10. 数学归纳法(4课时)

数学归纳法应用再举例
第3课时
1. 已知函数 f ( x) x3 x 2 ，且存在 x0 (0, ) ，使 f ( x0 ) x0 . （1）证明： f ( x) 是 R 上的单调增函数；
1 y , yn 1 f ( yn ) ，其中 n 1, 2, （2）设 x1 0, xn1 f ( xn ) ； 1 2 明： xn xn1 x0 yn1 yn .
我们先 从多米诺骨牌游戏说 起.这是一种码放骨牌的游 戏, 码 放时保证任意相邻的两 块 骨牌, 若前一块骨牌倒下 , 则一 定导致后块骨牌也倒下 . 只要 推倒第一块骨牌 ,由于第一块骨牌倒下 , 就可导致 第二块骨牌倒下 ;而第二块骨牌倒下 , 就可导致第 三块骨牌倒下 最后,不论有多少块骨牌 , 都能 全部倒下 .
k 1 3k 1 3k 13k 4
3k 4k 1 3k 13k 4
2
3k 1k 1 k 1 , 3k 13k 4 3k 1 1
所以,当n k 1时猜想也成立 .
根据1和2,可知猜想对任何n N都成立.
证明：？Biblioteka （1）当 n 1 时，不等式左边=1<2=右边， 不等式成立。
（2）假设 n k 时，不等式成立，即 1
1 2
1 2 2

1 2， k 2
则 n k 1 时， 不等式左边= 1
1 1
1 2 1 2 2 1 1 2k 2k 1
k 2 1 2 = 2 k 1 2 ， 1 2 1 2
思考 这个游戏中 ,能使所有多米诺骨牌全 部倒 下的条件是什么 ? 可以看出 ,只要满足以下两个条件 , 所有多米诺骨 牌就都能倒下: 1第一块骨牌倒下 ; 2任意相邻两块骨牌 ,前一块倒下一定导致后 一 块倒下. 思考 你认为条件2的作用是什么 ? 可以看出 , 条件2事实上给出了一个递推 关系 : 当第k块倒下时 , 相邻的第k 1块也倒下 . 这样, 只要第1块骨牌倒下 , 其他所有的骨牌就能够 相继倒下 .事实上, 无论有多少块骨牌 , 只要保证1 2成立,那么所有骨牌一定可以 全部倒下 .
猜想：当 n 1 及 n 5 时， 2n n 2 恒成立；
下面用数学归纳法证明上述猜想。
学习清单
• 掌握数学归纳法书写格式； • 理解数学归纳法两个步骤之间的关系； • 对于与正整数n有关的命题，初步学会利 用数学归纳法进行证明； • 对于开放性命题，初步学会使用观察— —猜想——证明思考程序处理问题。

1 m 对于一切 n N * 都成 3n 1 24
立，求正整数 m 的最大值，并证明你的结论
解：当 n 1 时，
1 1 1 m 26 a ，即 ， 1 1 1 2 3 1 1 24 24 24
m 26 ，而 m N * ，所以可以猜想正整数 m 的最大值为 25.
作业
P99 B组 1
1、用数学归纳法证明：
1 1 1 1 2 3 4 1 1 1 1 2n 1 2n n 1 n 2 1 ( n N* ) 2n
2
(a1 an )n (n 1, 2,3, ) ，用数学归 2
3、Sn 是数列{an}的前 n 项和，若 Sn 纳法证明：数列{an}是等差数列.
用了归纳假设吗？ 命题成立具有递 推性吗？
所以 n k 1 时，不等式也成立。
由（1）（2）知道，对一切正整数 n ，不等式恒成立。
问题与思考
2、用数学归纳法证明不等式 1
1 1 2 3 1 * n ( n N ) n 2 1
3. 若不等式
1 1 1 n 1 n 2 n 3


那么1 2 k k 1
2 2 2
2
k k 12k 1 2 k 1 6 2 k k 12k 1 6k 1 6 k 1k 22k 3 k 1 2k 2 7k 6 6 6 k 1k 1 1 2k 1 1 6 即当n k 1时等式也成立.
即n k 1时猜想也成立 .
这样, 对于猜想 ,由已知n 1 成立, 就有n 2 也成立; n 2成立, 就有n 3 也成立; n 3 成立, 就有n 4也 成立; n 4成立 , 就有n 5 也成立 所以, 对任意 1 的正整数n, 猜想都成立 , 即数列的通项公式是 an . n 一般地, 证明一个与正整数n有关的命题, 可按下 列步骤 : 1归纳奠基 证明当n取第一个值n0时命题成立;
下面用数学归纳法证明：
n N * 都成立，
1 1 1 n 1 n 2 n 3

1 25 对于一切 3n 1 24
先猜后证！
学习清单
• 必须明确命题的数学结构与正整数的对应关系，这 在使用数学归纳法解决问题时至关重要; • 在递推时，必须使用归纳假设； • 合理选择递推的跨度，有时我们可以假设n=k成立 ，证明n=k+2成立； • 有时我们可能只针对命题的部分结论使用数学归纳 法，有时我们使用数学归纳法的目的不是为了直接 证明命题的结论，而是为了证明某一我们需要的结 论.
数学归纳法
（4课时）
数学归纳法基本知识
第1课时
数学归纳法是一种特殊的证明方法, 主要用于研究 与正整数有关的数学问题.例如, 对于数列 an ,已知 an a1 1, an 1 n 1, 2, , 通过对n 1, 2,3, 4前4 1 an 1 项的归纳, 我们已经猜想出其通项公式为an .但 n 是, 我们只能肯定这个猜想对前4项成立, 而不敢肯 定对后续的项也成立.这个猜想需要证明.


根据1和2,可知等式对任何n N 都成立.

1 1 1 1 例 2 已知数列 , , , , , , 3n 23n 1 1 4 4 7 7 10 计算S1, S2 , S3 , S 4 , 根据计算结果 , 猜出Sn的表达式 , 并用 数学归纳法进行证明 . 1 1 1 1 2 解 S1 ; S2 ; 1 4 4 4 47 7 2 1 3 3 1 4 S3 ; S4 . 7 7 10 10 10 10 13 13
若n k k n0 时命题成立 , 证明n k 1时命题也成立 .
归纳奠基
归纳递推
命题对从n0开始所有 的正整数n都成立.
下面看两个例子 .
例1 用数学归纳法证明 nn 12n 1 2 2 2 1 2 n n N . 6 证明 1当n 1 时, 左边 1, 1 1 1 2 1 1 右边 1, 等式成立. 6 2假设当n k时等式成立,即 k k 12k 1 2 2 2 1 2 k , 6
2假设当n k 时猜想成立,即
1 1 1 1 K , 3K 23K 1 3K 1 1 4 4 7 7 10
1 1 1 1 那么, 3K 23K 1 1 4 4 7 7 10 1 3K 1 23K 1 1
1 思考 你认为证明数列的通项 公式是an 这个 n 猜想与上述多米诺骨牌 游戏有相似性吗 ? 你能类 比多米诺骨牌游戏解决 这个问题吗?
由条件, 容易知道 n 1时猜想成立 . 这就相当于游戏 的条件1.类比条件2,可以考虑证明一个递推 关系 : 1 如果n k时猜想成立 , 即ak ,那么当n k 1时 k 1 猜想也成立 ,即ak 1 . k 1 1 1 ak 1 k 事实上,如果ak ,那么ak 1 , k 1 ak 1 1 k 1 k
问题与思考4
对于与正整数n有关的命题P(n)，如果： （1）P(1),P(2)成立； （2）假设P(k)，P(k+1)成立，由此能推出P(k+2)成立。 我们能得出什么结论?
则由(1)(2)两个方面,我们可以得出对一切正 整数n,命题P(n)都是成立的.
问题与思考5
1
(nN*)
下面提供的证明过程，是否有误，试找出所有的错误。
证明当n k 1 时命题也成立 . 只要完成这两个步骤 , 就可以断定命题对从 n0开始的 所有正整数n都成立.
2归纳递推假设当n kk n0,k N 时命题成立,
上述证明方法叫做数学归纳法 (mathematic al induction ).用框图表示就是: 验证n n0时 命题成立 .
问题与思考1
对于与正整数n有关的命题P(n)，如果不能证明P(1)成 立,但能证明：
（1）P(2)成立；
（2）假设P(k)(k2)成立，由此能推出P(k+1)成立。 我们能得出什么结论?
问题与思考2
对于与正整数n有关的命题P(n)，如果： （1）P(1)成立； （2）假设P(k)成立，由此能推出P(k+2)成立。 我们能得出什么结论?
数学归纳法证明中的变化
第2课时
数学归纳法证明基本模式
与正整数n有关的命题P(n)实际上是由无数个 命题构成的命题:P(1),P(2),P(3),…,P(k),P(k+1),… (1)如果P(1)是成立的; (2)假设P(k)成立,一定能由此推出P(k+1)成立,
则由(1)(2)两个方面,我们可以得出对一切正 整数n,命题P(n)都是成立的.
an1 f (an ), n 1, 2,3 ……
证明： 0 an1 an 1．
则由(1)(2)两个方面,我们可以得出对一切正 奇数n,命题P(n)都是成立的.
问题与思考3
对于与正整数n有关的命题P(n)，如果： （1）P(1),P(2)成立； （2）假设P(k)成立，由此能推出P(k+2)成立。 我们能得出什么结论?