全等三角形经典培优题型(含答案解析)

全等三角形的提高拓展训练

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

(3)有公共边的，公共边常是对应边．

(4)有公共角的，公共角常是对应角．

(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置

关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

全等三角形证明经典题

1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD

2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2

3已知：

∠1=∠2

，CD=DE

，

EF ︒=∠90ACB BC AC =MN C MN AD ⊥D MN BE ⊥E 1)当直线MN 绕点C

旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；

C

D

B C D F A

D

B

C

D B

M F

E

C

B

A

A

C

B D E

F

B

A C

D F 2 1 E

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF

16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠

CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由

17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，

∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．

全等三角形证明经典（答

案）

1. 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

A E

B

M C

F

A

B

C D

E

F 图9

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。

所以∠EBF=∠BEF。

又因为∠ABC=∠AED。

所以∠ABE=∠AEB。

所以 AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中，

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以三角形ABF和三角形AEF全等。

所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

3 证明：

过E点，作EG∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;

AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;

又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.

所以,BC=BF+FC=AB+CD.

7证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD

BA,CD 的交点，当AD>BC 时，E 点是射线AB,DC 的交点）。 则：

△AED 是等腰三角形。 所以：AE=DE 而AB=CD

所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量） 所以：△BEC 是等腰三角形 所以：角B=角C.

8作B 关于AD 的对称点B‘，因为AD 是角BAC 的平分线，B'在线段AC 上（在AC 中间，因为AB 较短）

因为

PC

B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB

9作AG ∥BD 交DE 延长线于G AGE 全等BDE

AG=BD=5 AGF ∽CDF AF=AG=5 所以DC=CF=2

10证明：

做BE 的延长线，与AP 相交于F 点， ∵PA13证明：因为 AB=AC ， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD ⊥AC ，CE ⊥AB

P D A

C

B