2020-2021长沙市高二数学上期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021年新高二数学开学摸底考试卷(一)详解
2020-2021年新高二数学开学摸底考试卷（一）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1、（2020·﹣y +3＝0的倾斜角是（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．150°【答案】C30y -+=的斜截式方程为3y =+，∴直线的斜率k 60α=︒，故选：C ．2、（2020·河北省石家庄二中高一期末）若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 【答案】B【解析】对于A 选项，若0c =，则22ac bc =，故A 不成立；对于B 选项，0a b <<Q ，在不等式a b <同时乘以()0a a <，得2a ab >， 另一方面在不等式a b <两边同时乘以b ，得2ab b >，22a ab b ∴>>，故B 成立；对于选项C ，在a b <两边同时除以()0ab ab >，可得11b a<，所以C 不成立； 对于选项D ，令2a =-，1b =-，则有221a b -==-，12b a =，b aa b <，所以D 不成立. 故选B.3、（2020·南京外国语学校高一月考）某地区对当地3000户家庭的2018年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，则年收入不超过6万的家庭大约为（ ）A ．900户B ．600户C ．300户D ．150户【答案】A【解析】由频率分布直方图可得,年收入不超过6万的家庭的频率为（0.005+0.010）×20＝0.3.可得年收入不超过6万的家庭大约为3000×0.3＝900户.故选：A. 4、（2020·湖南省湖南师大附中高一期中）已知点(1,2)M ，(5,4)N ，(,3)S p ，(3,)T q -，且向量MN 与ST 相等，则p ，q 的值分别为( ) A ．-7，-5 B ．7，-5C ．-7，5D ．7，5【答案】C【解析】由点(1,2)M ，(5,4)N ，(,3)S p ，(3,)T q -，可知：(4,2),(3,3)MN ST p q ==---，因为向量MN 与ST 相等，所以347325p p q q --==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩.故选：C 5、（2020·济南市历城第二中学高一期末）关于x 的不等式230x ax +-<，解集为3,1-（），则不等式230ax x +-<的解集为（ ）A ．1,2（）B ．1,2-（）C ．1(,1)2-D ．()3,12-【答案】D【解析】由题,3,1x x =-=是方程230x ax +-=的两根,可得31a -+=-,即2a =, 所以不等式为2230x x +-<,即()()2310x x +-<,所以312x -<<,故选：D 6、（2020·广东省佛山一中高二期中）曲线22(1)1(0)x y x +-=≤上的点到直线10x y --=的距离最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值是（ ）AB ．2C 1+D 1【答案】C【解析】因为圆心(0,1) 到直线10x y --= 1=> ，所以半圆()()22110x y x +-=≤到直线10x y --= 1+ ，到直线10x y --= 距离最小值为点(0,0)到直线10x y --=，所以112a b -==+ ，选C.7、（2020·重庆巴蜀中学高一期末）若cos()1210x π+=-，511,1212x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos()6x π-值为（ ） A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】A【解析】cos()1210x π+=-，511,1212x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则,122x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin 1210x π⎛⎫∴+==⎪⎝⎭， cos()cos cos cos sin sin 6412412412x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3=2102105⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A . 8、在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C ：228150x y x +-+=有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．43C ．32D ．3【答案】B【解析】圆C ：(x −4)2+y 2=1,若直线y =kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C ：x 2+y 2−8x +15=0有公共点，可转化为C 到l 的距离d ≤2.即√k 2+1≤2，解得k 的范围是0≤k ≤43.所以k 的最大值为43二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）9、（2020·首都师范大学附属中学高一期末）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2x y = B ．23y x -=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xx y -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意.故选：AD.10、（2020·枣庄市第三中学高一月考）如图，在正四棱锥S ABCD -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）.A ．EP ⊥A CB ．EP BD ∥C ．EP ∥面SBD D ．EP ⊥面SAC【答案】AC【解析】如图所示，连接AC ､BD 相交于点O ，连接EM ，EN .由正四棱锥S ABCD -，可得SO ⊥底面ABCD ，AC BD ⊥，所以SO AC ⊥. 因为SO BD O ⋂=，所以AC ⊥平面SBD ， 因为E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点， 所以//EM D ，//MN SD ，而EM MN N ⋂=，所以平面//EMN 平面SBD ，所以AC ⊥平面EMN ，所以AC EP ⊥，故A 正确； 由异面直线的定义可知:EP 与BD 是异面直线，不可能//EP BD ，因此B 不正确； 平面//EMN 平面SBD ，所以//EP 平面SBD ，因此C 正确；EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则//EP EM ，与EP EM E =相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直，即D 不正确.故选:AC .11、（2020·福建省福州第一中学高一期末）下列关于函数()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的相关性质的命题，正确的有（ ）A ．()f x 的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭ D ．()f x 的对称中心是(),028k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】对于A 选项，令()242x k k Z πππ+≠+∈，解得()28k x k Z ππ≠+∈， 则函数()y f x =的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，A 选项正确； 对于B 选项，函数()y f x =的最小正周期为2π，B 选项错误； 对于C 选项，令()2242k x k k Z πππππ-<+<+∈，解得()32828k k x k Z ππππ-<<+∈， 则函数()y f x =的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，C 选项正确； 对于D 选项，令()242k x k Z ππ+=∈，解得()48k x k Z ππ=-∈，则函数()y f x =的对称中心为(),048k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC. 12、（2020·辽宁省高二期末）若P 是圆C ：()()22331x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的值可以为（ ）A ．4B ．6C ．1D ．8【答案】ABC 【解析】如图，圆C ：()()22331x y ++-=的圆心坐标为()3,3-，半径为1，直线1y kx =-过定点()0,1-，由图可知，圆心C 到直线1y kx =-5=， 则点P 到直线1y kx =-距离的最大值为516+=. ABC 中的值均不大于6，只有D 不符合.故选：ABC.三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分） 13、（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知()()sin 2cos 0παπα-++=，则1s i n c o s αα=________.【答案】52【解析】()()sin 2cos 0παπα-++=，sin 2cos 0αα∴-=，tan 2α∴=，因此，22221sin cos tan 1215sin cos sin cos tan 22αααααααα+++====.故答案为：52.14、（2020·巴蜀中学高一期末）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3, 0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物者的人数为_________． 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000．【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a ×0.1=1，解之得a =3．于是消费金额在区间[0.5, 0.9]内频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6，所以消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物者的人数为：0.6×10000=6000，故应填3；6000．15、（2020·湖南省雅礼中学高一期末）将底边长为2的等腰直角三角形ABC 沿高线AD 折起，使∠BDC ＝60°，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为_____． 【答案】73π【解析】如图,在BCD ∆中,1BD =,1CD =,60BDC ∠=︒,设底面BCD ∆外接圆的圆心为M ,半径为r ,则12sin 60r =,所以r =因为AD 是球的弦,1AD =,因为A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上,所以1122OM AD ==, 所以球O的半径R OD ===所以球O 的表面积2743S R ππ==.16、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）已知函数()22xf x x =-+，则不等式()()222f x x f x +<+的解集为______.【答案】()1,1-；【解析】因为()1,222,24x x f x x x x x≥⎧⎪==⎨-+<⎪-⎩ 当2x <时，()4144x f x x x ==----，在(),2-∞上单调递增， 因为()()222f x x f x +<+所以22222x x x x x ⎧+<⎨+<+⎩，解得11x -<<，即()1,1x ∈-故答案为：()1,1-四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）17、（2020·河北省石家庄二中高一期末）已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤.（1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足C A A =U ，CB B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题{}|15A x x =-≤≤，{|2U C B x x =<或}4x >，，(){|12U A CBx x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）由C A A =U 得C A ⊆，则145a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得514a -≤≤，由CB B =得BC ⊆，则244a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤，∴实数a 的取值范围为5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． 18、（2020·新疆生产建设兵团二中高一期末）已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数．(1)求()f x 的表达式；(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．【答案】（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1{|2}2x x -<<-【解析】（1）∵函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠，∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =； （2）由（1）得()22x x F x -=-，∴()22x x F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数；（3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增， 即120x x ->+>， ∴122x -<<-，解集为1{|2}2x x -<<-．19、（2020·海南省海南中学高一期末）已知设函数11()cos 2cos 22f x x x x =+ (1)求函数()f x 最小正周期和值域.(2)求函数(),[2,2]f x x ππ∈-的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为2π，值域为[]4,4-；（2）52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）()2cos 4sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭()f x 的最小正周期2T π=，值域为[]4,4-（2）令22262k x k ππππ-≤+≤π+，k Z ∈，解得：22233k x k πππ-≤≤π+，k Z ∈ ()f x ∴单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 令1k =-，则28233k πππ-=-，5233k πππ+=- 52,3ππ⎡⎤∴--⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 令0k =，则22233k πππ-=-，233k πππ+= 2,33ππ⎡⎤∴-⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 令1k =，则24233k πππ-=，7233k πππ+=4,23ππ⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 综上所述：函数()[],2,2f x x ππ∈-的单调递增区间为52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦20、（2020·山东省滕州市第一中学新校高一月考）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点.（1）求证：EF 平面PAB ；（2）若AP AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，证明AF ⊥平面PCD .【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】（1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以EF CD ∥，又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，所以EF AB ∥，又AB Ì面PAB ，EF ⊄面PAB ，所以EF 平面PAB（2）证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂面PAD ，所以CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面 PCD .21、（2020·陕西省西安中学高一期中）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)[)[]20,30,30,40,,80,90⋅⋅⋅，并整理得到频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数．（Ⅱ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（Ⅰ）20人（Ⅱ）3:2．【解析】（Ⅰ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=．所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100⨯=． （Ⅱ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=． 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2．22、（苏州高一下学期期末）如图，在直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝4与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M ，N 两点．（1）若k AM ＝2，k AN =−12，求△AMN 的面积；（2）过点P （3√3，﹣5）作圆O 的两条切线，切点分别记为E ，F ，求PE →•PF →；（3）若k AM •k AN ＝﹣2，求证：直线MN 过定点．【解析】（1）解：由题知，得直线AM 的方程为y ＝2x +4，直线AN 的方程为y =−12x ﹣1，…（2分）所以，圆心到直线AM 的距离d =|4|√5，所以AM ＝2√4−165=4√55，由中位线定理知，AN =8√55，…由题知k AM •k AN ＝﹣1，所以AN ⊥AM ，S =12×4√55×8√55=165．…（6分） （2）解：|PE →|=√(3√3)2+(−5)2−4=4√3，PO =√(3√3)2+(−5)2=2√13，所以cos ∠OPE =4√32√13=2√3√13．… 所以cos ∠FPE ＝2cos 2∠OPE ﹣1＝2（√3√13）2﹣1=1113， 所以PE →⋅PF →=|PE →|⋅|PF →|cos∠EPF =(4√3)2×1113=52813．… （3）证明：由题知直线AM 和直线AN 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线AM 的方程y ＝k （x +2），则直线AN 的方程为y =−2k （x +2），所以，联立方程{y =k(x +2)x 2+y 2=4，得（x +2）[（1+k 2）x +2k 2﹣2]＝0， 得x ＝﹣2或x =2−2k 21+k 2， 所以M （2−2k 21+k 2，4k1+k 2），同理N （2k 2−84+k 2，−8k 4+k 2），…（13分） 因为x 轴上存在一点D （−23，0），所以k DM =−4k 1+k 22−2k 21+k 2+6=−4k 4k 2+8=−k k 2+2，同理k DN =−k k 2+2，…（15分）所以k DN ＝k DM ，所以直线MN 过定点（−23，0）。
浙江省宁波市金兰教育合作组织2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题含答案
晨鸟教育绝密★考试结束前2020 学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟．3．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．参考公式：台体的体积公式锥体的体积公式V 1 S S S S h 1V Sh1 12 23 3其中，分别表示台体的上、下底面积，表示其中表示锥体的底面积，表示锥体的高S S h S h1 2台体的高球的表面积公式柱体的体积公式V Sh S4R2其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高其中R表示球的半径选择题部分（共40 分）一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中，为真命题的是（）A．若a//b，b//c，则a//c B．若a(1, 2,1) ，则a 6C．若a(1, 1, 1) ，b(2, 2, 2)，则a b D．若a b0 ，则a0或b02．圆上的点到直线距离的最小值是（）x2 y2 2x2y10 x y 4A．1 2 2 B．2 C．2 2 1 D．1 23．如图，四边形A B C D为各边与坐标轴平行的正方形ABCD的直观图，若A B 2 ，则原正方形ABCD 的面积是（）Earlybird晨鸟教育A．4 B．2 C．1 D．164．已知向量a(2, x,2) ，b(1,1, 2) ，若a b，则x的值是（）A． 2 B．2 C．3 D． 35．下列命题：①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；②一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；③棱台的相对侧棱延长后必交于一点；④棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．其中为真命题的是（）A．①B．②C．③D．④6．使不等式x2 2x 3 0成立的一个充分不必要条件是（）A．x 2 B．x0 C．x0 或x 2 D．x1或x 37．在空间中，A(1,1, 2) ，B(3,3, 2)，C(2, 6, 2) ，则ABC大小为（）A．45B．60C．90D．1358．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”ABC A B C AC BC AA AB，，若，当“阳马”体积最大时，“堑堵”1 2 B A ACC 1 11 1 1ABC A B C的表面积为（）1 1 1A．4 4 2 B．6 4 2 C．8 4 2 D．8 6 29．已知圆M：(x1)2 (y2)2 5和点P(3, 5) ，过点P做圆M的切线，切点分别为A、B，则下列命题：①k k4；②PA 2 2 ；③AB所在直线方程为：2x3y13 0 ；④△PAB外接圆的PA PB方程为x2 y2 4x7y13 0 ．其中真命题的个数为（）Earlybird晨鸟教育A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在矩形ABCD中，AB 2 ，BC 1，E、N分别为边AB、BC的中点，沿DE将△ADE 折起，点A折至A处（A与A不重合），若M、K分别为线段A D、AC的中点，则在△ADE折起过1 1 1 1程中（）A．DE可以与AC垂直1B．不能同时做到MN// 平面A BE且BK// 平面1 A DE 1C．当时，平面MN A D MN1 A DE 1D．直线，与平面所成角分别为、，、能够同时取得最大值A E BK BCDE1 12 1 2非选择题部分（共110 分）一、填空题；本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．11．在正方体中，异面直线与所成角的大小是______．ABCD A B C D ACBC 11 1 1 112．已知直线：与圆心为，半径为的圆相交于、两点，则圆的方程l3x y 6 0 M(0,1) 5 M A B M1为______，AB ______．13．已知A(1,0, 2)，B (1,3,1) ，点M为z轴上一点，且满足M A M B，则点坐标为______．关M A于M的对称点的坐标为______．14．函数 1 1与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的取值范围是y x2 y k(x2) kEarlybird晨鸟教育______．15．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm）．此几何体的表面积为______ c m2 ，；此几何体的体积为______ c m3 ．16．若命题“方程x2 mx 3 0 在1, 2上有解”为假命题，则m的取值范围是______．17．已知在棱长为12 的正四面体ABCD的内切球球面上有一动点P，则PA的最小值为______，1PA PB的最小值为______．3三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知命题p：实数x满足x2 5x 6 0，命题q：实数x满足m 2 x m2．（1）当m5时，若“p且q”为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．三棱柱中，侧棱与底面垂直，， 1 2，、分别是ABC A B C ABC90AB BC BB M N1 1 1AB、的中点．AC1（1）求证：MN// 平面BB C C；1 1（2）求MN与平面AAC C所成角的大小．1 1Earlybird晨鸟教育20．已知圆：，圆：．C x2 y2 2x0 C x2 y2 4x2my2m2 01 2（1）求m的取值范围并求出半径最大时圆C的方程；2（2）讨论圆和圆的位置关系，并说明理由．C C1 221．如图，四棱锥P ABCD的底面是菱形，AB 2 ，，侧面底面，且DAB PAB ABCD△PAB3是正三角形．（1）求证：PD AB；（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．22．已知直线x2y 2 0 与圆C：x2 y2 4y m0 相交，截得的弦长为2 5 ．5（1）求圆C的方程；（2）过原点O作圆C的两条切线，与函数y x2 的图象相交于M、N两点（异于原点），证明：直线MN 与圆C相切；（3）若函数图象上任意三个不同的点、、，且满足直线和都与圆相切，判断直y x2 P Q R PQ PR C线QR与圆C的位置关系，并加以证明．2020 学年宁波金兰合作高二上期中试卷试题参考答案一、1．B 2．C 3．A 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9．D 10．D二、11．6012．x2 (y1)2 5 ；10 13．(0, 0,3)；(1,0,8)424 8 5 8 2 6414．, 1 15．；16．(,2 3) (4,)3 3Earlybird晨鸟教育17．PA的最小值为4 6 2 6 2 6 ；PA 1 PB的最小值为4 33 ．3 318．解：（1）由题意p：1x 6 ，命题q：3 x7 ，因为“p且q”为真，所以p，q都为真命题，得x3, 6．1m 2 （2）因为p是q的必要不充分条件，则x m 2 x m2是x1x6的真子集，所以，m 2 6所以m1, 4．19．解1：（1）连接BC，，因为在中，，为别是，AC的中点，所以AC△ABC M N AB1 1 1MN BC MN BCC B MN//// BCC B，又因为平面，所以平面．1 1 1 1 1（2）取AC上靠近A的四等分点D，连接MD、ND，因为ABC90，AB BC BB，所以1 2MD AC，因为三棱锥中，侧棱与底面垂直，ABC A B C1 1 1所以所以平面，所以为与平面所成角．MD AA MD AAC CAA CC MND MN1 1 1 1 11在Rt△MND中，MDN90，，，MN BC 1 22 MD AC 12 4 22MD 12所以．sin MNDMN 2 2所以MN与平面AAC C所成角的大小为．1 16解2：如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，所以，(2, 0, 0) A B(0, 0, 2) A(0, 2, 2) M(0,1, 2)C1(0, 2, 0)1Earlybird晨鸟教育N M N(1, 0,1)(1, 1, 1)，，所以，．A(0, 0, 2) 1 1 (2, 2, 0)A1ACAAC C n(x, y, z) 2 0n(1,1, 0)z设平面的法向量为，则解得1 12x2y0MN n设直线MN与平面所成角为，则，AAC C sin 1 11 12 22 MN n所以MN与平面AAC C所成角的大小为．1 1620．（1）1：圆的标准方程C x2 y2 4x2my2m2 0 C(x2)2 (y m)2 4 m2：，化为圆的标准方程：：，2 2所以4 m2 0 m(2, 2) ，r 4 m2 2，当m0时，r，此时：max 2 C2(x2)2 y2 4．（1）1：圆的一般方程D E4F16 4m8m2 2 2 2C x2 y2 4x2my2m2 0 r m4 22由：得．22 2当m0时，r，此时C：x2 y2 4x0．max 22（2） ： ，即圆 是以 为圆心，1 为半径的圆；C(x 1)2 y 2 1 C(1, 0) 11C(x 2)2(y m )2 4 m 2C(2,m ) 4 m 2m(2, 2)：，即圆是以为圆心，为半径的圆，其中；22C 1C 29 m 2 32rrm 12143 因为 ，，所以当 m0时， C Crr ，两圆外切；当 m (2, 0) (0, 2) 时， C Crr ，两圆外离．1 2121 21221．（1）（证线面垂直）证明：取 AB 的中点O ，连接OD ，OP ， 由题意知，△ABD 为等边三角形，所以 ABOD ，又△PAB 是等边三角形，所以 AB OP ，又OP OD O OP ODPODABPODPDPOD，，平面，所以平面，又平面，所以PDAB．Earlybird晨鸟教育（2）1：（坐标法）如图，由（1）知，AB OP，PO 平面PAB，平面PAB 平面ABCD AB，平面PAB 平面ABCD PO ABCD O OB x OD y OP，所以平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则P0, 0, 3，B(1, 0, 0) ，C 2, 3,0，D0, 3,0，B D 1,3,0，PD PC 2, 3, 3，．设平面的一个法向量为，即PBD n (x, y, z ) 0,n BD 0, 3, 3n PD0,x3y0, 取，得，，即，y x 3 z 1 n3,1,113y3z0,设直线PC与平面PBD所成角为，则sin cos , 2 3 6 ，n PC10 5 56所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．5（2）设点C到平面PBD的距离为h，直线PC与平面PBD所成的角是，sin h，PC同方法一得，PO平面ABCD，PD PO DO 6 ，又PB2，BD2，Earlybird晨鸟教育BD 2 PB 2 PD2 1cos PBD15所以，所以，所以sin PBD2BD PB 4 41 15．S PB BD sin PBD△PBD2 21 12 151 15 1由，有．得，．V VS h S PO h 3 3 hC PBD P BCD PBD BCD△△3 3 3 2 3 5又PD AB，AB//CD，所以PD CD，所以PC PD CD 10 ，PC PBD 6h 6所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．sinPC 5 522．解析：（1）解：圆C：x 2 y 2 4y m 0 ，可化为圆x 2 (y 2)2 m 4 ，圆心到直线的距离2 2d 2 52 5 2，因为截得的弦长为，所以，所以，所以圆的方程为m 3C m 45 5 5 5x 2 (y 2)2 1；2（2）证明：设过原点O的切线方程为y kx，即kx y 0 ，圆心到直线的距离1，所以k 12k 3 O y3x y x2 x 3 y 3 C ，设过原点的切线方程为，与函数，联立可得，所以与圆相切；b a2 2（3）解：设P a a，Q b b，，可得，, , k a bR c,c 22 2PQb a直线PQ的方程为y a2 (a b)(x a) ，即为y(a b)x ab，同理可得，直线PR的方程为y(a c)x ac，直线QR的方程为y(b c)x bc，2 ab 2 ac因为直线PQ和PR都与圆C相切，所以1，1，即为(a b)2 1 2(a c) 1b a ab a2 1 2 2 23 0 c2 1a2 2ac a2 3 0 b c，，即有，为方程2a a 32x2 1a2 2ax a2 3 0 bc的两根，可得，，1 a 1 a2 2Earlybird晨鸟教育a 3 1a2 222 11bc a2 a2由圆心到直线QR的距离为1，则直线QR与圆C相切．1a21( ) 2b c a2 2111a2a2Earlybird。
2020-2021学年湖南省长沙市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2020-2021学年湖南省长沙市第一中学上学期期末考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.命题()()","n N f n N f n n **∀∈∉≤且的否定形式是 A. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>且 B. ()(),n N f n N f n n **∀∈∉>或 C. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>且 D. ()()0000,n N f n N f n n **∃∈∉>或 2.若复数2a i i b i+=--（其中,a b 是实数），则复数a bi +在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设实数:p 实数1,1,:x y q >>实数,x y 满足2x y +>，则p 是q 的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的值是A. 1-B. 1±C. 1D.3±5.我们把平面内与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为()1,2n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++--=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为()1,2,1n =--的平面的方程为A.220x y z +--=B. 220x y z ---=C. 220x y z ++-=D.220x y z +++=6.将数字1,1,2,2,3,3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种7.如图所示，已知四面体,,,,ABCD E F G H 分别为,,,AB BC CD AC 的中点，则化简()12AB BC CD ++的结果为 A. BF B. EH C. HG D. FG8.32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A. 20 B. -20 C. 15 D. -159.如图，在长方形OABC 内任取一点(),P x y ，则点P 落在阴影部分的概率为A. 312e -B. 112e -C. 21e -D.11e- 10.函数()()22x f x x x e =-的大致图像是11.某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A. 甲只能承担第四项工作B. 乙不能承担第二项工作C. 丙可以不承担第三项工作D.丁可以承担第三项工作12.如图，已知抛物线的方程为()220x py p =>，过点()0,1A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为()0,1，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点，如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为-3，则MBN ∠的大小等于A.6π B. 4π C. 3π D. 512π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由该五组数据解得y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.850.25yt =-，则实验数据中m 的值为 . 14.若双曲线221x y -=的右支上一点(),P a b 到直线y x =2，则a b +的值为 .15.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 上的点均在圆()222:59C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值，则曲线1C 的方程为 .16.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价为p 元，销量Q （单位：件）与零售价p （单位：元）有如下关系：28300170Q p p =-=，则该商品零售价定为 元时利润最大.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）设函数()1111231f n n n n =++++++，其中n N *∈，若有()24a f n >都有成立. （1）求正整数a 的最大值0a ；（2）证明不等式()024a f n >（其中n N *∈）.18.（本题满分12分）设():1p f x ax =+，在(]0,2上()0f x ≥恒成立，q 函数()2ln a g x ax x x=-+在其定义域上存在极值.（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图：（1）已知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b 的值；（2）该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元代金券，潜在消费人群每人发放80元代金券.已经采用分层抽样的方法从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列.20.（本题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11BCC B 都是菱形，11160, 2.ACC CC B AC ∠=∠==（1）求证：（2）若16AB =求二面角11C AB A --的余弦值.21.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，椭圆E 和抛物线294y x =交于,M N 两点，且直线MN 恰好通过椭圆E 的右焦点2F .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知椭圆E 的左焦点为1F ，左、右顶点分别为,A B ，经过点1F 的直线l 与椭圆E 交于,C D 两点，记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.22.（本题满分12分）已知函数()()()2,a x f x xea R e -=∈为自然对数的底数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()()2ln f x g x ax =-的图象与直线()y m m R =∈交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<（()0f x '为函数()f x 的导函数）.。
2020-2021长沙市雅礼中学小学四年级数学下期中第一次模拟试题含答案
2020-2021长沙市雅礼中学小学四年级数学下期中第一次模拟试题含答案一、选择题1．把一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位，这个小数（）。
A. 大小不变B. 扩大到原数的10倍C. 缩小到原数的D. 缩小到原数的2．把9.37先除以1000，再乘100，这时数字“3”应该在（）上。
A. 个位B. 十分位C. 百分位D. 千分位3．25×13×4=13×（25×4）=1300，这里运用了（）。
A. 乘法交换律B. 乘法结合律C. 乘法交换律和乘法结合律4．把3.956保留到十分位是（）A. 4.0B. 3.9C. 45．下面的照片是空中看到的公园，房子周围有一个亭子、一片树林。
右图是从（）位置看到的。
A. ①B. ②C. ③D. ④6．这两幅冰箱图中哪一幅是小朋友从“侧面偏上”观察得到的？（）A. B.7．哪幅图是在飞机上看到的这座楼房的形状? （）A. B. C.8．765-543=222，下列验算方法错误的是（）。
A. 765+222B. 765-222C. 543+2229．算式83-44不可能表示（）。
A. 83比44多多少B. 83与44的和是多少C. 44比83少多少10．如果用△×□＝〇，那么下面不正确的算式是（）A. 〇÷△＝□B. □×△＝〇C. □÷△＝〇11．76×99+76=76×（99+1）运用了（）。
A. 乘法交换律B. 乘法结合律C. 加法分配律D. 乘法分配律12．下面没有运用乘法结合律的是（）。
A. a×4×25=a×（4×25）B. 4×35×25=4×25×35C. 56×125=7×（8×125）二、填空题13．由5个十、8个一、5个十分之一、4个百分之一组成的小数是________。
2020-2021西安铁一中分校高中必修一数学上期中第一次模拟试题(含答案)
2020-2021西安铁一中分校高中必修一数学上期中第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．函数2ln(1)y 34x x x +=--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．504．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．5．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±6．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,47．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b c D ．c a ＞c b10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<11．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．612．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-二、填空题13．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是14．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 17．已知()21f x x -=，则()f x = ____.18．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.19．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．20．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．三、解答题21．设()4f x x x=-（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明.22．已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 23．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋142,a 4a Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？24．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．25．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-.(1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围. 26．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C3．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．4．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y xx =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．7．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.11．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.12．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
2020-2021长沙市长郡中学高三数学上期中一模试题含答案
【解析】
【分析】
首先根据对数运算法则，可知 ，再根据等比数列的性质可知 ，最后计算 的值.
【详解】
由 ，
可得 ，进而可得 ，
.
【点睛】
本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数 何时取最大值，进而找到 之间的关系式 然后可得 ，化简变形用基本不等式即可求解。
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a4－1)3＋2 016(a4－1)＝1，(a2 013－1)3＋2 016·(a2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( )
A．S2 016＝－2 016，a2 013>a4
B．S2 016＝2 016，a2 013>a4
C．S2 016＝－2 016，a2 013<a4
解析：
【解析】
【分析】
待定系数得到 ，得到
【详解】
因为 满足 ，
所以 ，
即 ，得到 ，
所以 ，
而 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.
16．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1
24．已知数列 满足 .
（1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线l 的方程是3260x y -+=，则直线l 经过（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限 【答案】A【分析】画出图形即可判断. 【详解】画出直线图形如下：由图可得直线过一、二、三象限. 故选：A.2．已知椭圆22:14y C x +=，则椭圆C 的（ ）A ．焦距为25B ．焦点在x 轴上C ．离心率为12D ．长轴长为4【答案】D【分析】根据椭圆的方程得焦点在y 轴上的椭圆，且224,1a b ==，进而得焦距为23离心率为32e =，长轴长24a =. 【详解】解：因为椭圆C 的方程22:14y C x +=，所以椭圆是焦点在y 轴上的椭圆，且224,1a b ==，所以3c =所以焦距为233e =24a =. 故选：D.3．下列说法正确的是（ ） A ．直四棱柱是正四棱柱B ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 【答案】C【分析】根据正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义分析可得答案. 【详解】对于A ，直四棱柱的底面不一定是正方形，故A 不正确；对于B ，将两个相同的棱柱的底面重合得到的多面体不是棱台，故B 不正确； 对于C ，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，说法正确，故C 正确； 对于D ，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D 不正确. 故选：C【点睛】关键点点睛：熟练掌握正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义是解题关键. 4．下列双曲线中，渐近线方程为43y x =±的是（ ） A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．221169x y -= D ．221169y x -=【答案】D【分析】根据双曲线的方程逐一求四个方程的渐近线即可求解.【详解】对于选项A ：22143x y -=中，24a =，23b =，渐近线方程为2b y x x a =±=±，故选项A 不正确；对于选项B ：22143y x -=中，24a =，23b =，渐近线方程为a y x x xb =±==，故选项B 不正确；对于选项C ：221169x y -=中，216a =，29b =，渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项C 不正确；对于选项D ：221169y x -=中，216a =，29b =，渐近线方程为43a y x x b =±=±，故选项D 正确， 故选：D5．直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（ ） A ．(1,3)-- B ．(2,1)--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(1,2)--【答案】B【分析】利用两直线垂直的公式求出1k =-，两直线联立求交点坐标即可. 【详解】由直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直， 可得220k +=， 即1k =-，所以直线20kx y +=的方程为：20x y -=；由2502201x y x x y y ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，得它们的交点坐标为(2,1)--. 故选：B.6．直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种关系都可能 【答案】A【分析】根据题意直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，进而可得答案. 【详解】解：根据题意得直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，由于点()1,0-在椭圆2212x y +=内，故直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是相交关系.故选：A.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，本题解题的关键在于根据题意得直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，且该点在椭圆内，是基础题.7．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ） A ．10米 B ．102米C ．66米D ．65米【答案】C【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解.【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =， 当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.8．已知,αβ是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m nB ．若m α⊥，βn//，且αβ⊥，则m n ⊥C ．若,ααβ⊥⊥m ，则//m βD ．若//,m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【详解】由//,//m n αβ，且//αβ，得//m n 或m 与n 异面或m 与n 相交，故A 错误； 由m α⊥，βn//，且αβ⊥，得//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由,ααβ⊥⊥m ，得//m β或m 在β 平面内，故C 错误； 由//,m m αβ⊥，得αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．【点睛】熟悉空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系是解题关键．9．已知(4,0)A -，B 是圆22(1)(4)1x y -+-=上的点，点P 在双曲线22197x y -=的右支上，则||||PA PB +的最小值为（ ） A ．9 B ．256+C ．10D ．12【答案】C【分析】求出C 的坐标，则点A ，A '是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得：||6PA PA ='+，推出'6'PA PB PA PB A C +=++≥即可.【详解】设点(1,4)C ，点B 在圆上，则||||||1PB PC r PC ≥-=-， 由点P 在双曲线右支上，点A 为双曲线左焦点，设A '为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知||||2||6PA PA a PA =+=+'， 所以||||||6||61||55510PA PB PA PB PA PC A C '+=++≥++-≥+=+=''， 故选：C ．【点睛】方法点睛：（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.10．已知F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，点F 关于直线:1m y x =+的对称点为Q ，若直线l 过点Q ，且//l m ，则椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值为（ ）A ．B C D【答案】B【分析】先求出直线的方程，再利用椭圆的参数方程求得最值得解.【详解】由点2(1,0)F 关于直线1PF ：1y x =+对称点为(1,2)Q -，所以直线:3l y x =+，设椭圆的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设点,sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离为：d ==≤， 故选B ．【点睛】椭圆上的点到直线的距离通常运用椭圆的参数方程转化为三角函数求得最值.11．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一动点，AB 为圆2224a x y +=的直径，若PA PB ⋅最小值为22c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B C ．2D【答案】A【分析】利用平面向量的加法法则以及数量积运算，再利用双曲线的定义即可得22223442a a c a PA PB ≥-=⋅=，即可得出结果.【详解】由题意知：()()PA PB PO OA PO OB ⋅=+⋅+ ()()PO OA PO OA =+⋅-22222344a a PO OA a =-≥-=， 所以222233422a c c a =⇒=，所以23622e e =⇒=， 故选：A ．12．已知三棱锥P ABC -的所有棱长均为2，点M 为BC 边上一动点，若AN PM ⊥且垂足为N ，则线段CN 长的最小值为（ ） A ．213- B ．273- C ．7 D ．1【答案】A【分析】取PA 中点O ，得点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，进一步可得N 的轨迹为一段圆弧，设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，可得当点N 在1CO 上时，CN 取最小值，求解三角形计算得答案．【详解】解：取PA 中点O ，AN PM ⊥，∴点N 在以O 为球心，半径为1的球面上， 又点N 在平面PBC 上，故N 的轨迹为一段圆弧， 设点O 在平面PBC 的投影点为1O ， 且点1(O PS S ∈为BC 中点）， 则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，3PS AS ==，设A 到PS 的距离为h ，则221132(3)122h ⨯⨯=⨯⨯-，即26h =，得163OO =，21631()3PO =-=，22213PS =-= 由N 在PS 上时，求得13NO =，求解Rt △1CO S ，得2212313213CO ⎛⎫=+ ⎪ ⎪=⎝⎭， 则当点N 在1CO 上时，CN 取最小值213-， 故选：A ．【点睛】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，解答的关键是弄清动点的轨迹；二、填空题13．已知双曲线2222mx my -=的一个顶点是(0,1)，则m 的值是_______________． 【答案】2-【分析】由题可判断焦点在y 轴上，且21m-=，可求出. 【详解】双曲线2222mx my -=化为22112x y m m-=， 一个顶点是(0,1)，故焦点在y 轴上，且1a =，0m ∴<，且21m-=，解得2m =-. 故答案为：2-.14．过两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=交点的直线方程为____________． 【答案】240x y --=【分析】利用圆系方程的求法，求解即可．【详解】设两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=的交点分别为,A B ， 则线段AB 是两个圆的公共弦．由224x y +=和22(2)(1)1x y -++=两式相减， 得4280x y --=， 即240x y --=，故线段AB 所在直线的方程为240x y --=； 故答案为：240x y --=.15．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为____________．【答案】52【分析】由题意知二十四等边体是棱长为2a的正方体，沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，根据二十四等边体的棱长为2221a a a+==，可以求出正方体的棱长，利用正方体的体积减去8个全等的三棱锥（三条互相垂直的棱长且棱长为2）的体积即可求解.【详解】如图：设原正方体的棱长为2a22a a2a+=，21a=，所以2 a=所以正方体棱长为22a=22222=又截去的82，故截去体积为211222832223⎛⨯⨯⨯⨯=⎝⎭，所以24等边体的体积为2522233V==．故答案为：52 3【点睛】关键点点睛：本题的关键点是结合题意利用空间想象能力可知二十四等边体是正方体沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，利用二十四等边体棱长为1可以求出正方体的体积，以及三棱锥的体积，即可求该二十四等边体的体积.16．如图，已知P为椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>上的点，点A、B分别在直线12y x=与12y x=-上，点O为坐标原点，四边形OAPB为平行四边形，若平行四边形OAPB 四边长的平方和为定值，则椭圆C的离心率为________．3【分析】方法一：首先设点()00,P x y，利用平行四边形的性质求直线PA和PB的方程，并接到点,A B的坐标，利用两点间距离公式表示四边平方和，利用四边平方和为定值，得到2214ba=，求椭圆的离心率；方法二：首先设()121200,,,,,22x xA xB x P x y⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由平行四边形的性质得到坐标间的关系，并表示行2AB，利用四边形性质边长平方和等于22AB OP+为定值，求椭圆的离心率.【详解】（法一）设()00,P x y，则直线PA的方程为0122xy x y=-++，直线PB方程为0122xy x y=-+，联立方程组12212xy x yy x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得000,242x x yA y⎛⎫++⎪⎝⎭，联立方程组12212xy x yy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得000,242x x yB y⎛⎫--+⎪⎝⎭，则2222222200000000005524224282x x y x x yPA PB y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-++++=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为22005582x y +为定值，则22222213,,44b a b e e a a -====． 法二：设()121200,,,,,22x x A x B x P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AB 和OP 中点相同，则120122x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 所以()222221201204224x x x AB x x y ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭平行四边形性质边长平方和等于222222220000004544x x AB OP y x y y ⎛⎫+=+++=+ ⎪⎝⎭为定值，又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为220014x y +为定值，则22222213,,442b a b e e a a -====．【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.三、解答题17．已知12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程．【答案】（1）22124y x -=；（2）810y x .【分析】（1）由双曲线定义求a ，结合12PF PF ⊥求2b ，写出双曲线C 的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，结合双曲线方程得1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，根据中点M 、直线斜率的坐标表示得324AB k ⋅=，即可写出直线方程.【详解】（1）1222a PF PF =-=，得1a =，在△12PF F 中2221212100F F PF PF =+=，∴24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为：22124y x -=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，有221221221212222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩，所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+=⋅=--+，又1212AB y y k x x -=-，1212632y y x x +==+， ∴324AB k ⋅=，得8AB k =， ∴直线AB 方程为：810y x ，满足0∆>，符合题意 .【点睛】关键点点睛：1、由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m ，有2a m =，结合勾股定理求c .2、()()1122,,,A x y B x y ，利用中点1212(,)22x x y y ++、直线斜率1212y y k x x -=-，结合所得方程1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，求斜率并写出直线方程. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1PA =，直线PB 、PD 与平面ABCD 所成角分别为30°、45°，E 为CD 的中点．（1）已知点F 为PB 中点，求证：//CF 平面PAE ； （2）求二面角P BD A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ，证明//CG AE ，//FG PA ，推出//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ，然后证明平面//CFG 平面PAE ，得到//CF 平面PAE ．（2）PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，得到30PBA ∠=︒，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ，z 正方向建立空间直角坐标系，求出平面PBD 的法向量，平面ABD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ，∵在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为CD 的中点，∴//CG AE ，//FG PA ， ∵CG ⊄面PAE ，AE ⊂面PAE ，FG ⊄面PAE ，PA ⊂面PAE ， ∴//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ， 又因为CG FG G ⋂=，,CG FG ⊂面CFG ∴平面//CFG 平面PAE ，∵CF ⊂平面CFG ，∴//CF 平面PAE ．（2）由PA ⊥面ABCD ，所以PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，30PBA ∠=︒ 所以PDA ∠为PB 与面ABCD 所成角，45PDA ∠=︒由1PA =，所以1AB AD ==，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ，z 正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D P ，平面PBD 中：(3,0,1)PB =-，(0,1,1)PD =-，设法向量(,,)n x y z =，则00PB n PD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00z y z -=-=⎪⎩取3z =，则1,x y ==(1,3,n =，又PA ⊥平面ABCD ，故平面ABD 的法向量为：(0,0,1)m =，设二面角P BD A --的平面角为θ，所以||3cos ||77m n m n θ⋅===．【点睛】本题考查了立体几何中的面面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:1l y x =+与椭圆C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若点E 满足()OE t OM ON =+，且点E 在椭圆C 上，求实数t 的值． 【答案】（1）22143x y +=；（2）72t =±. 【分析】（1）根据离心率得到,,a b c 的关系，再代入点P 的坐标求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系12x x +，以及12y y +，并利用向量相等表示点E 的坐标，代入椭圆方程，求t . 【详解】解：（1）122=⇒=c a c a ，所以22224,3==a c b c ，所以椭圆方程为：22243x y c +=，过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2914143c =+=，所以椭圆方程为：22143x y+=，（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2212212817788043817x x x y x x x x y x ⎧⎧+=-⎪⎪+=⎪⎪⇒+-=⇒⎨⎨⎪⎪=-=+⎪⎪⎩⎩所以12128611277y y x x +=+++=-+= 又()()()121286(),,77t t OE t OM ON t x x t y y ⎛⎫=+=++=-⎪⎝⎭，所以点86,77t t E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，带入椭圆中：22264367494914342t t t t +=⇒=⇒=±． 20．已知圆C 的圆心在第一象限内，圆C 关于直线3y x =对称，与x 轴相切，被直线y x =截得的弦长为（1）求圆C 的方程；（2）若点P 在直线10x y ++=上运动，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B 点，求四边形PACB 面积的最小值． 【答案】（1）()()22139x y -+-=；（2. 【分析】（1）设圆C 标准方程，由垂径定理、圆与x 轴相切、关于直线3y x =对称可构造方程求得圆心坐标和半径，由此得到标准方程； （2）将四边形PACB 面积转化为23PABSPA =，只需求得PA 最小值即可；根据PC d ≥且PA =PA 最小值，代入可求得结果.【详解】（1）设圆C 的标准方程为：()()()2220,,0x a y b r a b -+-=>>， 圆C 关于直线3y x =对称，3b a ∴= 圆C 与x 轴相切：3r b a ∴==…① 点(),C a b 到y x =的距离为：d ===， 圆C 被直线y x =截得的弦长为，222r d ∴=+，结合①有：22927a a =+，21a ∴=， 又0a >，1a ，33r b a ===，∴圆C 的标准方程为：()()22139x y -+-=.（2）,PA PB 与圆C 相切，CA PA ∴⊥，CB PB ⊥，3CA CB ==由PAC PAB ≌得：12232PABPACB S SCA PA PA ==⨯⨯=四边形， 圆心C 到直线10x y ++=的距离1315222d ++==， PC d ∴≥，即522PC ≥（当PC l ⊥时取等号），又2229PA PC CA PC =-=-，23143392PACB S PA d ∴=≥-=四边形（当PC l ⊥时取等号）， ∴四边形PACB 面积的最小值为3142.【点睛】关键点点睛：本题考查与圆有关的四边形面积最值的求解问题，解题关键是能够将四边形面积转化为三角形面积的求解，进而确定决定三角形面积的变量是切线长，通过确定切线长的最值得到所求面积的最值.21．如图，已知四棱柱ABCD A B C D ''''-的侧棱长为4，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E 为BC 中点，直线AE 和CD 交于点H ，C H '⊥面ABCD ．（1）求证：BD A H '⊥； （2）若3BAD π∠=，在线段AA '上是否存在一点M ，使得平面MBD 与平面BCC '所成锐二面角为60，若存在，求||MA AA '的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）先证明BD ⊥面A C H ''，进而得BD A H '⊥；（2）先证明A B '⊥面ABCD ，进而如图建立空间直角坐标系，假设存在M 满足条件并设()01AM AA λλ'=≤≤，再求两个平面的法向量，利用法向量求二面角即可得711λ-=或者711+，进而可得答案. 【详解】解：（1）由菱形ABCD 中：BD AC ⊥，又由四棱柱ABCD A B C D ''''-得//AA CC ''，AA CC '='， 所以四边形ACC A ''为平行四边形，所以//AC A C ''， 所以BD A C ⊥''，又C H '⊥面ABCD ，所以C H BD '⊥， 因为A C C H C '''='⋂，所以BD ⊥面A C H ''，所以BD A H '⊥ （2）在HAD △中，1//,2CE AD CE AD =， 所以CE 为中位线，则C 为DH 中点，CD CH =， 所以AB CH =，又//AB CH ， 所以ABHC 为平行四边形， 所以,//BH AC BH AC =， 又ACC A ''为平行四边形， 所以BH A C =''，//BH A C ''， 所以BHC A ''为平行四边形 所以//,C H A B C H A B ''''= 又C H '⊥面ABCD ， 所以A B '⊥面ABCD ．在Rt C CH '中，4,2CC CH ='=，则C H '=， 三角形ABD 中，,3AB AD BAD π=∠=，所以2BD AB ==，所以三角形BCD 为正三角形，以点B 为坐标原点，,BA BA '为,y z 轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(0,2,23)(0,2,0),(0,0,23),(3,1,0)B C B A A D -''-设()()()0,2,23,01,0,223AM AA BM BA AM λλλλλλ==-≤≤=+'=-， 所以点(0,22,23)M λλ-，所以在面MBD 中：(3,1,0)BD →=，(0,22,23)BM λλ→=-，设法向量111(,,)n x y z →=00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则111130(22)230x y y z λλ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取13y λ=，则11,1x z λλ=-=-，所以(3,1)n λλλ→=-- 在平面BB C '中，()(3,1,0,0,2,23BC BB =-'=-，设法向量222(,,)m x y z →=，00m BC m BB '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则222230230x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取23y 221,1x z ==，所以3,1)m →=若存在，则221cos 60254(1)m nm nλλ→→→→=+-⋅⋅︒==， 化简有：()2224(31)54(1)λλλ-=+-，整理有2111410λλ--=，所以721511λ-=或者721511+， 由721572150,1-+<>，且01λ≤≤，所以在线段AA '上不存在点M ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，空间向量解决立体即可中的存在性问题，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意证明A B '⊥面ABCD ，进而建立空间直角坐标系（如图），并假设存在M 满足条件，并设()01AM AA λλ'=≤≤，进而求两个平面的法向量，通过二面角求解.22．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在椭圆上运动时，12PF F △面积的最大值为4，当1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为22．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若直线1PF 、2PF 交椭圆另一点分别是A 、B ，点P 不在x 轴上，且||||2PA PB +=，求点P 的坐标．【答案】（1）22184x y +=；（2）点P 的坐标为(6,1),(6,1),(6,6,1)--. 【分析】（1）由12PF F △面积的最大为4，得4cb =，由1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为22222b ca=222a b c =+，解得22,2a b c ===，即可求得椭圆方程；（2）设11(,)P x y ,22(,)A x y ，22(,)B x y ''，直线1PF 为：2x my =-，联立方程222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 有：()222440m y my +--=，利用弦长公式求得21||12PA m ⎫=-⎪+⎭，同理21||12PB n ⎫=-⎪+⎭，由||||PA PB +=，得出||2mn =，利用斜率公式知21211142y mn x ==±-，分类讨论求出点P 的坐标． 【详解】（1）当点P 是椭圆上的上顶点时，12PF F △面积的最大，即1242cb ⨯=，即4cb =当1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为2122b c a ⨯⨯=2b ca=．又222a b c =+，解得2a b c ===所以椭圆方程为22184x y +=（2）设直线1PF 为：2x my =-，直线2PF 为：2x ny =+联立方程222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 有：()222440m y my +--=，()()()22241623210m m m ∆=-++=+>，设11(,)P x y ,22(,)A x y ，22(,)B x y ''由韦达定理得：12122244,22m y y y y m m -+==++则)2122211||122m PA y m m +⎫=-==-⎪++⎭同理可得：)2122211||122n PB y y n n +⎫=-==-⎪++⎭'，由||||PA PB +=，所以22111122m n ⎫-+-=⎪++⎭即2222122m n ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，则224||2m n mn =⇒=，又11111212ym xyn x⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩，则21211142ymn x==±-，若22211121112442yy xmn x==-⇒=--，又221128x y+=，有221148x x+-=，不成立；若22211121112442yy xmn x==⇒=--，又221128x y+=，所以211211611x xy y⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨==±⎪⎪⎩⎩所以点P的坐标为1)--．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆相交求弦长，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.第 21 页共 21 页。
2020-2021北京市高中必修二数学下期中第一次模拟试卷附答案
2020-2021北京市⾼中必修⼆数学下期中第⼀次模拟试卷附答案2020-2021北京市⾼中必修⼆数学下期中第⼀次模拟试卷附答案⼀、选择题1．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平⾯ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表⾯积为（） A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π2．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ?⾯积的最⼤值是（）A ．32-B ．4C ．6D ．32+3．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球⾯上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三⾓形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．44．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（） A ．－3B ．－4C ．－6D ．36-5．如图，已知正⽅体1111ABCD A B C D -中，异⾯直线1AD 与1A C 所成的⾓的⼤⼩是()A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o6．已知⼀个三棱锥的三视图如图所⽰，其中俯视图是等腰直⾓三⾓形，则该三棱锥的外接球表⾯积为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π7．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表⾯上，ABC ?是边长为43的等边三⾓形，SA ⊥平⾯ABC ，且SB 与平⾯ABC 所成的⾓为6π，则球O 的表⾯积为（） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π8．某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b10．已知实数,x y 满⾜250x y ++=，那么22x y +的最⼩值为（） A ．5B ．10C ．25D ．21011．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球⼼的球⾯上，且2AB =，4AC =，25BC =,三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表⾯积为（） A ．22πB ．743πC ．24πD ．36π12．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多⾯体的三视图，则该多⾯体的体积为（）A ．64B ．643C ．16D ．163⼆、填空题13．如图，在长⽅形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上⼀动点，现将AFD V 沿AF 折起，使平⾯ABD ⊥平⾯ABC ，在平⾯ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂⾜，设AK t =，则t 的取值范围是__________．14．过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线⽅程为____________．15．⼀个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表⾯上，则球O 的表⾯积为________16．若圆1C ：220x y ax by c ++++=与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.17．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______． 18．⼩明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的⼏何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22，类似地，他研究了函数()32x g x x -=-，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____19．已知棱长等于23的正⽅体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球⼼为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平⾯截球O 的截⾯⾯积的最⼩值为________.20．如图所⽰，⼆⾯⾓l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平⾯内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥⾯ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=?，M 为BC 的中点．（1）求证：平⾯PDM ⊥平⾯PAM ；（2）若⼆⾯⾓P DM A --为30°，求直线PC 与平⾯PDM 所成⾓的正弦值． 22．如图，四棱锥P －ABCD 的底⾯ABCD 是平⾏四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，PA ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平⾯PAB ；（2）若⼆⾯⾓P －AD －B 为60°．①证明：平⾯PBC ⊥平⾯ABCD ；②求直线EF 与平⾯PBC 所成⾓的正弦值．23．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ?沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平⾯PBD ⊥平⾯BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上⼀点，且2BM CM =，求证：//OM 平⾯PCD .24．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满⾜AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的⽅程；（2）证明：OCD ?的外接圆恒过定点（异于原点）．25．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最⼤时直线1l 的⽅程. 26．已知三⾓形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-；（1）求直线AB ⽅程的⼀般式；（2）证明△ABC 为直⾓三⾓形；（3）求△ABC 外接圆⽅程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除⼀、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽⾼的长⽅体的外接球，从⽽可得球半径，进⽽可得结果.详解：因为PA ⊥平⾯AB ，,AB BC ?平⾯ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽⾼的长⽅体的外接球，外接球的直径等于长⽅体的对⾓线，即2R ==246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表⾯积的求法，属于难题.要求外接球的表⾯积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见⽅法有：①若三条棱两垂直则⽤22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥⾯ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ?外接圆半径）③可以转化为长⽅体的外接球；④特殊⼏何体可以直接找出球⼼和半径.2．D解析：D 【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆⼼在该直线上，从⽽求出圆⼼坐标与半径，要使得PAB ?⾯积最⼤，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最⼤，所以⾼最⼤1+，PAB S ?最⼤值为3 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆⼼（-2k，0）在直线x-y-1=0上，∴-2k-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆⼼坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的⽅程为2x -+2y=1，即x-y+2=0∴圆⼼到直线AB 的距离为2.∴△PAB ⾯积的最⼤值是1321322||(1)222222AB ++=??=3+2 故选D ．【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最⼤距离.⽽圆上动点到定直线的最⼩距离为圆⼼到直线距离减去半径，最⼤距离为圆⼼到直线距离加上半径.3．C解析：C 【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利⽤截⾯的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个⼩三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从⽽建⽴关于r 的⽅程，即可求出r ，从⽽解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球⼼为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平⾯AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个⼩三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+==三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多⾯体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个⼩三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．4．A解析：A 【解析】【分析】求出圆⼼坐标和半径，根据圆的弦长公式，进⾏求解即可. 【详解】由题意，根据圆的⽅程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆⼼坐标为(1,1)-，半径1r a =-，⼜由圆⼼到直线的距离为11222d -++==，所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应⽤，其中根据圆的⽅程，求得圆⼼坐标和半径，合理利⽤圆的弦长公式列出⽅程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能⼒.5．C解析：C 【解析】【分析】在正⽅体1111ABCD A B C D -中，利⽤线⾯垂直的判定定理，证得1AD ⊥平⾯1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所⽰，在正⽅体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥，由线⾯垂直的判定定理得1AD ⊥平⾯1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异⾯直线1AD 与1A C 所成的⾓的⼤⼩是90o ．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平⾯垂直的判定与证明，以及异⾯直线所成⾓的求解，其中解答中牢记异⾯直线所成的求解⽅法和转化思想的应⽤是解答的关键，平时注意空间思维能⼒的培养，着重考查了推理与论证能⼒，属于基础题．6．C解析：C 【解析】【分析】2的等腰直⾓三⾓形，与底⾯垂直的侧⾯是个等腰三⾓形，底边长为2，⾼为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正⽅体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知⼏何体是⼀个侧棱与底⾯垂直的三棱锥，底⾯是斜边上的⾼为2的等腰直⾓三⾓形，与底⾯垂直的侧⾯是个等腰三⾓形，底边长为2，⾼为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正⽅体的外接球相同，其直径为23，半径为3∴三棱锥的外接球体积为()343433ππ?=故选C 【点睛】本题主要考查了三视图，⼏何体的外接球的体积，考查了空间想象能⼒，计算能⼒，属于中档题．7．C解析：C 【解析】【分析】根据线⾯夹⾓得到4SA =，计算ABC ?的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ??=+，解得答案.【详解】SA ⊥平⾯ABC ，则SB 与平⾯ABC 所成的⾓为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ?的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ??=+ ?，解得25R =，故球O 的表⾯积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学⽣的计算能⼒和空间想象能⼒.8．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图可知，⼏何体是三棱柱消去⼀个同底的三棱锥，如图所⽰，三棱柱的⾼为，消去的三棱锥的⾼为，三棱锥与三棱柱的底⾯为直⾓边长分别为和的直⾓三⾓形，所以⼏何体的体积为，故选C ．考点：⼏何体的三视图及体积的计算．【⽅法点晴】本题主要考查了⼏何体的三视图的应⽤及体积的计算，着重考查了推理和运算能⼒及空间想象能⼒，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、⾼平齐”的原则，还原出原⼏何体的形状，本题的解答的难点在于根据⼏何体的三视图还原出原⼏何体和⼏何体的度量关系，属于中档试题．9．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <">，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、"的正负，所以它们的⼤⼩不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以⼀个负数1lg c改变不等号⽅向，所以选项B 正确;对于选项C ，利⽤cy x =在第⼀象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利⽤xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】⽐较幂或对数值的⼤⼩,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利⽤指数函数或对数函数的单调性进⾏⽐较；若底数不同,可考虑利⽤中间量进⾏⽐较.10．A解析：A 【解析】22x y +(,)x y 到坐标原点的距离，⼜原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+22x y +5 A.11．C解析：C 【解析】【分析】由已知可得三⾓形ABC 为直⾓三⾓形，斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆圆⼼，利⽤三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底⾯的距离，可求出球的半径，然后代⼊球的表⾯积公式求解．【详解】在ABC V 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥，则斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆的圆⼼，∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '=，解得1OO '=，221(5)6R =+=，球O 的表⾯积为2424R ππ=．故选C ．【点睛】本题考查球的表⾯积的求法，考查锥体体积公式的应⽤，考查空间想象能⼒和计算能⼒，属于基础题.12．D解析：D 【解析】根据三视图知⼏何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正⽅体⼀部分，直观图如图所⽰：B 是棱的中点，由正⽅体的性质得，CD ⊥平⾯,ABC ABC ?的⾯积12442S =??=，所以该多⾯体的体积1164433V =??=，故选D.⼆、填空题13．【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平⾯则⼜则因为所以故综上的取值范围为点睛:⽴体⼏何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件解析：1,12【解析】当F 位于DC 的中点，点D 与AB 中点重合，1t =．随F 点到C 点，由CB AB ⊥，CB DK ⊥，得CB ⊥平⾯ADB ，则CB BD ⊥．⼜2CD =，1BC =，则BD =．因为1AD =，2AB =，所以AD BD ⊥，故12t =．综上，t 的取值范围为1,12??．点睛:⽴体⼏何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.14．【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l 的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l 的⽅程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所解析：3210x y +-=【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的⽅程即可．【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为23 ，所以直线l 的斜率为32- ，则直线l 的⽅程为：3212y x -=-+（），化简得3210x y +-=.即答案为3210x y +-=．【点睛】本题考查学⽣掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据⼀点和斜率写出直线的点斜式⽅程，是⼀道基础题．15．【解析】【分析】设此直三棱柱两底⾯的中⼼分别为则球⼼为线段的中点利⽤勾股定理求出球的半径由此能求出球的表⾯积【详解】∵⼀个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球⾯上∴设此直三棱柱两底⾯的中⼼分别解析：21π【解析】【分析】设此直三棱柱两底⾯的中⼼分别为12,O O ，则球⼼O 为线段12O O 的中点，利⽤勾股定理求出球O 的半径2R ，由此能求出球O 的表⾯积．【详解】∵⼀个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的球⾯上，∴设此直三棱柱两底⾯的中⼼分别为12,O O ，则球⼼O 为线段12O O 的中点，设球O 的半径为R ，则2223232132324R =+??= ? ? ?∴球O 的表⾯积2S 4R 21ππ== . 故答案为：21π．【点睛】本题考查球的表⾯积的求法，空间思维能⼒，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．16．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆⼼关于直线对称则两圆的圆⼼的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆⼼半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为解析：165-【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆⼼关于直线对称，则两圆的圆⼼的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上，圆1C 的半径也为2，即可求出参数,,a b c 的值. 【详解】解：因为圆1C ：220x y ax by c ++++=，即22224224ab a b cx y 骣骣+-琪琪+++=琪琪桫桫，圆⼼111,22C a b ??--，半径r =由题意，得111,22C a b ??-- 与()20,0C 关于直线21y x =-对称，则112,122112221,22b a ba ?-?=-??-??--??=?-?解得85=-a ，45b =，圆1C的半径22r ==，解得165c =-. 故答案为：165-【点睛】本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.17．【解析】【分析】根据空间直⾓坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直⾓坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能⼒属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直⾓坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直⾓坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能⼒，属基础题.18．【解析】【分析】根据斜率的⼏何意义表⽰函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最⼤值为最⼩值为过点与图象相切的切线斜率设为切线⽅程为代⼊得解析：3[2]4+ 【解析】【分析】根据斜率的⼏何意义，()32x g x x -=-表⽰函数y x =图象上的点与点(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】()32x g x x -=-为点(,)x x 与点(2,3)连线的斜率，点(,),[0,1]x x x ∈在函数,[0,1]y x x =∈图像上，(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最⼤值为31221AB k -==-，最⼩值为过A 点与,[0,1]y x x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线⽅程为(2)3y k x =-+，代⼊,[0,1]y x x =∈得，320,0,14(32)0kx x k k k k -+-=≠?=--=，即281210k k -+=，解得37k +=或37k -= 当374k +=时，37[0,1]372x ==-∈+?，当374k -=时，37[0,1]3724x ==+?-? 不合题意，舍去，()g x 值域为37[,2]4+.故答案为:37[,2]+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的⼏何意义，考查数形结合思想，属于中档题.19．【解析】【分析】当过球内⼀点的截⾯与垂直时截⾯⾯积最⼩可求截⾯半径即可求出过点的平⾯截球的截⾯⾯积的最⼩值【详解】解：棱长等于的正⽅体它的外接球的半径为3当过点的平⾯与垂直时截⾯⾯积最⼩故答案为：【解析：3π. 【解析】【分析】当过球内⼀点E 的截⾯与OE 垂直时，截⾯⾯积最⼩可求截⾯半径，即可求出过点E 的平⾯截球O 的截⾯⾯积的最⼩值．【详解】解：棱长等于23的正⽅体1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||6OE = 当过点E 的平⾯与OE 垂直时，截⾯⾯积最⼩，963r =-=，33S ππ=?=，故答案为：3π．【点睛】本题考查过点E 的平⾯截球O 的截⾯⾯积的最⼩值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．20．【解析】【分析】推导出两边平⽅可得的长【详解】⼆⾯⾓为是棱上的两点分别在半平⾯内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线⾯⾯⾯间的位置关系等基础知识考查运算求解能⼒考查函数与⽅程解析：217. 【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平⽅可得CD 的长．【详解】Q ⼆⾯⾓l αβ--为60?，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平⾯α、β内，且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r2222CA AB BD CA BD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g361664268cos12068=+++=，CD ∴的长||68217CD ==u u u r．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查函数与⽅程思想，是中档题．三、解答题21．（1）详见解析；（2）30．【解析】【分析】（1）在直⾓梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥⾯ABCD ，得DM PA ⊥，利⽤线⾯垂直的判定可得DM ⊥平⾯PAM ，进⼀步得到平⾯PDM ⊥平⾯PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为⼆⾯⾓P DM A --的平⾯⾓为30°，求得tan301PA AM =??=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建⽴空间直⾓坐标系，求出PC u u u r 的坐标及平⾯PDM 的⼀个法向量，由PC u u u r与n r 所成⾓的余弦值可得直线PC 与平⾯PDM 所成⾓的正弦值．【详解】（1）证明：在直⾓梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ====可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂⾜为E ，则1,22DE AE ==29AD =，则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥．∵PA ⊥⾯ABCD ，∴DM PA ⊥，⼜PA AM A =I ，∴DM ⊥平⾯PAM ，∵DM ?平⾯PDM ，∴平⾯PDM ⊥平⾯PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为⼆⾯⾓P DM A --的平⾯⾓为30°，则tan301PA AM =??=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建⽴空间直⾓坐标系，则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，2,1,0)C ，(2,1,0)M ，1),1,1),1)PC PD PM =-=--=-u u u r u u u r u u u u r．设平⾯PDM 的⼀个法向量为(,,)n x y z =，由00n PD y z n PM y z ??=--=?=+-=u u u v v u u u u v v ，取1x =，得n ?= ??r ．∴直线PC 与平⾯PDM 所成⾓的正弦值为：|||cos ,|||||PC n PC n PC n ?<>===?u u u r ru u u r r u u u r r【点睛】向量法是求⽴体⼏何中的线线⾓、线⾯⾓、⾯⾯⾓时常⽤⽅法. 22．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②11．【解析】试题分析：（1）要证明//EF 平⾯PAB ，可以先证明平⾯//EF MA ，利⽤线⾯平⾏的判定定理，即可证明//EF 平⾯PAB ；（2）①要证明平⾯PBC ⊥平⾯ABCD ，可⽤⾯⾯垂直的判定定理，即只需证明PB ⊥平⾯ABCD 即可；②由①BE ⊥平⾯PBC ，所以FEB ∠为直线EF 与平⾯PBC所成的⾓，由PB =ABP ∠为直⾓，即可计算,AM EF 的长度，在Rt EBF ?中，即计算直线EF 与平⾯PBC 所成的⾓的正弦值．试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ．⼜由于E 为AD 中点，因⽽MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平⾏四边形，所以EF ∥AM ．⼜AM ?平⾯PAB ，⽽EF ?平⾯PAB ，所以EF ∥平⾯PAB ．（2）①证明：如图，连接PE ，BE ．因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，⽽E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为⼆⾯⾓P －AD －B 的平⾯⾓．在△PAD 中，由PA ＝PDAD ＝2，可解得PE ＝2．在△ABD 中，由BA ＝BD，AD ＝2，可解得BE ＝1．在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB从⽽∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．⼜BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从⽽BE ⊥BC ，因此BE ⊥平⾯PBC ．⼜BE ?平⾯ABCD ，所以平⾯PBC ⊥平⾯ABCD ．②连接BF ．由①知，BE ⊥平⾯PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平⾯PBC 所成的⾓．由PB及已知，得∠ABP 为直⾓．⽽MB ＝12PB＝2，可得AM＝2，故EF＝2．⼜BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111．所以直线EF 与平⾯PBC 所成⾓的正弦值为21111．考点：直线与平⾯平⾏的判定及直线与平⾯垂直的判定与性质；直线与平⾯所成⾓的求解．【⽅法点晴】本题主要考查了直线与平⾯平⾏的判定及直线与平⾯垂直的判定与性质，直线与平⾯所成⾓的求解，熟练掌握线⾯位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平⾯所成的⾓是解答的关键，本题的第⼆问的解答中，根据BE ⊥平⾯PBC ，可以确定FEB ∠为直线EF 与平⾯PBC 所成的⾓，可放置在Rt EBF ?中，即计算直线EF 与平⾯PBC 所成的⾓的正弦值．23．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）先证明PO ⊥平⾯BCD ，再证明平⾯PBD ⊥平⾯BCD ；（Ⅱ）先证明//OM DC .再证明//OM 平⾯PCD . 【详解】（Ⅰ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2CO AO =，所以6CO =，3AO =.即3PO =，⼜因为35PC =PO CO ⊥ . 因为AC BD ⊥于点O ，所以PO BD ⊥. ⼜因为BD OC O ?=，所以PO ⊥平⾯BCD . ⼜因PO ?平⾯PBD ，所以平⾯PBD ⊥平⾯BCD . （Ⅱ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2BODO=，⼜因为2BM CM =，因此BO BMDO CM=，所以//OM DC . ⼜因为OM ?平⾯PCD ，DC ?平⾯PCD ，所以//OM 平⾯PCD . 【点睛】本题主要考查线⾯平⾏和⾯⾯垂直的证明，意在考查学⽣对这些知识的理解掌握⽔平和分析推理能⼒.24．（1）750x y +-=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求直线CD 的⽅程，只需确定C ，D 坐标即可：34(,)55C -，(5,0)D ，直线CD 的斜率40153755-=-??--，直线CD 的⽅程为750x y +-=．（2）证明动圆过定点，关键在于表⽰出圆的⽅程，本题适宜设圆的⼀般式：22+0x y Dx Ey F +++=设(3,4)(01)C m m m -<≤，则D (5+4,0)m ，从⽽()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．试题解析：（1）因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=， 1分⼜因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -， 3分由4BD =，得(5,0)D ， 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-??--， 5分所以直线CD 的⽅程为1(5)7y x =--，即750x y +-=． 6分（2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =． 7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，所以D 点的坐标为(5+4,0)m 8分⼜设OCD ?的外接圆的⽅程为22+0x y Dx Ey F +++=，。