反三角函数及性质

y=arcs inx.

函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny.

习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式

请注意正弦函数y=sinx，x € R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。

反正弦函数只对这样一个函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。

理解函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点必须牢记

性质

根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的，定义域[-1 , 1],值域[-n /2 , n /2]，是单调递增函数

图像关于原点对称，是奇函数

所以有arcsin(-x)=-arcsinx ，注意x的取值范围:x € [-1 , 1]

导函数：

arcsinx = (土匚(-1,1))

vl-x2，导函数不能取|x|=1

* /

fim (arcsinx) =-oo lim {arcsinx) = +oo

- . ,:T 1

反正弦恒等式

sin(arcsinx)=x , x € [-1 , 1] (arcsinx)'=1/ V (1-x A2)

arcsin x=-arcs in(-x) arcs in ( sin x)=x , x 属于[0, n /2]

arccosx

反三角函数中的反余弦。意思为：余弦的反函数，函数为y=arccosx，函数图像如右下图。

就是已知余弦数值，反求角度，如cos(a) = b，贝U arccos(b) = a ;

它的值是以弧度表达的角度。定义域：【-1 , 1】。

由于是多值函数，往往取它的单值支，值域为【0, n ],记作y=arccosx，我们称它叫

做反三角函数中的反余弦函数的主值，

arcta n x

反三角函数中的反正切。意思为：tan(a) = b;等价于arctan(b) = a

fflil

定义域：{x lx € R},值域：y € (- n/2,冗/2)

计算性质：

tan( arcta na)=a

arcta n(-x)=-arcta nx

arctan A + arctan B=arcta n(A+B)/(1-AB)

arctan A - arctan B=arcta n(A-B)/(1+AB)

反三角函数在无穷小替换公式中的应用：当x T 0时，arctanx~x