2.3.1双曲线及其标准方程1

问题
焦距. ② |F1F2| ——焦距
F F
M
1. 为什么要强调差的绝对值？ 为什么要强调差的绝对值 绝对值？ 2. 为什么这个常数要小于 | F 1 F 2 |？ ？
1
2
返回
请思考： 平面内与两定点F ， 平面内与两定点 1， 1、平面内与两定点 、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于 ， F2的距离的差的绝对 值等于常数（ 值等于常数（小于 常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹是什么？ 常数（ 的点的轨迹是什么？
两边再平方后整理得： c 2 − a 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 c 2 − a 2
x2 y2 两边同除以 a 2 ( c 2 − a 2 ), 得 2 − 2 =1 2 a c −a
(
)
(x − c )2 + y 2
(
)
∵ 2c > 2a > 0∴ c > a > 0∴ c 2 − a 2 > 0
2 2
练习. x y 求与双曲线 − 有共同焦点， 16 4 且过点 3 2，的双曲线方程？ 2
2 2
(
)
例3.如果方程 3.如果方程
x y 表示双曲线， − = 1表示双曲线， 2−m m+1
2
2
求m的取值范围. 的取值范围.
变式一 :
x2 y2 + = 1 表示双曲线时，则m的取值 表示双曲线时， 方程 2−m m+1
.
x2 y2 + = 1 表示焦点在 （4）如果方程 ） m −1 2 − m
x轴上的双曲线，求m的范围。 轴上的双曲线， 的范围。 轴上的双曲线 的范围
解：根据双曲线的性质有： 根据双曲线的性质有： m-1＞0 2-m＜0 解得： ＞ 解得：m＞2
变式
(1)若方程表示双曲线，求m的范围 若方程表示双曲线， 若方程表示双曲线 的范围 (2)若表示焦点在 轴的椭圆时，求m的范围 若表示焦点在x轴的椭圆时 若表示焦点在 轴的椭圆时， 的范围
它的焦点坐标是
（ C
( A ) (± 13 , 0 )( B ) (0 , ± 13 ( C )( ± 13 , 0 )( D ) 0 , ±
(
)
13
)
巩固练习二： 巩固练习二：
1、双曲线2 x2-y2=k的焦距是 ，则 k 的值是（B ） 、双曲线 的焦距是6， 的值是（ 的焦距是 6 5 （D）3 （A）124 （B） ± 6 （C）± ） ） ） ） 5
平面内与两 定点F ， 定点 1，F2 的距离的差 为非零常数 的点的轨迹 是什么？ 是什么？
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 平面内与两个定点F 的距离的差 与两个定点 对值等于常数 小于|F |)的点的轨迹叫做 等于常数( 对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线. 双曲线. 两个定点F ① 两个定点 1、F2——双曲线的焦点 双曲线的焦点;
= 6 ( 2)
(x + 5)2 + y 2 − (x − 5)2 + y 2
(3)
(x + 5)2 + y 2 − (x − 5)2 + y 2
= 10
( 4)
(5)
( x + 5)
2
+y −
2
( x + 5)
2
+ y2 = 0
= 12
(x + 5)2 + y 2 − (x − 5)2 + y 2
x y 是否表示双曲线？ 2. − = 1(mn > 0) 是否表示双曲线？ m n
2
2
分析: 分析:
m > 0 (1 ) 当 时 ,表示焦点在 x 轴上的双曲线； 轴上的双曲线； n > 0
m < 0 ( 2 )当 时 ，表示焦点在 y 轴上的双曲线。 轴上的双曲线。 n < 0
不存在
练一练： 练一练：
1.已知点F1 (−5,0), F2 (5,0), 动点P满足 PF1 − PF1 = 8, 则P的轨迹是( ) D.一条射线
=6
A.双曲线 B.双曲线一支 C.直线 2.下列方程表示什么曲线？ 下列方程表示什么曲线？ 下列方程表示什么曲线
(1)
(x + 5)2 + y 2 − (x − 5)2 + y 2
(2)焦点为(0,−6), (0,6), 且经过点(2,−5)
9 求经过两点( − ( 例2. 求经过两点(3, 4 2 ), ,5)的双 4 曲线的标准方程. 曲线的标准方程.
评:待定系数法 2 2 x y 2 2 2 (1) 设 2 − 2 = 1，待定a , b , c a b
x y ( 2 ) 设 − = 1，可避免讨论 m n
x2 y 2 2 2 (1) − = 1 (2) x − y = 2 4 2 x2 y 2 x2 y 2 (3) − = −1 (4) − = 1(m > 0, n > 0) 3 4 m n 答案： )a = 2, b = 2 , c = 6 , F1 (− 6 ,0), F2 ( 6 ,0) (1
B
2
2
2
2
如何确定焦点位置？？ =a +b 。 如何确定焦点位置？？ 2 的系数是正的， 轴上； ④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x 轴上； 2 的系数是正的， 轴上。 如果 y 的系数是正的，则焦点在 y 轴上。
③c
2 2 2
1.判断下列方程是否表示双曲线？ 1.判断下列方程是否表示双曲线？若 判断下列方程是否表示双曲线 及其焦点坐标. 是，求出 a , b , c及其焦点坐标.
巩固练习 三： 1．△ABC一边的两个端点是 一边的两个端点是B(0,6)和C(0,－6)，另 ． 一边的两个端点是 和 － ， 4 两边所在直线的斜率之积是 ，求顶点A的轨迹． 求顶点 的轨迹． 的轨迹 2 ．填空：双曲线 4x 2 − y 2 + 64 = 0 上一点 到它 填空： 上一点P到它 的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的 的一个焦点的距离等于 ，则点 到另一个焦点的 距离等于 ． 17 3 ．求适合下列条件的双曲线的标准方程： 求适合下列条件的双曲线的标准方程： 2 2 x y y 2 x2 =1 或 − =1 （1）a＝3，b＝4； − ） ＝ ， ＝ ； 9 16 9 16 经过点A(－ 2 ，焦点在x轴上 轴上． （2） = 2 5 ，经过点 －5,2)，焦点在 轴上． ） a 2
a
∵ ∴
2
−
b
2
=1 ( a > 0 , b > 0 )
∴ c=5 ,a=3 =5
2c=10 ,2a=6 =10 b2= 52- 32= 16
∴ 所求双曲线的标准方程为
x y − =1 9 16
2
2
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程 :
(1)焦点在x轴上, a = 4, b = 3;
若去掉焦点在X 若去掉焦点在 轴上的条件呢? 轴上的条件呢
双曲线及其标准方程
1. 椭圆的定义 平面内与两定点F 平面内与两定点 1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹 的点的轨迹. 2. 引入问题 平面内与两定点F 平面内与两定点 1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？ 的点的轨迹是什么呢？
拉链实验
思 考：
15 (2)焦点在x轴上,经过点 − 2， 3 , ，2 的双曲 − 2 3 y x2 − =1 线的标准方程为 3 2 2 x y (3)以椭圆 以椭圆 长轴长 + = 1 的短半轴长为 a 值,长轴长 64 16
课堂练习： 课堂练习：
(
)
为焦距且焦点在 y 轴上的双曲线的方程是 y 2 x2 − =1 16 48
(2)a = 2 , b = 2 , c = 2 , F1 (−2,0), F2 (2,0)
(3)a = 2, b = 3, c = 7, F1 (0,− 7 ), F2 (0, 7 )
(4)a = m, b = n , c = m + n , F1(− m + n ,0), F2 ( m + n ,0)
F
1
y
M
O
F
2
x
- |MF2||= 2a
(x-c)2 + y2 | = 2a
返回
即 | (x+c)2 + y2 -
(x + c)
2
+ y − (x − c) + y = 2a
2 2 2
2 2
将上述方程化为： (x + c) + y2 − (x −c) + y2 = ±2a 移项两边平方后整理得： − a 2 = ± a cx
m < −1 或 m > 2 范围_________________. 范围_________________.
变式二 :
2x2 y 2 若双曲线 − = 1的焦距为6，求k的值？ k k
例4 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声 的时间比在B处晚2秒， 1 爆炸点应在怎么样的曲线上？ ）
2）已知A、B两地相距800米，并且此时 的音速为340米/秒，求曲线的方程.
o
x
c = a +b
2 2
2
F1 (0,-c)
两种标准方程的特点
y
M
y
F2
M
F1
o
F2
x
F1
x
y x x y − 2 = 1(a > 0，b > 0) 2 − 2 = 1(a > 0，b > 0) a b a2 b 大小不定。 方程用“ 号连接。 ① 方程用“－”号连接。 ② a , b 大小不定。