定积分在几何学上的应用(比赛课教案)

教学题目：

选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用

教学目标：

一、知识与技能：

1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；

2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法

3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法

二、过程与方法：

1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

三、情感态度与价值观：

探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；

教学重点：

应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

教学难点：

如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

课型、课时：

新课，一课时

教学工具：

常用教具，多媒体，PPT课件

教学方法：

引导法，探究法，启示法

教学过程

积分⎰b

a f (x )dx 在几何上表示 x =a 、x =

b 与 x 轴所围成的曲边梯形

的面积。

当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值

类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a

由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解

练习. 求抛物线y=x 2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。

解：如图：由x 2-1=0得到抛物线与x 轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：

所以：

⎰b

a

f (x )dx =⎰c

a f (x )

O

x

a

b y =f (x )

x

O

a

b

y =f (x )

⎰b

a

f (x )dx =⎰c a f (x )dx +

⎰b

c f (x )dx 。

=-S (2)

x

y

o

a

b

c

)

(x f y =(3)

(1) x

y

o )

(x f y =a b (1) ()b a S f x dx =⎰(2) ()b a S f x dx =-⎰(3) |()|()()()c

b

c

b

a

c

a

c

S f x dx f x dx f x dx f x dx

=+=-+⎰⎰⎰⎰21

22

1

1(1)(1)S x dx x dx

-=---⎰⎰2

1

33

1

1

8

()()333x x x x -=---=y

x

当f (x )≥0时，积分dx x f b

a )(⎰在几何上表示由y =f (x )、

类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(a

总结：当x ∈[a ，b ]有f (x )>g (x )时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S

＝

.

不分割型图形面积的求解步骤：

(1)准确求出曲线的交点横坐标；

(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；

(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；

(4)计算得所求面积．

y

x

o

b

a

)

(x f y =)(x g y =(2)

)

(x f y =)

(x g y =(1)

()()b

a

f x

g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰