中考数学压轴题及答案40例(2)
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于 H ，直线 PH 交 y 轴于 R ．
（1）求证： H 点为线段 AQ 的中点；
（2）求证：①四边形 APQR 为平行四边形；
②平行四边形 APQR 为菱形；
（3）除 P 点外，直线 PH 与抛物线 y
1 2 x 有无其它公共点？并说明理由． 4
（ 08 江苏镇江 28 题解析）（1）法一：由题可知 AO CQ 1 ．
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· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （6 分） 平行四边形 APQR 为菱形． ·
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法二：
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （1 分） A(0， 1) ， B(0， 1) ， OA OB ． ·
AOH QCH 90 ， AHO QHC ，
△ AOH ≌△QCH ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （1 分）
又 BQ ∥ x 轴， HA HQ ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （2 分）
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设直线 PR 与抛物线的公共点为 x， x ，代入直线 PR 关系式得：
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1 2 m 1 1 1 x x m2 0 ， ( x m) 2 0 ，解得 x m ．得公共点为 m， m 2 ． 4 2 4 4 4
所以直线 PH 与抛物线 y
AR PQ ，
又 AR ∥ PQ ， 四边形 APQR 为平行四边形． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （4 分）
1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （8 分） x 只有一个公共点 P ． · 4
6.如图 13，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A, 它的对称轴 x=2 与 x 轴交于点 C，直线 y=-2x-1 经 过抛物线上一点 B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、 E. （1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D 是 BE 的中点； （3）若 P (x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P,使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合条 件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
②设 P m， m ，
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2Байду номын сангаас
1 PQ ∥ y 轴，则 Q (m， 1) ，则 PQ 1 m2 ． 4
过 P 作 PG y 轴，垂足为 G ，在 Rt△ APG 中，
1 1 1 AP AG PG m 2 1 m 2 m 2 1 m 2 1 PQ ． 4 4 4
（2）①由（1）可知 AH QH ， AHR QHP ，
AR ∥ PQ ，RAH PQH ，
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （3 分） △RAH ≌△PQH ． ·
OH CH ，即 H 为 AQ 的中点． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （2 分）
（3）设直线 PR 为 y kx b ，由 OH CH ，得 H
1 m ， 2 ， P m， m 2 代入得： 4 2
m m k b 0， k ， m 1 2 2 直线 PR 为 y x m2 ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （7 分） 1 1 2 4 2 2 km b m . b m . 4 4
中考数学压轴题及答案 40 例（ 2） 5.如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P 为函数 y
1 2 x 在第一象限内的图象上的任一点，点 A 的坐标为 4
(0， 1) ，直线 l 过 B(0， 1) 且与 x 轴平行，过 P 作 y 轴的平行线分别交 x 轴，l 于 C，Q ，连结 AQ 交 x 轴
（1）求证： H 点为线段 AQ 的中点；
（2）求证：①四边形 APQR 为平行四边形；
②平行四边形 APQR 为菱形；
（3）除 P 点外，直线 PH 与抛物线 y
1 2 x 有无其它公共点？并说明理由． 4
（ 08 江苏镇江 28 题解析）（1）法一：由题可知 AO CQ 1 ．
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法二：
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （1 分） A(0， 1) ， B(0， 1) ， OA OB ． ·
AOH QCH 90 ， AHO QHC ，
△ AOH ≌△QCH ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （1 分）
又 BQ ∥ x 轴， HA HQ ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （2 分）
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设直线 PR 与抛物线的公共点为 x， x ，代入直线 PR 关系式得：
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1 2 m 1 1 1 x x m2 0 ， ( x m) 2 0 ，解得 x m ．得公共点为 m， m 2 ． 4 2 4 4 4
所以直线 PH 与抛物线 y
AR PQ ，
又 AR ∥ PQ ， 四边形 APQR 为平行四边形． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （4 分）
1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （8 分） x 只有一个公共点 P ． · 4
6.如图 13，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A, 它的对称轴 x=2 与 x 轴交于点 C，直线 y=-2x-1 经 过抛物线上一点 B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、 E. （1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D 是 BE 的中点； （3）若 P (x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P,使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合条 件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
②设 P m， m ，
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2Байду номын сангаас
1 PQ ∥ y 轴，则 Q (m， 1) ，则 PQ 1 m2 ． 4
过 P 作 PG y 轴，垂足为 G ，在 Rt△ APG 中，
1 1 1 AP AG PG m 2 1 m 2 m 2 1 m 2 1 PQ ． 4 4 4
（2）①由（1）可知 AH QH ， AHR QHP ，
AR ∥ PQ ，RAH PQH ，
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OH CH ，即 H 为 AQ 的中点． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （2 分）
（3）设直线 PR 为 y kx b ，由 OH CH ，得 H
1 m ， 2 ， P m， m 2 代入得： 4 2
m m k b 0， k ， m 1 2 2 直线 PR 为 y x m2 ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （7 分） 1 1 2 4 2 2 km b m . b m . 4 4
中考数学压轴题及答案 40 例（ 2） 5.如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P 为函数 y
1 2 x 在第一象限内的图象上的任一点，点 A 的坐标为 4
(0， 1) ，直线 l 过 B(0， 1) 且与 x 轴平行，过 P 作 y 轴的平行线分别交 x 轴，l 于 C，Q ，连结 AQ 交 x 轴