5.5元素法定积分在几何学上的应用(1)

与直线
y y f (x)
及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则 dA f (x) dx
A
b dA
b
f (x) dx
a
a
Oa x bx x dx
若曲线
则 dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
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例1
与直线
平面图形的面积A.
(
y x
)2



1 y2

ds

1 y2
dx
O
即 s
d
K
dx ds

dx
1 ( y)2
lim y x0 1 y2
1 y2 (1
M¼M
M M y
y2 )3

2

1
M M s y
x
x x x x
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解:
1 a2 (1 cos )2 d
2
a2
π
4
cos 4

d
0
2
t


2
8a2
π
2 cos4t dt
0
3π a2 2
围成图形的面积.
(利用对称性)
d
O
2a x
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三、立体的体积
曲边梯形
坐标轴
1.旋转体:由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转
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2 极坐标系下平面图形的面积 (1) 极坐标系
极径

(， )
极角
极点 O
极轴
x
例4 写出下图中各点的坐标 : 1
C
π B
O
4 1Ax
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(2) 极坐标系下与直角坐标 系下点的坐标之间的关系：

O
(， )
x
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b2
y
4 π a2b

1 3
y
3

b b
3
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( A( y) πx2 )
a = b 时, 得半径为 a的球体的体积
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例9. 计算由曲线
及直线
图形绕 y 轴旋转而成的立体的体积. 解：绕 y 轴旋转, 取 y 为积分变量，则
所围成的
则体积元素为
dV π 22dy π x2dy
K
dx ds
dx
y sec2 d (1 y2 ) d
dx
dx

d
dx

1
y y2
(2) 再求 ds
dx
ds lim s lim M¼M d x x0 x x0 x
y
M
M s y
x


lim
x0

M¼M MM

MM x
2a sin t dt 2

s
2π 0
2a
sin
t 2
d
t

2a

2 cos
t 2

2π 0

8a
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2. 曲率的计算公式 已知函数y=f(x),M为其对应曲线上的任意一点.
(1) 先求 d . 由 y tan两边对x求导得,
dx
d
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2 利用定积分求某个量 U, 可将步骤简化为:
(1) 选取积分变量, 如选取 x , 并确定其变化区间
在[a ,b]上选取任一小区间
(2) 所求部分量 则
记作 dU 量U 的元素,
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二、平面图形的面积
1. 直角坐标系下平面图形的面积
(1) 设曲线
x xdx 1 x
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例2 计算由两条抛物线
在第一象限所围
平面图形的面积 .
y
解: 解方程组
1 y2 x
(1,1)
y dy
得两抛物线交点 (0, 0) , (1, 1) y
y x2
取 y 为积分变量
O
x

1
AdA (
y y2)dy
0
1 1 03
x3


a

a
4 3
π ab2
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机动 目目录录 上上页页 下下页页 返返回回 结结束束
例8. 计算由椭圆
所围图形分别绕 x 轴, y
轴旋转而成的椭球体的体积.
(2) 绕 y 轴旋转, 取 y 为积分变量
x
则 V πx2dy

πa2 b2
b (b2 y2 ) dy
b

πa2 b2
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四、平面曲线的弧长
第三章第7节，曲率的推导公式*
弧长元素(弧微分) : ds (dx)2 (dy)2
(1) 曲线弧由参数方程给出:
ds 2 (t) 2 (t) dt
所求弧长

s
2 (t) 2 (t) d t
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x
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例5 计算阿基米德螺线
对应 从 0到2
的一段弧与x轴所围成的图形的面积.
解:
A
2π
dA
1
(a
)2
d
02
a2 2

1
3
3

2π 0
2πa
O
x
d
4 π3 a2 3
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例6. 计算心形线
则对应于小区间
的体积元素为
dV A(x) d x
因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
切片法
A(x) ax
bx
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例10. 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面
交成 角，计算该平面截圆柱体所得立体的体积.
解: 取 x 为积分变量, x [R, R].作垂直于 x 轴的截面.
(2) 曲线弧由直角坐标方程给出:
ds (dx)2 (dy)2
ds 1 y2 dx 1 f 2 (x) dx
所求弧长 s b 1 y2 dx b 1 f 2 (x) dx
a
a
(3) 曲线弧由直角坐标方程给出:
ds 1 x2 dy 1 2 ( y) dy

o
x

R
x
y tan
y
y R2 x2 A(x)
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一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面
交成 角， 计算该平面截圆柱体所得立体的体积.
解法2 取 y 为积分变量,
作垂直于 y 轴的截面.
截面面积
2 R3tan
3
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A( y)
y

x
R2 x2 .
第五章
第五节 定积分在几何学上的应用(1)
一、元素法 二、平面图形的面积 三、立体的体积
山东交通学院高等数学教研室
一 、元素法
1 曲边梯形面积的求法:
y
分割 近似 求和 取极限
y f (x)
分割:[x0, x1], ,[xn1, xn ]
近似: i [xi1, xi ]
Ai f (i ) xi n
x
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例8. 计算由椭圆
所围图形分别绕 x 轴, y
轴旋转而成的椭球体的体积.
解: (1) 绕 x 轴旋转, 取 x Fra Baidu bibliotek积分变量
y
则 V πy2dx

πb2 a2
a (a2 x2 ) dx
a
( A(x) πy2 )

πb2 a2

a2
x


1 3
d
所求弧长 s
1 2 ( y) dy d 1 2 ( y) dy
c
c
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(4) 曲线弧由极坐标方程给出:
ds 2 (t) 2 (t) dt
由x ( ) cos , y ( )sin , 得 ds [x( )]2 [ y( )]2 d
R

y R2 x2 o
y
o
y
R

x
x
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x
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截面面积
A(x) 1(R2 x2 )tan
2
V R A(x)dx R
dV A(x)dx
R 1(R2 x2 )tandx R 2
2 R3tan
3
问题: 还有别的方法吗？
R


O x x x x

lim
M¼M

(x)2

(y)2

高等数x学0 MM
x

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lim
x0

M¼M MM

(x)2
(y)2

x

y


lim
x0


M¼M MM

1
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一周而成的立体. 如圆柱、圆锥、球体等.
(1) 由连续曲线
直线
及 x 轴所围成
的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体的体积.
取 x 为积分变量,
y y f (x)
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Oa
bx
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(2) 由连续曲线
直线
及 y 轴所围成
的曲边梯形 绕 y 轴旋转一周 而成的立体的体积.
x
3
2

b a

2 3
1
b
3
2

1
a
3
2

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例12 计算摆线
一拱
的弧长 .
解: ds
(
dx dt
)
2

(
dy dt
)2
dt
2πa
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
a 2(1 cos t) d t
y g(x)
O a xxdx b x
dA
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例2 计算由两条抛物线
平面图形的面积 .
y
解: 解方程组
得两抛物线交点 (0, 0) , (1, 1)
取 x 为积分变量
O

1
AdA (
x x2)dx
0
1 1 03
在第一象限所围
y2 x (1,1) y x2
求和 lim
0
取极限：
i 1
f (i ) xi
b
a f (x)dx
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Oa
bx
x [a,b], [x, x dx] [a,b]
x [x, x dx]，
A f (x) dx 面积元素
lim
0
f (x) dx 记作 dA
b
a f (x)dx
取 y 为积分变量,
d
y x (y)
c
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例7. 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线, 直线x=h及x轴 轴围成一个直角三角形, 它绕x轴旋转成一个底半径为r, 高为h的圆锥体, 求这个圆锥体的体积.
解: 过O与P的直线方程为:
y r x
h
取 x 为积分变量,
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(3) 极坐标系下平面图形的面积
设
求由曲线
围成的 曲边扇形的面积.
取θ为积分变量,
任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
d
所求曲边扇形的面积为
A 1 2 ( ) d 2
O
及
( )
解:
及 x 轴所围成的
1 x4 0 1 x4 2 17 4 1 4 0 4
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(2) 求由曲线 与直线 取 x 为积分变量,
则 dA f (x) g(x)ddxx
b
A a f (x) g(x) dx
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y y f (x)
2 ( ) 2 ( ) d
所求弧长 s 2 2 d
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例1
1
计算曲线 y

2
3
x2
上相应于
a

x

b
的一段弧长.
3
y
解:
1 x dx
y

2 3
3
x2
b
s a 1 x dx
O a bx

2 3
1
因此所求体积为
V dV 8 (π 22dy π x2dy) 0
32π

32π

3 5
π

5
y3
8


0
64 5
π.
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2.平行截面面积已知的立体的体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续. 取 x 为积分变量,
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例3 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积.
解: 解方程组
ydy
(8, 4)
y
得交点(2, 2) , (8, 4)
取 y 作积分变量, 则

A
d
4
A
2
(
y

4

1 2
y2
)
dy
(2, 2)
4
18
2
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