函数的单调性及奇偶性专项练习

函数的单调性与奇偶性
一，基础知识：
（一）1，函数单调性定义
（1．）增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，
如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1( )x 2时，都有f(x 1)( )f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。

（2，）减函数的定义：
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是( )或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）( )，区间D 叫做y=f(x)的( )：
3．判断函数单调性的方法步骤：
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○
1 取值：任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；
○
2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○
3 变形（通常是因式分解和配方或分子分母有理化）； ○
4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；
○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）。

注意：
○
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) (或)()(21x f x f )．
○
3反映在图象上，若)(x f 是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的。

4.函数最大（小）值定义
(1)．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)( )M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）。

(2). 最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）_______________________________________________； （2）________________________________________________ 那么，称M 是函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）。

注意：
○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○
2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）。

（二）函数的奇偶性：
对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称．．．．．．．．．
： 1， 如果______________________________________，那么函数)(x f 为奇函数；
2， 如果______________________________________，那么函数)(x f 为偶函数。

3，奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称。

4，奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 。

二，例题展示：
例1. 求证：函数()]()4
0,22+f x x x
=+∞⎡⎣在上是减函数，在，上是增函数，
【变式练习】求函数()()0a
f x x a x
=+ ，的单调区间。

例2，
1，若()()232x f k k x b =-++在R 上为减函数，则k 的取值范围为_______________.
2,已知()2x f x ax b =++在上(),2-∞是减函数，则a 的取值范围为_______________.
【变式练习】已知()x f 是上的增函数，且()()113x x f f -- 。

求x 的取值范围为
例3.画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
○
1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○
2 指出图象的最高点或最低点。

（1）32)(+-=x x f
（2）32)(+-=x x f ，]2,1[-∈x
（3）2)(x x f =
（4）2)(x x f -=
【变式练习】1，已知函数y =2
1
x -(x ∈[2，6])，求函数的最大值和最小值。

2，(天津高考) 已知函数224(0)()4(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪
=⎨⎪-<⎩
，若()()22f a f a - ，则实数a
的取值范围（ ）.
A,()(),12,,-∞-+∞ B ()1,2-
C ()2,1- D,()(),21,,-∞-+∞
例4，
A1、判断下列函数的奇偶性。

（1）f （x ）＝x 4； （2）f （x ）＝x 5；
（3）f （x ）＝x ＋x 1 （4）f （x ）＝21
x
(5) (
)f x =, (6)()(
)()
()(){1010x x x x x x f x -+=
A2、二次函数c bx ax y ++=2(0≠a )是偶函数,则b=___________ .
B3、已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，
则=)7(f _______ .
B4、如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =_____ .
B5、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，()(1)f x x x =+，那
么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =_______ .
【变式练习】
1，（2013 山东高考）已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，x
x x f 1
)(2+=，则
)1(-f =（ ）
（A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）2
2、已知)(x f x R ∈，若对任意a,b ，都有()()()f a b f a f b +=+，求证；)(x f 为
奇函数。