您的位置：360文档中心› 函数周期性和对称性课件及习题与答案

函数周期性和对称性课件及习题与答案

合集下载

函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)

函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)

函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期；2. 周期函数的其它形式()()f x a f x b +=+⇒ ；()()f x a f x +=-⇒ ；()()1f x a f x +=⇒ ； ()()1f x a f x +=-⇒ ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔ ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔ 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔ ，3. 函数图像的对称性1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性1）函数()()0ax bf x c cx d+=≠+的图像关于点 对称；2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称；4. 函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像关于直线 对称；关于点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( )2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称；3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知()f x 的图像关于直线2x =对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)3,4x ∈时，()f x 的解析式； 2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)5,4x ∈--时，()f x 的解析式； 3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)1,2x ∈时，()f x 的解析式； 题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数()()2,22x x a bf x a b R ⋅+=∈+的图像关于点()1,0对称，求,a b 满足的关系；2.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根，求所有这些根的和；(2)若()0f x =有51个根，求所有这些根的和；3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，求证：()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数；4.设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，当[]2,2x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时，()f x 的解析式；5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()121f x f x f x ++=-，求证函数()f x 是周期函数；题型五 综合应用1．设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对于k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =（1）求()f x 在k I 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合{|k M a =使方程f x ax =（）在k I 上有两个不等实根}。

函数的周期性和对称性PPT课件

函数的周期性和对称性PPT课件
13
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12

专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(解析版)

专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(解析版)

【详解】因为 f (x 1) 为偶函数，所以 f (x 1) f (x 1) ，所以 f (x 2) f (x) ， 因为 f (x 2) 为奇函数，所以 f (x 2) f (x 2) ，
所以 f (x 2) f (x) ，所以 f (x 4) f (x 2) f (x) ，
专题 05 函数周期性，对称性，奇偶性问题
一、结论（同号周期，异号对称.）
1、周期性：
已知定义在 R 上的函数 f (x) ,若对任意 x R ,总存在非零常数T ,使得 f (x T ) f (x) ,则称 f (x)
是周期函数, T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果 f (x a) f (x) ( a 0 ),那么 f (x) 是周期函数,其中的一个周期 T 2a
所以 f x 关于 3,0 对称，所以 f x f 6 x 0 ，
因为 f x f 2 x ， f x f 6 x 0 ，
所以 f 6 x f 2 x ，故 f x f x 4 f x 8 ，故 f x 的周期为 8，
因为 f x 关于 x 1 对称，关于 3,0 对称，所以 f x 关于 x 5 对称，
所以 f (x 2) f (x) ，从而 f (x 4) f (x 2) f (x) ， f (x) 是周期函数，且周期为 4，所以 f (2k 1) 0, k Z ， 因为 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称，也关于点 (1, 0) 对称， 所以 f (x) 的图象关于点 (3, 0) 对称，所以 f (2) f (4) 0 ， 所以 f (2) f (3) f (4) f (5) 0 ，
所以 f (x) 是以 4 为周期的周期函数， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 0 ，得 f (2) f (2) ，则 f (2) 0 ， 又 f (1) f (2) 2 ，得 f (1) 2 ， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 1 ，得 f (1) f (3) ，则 f (3) 2 ， 由 f (x 2) f (x) ，令 x 2 ，得 f (4) f (2) 0 ， 则 f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ，

函数的周期性、对称性(解析版)

函数的周期性、对称性(解析版)

函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。

高三数学周期性和对称性试题答案及解析

高三数学周期性和对称性试题答案及解析

高三数学周期性和对称性试题答案及解析1.设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝()A．10B．C．－10D．－【答案】B【解析】因为f(x＋3)＝－，故有f(x＋6)＝－＝f(x)．函数f(x)是以6为周期的函数．f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝f(5.5)＝－＝－＝－＝.故选B.2.设定义在上的函数满足，若，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴是一个周期为4的周期函数，∴．∵，∴＝＝．【考点】抽象函数．3.定义在上的函数满足则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，故选D.【考点】1.函数的周期性；2.分段函数；3.对数的运算4.定义在上的函数满足，当时,,当时,.则=（）A．338B．337C．1678D．2013【答案】B【解析】因为，定义在上的函数满足，所以，，是周期为6的周期函数.又当时,,当时,.所以，，故=，选B.【考点】函数的周期性，函数的概念.5.已知函数，正项等比数列满足，则．【答案】【解析】对任意的，都有，又可以证明对任意，，所以，所以用倒序相加法可求出结果为.【考点】函数的对称性、对数的运算性质.6.已知定义在R上的函数满足条件，且，则 .【答案】【解析】由可知，，所以函数是周期为3的周期函数，.【考点】1.抽象函数及其应用；2.函数的周期性7.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】由已知为上奇函数且周期为2，对于任意的实数，都有，.【考点】函数的性质.8.函数对于任意实数满足条件，若，则________.【答案】【解析】因为，所以，，则，所以，得周期Ｔ＝４，则＝＝＝＝.【考点】函数的周期性.9.设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则＋＝（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】,,所以＋＝.【考点】函数的周期性.10.设是以2为周期的函数，且当时， .【答案】-1【解析】∵是以2为周期的函数，且时，，则.【考点】函数求值11.已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数在区间上的图像与x轴的交点个数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】当0≤x＜2时，令=0，则x（x-1）（x+1）=0，解得x=0或1；又f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，∴f（0）=f（2）=f（4）=f（6）=0，f（1）=f（3）=f（5）=0，故在区间[0，6]上，方程f（x）=0共有7个根，∴函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7．故选B．【考点】本题考查了根的存在性及根的个数判断．点评：正确求出一个周期内的根的个数和理解周期性是解题的关键12.定义在上的函数满足且时，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为根据题意可以，函数是奇函数，且周期为4，那么根据时，则，选C.13.设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数f(x)=y是周期为5的奇函数，且f(2)>1,那么可知，因此可知f(3)="f(-2)=-f(2)=" <-1，解得a的范围是A14.（本小题满分12分已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意x R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (Ⅰ)求证：f(x)是周期函数.(Ⅱ)已知f(-4)=2，求f(2012).【答案】（1）证明∵f(x)=f(x+1)+f(x-1)∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),则f(x+2)=f∴f(x+3)=f……………5分f (x+6)=f∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期. …………………7分(2)解f(2 012)=f(335×6+2)=f(2)=f(6+（-4）)=f（-4）=2.……12分【解析】略15.已知为R上的奇函数，且，若，则A．0B．±1C．1D．【答案】D【解析】故选D16.已知定义在R上的函数的图像关于点对称，且满足，，，则的值为A．B．0 C．1D．2【答案】D【解析】由得周期为T=3，由函数的图像关于点对称得，所以=217.已知是R上的偶函数，且满足时，= 。

函数对称性周期性的应用知识点总结练习题及答案解析

函数对称性周期性的应用知识点总结练习题及答案解析

专题 函数对称性、周期性的应用高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练. （一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称轴即可.例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数） （2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称中心即可.例如：()f x 关于()1,0-中心对称()()2f x f x ⇒=---，或得到()()35f x f x -=--+均可，同样在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 中心对称. ① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相反，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是奇函数，则()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦：()f x 是奇函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是奇函数，则()f x a +关于()0,0中心对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于(),0a 对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 （二）函数的周期性1、定义：设()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，存在一个非零常数T ，有()()f x T f x +=，则称函数()f x 是一个周期函数，称T 为()f x 的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为T 的自变量函数值相等3、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数()f x C = 5、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a =分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：()()2f x a f x a +=-+ 所以有：()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=，即周期2T a =注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期 （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = 分析：()()()()1121f x a f x f x a f x +===+ （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =分析：()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=，两式相减可得：()()2f x a f x += （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =（6）双对称出周期：若一个函数()f x 存在两个对称关系，则()f x 是一个周期函数，具体情况如下：（假设b a >）① 若()f x 的图像关于,x a x b ==轴对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =- 分析：()f x 关于x a =轴对称()()2f x f a x ⇒-=+ ()f x 关于x b =轴对称()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+ ()f x ∴的周期为()222T b a b a =-=-② 若()f x 的图像关于()(),0,,0a b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =-③ 若()f x 的图像关于x a =轴对称，且关于(),0b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质. （1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔()kT k Z ∈的函数图象相同，所以若()f x 在()(),a b b a T -≤上单调增（减），则()f x 在()(),a kT b kT k Z ++∈上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为T 的函数()f x 存在一条对称轴x a = （或对称中心），则()f x 存在无数条对称轴，其通式为()2kTx a k Z =+∈ 证明：()f x 关于x a =轴对称 ()()2f x f a x ∴=-函数()f x 的周期为T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=- ()f x ∴关于2kTx a =+轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1.（2019·北京高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.例2.（2015·广东高考真题（文））下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+ D ．sin 2y x x =+【答案】A 【解析】A ． f （﹣x ）＝（﹣x ）2+sin （﹣x ）＝x 2﹣sin x ，则f （﹣x ）≠﹣f （x ）且f （﹣x ）≠f （x ），则函数f（x ）为非奇非偶函数；B ．f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣cos （﹣x ）＝x 2﹣cos x ＝f （x ），则函数f （x ）是偶函数；C ．f （﹣x ）122xx --=+=2x12x+=f （x ），则函数f （x ）是偶函数； D ．f （﹣x ）＝﹣x +sin2（﹣x ）＝﹣x ﹣sin2x ＝﹣f （x ），则函数f （x ）是奇函数，故选：A ．例3.（2019·全国高考真题（文））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= （ ） A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D 【解析】()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()e1xf x f x -=--=--，得()e 1x f x -=-+．故选D ．例4.（2019·全国高考真题（理））函数3222x xxy-=+在[]6,6-的图像大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设32()22x xxy f x-==+，则332()2()()2222x x x xx xf x f x----==-=-++，所以()f x是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又34424(4)0,22f-⨯=>+排除选项D；36626(6)722f-⨯=≈+，排除选项A，故选B．例5.（2018·全国高考真题（理））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.例6.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．例7．（2019·吉林长春市实验中学高三期末（理））设函数()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的实数x ，恒有()()f 0.x f x --=13()()22f x f x -=+，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =．若()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．(3,5)B ．[4,6]C ．[3,5]D ．(4,6)【答案】A 【解析】∵f （x ）﹣f （﹣x ）＝0，∴f （x ）＝f （﹣x ），∴f （x ）是偶函数， ∴131222f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令12x t -=，则x=t+12，∴有()()2f t f t +=成立，∴f （x ）是的周期为2， 根据函数的周期和奇偶性作出f （x ）的图象如图所示：∵g （x ）＝f （x ）﹣log a x 在x ∈（0，+∞）上有且仅有三个零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝log a x 的图象在（0，+∞）上只有三个交点，∴31511a a log log a ⎧⎪⎨⎪⎩＜＞＞，解得3＜a ＜5． 故选：A ．例8.（2019·厦门市第三中学高三期中（理））已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[]1,1x ∈-时，()21xf x =-，则函数()()lg F x f x x =-的零点个数是__________【答案】10 【解析】函数()()lg F x f x x =-的零点，转化为函数()21xf x =-与y lg x =的交点，()[]0,1f x ∈.当x 10,=，时()()1000f f ==,lg101=，当x 10>时lg 1x >，两函数无交点.所以当x 10<-时，也无交点.所以交点在[]10,10-范围内，由函数图像可知，有10个交点. 【总结提升】对于已知函数零点个数（或方程根的个数）求参数的取值或范围时，一般转化为两函数的图象的公共点的个数的问题，利用数形结合的方法求解．（1）若分离参数后得到()a f x =（a 为参数）的形式，则作出函数()f x 的图象后，根据直线y a =和函数()f x 的图象的相对位置得到参数的取值范围．（2）若不能分离参数，则可由条件化为()()f x g x =的形式，在同一坐标系内画出函数()y f x =和函数()y g x =的图象，根据两图象的相对位置关系得到参数的取值范围．【精选精练】1．（2019·江西师大附中高考模拟（文））若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】()f x 为奇函数 ()()f x f x ∴-=-当0x <时，0x -> ()()()2222f x f x x x x x ∴=--=-+=--又0x <时，()2f x x ax =-+ 2a =-∴本题正确选项：B2. （2018·浙江高考真题）函数y =sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C ，选D.3．（2018届山东省枣庄市第三中学高三一调）已知定义在R 上的函数()f x 满足条件：①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]12,0,2x x ∈且12x x <，都()()12f x f x <有；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是 （ ）A. ()()()7 6.5 4.5f f f <<B. ()()()7 4.5 6.5f f f <<C. ()()()4.57 6.5f f f <<D. ()()()4.5 6.57f f f << 【答案】C【解析】∵对任意的x ∈R,都有f(x+4)=f(x)； ∴函数是4为周期的周期函数， ∵函数f(x+2)的关于y 轴对称 ∴函数函数f(x)的关于x=2对称，∵对任意的[]12,0,2x x ∈,且12x x <,都有()()12f x f x <. ∴此时函数在[0,2]上为增函数， 则函数在[2,4]上为减函数， 则f(7)=f(3)， f(6.5)=f(2,5)， f(4.5)=f(0.5)=f(3.5)， 则f(3.5)<f(3)<f(2.5)， 即f(4.5)<f(7)<f(6.5)， 故选：C.4．（2019·山东高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x y f x +==+，为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()1219ln 22f f e f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1219ln 22f e f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1219ln 22f f f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1219ln 22f f e f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】 ()()6f x f x +=，()f x ∴的周期为6，又()3y f x =+为偶函数，()()33f x f x ∴-+=+，1977115633222222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 122,10ln 21e <<<<,1253ln 202e ∴>>>>， 又()f x 在()0,3内单调递减，125(ln 2)2f f e f ⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2119ln 22f f e f ⎛⎫⎛⎫∴=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 5．（2019·山东高三期末（理））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()11f x f x +=-，若()11f =，则()()()()1232019f f f f +++⋯+=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】 ()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-且()00f =， ()()11f x f x +=-，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，()f x ∴是周期为4的函数，()11f =，()()111f f ∴-=-=-，()()()33411f f f ∴=-=-=-，()()()2242f f f -=-+=且()()22f f -=-，()20f ∴=，又()()()44400f f f =-==，()()()()12340f f f f ∴+++=，()()()()123...+2019f f f f ∴+++()()()()()50512342020f f f f f ⎡⎤=+++-⎣⎦()()()()()50512344f f f f f ⎡⎤=+++-⎣⎦505000=⨯-=，故选B.6．（2018·荆门市龙泉中学高三月考（理））设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间[3,5]-上的所有零点的和为（ ）A ．10B ．8C ．16D ．20【答案】B【解析】因为函数()f x 为定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=- ，又因为()()2f x f x =-，所以()()2f x f x --=-，可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，且()y f x = 图像关于直线1x =对称.故()()()cos g x x f x π=-在区间[]3,5-上的零点，即方程()()cos x f x π= 的根，分别画出()cos y x π=与()y f x =的函数图像，因为两个函数图像都关于直线1x =对称，因此方程()()cos x f x π=的零点关于直线1x =对称， 由图像可知交点个数为8个，分别设交点的横坐标从左至右依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1625342x x x x x x +=+=+=，所以所有零点和为8,故选B.7.（2019·黑龙江高考模拟（文））定义在R 上的函数()f x 同时满足：①对任意的x ∈R 都有(1)()f x f x +=；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-.若函数()()log a g x f x x =-（0a >且1a ≠）恰有3个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(]1,2C ．(]2,3D ．(]3,4 【答案】C【解析】由题意得方程()log a f x x =（0a >且1a ≠）有三个解，所以函数()y f x =和log a y x =的图象有三个交点．因为对任意的x R ∈都有()()1f x f x +=，所以函数()y f x =是周期为1的函数．又当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，画出函数()y f x =的图象，如下图所示．又由题意可得，若函数log a y x =的图象与函数()y f x =的图象有交点，则需满足1a >．结合图象可得，要使两函数的图象有三个交点，则需满足2131a alog log <⎧⎨≥⎩，解得23a <≤， 所以实数a 的取值范围是(2,3]．故选C ．8．（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．9．（2018·江苏高考真题）函数满足，且在区间上，则的值为____． 【答案】【解析】 由得函数的周期为4，所以因此10．（2019·广东高考模拟（理））已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log 3f x x x =-，则()1f -=__________.【答案】3【解析】因为()1f 2log 133=-=-，又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()1f -=()1 3.f -=11．（2019·辽宁高考模拟（文））已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，则()2.5f -=______．【答案】0.25-【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴ ()()()()2.5 2.520.50.5f f f f -=-+=-=-. 当[]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，∴()()0.50.510.50.25f =⨯-= ，∴()2.50.25f -=-. 故答案为：0.25-12．（2019·吉林长春市实验中学高三期末（文））已知函数()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当02x <<时，()4x f x =，则17()(2)2f f -+=（______）． 【答案】2-【解析】 ∵f （x ）是定义在R 上周期为4的奇函数，∴f （172-）＝f （﹣812-）＝f （12-）＝﹣f （12） ∵x ∈（0，2）时，f （x ）＝4x ，∴f （172-）＝﹣2， ∵f （x ）是定义在R 上周期为4的奇函数，∴f （-2）＝f （﹣2+4）＝f （2），同时f （﹣2）＝﹣f （2），∴f （2）＝0，∴f （172-）+f （2）＝﹣2． 故答案为：﹣2。

高三数学周期性和对称性试题答案及解析

高三数学周期性和对称性试题答案及解析

高三数学周期性和对称性试题答案及解析1.设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 .【答案】1【解析】.【考点】周期函数及分段函数.2.设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真【答案】C【解析】由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题由此结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题考查四个选项，C选项正确，故选C3.定义在R上的函数满足．当时，，当时，．则（）A．335B．338C．1678D．2012【答案】B【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，所以在一个周期内有，所以4.设定义在上的函数满足，若，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴是一个周期为4的周期函数，∴．∵，∴＝＝．【考点】抽象函数．5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,f(x+2)=对任意x∈R恒成立,则f(2011)等于() A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由f(x+2)=,得f(-1+2)=,即f(1)f(-1)=1,而f(1)=1,故f(-1)=1,且f(x+4)==f(x),∴f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=1.故选A.6.已知奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x,则f()的值为.【答案】-【解析】∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期T=4,∴f()=f(-4)=f(-)=-f()=-=-.7.函数y=f(x)(x∈R)有下列命题:①在同一坐标系中,y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=1对称;②若f(2-x)=f(x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;③若f(x-1)=f(x+1),则函数y=f(x)是周期函数,且2是一个周期;④若f(2-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于(1,0)对称,其中正确命题的序号是.【答案】②③④【解析】对于①,y=f(x+1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到,y=f(-x+1)的图象,由y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到,而y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称,从而y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=0对称,故①错;对于②,由f(2-x)=f(x)将x换为x+1可得f(1-x)=f(1+x),从而②正确;对于③,由f(x-1)=f(x+1)将x换为x+1可得,f(x+2)=f(x),从而③正确.对于④,由f(2-x)=-f(x)同上可得f(1-x)=-f(1+x),从而④正确.【误区警示】解答本题时,易误以为①正确,出错的原因是混淆了两个函数y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关系与一个函数y=f(x)满足f(x+1)=f(-x+1)时图象的对称关系.8.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．【答案】－10【解析】因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)⇒－a＋1＝，又f＝f＝f ⇒＝－a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10.9.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点成中心对称，对任意实数x都有f(x)＝－，且f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(0)＋f(1)＋…＋f(2013)＝________.【答案】－2【解析】由函数关于点对称可知，f(x)＋f＝0，所以f(1)＋f＝0，又f(x)＝－，所以＝＝－1，所以f(1)＝1，因为f(x)＝－，所以，所以f(1)＝1，因为f(x)＝－，所以f(x－3)＝－＝f(x)，即f(x)是以3为周期的函数，故f(3)＝f(0)＝－2，f(2)＝f(－1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋(2013)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)]×671＝f(0)＝－2.10.定义在上的函数满足，则 .【答案】.【解析】当时，，则当时，，故函数在上是周期为的周期函数，所以.【考点】1.分段函数；2.函数的周期性11.对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算+…++= .【答案】2013【解析】由题意可得.所以.所以.令可得.所以函数f(x)的拐点即对称中心为.即如果，则.所以+…++=.故填2013.【考点】1.新定义函数.2.函数的求导.3.函数的对称性.12.已知函数是定义在R上的函数，其最小正周期为3，且时，，则f(2014)=（）A．4B．2C．－2D．【答案】B.【解析】因为函数是定义在R上的函数，其最小正周期为3.所以f(x)=f(x+3).所以f(2014)=f(1).又因为且时，，所以f(1)=.即选B.【考点】1.周期函数.2.分段函数的思想.13.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是( )A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】由知，函数是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出和的图像，有图可知零点个数为4个.【考点】1、周期函数；2、函数的图像；3、函数的零点.14.函数是定义域为的函数，对任意实数都有成立．若当时，不等式成立，设，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由知，函数图象关于直线对称，由时，不等式成立，得时，函数减，时，函数增；因为，而，所以即，选A.【考点】函数的对称性、利用导数研究函数的单调性.15.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【答案】16；【解析】依题意，为偶函数，展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.【考点】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.16.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】由已知为上奇函数且周期为2，对于任意的实数，都有，.【考点】函数的性质.17.设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则＋＝（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】,,所以＋＝.【考点】函数的周期性.18.已知是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数在区间上的图像与轴的交点个数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】当时，,与轴有两个交点，因为是上最小正周期为的周期函数，所以当和时分别有两个交点，另外当时也有一个交点，所以与轴的交点个数为7个.【考点】本小题主要考查函数的周期性的应用，考查函数图象与轴交点个数的判断，考查学生的推理判断能力.点评：函数的周期性也是常考的内容，要结合图象进行判断.19.已知是定义在R上的函数，且满足，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，那么说明函数f(x)的周期为4，同时当时，则，选B20.已知定义在R上的奇函数满足，且时，，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在[-6，-2]上是增函数；丙：函数关于直线对称；丁：若，则关于x的方程在[-8,8]上所有根之和为-8，其中正确的是A．甲，乙,丁B．乙,丙C．甲,乙,丙D．甲,丁【答案】D【解析】解：因为定义在R上的奇函数满足，说明周期为8，且时，，那么利用抽象函数的性质可知正确的命题为甲和丁，选D21.已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（）A．15B．10C．9D．8【答案】B【解析】根据条件：③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|可以作出函数图象位于[0，2]的拆线，再由?x∈R，有f（x+2）=2f（x），可将图象向右伸长，每向右两个单位长度，纵坐标变为原两倍，由此可以作出f（x）的图象，找出其与g(x)= (x∈[-8，8])的交点，就可以得出φ（x）的零点，问题迎刃而解．解：根据题意，作出函数y=f（x）（-8≤x≤8）的图象：在同一坐标系里作出g(x)= (x∈[-8，8])的图象，可得两图象在x轴右侧有8个交点．所以φ(x)="f(x)-" (x∈[-8，8])有8个零点，∵任意的x，有f（x+2）=2f（x），∴当x=-1时，f（-1+2）=2f（-1）?f（-1）=f（1）=1，满足φ（x）="f(x)-" =0而x=0也是函数φ（x）的一个零点，并且当x＜-1时，函数φ（x）没有零点综上所述，函数φ（x）的零点一共10个故选B22.函数与的图象关于（▲ ）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y=x对称【答案】C【解析】本题考查函数图像的对称性.函数的图像关于y轴对称；函数的图像关于x轴对称；函数的图像关于原点轴对称；设是函数图像上任意一点，即则点关于原点的对称点为于是，即的坐标满足函数的解析式，所以点是函数的图像上的点；因此函数与的图象关于原点对称.故选C23.设g(x)是函数f(x)＝ln(x＋1)＋2x的导函数，若函数g(x)按向量a平移后得到函数y＝，则向量a等于A．(1，2)B．(－1，－2)C．(－2，－1)D．(2，1)【答案】A【解析】求出函数f（x）=ln（x+1）+2x的导函数，根据图象平移的原则，左加，右减，上加、下减的原则可得平移向量．解：∵f（x）=ln（x+1）+2x∴g（x）=f′（x）=+2而函数y==[+2]-2是由函数g（x）向右平移一个单位，再向下平移2个单位得到．∴a=(1，-2)故选A．24.函数的图像关于（）对称A．y轴B．直线y= —x C．坐标原点D．直线y=x【答案】C【解析】略25.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则A．B．tC．D．【解析】略26.函数对于任意实数满足条件，若则。

高考数学一轮复习专题2.4函数的周期性、对称性练习(含解析)

高考数学一轮复习专题2.4函数的周期性、对称性练习(含解析)

第四讲函数的周期性与对称性一．对称性（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。

第七讲函数之周期性与对称性

第七讲函数之周期性与对称性

第七讲函数之周期性与对称性函数的周期性与对称性一．定义：假定T 为非零常数，关于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立那么f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论1、()()f x f x a =+，那么()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、 假定函数()()f x a f x a +=-，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、假定函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，那么()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),那么f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

9、 假定函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,那么f(x)为周期函数且2〔b-a 〕是它的一个周期。

10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，那么函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，那么函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、假定偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

函数的对称性与周期性例题习题(供参考)

函数的对称性与周期性例题习题(供参考)

函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期；2. 周期函数的其它形式()()f x a f x b +=+⇒ ；()()f x a f x +=-⇒ ；()()1f x a f x +=⇒ ； ()()1f x a f x +=-⇒ ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔ ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔ 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔ ，3. 函数图像的对称性1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性1）函数()()0ax bf x c cx d+=≠+的图像关于点 对称；2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称；4. 函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像关于直线 对称；关于点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( )()()(). 012A f f f <-< ()()(). 102B f f f -<< ()()(). 120C f f f -<< ()()(). 210D f f f <-<2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称；3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称；题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知()f x 的图像关于直线2x =对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)3,4x ∈时，()f x 的解析式； 2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)5,4x ∈--时，()f x 的解析式； 3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)1,2x ∈时，()f x 的解析式； 题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数()()2,22x x a bf x a b R ⋅+=∈+的图像关于点()1,0对称，求,a b 满足的关系；2.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根，求所有这些根的和；(2)若()0f x =有51个根，求所有这些根的和；3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，求证：()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数；4.设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，当[]2,2x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时，()f x 的解析式；5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()121f x f x f x ++=-，求证函数()f x 是周期函数；题型五 综合应用1．设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对于k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =（1）求()f x 在k I 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合{|k M a =使方程f x ax =（）在k I 上有两个不等实根}。

函数对称性、周期性的应用(含解析)

函数对称性、周期性的应用(含解析)

函数对称性、周期性的应用高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分： 若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.2、中心对称的等价描述：（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）（2）关于中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和()()f a x f a x -=+⇔()f x x a =0a =()()()f a x f b x f x -=+⇔2a b x +=()()f a x f b x -=+f x ,a b 2a b x +=()f x 1x =()()2f x f x ⇒=-()()31f x f x -=-+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=-+()f x x a =()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +0x =()f x ()f x a +a a ()f x x a =()()f a x f a x -=-+⇔()f x (),0a 0a =()()()f a x f b x f x -=-+⇔,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f a x f b x -=-+f前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分： 若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找x ,a b 2a b x +=()f x ()1,0-()()2f x f x ⇒=---()()35f x f x -=--+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=--+()f x (),0a ()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +()0,0()f x ()f x a +a a ()f x (),0a ()f x D x D ∀∈T ()()f x T f x +=()f x T ()f x T ()f x ()()f x T f x +=()()()2f x T f x T f x +=+=2T ()f x ()kT k Z ∈()f x ()kT k Z ∈()f x周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期 分析： （4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期()f x C =()()f x a f x b +=+()f x T b a =-()()()f x a f x f x +=-⇒2T a =()()2f x a f x a +=-+()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=2T a =()()()1f x a f x f x +=⇒2T a =()()()()1121f x a f x f x a f x +===+()()f x f x a k ++=k ()f x ⇒2T a =()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=()()2f x a f x +=()()f x f x a k ⋅+=k ()f x ⇒2T a =()f x ()f x b a >()f x ,x a x b ==()f x ()2T b a =-()f x x a =()()2f x f a x ⇒-=+()f x x b =()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+()f x ∴()222T b a b a =-=-()f x ()(),0,,0a b ()f x ()2T b a =-()f x x a =(),0b ()f x ()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为 证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则 （ ）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（ ）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ） ()kT k Z ∈()f x ()(),a b b a T -≤()f x ()(),a kT b kT k Z ++∈T ()f x x a =()f x ()2kT x a k Z =+∈()f x x a =()()2f x f a x ∴=-()f x T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=-()f x ∴2kT x a =+A ．6B ．8C ．12D ．16例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ）A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-= 例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( ) A ．0 B ．6 C ．12 D ．18例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（ ）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >> 例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（ ）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点.A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( ) A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0BC ．D ．【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5- 2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．201940963．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A ．6B ．4C ．2D ．05．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．78．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.其中正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（ ）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1m i i i x y =+=∑（ ） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则 （ ）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称 【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选：D ．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（ ）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 【答案】B【解析】因为定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，所以()00f =，因为()()30f x f x -+-=，()()630f x f x -+-=，两式相减可得，()()6f x f x -=-，故6T =，故()()202200f f -==；因为()()()2022064f f f '''-===，故所求切线方程为48088y x =+，故选：B ．例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数，所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，所以()f x 与()g x 有16个交点，即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,5⎛ ⎝⎭D．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题可知：cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像 在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈， 如图所示，当6x =时，log 62a >-，则0a <<故实数a的取值范围为0,6⎛ ⎝⎭故选：A例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ） A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称， ∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴ 令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=,∴()()f x f x -=；∴A 对； 由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对； 由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错.故选：D.例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以12612618x x x y y y +++++++=，故选D例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（ ）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】C 【解析】(1)(1)f x f x +=-，∴()f x 关于1x =对称，又1≥x 时，()f x 是增函数，()()3339log 22log 2log 2f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，33392log 4,log 4log 321-==<<<， ∴b a c <<.故选：C.例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（ ） ①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点. A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】C【解析】由()()2f x f x +=，得()()2f x f x -=-， 结合()f x 为偶函数，得()()2f x f x -=， 则曲线()y f x =关于直线1x =对称，则①正确； 无法推出()()3f x f x -=-，则②不一定正确；由曲线()()12y f x x =≤≤可得曲线()()01y f x x =≤≤， 即得曲线()()02y f x x =≤≤，恰好是在一个周期内的图象； 再根据()f x 是以2为周期的函数，得到曲线()()24y f x x =≤≤，因为在()y f x =在[]1,2上是减函数，()y f x =在[]3,4上是减函数，则③正确； 因为()y f x =在[]1,2上是减函数，()110f =>，()210f =-<，所以()y f x =在[]1,2上有唯一的一个零点，根据对称性，()f x 在区间()4,4-内有8个零点.故选：C.例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( )A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --【答案】A【解析】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称 又()f x 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+，故选：A例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0BC ．D ．【答案】B 【解析】()f x 是奇函数且满足()()210f x f x -++=，(1)(2)(2)f x f x f x ，(3)()f x f x ∴+=，()f x ∴是以3为周期的函数，且(0)0f =，()()()()()()()0122020674067416732f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=故选：B.【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（） A ．2- B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D 【解析】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ．2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．20194096【答案】B【解析】由()()4f x f x +=，得函数()f x 的周期是4. 由()()0f x f x -+=，则()f x 在R 上是奇函数， 且当()0,2x ∈时，()2xf x =，210log 201911<<，所以()()()222log 2019log 20191212log 2019f f f =-=--212log 2019409622019-=-=-.故选：B 3．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意可得，函数()f x 为偶函数，且是周期为2的周期函数． 方程1()()3xf x =在[0x ∈，4]上解的个数，即函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数，再根据当[0x ∈，1]时，()1f x x =-， 设1,(0)11()()()()330x xx g x g f x =--∴-==.因为1211113()1()0223236g -=--=-=<，数形结合可得，函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，1)内存在两个交点，画出函数()f x 在[0，4]上的图象，如图，故函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数为5.（在[0,1]内有2个，在[1,2]有1个，在(2,4]有2个），故选：D ．4．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()4()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-=，()22sin 22f π=-=， 又由()()2f x f x +=-，则()()()()311,422f f f f =-=-=-=-， 所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以20201()505((1)(2)(3)(4))0i f i f f f f ==⨯+++=∑．故选：D ．5．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe-=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe =，22211122()x x xf x ee e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=， 当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】∵f （x ）是奇函数；∴f （x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数.又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log ||f x x =有4个零点．故应选A ． 8．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】：∵当x 2＞x 1＞1时，[f （x 2）-f （x 1）]（x 2-x 1）＜0恒成立， ∴()()()122121,1,,0x x x x f x f x ∀∈+∞>-<且，有 ， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递减， 又∵函数f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴a=f （12-）=f (52),∵e>52>2>1, ∴f (e)<f (52)<f (2) 即b>a>c,故选：C.9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤.故选：C 10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】因为曲线方程为()222(1)(3)x xx x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立， 故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点. 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质. 故选：D.11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】由()()f x f x -=，得()f x 的图象关于y 轴对称. 由()()2f x f x =-，得()f x 的图象关于直线1x =对称.当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，所以()f x 在[]1,2-上的图象如图. 令()()0g x cos x f x π-=＝，得()cos x f x π=，两函数()y f x =与y cos x π=的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点有5个.故选：C.12．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜【答案】B【解析】∵函数()f x 满足()()13f x f x +=-，∴()()163f x f x +=-+=()1f x 1f x -=-（）， ∴f （x ）在R 上是以6为周期的函数，∴f （12.5）＝f （12+0.5）＝f （0.5），()()()4.5 4.56 1.5f f f -=-+=又()3y f x =+为偶函数，∴f （x ）的对称轴为x ＝3，∴f （3.5）＝f （2.5）， 又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且()f x 在（0，3）内单调递减，∴f （2.5）＜f （1.5）＜f （0.5） 即f （3.5）＜f （-4.5）＜f （12.5），故选B ．13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（ ）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 【答案】D【解析】依题意知()f x 图象关于点(2,0)对称， 作出()f x 图象如图，可知()f x 在R 上为减函数，由图象可得(,2]x ∈-∞时，()(4)(2)(4)f x f x x x =--=--，由(2)(4)x x x x --=⇒=或x 舍去)， 由图象可知()f x x >的解为⎛ ⎝-⎭∞，故选：D .14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+， 所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑. 故选：C.。

函数的的周期性与对称性

函数的的周期性与对称性

精锐教育学科教师辅导讲义年 级： 辅导科目： 课 时 数：3 学生姓名： 辅导时间： 学科教师： 课 题教学目的教学内容函数的对称性和周期性一、知识回顾： 函数图像的对称性1、(1) 一个图关于点对称：(Ⅰ)奇函数关于原点对称(Ⅱ)若f(a+x) + f(b-x)=2m ，则f(x)关于)2ba +，m)对称 (2) 一个图关于直线对称：(Ⅰ)偶函数关于y 轴对称(Ⅱ) ()()f a x f b x +=-，则()f x 关于2ba x +=对称 (3) 两个图关于点对称(Ⅰ)()y f x =关于原点对称的函数：x→-x ，y→-y ，即-y=f(-x)(Ⅱ)()y f x =关于(,)a b 对称的函数：2,2x a x y b y →-→-即2(2)b y f a x -=-2、函数的周期性(一) 定义：若()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数，T 为()f x 周期 (二) 周期性考点：1.求周期：(1).利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =(2).把所给函数化为y=Asin(ωx +ф) + C 标准形式，直接读出周期ωπ2=T2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x)(1).求解析式 (2).求函数值3、若()()f a x f b x +=+，则T b a =-；4、若()()f x f x a =-+，则2T a =； 二、例题讲解： 对称性：A 关于直线对称例1、（2012年徐汇二模）若函数)(x g y =图像与函数)1()1(2≤-=x x y 的图像关于直线x y =对称，则(4)g =＿；解：－1变式：（2012届高三一模闸北区理）若函数)(x f 的图像与对数函数x y 4log =的图像关于直线0=+y x 对称，则)(x f 的解析式为 ．解：xy --=4；（2012年虹口二模）．在同一直角坐标系中，函数()y g x =的图像与xy e =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是（ ）A ．e -；B ．1e -；C ．1e； D ．e ．解：B ；（2011年浦东二模试卷）函数2()f x ax bx c =++的图像关于任意直线l 对称后的图像依然为某函数图像，则实数a 、b 、c 应满足的充要条件为 ．解：20,40a b ac <-=；B 关于点对称例2、（2011年嘉定一模）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a ay 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；（3）设函数)()(x f x g -=，),2[∞+-∈x ，)(x g 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关．试求a 的取值范围．23．解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，…………（2分） 因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a ay ，……（3分） 即x x a a y --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以x x a a x f -⋅+=2)(||（或x x aa x f 2)(||+=）．………………（5分）（2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m tt =+2， 即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．…………（8分）作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，…………（11分）解得322<<m ．所以m 的取值范围是)3,22(．…………（12分） （3）x x a ax g 2)(||+=，),2[∞+-∈x ．当0≥x 时，因为1>a ，所以1≥xa ，),3[3)(∞+∈=xa x g ，所以函数)(x g 不存在最大值．…………（13分）当02<≤-x 时，x xa a x g 12)(+=，令xt 2=，则t t t h x g 12)()(+==，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,12a t ， 当2212>a ，即421<<a 时，)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,12a 上是增函数，存在最小值222a a +，与a 有关，不符合题意．…………（15分）当22102≤<a ，即42≥a 时，)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,12a 上是减函数，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22上是增函数，当22=t 即2log 21a x -=时，)(t h 取最小值22，与a 无关．…………（17分）综上所述，a 的取值范围是),2[4∞+．…………（18分）C 求值或解析式例3、已知函数)(x f 对一切实数x 满足条件)3()1(x f x f +=-，已知2≥x 时，x x x f -=2)(，（1）求2<x 时)(x f 的解析式（2）求)(x f 值域和单调区间（3）解不等式)12()2(->+a f a f 解：（1）211()(),(2)24f x x x =--≥而)(x f 关于x=2对称，所以当2x ≤时，271()(),24f x x =-- （2）[)()2,f x =+∞， [)[)2,,;,2,x x ∈+∞∈-∞（3）根据绝对值的意义（a+2)到2的绝对值大于(2a-1)到2的绝对值，所以有22212a a +->--， 解得：13a <<小结：易错点：变式：1、设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线x ＝2对称，已知[]2,2-∈x 时，1)(2+-=x x f ，求[]2,6--∈x 时，)(x f 的解析式；解：2()(4)1f x x =-++小结：易错点：2、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线1=x 对称，对任意]21,0[,21∈x x 都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+．（1）设2)1(=f ，求)21(f ，)41(f ；（2）证明)(x f 是周期函数． 解：令12x x =，则有211111()()()()0f x x f x f x f x +=⋅=≥； 令1212x x ==，则有1111(1)()()()22222f f f f =+=⋅=所以1()22f =±（舍负）同理141()24f =周期性：例4、已知函数)(x f 对一切实数x 满足条件)2()(--=x f x f ，且]1,0[∈x 时，x x x f 2)(2+=，则 ]3,2[∈x 时，=)(x f ；]9,8[∈x 时，=)(x f解：[2,3],2[0,1]x x ∈-∈，所以2(2)(2)2(2)f x x x -=---，而)2()(--=x f x f ，所以2()2f x x x =-+；]9,8[∈x 时，2()1448f x x x =-+；小结：易错点：变式：1、已知函数)(x f y =满足：对于任意的R x ∈有)()1(x f x f -=+成立，且当)2,0[∈x 时，12)(-=x x f ，则=++++)2006()3()2()1(f f f f a ＿＿＿＿＿＿.分析：由)()1(x f x f -=+知：)()1(]1)1[()2(x f x f x f x f =+-=++=+，所以函数)(x f y =是以2为周期的周期函数.1)0()2()2004()2006(-=====f f f f ，1)1()3()2003()2005(=====f f f f ，故意原式值为0.y 2xB A1O 2、(2012徐汇、松江二模理)若函数))((R x x f y ∈=满足[]1,1-),()2(∈=-x x f x f 且时，21)(x x f -=，函数lg(1)11()0001x x g x x xx ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪≤≤⎪⎩，，，，则函数)()()(x g x f x h -=在区间[]6,5-内的零点的个数为 ． 【正确答案】93、（1）已知函数)(x f 对一切实数x 满足条件)3()1(x f x f +-=+，若3)1(=f ，则=-)1(f ，=)5(f ____； 解：(1)3f -=-，(5)3f =（2）若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01，-上是增函数，且)()2(x f x f -=+ 则①)(x f 关于 1=x 对称；②)(x f 的周期为 4 ；③）时，，（若10∈x )(x f =x 2，则=)(log 1821f 。

高考数学：专题05 函数的周期性和对称性(解析版)

高考数学：专题05 函数的周期性和对称性(解析版)

【高考地位】函数周期性和对称性是函数两个基本性质。

在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数对称性和周期性，以及它们之间联系。

因此，我们应该掌握一些简单常见几类函数周期性与对称性基本方法。

【方法点评】一、函数周期性求法使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步 准确求出函数周期性； 第三步 运用函数周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A 、5- B 、5 C 、51 D 、51- 【答案】D 【解析】考点：函数周期性、(2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A 【解析】试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 周期为10，因此()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A.考点：1、函数奇偶性；2、函数解析式及单调性、【点评】(1)函数周期性反映了函数在整个定义域上性质、对函数周期性考查，主要涉及函数周期性判断，利用函数周期性求值、(2)求函数周期方法【变式演练1】已知定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A 、3- B 、0 C 、1 D 、3 【答案】B 【解析】【变式演练2】定义在R 上函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31xf x =-，则()2015f 值为（ ）A.-2B.0C.2D.8 【答案】A 【解析】试题分析： 由已知可得⇒=+-=+)()2()4(x f x f x f ()f x 周期⇒=4T ()2015f ==)3(f2)1(-=-f ，故选A.考点：函数周期性.【变式演练3】定义在R 上偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[2,0]x ∈-上为增函数，3()2a f =，7()2b f =，12(log 8)c f =，则下列不等式成立是（ ）A 、a b c >>B 、b c a >>C 、b a c >>D 、c a b >>【答案】B 【解析】试题分析：因为定义在R 上偶函数()y f x =在[2,0]x ∈-上为增函数，所以在[0,2]x ∈上单调递减，又(4)()f x f x +=，所以()()1271(),(log 8)3122b f f c f f f ⎛⎫====-= ⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a >>、考点：1、偶函数性质；2、函数周期性、二、函数对称性问题使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：记住常见几种对称结论：第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =图像关于直线2a bx +=对称； 第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =图像关于点(,)22a b c+对称； 第三类 函数()y f x a =+图像与函数()y f b x =-图像关于直线2b ax -=对称.例2 、已知定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ) A 、3- B 、0 C 、1 D 、3 【答案】B 【解析】【易错点晴】函数()f x 满足),(-)-(x f x f =则函数关于），（00中心对称，(3)()f x f x -=，则函数关于32=x 轴对称，常用结论：若在R 上函数()f x 满足)()(),()(x b f x b f x a f x a f +-=+-=+，则函数)(x f 以||4b a -为周期.本题中，利用此结论可得周期为632-04=⨯，进而(2019)(3)f f =，)3(f 需要回到本题利用题干条件赋值即可.例 3 已知定义在R 上函数()f x 图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称， 且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又()()11,02f f -==-，则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）A 、669B 、670C 、2008D 、1 【答案】D 【解析】试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-，(1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数周期性；函数对称性、 例 4 已知函数21()(,g x a xx e e e=-≤≤为自然对数底数）与()2ln h x x =图像上存在关于x 轴对称点，则实数a 取值范围是（ ） A 、21[1,2]e + B 、2[1,2]e - C 、221[2,2]e e +-D 、2[2,)e -+∞ 【答案】B 【解析】考点：利用导数研究函数极值；方程有解问题.【变式演练4】定义在R 上奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 取值范围是 . 【答案】1-<m 或30<<m 【解析】试题分析：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线34x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3434T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即32m m-<，解得103x x <-<<或. 考点：函数奇偶性、周期性.【高考再现】1. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点： 函数图象性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数图象有对称中心.2. 【2016高考山东理数】已知函数f (x )定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D考点：1.函数奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数概念、函数奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数概念，发现周期函数特征，进行函数值转化.本题能较好考查考生分析问题解决问题能力、基本计算能力等.3. 【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上周期为2奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2 【解析】考点：函数奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上函数值即可。

函数对称周期奇偶总结(含答案)

函数对称周期奇偶总结(含答案)
2、 对称性： 我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数关于对称
也可以写成 或
若写成：，函数关于直线 对称 （2）函数关于点对称 或
若写成：，函数关于点 对称
3、 周期性： （1）函数满足如下关系系，则 A、 B、 C、或（等式右边加负号亦成立）
，同时还知是偶函数，所以.
5．，则，，，…，中最多有（ B ）个不同的值.
B.177
C.183
D.199
分析：由已知
.
又有
，
于是有周期352，于是能在中找到.
又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.又的图像关于直 线对称，故这些值可以在中找到.共有177个.选B.
6：已知，，，…，，则（ A ）.
②当时，由题意可设， 由得，∴， ∴
③∵是奇函数，∴， 又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，∴可设，而， ∴，∴当时，f (x)=-3x， 从而当时，，故时，f (x)= -3x，. ∴当时，有，∴0. 当时，，∴ ∴ 13．设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ （ｘ２），且f(1)=ａ＞０．
余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在（0,3）内单调递减，根
据图像，即可求出，答案为B。
10．设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则
等于（C）
A.
B.
C.
D.
分析：答案为C. 本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性
的定义，即可得出答案为C
11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,

高中数学—函数的对称性与周期性—完整PPT

高中数学—函数的对称性与周期性—完整PPT
函数的对称性与周期性
函数的轴对称
函数的点对称求函数对Βιβλιοθήκη 后的解析式对称轴或对称中心
原函数
对称函数
原点
对称的两函数
对称轴或对称中心
两函数关系式
原点
同一函数的对称性
对称轴或对称中心
函数满足的关系式 无
原点
无
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题

专题3 函数的周期性、对称性(解析版)

专题3 函数的周期性、对称性(解析版)

专题3函数的周期性、对称性1．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，当[]01x ∈，时，()12f x x =，若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值集合是（ ）A ．112244k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，， B ．152222k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， C ．114444k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，， D ．1154444k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， 【解析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，()(),(1)(1)f x f x f x f x -=---=-， (2)((1)1)()()f x f x f x f x -=--=-=-，即(2)(),(4)(2)()f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=，()f x ∴的周期为4.[]01x ∈，时，()12f x x ==，[]12,[0,1],()()1,0()x f x x x f x -∈-=-=-∈-，()f x ∴=(1)(1),()(2)f x f x f x f x --=-∴=--，()f x 周期为4，()(2)(2)f x f x f x ∴=--=-+，当[1,2],2[0,1],()(2)x x f x f x ∈-+∈=-+=当[2,3],2[1,0],()(2)x x f x f x ∈-+∈-=-+= 做出函数()f x 图像，如下图所示： 令()()0g x f x x b =--=，当[1,0]x ∈-，()()0g x f x x b x b =--=-=，x b --=22(21)0x b x b +++=，221(21)4410,4b b b b ∆=+-=+==-，此时直线与()f x 在[1,0]x ∈-函数图像相切，与函数有两个交点， 同理154b =-，直线与()f x 在[4,5]x ∈函数图像相切，与函数有两个交点， 则要使函数()f x 在[1,4]内与直线y x b =+只有一个交点，则b 满足15144b -<<-，()f x 周期为4， b 范围也表示为11544b <<，所以所有b 的取值范围是11544,44k b k k Z +<<+∈.故选:D.2．设函数y=f (x)是定义域为R 的奇函数，且满足f (x-2)=-f (x)对一切x ∈R 恒成立，当-1≤x ≤1时，f (x)=x 3，则下列四个命题：①f(x)是以4为周期的周期函数． ②f(x)在[1，3]上的解析式为f (x)=(2-x)3． ③f(x)在33(,())22f 处的切线方程为3x+4y-5=0．④f(x)的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．②③④C ．①③④D ．①②③④【解析】()(2)(4)4f x f x f x T =--=-∴=当13x ≤≤时, 33()(2)[(2)](2)f x f x x x =--=--=-当13x ≤≤时, 23331()3(2)(),()2428f x x k f f =--∴=-'='=,所以切线方程为133()3450842y x x y -=--∴+-=()(2)(2),(2)()()f x f x f x f x f x f x =--=--=-=-∴f(x)的图象关于x=±1对称,因此选D.3．设函数f (x )为定义域为R 的奇函数，且f (x )=f (2−x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=sin x ，则函数g (x )=|cos πx |−f (x )在区间[−52,92]上的所有零点的和为（ ）A ．6B ．7C ．13D ．14由题意，函数f(−x)=−f(x)，f(x)=f(2−x)，则−f(−x)=f(2−x)，可得f(x +4)=f(x)，即函数的周期为4，且y =f(x)的图象关于直线x =1对称．g(x)=|cos(πx)|−f(x)在区间[−52， 92]上的零点，即方程|cos(πx)|=f(x)的零点，分别画y =|cos(πx)|与y =f(x)的函数图象，∵两个函数的图象都关于直线x =1对称，∴方程|cos(πx)|=f(x)的零点关于直线x =1对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A ．4．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[)0,2x ∈时，2()48f x x x =-+.若在区间[],a b上，存在(3)m m ≥个不同的整数(1,2,...,)x i m =，满足111()()72m i i f x f x =+=-≥∑，则b a -的最小值为（ )A ．15B ．16C ．17D ．18【解析】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，得2222f x f x f x f x ++=--=-=-（）（）（）（）， 即4?f x f x +=-（）（）， 则44[]f x f x f x f x f x +=-+=--=∴（）（）（）（）．（） 的周期为8．函数f x （）的图形如下：比如，当不同整数i x 分别为-1，1，2，5，7…时，b a - 取最小值，141420f f f -=-==（），（），（）， ，至少需要二又四分一个周期，则b-a 的最小值为18，故选D5．已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[]0,3x ∈时，()2xf x xe-=，若关于x 的不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭因为偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-， 所以()()()6f x f x f x -==-，即()()6+f x f x =， 所以函数()f x 是以6为周期的周期函数， 当[]0,3x ∈时，()2x f x xe -=，所以()22xx f x e -'=（1-），当02x ≤<时，()0f x '>，函数()f x 递增；当23x <≤时，()0f x '<，函数()f x 递减； 当当2x =时，函数()f x 取得极大值()2f x e=， 作出函数()f x 在(3,3]-上的图象，如图所示： 因为不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解， 所以不等式()()20fx tf x ->在(3,3]-上有且只有3个整数解，当()0f x =时，不符合题意，故不等式()f x t >在(3,3]-上有且只有3个整数解， 因为()()1322133,f e f e --==，所以()()3311f f e=>，即13f f ，故不等式()f x t >在(3,3]-上的3个整数解分别为-2，2，3， 所以，()()13f f t <<，即32123t e e --<<， 故选：B6．已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1解：已知()()sin xg x h e x x x ++=-，①且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 则()()()sin xx g x e x x h -+---=++，得：()()sin xex x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=，由于2020x -关于2020x =对称， 则20203x -关于2020x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2020g x -关于2020x =对称， 由于()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则必有()20200f =，()01g =，即：()()0223021202020f g λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12. 故选：A.7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，1()()12xf x =-，则函数()f x 在区间[2019,2024]上的（ ） A ．最小值为34- B ．最小值为78- C ．最大值为0 D ．最大值为78【解析】函数()f x 的图像关于点()3,0对称，()()6f x f x ∴+=--.又函数()f x 为奇函数，()()6f x f x ∴+=，∴函数()f x 是6T =的周期函数，201933763=⨯-，202433762=⨯+，由周期性可知，函数()f x 在区间[2019,2024]上的图像与在区间3,2上的图像一样，又当(0,3)x ∈时，1()()12xf x =-，由指数函数性质知()f x 在区间(0,3)上单调递减，又函数()f x 为R 上的奇函数，故当(3,0)x ∈-时，()12xf x =-，故()f x 在()3,0-上单调递减，且()00f =，所以()f x 在区间()3,3-上单调递减，即()f x 在区间(]3,2-上单调递减，函数取得最小值3(2)4f =-. 故函数()f x 在区间[2019,2024]上的最小值为34- 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论： （1）若()()f x a f x a +=-，则函数的T =2a ； （2）若()()f x a f x +=-，则函数的T =2a ； （3）若1()()f x a f x +=，则函数的T =2a ；（4）函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的T =2||b a - ；（5）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =2||b a -； （6）若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =4||b a -8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()1f x f x =-+，当102x ≤≤时，()f x =论错误的是（ ）A ．方程()f x x a -+=0最多有四个解B ．函数()f x 的值域为[]C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称 D ．f (2020)=0 【解析】由()(1)f x f x =-+可得：(1)(2)f x f x +=-+， 则()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2， 所以(2020)(0)0f f ==，D 正确，排除D ； 再由()(1)f x f x =-+以及()()f x f x =--， 所以()(1)f x f x -=+，则函数()f x 的对称轴为12x =，C 正确，排除C ；当012x时，()[0f x =，]2，又函数是奇函数，102x -时，()[f x =，0]，即1122x -时()[f x ∈， 又因为函数()f x 的对称轴为12x =，所以1322x 时()[f x ∈，所以1322x -时()[f x ∈又因为函数()f x 的周期为2，所以函数()f x 的值域为[22-，B 正确，排除B ；故选：A ．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．12B ．1CD ．2【解析】当)x ⎡∈⎣时，()(g x ∈，令2x =12x =±. ∵()()2f x f x =+，∴()f x 的周期为2，所以()f x 在[－1，5]的图象所示： 结合题意，当17422a =-+=，19422b =+=时，b a -取得最大值.最大值为1.故选：B.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[)0,1上单调递减，若方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则方程()1f x =在区间[]1,11-上所有实根之和是（ ） A ．30 B ．14C ．12D ．6【解析】由()()2f x f x -=知函数()f x 的图象关于直线1x =对称， ∵()()2f x f x -=，()f x 是R 上的奇函数， ∴()()()2f x f x f x -=+=-， ∴()()4f x f x +=， ∴()f x 的周期为4，考虑()f x 的一个周期，例如[]1,3-，由()f x 在[)0,1上是减函数知()f x 在(]1,2上是增函数，()f x 在(]1,0-上是减函数，()f x 在[)2,3上是增函数，对于奇函数()f x 有()00f =，()()()22200f f f =-==，故当()0,1x ∈时，()()00f x f <=，当()1,2x ∈时，()()20f x f <=， 当()1,0x ∈-时，()()00f x f >=，当()2,3x ∈时，()()20f x f >=， 方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为()f x 在()0,1上是单调函数，则由于()()2f x f x -=，故方程()1f x =-在()1,2上有唯一实数， 在()1,0-和()2,3上()0f x >，则方程()1f x =-在()1,0-和()2,3上没有实数根， 从而方程()1f x =-在一个周期内有且仅有两个实数根，当[]13,x ∈-，方程()1f x =-的两实数根之和为22x x +-=， 当[]1,11x ∈-，方程()1f x =-的所有6个实数根之和为244282828282830x x x x x x +-++++-+++-+=+++++=.故选：A .11．已知()f x 、()g x 都是定义域为R 的连续函数.已知：()g x 满足：①当0x >时，()0g x '>恒成立；②R x ∀∈都有()()g x g x =-.()f x 满足：①R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-；②当[1,1]x ∈-时，3()33f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](3g f x g a a ≤-+对48[,]33x ∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．R B ．[1,)+∞C ．[0,1]D ．(,0][1,)-∞+∞【解析】因为R x ∀∈都有()()g x g x =-，所以()g x 是偶函数， 又当0x >时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在0,上单调递增，所以2[()](3g f x g a a ≤-+等价于2|()|f x a a ≤-+，只需2max |()|f x a a ≤-+，48[,]33x ∈. 因为R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-，即()(2)f x f x =+，所以()f x 是周期函数，周期为2， 当()1,3x ∈时，()21,1x -∈-，所以()()()3()23232f x f x x x =-=---，故48[,]33x ∈时，()()3()3232f x x x =---，求导得，()2()923f x x '=--，令()0f x '=，解得1482[,]33x =，2823x =+>，当4,233x ⎛∈- ⎝⎭时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当82,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，所以48[,]33x ∈时，3max ()3232222333f x f ⎛⎛⎫⎛⎫==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝---⎝⎭⎭=，2a a ≤-+，又因为2211024a a a ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭，所以223a a a a -=-+，2a a ≤-1a ≥或0a ≤. 所以实数a 的取值范围是(,0][1,)-∞⋃+∞. 故选：D. 二、多选题12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【解析】 解：对于A ，()1fx +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤， 又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点； 综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD13．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =，且当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，在下列结论中，正确命题的序号是________① 对任何m ∈Z ，都有(3)0mf =； ② 函数()f x 的值域是[0,)+∞；③ 存在n ∈Z ，使得(31)17nf +=；④ “函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得1(,)(3,3)k k a b +⊆”；【解析】对于①，对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =， 当(1,3]x ∈时，()3f x x =-， 所以()()()111333333(3)0mm m m f f f f ---=⋅==⋯==，①正确；对于②，取(m m 1x 3,3,(1,3]3m x +⎤∈∈⎦13,333333mm m mm x x x xf f f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而函数()f x 的值域为[0，+∞），②正确； 对于③，(1,3]x ∈时，()3f x x =-，对任意(0,)x ∈+∞，恒有(3)3()f x f x =成立，n Z ∈，所以()11131313313217333nnn n n n n f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦解得2n =，∴③正确；对于④，充分性：令133k k a b +≤<≤ 则1333k k a b ≤<≤ 所以()()3333kk kka b f a f b f f ⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333k kk a b f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦33333k kk a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦333k k k b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0b a =->必要性：令0a b <<，()()3333k k kk a b f a f b f f ⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333kk k ab f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减，所以033k k a b f f ⎛⎫⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即33k k a b f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，且 ()3f x x =-为减函数， 所以存在k ∈Z ，使得1333k k a b<<<，则133k k a b +<<<， 所以(,)a b ⊆1(3,3)kk +∴函数()f x 在区间(,)a b ⊆1(3,3)k k +上单调递减，④正确；综上所述，正确结论的序号是①②③④． 故答案为①②③④．14．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：对()0,x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对m Z ∀∈，有()20m f =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞； ③存在n Z ∈，使得()219nf +=； 【解析】 因为()()()11222220mm m f f f --==⋯==,所以①对;因为当(]1,2x ∈时，()[)20,1f x x =-∈，当1,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()()11220,22f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，当111,22k k x -⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()()11220,22kk k f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭， 当(12,2k k x -⎤∈⎦时，())1111220,22k k k f x x ---⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭， 因此当k →+∞时， 112,02k k-→+∞→， 从而函数()f x 的值域为[)0,+∞；所以②对;因为349(2,2)∈，所以由上可得()112121?229,142n nk k f k --⎛⎫++=-=-≥ ⎪⎝⎭,即2210k n -=，111122521,26k n n k -----=∴==无解.所以③错；综上正确结论的序号是①②15．已知定义域为R 的函数()f x 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当3(0,)2x ∈时， ()sin f x x π=，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是__________． 【解析】因为函数定义域为R ，周期为3，所以39(0)()()022f f f ===如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知 在[]0,6 上的零点为390,1,,2,3,4,,5,622所以共有9个零点16．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，则函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【解析】试题分析：由于定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，()()()()()()()()()4484f x f x f x f x f x f x f x f x f x ∴-=-+=-∴+=-∴+=-+=，，，，∴函数()f x 为周期函数，且周期为8， 当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点的个数， 即为函数()y f x = 与y a = 的交点的个数， 作出函数 ()[],4,8y f x x =∈-上的函数的图象，显然，当0a = 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为()420246814-+-+++++= .17．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______. 【解析】已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩ 若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点， 联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2311ln 62a x x x x x =-++可设()2311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 2232g x x x x '=-++，进而()120g x x x''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增.由()10g '=可得01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为13- 作出()y g x =的图象，可得103-<<a 时，211ln 062a x x x x -++=-有两个解. 故答案为：1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭18．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列命题：①对任意x ∈R ，都有()()2f x f x +=； ②函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增； ③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④当()3,4x ∈时，31()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有_________. 【解析】由题意，函数()f x 对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-， 可得()()2[(1)1][(1)1]f x f f x f x f x +=++=+-=，所以①正确；由[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递增函数，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可得[]1,0x ∈-时，函数()f x 为单调递减函数， 又由函数的周期为2，可得函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增，所以②正确； 由②可得，当2x =时，函数取得最小值，最小值为()()1202f f ==； 当3x =时，函数取得最大值，最大值为()()311f f ==， 根据函数的周期性，可得函数的最大值为1，最小值为12，所以③不正确； 当()3,4x ∈时，则4(0,1)x -∈，可得()()1(4)3114(2)()()()22x x f x f x f x f x ----=-=-===，所以④正确. 故答案为：①②④.19．已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________. 【解析】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=所以()()()2f x f x f x -=+=-，()()()42f x f x f x +=-+= 所以()f x 的最小正周期为4 又因为数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+①； 当2n ≥时，11312n n S a n --=+-②； ①减②得133122n n n a a a -=-+，所以132n n a a -=-，1311n n a a所以{}1n a -以3-为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=-，即13nn a =- 所以2021202113a =-又()()2021202120211202020213414141C =-=++⋅-⋅-所以20213被4除余3所以()()()()()202120212021()133111200f a f f f f f =-=--=---=== 故答案为：020．给出定义：若1122M x M -<≤+（其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x M =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论：①函数() y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数() y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称； ③函数() y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数； ④函数() y f x =是偶函数；其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）. 【解析】因为{}x M =，函数(){}f x x x =-， 所以()f x x M =- 当0M =时，()11,22f x x x =-<≤，当1M =时，()111,1122f x x x =--<≤+，当2M =时，()112,2222f x x x =--<≤+， 当3M =时，()113,3322f x x x =--<≤+，函数图象如图所示：由图象可知：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故正确；②函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称，故正确； ③函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故错误； ④其函数关于y 轴对称，所以()y f x =是偶函数，故正确. 故答案为：①②④。

函数周期性和对称性课件及习题与答案

函数周期性和对称性课件及习题与答案

函数的周期性和对称性一、 函数的轴对称：定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2ba x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二、 函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.三、函数周期性的性质：定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理4：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

高三数学周期性和对称性试题答案及解析

高三数学周期性和对称性试题答案及解析

高三数学周期性和对称性试题答案及解析1.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(3)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．【答案】（1）-1 （2）4【解析】解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(3－4)＝－f(1)＝－1.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则－1≤x≤0时，f(x)＝x，则f(x)的图像如图所示．当－4≤x≤4时，设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S＝4×＝4.△OAB2.定义在R上的函数满足，则的值为( )A．B．0C．1D．2【答案】C【解析】由已知得，，，，，，，，所以函数的值以6为周期重复性出现．所以，故选C．3.定义在R上的函数满足．当时，，当时，．则（）A．335B．338C．1678D．2012【答案】B【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，所以在一个周期内有，所以4.函数的定义域为实数集，对于任意的都有.若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】因为对任意的都有，所以函数的周期为2. 由在区间上函数恰有四个不同的零点，即函数在上有四个不同的零点.即函数与函数在有四个不同的交点.所以.解得.故选D.【考点】1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.5.设定义在上的函数满足，若，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴是一个周期为4的周期函数，∴．∵，∴＝＝．【考点】抽象函数．6.函数的最小正周期．【答案】【解析】，．【考点】函数的周期．7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,f(x+2)=对任意x∈R恒成立,则f(2011)等于() A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由f(x+2)=,得f(-1+2)=,即f(1)f(-1)=1,而f(1)=1,故f(-1)=1,且f(x+4)==f(x),∴f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=1.故选A.8.若f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则f(m+1)的值是()A．正数B．负数C．非负数D．不能确定正负【答案】B【解析】f(x)=(x-)2+a-,其对称轴为x=,而-m,m+1关于对称,故f(m+1)=f(-m)<0,故选B.9.已知函数的图像关于直线对称，则【答案】【解析】这类问题可用特殊值法求解，从函数解析式可知点在函数图象上，因此点也在函数图象上，故，.【考点】关于直线的对称问题.10.定义在上的函数满足则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，故选D.【考点】1.函数的周期性；2.分段函数；3.对数的运算11.设定义如下面数表，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为___________________。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

函数的周期性和对称性一、 函数的轴对称：定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2ba x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二、 函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.三、函数周期性的性质：定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理4：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。

9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0), 则f(2T)=0.1、已知定义为R 的函数()x f 满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f 在区间()+∞,2上单调递增.如果212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（ ）.A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负. 2、（07天津7）在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( ) A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数3、定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A.0B.1C.3D.54、已知函数()x f 的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f 的值.5、()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-，则()0f ，()1f ，()2f ，…，()999f 中最多有（ ）个不同的值.A.165B.177C.183D.1996、已知()113xf x x+=-，()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦，()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦，…，()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦，则()20042f -=（ ）.A.17-B.17C. 35-D.37、函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为 .1. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 2．已知函数)(x f y =是一个以4为最小正周期的奇函数，则=)2(f （ ） A ．0 B ．－4 C ．4 D ．不能确定3.（2009江西）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 4. 函数)x (f 对于任意实数x 满足条件)x (f 1)2x (f =+，若5)1(f -=，则))5(f (f 等于 ( )A. 5B. 5-C.51 D. 51-5. ()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ）A. 周期为20的奇函数B. 周期为20的偶函数C. 周期为40的奇函数D. 周期为40的偶函数6. 偶函数()f x 是以2为周期的函数，且当()0,1x ∈时，()21xf x =-，则2(log 10)f 的值为( ).A35.B 85.C 38- .D 537.已知偶函数)x (f y =满足)1x (f )1x (f -=+，且当]0,1[x -∈时，943)x (f x +=， 则)5log (f 31的值等于 ( )A. 1-B.5029 C. 45101 D. 1 8．设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）A ．()()()1.5 3.5 6.5f f f <<B ．()()()3.5 1.5 6.5f f f <<C ．()()()6.5 3.5 1.5f f f <<D ．()()()3.5 6.5 1.5f f f <<9（07安徽）定义在R 上函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为 （ ） A.0 B.1 C.3 D.510.)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间(0,6)内解的个数的最小值（ ） A ．6 B ．7 C ．4 D ．511.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．0D ．1二、填空题1、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f = 。

2.R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有_____个实数根.3. ()(5)()0,(2)1(2008)f x x f x f x f f ∈+-===R R 为上的奇函数，对任意，都有若， ．4. 设函数()y f x =定义在R 上的奇函数，且()y f x =图像关于直线12x =对称， 则=++++)5(f )4(f )3(f )2(f )1(f .5.设函数)x (f 为R 上的奇函数，且0)3x (f )x (f =++-，若1)1(f -=-，2log )2(f a <，则a 的取值范围是 .6. 定义在),(∞+∞-上的偶函数)x (f 满足)x (f )1x (f -=+，且在]0,1[-上是增函数，下面是关于)x (f 的判断：① )x (f 是周期函数； ② )x (f 的图象关于直线1x =对称； ③ )x (f 在]1,0[上是增函数； ④ ).0(f )2(f =其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。

7．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有1()(1)1()f x f x f x -+=+，当0x <≤1时，()2f x x =，则(11.5)f = 。

答案1、分析：()()4+-=-x f x f 形似周期函数()()4+=x f x f ，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用2-x 代替x ，使()()4+-=-x f x f 变形为()()22+-=-x f x f .它的特征就是推论3.因此图象关于点()0,2对称.()x f 在区间()+∞,2上单调递增，在区间()2,∞-上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图）1242x x -<< ，且函数在()+∞,2上单调递增，所以 ()()124x f x f -<，又由()()4+-=-x f x f ，有()[]()()1111444)4(x f x f x f x f -=+-=--=-，∴()()<+21x f x f ()()114x f x f -+()()011=-=x f x f .选A.2、分析：由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，即推论1的应用.又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称，可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上是减函数，可得如右()f x 草图.故选B 3、分析：()()0f T f T =-=，()()()()2222T T T Tf f f T f -=-=-+=， ∴()()022T Tf f -==，则n 可能为5，选D. 4、分析：由推论1可知，()x f 的图象关于直线2=x 对称，即()()x f x f -=+22， 同样，()x f 满足()()x f x f -=+44，现由上述的定理3知()x f 是以4为周期的函数.()()5.3445.19+⨯=∴f f ()5.3f =()[]()5.05.04-=-+=f f ，同时还知()x f 是偶函数，所以()()5.05.05.0==-f f .5、分析：由已知()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()1056f x =+()()()1760704352f x f x f x =+=+=+.2又有()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()1056f x =+()21581056f x =-+⎡⎤⎣⎦()()()11021102105646f x f x f x =-=--=-，于是)(x f 有周期352，于是()()(){}0,1,,999f f f 能在()()(){}0,1,,351f f f 中找到.又)(x f 的图像关于直线23x =对称，故这些值可以在()()(){}23,24,,351f f f 中找到.又)(x f 的图像关于直线199x =对称，故这些值可以在()()(){}23,24,,199f f f 中找到.共有177个.选B.6、分析：由()113x f x x +=-，知()1131x f x x -=+，()2131x f x f x x -⎛⎫== ⎪+⎝⎭，()()3f x f x =.)(x f 为迭代周期函数，故()()3n f x f x =，()()2004f x f x =，()()20041227f f -=-=-.选A.7、解：()()()()11g x f x g x f x -=--=-=--，()()11f x f x --=--，令1y x =+，则()()2f y f y -=--，即有()()20f x f x +-=，令()n a f x =，则20n n a a -+=，其中02005a =，10a =，()20052n n n a i i ⎡⎤=+-⎣⎦，()20052005f a ==()2005200520052i i ⎡⎤+-⎣⎦0=. 或有()()2f x f x =--，得()()()()2005200320011999f f f f =-==-=()10f ==.选择题【答案】 B A C D C A D B D D C填空题【答案】1.1-5；2. 5； 3. -1； 4. 0； 5.10,12a a <<>； 6.①②④； 7.-1. 1.函数f x ()定义在R 上，且满足f x f x f x ()[()]()+-=+211，(1)12f =，求(2011)f 的值。

相关文档
最新文档