10. 数学归纳法(4课时)
数学归纳法教案完整版课件
数学归纳法教案完整版课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学》（必修三）第二章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用，以及数学归纳法在实际问题中的运用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理，掌握数学归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用，培养解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理。
教学重点：数学归纳法的概念、原理和基本步骤。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：课本、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题。
问题：如何证明1+2+3++n = n(n+1)/2？2. 数学归纳法概念与原理（1）概念：数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法。
（2）原理：数学归纳法包含两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
3. 数学归纳法例题讲解以证明1+2+3++n = n(n+1)/2为例，详细讲解数学归纳法的证明过程。
4. 随堂练习（1）1^3 + 2^3 + 3^3 + + n^3 = (1+2++n)^2（2）对于任意自然数n，n(n+1)(n+2)能被6整除。
5. 数学归纳法在实际问题中的应用介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如求解递推公式、求解数列的通项公式等。
六、板书设计1. 数学归纳法的概念和原理。
2. 数学归纳法证明1+2+3++n = n(n+1)/2的过程。
3. 随堂练习的命题及证明过程。
七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明1^3 + 2^3 + 3^3 + + n^3 =(1+2++n)^2。
（2）运用数学归纳法证明对于任意自然数n，n(n+1)(n+2)能被6整除。
2. 答案：（1）证明过程同课堂讲解。
（2）证明过程同课堂讲解。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的概念、原理和基本步骤掌握情况，以及对实际问题的应用能力。
数学归纳法及其应用举例(教案)
数学归纳法及其应用举例(教案)章节一：数学归纳法的概念与步骤教学目标：1. 了解数学归纳法的定义与基本步骤。
2. 掌握数学归纳法的一般形式。
教学内容：1. 引入数学归纳法的概念。
2. 讲解数学归纳法的基本步骤。
3. 示例说明数学归纳法的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的定义。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法的步骤。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决简单问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的概念与步骤。
2. 选取一些简单的数学问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节二：数学归纳法的证明步骤教学目标：1. 掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的证明步骤。
2. 示例说明数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
教学活动：1. 引导学生理解数学归纳法的证明步骤。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的证明步骤。
2. 选取一些简单的不等式或定理，尝试使用数学归纳法进行证明。
章节三：数学归纳法的扩展与应用教学目标：1. 了解数学归纳法的扩展形式。
2. 掌握数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的扩展形式。
2. 示例说明数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的扩展形式。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在解决实际问题中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决实际问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的扩展形式。
2. 选取一些实际问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节四：数学归纳法的局限性与改进教学目标：1. 了解数学归纳法的局限性。
2. 学会改进数学归纳法的证明过程。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的局限性。
2. 示例说明如何改进数学归纳法的证明过程。
数学数学归纳法
(2)递推乃关键 数学归纳法的实质在于递推，所以 从“k”到“k＋1”的过程，必须把归 纳假设“n＝k”作为条件来导出 “n＝k＋1”时的命题，在推导过程 中，要把归纳假设用上一次或几 次．
第51页/共63页
基础梳理
1．归纳法 归纳法有不完全归纳法和完全归纳法， 如果我们考察了某类对象中的一部分， 由这一部分具有某种特征而得出该类 对象中的全体都具有这种特征的结论， 为不完全归纳法．
第2页/共63页
由不完全归纳法得出的结论不一定 都是正确的,其正确性还需进一步证 明；如果我们考察了某类对象中的 每一个对象，而得出该类对象的某 种特征的结论为完全归纳法，由完 全归纳法得出的结论一定是正确的， 数学归纳法是一种完全归纳法．
1 3
＋
…
＋
1 2k
＋
1 2k＋1
＋
1 2k＋2
＋…＋2k＋1 2k<12＋k＋2k·21k＝12＋(k＋1)，
即 n＝k＋1 时，命题也成立．
由(1)(2)可知，命题对所有 n∈N*都成立．
第27页/共63页
【规律方法】 用数学归纳法证 明不等式，推导n＝k＋1也成立时， 证明不等式的常用方法，如比较法， 分析法，综合法均要灵活运用，在 证明过程中，常利用不等式的传递 性对式子放缩．
第3页/共63页
2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的 命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：验证当n取第一个值 n0时结论成立；
第4页/共63页
(2)归纳递推：假设当n＝k(k∈N*， 且k≥n0)时结论成立．推出n＝k＋1 时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命 题对从n0开始的所有自然数n(n≥n0) 都成立，这种证明方法叫做数学归纳 法．
数学归纳法 教案
数学归纳法 （教案）【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是选修4-5第四讲的内容，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
本书该节共2课时，这是第一课时2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1、知识与技能：（1）理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两步骤。
（2）会证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：创设问题情境，启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到：6553712,25712,1712,5124232212=+=+=+=+ 归纳猜想：任何形如122+n （n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。
半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数670041764112525⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想。
2024年数学归纳法优质教学课件
2024年数学归纳法优质教学课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
重点讲解归纳法的基本步骤，探讨归纳法在数学问题解决中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明过程，特别是归纳步骤的合理运用。
教学重点：归纳法的概念、原理及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题引入数学归纳法，如：计算1+2+3++100的结果。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和原理。
（2）以等差数列求和为例，演示数学归纳法的应用。
3. 随堂练习（1）证明：1+3+5++(2n1)=n^2（2）证明：n(n+1)(n+2)=6(中心数列求和)4. 知识拓展（1）探讨数学归纳法在其他数学问题中的应用。
（2）讨论归纳法的局限性。
5. 课堂小结六、板书设计1. 数学归纳法的概念与原理2. 归纳法的基本步骤3. 例题解答过程4. 课堂练习题目七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2（2）用数学归纳法证明：n(n+1)(n+2)=62. 答案：见课后附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的掌握程度，以及在教学过程中存在的问题。
2. 拓展延伸：（1）引导学生思考数学归纳法在解决其他数学问题中的应用。
（2）推荐一些关于数学归纳法的拓展阅读材料，提高学生的数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的区分。
2. 例题讲解的深度和广度。
3. 作业设计中的题目难度和答案的详细程度。
4. 课后反思及拓展延伸的实际操作。
详细补充和说明：一、教学难点与重点的区分教学重点在于使学生掌握数学归纳法的基本概念、原理以及在解决实际问题中的应用。
数学归纳法教学设计
数学归纳法教学设计数学归纳法是一种被广泛应用于数学教学中的一种思维方法，它是英国著名数学家贝尔费希于20世纪初提出的。
数学归纳法是一个逐渐发展的过程，从一般情况到特殊情况，使用一系列特殊情况来证明一般情况，从而得出一个结论。
在数学教学有关对理论的认识和掌握中，可以有效地利用数学归纳法来让学生更好地感受数学的有趣，把学的数学技能变成写的数学技能。
二、数学归纳法教学设计1.发展重要性数学归纳法教学设计针对数学课程的特殊性，应把发展思维能力、分析和推理能力、条件分析能力定为教学重要性，以发展学生的解决问题的分析、把握、条件分析、推理的能力。
2.教学步骤(1)考察现象：首先分析学生在课堂上现象，明确教学目标，并给出具体的教学任务。
(2)引入观点：把握学生的学习状况，引导学生提出有效的归纳观点，让学生根据归纳观点解决问题。
(3)证明实验：通过实验、图形分析等方法，验证学生提出的归纳观点。
(4)回顾：让学生回顾本课时所学知识，引出下次课时内容，使得整体教学过程圆满结束。
三、教学效果数学归纳法教学设计能够提高学生学习数学的兴趣，并培养学生动手思考和解决问题的能力，大大提高学生学习数学的能力和实际操作能力。
在教师教学过程中，能激发学生的兴趣，调动起学生的积极性和主动性，有利于学生全面发展。
同时，教师也可以在教学过程中发现学生的易错点，及时指出，培养学生的独立思考能力。
总之，数学归纳法教学设计有助于提高学生的数学学习技能，使学生得到真正的数学学习体验。
四、总结数学归纳法是一种非常有效的教学方法，它不仅可以帮助学生把握数学理论，而且可以培养学生独立思考、动手探究问题解决的能力，它有助于提高学生的数学学习能力和实际操作能力，是一种非常实用的数学教学方法。
数学归纳法实用教案
数学归纳法实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。
重点讲解数学归纳法的基本步骤，并通过实例分析，让学生掌握数学归纳法的证明方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的运用，特别是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的定义、基本步骤及证明方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、草稿纸、笔。
五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入数学归纳法，如“爬楼梯问题”，引导学生思考如何用数学方法解决此类问题。
2. 新课讲解：（1）讲解数学归纳法的定义，解释其原理。
（2）介绍数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤。
（3）通过例题讲解，让学生了解数学归纳法在实际问题中的应用。
3. 随堂练习：（1）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
（2）教师点评，指出学生存在的问题，并进行讲解。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的定义（2）数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤（3）例题及证明过程（4）课堂练习题七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）用数学归纳法证明：2^n > n (n为正整数)2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对于数学归纳法的理解程度，以及在实际问题中的应用能力。
2. 拓展延伸：（1）让学生了解数学归纳法在其他数学领域的应用，如数列、组合数学等。
（2）探讨数学归纳法与递归思想的关系，提高学生的逻辑思维能力。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定2. 教学过程中的例题讲解和随堂练习设计3. 板书设计4. 作业设计5. 课后反思及拓展延伸一、教学难点与重点的确定教学难点与重点的确定是教学过程中的关键环节。
完整版《数学归纳法》课件
完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法在实际问题中的应用。
教学重点：数学归纳法的概念、证明步骤及注意事项。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：以“楼梯问题”为例，引导学生发现规律，引出数学归纳法的概念。
2. 知识讲解：a. 介绍数学归纳法的概念。
b. 详细讲解数学归纳法的证明步骤。
c. 分析数学归纳法在实际问题中的应用。
3. 例题讲解：讲解数学归纳法在数列求和、不等式证明等方面的应用。
4. 随堂练习：布置23道数学归纳法相关的练习题，让学生独立完成。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的重点和注意事项。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：a. 数学归纳法的概念b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用d. 注意事项七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明：对于任意正整数n，有2^n > n。
c. 应用数学归纳法解决实际问题。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的理解和掌握程度，以及课堂互动情况。
2. 拓展延伸：a. 探讨数学归纳法在更广泛领域中的应用。
b. 引导学生了解数学归纳法的局限性。
c. 介绍数学归纳法的其他变体，如强数学归纳法、反向数学归纳法等。
重点和难点解析一、教学难点与重点的关注细节1. 数学归纳法在实际问题中的应用2. 数学归纳法的证明步骤及注意事项3. 实践情景引入的设计与例题讲解的深度二、重点和难点解析1. 数学归纳法在实际问题中的应用a. 选择合适的实际问题作为例子，让学生感受数学归纳法的实用价值。
b. 通过分析问题，引导学生发现数学归纳法的应用场景，从而理解其内涵。
数学归纳法教案完整版课件
数学归纳法优质教案完整版优质课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
着重讲解如何利用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本原理和应用。
2. 学会运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
3. 培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的方法。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的应用，尤其是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的概念、原理以及如何运用数学归纳法证明数学命题。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个楼梯，引导学生思考如何用最少的步骤走完所有楼梯。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和原理。
（2）通过实例，讲解如何运用数学归纳法证明数学命题。
3. 随堂练习给出两个与自然数有关的数学命题，让学生尝试运用数学归纳法进行证明。
4. 课堂互动学生展示自己的证明过程，教师点评并给予指导。
六、板书设计1. 数学归纳法的概念和原理。
2. 数学归纳法证明数学命题的步骤。
3. 课堂练习题及解答。
七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2（2）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：学生对数学归纳法的掌握程度，以及证明过程中存在的问题。
2. 拓展延伸：引导学生思考数学归纳法在生活中的应用，如数列求和、递推关系等。
同时，鼓励学生尝试解决更复杂的数学问题，提高自己的逻辑思维能力。
本教案共包含八个部分，涵盖了数学归纳法的概念、原理、应用以及证明过程，旨在培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的方法。
在教学过程中，注意引导学生积极参与，充分发挥学生的主体作用。
通过课后反思和拓展延伸，进一步提高学生的数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点：数学归纳法的应用，尤其是递推关系的建立。
数学归纳法精品教案
数学归纳法精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第四章“数学归纳法”第一节，内容主要包括数学归纳法的定义、原理以及应用。
详细内容包括：1. 数学归纳法的概念及其基本步骤；2. 数学归纳法证明的基本形式；3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤；2. 学会使用数学归纳法证明等式和不等式；3. 能够运用数学归纳法解决简单的实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理能力。
教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景（如：爬楼梯问题）引出数学归纳法，激发学生兴趣；2. 讲解：介绍数学归纳法的定义、步骤，结合例题进行讲解；a. 确定基础步骤；b. 归纳假设；c. 归纳步骤；3. 互动：让学生尝试用数学归纳法证明一些简单的等式，如：1+2+3++n=n(n+1)/2；4. 练习：布置随堂练习，让学生独立完成，教师进行指导；六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义：数学归纳法的概念；3. 步骤：基础步骤、归纳假设、归纳步骤；4. 例题：1+2+3++n=n(n+1)/2；5. 练习：数学归纳法证明等式。
七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2；b. 证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。
2. 答案：a. 证明：当n=1时，等式左边为1，右边为1，等式成立；假设当n=k时等式成立，即1^3+2^3+3^3++k^3=(1+2++k)^2；当n=k+1时，等式左边为1^3+2^3+3^3++k^3+(k+1)^3，根据归纳假设，等式左边=(1+2++k)^2+(k+1)^3；右边为(1+2++k+(k+1))^2，展开后得到(1+2++k)^2+2(1+2++k)(k+1)+(k+1)^2；将等式左边与右边对应项进行比较，发现它们相等，因此当n=k+1时，等式也成立。
数学数学归纳法课件
数学数学归纳法课件一、教学内容本节课将深入探讨数学归纳法，所选教材为《数学分析方法》第四章第二节。
详细内容包括数学归纳法的定义、原理及应用；重点讲解归纳假设的建立与证明步骤，以及数学归纳法在数列、不等式等方面的实际应用。
二、教学目标1. 让学生掌握数学归纳法的概念、原理及基本步骤，能熟练运用该方法证明与数列有关的问题。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生运用数学归纳法解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：归纳假设的建立与证明步骤。
教学重点：数学归纳法的概念、原理及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、《数学分析方法》第四章第二节相关内容预习笔记。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个与数列有关的实际问题，引导学生发现规律，为数学归纳法的引入作铺垫。
2. 知识讲解：（1）讲解数学归纳法的定义、原理，以及归纳假设的建立。
（2）通过例题讲解，展示数学归纳法的证明步骤。
3. 随堂练习：让学生运用数学归纳法解决一些简单的数列问题，巩固所学知识。
4. 知识拓展：探讨数学归纳法在其他数学分支（如不等式、组合数学等）中的应用。
六、板书设计1. 板书数学归纳法2. 主要内容：（1）数学归纳法的定义、原理（2）归纳假设的建立与证明步骤（3）数学归纳法在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，2^n > n。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实际问题引入数学归纳法，讲解清晰，学生参与度高。
但在归纳假设的建立与证明步骤方面，部分学生掌握程度仍有待提高。
2. 拓展延伸：引导学生课后研究数学归纳法在其他数学分支中的应用，提高其解决问题的能力。
同时，鼓励学生通过阅读相关资料，了解数学归纳法的历史发展及其在数学领域的地位。
数学归纳法优秀课件
数学归纳法优秀课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第107页至109页，主要讲述数学归纳法的基本概念、步骤及应用。
通过实例引导学生理解数学归纳法的原理，学会运用数学归纳法证明简单的数学命题。
二、教学目标1. 让学生了解数学归纳法的基本概念，理解数学归纳法的步骤和原理。
2. 培养学生运用数学归纳法证明数学命题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好习惯。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的基本概念、步骤及应用。
难点：如何引导学生理解数学归纳法的原理，运用数学归纳法证明数学命题。
四、教具与学具准备教具：课件、黑板、粉笔。
学具：笔记本、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师展示一道简单的数学题目，如“证明5是一个质数”，让学生尝试用归纳法证明。
引导学生发现归纳法在数学证明中的应用。
2. 概念讲解：教师讲解数学归纳法的定义、步骤和原理，通过PPT展示归纳法的基本概念。
3. 例题讲解：教师讲解一个典型的归纳法证明例子，如“证明n^2+n+41是一个质数”，引导学生跟随步骤，共同完成证明。
4. 随堂练习：学生分组讨论，尝试用数学归纳法证明一道简单的数学命题，如“证明对于任意正整数n，n^3+n+1是一个奇数”。
教师巡回指导，解答学生疑问。
6. 板书设计：板书数学归纳法的步骤和原理，以及本节课的例题证明过程。
六、作业设计（1）证明对于任意正整数n，n^2n+1是一个正整数。
（2）证明对于任意正整数n，n^3+n+2是一个偶数。
2. 答案：（1）证明：见教材P108例题。
（2）证明：见教材P109例题。
七、课后反思及拓展延伸1. 教师在课后反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
2. 学生课后尝试查找其他数学命题，运用数学归纳法进行证明，提高自己的数学能力。
3. 教师可布置一些相关的拓展题目，如“证明归纳法在解决数学问题中的广泛应用”，引导学生深入研究数学归纳法。
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
数学归纳法高中教案
数学归纳法高中教案
课题：数学归纳法
教学目标：
1. 了解数学归纳法的定义和基本原理；
2. 掌握数学归纳法的三条基本步骤；
3. 能够运用数学归纳法证明一般性的数学问题。
教学重点和难点：
重点：数学归纳法的定义和基本原理
难点：能够熟练掌握数学归纳法的三条基本步骤
教学准备：
1. 教材：高中数学教材
2. 教具：黑板、粉笔
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过一道生活中的例子引入数学归纳法的概念，让学生了解数学归纳法的重要性和应用场景。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解数学归纳法的定义和基本原理；
2. 介绍数学归纳法的三条基本步骤：基础情况、归纳假设、归纳步骤。
三、例题演练（20分钟）
1. 教师通过一些简单的例题，让学生掌握数学归纳法的具体运用方法；
2. 学生跟随教师一起完成例题，并讨论解题思路和方法。
四、课堂练习（15分钟）
教师在课堂上布置几道练习题，让学生独立完成，并相互交流讨论解题过程。
五、总结（5分钟）
教师对本节课所学内容进行总结，强调数学归纳法在解决数学问题中的重要性和灵活运用。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对数学归纳法有了初步的了解和掌握，但也发现在运用数学归纳
法解决问题时，需要更加深入地理解问题的本质，加强逻辑推理能力。
在以后的教学中，
需要多让学生进行实践操作，提高对数学归纳法的应用能力。
数学归纳法完整版课件
数学归纳法完整版课件一、教学内容本节课将深入探讨数学归纳法，这是高中数学的一个重要部分。
教学内容基于教材第四章第四节“数学归纳法”，详细内容包括：1. 数学归纳法的定义与基本思想；2. 数学归纳法证明步骤；3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤；2. 能够运用数学归纳法证明等式和不等式；3. 培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的定义、证明步骤及在实际问题中的应用。
难点：如何引导学生从具体问题中发现规律，并运用数学归纳法进行证明。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示一个与数学归纳法相关的生活实例，引发学生思考，激发学习兴趣。
例：有一堆砖，第1块砖摞1厘米，以后每增加1块砖，摞的高度增加2厘米。
求第n块砖摞的高度。
2. 知识讲解（10分钟）详细讲解数学归纳法的定义、证明步骤，通过例题解释如何运用数学归纳法。
例题：证明1+2+3++n = n(n+1)/2。
3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
练习题：证明2+4+6++2n = n(n+1)。
4. 互动讨论（5分钟）邀请几名学生分享解题思路，共同讨论解决方法。
六、板书设计1. 板书左侧：数学归纳法的定义与证明步骤；2. 板书右侧：例题及解题过程。
七、作业设计1. 作业题目：证明1^3+2^3+3^3++n^3 = (1+2++n)^2。
答案：数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即1^3+2^3++k^3 = (1+2++k)^2；（3）当n=k+1时，等式左侧为1^3+2^3++k^3+(k+1)^3，根据归纳假设，等于(1+2++k)^2+(k+1)^3；（4）将(1+2++k)^2+(k+1)^3展开，得到(1+2++k+k+1)^2，即(1+2++n)^2，等式成立。
数学归纳法实用教案
数学归纳法实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第三章第三节“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的定义、原理和应用，以及数学归纳法在实际问题中的运用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理，掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决一些简单的数学问题，提高逻辑思维和推理能力。
3. 培养学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力。
三、教学难点与重点难点：数学归纳法的证明步骤和运用。
重点：数学归纳法的概念、原理以及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、练习本、圆珠笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过一个与数学归纳法有关的实际例子（如：楼梯问题）引入本节课的主题，激发学生的兴趣。
2. 基本概念讲解（10分钟）介绍数学归纳法的定义、原理和证明步骤，让学生初步了解数学归纳法的基本内容。
3. 例题讲解（15分钟）讲解一道运用数学归纳法证明的例题，让学生理解数学归纳法的证明过程。
4. 随堂练习（15分钟）让学生完成几道与例题类似的数学归纳法题目，巩固所学知识。
5. 课堂小结（5分钟）6. 课堂互动（10分钟）邀请学生上台展示自己的解题过程，分享心得体会，提高学生的表达能力。
7. 知识拓展（5分钟）简要介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如计算机科学、数论等领域。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义：数学归纳法的概念3. 原理：数学归纳法的原理4. 证明步骤：数学归纳法的证明步骤5. 例题：详细解题过程6. 注意事项：数学归纳法在运用时的注意事项七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）运用数学归纳法证明：n! > 2^n (n ≥ 4)2. 答案：（1）证明过程略。
（2）证明过程略。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生的掌握程度，以及教学中存在的问题。
数学归纳法完整课件
数学归纳法完整课件一、教学内容1. 数学归纳法的基本概念与原理；2. 数学归纳法的应用实例。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本原理；2. 学会运用数学归纳法解决实际问题，提高逻辑推理能力；3. 了解数学归纳法在数学及其他领域的广泛应用。
三、教学难点与重点1. 教学难点：数学归纳法的步骤及其在解决问题中的应用；2. 教学重点：数学归纳法的原理及其证明过程。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体课件展示数学归纳法在实际问题中的应用，如：计算斐波那契数列的第n项。
2. 基本概念与原理（1）讲解数学归纳法的定义及原理；（2）通过实例分析，引导学生理解数学归纳法的步骤。
3. 例题讲解选用典型例题，讲解数学归纳法在解决问题中的应用，并引导学生进行步骤分析。
4. 随堂练习设计适量练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 应用拓展介绍数学归纳法在数学及其他领域的应用，如：数列求和、不等式证明等。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 主要内容：（1）数学归纳法的定义与原理；（2）数学归纳法的步骤；（3）数学归纳法的应用实例。
七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2；（2）用数学归纳法证明：2^n > n (n为正整数)。
2. 答案：（1）证明：当n=1时，等式成立；假设当n=k时，等式成立，即1+2+3++k = k(k+1)/2；当n=k+1时，等式左边为1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2；等式右边为(k+1)(k+2)/2；由假设知，等式成立。
（2）证明：当n=1时，2^1 > 1，等式成立；假设当n=k时，2^k > k，等式成立；当n=k+1时，2^(k+1) = 2^k + 2^k > k + 2^k；由假设知，2^k > k，所以2^(k+1) > k + k = 2k；因为k为正整数，所以2k > k+1；所以2^(k+1) > k+1；由假设知，等式成立。
2024年数学数学归纳法课件
2024年数学数学归纳法课件一、教学内容本节课主要围绕高中数学教材中的数学归纳法进行讲解。
具体内容包括：1. 数学归纳法的概念与基本步骤；2. 数学归纳法在数列中的应用；3. 数学归纳法在数学问题求解中的拓展。
涉及的教材章节为：第三章《数列》的第 3.3节《数学归纳法》。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本步骤；2. 能够运用数学归纳法证明数列中的问题，并解决实际数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法在数列中的应用，以及拓展问题的求解。
教学重点：数学归纳法的概念、基本步骤以及实际应用。
四、教具与学具准备1. 教师准备：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学生准备：教材、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个与数学归纳法有关的实际问题，激发学生的兴趣，引导学生思考。
2. 基本概念讲解（1）介绍数学归纳法的概念；（2）讲解数学归纳法的基本步骤。
3. 例题讲解（1）讲解数学归纳法在数列中的应用；（2）展示数学归纳法在求解数学问题中的优势。
4. 随堂练习（1）让学生独立完成数列问题的数学归纳法证明；（2）针对学生的解答进行点评和讲解。
5. 拓展延伸（1）引入更复杂的数学问题，引导学生运用数学归纳法求解；（2）探讨数学归纳法在其他数学领域的应用。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 主要内容：（1）数学归纳法的概念；（2）数学归纳法的基本步骤；（3）数学归纳法在数列中的应用；（4）数学归纳法在拓展问题中的应用。
七、作业设计1. 作业题目：（1）证明数列1, 2, 3, , n的和为n(n+1)/2；（2）运用数学归纳法求解：1^3 + 2^3 + 3^3 + + n^3 = (1+2++n)^2。
2. 答案：（1）n(n+1)/2；（2）(1+2++n)^2。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的概念和基本步骤掌握情况，以及在实际问题中的应用能力；2. 拓展延伸：引导学生探讨数学归纳法在其他数学领域的应用，提高学生的数学思维能力。
【数学课件】数学归纳法
【数学课件】数学归纳法一、教学内容1. 数学归纳法的定义与基本性质；2. 数学归纳法在数列中的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握数学归纳法的基本概念，了解其原理；2. 培养学生运用数学归纳法解决实际问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明过程和运用。
教学重点：数学归纳法的定义、性质以及在数列中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：教材、练习本、草稿纸。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个数列的例子，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题；2. 例题讲解：讲解数学归纳法的定义、性质，并通过例题演示如何运用数学归纳法；3. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识；4. 知识拓展：介绍数学归纳法在数学其他领域的应用；六、板书设计1. 《数学归纳法》2. 定义与性质：数学归纳法的定义；数学归纳法的性质。
3. 例题：题目；解答过程。
七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+3+5++(2n1)=n^2；（2）运用数学归纳法证明：n(n+1)(n+2)是3的倍数。
2. 答案：（1）证明：当n=1时，等式左边为1，右边为1^2=1，成立；假设当n=k时，等式成立，即1+3+5++(2k1)=k^2；当n=k+1时，等式左边为1+3+5++(2k1)+(2(k+1)1)=k^2+2k+1=(k+1)^2，等式成立。
（2）证明：当n=1时，等式左边为1×2×3=6，是3的倍数；假设当n=k时，等式成立，即k(k+1)(k+2)是3的倍数；当n=k+1时，等式左边为(k+1)(k+2)(k+3)，可以通过分配律展开，得到k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)，是3的倍数。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生了解数学归纳法在其他领域的应用，如组合数学、数论等，提高学生的数学素养。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学归纳法应用再举例
第3课时
1. 已知函数 f ( x) x3 x 2 ，且存在 x0 (0, ) ，使 f ( x0 ) x0 . （1）证明： f ( x) 是 R 上的单调增函数；
1 y , yn 1 f ( yn ) ，其中 n 1, 2, （2）设 x1 0, xn1 f ( xn ) ； 1 2 明： xn xn1 x0 yn1 yn .
我们先 从多米诺骨牌游戏说 起.这是一种码放骨牌的游 戏, 码 放时保证任意相邻的两 块 骨牌, 若前一块骨牌倒下 , 则一 定导致后块骨牌也倒下 . 只要 推倒第一块骨牌 ,由于第一块骨牌倒下 , 就可导致 第二块骨牌倒下 ;而第二块骨牌倒下 , 就可导致第 三块骨牌倒下 最后,不论有多少块骨牌 , 都能 全部倒下 .
k 1 3k 1 3k 13k 4
3k 4k 1 3k 13k 4
2
3k 1k 1 k 1 , 3k 13k 4 3k 1 1
所以,当n k 1时猜想也成立 .
根据1和2,可知猜想对任何n N都成立.
证明：？Biblioteka （1）当 n 1 时，不等式左边=1<2=右边， 不等式成立。
（2）假设 n k 时，不等式成立，即 1
1 2
1 2 2
1 2， k 2
则 n k 1 时， 不等式左边= 1
1 1
1 2 1 2 2 1 1 2k 2k 1
k 2 1 2 = 2 k 1 2 ， 1 2 1 2
思考 这个游戏中 ,能使所有多米诺骨牌全 部倒 下的条件是什么 ? 可以看出 ,只要满足以下两个条件 , 所有多米诺骨 牌就都能倒下: 1第一块骨牌倒下 ; 2任意相邻两块骨牌 ,前一块倒下一定导致后 一 块倒下. 思考 你认为条件2的作用是什么 ? 可以看出 , 条件2事实上给出了一个递推 关系 : 当第k块倒下时 , 相邻的第k 1块也倒下 . 这样, 只要第1块骨牌倒下 , 其他所有的骨牌就能够 相继倒下 .事实上, 无论有多少块骨牌 , 只要保证1 2成立,那么所有骨牌一定可以 全部倒下 .
猜想：当 n 1 及 n 5 时， 2n n 2 恒成立；
下面用数学归纳法证明上述猜想。
学习清单
• 掌握数学归纳法书写格式； • 理解数学归纳法两个步骤之间的关系； • 对于与正整数n有关的命题，初步学会利 用数学归纳法进行证明； • 对于开放性命题，初步学会使用观察— —猜想——证明思考程序处理问题。
1 m 对于一切 n N * 都成 3n 1 24
立，求正整数 m 的最大值，并证明你的结论
解：当 n 1 时，
1 1 1 m 26 a ，即 ， 1 1 1 2 3 1 1 24 24 24
m 26 ，而 m N * ，所以可以猜想正整数 m 的最大值为 25.
作业
P99 B组 1
1、用数学归纳法证明：
1 1 1 1 2 3 4 1 1 1 1 2n 1 2n n 1 n 2 1 ( n N* ) 2n
2
(a1 an )n (n 1, 2,3, ) ，用数学归 2
3、Sn 是数列{an}的前 n 项和，若 Sn 纳法证明：数列{an}是等差数列.
用了归纳假设吗？ 命题成立具有递 推性吗？
所以 n k 1 时，不等式也成立。
由（1）（2）知道，对一切正整数 n ，不等式恒成立。
问题与思考
2、用数学归纳法证明不等式 1
1 1 2 3 1 * n ( n N ) n 2 1
3. 若不等式
1 1 1 n 1 n 2 n 3
那么1 2 k k 1
2 2 2
2
k k 12k 1 2 k 1 6 2 k k 12k 1 6k 1 6 k 1k 22k 3 k 1 2k 2 7k 6 6 6 k 1k 1 1 2k 1 1 6 即当n k 1时等式也成立.
即n k 1时猜想也成立 .
这样, 对于猜想 ,由已知n 1 成立, 就有n 2 也成立; n 2成立, 就有n 3 也成立; n 3 成立, 就有n 4也 成立; n 4成立 , 就有n 5 也成立 所以, 对任意 1 的正整数n, 猜想都成立 , 即数列的通项公式是 an . n 一般地, 证明一个与正整数n有关的命题, 可按下 列步骤 : 1归纳奠基 证明当n取第一个值n0时命题成立;
下面用数学归纳法证明：
n N * 都成立，
1 1 1 n 1 n 2 n 3
1 25 对于一切 3n 1 24
先猜后证！
学习清单
• 必须明确命题的数学结构与正整数的对应关系，这 在使用数学归纳法解决问题时至关重要; • 在递推时，必须使用归纳假设； • 合理选择递推的跨度，有时我们可以假设n=k成立 ，证明n=k+2成立； • 有时我们可能只针对命题的部分结论使用数学归纳 法，有时我们使用数学归纳法的目的不是为了直接 证明命题的结论，而是为了证明某一我们需要的结 论.
数学归纳法
（4课时）
数学归纳法基本知识
第1课时
数学归纳法是一种特殊的证明方法, 主要用于研究 与正整数有关的数学问题.例如, 对于数列 an ,已知 an a1 1, an 1 n 1, 2, , 通过对n 1, 2,3, 4前4 1 an 1 项的归纳, 我们已经猜想出其通项公式为an .但 n 是, 我们只能肯定这个猜想对前4项成立, 而不敢肯 定对后续的项也成立.这个猜想需要证明.
根据1和2,可知等式对任何n N 都成立.
1 1 1 1 例 2 已知数列 , , , , , , 3n 23n 1 1 4 4 7 7 10 计算S1, S2 , S3 , S 4 , 根据计算结果 , 猜出Sn的表达式 , 并用 数学归纳法进行证明 . 1 1 1 1 2 解 S1 ; S2 ; 1 4 4 4 47 7 2 1 3 3 1 4 S3 ; S4 . 7 7 10 10 10 10 13 13
若n k k n0 时命题成立 , 证明n k 1时命题也成立 .
归纳奠基
归纳递推
命题对从n0开始所有 的正整数n都成立.
下面看两个例子 .
例1 用数学归纳法证明 nn 12n 1 2 2 2 1 2 n n N . 6 证明 1当n 1 时, 左边 1, 1 1 1 2 1 1 右边 1, 等式成立. 6 2假设当n k时等式成立,即 k k 12k 1 2 2 2 1 2 k , 6
2假设当n k 时猜想成立,即
1 1 1 1 K , 3K 23K 1 3K 1 1 4 4 7 7 10
1 1 1 1 那么, 3K 23K 1 1 4 4 7 7 10 1 3K 1 23K 1 1
1 思考 你认为证明数列的通项 公式是an 这个 n 猜想与上述多米诺骨牌 游戏有相似性吗 ? 你能类 比多米诺骨牌游戏解决 这个问题吗?
由条件, 容易知道 n 1时猜想成立 . 这就相当于游戏 的条件1.类比条件2,可以考虑证明一个递推 关系 : 1 如果n k时猜想成立 , 即ak ,那么当n k 1时 k 1 猜想也成立 ,即ak 1 . k 1 1 1 ak 1 k 事实上,如果ak ,那么ak 1 , k 1 ak 1 1 k 1 k
问题与思考4
对于与正整数n有关的命题P(n)，如果： （1）P(1),P(2)成立； （2）假设P(k)，P(k+1)成立，由此能推出P(k+2)成立。 我们能得出什么结论?
则由(1)(2)两个方面,我们可以得出对一切正 整数n,命题P(n)都是成立的.
问题与思考5
1
(nN*)
下面提供的证明过程，是否有误，试找出所有的错误。
证明当n k 1 时命题也成立 . 只要完成这两个步骤 , 就可以断定命题对从 n0开始的 所有正整数n都成立.
2归纳递推假设当n kk n0,k N 时命题成立,
上述证明方法叫做数学归纳法 (mathematic al induction ).用框图表示就是: 验证n n0时 命题成立 .
问题与思考1
对于与正整数n有关的命题P(n)，如果不能证明P(1)成 立,但能证明：
（1）P(2)成立；
（2）假设P(k)(k2)成立，由此能推出P(k+1)成立。 我们能得出什么结论?
问题与思考2
对于与正整数n有关的命题P(n)，如果： （1）P(1)成立； （2）假设P(k)成立，由此能推出P(k+2)成立。 我们能得出什么结论?
数学归纳法证明中的变化
第2课时
数学归纳法证明基本模式
与正整数n有关的命题P(n)实际上是由无数个 命题构成的命题:P(1),P(2),P(3),…,P(k),P(k+1),… (1)如果P(1)是成立的; (2)假设P(k)成立,一定能由此推出P(k+1)成立,
则由(1)(2)两个方面,我们可以得出对一切正 整数n,命题P(n)都是成立的.
an1 f (an ), n 1, 2,3 ……
证明： 0 an1 an 1．
则由(1)(2)两个方面,我们可以得出对一切正 奇数n,命题P(n)都是成立的.
问题与思考3
对于与正整数n有关的命题P(n)，如果： （1）P(1),P(2)成立； （2）假设P(k)成立，由此能推出P(k+2)成立。 我们能得出什么结论?