实验七,八

实验七 重积分一、实验目的进一步利用Integrate 命令实现计算多重积分，了解Nintegrate 实现数值积分，掌握用多重积分计算体积、面积、质心、转动惯量。

二、实验内容1、用Integrate 计算多重积分（或重复积分）；① 计算二重积分⎰⎰maxminmaxmin),(x x y y dydx y x f ；命令：Integrate[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] ② 计算三重积分⎰⎰⎰maxminmaxminmaxmin),,(x x y y z z dydx dz z y x f ；命令：Integrate[f[x,y,z],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}]注：在Integrate 中最右边的变量，是最先被计算的积分变量； 另外也可重复使用BasicInput 模板上的积分符号进行重积分计算。

1、法给出要计算积分的准确值，可以用Nintegrate 进行数值积分；2、用二重积分计算面积、体积、表面积；3、用三重积分计算体积、质心、转动惯量。

三、实验步骤1、 用Integrate 计算重积分；① 计算积分⎰⎰+211)(xdydx y x ；输入：Integrate @x +y,8x ,1,2<,8y ,1,<D Integrate @x +y,8y ,1,x <,8x ,1,<D&&比较两命令的结果；à12à1x H x +y L â &&BasicInput 模板。

② 计算⎰⎰⎰2000xxyxyzdzdydx ；输入：Integrate @x *y *z,8x ,0,2<,8y ,0,x <,8z ,0,x *<D à02à0xàx *yx y z âz ây âx2、 用NIntegrate 进行数值积分；输入：NIntegrate A Exp A x 2y2E ,8x ,0,1<,8y ,0,<E à01à01Exp A x 2y2E ây âxN3、重积分的应用；① 利用二重积分计算由抛物线y=x^2-2x+2与直线y=x+1围成区域的面积； 输入：f @x _D =x 2-2 x +2;g @x _D =x +1;Plot@8f @x D ,g @xD <,8x ,-1,3<D intersections =Solve @f @x D g @D a =intersections@1,1,2D ;b =intersections@2,1,2D ;àa bàf@xDg @xD ây âx② 给定由抛物线y=9-x^2与x 轴围成的薄板，假设其中每点的密度正比其到x 轴的距离，在此条件下求它的质心位置。

输入：:0,>③ 计算位于抛物面z=2x +2y 的下面，在xoy 平面上由y=2x 与y=x 围成区域的上面的立体的体积。

输入：④ 计算在半球面z=4-2x -2y 的下面，在xoy 平面上由心脏线r=1-cos θ围成区域的上面的立体的体积。

输入：<<Graphics`Graphics`PolarPlot @1-Cos @q D ,8q ,0,2<D à02 pà01-Cos @qD I 4-r2Mr âr âq⑤ 在xoy 平面中区域R 上的曲面z=f(x,y)的面积为⎰⎰++Ry x dA y x f y x f 1)],([)],([22，由此公式计算半径为a 的球面的表面积。

输入：⑥ xoy 平面的距离，计算它的质心位置。

输入：Clear @x ,y,z,d ,m D x =r *Sin @f D Cos @q D y =r *Sin @f D Sin @q D z =r *Cos @f D;d =k *z;质量：质心位置：:0,0,>⑦ 给定一个半径为 a 的实心半球，其中每点的密度正比于它到底部中心的距离，计算这个实体绕z 轴的转动惯量。

输入：à02 pà0p 2àaH r Sin @fD L 2r I r 2 Sin @f D M âr â记录以上各题的结果。

4、存盘，输入文件名，退出Mathematica 环境，关机结束。

四、实验练习1、计算下列重复积分； 1）⎰⎰+211)32(xdydx y x2）⎰⎰⎰+100x yx xyzdzdydx3）⎰⎰⎰-+πθ20309932r rrdzdrd2、由双曲抛物面xy=z 及平面x+y-1=0,z=0所围图形的体积。

实验八常微分方程一、实验目的本次实验学习常微分方程的解法，要求掌握Dsolve,NDSolve两个命令的用法，会求解常微分方程的应用问题。

二、实验内容1、Mathematica命令Dsolve用于常微分方程的解析解；①微分方程的通解；命令：Dsolve[微分方程,y[x],x]含义：给出独立变量为x的微分方程的通解y[x]。

注：微分方程中未知函数要表示成y[x]，而不能只用y，Mathematica认为y为常数，没有给定初值条件的微分方程的解包含一个任意常数，缺省情况下用C[1]表示，其它的常数（高阶方程）用C[2],C[3],…表示。

②使用定解条件求微分方程的特解；命令：Dsolve[{微分方程，定解条件},y[x],x]含义：求微分方程满足定解条件的特解。

③解微分方程组；命令：Dsolve[微分方程组,{y[x],…,z[x]},x]Dsolve[{微分方程组，定解条件},{y[x],…,z[x]},x]2、NDSolve用于求常微分方程的数值解；命令：NDsolve[{微分方程，定解条件},y,{x,xmin,xmax}]含义：给出在方程中定义的微分方程以及初始条件所确定的解y的数值近似。

其中独立变量x满足xmin≤x≤xmax。

3、利用Dsolve命令求解常微分方程的应用题。

三、实验步骤1、Dsolve命令的使用；1）微分方程的通解①求解一阶微分方程y =x+y。

输入：DSolve @y ¢@x D x +y @x D ,y @xD D ②求解微分方程y ''+y=0。

输入：DSolve @y ²@x D +y @x D 0,y @x D ,x D DSolve @D @y @x D ,8x ,2<D +y @x D 0,y @xD D DSolve @¶8x ,2<y @x D +y @x D 0,y @x D ,x D2）使用定解条件求微分方程的特解① 求)4(y =y 的通解和满足初始条件y(0)= y '(0)=2, y ''(0)=y '''(0)=1的特解。

输入：DSolve @y ²²@x D ==y @x D ,y @x D ,x D DSolve @8y ²²@x D ==y @x D ,y @0D =y ¢@0D 2,y ²@0D y ²¢@0D<y @x D ,xD② 求xuu u 22-='满足初始条件11==x u的特解。

输入：DSolve@8u ¢@x D H u @x D ^2-2 u @x D L x,u @1D<u @x D ,xD③ 求解y '=x+y ，初始条件y(0)=2的特解，然后给出解的图形。

输入 ：Clear @x ,y D equation =DSolve@8y ¢@x D x +y @x D ,y @0D 2<,y @xD D Plot @y @xD .equation,8x ,-5,2<D;3）解微分方程组求解常微分方程组⎩⎨⎧'-='-=yz z y 的通解和满足y(1)=1,z(1)=0的特解。

输入：DSolve@8y @x D -z ¢@x D ,z @x D -y ¢@xD <8y @x D ,z @xD <,xDDSolve@8y @x D -z ¢@x D ,z @x D -y ¢@x D ,y @1D 1,z @1D<8y @x D ,z @xD <,xD2、NDSolve 用于数值近似； ①微分方程y x y +='2初值条件y(0)=1,给出数值近似解。

注：Mathematica 对近似值进行插值，即构造一个过这些点的光滑函数，并以InterpolatingFunction 对象的形式返回解。

输入：A 9@D @D =8y ®InterpolatingFunction@80.,1.<,<D < solution =temp@1,1,D InterpolatingFunction@80.,1.<,D solution @D 1.6Table@8x ,solution @x D <,8x ,0,1,0.1<DTable1.0.1 1.10.2 1.20.3 1.30.4 1.40.5 1.60.6 1.70.7 1.90.8 2.10.9 2.31.2.6Plot @s olution @x D ,8x ,0,<D②画出0)1(222=+++y dt dy dt dy dty d ，y(0)=1, y '(0)=0，在0≤t ≤10上解的图形。

输入：solution1=NDSolve@8y ²@t D +H y ¢@tD L ^2 y ¢@t D +y @t D 0,y @0D y ¢@0D 0<,y @t D ,8t ,0,10<D8y @t D ®InterpolatingFunction@80.,10.<,<>D @D < Plot @y @tD .solution1,8t ,0,10<,PlotRange ®D③对于0sin 3.022=++y dx dydx y d ，分别画出它相对于初值条件为y '(0)=1，y(0)=-2,-1,0,1,2的五组解在0≤x ≤30上的图形。