孝感市2014-2015高三一统数学(理科)参考答案与评分说明
2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为_________．（用数字填写答案）14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为_________．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C 的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．解答：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．点评：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0f′（x）+0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：0 （0，+∞）x（﹣∞，）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．解答：解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．解答：解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：=8．含x2y6的系数是=28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答：解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得4﹣b2=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答：（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答：解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：lincy；caoqz；wyz123；刘长柏；sxs123；wfy814；孙佑中；minqi5；清风慕竹；maths；qiss（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。
2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一测试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）i - （D ）i 【答案】A【分析】因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． 【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ）（A ）2 （B ）54 （C ）1 （D ）2 【答案】D【分析】因为()77727722xrrr r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得2a =，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题． （3）【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅I ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依题意，若A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅I ；若A B =∅I ，不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】本题考查集合和集合的关系，充分条件和必要条件判断，容易题． （4）【2014年湖北，理4，5x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为ˆy=（A ）0a >，0b > （B ）0a >，0b < （C ）0a <，0b > （D ）0a <，0b < 【答案】B【分析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． 【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 和a 的符号，容易题． （5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）（A ）①和②（B ）③和①（C ）④和③（D ）④和② 【答案】D【分析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④和俯视图为②，故选D ．【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图和俯视图，容易题． （6）【2014年湖北，理6，5分】若函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x为区间[]1,1- 上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【分析】对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x ---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）（A ）18（B ）14 （C ）34 （D ）78【答案】D【分析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题． （8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 和高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）（A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113【答案】B【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】本题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）3 （D ）2【答案】B【分析】设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为23，故选B ． 【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等． （10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）（A ）11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a x x a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得66a -≤≤，故实数a 的取值范围是66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题） （11）【2014年湖北，理11，5分】设向量()3,3a =r ，()1,1b =-r ，若()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，则实数λ= ．【答案】3±【分析】因为()3,3a b λλλ+=+-r r ，()3,3a b λλλ+=++r r ，因为()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题． （12）【2014年湖北，理12，5分】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】2【分析】依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 452a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． 【点评】本题考查直线和圆相交，点到直线的距离公式，容易题． （13）【2014年湖北，理13，5分】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ． 【答案】495【分析】当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题． （14）【2014年湖北，理14，5分】设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，若经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线和x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b 的算术平均数．（1）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数；（2）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）x （2）x （或填（1）1k x （2）2k x ，其中12,k k 为正常数均可）【分析】设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．【点评】本题考查两个数的几何平均数和调和平均数，难度中等．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O e 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O e 于,C D 两点，若1QC =，3CD =，则PB = _______． 【答案】4【分析】由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． 【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系和参数方程）已知曲线1C 的参数方程是3x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 和2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()3,1【分析】由3x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 和2C 的交点坐标为()3,1．【点评】本题考查参数方程，极坐标方程和平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为31()102(cos sin )102sin()12212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃． （2）依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由（1）得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温． （18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=， 解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．（2）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．（19）【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．（1）当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存 在，说明理由．解：解法一：（1）如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． （2）如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形． 分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =I ， 故GOH ∠是面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=o ，连接EM ，FN ，则 由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()2GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)2OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得21λ=±，故存在21λ=±，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -u u u r ，(1,0,)FP λ-u u u r ，(1,1,0)FE u u u r．（1）当1λ=时，(1,0,1)FP =-u u u r ，因为1(2,0,2)BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．（2）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-， 同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二 面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得21λ=． 故存在21λ=，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角． （20）【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水和库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万 元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：（1）依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>== 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．（2）安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：Y4200 10000 P0.2 0.8 所以，()E Y =（3）安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==， 由此得Y Y3400 9200 15000 P0.2 0.7 0.1 所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 和轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．解：（1）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+22(1)||1x y x -+=+，化简整理得22(||)y x x =+，年入流量X 40<X<80 40≤X ≤80X>120 发电机最多可运行台数 1 2 3故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =和轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 和x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ （ⅰ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 和1C 没有公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点． （ⅱ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 和1C只有一个公共点，和2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点．（ⅲ）若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点． 综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点．（22）【2014年湖北，理22，14分】π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．（1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数和最小数；（3）将33,3,,,3,ee e e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ， 单调递减区间为(,)e +∞． （2）因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π和3π之中，最小数在3e 和3e 之中．由3e π<<及（1）的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3e e<，得3ln3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．（3）由（2）知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由（2）知，ln ln eeππ<，得e e ππ<故只需比较3e 和e π和e π 和3π的大小，由（1）知，当0x e <<时，1()()f x f e e<=，即ln 1x x e<， 在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>- ①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333e e e e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。
2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A.1- B. 1 C. i - D. i 2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A I ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 根据如下样本数据x 3 4 56 78y4.02.55.0-0.50.2-0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5. 在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6. 若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37. 由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.87 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。
湖北省孝感市2014届高三第二次统一考试数学答案(理科)
……（６分）
{ { { ｇ′（ｔ）＜０ ３ｔ２＋（ｍ＋４）ｔ－２＜０
（ｍ＋４）ｔ＜２－３ｔ２
∴
ｇ′（３）＞０
２７＋（ｍ＋４）×３－２＞０
ｍ＞－３３７
，
{ｍ＋４＜２ｔ－３ｔ
又∵ｔ∈［１，２］恒成立，∴ ｍ＞－３３７
令 ｈ（ｔ）＝２ｔ－３ｔ，可证 ｈ（ｔ）＝２ｔ－３ｔ，在 ｔ∈［１，２］↓，∴ｈ（ｔ）ｍｉｎ＝ｈ（２）＝－５
ａｎｂｎ
＝２ｎ·８（３）ｎ－１ ２
＝３２ｎ·（３）ｎ ３２
（或
１６ｎ（３）ｎ－１） ２
Ｔｎ
＝３３２［１×３２
＋２×（３）２ ２
＋３×（３）３ ２
＋…
＋ｎ·（３）ｎ］ ２
令
Ａｎ
＝１×３２
＋２×（３）２ ２
＋３×（３）３ ２
＋…
＋ｎ·（３）ｎ ２
求得 Ａｎ＝６＋（３ｎ－６）·（３ ２）ｎ．
∴Ｔｎ＝３３２Ａｎ
{ｍ＋４＜－５ ｍ＞－３３７ －３３７＜ｍ＜－９
……（９分）
（３）令 ａ＝－１，ｆ（ｘ）＝－ｌｎｘ＋ｘ－３，ｆ（１）＝－２，由（１）知 ｆ（ｘ）在（１，＋∞）↑，
∴ｆ（ｘ）≥ｆ（１），即 －ｌｎｘ＋ｘ－３≥ －２ｌｎｘ≤ｘ－１对一切 ｘ∈（１，＋∞）成立
……（１１分）
因为 ｎ∈Ｎ，ｎ≥２，则恒有：０＜ｌｎｎ≤ｎ－１，∴０＜ｌｎｎｎ≤ｎｎ－１，（ｎ∈Ｎ，ｎ≥２）
……（８分）
（１＋２ｘｙ２ ０２ ０）ｘ２－２ｙｘ２ ００ｘ＋ｙ２２ ０ －４＝０ 即 ２ｘ２－４ｘ０ｘ＋４－８ｙ２ ０＝０
……（１０分）
槡 槡 槡 槡 槡 ＡＣ ＝ １＋４ｘｙ２０２ ０ ｘＡ－ｘＣ ＝ １＋４ｘｙ２ ０２ ０ ４ｘ２ ０－８＋１６ｙ２０ ＝ １＋４ｘｙ２０２０ ８ｙ２０
2014年高考新课标 I 数学(理)真题试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）数学试题卷（理工类）注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2﹜，则A B ⋂=A .[2,1]--B .[1,2)-C .[1,1]-D .[1,2)2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点， 角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0，π]上的图像大致为M OPA7.执行下图的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1,2,3,则输出的M=A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .32παβ+= C .22παβ-=D .22παβ+=9.不等式组⎩⎨⎧≤-≥+42,1y x y x 的解集记为D ，有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-；2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥；3p ：(,),23x y D x y ∀∈+≤；4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中的真命题是A .2p ，3pB .1p ，2pC .1p ，4pD .1p ，3p10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .3 C .52D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（1，+∞）C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的六条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4开始 结束ba M 1+← n←n+1是n ≤k输出M 否n ←1 输入a ,b,k a ←b b ←M OAx y 1 π OBx y1π OCx y1π ODxy1π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题-第21题为必考题，每个考生都必须作答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.8()()x y x y -+的展开式中72y x 的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，a =2，且(2)(s i n s i n )(b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．18.（本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间)2.212,8.187(的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．附：150≈12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544．19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥． （Ⅰ）证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB =BC ，求二面角111A A B C --的余弦值．AA 1C 1B 1CB0.008 165 175 185 195 205 215 225 235 0.009 0.0220.024 0.033 质量指标值频率组距0.00220.（本小题满分12分）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．21.（本小题满分12分）设函数()xbe x ae x f x x1ln -+=，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为(1)2y e x =-+． （Ⅰ）求a ，b ； （Ⅱ）证明：()1f x >．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分.作答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB =CE ． （Ⅰ）证明：∠D =∠E ；（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB =MC ，证明：△ADE 为等边三角形．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：⎩⎨⎧-=+=ty t x 22,2（t 为参数）． （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 若0,0a b >>，且11ab a b+=． （Ⅰ）求33b a +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得632=+b a ？并说明理由．AB EC DMO2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷Ⅰ卷）数学（理科）参考答案一、选择题1．A 解析：{}{}223013A x x x x x x =--≥=≤-≥或，又{}22B x x =-≤<，AB =[]2,1--，故选A ．2．D 解析：()()()()()()3222111211211i i i i i i i i i ⋅===---++++--，故选D ． 3．C 解析：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，排除A ．()f x 是奇函数，()f x 是偶函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是偶函数，排除B ． ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，C 正确．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x 是奇函数，则()()f x g x 是偶函数，排除D ．4．A 解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b ，故距离为3，选A ．5．D 解析：周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为4422728P -==，故选D ． 6．C 解析：由已知1,sin ,cos OP PM x OM x ===．又()1122f x OP OM MP ⋅=， 所以()1sin cos sin 22f x x x x ==，故选C ． 7．D 解析：当1n =时，1331,2,222M a b =+===；当2n =时，28382,,3323M a b =+===；当3n =时，3315815,,28838M a b =+===；当4n =时，结束，故158M =，选D ． 8．C 解析：由1sin tan cos βαβ+=得sin 1sin ,sin cos cos cos sin ,cos cos αβαβααβαβ+=∴=+ 即()sin cos αβα-=，所以()sin sin 2παβα⎛⎫-=-⎪⎝⎭． 由已知0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,02222ππππαβα-<-<<-<， sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以,222ππαβααβ-=--=，故选C ．9．B 解析：令()()()()222x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-，所以1,22,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得4,31,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以()()4122033x y x y x y +=+--≥，因而可以判断12,p p 为真，故选B ．10．B 解析：由已知2,2,P F x x =-=又4FP FQ =，则()442Q x -=-，1Q x ∴=． 过Q 作QD 垂直于l ，垂足为D ，所以3QF QD ==，故选B ．11．C 解析：'()3(2)f x x ax =-．当0a =时，2()13f x x =-，不合题意； 当0a >时，()f x 在(,0)-∞上是增函数，且(0)1f =，不合题意；当0a <时，()f x 在2(,)a -∞上是减函数，2(,0)a上是增函数，(0,)+∞是减函数，且(0)1f =，故只需2()0f a>，24a >，2a <-．选C ．12．B 解析：几何体为如图所示的一个三棱锥P ABC -，底面ABC 为等腰三角形，,4,AB BC AC ==顶点B 到AC 的距离为4，面PAC ABC ⊥面，且三角形PAC 为以A 为直角的等腰直角三角形，所以棱PB 最长，长度为6，故选B ．ACPB二、填空题13．20- 解析：888()()()()x y x y x x y y x y -+=+-+，故展开式中72y x 的系数为128882820C C -=-=-．14．A 解析：乙没去过C 城市，甲没去过B 城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A ，C ，三人都去过同一个城市，一定是A ，所以填A ． 15．2π 解析：1()2AO AB AC =+，O 为BC 中点，即BC 为直径，所以AB 与AC 的夹角为2π．16．3 解析：222(2)(sin sin )()sin (2)()()b A B c b C b a b c b c a b c bc +-=-⇒+-=-⇒-=-，所以2222221cos 223b c a b c a bc A A bc π+-+-=⇒==⇒=． 又2244b c bc bc +-=⇒≤．所以13sin 324S bc A bc ==≤． 三、解答题17．解：（Ⅰ）由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1．因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ． （Ⅱ）由题设，a 1=1，a 1a 2=λS 1－1，可得a 2=λ－1．由（Ⅰ）知，a 3=λ＋1． 若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4． 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1． 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2．因此存在λ=4，使得数列{a n }为等差数列．18．解：（Ⅰ）0.021700.091800.221900.332000.242100.082200.02230200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()()()()222222220.021702000.091802000.221902000.332002000.242102000.082202000.022********.s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-=（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知，2δ=2s =150，所以15012.2δ=≈，(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826P Z P Z <<=-<<+=．（ii ）100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数X 服从二项分布()100,0.6826B ，所以1000.682668.26EX =⨯=．19．解：（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于点O ，连结AO ． 侧面11BB C C 为菱形，∴11BC B C ⊥. 又1AB B C ⊥，1ABBC B =，11.B C ABC ∴⊥面1AO ABC ⊂面，1AO B C ∴⊥，又O 为1B C 中点，所以1AC AB =.（Ⅱ）1AC AB ⊥，且O 是B 1C 中点，所以AO =CO .又因为AB =BC ，所以BOA ∆BOC ≅∆，故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，OB 1两两垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长， 建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．因为o 160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又AB =BC ， 则()13330,0,,1,0,0,0,,0,0,,0333A B B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1330,,33AB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,0,3A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,,03B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭．设(),,n x y z =为平面11AA B 的一个法向量，则()111330,0,331,3,30,30,3y z n AB n n A B x z ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪=⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-=⎪⎩即所以可取．设(),,m a b c =为平面111A B C 的一个法向量，则()11110,1,3,30.m B C m m A B ⎧⋅=⎪=-⎨⋅=⎪⎩同理可取． 则1cos ,7n m n m n m⋅<>==，所以二面角111A ABC --的余弦值为17． 20．解：（Ⅰ）由已知得223,2,2143,223,3c a x a E y c c⎧=⎪=⎧⎪⎪∴+=⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩解得椭圆的方程.（Ⅱ）当l x ⊥轴时不合题意，故设l ：2y kx =-，()()1122,,,.P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=得()224116120k x kx +-+=， 当()()222164411264480k k k ∆=--⨯+⨯=->，即234k >时， 21,22824341k k x k ±-=+，从而2121||PQ k x x =+-222414341k k k +-=+． AA 1C 1B 1CBOyx z又点O 到直线l 的距离221d k =+，所以OPQ ∆的面积()221443241k S k PQ d k -==+． 设()2430k t t -=>，()244712,424t S k t k t t t ⎛⎫==≤==± ⎪ ⎪+⎝⎭+当且仅当即时取到， 所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为722y x =-或722y x =--． 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b xe x －1． 由题意可得f (1)=2，f ′(1)=e ，故a =1，b =2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x )=e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e． 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0． 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增． 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e． 设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x )， 所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0．故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e． 综上，当x >0时，()()g x h x >，即()1f x >．22．解：（Ⅰ）由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠，由已知得CBE E ∠=∠，故.D E ∠=∠（Ⅱ）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB =MC 知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上.又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即.MN AD ⊥所以//AD BC ，故.A CBE ∠=∠又CBE E ∠=∠，故.A E ∠=∠由（Ⅰ）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形． A B EC D M O N23．解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩直线l 的普通方程为260x y +-=； （Ⅱ）令点P 坐标为()2cos ,3sin θθ，点P 到直线l 的距离为d . ()55sin 64cos 3sin 64tan 535d θφθθφ+-+-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，||2sin 30d PA d ==︒， 所以()max max max 225||225PA d d ===；()min min min 25||225PA d d ===． 24．解析：（Ⅰ）由112ab a b ab=+≥得2ab ≥，且当2a b ==时等号成立． 故3333242a b a b +≥≥，且当2a b ==时等号成立．所以33a b +的最小值为42．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，23264 3.a b ab +≥≥ 由于436>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=．。
2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β= 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y ≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n﹣a n=λ+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n（a n+2﹣a n）=λa n+1+1≠0，∵a n+1∴a n﹣a n=λ．+2（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，则λ=a n+2∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5H：空间向量及应用．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g （x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．【专题】15：综合题；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【考点】RI：平均值不等式．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。
2014学年高考理科数学年湖北卷答案
34i，即求出值【解析】作出可行域，如图：【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ，又AF BD AB BF =，排除A 、C. DBC ，排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系，得到角相等，，所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-，所以AE AB AD λ=+，AF AB AD μ=+.因为1AE AF =，所以()()1AB AD AB AD λμ++=，即2λ2-②，①+②得5λμ+=，故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义求得2120ππ4π2233+=m 【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+，所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -43π3x 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法1203373734960C C C C +=. 3463k k C C -(k =3463k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点，得(1,1,1)E.证明：向量(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=，故0BE DC=.所以，）向量(1,2,0)BD=-，(1,0,PB=设(,,)n x y z=0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即-⎧，可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量,||||6n BEn BEn BE==⨯与平面PBD3）向量(1,2,0)BC=，(2,CP=-，(2,2,0)AC=，(1,0,0)AB=由点F在棱PC上，设CF CPλ=，0≤故()1,2BF BC CF BC CPλλλ=+=+=-.，得0BF AC=，因此，2(1即12BF⎛=-设(1,n x y=为平面FAB的法向量，则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即，可得1(0,n=-FAB的一个法向量的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==31010.【提示】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC =，可得BE DC ⊥；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）根据BFAC ，求出向量BF 的坐标，进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ABP 的余弦值2，有10(F P x =+，1(,)F B c c =由已知，有110F P F B =，即1.②由①和②可得234x cx +可得1F P ，1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥，于是110F B F P =，得到040cx =，解得1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a (1n a -++-()1q ++-q。
2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测(二)数学试卷(理工类)附答案
2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（理工类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A )•P (B )．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ， ·球的体积公式V 球=34πR 3，其中S 表示棱柱的底面积， 其中R 表示球的半径． h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设i 是虚数单位，则复数ii65-=（ ）． （A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i （2）已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则⌝p 是（ ）．（A ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （C ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 （D ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．（A ）10 （B ）11（C ）12（D ）13（4）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（5）已知双曲线C ：22x a –22y b=1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cos C=（ ）． （A ）725 （B ）725- （C ）725± （D ）2425（7）由曲线y=x 2，y=x 围成的封闭图形的面积为（ ）． （A ）61 （B ）31（C ）32（D ）1（8）在△ABC 中，若|AB +|=|AB –|，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE •AF =（ ）．（A ）98 （B ）910（C ）925（D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（理工类）第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
2014-2015学年普通高中高三教学质量监测 (理科数学解析版)
2014-2015学年普通高中高三教学质量监测理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝( )A. [0,1]B. [0,1)C. (0,1]D. (0,1)[解析] ∵N ＝(－1,1)，∴M ∩N ＝[0,1)，故选B. [答案] B2. 设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A. (0，34) B. [34，43) C. [34，＋∞)D. (1，＋∞)[解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，∵函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0，根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，∴有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43，选B.[答案] B3. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A. y ＝x ＋1 B. y ＝(x －1)2 C. y ＝2－xD. y ＝log 0.5(x ＋1)[解析] y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函数，t ＝x ＋1为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y ＝x ＋1为增函数，故选A.[答案] A4. 定积分⎰10(2x ＋e x )d x 的值为( ) A . e ＋2 B . e ＋1 C . eD . e －1[解析]⎰1(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x)⎪⎪⎪1＝1＋e 1－1＝e ，故选C .[答案] C5. 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f(－12)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A . c>a>bB . c>b>aC . a>c>bD . b>a>c[解析] 由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f(x)的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f(－12)＝f(52)．当x 2>x 1>1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.故选D .[答案] D6. 图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H)，则该函数的大致图象是( )[解析] 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B .[答案] B7. 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n>0)，则1m ＋2n 的最小值等于( )A . 16B . 12C . 9D . 8[解析] 依题意，点A 的坐标为(－2，－1)，则－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1(m>0，n>0)，所以1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n)＝4＋(n m ＋4mn )≥4＋2n m ×4m n ＝8，当且仅当n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝12时取等号，即1m ＋2n 的最小值是8，选D .[答案] D8. 若a>b>0，c<d<0，则一定有( ) A . a c >b d B . a c <b d C . a d >b cD . a d <b c[解析] 解法一：⎭⎬⎫c<d<0⇒cd>0 c<d<0⇒c cd <d cd <0⇒1d <1c <0⇒⎭⎬⎫－1d >－1c >0a>b>0⇒－a d >－bc ⇒ad <b c .解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A 、B 、C 均错，只有D 正确．[答案] D9. 已知直线y ＝mx 与函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－(13)x，x ≤012x 2＋1，x>0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)[解析]作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－(13)x，x ≤012x 2＋1，x>0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m>0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－(13)x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x>0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1有两个不相等的正实数根，由⎩⎨⎧y ＝mx y ＝12x 2＋1，可得x 2－2mx ＋2＝0，即⎩⎨⎧Δ＝4m 2－4×2>02m>0，解得m> 2.故选B . [答案] B10.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A . 5B . 6C . 7D . 8[解析]画出可行域如右图所示， 由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z.当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 取得最小值n ＝－3； 当直线y ＝－2x ＋z 经过点C 时，z 取得最大值m ＝3. ∴m －n ＝6，故选B . [答案] B11.已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A . c ≤3B . 3<c ≤6C . 6<c ≤9D . c>9[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝f (－2)，f (－1)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝c －6，由0<f(－1)≤3，得6<c ≤9. [答案] C12. 设函数f(x)＝3sin πx m .若存在f(x)的极值点x 0满足x 20＋[f(x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A . (－∞，－6)∪(6，＋∞)B . (－∞，－4)∪(4，＋∞)C . (－∞，－2)∪(2，＋∞)D . (－∞，－1)∪(1，＋∞) [解析] f ′(x)＝3πm cos πx m ， ∵f(x)的极值点为x 0，∴f ′(x 0)＝0，∴3πm cos πx 0m ＝0， ∴πm x 0＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴x 0＝mk ＋m2，k ∈Z ，又∵x 20＋[f (x 0)]2<m 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫mk ＋m 22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π22<m 2，k ∈Z ， 即m 2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122＋3<m 2，k ∈Z ，∵m ≠0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122<m 2－3m 2，k ∈Z ， 又∵存在x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，即存在k ∈Z 满足上式，∴m 2－3m 2>⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122min ，∴m 2－3m 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴m 2－3>m 24，CBFAOyx∴m 2>4，∴m >2或m <－2，故选C. [答案] C第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题．请把正确答案填在题中的横线上)13. 设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.[解析] ∵U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}， ∴∁U A ＝{4,6,7,9,10}，又∵B ＝{1,3,5,7,9}， ∴(∁U A )∩B ＝{7,9}． [答案] {7,9}14. 曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于________．[解析] 由题意可得y ′＝ex －1＋x ex －1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2.[答案] 215. 已知不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |－2<x <1}，则不等式cx 2＋bx ＋a >c (2x －1)＋b 的解集为________．[解析] 由题意可知a >0，且－2,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－1ca ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ac ＝－2a ，所以不等式cx 2＋bx ＋a >c (2x －1)＋b 可化为－2ax 2＋ax ＋a >－2a (2x －1)＋a ，整理得2x 2－5x ＋2<0， 解得12<x <2.∴原不等式的解集为(12，2)． [答案] (12，2)16. 已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．[解析] 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.[答案] ①②④三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合N ＝{x |y ＝(12)x 2－x －6－1}． (1)求M ，N ； (2)求(∁U M )∩N .[解] (1)由已知得log 2(3－x )≤log 24，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤4，3－x >0，解得－1≤x <3，所以M ＝{x |－1≤x <3}． N ＝{x |(12)x 2－x －6－1≥0} ＝{x |(x ＋2)(x －3)≤0} ＝{x |－2≤x ≤3}．(2)由(1)可得∁U M ＝{x |x <－1或x ≥3}． 故(∁U M )∩N ＝{x |－2≤x <－1或x ＝3}．18. 已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2a 的值域为[0，＋∞)．若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．[解] 若命题p 为真，(ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a ≠0， ∴x ＝－2a 或x ＝1a ，∵x ∈[－1,1]，故有|－2a |≤1或|1a |≤1， ∴|a |≥1，若命题q 为真，就有(2a )2－4×2a ＝0， ∴a ＝0或a ＝2，∴命题“p 或q ”为假命题时，a ∈(－1,0)∪(0,1)．19. 已知函数f (x )＝x 2＋2m ln x (m ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x ＋f (x )在[1,3]上是减函数，求实数m 的取值范围．[解] (1)由条件知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋2mx . ①当m ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当m <0时，f ′(x )＝2(x ＋－m )(x －－m )x . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－m ]，单调递增区间是[－m ，＋∞)．(2)对g (x )＝2x ＋x 2＋2m ln x 求导，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2m x . 由已知函数g (x )在[1,3]上是减函数，则g ′(x )≤0在[1,3]上恒成立，即－2x 2＋2x ＋2m x ≤0在[1,3]上恒成立，即m ≤1x －x 2在[1,3]上恒成立．令h (x )＝1x －x 2，当x ∈[1,3]时，h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x )<0，由此知h (x )在[1,3]上为减函数，所以h (x )min ＝h (3)＝－263，故m ≤－263.于是实数m 的取值范围为(－∞，－263]．20. 旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x 人，飞机票价格为y 元，旅行社的利润为Q 元．(1)写出飞机票价格y 与旅行团人数x 之间的函数关系式； (2)当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．[解] (1)依题意得，当1≤x ≤35时，y ＝800； 当35<x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1150； ∴y＝{ 800(1≤x ≤35，且x ∈N *)－10x ＋1150(35<x ≤60，且x ∈N *).(2)当1≤x ≤35，且x ∈N *时，Q ＝yx －16000＝800x －16000. 则Q max ＝800×35－16000＝12000，当35<x ≤60，且x ∈N *时，Q ＝yx －16000＝－10x 2＋1150x －16000＝－10(x －1152)2＋341252，所以当x ＝57或x ＝58时，Q 取得最大值，即Q max ＝17060. 因为17060>12000，所以当旅游团人数为57或58时，旅行社可获得最大利润，为17060元．21. 已知函数f (x )＝e x－12x 2－ax (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； (3)如果函数g (x )＝f (x )－(a －12)x 2有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：a >e2.[解] (1)∵f ′(x )＝e x －x －a ， ∴f ′(0)＝1－a .∴由题知1－a ＝2，解得a ＝－1， ∴f (x )＝e x －12x 2＋x . ∴f (0)＝1，∴1＝2×0＋b ，解得b ＝1.(2)由题意知，f ′(x )≥0即e x －x －a ≥0恒成立， ∴a ≤e x －x 恒成立．设h (x )＝e x －x ，则h ′(x )＝e x －1.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，＋∞)h ′(x ) － 0 ＋ h (x )单调递减极小值单调递增∴h (x )min ＝h (0)＝1， ∴a ≤1.(3)由已知g (x )＝e x－12x 2－ax －ax 2＋12x 2＝e x －ax 2－ax ，∴g ′(x )＝e x －2ax －a .∵x 1，x 2是函数g (x )的两个不同极值点(不妨设x 1<x 2)，∴e x －2ax －a ＝0 (*)有两个不同的实数根x 1，x 2.当x ＝－12时，方程(*)不成立，则a ＝e x 2x ＋1，令p (x )＝e x2x ＋1，则p ′(x )＝e x (2x －1)(2x ＋1)2，令p ′(x )＝0，解得x ＝12.当x 变化时，p (x )，p ′(x )的变化情况如下表： x (－∞，－12)(－12，12) 12 (12，＋∞)p ′(x ) － － 0 ＋ p (x )单调递减单调递减极小值单调递增若方程(*)有两个不同的实数根，则a >p (12)＝e2， ∴a >e 2.22. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3(x ≤0)x 2e ax (x >0).(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)对任意的正实数m ，关于x 的方程f (x )＝m 恒有实数解，求实数a 的取值范围．[解] (1)当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，其单调递增区间为[－1,0]；当x >0时，∵a ＝－1，∴f (x )＝x 2e －x ，∴f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·(－1)e －x ＝－x e －x (x －2)， 令f ′(x )>0，得x <2，∴f (x )的单调递增区间为(0,2)．综上，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，(0,2)．(2)“方程f (x )＝m 对任意正实数m 恒有实数解”等价转化为“函数f (x )的值取遍每一个正数”，注意到当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2， 因此，当x >0时，f (x )的值域必须包含(0,2)， 以下研究x >0时的函数值域情况，当x >0时，f (x )＝x 2e ax ，∴f ′(x )＝2x e ax ＋x 2·a e ax ＝x e ax (ax ＋2)，①若a ≥0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )的值域为(0，＋∞)，满足要求；②若a <0，令f ′(x )>0，得0<x <－2a ，令f ′(x )<0，得x >－2a ， ∴f (x )在(0，－2a )上单调递增，在(－2a ，＋∞)上单调递减， ∴f (x )max ＝f (－2a )＝(－2a )2·e －2＝4a 2e 2， ∴f (x )的值域为(0，4a 2e 2]，由(0，4a 2e 2]⊇(0,2)得，4a 2e 2≥2，解得－2e ≤a <0. 综上，所求实数a 的取值范围是[－2e ，＋∞)．。
2014年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1C．﹣i D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：可先计算出的值，再计算平方的值．解答：解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选A．点评：本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．解答：解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r+1==，令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．点评：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．3考点：微积分基本定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．解答：解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．解答：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=（2πr）2，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．点评：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a12+3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=±3．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．解答：解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（（﹣λ）），则（+λ）•（（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，点评：本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2= 2．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到∴==cos45°=，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=495．考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．解答：解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．点评：本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．解答：解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．解答：解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．解答：解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2（x≥0，y≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．考点：等差数列的性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．解答：解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（2）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe ＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。
2014-2015学年湖北省孝感高中高二(下)期末数学试卷(理科)
2014-2015学年湖北省孝感高中高二（下）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.复数i2015（i为虚数单位）的共轭复数是（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】C【解析】解：i2015=i503×4+3=i3=-i，∴它的共轭复数为i，故选：C根据复数的性质进行求解．本题主要考查复数的基本运算，比较基础．2.已知全集U=R，集合A={x|y=log2（x2+3x-10）}，B={x|-2≤x≤5}，则（∁U A）∩B 等于（）A.{x|-5＜x≤2}B.{x|-2＜x≤5}C.{x|-2≤x≤2}D.{x|-5≤x≤5}【答案】C【解析】解：由A中y=log2（x2+3x-10），得到x2+3x-10＞0，即（x-2）（x+5）＞0，解得：x＜-5或x＞2，即A={x|x＜-5或x＞2}，∵全集U=R，∴∁U A={x|-5≤x≤2}，∵B={x|-2≤x≤5}，∴（∁U A）∩B={x|-2≤x≤2}，故选：C．求出A中x的范围确定出A，找出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.下列命题中错误的是（）A.∀x∈R，（x+3）（x+7）≤（x+4）（x+6）B.∃x∈R，|x-2|+|x+3|=5C.∀x∈R，若a≥b，则ax2≥bx2D.∃x∈R，=2【答案】D【解析】解：∵（x+3）（x+7）=x2+10x+21，（x+4）（x+6）=x2+10x+24，∴A正确；∵|x-2|+|x+3|=，＜，，＞，∴B正确；∵a≥b，x2≥0，∴ax2≥bx2，故C正确；∵==+≥2=2，当且仅当=即=1时取等号，又∵≥，∴不存在x∈R，使得=2，故D不正确；故选：D．通过展开、结合不等式的性质易知A正确；通过去绝对值符号可得分段函数的解析式，进而可知B正确；利用不等式的两边同时乘以一个正数不等号方向不变可知C正确；通过变形、利用基本不等式可知当=1时=2，进而可知D不正确．本题考查命题的真假判断与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，且底面为直角梯形ABCD，高为2；∴该四棱锥的体积为V四棱锥=××（2+4）×2×2=4．故选：D．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，求出它的体积即可．本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．5.已知x＞0，y＞0，且x+=3，则+y的最小值是（）A.1B.C.2D.3【答案】B【解析】解：由于已知x，y＞0，且x+=3，∴+=1，可得+y=（+）（+y）=++≥+=，当且仅当=时，取等号，故+y的最小值是，故选：B．由题意可得+=1，故可得+y=（+）（+y），利用基本不等式求得它的最小值即可．本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题．6.已知随机变量ξ～N（0，σ2），若P（ξ＞3）=0.023，则P（-3≤ξ≤3）=（）A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977【答案】C【解析】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（ξ＞3）=0.023，则P（ξ＜-3）=0.023，故P（-3≤ξ≤3）=1-P（ξ＞3）-p（ξ＜-3）=0.954，故选：C．画出正态分布N（0，σ2）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．7.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）当0＜x＜1时，lnx＜0，y＜0；当x＞1时，lnx＞0，y＞0．故排除B、C．=当1＜x＜e时，0＜lnx＜1，＞，y＜0，函数递减；当x＞e时，lnx＞1，＜＜，y＞0，函数递增．结合图形，可知D选项中图正确．故选D．由解析式知0＜x＜1时，y＜0，排除B、C，然后用导数研究x＞1时的单调性，得正确图形．本题主要考查了函数图象的有关性质以及与导数的关系．8.（1-x）10的展开式中x3的系数为（）A.-120B.120C.-45D.45【答案】A【解析】解：（1-x）10的展开式的通项公式为T r+1=•（-x）r，令r=3，可得展开式中x3的系数为-=-120，故选：A．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．9.在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力（）A.平均数与方差B.回归直线方程C.独立性检验D.概率【答案】C【解析】解：在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，可得：K2==83.88＞10.828故有理由认为性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系故利用独立性检验的方法最有说服力．故选C这是一个独立性检验应用题，处理本题时要注意根据在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案．本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于基础题．10.正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为1，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，∴EF==，∵SB==∴GE=GF==∴轨迹的周长为故选B．根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG，其中G、F为中点，根据中位线定理求出EF、GE、GF，从而求出轨迹的周长．本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于中档题．11.双曲线：＞，＞与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵双曲线：＞，＞与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，∴A（，）在双曲线：＞，＞上，=c∴（c，2c）在双曲线：＞，＞上，∴∴c4-6a2c2+a4=0∴e4-6e2+1=0∴∵e＞1∴e=故选B．利用条件可得A（，）在双曲线：＞，＞上，=c，从而可得（c，2c）在双曲线：＞，＞上，代入化简，即可得到结论．本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12.已知函数f（x）=-x3+x2+（m2-1）x，（x∈R，m＞0），若f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）成立，则实数m的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】解：由题设，f（x）=x（-x2+x+m2-1）=-x（x-x1）（x-x2），∴方程-x2+x+m2-1=0有两个相异的实根x1，x2，故x1+x2=3，且△=1+（m2-1）＞0，∵m＞0解得m＞，∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，故x2＞＞1．（10分）①当x1≤1＜x2时，f（1）=-（1-x1）（1-x2）≥0，而f（x1）=0，不符合题意，②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x-x1≥0，x-x2≤0，则f（x）=-x（x-x1）（x-x2）≥0，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m2-＜0，解得-＜m＜，综上，m的取值范围是（，），故选：A．通过讨论x1，x2的范围，结合题意属于区间[x1，x2]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．本题较为复杂，主要考查了函数的单调性及二次函数的性质问题，注意掌握知识点间的关系．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D1，A1B1上的点且C1E=A1F=A1B1，则直线BE与DF所成角的余弦值是______ ．【答案】【解析】解：如图，以D1A1，D1C1，D1D三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则：B（1，1，1），E（，，），D（0，0，1），F（1，，0）；∴，，，，，；∴cos＜，＞=；∴直线BE与DF所成角的余弦值是．故答案为：．分别以边D1A1，D1C1，D1D所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可设正方体的边长为1，根据条件可确定B，E，D，F四点的坐标，从而得到向量，的坐标，根据向量夹角余弦的坐标公式即可求出＜，＞，从而得出异面直线BE，DF 所成角的余弦值．考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题的方法，能求空间点的坐标，以及由点的坐标求向量坐标，向量夹角余弦的坐标公式，弄清两异面直线所成角和这两直线的方向向量的夹角的关系．14.某年孝感高中校园歌手大赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖．甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖．”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖．”丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖．”实际上，他们之中只有一个人没有获奖，并且甲、乙、丙说的话都是真的．那么没能获奖的同学是______ ．【答案】甲【解析】解：根据题意，甲、乙、丙说的话都是真的；首先根据丙说的话可以推知，丁必能获奖，否则，假设丁没有获奖，那么丙也没有获奖，这与“他们之中只有一个人没有获奖”矛盾；其次考虑甲是否获奖，假设甲能获奖，那么根据甲说的话可以推知，乙也可获奖；再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样得出4个人全都能获奖，不可能；因此，只有甲没有获奖；故答案为：甲．根据题意，首先根据丙说的话进行分析可得丁获奖，进而分析甲的情况，假设甲获奖，进行推导可得矛盾，即可得答案．本题考查逻辑推理的运用，解题的关键是先通过题意进行分析，进而找出突破口，并以此进行推理，继而得出问题答案．15.如图所示，直线y=kx分抛物线y=x2-x与x轴所围成图形为面积相等的两部分，则实数k的值为______ ．【答案】【解析】解：由题意由得到交点为（0，0），（k+1，k（k+1）），所以=2整理得（）|=2（）|所以（k+1）3=，解得k=；故答案为：由题意得到=2整理得到关于k的等式解之．本题考查了运用定积分求曲边梯形的面积；关键是利用定积分表示出面积的关系．16.如果对任意一个三角形，只要它的三边a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f （a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“和美型函数”．现有下列函数：①f（x）=；②g（x）=sinx，x∈（0，π）；③φ（x）=2x；④h （x）=lnx，x∈[2，+∞）．其中是“和美型函数”的函数序号为______ ．（写出所有正确的序号）【答案】①④【解析】解：对于①，设0＜a≤b≤c，且a+b＞c，欲证明+＞，只需证明a+b+2＞c，即2＞0成立；∴①是“和美型函数”；对于②，取a=，b=，c=，而sinb+sinc=sina，∴②不是“和美型函数”；对于③，取a=2，b=2，c=3，则22+22=23，∴以22、22、23为三边不能构成三角形，③不是“和美型函数”；对于④，设2≤a≤b＜c，此时只需证lna+lnb＞lnc，即证lnab＞lnc，即证ab＞c，由①知a+b＞c，而ab-（a+b）=ab-a-b+1-1=（a-1）（b-1）-1≥0，即ab≥a+b＞c，∴lna+lnb＞lnc成立，即h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“和美型函数”．综上，是“和美型函数”的函数序号为①④．故答案为：①④．①由0＜a≤b≤c，且a+b＞c，判断+＞成立即可；②举例说明y=sinx不是“和美型函数”；③举例说明y=2x不是“和美型函数”；④由2≤a≤b＜c，说明lna+lnb＞lnc成立即可．本题考查了新定义的函数的性质与应用问题，也考查了综合分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知p：x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，q：方程4x2+（4m-2）x+1=0无实数根．（Ⅰ）若p为真，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵p：x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，若p为真，则＞＜，∴m＞2（Ⅱ）若q为真，△=（4m-2）2-16＜0，∴＜＜，∵p或q为真，p且q为假，∴p，q必为一真一假①当p为真q为假时，＞或，∴m＞2②当p为假q为真时，＜＜，∴＜＜综上可知：，，∞【解析】（I）根据二次方程根的个数与系数的关系，构造关于m的不等式组，解得实数m的取值范围；（Ⅱ）若p或q为真，p且q为假，p，q必为一真一假，分类讨论后，进而可得实数m的取值范围．本题主要考查了p或q复合命题的真假的应用，解题的关键是利用二次方程根的个数与△的关系，准确求出命题p，q为真时m的范围．18.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，，，AC=2，A1C1=1，．（Ⅰ）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求二面角A-CC1-B的大小．【答案】证明：（Ⅰ）∵A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC．在R t△ABC中，，，∴，∵BD：DC=1：2，∴，又，∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．又A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，∵BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1．（Ⅱ）如图，作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，由已知得AB⊥平面ACC1A1．∴AE是BE在面ACC1A1内的射影．由三垂线定理知BE⊥CC1，∴∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角．过C1作C1F⊥AC交AC于F点，则CF=AC-AF=1，，∴∠C1CF=60°．在R t△AEC中，°．在R t△BAE中，．∴∠，即二面角A-CC1-B为．【解析】（Ⅰ）欲证平面A1AD⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCC1B1内一直线与平面A1AD垂直，根据线面垂直的性质可知A1A⊥BC，AD⊥BC，又A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AD，而BC⊂平面BCC1B1，满足定理所需条件；（Ⅱ）作AE⊥C1C交C1C于E点，连接BE，由三垂线定理知BE⊥CC1，从而∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角，过C1作C1F⊥AC交AC于F点，在R t△BAE中，求出二面角A-CC1-B的平面角即可．本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．19.某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员，三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了100户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）（1）已知该小区共有居民10000户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是8.96×104吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；（2）为了解动员前后市民的节水情况．媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在[12，16）范围内的家庭中选出5户作为采访对象，其中在[14，16）内的抽到X 户，求X的分布列和期望．【答案】解：（1）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为1×0.015+3×0.03+5×0.105+7×0.2+9×0.12+11×0.03）×2=6.88（吨）于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水8.98×104-6.88×104=2.08×104（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12，14）范围内的家庭有6户，在[14，16）内的有3户，因此X可能取值有0，1，2，3，P（X=0）===；P（X=1）===；P（X=2）===；P（X=3）===∴X的分布列为∴EX=1×+2×+3×=【解析】（1）将直方图中的每个组中值乘以每个矩形的面积相加即可求出所求；（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12，14）范围内的家庭有6户，在[14，16）内的有3户，因此X可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，最后根据数学期望的公式解之即可．本题主要考查了频率分布直方图，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于基础题．20.已知椭圆：＞＞的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：（Ⅲ）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．【答案】解：（Ⅰ）∵2a=2•2b，∴a=2b．设椭圆方程为．椭圆E过点C（2，1），代入椭圆方程得，解得，则，所以所求椭圆E的方程为；（Ⅱ）依题意得D（-2，-1）在椭圆E上．CP和DP的斜率K CP和K DP均存在．设P（x，y），则，，①又∵点P在椭圆E上，∴，∴x2=8-4y2，代入①得，．所以CP和DP的斜率K CP和K DP之积为定值（Ⅲ）CD的斜率为，∵CD平行于直线l，∴设直线l的方程为．由，消去y，整理得x2+2tx+（2t2-4）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2）．由＞，得|MN|==＜＜．．所以，当且仅当t2=4-t2时取等号，即t2=2时取等号所以△MNC面积的最大值为2．此时直线l的方程【解析】（Ⅰ）由椭圆长轴长是短轴长的两倍设出椭圆的方程，把点C的坐标代入椭圆方程可求解b，则椭圆的方程可求；（Ⅱ）设出P点的坐标，写出直线CP和DP的斜率，由点P在椭圆上得到P点横纵坐标的关系式，代入斜率乘积的表达式整理可得直线CP和DP的斜率之积为定值；（Ⅲ）由直线l平行于CD，设出直线l的斜截式方程，和椭圆方程联立后求出弦MN的长度，由点到直线的距离公式求出C到MN的距离，代入面积公式后利用基本不等式求最大值，并求出使面积最大时的直线l的方程．本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用弦长公式求弦长，考查了利用基本不等式求最值，是有一定难度题目．21.已知函数f（x）=ax++c（a＞0），g（x）=lnx，其中函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：1+＞（n≥1）．【答案】（Ⅰ）解：求导数，则有，解得，∴f（x）=x-1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，令，x∈[1，+∞），则，，（i）当＜＜时，＞．若＜＜，则φ （x）＜0，φ（x）是减函数，所以φ（x）＜φ（1）=0，即f（x）＜g（x）．故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上不恒成立．（ii）当时，．若x＞1，则φ'（x）＞0，φ（x）是增函数，所以φ（x）＞φ（1）=0，即f（x）＞g（x），故当x≥1时，f（x）≥g（x）．综上所述，所求a的取值范围为，∞．（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知当时，有f（x）≥g（x）（x≥1）．令，有≥lnx且当x＞1时，＞lnx．令，有＜∴＜，，，，，，将上述n个不等式依次相加，得＜，整理得＞解法二：用数学归纳法证明．①当n=1时，左边=1，右边=＜，不等式成立．②假设当n=k时，不等式成立，就是＞那么＞=由（Ⅱ）知，当时，有f（x）≥lnx（x≥1）．令，有．令，得．∴．∴＞．这就是说，当n=k+1时，不等式也成立根据①和②，可知不等式对任何n∈N+都成立．【解析】（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，构造新函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明一：令，有≥lnx且当x＞1时，＞lnx．令，再利用累加法，即可证明；证明二，用数学归纳法证明．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．22.如图所示，已知半圆的直径AB=6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由．【答案】解：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值．理由如下，如图所示，连接BC．∵CD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，∴∠PBC为定值，∴∠P=∠ACB-∠PBC=90°-∠PBC，为定值．∵∠PCD=∠PBA，∴△PCD∽△PBA，∴===．在R t△PBC中，cos∠P==，∴sin∠P=．【解析】连接BC，利用圆周角定理可知∠PBC为定值，则可知∠P为定值，又可证明△PCD∽△PBA，可求得PC和PB的比值，在R t△PCB中，可求得∠P的正弦值．本题主要考查相似三角形的判定和性质及圆周角定理和三角函数的定义，掌握相似三角形的对应边成比例，找到PC和BC的关系是解题关键．23.在直角坐标系x O y中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2-4ρcosθ+3=0．（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．【答案】解：（1）由曲线C的参数方程为为参数），消去参数t得到曲线C的普通方程为x-y-1=0；∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线P在极坐标系下的方程为ρ2-4ρcosθ+3=0，∴曲线P的直角坐标方程为x2+y2-4x+3=0．（2）曲线P可化为（x-2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为，故|AB|==．【解析】（1）参数t得到曲线C的普通方程为x-y-1=0，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出P的直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d和弦长l=即可得出．本题考查直角坐标系与极坐标之间的互化，熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式、弦长l=是解题的关键．24.设函数f（x）=|x+1|+|x-5|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥10；（Ⅱ）若f（x）≥+2对任意的实数x恒成立，求实数t的取值范围．【答案】解：（I）对于不等式|x+1|+|x-5|≥10，①当x≤-1时，-2x+4≥10，∴x≤-3，∴x≤-3；②当-1＜x≤5时，6≥10，不成立．③当x＞5时，2x-4≥10，∴x≥7，∴x≥7．综上可知：不等式的解集为（-∞，-3]∪[7，+∞）．（II）∵f（x）=|x+1|+|x-5|≥|x+1-x+5|=6，f（x）≥+2对任意的实数x恒成立，∴，∴，∴t∈（-∞，0）∪[1，+∞）．【解析】（I）对于不等式|x+1|+|x-5|≥10，分类讨论求得它的解集．（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为6，可得6≥+2，由此求得t的范围．本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．。
2015年高考理科数学湖北卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共24页）数学试卷 第2页（共24页）数学试卷 第3页（共24页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，607i 的共轭复数为（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石3．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A ．122B ．112C ．102D ．924．设211(,)X N μσ～，222(,)Y N μσ～，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 （ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：222121()n a a a -+++22(a +222312231)()n n n a a a a a a a a -++=+++，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．123p p p <<B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p <<8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >9．已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤，{(,)|||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 （ ） A ．77B ．49C ．45D ．30 10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. (一)必考题(11～14题)11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB =___________. 12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22xf x x x x =---+的零点个数为___________. 13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m .14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =.（1）圆C 的标准方程为___________；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于M ，N 两点，下列三个结论： ①||||||||NA MA NB NB =； ②||||2||||NB MA NA MB -=；③||||||||NB MA NA MB += 其中正确结论的序号是___________（写出所有正确结论的序号）. -------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共24页）数学试卷 第5页（共24页）数学试卷 第6页（共24页）(二)选考题(请考生在第15，16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果记分) 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=___________. 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1,x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，l与C 相交于A ，B 两点，则||AB =___________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ， 且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,DE DF BD BE . （Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值.20．（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量. （Ⅰ）求Z 的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率. 21．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，MN 3=.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.22.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，*1(1)()n n n b n a n n=+∈N ，e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n +与e 的大小； （Ⅱ）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ，n T ，证明：e n n T S <.数学试卷 第7页（共24页）数学试卷 第8页（共24页）数学试卷 第9页（共24页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】60760433i i i i +===-，它的共轭复数为i . 【提示】直接利用复数的单位的幂运算求解即可. 【考点】虚数单位i 及其性质 2.【答案】B【解析】由题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石. 【提示】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论. 【考点】随机抽样，样本估计总体的实际应用 3.【答案】D【解析】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得37nnC C =，可得3710n =+=，10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=.【提示】直接利用二项式定理求出n ，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可. 【考点】二项式定理，二项式系数的性质 4.【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤.【提示】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可.【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 5.【答案】A【解析】由12,,,,3n a a a n ⋯∈≥R ，运用柯西不等式，可得：222222212-1231223-1()()()n n n n a a a a a a a a a a a a ++⋯+++⋯+≥++⋯+，若12,,,na a a ⋯成等比数列，即有32121n n a a a a a a -==⋯=，则22222212-1231223-1()()()nnn n a a a aaa a a a a a a ++⋯+++⋯+=++⋯+，即由p 推得q ，但由q 推不到p ，比如1230n a a a a ===⋯==，则12,,,n a a a ⋯不成等比数列，故p 是q 的充分不必要条件.【提示】运用柯西不等式，可得22222212-1231223-1()()()nn nn a a a aaa a a a a a a++⋯+++⋯+≥++⋯+，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到. 【考点】等比数列的性质 6.【答案】B【解析】由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，令()f x x =，2a =，则()()()g x f x f a x x=-=-，sgn[()]sgn()g x x =-，所以A 不正确，B 正确，sgn[()]sgn()f x x =，C 不正确；D 正确；对于D ，令()1f x x =+，2a =， 则()()()g x f x f ax x=-=-，1,1sgn[()]sgn(1)0,11,1x f x x x x >⎧⎪=+==-⎨⎪-<-⎩；1,0sgn[()]sgn()0,01,0x g x x x x >⎧⎪=-==⎨⎪-<⎩，1,1sgn[()]sgn(1)0,11,1x f x x x x ->-⎧⎪-=+==-⎨⎪<-⎩；所以D 不正确；故选B .【提示】直接利用特殊法，设出函数()f x ，以及a 的值，判断选项即可.【考点】函数与方程的综合运用 7.【答案】B【解析】分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）.P 1：10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)A ，(1,1)B ，(1,0)C ，则阴影部分的面积11111711122288S =⨯-⨯⨯=-=，211113112122243S =⨯-⨯⨯⨯=-=， 31111121ln 212222S dx x =⨯+=+⎰，231S S S ∴<<，即231p p p <<.【提示】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可. 【考点】几何概型 8.【答案】D【解析】由题意，双曲线C 1：222c a b =+，1ce a =；双曲线C 2：222()()c a m b m '=+++，2e =，222222122()(2)()b b m abm bm am e e a a a m +++∴-=-+，∴当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >.【提示】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论.【考点】双曲线的简单性质 9.【答案】C【解析】因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有5个元素，即图中圆中的整点，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，中有5525⨯=个元素，即图中正方形ABCD 中的整点，12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个.数学试卷 第10页（共24页）数学试卷 第11页（共24页）数学试卷 第12页（共24页）【提示】分别求出集合A 与集合B 的解集，将其在坐标系中标出，即可求. 【考点】集合中元素个数的最值 10.【答案】B【解析】若[]1t =，则[1,2)t ∈，若2[]2t =，则t ∈（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若3[]3t =，则t ∈，若4[]4t =，则t ∈，若5[]5t =，则t ∈，1.732≈1.587≈1.4951.431 1.495≈<； 通过上述可以发现，当4t =时，可以找到实数t使其在区间334554[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)上，但当5t =时，无法找到实数t 使其在区间334554[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)上，∴正整数n 的最大值4.【提示】由新定义可得t 的范围，验证可得最大的正整数n 为4. 【考点】进行简单的演绎推理第Ⅱ卷二、填空题 （一）必考题 11.【答案】9【解析】由OA AB ⊥uu r uu u r ，得0O A A B =u u r u uur g ，即()0O A O B O A -=uu r uu u r uu r g ，3OA =uu rQ ，2||9OA AB OA ∴==u u r u u u r u u r g .【提示】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【考点】平面向量数量积的运算 12.【答案】2【解析】函数()f x 的定义域为{|1}x x >-.22π()4cos cos 2sin |ln(1)|2sin 2cos 1|ln(1)|sin 2|ln(1)|222x x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别画出函数sin 2y x =，|ln(1)|y x =+的图象，由函数的图象可知，交点个数为2，所以函数的零点有2个.【提示】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可.【考点】根的存在性及根的个数判断 13.【答案】【解析】设此山高h （m ），则BC =，在ABC △中，30BAC ∠=，105CBA ∠=，45BCA ∠=，600AB =，根据正弦定理得600sin 30sin 45=，解得h =m ）. 【提示】设此山高h （m ），在BCD △中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在ABC △中利用正弦定理求得h .【考点】解三角形的实际应用 14.【答案】（1）22(1)(2x y -+= （2）①②③【解析】解：（1）Q 圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，∴圆心的横坐标1x =，取AB 的中点E ，||2AB =Q ，||1BE ∴=，则||BC=，即圆的半径||rBC ==∴圆心C ，则圆的标准方程为22(1)(2x y -+=.（2）Q 圆心C，E ∴，又||2AB =Q，且E 为AB 中点，1)A ∴，1)B ，Q M 、N 在圆O ：221x y +=上，∴可设(cos ,sin )M αα，(cos ,sin )N ββ， ||NA ∴=====||NB====||1||NA NB∴===， 同理可得||1||MA MB =，||||||||NA MA NB MB ∴=，①成立； ||||1)2||||NB NA NA NB-==，②正确； ||||1)||||NB MA NA MB +==，③正确.【提示】（1）取AB 的中点E ，通过圆C 与x 轴相切于点T ，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设(cos ,sin )M αα，(cos ,sin )N ββ，计算出||||MA MB 、||||NA NB、||||NB NA 的值即可. 【考点】命题的真假判断与应用，圆与圆的位置关系及其判定 （二）选考题 15.【答案】12数学试卷 第13页（共24页）数学试卷 第14页（共24页）数学试卷 第15页（共24页）【解析】由切割线定理可知2PA PB PC =g ，又3BC PB =，可得2PA PB =，在PAB △与PAC △中，P P ∠=∠，PAB PCA ∠=∠（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得PAB PCA△∽△， 122AB PB PB AC PA PB ∴===.【提示】利用切割线定理推出2PA PB =，利用相似三角形求出比值即可. 【考点】与圆有关的比例线段 16.【答案】【解析】由(sin 3cos )0ρθθ-=，得30y x -=，由C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），两式平方作差得224x y -=-.联立2234y x x y =⎧⎨-=-⎩，得212x =，即2x =±，22A ⎛∴ ⎝⎭，,22B ⎛-- ⎝⎭，||AB ∴==.【提示】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化为普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式可得答案. 【考点】简单曲线的极坐标方程，双曲线的参数方程 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）π127π12 13π12π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（Ⅱ）π6【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得5A =，2,ω=，π6ϕ=-，数据补全如下表：且函数表达式为()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得π()5sin 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ，令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ， 由于函数()y g x =的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称， 令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6. 【提示】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得5A =，2,ω=，π6ϕ=-，从而可补全数据，解得函数表达式为π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）由（Ⅰ）及函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律得π()5sin 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ，由0θ>可得解.【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换18.【答案】（Ⅰ）21n a n =-，12n n b -=或1(279)9n a n =+，1299n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭g （Ⅱ）12362n n n T -+=-【解析】（Ⅰ）设1a a =，由题意可得10451002a d ad +=⎧⎨=⎩，解得12a d =⎧⎨=⎩，或929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，当12a d =⎧⎨=⎩时，21n a n =-，12n nb -=； 当929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时，1(279)9n a n =+，1299n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭g .（Ⅱ）当1d >时，由（Ⅰ）知21n a n =-，12n n b -=，1212n n n n a n c b --∴==， 23411111113579(21)22222n n T n -∴=++++++-g g g g L g ，234111*********(23)(21)2222222n n n T n n -∴=+++++-+-g g g g L g g 23421111111232(21)322222222n n n n n T n -+=++++++--=-L g 12362n n n T -+∴=-.【提示】（Ⅰ）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（Ⅱ）当1d >时，由（Ⅰ）知1212nn n c --=，写出n T 、12n T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可. 【考点】数列的求和 19.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）DC BC =【解析】解法一：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD ， 而DE ⊂平面PDC ，所以BC DE ⊥.又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥， 而PC CB C =I ，所以DE ⊥平面PBC ，而PB ⊂平面PBC ，所以PB DE ⊥.又PB EF ⊥，DE FE E =I ，所以PB ⊥平面DEF .数学试卷 第16页（共24页）数学试卷 第17页（共24页） 数学试卷 第18页（共24页）由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB ∠，DEF ∠，EFB ∠，DFB ∠. （Ⅱ）如图，在面BPC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则D G 是平面DEF 与平面ACBD 的交线.由（Ⅰ）知，PB ⊥平面DEF ，所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥， 而PD PB P =I ，所以DG ⊥平面PBD ， 所以DG DF ⊥，DG DB ⊥.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角， 设1PD DC ==，BC λ=，有BD =在Rt PDB △中，由DF PB ⊥，得π3DPF FDB ∠=∠=，则πtan tan 3BDDPF PD=∠===解得λ=1DC BC λ=， 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =解法二：（Ⅰ）以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0)D ，(0,0,1)P ，(,1,0)B λ，(0,1,0)C ，(,1,1)PB λ=-uu r，点E 是PC 的中点，所以110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuur ，于是0PB DE =uu r uuu rg ，即PB DE ⊥.又已知EF PB ⊥，而ED EF E =I ，所以PB ⊥平面DEF ， 因(0,1,1)PC =-uu u r ，0DE PC =uuu r uu u rg ，则DE PC ⊥，所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB ∠，DEF ∠，EFB ∠，DFB ∠.（Ⅱ）由PD ⊥底面ABCD ，所以(0,0,1)DP =uu u r是平面ACDB 的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB ⊥平面DEF ，所以(,1,1)BP λ=--uu r是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则运用向量的数量积求解得出π1cos 32==，解得λ=12DC BC λ==， 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =【提示】解法一：（Ⅰ）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB EF ⊥，DE FE E =I ，所以PB ⊥平面DEF ，即可判断DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，确定直角；（Ⅱ）根据公理2得出DG 是平面DEF 与平面ACBD 的交线，利用直线平面的垂直判断出DG DF ⊥，DG DB ⊥，根据平面角的定义得出BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可.解法二：（Ⅰ）以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可；（Ⅱ）由PD ⊥底面ABCD ，所以(0,0,1)DP =uu u r是平面ACDB 的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB ⊥平面DEF ，所以(,1,1)BP λ=--uu r是平面DEF 的一个法向量，根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定 20.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）0.973【解析】（Ⅰ）设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为Z ，则有2 1.51.512200,0x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩①，如图1，目标函数为10001200Z x y =+.当12W =时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0,0)A ，(2.4,4.8)B ，(6,0)C ，将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+，当 2.4x =， 4.8y =时，直线l ：561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z Z ==⨯+⨯=； 当15W =时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0,0)A ，(3,6)B ，(7.5,0)C ， 将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+，当3x =，6y =时，直线l ：561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z Z ==⨯+⨯=； 当18W =时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0,0)A ，(3,6)B ，(6,4)C ，(9,0)D ， 将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+，当6x =，4y =时，直线l ：561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z Z ==⨯+⨯=.因此，()81600.3102000.5108000.29708E Z =⨯+⨯+⨯=.数学试卷 第19页（共24页）数学试卷 第20页（共24页）数学试卷 第21页（共24页）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7P P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为311(1)0.973P P =--=.【提示】（Ⅰ）设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，列出可行域，目标函数，通过当12W =时，当15W =时，当18W =时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z 的分布列，求出期望即可；（Ⅱ）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可. 【考点】简单线性规划的应用，离散型随机变量的期望与方差21.【答案】（Ⅰ）221164x y += （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）设(,0)(||2)D t t ≤，00(,)N x y ，(,)M x y ，由题意得2MD DN =uuu r uuu r，且||||1DN ON ==uuu r uuu r ，00(,)2(,)t x y x t y ∴--=-，且22002200()11x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，即00222t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩，且0(2)0t t x -=， 由于当点D 不动时，点N 也不动，∴t 不恒等于0，于是02t x =，故04x x =，02yy =-， 代入2201x y +=，得方程221164x y +=.（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 为：4x =或4x =-，都有14482OPQ S =⨯⨯=△， （2）直线l 的斜率k 存在时，直线l 为：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=， 直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，2222644(14)(416)0k m k m ∴∆=-+-=，即22164m k =+①. 由20y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，可得2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，同理得2,1212mm Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 原点O 到直线PQ的距离d =和|||P Q PQ x x -， 可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ==-=+=-+-△②. 将①代入②得222224181441OPQm k S k k +==--△， 当214k >时，22241288184141OPQ k S k k ⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭△， 当2104k ≤<时，22222414128881414114OPQ k k S k k k ⎛⎫++⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭△， 2104k ≤<时，20141k ∴<-≤，22214k ≥-， 2281814OPQS k ⎛⎫∴=-+≥ ⎪-⎝⎭△，当且仅当0k =时取等号，0k ∴=时，OPQ S △的最小值为8.综上可知当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，三角形OPQ 的面积存在最小值为8. 【提示】（Ⅰ）根据条件求出a ，b 即可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可.【考点】直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程22.【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-， 当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增， 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减，故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<，令1x n =，得111e n n +<，即11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭①（Ⅱ）1111111121b a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭g ；222121212121221(21)32b b b b a a a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g g ；32331233121231231331(31)43b b b b b b a a a a a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g g ； 由此推测：1212(1)n nnb b b n a a a =+L L ② 下面用数学归纳法证明②，（1）当1n =时，2==左边右边，②成立.（2）假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kk b b b k a a a =+L L ， 当1n k =+时，1111(1)11k k k b k a k +++⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭，由归纳假设可得111211211211211(1)(1)1(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++⎛⎫==+++=+ ⎪+⎝⎭L L g L L∴当1n k =+时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立.（Ⅲ）证明：由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得数学试卷 第22页（共24页） 数学试卷 第23页（共24页） 数学试卷 第24页（共24页）111131212311212312()()()()nn n n T c c c c a a a a a a a a a =++++=++++11113121231212312112112()()()()2341122334(1)nn n b b b b b b b b bb b b b b b b b b n n n ++++++=++++≤+++++⨯⨯⨯+L L L L1211111111223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=+++++++++⎢⎥⎢⎥⨯⨯+⨯⨯++⎣⎦⎣⎦L L L g 1212111111121112n n b b b b b b n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121212111111e e e 12nn n a a a a a a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++<+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L即e n n T S <.【提示】（Ⅰ）求出()f x 的定义域，利用导数求其最大值，得到1e x x +<，取1x n=即可得到答案；（Ⅱ）由11()nn n b n a n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，变形求得11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测1212(1)n nnb b b n a a a =+，然后利用数学归纳法证明；（Ⅲ）由n c 的定义、1212(1)n n n b b b n a a a =+、算术-几何平均不等式、n b 的定义及11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，利用放缩法证得e n n T S <. 【考点】数列与不等式的综合。
2014年全国高考湖北省数学(理)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ）A. 1-B. 1C. i -D. i 2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B.54 C. 1 D.42 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0）， （1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.3551139.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.3 B.3C.3D.2 10.已知函数f （x ）是定义在R上的奇函数，当0x ≥时，2221()(||)|2|3).2f x x a x a a =-+--若,(1)(),x R f x f x ∀∈-≤则实数a 的取值范围为（ ）A.11[,]66-B.[C. 11[,]33-D.[二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a = ，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥- ，则实数λ=________.12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；（2）当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________17、（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18（本小题满分12分） 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（1） 求数列的通项公式.（2） 记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔全国Ⅰ〕数学〔理科〕第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 〔1〕【2014年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B =〔 〕〔A 〕[]2,1-- 〔B 〕[)1,2- 〔C 〕[]1,1- 〔D 〕[)1,2 【答案】A【解析】∵{}{}223013A x x x x x x =--≥=≤-≥或，{}22B x x =-≤<，∴{}21AB x x =-≤≤-，故选A ．〔2〕【2014年全国Ⅰ，理2，5分】()()321i 1i +=-〔 〕〔A 〕1i + 〔B 〕1i - 〔C 〕1i -+ 〔D 〕1i -- 【答案】D【解析】∵32(1i)2i(1i)1i (1i)2i++==----，故选D ． 〔3〕【2014年全国Ⅰ，理3，5分】设函数()f x ，()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函 数，则以下结论中正确的选项是〔 〕〔A 〕()()f x g x 是偶函数 〔B 〕()()f x g x 是奇函数 〔C 〕()|()|f x g x 是奇函数 〔D 〕|()()|f x g x 是奇函数 【答案】C【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()f x 为偶函数，()g x 为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得()|()|f x g x 为奇函数，故选C ．〔4〕【2014年全国Ⅰ，理4，5分】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为〔 〕 〔A 〕3 〔B 〕3 〔C 〕3m 〔D 〕3m 【答案】A【解析】由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,33c m c m =+=+，设()33,0F m +，一条渐近线33y x m =，即0x my -=，则点F 到C 的一条渐近线的距离3331m d m+==+，故选A ．〔5〕【2014年全国Ⅰ，理5，5分】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率〔 〕〔A 〕18 〔B 〕38 〔C 〕58〔D 〕78【答案】D【解析】由题知()13,0F -，()23,0F 且220012x y -=，所以()()1200003,3,MF MF x y x y ⋅=---⋅-- 2220003310x y y =+-=-<，解得03333y -<<，故选D ． 〔6〕【2014年全国Ⅰ，理6，5分】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕【答案】B【解析】如图：过M 作MD OP ⊥于D ，则sin PM x =，cos OM x =,在Rt OMP ∆中，cos sin 1cos sin sin 212x x OM PM MD x x x OP ⋅⋅===⋅=，∴()1sin 2(0)2f x x x π=≤≤，故选B ．〔7〕【2014年全国Ⅰ，理7，5分】执行以下图的程序框图，假设输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =〔 〕〔A 〕203〔B 〕165 〔C 〕72 〔D 〕158【答案】D【解析】输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===；2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M =，故选D ．〔8〕【2014年全国Ⅰ，理8，5分】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则〔 〕〔A 〕32παβ-= 〔B 〕22παβ-=〔C 〕32παβ+=〔D 〕22παβ+=【答案】B 【解析】∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+，()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<，∴2παβα-=-，即22παβ-=，故选B ．〔9〕【2014年全国Ⅰ，理9，5分】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是〔 〕〔A 〕2p ，3p 〔B 〕1p ，4p 〔C 〕1p ，2p 〔D 〕1p ，3p 【答案】C【解析】作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，故选C ． 〔10〕【2014年全国Ⅰ，理10，5分】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，假设4FP FQ =，则||QF =〔 〕〔A 〕72 〔B 〕52〔C 〕3 〔D 〕2【答案】C【解析】过Q 作QM l ⊥于M ，∵4FP FQ =，∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =， 由抛物线定义知3QF QM ==，故选C ．〔11〕【2014年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()3231f x ax x =-+，假设()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >， 则a 的取值范围为〔 〕〔A 〕()2,+∞ 〔B 〕(),2-∞- 〔C 〕()1,+∞ 〔D 〕(),1-∞-【答案】B【解析】解法一：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意． 当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使()f x 有唯一的零点0x 且00x >，只需2()0f a>，即24a >，2a <-，故选B ．解法二：由已知0a ≠，()3231f x ax x =-+有唯一的正零点，等价于3113a x x =⋅-有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->，()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，故选B ．〔12〕【2014年全国Ⅰ，理12，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为〔 〕 〔A 〕62 〔B 〕42 〔C 〕6 〔D 〕4 【答案】C【解析】如下图，原几何体为三棱锥D ABC -，其中4,42,25AB BC AC DB DC =====，()24246DA =+=，故最长的棱的长度为6DA =，故选C ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第〔13〕题~第〔21〕题为必考题，每个试题考生都必须作答．第〔22〕题~第〔24〕题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每题5分 〔13〕【2014年全国Ⅰ，理13，5分】8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 ．〔用数字填写答案〕 【答案】20-【解析】8()x y +展开式的通项为818(0,1,,8)r r r r T C x y r -+==，∴777888T C xy xy ==，626267828T C x y x y ==， ∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7262782820x xy y x y x y ⋅-⋅=-，故系数为20-．〔14〕【2014年全国Ⅰ，理14，5分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ． 【答案】A【解析】由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A ．〔15〕【2014年全国Ⅰ，理15，5分】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，假设1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 ． 【答案】090【解析】∵1()2AO AB AC =+，∴O 为线段BC 中点，故BC 为O 的直径，∴090BAC ∠=，∴AB 与AC 的夹角为090．〔16〕【2014年全国Ⅰ，理16，5分】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【答案】3【解析】由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=， 224b c bc bc =+-≥，∴1sin 32ABC S bc A ∆=≤．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 〔17〕【2014年全国Ⅰ，理17，12分】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．〔1〕证明：2n n a a λ+-=；〔2〕是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．解：〔1〕由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-=．……6分〔2〕由题设11a =，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由〔1〕知31a λ=+假设{}n a 为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=；证明4λ=时，{}n a 为等差数列：由24n n a a +-=知：数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为 4的等差数列2143m a m -=-，令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =-，令2,n m =则2n m =， ∴21n a n =-(2)n m =，∴21n a n =-〔*n N ∈〕，12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{}n a 为等差数列． ……12分〔18〕【2014年全国Ⅰ，理18，12分】从某企业的某种产品中抽取500件，测 量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：〔1〕求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 〔同一组数据用该区间的中点值作代表〕；〔2〕由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ． 〔i 〕利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；〔ii 〕某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示100件产品中质量指标值为区间〔〕的产品件数，利用〔i 〕的结果，求EX ． 附：15012.2≈．假设2(,)ZN μδ，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，(22)P Z μδμδ-<<+．解：〔1〕抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为：1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……6分 〔2〕〔ⅰ〕由〔1〕知(200,150)Z N ，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+=． ……9分 〔ⅱ〕由〔ⅰ〕知，一件产品中质量指标值为于区间〔〕的概率为依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =⨯=． ……12分 〔19〕【2014年全国Ⅰ，理19，12分】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥． 〔1〕证明：1AC AB =；〔2〕假设1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值． 解：〔1〕连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO⊥又 1B O CO =，故1AC AB =． ……6分 〔2〕因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO CO =，又因为AB BC =，所以BOA BOC ∆≅∆，故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如下图空间直角坐标系O xyz -． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB BC =，则30,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，130,,03B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，30,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1330,,33AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,0,3A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 1131,,03B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =是平面的法向量，则11100n AB n A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即33033303y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以可取()1,3,3n =，设m 是平面的法向量，则111100m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取()1,3,3m =-，则1cos ,7n m n m n m==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17． ……12分 〔20〕【2014年全国Ⅰ，理20，12分】已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．〔1〕求E 的方程；〔2〕设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 解：〔1〕设(),0F c ，由条件知2233c =，得3c =，又32c a =， 所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程2214x y +=． ……6分〔2〕依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,22824314k k x k ±-=+从而2221224143114k k PQ k x x k +-=+-=+，又点O到直线PQ 的距离221d k =+，所以OPQ ∆的 面积221443214OPQ k S d PQ k∆-==+，设243k t -=，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，72k =±等号成立，且满足0∆>，所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为：722y x =- 或722y x =--．.……12分 〔21〕【2014年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为(1)2y e x =-+． 〔1〕求,a b ；〔2〕证明：()1f x >．解：〔1〕函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b bf x ae x e e e x x x--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b ==． ……6分〔2〕由〔1〕知，12()ln x xe f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e ->-，设函数()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e =-． (8)分设函数2()x h x xe e-=-，则()()1x h x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值为1(1)h e=-．综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x > .……12分请考生在〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 〔22〕【2014年全国Ⅰ，理22，10分】〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =． 〔1〕证明：D E ∠=∠；〔2〕设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ∆为等边三角形． 解：〔1〕由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以，D CBE ∠=∠又CB CE =，CBE E ∴∠=∠，所以D E ∠=∠ ……5分 〔2〕设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥， 所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠，由〔1〕知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形． ……10分〔23〕【2014年全国Ⅰ，理23，10分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知曲线22:149x y C +=，直线2:22x tl y t =+⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕．〔1〕写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；〔2〕过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．解：〔1〕曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕直线l 的普通方程为260x y +-=．……5分〔2〕曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为5|4cos 3sin 6|5d θθ=+-， 则25|||5sin()6|sin305d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为2255当sin()1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为255． ……10分〔24〕【2014年全国Ⅰ，理24，10分】〔选修4-5：不等式选讲〕假设0a >，0b >且 11ab a b+=．〔1〕求33a b +的最小值；〔2〕是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．解：〔111a b +≥，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立．故33a b +≥≥a b ==时等号成立，所以33a b +的最小值为 ……5分〔2〕由〔1〕知，23a b +≥，由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=． ……10分。
湖北省孝感市2014届高三数学上学期第一次统考试题 理
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
湖北省孝感市2014届高三数学上学期第一次统考试题理（扫描版）新人教A版5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
2014年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A.1- B. 1 C. i - D. i 2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 根据如下样本数据x 3 4 56 78y4.02.55.0-0.50.2-0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5. 在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6. 若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37. 由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.87 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。
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……（ ２分）
……（ ４分）
……（ ７分）
′ｘ ０ ， ｈ ′ｘ １ ， ＋ ( ０) ＝ ( ) 在( － 因为 ｈ ∞ ) 上是减函数 １ ， ｘ ， ＋ (ｘ ) 在( － ) 上是增函数， 所以 ｈ 在( ｘ ∞ ) 上是减函数 ０ ０ ＝ ｘ ０ ， (ｘ )在 ｘ (ｘ )＝ (ｘ ) ≤０ 所以 ｈ 即ｈ ０ 处取得最大值 ｈ ０ ＝ ｇ （ ｘ ） 故曲线 ｙ 上的任意一点不可能在直线 ｌ 的上方 （ ＞－ １时由（ ｎ （ ｘ ＋ １ ） ， ＝ ０时取等号 Ⅲ） 当ｘ Ⅰ） 得ｌ ≤ｘ 当且仅当 ｘ １ １ １ ＝ ｎ( ｎ ｎ （ １＋ ｎ）＜ ｎ )得 ｌ ∈Ｎ 令ｘ ２ ２ ２ １ １ １ １ １ １ ｎ （ １＋ ）＋ ｌ ｎ （ １＋ ２）＋ …＋ ｌ ｎ （ １＋ ｎ）＜ ＋ ２ ＋ …＋ｎ 则有 ｌ ２ ２ ２ ２ ２ ２ １ １ １－ ２ １ １ １ ２ … ＋ ｎ＝ 而 ＋ ２＋ ２ ２ １ ２ １－ ２ ……（ １ ０分） ……（ ９分）
０ １ ４ —２ ０ １ ５学年度高中三年级第一次统一考试 孝感市 ２ 数学 （ 参考答案 理科）
０分） 一、选择题（ 每小题 ５分， 共５ １ Ｂ ２ Ｂ ３ Ｃ ４ Ａ ５ Ｄ ６ Ｂ ７ Ｄ ８ Ａ ９ Ａ １ ０ Ｃ ５分） （ 二、 填空题（ 每小题 ５分， 共２ 对而不全的不给分） ９１ ０ １ １ ． ０ １ ２ ． １ ３ １ ３ ． ４ １ ４ ．{ － １ ， ０ １ ０ ０ ７ １ ５ ． 槡 １ ． ３２ ６ }； 槡 １ ０ ５分） 三、 解答题（ 共 ６大题， 共７ ａ ｂ １ ７ ． （ Ｂ Ｃ中， ＝ ， Ⅰ） 在△Ａ 由正弦定理得 ｓ ｉ ｎ Ａ ｓ ｉ ｎ Ｂ １ ２ ＝槡 ， ｓ ｉ ｎ Ｂ＝ ２ ｓ ｉ ｎ Ａ 槡 ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ Ａ ｓ Ｂ π ｉ ｎ Ｂ＝ ｓ ｉ ｎ （ Ａ＋ ）＝ ｃ ｏ ｓ Ａ ， ∴ｃ ｏ ｓ Ａ＝ ２ ｓ ｉ ｎ Ａ 又ｓ 槡 ２ 即 ３ ２ ２ 槡 ｉ ｎ Ａ＋ ｃ ｏ ｓ Ａ＝ １ ， ｓ ｉ ｎ Ａ＞ ０得 ｓ ｉ ｎ Ａ＝ 由ｓ ３ （ Ｂ为钝角 Ⅱ） 依题 Ａ为锐角， ６ ６ ３ 槡 槡 槡 ∴ｃ ｏ ｓ Ａ＝ ， ｓ ｉ ｎ Ｂ＝ ｃ ｏ ｓ Ａ＝ ， ｃ ｏ ｓ Ｂ＝－ ３ ３ ３ Ｂ＋ Ｃ＝ ， Ｂ ) 由 Ａ＋ π 得 Ｃ＝ π－( Ａ＋ １ ∴ｓ ｉ ｎ Ｃ＝ ｓ ｉ ｎ Ｂ ｓ ｉ ｎ Ｂ ｓ ｉ ｎ Ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ＋ ｃ ｏ ｓ Ａ ｓ ｉ ｎ Ｂ＝ [ π－( Ａ＋ )] ＝ ( Ａ＋ )＝ ３ １ ２ 槡 Ｂ Ｃ的面积为 Ｓ ＝ ａ ｂ ｓ ｉ ｎ Ｃ＝ 所以， △Ａ ２ ６ １ ８ ． （ Ⅰ） 由古典概型的概率计算公式知所求概率为 １ １ １ ３ ３ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ ９ ４ ３ ２＋ ４＋ ３ ２ Ｐ＝ ＝ ３ ８ ４ Ｃ ９ （ ） Ｘ １ ， ２ ， ３ ， Ⅱ 的所有可能值为 且 ２ １ ３ Ｃ Ｃ ＋ Ｃ １ ７ ４ ５ ４ Ｐ １ ＝ ( Ｘ＝ )＝ ３ ４ ２ Ｃ ９
Nhomakorabea{
４ ｙ ＝ ０ ， ＝ １ ， ， ０ ， １ ) 取ｚ 得ｎ＝( ３ １ １ ３ － ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝ ０ ２ ２ ２ ……（ １ ０分）
Ｃ Ｄ的一个法向量为ｍ ＝( ０ ， ０ ， １ ) 依题平面 Ａ Ａ Ｃ－ Ｄ的平面角为 θ 设二面角 Ｍ － ｏ ｓ ＝ 则ｃ θ ｍ · ｎ １ ０ ＝槡 ｍ ｎ １ ０
槡
高三数学（理科）答案 第３ 页
１ ｘ ２ ２ ． （ ｆｘ １ ， ＋ ′ｘ － １＝－ ( ) 的定义域为 ( － ( )＝ Ⅰ） 依题有 ｆ ∞) ， １＋ ｘ ｘ ＋ １ ′ｘ ０得 ｘ ＝ ０ ( )＝ 令ｆ １＜ ｘ ＜ ０时 ｆ ′ｘ ０ ， １ ， ０ ( )＞ ( ) 在( － ) 上是增函数 当－ 此时 ｆｘ ＞ ０时 ｆ ′ｘ ０ ， ， ＋ ( )＜ ( ) 在( ０ 此时 ｆｘ 当ｘ ∞ ) 上是减函数 ＝ ０处取得最大值 ｆ ０ ( )在 ｘ (０ )＝ 所以 ｆｘ （ ｌ ｎ （ ｘ ＋ １ ）－ ａ ｘ－ ｘａ (ｘ )＝ ( ≥０ ) Ⅱ） 由（ Ⅰ） 得ｇ ， ｇ ＝ ｇ （ ｘ ） (ｘ ) ) 是曲线 ｙ 设 Ｍ( ｘ 上任意一点， ０ ０ ＝ ｇ （ ｘ ） ， ｇ － ｇ ｇ ′ｘ － ｘ (ｘ ) ) 处的切线方程为 ｙ (ｘ )＝ ( ０) ( ｘ ) 则ｙ 在点 Ｍ( ｘ ０ ０ ０ ０ － ２ ａ ｘ－ １ ( ｘ１ ) ( ｘ－ｘ) ＋ｇ( ｘ) ＋ １ １ － ２ ａ ｘ－ １ ｇ (ｘ )＝ (ｘ ) －[ ( 令ｈ ) ( ｘ－ｘ) ＋ｇ( ｘ) ] ｘ＋ １ １ １ ａ ｘ－ １ － ２ ′ｘ － ２ ａ ｘ － １－( ( )＝ 则ｈ ) ｘ＋ １ ｘ ＋ １ ＝ 即ｙ
１ １ １ ２ １ ３ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ ３ ３ ４ ２＋ ３ ６＋ ３ ４ Ｐ ２ ＝ ( Ｘ＝ )＝ ３ ８ ４ Ｃ ９ ２ １ Ｃ Ｃ １ ２ ７ Ｐ ３ ( Ｘ＝ )＝ ３ ＝ １ ２ Ｃ ９ 故 Ｘ的分布列为
……（ ２分） ……（ ４分） ……（ ６分）
……（ ８分）
……（ １ ２分）
{
１ ∴存在实数 ａ ＝ ， ４ 使 λ是一个与 ｎ 无关的常数， λ＝ ２ ｐ ， ２ １ ． （ Ⅰ） 椭圆的焦点坐标为 ( ± 抛物线焦点坐标为 ０ )， ３ ， ０ 槡 ２ ｐ２ ２ ３ ）＋ ＝ ４ ， ＝ ２ 则（ 得ｐ 槡 ２ ２ ４ ｙ 所以抛物线 Ｃ ２ 的方程为 ｘ ＝
……（ １ ２分） ……（ ２分）
１ ２ ｎ ２ ２ ２ １ …×ｎ ×２ × ＞ 即 １ ２＋ １ ２＋ １ ２＋ １ ｅ
１ ０ ∴二面角 Ｍ － Ａ Ｃ－ Ｄ的余弦值为 槡 １ ０
……（ １ ２分）
页 高三数学（理科）答案 第２
２ ０ ． （ ∵ａ ａ …＋ ａ ａ １ （ ｎ ， ｎ ） Ⅰ） ≥２ ∈Ｎ １＋ ２＋ ｎ － １－ ｎ ＝－ ∴ａ ＋ ａ ＋ … ＋ ａ － ａ ＝－ １ １ ２ ｎ ｎ ＋ １ ａ ｎ ＋ １ ２ ａ ０ ， ＝ ２ ……（ ３分） 则ｎ ≥２时 ａ 即ｎ ≥２时 ｎ ＋ １－ ｎ＝ ａ ｎ ａ ２ ＝ ２时 ａ ａ １＝ ２ ， ∴ ＝ ２ 又ｎ ２＝ １＋ ａ １ ｎ － １ ∴数列 { ａ ２ ……（ ６分） }是以 １为首项， 以 ２为公比的等比数列， 故ａ ｎ ｎ＝ ２ ２ ａ ａ ｎ ＋ １＋ ｎ ＋ ２ ｂ １＋ ｌ ｏ ｇ ｎ ｌ ｏ ｇ ２ （ ＝ １＋ ２ Ⅱ） ｎ＝ ａ ａ ５ ｂ ２ ｌ ｏ ｇ ２ 则ｂ ｎ ＋ １－ ｎ＝ ａ １＋ ２ ｌ ｏ ｇ ２为首项， ｌ ｏ ｇ ２为公差的等差数列 ……（ ８分） ∴数列 { ｂ }是以 ｂ 以２ ｎ １＝ ａ ａ １ ２ ｎ ２ ｌ ｏ ｇ ２ ｎ ｎ － １ ２ ｌ ｏ ｇ ２ ２＋ ２ ( １＋ )＋ × (２ )× ａ ａ Ｔ （ ４ ｎ ＋ ２ ） ｌ ｏ ｇ ２ ２ ２ ｎ ａ ∴ ＝ ＝ １ ０分） ＝ λ ……（ １＋ Ｔ １ （ ｎ ＋ １ ） ｌ ｏ ｇ ２ ｎ ａ ｎ ２ ｌ ｏ ｇ ２ ＋ ｎ ｎ － １ × ２ ｌ ｏ ｇ ２ × ( １＋ ) ( ) ａ ａ ２ ４ ｌ ｏ ｇ ２＋( λ－ ２ １＋ ｌ ｏ ｇ ２ ）＝ ０ )ｎ )（ 即 ( λ－ ａ ａ ４ｌ ｇ ２＝ ０ ( λ－ )ｏ １ ａ ， ∴λ＝ ４ ， ａ ＝ 则 ２ ２ ｌ ｏ ｇ ２ ＝ ０ ( λ－ ) ( １＋ ) ａ
……（ ５分）
……（ ８分）
Ｘ Ｐ
１ １ ７ ４ ２
２ ４ ３ ８ ４
３ １ １ ２ ……（ １ ２分）
１ ７ ４ ３ １ ４ ７ １× ＋ ２× ＋ ３× ＝ (Ｘ )＝ 从而 Ｅ ４ ２ ８ ４ １ ２ ２ ８ 页 高三数学（理科）答案 第１
１ ９ ． （ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ， Ａ Ｃ ， Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ⅰ） 因为 Ｐ ⊥平面 Ａ 平面 Ａ Ａ Ｃ ， Ｐ Ａ Ｂ 所以 Ｐ ⊥Ａ ⊥Ａ Ｂ Ｃ ， Ｐ Ａ Ｃ ， Ｐ Ａ ， Ｐ Ｂ Ａ Ｂ ， Ｐ Ａ Ｂ＝ Ｐ ， 又因为 Ｐ ⊥Ａ ⊥Ａ 平面 Ｐ ∩Ｐ Ｃ Ａ Ｂ 所以 Ａ ⊥平面 Ｐ Ｃ Ａ Ｂ ， Ａ Ｂ Ａ Ｂ ， 又因为 Ａ ⊥平面 Ｐ 平面 Ｐ Ｃ Ｂ 所以 Ａ ⊥Ａ Ｃ Ｂ ， Ｐ Ａ Ｂ ， Ｐ Ａ ， Ａ Ｃ Ａ Ｃ ， Ｐ Ａ Ｃ＝ Ａ ， 因为 Ａ ⊥Ａ ⊥Ａ 平面 Ｐ ∩Ａ Ｂ Ａ Ｃ 所以 Ａ ⊥平面 Ｐ １ １ １ Ｖ · Ｐ Ａ＝ × ( ２２＋ ２２× ８ （ Ⅱ） )× ４２ Ｐ－ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ＝ Ｓ Ｂ Ｃ Ｄ 槡 ２＝ ３Ａ ３ ２ 槡 槡 １ １ １ ８ ３ · Ｐ Ａ＝ × × ２２× ２２× ２＝ ＜ × ８＝ ６ 由于 Ｖ Ｐ－ Ａ Ｃ Ｄ＝ Ｓ Ｃ Ｄ ３ △Ａ ３ ２ 槡 槡 ３ ４ １ Ｓ Ｃ Ｄｈ Ｖ １ １ ３ ３ △Ａ Ｍ－ Ａ Ｃ Ｄ ∴ ＝ ， ＝ ＝ ， 即 得ｈ Ｖ ８ ４ ４ ２ Ｐ－ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ∴点 Ｍ 到平面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的距离为 ３ ２ ……（ ７分） ……（ ５分） ……（ ４分） ……（ ３分） ……（ ２分）
(
)
( )
……（ ４分）
ｘ ｙ ＋ ＝ １ ｘ ＝ ２ ｘ ＝－ ２ （ Ⅱ） 由 ６ ３ 得 或 ｙ ＝ １ ｙ ＝ １ ２ ｘ ＝ ４ ｙ
{
２
２
{
{
１ ， １ ： ｙ ＝ ｋ （ ｘ － ２ ）＋ １ ， ： ｙ ＝－ ( ｘ － ２ １ ……（ ６分） ∴交点 Ａ (２ )， )＋ 设直线 ｌ 则直线 ｌ １ ２ ｋ ２ ２ ｘ ｙ ， ｙ Ｃ ， ｙ ： ｙ ＝ ｋ （ ｘ － ２ ）＋ １代入 ＋ ＝ １ (ｘ )， (ｘ )， 设Ｂ 将ｌ １ １ ２ ２ １ ６ ３ ２ ２ ２ ｋ ４ ｋ ２ ｋｘ ２ ２ ｋ ６＝ ０ )ｘ＋ ( １－ ) ＋ ( １－ ) ２－ 得 ( １＋ ２ ２ ２ ｋ ６ ４ ｋ － ４ ｋ － ２ ( １－ ) ２－ ｘ ， ∴ｘ ……（ ８分） 由韦达定理得 ２ １＝ １＝ ２ ２ １＋ ２ １＋ ２ ｋ ｋ １ ２ ２ ＝－ ( ｘ － ２ １代入 ｘ ＝ ４ ｙ ｘ ＋ ４ ｘ － ８－ ４ ｋ ＝ ０ )＋ 同理， 将ｙ 得ｋ ｋ ｋ － ８ ＋ ２ － ４ ２ (ｋ ) ｘ ， ∴ｘ ……（ １ ０分） 由韦达定理得 ２ ２＝ ２ ＝－ ｋ ｋ ２ ４ ｋ － ４ ｋ － ２ → － ２ ｋ · ２ ２ ２ Ａ Ｂ 槡 １＋ ｋ ｘ ２ １＋ ２ ｋ ｋ １－ ｍ ＝ ＝ ＝ ＝ 所以 ２ → ２ ＋ ２ (ｋ ) １＋ ２ ｋ １ Ａ Ｃ － － ２ １＋ ２ ｘ － ２ ２ ｋ ｋ １ ＞ ０ ， ｍ＜ ……（ １ ３分） 由于 ｋ 所以 ０＜ ２