2n }也是等比数列; ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列;③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列; ④{ln a n }也是等比数列． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 解析: 考查等比数列定义, 其中①②③为真． 答案: B5．等差数列{a n }的公差为3, 假设a 1, a 3, a 4成等比数列, 那么a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析: a 1＝a 2－3, a 3＝a 2＋3, a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6, 由于a 1, a 3, a 4成等比数列,那么a 23＝a 1a 4,所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6), 解得a 2＝－9. 答案: D 二、填空题6．等差数列{a n }的首项为a 1＝1, a 1, a 2, a 5成等比数列, 那么d ＝________．解析: 因为a 1, a 2, a 5成等比数列．所以a 22＝a 1a 5, 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．所以(1＋d )2＝1＋4d .所以d ＝0或d ＝2.答案: 0或27．在6和768之间插入6个数, 使它们组成共8项的等比数列, 那么这个等比数列的第6项是________．解析: 由条件得, 768＝6×q7, 解得q＝2.所以a6＝6×25＝192.答案: 1928．某林场的树木每年以25%的增长率增长, 那么第10年末的树木总量是今年的________倍．解析: 设这个林场今年的树木总量是m, 第n年末的树木总量为a n, 那么a n＋1＝a n＋a n·25%＝1.25a n.那么a n＋1a n＝1.25.那么数列{a n}是公式q＝1.25的等比数列．那么a10＝a1q9＝1.259m.所以a10a1＝1.259.答案: 1.259三、解答题9．在等比数列{a n}中:(1)a3＋a6＝36, a4＋a7＝18, a n＝12, 求n; (2)a5＝8, a7＝2, a n>0, 求a n.解: (1)法一: 因为a3＋a6＝36, a4＋a7＝18.所以a1q2＋a1q5＝36, ①a1q3＋a1q6＝18, ②②①得q＝12, 所以14a1＋132a1＝36, 所以a1＝128,而a n ＝a 1q n －1, 所以12＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1, 所以n ＝9.法二: 因为a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q , 所以q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12, 而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3)．所以a 3＝a 3＋a 61＋q 3＝361＋18＝32.因为a n ＝a 3q n －3, 所以12＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.所以n ＝9.(2)因为a 5＝a 1·q 4＝8, a 7＝a 1·q 6＝2, 所以q 2＝14, q ＝±12.又a n >0, 所以q ＝12.所以a n ＝a 5q n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝28－n .10．{a n }是首项为19, 公差为－2的等差数列, S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项公式a n 及S n ;(2)设{b n －a n }是首项为1, 公比为3的等比数列, 求数列{b n }的通项公式．解: (1)因为{a n }是首项为19, 公差为－2的等差数列, 所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21, 即a n ＝－2n ＋21, S n ＝19n ＋n (n －1 )2·(－2)＝－n 2＋20n ,即S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1, 公比为3的等比数列, 所以b n －a n＝3n －1,即b n＝3n－1＋a n＝3n－1－2n＋21.B级能力提升一、选择题11．{a n}是等比数列, 且a n＞0, a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25, 那么a3＋a5的值等于()A．5 B．10 C．15 D．20解析: a2a4＝a23, a4a6＝a25, 故得(a3＋a5)2＝25, 又a n＞0, 所以a3＋a5＝5.答案: A12．设{a n}是由正数组成的等比数列, 且a5·a6＝81, 那么log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值是()A．5 B．10 C．20 D．40解析: log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3815＝log3320＝20.答案: C13．在正项等比数列{a n}中, a3＝2－1, a5＝2＋1, 那么a23＋2a2a6＋a3a7＝()A．4 B．6 C．8 D．4 2解析: 因为a3a7＝a25, a2a6＝a3a5,所以a33＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.答案: C二、填空题14.(2021·安徽卷)如以下图, 在等腰直角三角形ABC中, 斜边BC ＝22, 过点A作BC的垂线, 垂足为A1, 过点A1作AC的垂线, 垂足为A 2; 过点A 2作A 1C 的垂线, 垂足为A 3....依此类推, 设BA ＝a 1, AA 1＝a 2, A 1A 2＝a 3, …, A 5A 6＝a 7, 那么a 7＝________．解析: 由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2, 公比q ＝22的等比数列, 所以a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案: 1415．(2021·广东卷)假设等比数列{a n }的各项均为正数, 且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5, 那么ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____________.解析: 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5, 所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2…a 20)＝ln[a 1a 20·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案: 50 三、解答题16．等比数列{a n }各项均为正数, 且2a 1＋3a 2＝1, a 23＝9a 2a 6.求{a n }的通项公式．解: 由⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 2a 6 2a 1＋3a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 24 2a 1＋3a 1q ＝1⇒⎩⎨⎧q ＝13a 1＝13.所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *)．。
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章末过关检测卷(二)
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．在等差数列{a n }中，已知a 6＝8，则前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176
解析：由等差数列的求和公式和性质可得：S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 6
2＝
11a 6＝88.
答案：B
2．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，＋∞ B ．(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤
83，3 解析：依题意可知⎩⎨⎧a 9≤0，a 10＞0，即⎩⎨⎧－24＋8d ≤0，－24＋9d ＞0，
解得8
3＜d ≤3.
答案：D
3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A ．9根
B ．10根
C ．19根
D ．29根
解析：设钢管被放成n 层，则钢管数为S n ＝n （n ＋1）
2，当n ＝19时，钢管
数为190，当n ＝20时，钢管数为210＞200，故知只能放19层，剩余钢管为10.
答案：B
4．(2014·天津卷)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )
A ．2
B ．－2 C.12 D ．－12
解析：因为等差数列{a
n }的前n项和为S
n
＝na
1
＋
n（n－1）
2
d，所以S
1
，S
2
，
S 4分别为a
1
，2a
1
－1，4a
1
－6.
因为S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，所以(2a
1
－1)2＝a
1
·(4a
1
－6)．解得a
1
＝－
1
2
.
答案：D
5．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
解析：由等比数列的前三项为x，3x＋3，6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项
x＝－3，公比q＝3x＋3
x
＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.
答案：A
6．等差数列{a
n }中，a
1
＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，
余下的10项的平均值是4，则抽取的是( )
A．a
11 B．a
10
C．a
9
D．a
8
解析：因为数列{a
n }的前11项的平均值是5，即
a
1
＋a
11
2
＝5，故得a
11
＝15，
又数列前11项的和为55，抽取1项后，余下10项的和为40，故知抽取的项是15，即抽取的项是a
11
.
答案：A
7．等差数列{a
n
}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )
A．a
8 B．a
9
C．a
10
D．a
11
解析：由已知a
n
＝70＋(n－1)·(－9)＝79－9n.
令a
n ＝0得n＝
79
9
，所以n＝9时，|a
9
|＝|－2|＝2，
即绝对值最小的项为a
9
. 答案：B
8．若{a
n }，{b
n
}满足a
n
·b
n
＝1，a
n
＝n2＋3n＋2，则{b
n
}的前10项和为( )
A.12
B.512
C.13
D.712
解析：b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2），用裂项法可求{b n }的前10
项和为5
12
.
答案：B
9．将全体正整数排成一个三角数阵(如图所示)，根据图中规律，数阵中第n 行(n ≥3)的从左到右的第3个数是( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … … … A.n （n －1）
2 B.n （n ＋1）
2 C.
n （n －1）
2
＋3 D.
n （n ＋1）
2
＋3 解析：由第一行起每行中的第一个数构成一个数列{a n }，由表格可知a n －a n
－1＝n －1，由叠加法可得a n ＝1＋
n （n －1）2，故第n 行第3个数为n （n －1）
2＋3.
答案：C
10．各项都是正数的等比数列{a n }中，公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5
a 4＋a 6
等于( ) A.－1－52 B ．2＋ 5 C.5＋12 D.5－12
解析：由2a 5＝a 3＋a 6，得2a 1q 4＝a 1q 2＋a 1q 5， 即2q 2＝1＋q 3，q 2－1＝q 3－q 2，。