定积分在几何学上的应用(比赛课教案)

教学题目：
选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用
教学目标：
一、知识与技能：
1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；
2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法
3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法
二、过程与方法：
1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

三、情感态度与价值观：
探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；
教学重点：
应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

教学难点：
如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

课型、课时：
新课，一课时
教学工具：
常用教具，多媒体，PPT课件
教学方法：
引导法，探究法，启示法
教学过程
积分⎰b
a f (x )dx 在几何上表示 x =a 、x =
b 与 x 轴所围成的曲边梯形
的面积。

当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值
类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x 轴所围成平面图形的面积S
由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解
练习. 求抛物线y=x 2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。

解：如图：由x 2-1=0得到抛物线与x 轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：
所以：
⎰b
a
f (x )dx =⎰c
a f (x )
O
x
a
b y =f (x )
x
O
a
b
y =f (x )
⎰b
a
f (x )dx =⎰c a f (x )dx +
⎰b
c f (x )dx 。

=-S (2)
x
y
o
a
b
c
)
(x f y =(3)
(1) x
y
o )
(x f y =a b (1) ()b a S f x dx =⎰(2) ()b a S f x dx =-⎰(3) |()|()()()c
b
c
b
a
c
a
c
S f x dx f x dx f x dx f x dx
=+=-+⎰⎰⎰⎰21
22
1
1(1)(1)S x dx x dx
-=---⎰⎰2
1
33
1
1
8
()()333x x x x -=---=y
x
当f (x )≥0时，积分dx x f b
a )(⎰在几何上表示由y =f (x )、
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
总结：当x ∈[a ，b ]有f (x )>g (x )时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S
＝
.
不分割型图形面积的求解步骤：
(1)准确求出曲线的交点横坐标；
(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；
(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；
(4)计算得所求面积．
y
x
o
b
a
)
(x f y =)(x g y =(2)
)
(x f y =)
(x g y =(1)
()()b
a
f x
g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰。