2020版 第3章 第3节 三角函数的图象与性质

第三节 三角函数的图象与性质[考纲传真] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性(1)若f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．(2)若f(x)＝A cos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则①f(x)为奇函数的充要条件：φ＝kπ＋π2，k∈Z；②f(x)为偶函数的充要条件：φ＝kπ，k∈Z.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．()(2)y＝sin |x|是偶函数． ()(3)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称． ( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1. ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的最小正周期为( )A.2πB.π2 C ．2π D ．2 D [T ＝2ππ＝2，故选D.]3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ， ∴y ＝tan 2x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π C [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3，故选C.]5．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2 {x |x ＝6k π，k ∈Z } [f (x )min ＝4－2＝2，此时，13x ＝2k π(k ∈Z )，x ＝6k π(k ∈Z )，所以x 的取值集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z }．]A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z ) (2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 (3)(2019·长沙模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(1)B (2)B (3)B [(1)由2sin x －3≥0得sin x ≥32， ∴π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π(k ∈Z )，故选B. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，故选B.(3)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112， 又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. 故选B.](1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．(3)函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为________． (1)A(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12＋2 [(1)因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y ma x ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎨⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z. (3)设t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12(－2≤t ≤2)， y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1， 当t ＝2时，y 取最大值为2＋12， 当t ＝－1时，y 取最小值为－1. 所以函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12＋2.]【例2】 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，则ω＝________.(3)(2018·全国卷Ⅱ改编)若函数f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z (2)2 (3)3π4 [(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，函数f (x )的单调减区间就是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)由π8≤x ≤5π8得π8ω＋π4≤ωx ＋π4≤5π8ω＋π4.又函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )，则⎩⎪⎨⎪⎧π8ω＋π4＝2k π＋π2，58πω＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z即⎩⎨⎧ω＝16k ＋2ω＝165k ＋2，解得ω＝2.(3)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈[0，a ]时，π4≤x ＋π4≤a ＋π4，由题意知a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值为3π4.][拓展探究] 本例(2)中，若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数，试求ω的取值范围．[解] 由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意，知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥2k π＋π2，k ∈Z πω＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，∴4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z ， 当k ＝0时，12≤ω≤54.(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)32 [(1)由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )．故函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12.(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32，此时，3π2ω＝π＞π2，符合题意，故ω＝32.]►考法1 三角函数的周期性【例3】 (2019·大连模拟)在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③C [①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③，故选C.] ►考法2 三角函数的奇偶性【例4】 函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为________．5π6 [由题意知f (x )为偶函数，关于y 轴对称，∴f (0)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝±3， ∴φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，又0＜φ＜π， ∴φ＝5π6.]►考法3 三角函数的对称性【例5】 (1)下列函数的最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2(1)B (2)A [(1)根据函数的最小正周期为π知，排除C ， 又当x ＝π3时，2x ＋π3＝π，2x －π6＝π2，2x －π3＝π3，故选B. (2)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.]小正周期为小正周期为π，其图象关于直线x ＝π3对称，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.5π6D.5π12(2)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(1)B (2)B [(1)由题意，得ω＝2，所以f (x )＝A sin(2x ＋φ)．因为函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，|φ|取得最小值π6，故选B.(2)由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ωmin ＝2，故选B.]1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π2C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π. 故选C.]2．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为( ) A.π4B.π2 C ．π D ．2πC [f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x 1＋sin 2x cos 2x＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.]3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 D [A 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D.]4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．1 [f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.]。