2007年全国高中数学联赛加试题另解
2007年全国高中数学联赛湖北省预赛试卷及解析
2007年全国高中数学联赛湖北省预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知、是方程3x 3+log 27(3x )=−43的两个根.则a +b =（ ）.A. 1027 B. 481 C. 1081 D. 28812.设D 为△ABC 的边AB 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =34AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ , AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +25BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则S △APDS △Abc=（ ）.A. 310B. −√32C. 12D. −123.定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数.若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0 ， π2)，f (x )=sinx ，则f (8π3)的值为（ ）.A. √32 B. −√32C. 12 D. −124.已知ABCD−A 1B 1C 1D 1是一个棱长为1的正方体，O 1是底面A 1B 1C 1D 1的中点，M是棱BB 1上的点，且S △DBM :S △O 1B 1M =2:3.则四面体O 1ADM 的体积为（ ）. A. 724 B. 316 C. 748 D. 11485.编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个.则取出的球的编号互不相同的概率为（ ） A. 521 B. 27 C. 13 D. 821 6.使得3n +81是完全平方数的正整数n 有（ ）个.A. 0B. 1C. 2D. 3第II 卷（非选择题）二、解答题7.过点Q (−1,1)作已知直线l:y=14x +1的平行线，交双曲线x 24−y 2=1于点M 、 N . （1）证明：Q 是线段MN 的中点；（2）分别过点M 、N 作双曲线的切线l 1 、 l 2，证明：三条直线l 、 l 1 ， l 2相交于同一点；（3）设P 为直线l 上一动点，过P 作双曲线的切线PA 、 PB ，切点分别为A 、 B ，证明：点Q 在直线AB 上. 8.已知数列{a n }满足a n+1=12a n2−a n +2(n ≥1 ， n ∈N ). （1）若a 1=4，证明：（i ）当n ≥2时，有a n+1≥2a n ； （ii ）当n≥1时，有a n+1≥(32)na n .（2）若a 1=1，证明：当n ≥5时，有∑1a k<n −1n k=1.9.求所有的正整数n ，使得n +36是一个完全平方数，且除了2或3以外，n 没有其他的质因数.三、填空题10.设[]表示不大于的最大整数，集合A={x |x 2−2[x ]=3 }，B ={x |18<2x <8 }.则A ∩B =__________.11.数列{a n }满足a 1=23,a n+1−a n =√23(a n+1+a n ).则a 2007=_______________. 12.设复数z 1=(6−a )+(4−b )i ，z 2=(3+2a )+(2+3b )i ，z 3=(3−a )+(3−2b )i ，其中，a 、b ∈R .当|z 1|+|z 2|+|z 3|取到最小值时，3a +4b ______.13.设x∈(0 ， π2).则函数y =2254sin 2x+2cosx的最小值为_______________.14.对于函数f (x )=√ax 2+bx ，存在一个正数b ，使得f (x )的定义域和值域相同.则非零实数a 的值为_______________.15.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点P (−2,0)到其渐近线的距离为2√63.若过点P 作斜率为√22的直线交双曲线于A 、B 两点，交y 轴于点M ，且PM 是PA 与PB 的等比中项，则双曲线的半焦距为_______________.参考答案1.C【解析】1. 原方程变形为11+log 3x +1+log 3x 3=−43.令1+log 3x =t ，则1t +t 3=−43.解得t 1=−1,t 2=−3.所以，1+log 3x=−1或1+log 3x =−3.故方程的两根分别为19 、 181，其和为1081. 故答案为：C 2.A【解析】2.联结PD ，则DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =25BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ . 所以，DP∥BC ，∠ADP=∠B.故S△APDS △ABC=12|AD |⋅|DP |sin∠ADP 12|AB |⋅|BC |sinB =310.故答案为：A 3.B【解析】3. 根据题设条件可知f (8π3)=f (−π3+3π)=f (−π3)=−f (π3)=−sin π3=−√32.故答案为：B 4.C【解析】4.如图，易知AC ⊥平面D 1B 1BD .设O 是底面ABCD 的中心，则AO ⊥平面DO 1M .因S△DBMS△O1B1M =BD⋅BMO1B1⋅B1M=2×BMB1M=23，所以，BMB1M =13.于是，BM=14,B1M=34.故S△DO1M=S四边形D1B1BD −S△O1B1M−S△DBM=7√216.则V A−O1MD=13S△DO1M⋅AO=748.故答案为：C5.D【解析】5.从10个球中取出4个，不同的取法有C104=210种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有C54种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以，取出的球的编号互不相同的取法有C54⋅24=80种.故取出的球的编号互不相同的概率为80210=821.故答案为：D6.B【解析】6.当n≤4时，易知3n+81不是完全平方数.故设n=k+4(k∈N+).则3n+81=81(3k+1).因为3n+81是完全平方数，而81是平方数，所以，一定存在正整数x，使得3k+1=x2，即3k=x2−1=(x+1)(x−1).故x+1 、 x−1都是3的方幂.又两个数x +1 、 x −1相差2，则只可能是3和1.从而，x =2,k =1.因此，存在唯一的正整数n =k +4=5，使得3n +81为完全平方数.故答案为：B7.（1）见解析；(2）见解析；（3）见解析.【解析】7.（1）直线MN 的方程为y =14(x −3).代入双曲线方程x 24−y 2=1，得3x 2+6x −25=0.设M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)，则x 1、x 2是方程的两根，故x 1+x 2=−2.于是，y 1+y 2=14(x 1+x 2−6)=−2. 故Q (−1,−1)是线段MN 的中点.（2）双曲线x 24−y 2=1的过点M 、N 的切线方程分别为l 1:x 14x −y 1y =1，l 2:x 24x −y 2y =1. 两式相加并将x 1+x 2=−2，y 1+y 2=−2代入得y =14x +1.这说明，直线l 1、l 2的交点在直线l:y=14x +1上，即三直线l 、l 1、l 2相交于同一点.（3）设P (x 0,y 0)、A (x 3,y 3)、B (x 4,y 4)，则PA 、PB 的方程分别为x 34x −y 3y =1和x 44x −y 4y =1. 因为点P 在两条直线上，所以，x 34x 0−y 3y =1，x 44x 0−y 4y =1这表明，点A 、B 都在直线x 04x −y 0y =1上，即直线AB 的方程为x04x −y 0y =1.又y 0=x 04=1，代入整理得 x 04(x −y )−(y +1)=0 显然，无论x 0取什么值（即无论P 为直线l 上哪一点），点Q （-1，-1）都在直线AB 上. 8.（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）见解析.【解析】8. 因为a n+1−a n =12a n 2−2a n +2=12(a n−2)2≥0， 所以，a n+1≥a n ，即数列{a n }为递增数列.（1）（ⅰ）由a 1=4及a n+1=12a n2−a n +2，可得a 2=6，a 3=14.于是，当n≥2时，a n ≥6.故a n+1−2a n=12a n2−3a n +2 =12(a n −3)2−52>0.因此，当n≥2时，a n+1>2a n . （ⅱ）因为n ≥2时，a n+1>2a n ，所以，n ≥2，a n+1>2n−2a 2=6×2n−2=3×2n−1.由a n+1=12a n2−a n +2，可得 a n+1a n=12a n +2an−1. 用数学归纳法证明：12a n>(32)n+1(n≥3).当n=3时，12a 3=7>(32)3+1，结论成立.假设结论对n=k (k ≥3)成立，即12a k ≥(32)k+1，则结合（ⅰ）的结论可得 12a k+1>a k ≥2(32)k +2>(32)k+1+1，即当n =k +1时，结论也成立.综合可知，不等式12a n>(32)n+1对一切n (n≥3)都成立.因此，当n≥3时，a n+1a n=12a n +2a n−1>12a n −1>(32)n， 即a n+1>(32)na n .又a 2=6=(32)1a 1，a 3=14>(32)2a 2=13.5，则当n ≥1时，有 a n+1>(32)na n . （2）由于a 1=1，而数列{a n }为递增数列，故当n ≥1时，有a n >1.由a n+1=12a n2−a n +2，可得 1a n=1a n−2−1a n+1−2.而a 1=1，于是，∑1a k nk=1=∑(1a k −2−1a k+1−2)nk=1=1a1−2−1a n+1−2=12−a n+1−1.下面证明：当n≥5时，有a n<2−1n−1.根据a1=1及a n+1=12a n2−a n+2，计算得a2=32，a3=138，a4=217128，a5=2−217128(1−12×217128)=2−217128×39256<2−14.故当n=5时，结论成立.假设结论对n=k(k≥5)成立，即a k<2−1k−1.因为a n+1=12(a n−1)2+32，而函数f(x)=12(x−1)2+32在x>1时为增函数，所以，a k+1<12(2−1k−1−1)2+32=2−1k−1+12(k−1)2<2−1k，即当n=k+1时，结论也成立.综合可知，不等式a n<2−1n−1对一切n(n≥5)都成立. 于是，当n≥5时，a n+1<2−1n.故12−a n+1<n.所以，∑1 a knk=1=12−a n+1−1<n−1.9.符合条件的n值有6个，分别为64,108,288,864,1728,10368.【解析】9.设n+36=(x+6)2(x∈N+)，则n=x(x+12).依题意，可设{x=2a1×3b1, x+12=2a2×3b2,其中，a1、a2、b1、b2均为非负整数.于是，2a 2×3b 2−2a 1×3b 1=12.如果a 1=a 2=0，则3b 2−3b 1=12，这是不可能的.所以，a 1、a 2中至少有一个大于0.于是，x 和x +12均为偶数.从而，a 1、a 2均为正整数.若a 2=1，则2×3b 2=12+2a 1×3b 1.显然，只可能a 1=1（否则左右两边被4除的余数不相同），此时，3b 2=6+3b 1. 显然，只能是b 2=2，b 1=1，此时，x =6，n =108.若a 2≥2，则x +12是4的倍数.从而，x 也是4的倍数，故a 1≥2.此时2a 2−2×3b 2−2a 1−2×3b 1=3.①显然，a 1−2、a 2−2中至少有一个应为0（否则式①左右两边奇偶性不相同）. （1）当a 2−2=0，即a 2=2时，3b 2−2a 1−2×3b 1=3.②此时，a 1−2>0（否则式②左右两边奇偶性不相同），故b 2>b 1.若b 1≥2，则式②左边是9的倍数，而右边为3，矛盾.故只能b 1=1.从而，式②即3b 2−2a 1−2=1，它只有两组解 {a 1−2=1,b 2−1=1和{a 1−2=3,b 2−1=2,即{a 1=3,b 2=2 和{a 1=5,b 2=3.此时，对应的x 值分别为24和96，相应的n 值分别为864和10368. （2）当a 1−2=0，即a 1=2时，2a 1−2×3b 2−3b 1=3.③此时，a 2−2>0（否则式③左右两边奇偶性不相同），故b 2≤b 1.若b 2≥2，则式③左边是9的倍数，而右边是3，矛盾.故b 2≤1.若b 2=0，则2a 2−2−3b 1=3，只能b 1=0，此时，a 2=4，x =4，n =64. 若b 2=1，则2a 2−2−3b 1−1=1，它只有两组解{a 2−2=1,b 1−1=0 和{a 2−2=2,b 1−1=1,即{a 2=3,b 1=1 和{a 2=4,b 1=2.此时，对应的x 值分别为12和36，相应的n 值分别为288和1728. 因此，符合条件的n 值有6个，分别为64,108,288,864,1728,10368. 10.{−1,√7}【解析】10. 因不等式18<2x <8的解为−3<x <3，所以，B =(−3,3).当x ∈A ∩B 时，{x 2−2[x ]=3,−3<x <3.故[x ]只可能取值−3,−2,−1,0,1,2. 若[x ]≤−2，则x 2=3+2[x ]<0，没有实数解； 若[x ]=−1，则x 2=1，解得x =−1；若[x ]=0，则x 2=3，没有符合条件的解； 若[x ]=1，则x 2=5，没有符合条件的解； 若[x ]=2，则x 2=7，解得x =√7.因此，A ∩B={−1,√7}.故答案为：{−1,√7} 11.1343352【解析】11. 由a n+1−a n =√23(a n+1+a n )，两边平方得3(a n+1−a n )2=2(a n+1−a n ). 又3(a n−a n−1)2=2(a n +a n−1)，两式相减得3(a n+1−a n−1)(a n+1−2a n +a n−1)=2(a n+1−a n−1).由a 1=23,a n+1−a n =√23(a n+1+a n )，求得a 2=2. 又由递推关系式易知数列{a n }是单调递增数列，则a n+1−a n−1≠0.故3(a n+1−2a n +a n−1)=2⇒(a n+1−a n )−(a n −a n−1)=23.所以，数列{a n+1−a n }是以a 2−a 1=43为首项、23为公差的等差数列. 因此，a n+−a n =43+23(n −1)=23(n +1). 于是，a n =a 1+23(2+3+⋯+n )=13n (n +1). 故a 2007=1343352.故答案为: 1343352 12.12【解析】12.注意到，|z 1|+|z 2|+|z 3|≥|z 1+z 2+z 3|=|12+9i |=15. 当且仅当6−a 4−b=3+2a 2+3b =3−a 3−2b =129，即a =73，b =54时，取到最小值15. 故3a +4b =12.13.68【解析】13. 因x ∈(0,π2)，所以sinx >0,cosx >0.设k>0，则y =2254sin 2x +ksin 2x +1cosx +1cosx+kcos 2x −k≥15√k +3√k 3−k ①当且仅当{ 2254sin 2x =ksin 2x,1cosx =kcos 2x ⇒{sin 2x =2√k,cos 2x =√k 2时，式①等号成立，此时，，2k √k3=1.设1k =t 6，则2t 4+15t 3−2=0.而2t 4+15t 3−2=2t 4−t 3+16t 3−2 =t 3(2t −1)+2(2t −1)(4t 2+2t +1)=(2t −1)(t 3+8t 2+4t +2)，故(2t −1)(t 3+8t 2+4t +2)=0. 注意到0<t 6=1k ≤1，易知满足限制条件的根只有t =12.当t=12时，k =1t 6=64，不等式①取得等号. 所以，函数y =2254sin x+2cosx的最小值为15√64+3√643−64=68.故答案为:68 14.-4【解析】14.若a>0，对于正数b，f(x)的定义域为D=(−∞,−ba]∪[0,+∞)但f(x)的值域A⊆[0,+∞)，故D≠A，不符合要求.若a<0，对于正数b，f(x)的定义域为D=[0,−b a ].由于此时f(x)max=f(−b2a )=2√−a，故函数的值域A=2√−a].由题意有−ba=2√−a.因为b>0，所以，a=−4. 故答案为:-415.√3或√21【解析】15.设渐近线的方程为y=kx.由题设得√1+k =2√63，解得k=±√2.故双曲线的渐近线方程为y=±√2x.设双曲线的方程为2x2−y2=λ(λ≠0).设A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AB的方程为y=√22(x+2)，代入双曲线方程消去y 得3x2−4x−2λ−4=0.当Δ=16+12(2λ+4)>0，即λ>−83时，上面的方程恰有两实根，且x1+x2=43，x1x2=−23(λ+2).由题设知，PM2=PA⋅PB，可化为|(x1+2)(x2+2)|=4⇒|x1x2+2(x1+x2)+4|=4⇒|−23(λ+2)+2×43+4|=4.解得λ=2或λ=14. 因此，双曲线的方程为2x2−y2=2或2x2−y2=14⇒x2−y22=1或x27−y214=1.所以，双曲线的半焦距为√1+2=√3或√7+14=√21. 故答案为：√3或√21。
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案
球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于(
).
解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点 A 所在 的三个面上，即面 AA1B1B、面 ABCD 和面 AA1D1D 上；另一类在不过顶点 A 的三个面上，即面 BB1C1C、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上.在面 AA1B1B 上，交线为弧 EF 且在过球心 A 的大圆上，
任意的 x∈R，af(x)+bf(x-c)=1，由此得
.
一般地，由题设可得
，
且
，于是 af(x)+bf(x-c)=1 可化为
，即
，c=π，则对 ，其中
，所以
.
由已知条件，上式对任意 x∈R 恒成立，故必有
，
若 b=0，则由(1)知 a=0，显然不满足(3)式，故 b≠0.所以，由(2)知 sinc=0，故 c=2kπ+π 或 c=2kπ(k∈Z).当 c=2kπ 时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾，故 c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=-1.
1.如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠APC=60°，则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为( B)
A. B. C. D.
解：如图，在侧面 PAB 内，作 AM⊥PB，垂足为 M.连结 CM、AC，则∠AMC 为二面角 A-PB-C
的平面角.不妨设 AB=2，则
上是增函数，在
，设
，
上是减函数，且 y=g(x)的图像关于直线
对称，则对任意
，存在
，使 g(x2)=g(x1).于是
，而 f(x)在
上是减
函数，所以
，即 f(x)在
上的最小值是 .
12.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内，每个小方格内至多 填 1 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有(3960)种(用数字作答).
2007年全国高中联赛二试
2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。
过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。
O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。
求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。
二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。
如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。
现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。
问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++511 1iikm，其中[a]表示不大于a的最大整数。
求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。
2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。
求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。
证明：连结BP 、CP 、O 1O 2、EO 2、EF 、FO 1。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，故B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为O 1是△BDF 的外心，故O 1在BP 上且是BP 的中点。
同理可证C 、D 、P 、E 四点共圆，且O 2是的CP 中点。
综合以上知O 1O 2∥BC ，所以∠PO 2O 1=∠PCB 。
因为AF·AB=AP·AD=AE·AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
2007年全国高中数学联赛四川高中数学竞赛预赛试题参考解答及评分细则
二00七年高中数学联赛四川赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要在增加其它中间档次. 一、选择题(本题满分30分，每小题5分)1、A2、B3、C4、C5、B6、D 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）7、32- 8、}51|{<<-x x 9、9 10、}11|{<<>x a ax x 或 11、715 12、1207411 三、解答题（本大满分80分，每小题20分）13、如图，CF BE AD ,,分别是锐角ABC ∆的三条高，垂足分别为F E D ,,.以BC 为直径的圆O 和AD 交于G 点，过G 的直径的另一端点为K .若FK EK ,和BC 分别交于M ，N .求证：ON OM =.证明： CF BE AD ,,分别是锐角ABC ∆∴ 它们必相交于一点，记为H∴ H 为ABC ∆的垂心 （连结DE GM GE ,,∵ GK 是⊙O 的直径 ∴90=∠GEM∵90=∠GDM ，∴ E M D G ,,,四点共圆 ∴ GDE GME ∠=∠又 ∵ E C D H ,,,四点共圆， ∴ GDE ∠=∠∴ FKE HCE GME ∠=∠=∠， ∴ GM ∥FK （15分） ∴ ONK OMG ∠=∠，∵ KON GOM ∠=∠，KO GO =，∴ ONK OMG ∆≅∆， ∴ ON OM = （20分）14、若)2,0(π∈x ，求x x x x x f 3cos 2cos 6cos 3cos 2)(23--+=的最大值及取最大值时x 的值.解：因为x x x x x x x sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos -=+=x x x x x x c o s 3c o s 4)c o s 1(c o s 2c o s )1c o s 2(322-=---= （5分） 所以)cos 21(cos 3cos 6cos 3)(232x x x x x f -=-=91)3cos 21cos cos (33=-++≤x x x （15分）等号当且仅当x x cos 21cos -=，即31cos =x 时取得.所以，当31arccos =x 时，)(x f 有最大值91. （20分）15、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，右准线与x 轴交于E 点，若椭圆的离心率22=e ，且1||=EF . （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若过F 的直线交椭圆于B A ,两点，且+与向量)2,4(-=共线，（其中，O 为坐标原点），求OA 与OB 的夹角.解：（Ⅰ）由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1222c ca a c ，解得1,2==c a ，从而1=b . （5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知)0,1(F ，显然直线AB 不垂直于x 轴， 可设直线AB ：)1(-=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y ，消去y ，得0)1(24)21(2222=-+-+k x k x k （10分） 设),(11y x A ，),(22y x B ，则2221214k k x x +=+，222121)1(2k k x x +-=22221212121222142)()1()1(k kk k k k k x x k x k x k y y +-=-+⋅=-+=-+-=+ 于是)212,214(),(2222121k kk k y y x x +-+=++=+依题意22124214222-+-=+k kk k ，即k 2=故2=k ，或0=k （舍去） 分）又[)1()1(22121=-⋅-=k x k x k y y 2222221421)1(2[k k k k k ++-+-=故02122121)1(22222222121=+-=+-+-=+=⋅kk k k k k y y x x 所以，与的夹角为90. （20分） 16、已知正整数列}{n a 满足条件：对于任意正整数n ，从集合},,,{21n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与n a a a ,,,21 一起恰好是1至n S 全体自然数组成的集合，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和.（1）求21,a a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式.解：（1）记},,2,1{n n S A =，显然111==S a .对于22121a a a S +=+=，有|}1|,1,,1{},,2,1{22222a a a S A -+== }4,3,2,1{=故412=+a ，所以32=a . （5分）（2）由题意知，集合},,,{21n a a a 按上述规则，共产生n S 个正整数；而集合},,,,{121+n n a a a a 按上述规则产生的1+n S 个正整数中，除n S ,,2,1 这n S 个正整数外，还有||,,11i a i a a n i n n -++++（n S i ,,2,1 =），共12+n S 个数.所以，13)12(1+=++=+n n n n S S S S . （10分） 因为 )21(3211+=++n n S S ，所以，21321213)21(111-⨯=-⨯+=++n n n S S （15分） 又因为当2≥n 时，1113)21321()21321(---=-⨯--⨯=-=n n n n n n S S a 而11=a 也满足13-=n n a .所以，13-=n n a （1≥n ）. （20分）。
2007年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2007年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2007*1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，060=∠APC ，则二面角C PB A --的平面角的余弦值为A.71 B.71- C.21 D.21-◆答案：B★解析：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。
连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A−PB−C 的平面角。
不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。
在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。
2007*2、设实数a 使得不等式2232a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,41 D.[]3,3-◆答案：A★解析：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。
由对称性排除C ，从而只有A 正确。
一般地，对R k ∈，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的R k ∈成立。
由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。
2007*3、将号码分别为9,,2,1 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于A.8152 B.8159 C.8160 D.8161◆答案：D ★解析：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为8192=个。
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为( )A. B. C. D.2.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是( )A. B. C. D.[-3，3]3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+10＞0成立的事件发生的概率等于( )A. B. C. D.4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于( )A. B. C.-1 D.15.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是( )6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集.若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为( )A.62B.66C.68D.74二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________.8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于________.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________.10.已知等差数列{a n}的公差d不为0，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数.若2，且是正整数，则q等于________.a11.已知函数，则f(x)的最小值为________.12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种(用数字作答).三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.设，求证：当正整数n≥2时，a n+1＜a n.14.已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数f i(x)(i=1，2，3，4)满足：(1)对i=1，2，3，4，f i(x)是偶函数，且对任意的实数x，有f i(x+π)=f i(x)；(2)对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为( B )A. B. C. D.解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M.连结CM、AC，则∠AMC为二面角A-PB-C 的平面角.不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得.在△AMC中，由余弦定理得.2.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是( A )A. B. C. D.[-3，3]解：令，则有，排除B、D.由对称性排除C，从而只有A正确.一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立.由于，所以，从而上述不等式等价于.3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于( D )A. B. C. D.解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个.由不等式a-2b+10＞0得2b＜a+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为.4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于( C )A. B. C.-1 D.1解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x-c)=2，于是取，c=π，则对任意的x∈R，af(x)+bf(x-c)=1，由此得.一般地，由题设可得，，其中且，于是af(x)+bf(x-c)=1可化为，即，所以.由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0.所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z).当c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾，故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=-1.由(1)、(3)知，所以.5.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是( A )解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线(当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆).当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1-r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D.由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A.6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集.若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为( B )A.62B.66C.68D.74解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B.证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个.由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B.如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66.二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为().解：如图，设AC与BD交于F点，则|PA|+|PC|≥|A C|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值.8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于().解：因为，所以，即.因为，，，所以，即.设与的夹角为θ，则有，即3cosθ=2，所以.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于().解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则.同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条.在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为.这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长为.10.已知等差数列{a n}的公差d不为0，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数.若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于().解：因为，故由已知条件知道：1+q+q2为，其中m为正整数.令，则.由于q是小于1的正有理数，所以，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知.11.已知函数，则f(x)的最小值为().解：实际上，设，则g(x)≥0，g(x)在上是增函数，在上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线对称，则对任意，存在，使g(x2)=g(x1).于是，而f(x)在上是减函数，所以，即f(x)在上的最小值是.12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有(3960)种(用数字作答).解：使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种.所以，符合题设条件的填法共有722-72-16×72=3960种.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.设，求证：当正整数n≥2时，a n+1＜a n.证明：由于，因此，于是，对任意的正整数n≥2，有，即a n+1＜a n.14.已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为(x p，y p).若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1.由方程组消去y，得，即(k-1)x2+x-1=0.由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4(k-1)>0…(1)，…(2)，…(3)，由此解得.对求导，得，则，，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为…(4).同理可求得直线l2的方程为…(5).(4)-(5)得，因为x1≠x2，故有…(6).将(2)(3)两式代入(6)式得x p=2.(4)+(5)得…(7)，其中，，代入(7)式得2y p=(3-2k)x p+2，而x p=2，得y p=4-2k.又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段(不含端点).15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数f i(x)(i=1，2，3，4)满足：(1)对i=1，2，3，4，f i(x)是偶函数，且对任意的实数x，有f i(x+π)=f i(x)；(2)对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.证明：记，，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x).令，，，，其中k为任意整数.容易验证f i(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，f i(x+π)=f i(x)，i=1，2，3，4.下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x).当时，显然成立；当时，因为，而，故对任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x).下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).当时，显然成立；当x=kπ时，h(x)=h(kπ)=h(kπ-2kπ)=h(-kπ)=-h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当时，，故，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x.于是，对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).综上所述，结论得证.。
2007年全国高中数学联赛陕西省高中数学竞赛预赛试题(附详细答案)
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2007-2011全国高中数学联赛试题和答案
1． 若函数()21x f x x =+且()()()n nfx f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】110【解析】()()()121x f x f x x ==+，()()()2212x fx f f x x ==⎡⎤⎣⎦+，……，()()992199x fx x =+．故()()991110f=． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36，【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得342d ≤．解得36a ≤≤． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++ 【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++ 4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a b a b +【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，． 由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OPOQ+=+． F ED CB AO yx于是当22222a b OP OQ a b ==+时，OP OQ 达到最小值22222a b a b+． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．【答案】 0k <或4k = 【解析】 当且仅当 0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x ，221242x k k k ⎡⎤=-±-⎣⎦ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩，所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩，所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩，所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d = (ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯=……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+ 故981001012a =⨯． 二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k x kmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② …………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得2323m -<<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得33k -<<．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和． 【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以 ()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1nn a n α=+；……………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--． 于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++． 特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212nn a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得121A A ==．故 ()1nn a n α=+．…………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n nn a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得 12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩， 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故 1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数2713y x x x =++-+的最大和最小值． 【解析】 函数的定义域为[]013，.因为 ()27132713213y x x x x x x =+++-=+++-2713+≥3313=+当0x =时等号成立．故y 的最小值为3313+．……………………5分又由柯西不等式得()222713y x x x=+++- ()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-=⎪⎝⎭≤所以11y ≤． …………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．……………………………………15分一、如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC ⌒ 、AC ⌒的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB ⌒（不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，ITQPNMCBA求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =． 于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1sin 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1sin 2PN NT PMT =⋅∠于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，I 2I 1ABCMNPQ TI所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠． 因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．二、求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式：⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x =+-+．则对0x >，1()101h x x'=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =， 121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n =-<+ 因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k kn k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k k k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑ 1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n =-+>-． 三、设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C km 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1km l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：p ／∣C km ． 若p ／∣k !，则由1!C ()k kmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i tl k =≡+∏1ki i =≡∏ ()1!mod k p α+≡．及|!p k α，且p α+1／∣k !，知|!C k m p k α且1α+p／∣!C k m k ．从而p ／∣C k m ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1km l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：p ／∣C km ． 若p ／∣k !，则由 1!C ()==-+∏k kmi k m k i 21[((!)]k i i tl k =≡+∏ 1ki i =≡∏ ()!mod k p ≡．即p 不整除上式，故p ／∣C km ． 若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!pk α+Œ．12|(!)p k α+．故由11!C ()k kmi k m k i -==-+∏ 21[((!)]ki i tl k =≡+∏ 1k i i =≡∏()1!mod k p α+≡,及|!p k α，且p α+1／∣k !，知|!C kmp k α且1α+p／∣!C km k ．从而p ／∣C k m．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---12(2)2x x≥⋅⋅--2=，当且仅当122x x =--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ D ）[解] 因240x ax --=有两个实根21424a a x =-+，22424a a x =++， 故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即24224a a -+≥-且24424a a ++<， 解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ）[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 22215()()339+=． 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． [解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=， 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． 4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564ab c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394ca b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a=，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a=无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =． 若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ B ） [解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += 5 .[解] 由题意知12()(1)nn n n f x a x aaa b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =23-+．[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----， (1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -；(2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3)22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-， 故2112122a a ---=-，解得23a =-+，23a =--(舍去)． 9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)nn n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =112(1)nn n -+．[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ． 令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅，因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+．[解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，答12图1答12图2所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是723．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111P O A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心． 因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅ 111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则 222211(3)22PP PO OP r r r =-=-=． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如答12图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有113cos 2262PM PP MPP r r =⋅=⋅=，故小三角形的边长1226PE PA PM a r =-=-． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB P EF S S ∆∆-223((26))4a a r =--23263ar r =-． 又1r =，46a =，所以124363183PAB PEF S S ∆∆-=-=． 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． [证] ()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈．…5分 由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=．…10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+14sin cos αα= …15分 22cos sin 4sin cos αααα+= 21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式:121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122++++<+x x x x x ．即 1210864353210+++--<x x x x x ． …5分 分组分解12108x x x +-1086222x x x ++-864444x x x ++-642x x x ++-4210++-<x x ，864242(241)(1)0+++++-<x x x x x x ，…10分所以 4210+-<x x ，221515()()022---+--<x x ． …15分 所以2152-+<x ，即152-+-<152-+<x ． 故原不等式解集为5151(,)22--． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122++++<+x x x x x ． …5分即6422232262133122(1)2(1)+>+++++=+++x x x x x x x x， )1(2)1()1(2)1(232232+++>+x x xx ， …10分答15图令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)>+g g x x， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211>+x x， …15分 即222()10+-<x x ，解得2512-<x 故原不等式解集为5151(,)22--． …20分 15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >． 直线PB 的方程:00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=． 又圆心(1,0)到PB 的距离为1，0022001()y b x b y b x-+=-+ ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=， 同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-． 因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--2448≥+=． 当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,22x y ==±．因此PBC S ∆的最小值为8． …20分 一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：32AE AB =，31BC EC =-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅． …10分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）记E C B α∠=，则2E C Aα∠=，由正弦定理有sin 23sin 32AE AB αα==，从而3s i n 32s i n 2αα=，即33(3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos4cos 30αα--=， …30分解得3cos 2α=或1cos 23α=-（舍去），故30α=，60ACE ∠=．由已知31BCEC=-=()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠，即31sin cos (31)sin 22EAC EAC EAC ∠-∠=-∠，整理得 231sin cos 22EAC EAC -∠=∠， 故1tan 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=，………40分从而45E ∠=，45DAC DCA E ∠=∠=∠=，ADC ∆为等腰直角三角形．因2AC =，则1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故2BC =，212212cos1355BD =+-⋅⋅=，5BD =．故min ()5210f P BD AC =⋅=⋅=． …50分[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在圆O 外，故0P 在BD上）．过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC ∆之三内角分别为x y z ，，，则0180AP C y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=， 则对平面上任意点M ，有0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A P C A B =⋅+⋅+⋅ 1112A BC S ∆=答一图1111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤． 由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=， 记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 23sin 32AE AB αα==，从而3sin 32sin 2αα=，即33(3sin 4sin)4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos4cos 30αα--=， …30分解得3cos 2α=或1cos 23α=-（舍去），故30α=，60ACE ∠=．由已知31BCEC=-=()0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠，即31sin cos (31)sin 22EAC EAC EAC ∠-∠=-∠， 整理得231s i n c o s 22EAC EAC -∠=∠，故1t a n 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=，…40分所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，2AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在⊙O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，1112212cos1355B C BD ==+-⋅⋅︒=，故52λ=，所以 min 5()21102f P =⋅⋅=． …50分 二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明：（Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期；（Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)n a n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得 1ma nb +=．于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期．…10分又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期．…20分（Ⅱ）若T 是无理数，令 111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令 21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， ……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， ………30分 由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a TT ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k kk a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分三、（本题满分50分） 设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n kn kk n k k k x x a xa x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为2008111()n n k n kn k k x x a xx -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-． …10分由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-20081122200820081()kk b aa x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811kk a=>∑． …20分充分性：假设200811kk a=>∑．定义多项式函数如下：20081()1kk k f s a s==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．…30分 下取数列{}n x 为01nk n k x s==∑，1,2,n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nk nk s s x s s +=-==-∑．因001s <<，故10lim 0n n s+→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011k k k a s==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a ss a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ B ）解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。
2007年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案
2007年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案(考试时间：2007年9月16日上午8：00-10：30)一、选择题(共6小题,每小题6分,满分36分,以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项,其中有且只有一个是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均得零分)1．一个直角三角形的两条直角边长为b a ,满足不等式31634192622≤+-++-b b a a ,则这个直角三角形的斜边长为( )A ．5B ．30C ．6D ．40 答案：B解：原不等式化为34)32(1)23(22≤+-++-b a , 而3414)32(1)23(22=+≥+-++-b a , 所以32,23==b a ．于是,斜边长为30．2．数812934756是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数,它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到大排列的,但是数字1至7不是从小到大排列的．这样的九位数共有( )个．A ．336B ．360C ．432D ．504 答案：C解：在1,2,3,4,5,6中插入7,有6种放法,然后插入8和9,分别有8种和9种放法,所以,共有432986=⨯⨯个满足性质的九位数．3．一个三角形的最短边长度是1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为( )．A ．5102 B ．553 C ．3 D ．2 答案：B解：该三角形不是直角三角形．不妨设C B A ≤≤．则3tan ≤A ,又Z A ∈tan ,所以1tan =A ．非直角三角形中,有恒等式C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++, 即B tan 、C tan 是方程xy y x =++1的一组正整数解． 所以B tan =2,C tan =3． 易解得最长边为553(另外一条边长为5102)．4．正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为8,则这个正三棱锥的体积的最大值为( )．A ．18B ．36C ．72D ．144 答案：D解：设正三棱锥P －ABC 的底面边长为a ,高为h ,O 为三角形ABC 的中心,G 为侧面PBC 的重心,GH 垂直底面ABC ,垂足为H ．则a a AD AH h PO GH 934239898,3131=⋅====, 由222AG GH AH =+得6491271622=+h a ,故276431622⋅=+h a , 由平均不等式得322222238833882764h a a h a a ⋅⋅≥++=⋅,所以,35762≤h a ,于是144123312≤==∆-h a h S V ABC ABC P ． 当46=h a 时等号成立．故体积的最大值为144． 5．对每一个正整数k ,设ka k 1211 ++=,则49493212500)99753(a a a a a -++++等于（ ）A ．－1025B ．－1225C ．－1500D ．－2525 答案：B解： 49493212500)99753(a a a a a -++++＝4925004919931)9997(21)9975(1)9953(a -⨯++⨯++++⨯++++⨯+++ ＝492222222500491)4950(21)250(1)150(a -⨯-++⨯-+⨯- ＝4922500)4921()491211(50a -++-+++＝1225)4921(-=+++- ．6．集合{}7,6,5,4,3,2,1=S 的五元子集共有21个,每个子集的数从小到大排好后,取出中间的数,则所有这些数之和是（ ）A ．80B ．84C ．100D ．168ABCDPH OG ah第4题答题 图答案：B解：显然中间数只能是3,4,5．以3为中间数的子集有24C 个,以4为中间数的子集有2323C C ⨯个,以5为中间数的子集有24C 个． 所以,这些中间数的和为8454324232324=⨯+⨯⨯+⨯C C C C ．另解：对某个子集A ,用8－A 表示A 中每个元素被8减所得的集合,这个集合也是一个满足要求的5元子集．这是一个1－1对应．且这两个集合中中间数之和为8,平均为4．故所有的中间数的和为84421＝⨯．二．填空题（共6小题,每小题6分,满分36分．请直接将答案写在题中的横线上）7．函数32)(2+-=x x x f ,若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ,则实数a 的取值范围是 ． 答案：1＜a ＜4解：依题意知,21≤≤x 时,a x f -)(＜2恒成立．所以21≤≤x 时,－2＜a x f -)(＜2恒成立,即2)(-x f ＜a ＜2)(+x f 恒成立． 由于21≤≤x 时,32)(2+-=x x x f ＝2)1(2+-x 的最大值为3,最小值为2,因此,3－2＜a ＜2＋2,即1＜a ＜4．8．在直角坐标平面上,正方形ABCD 的顶点A 、C 的坐标分别为（12,19）、（3,22）,则顶点B 、D 的坐标分别为 ．（A 、B 、C 、D 依逆时针顺序排列）答案：（9,25）、（6,16）解：设线段AC 的中点为M ,则点M 的坐标为)241,215(,利用复数知识不难得到顶点B 和D 的坐标分别为（9,25）、（6,16）．（或者利用向量知识）9．已知1F 、2F 分别是椭圆19222=+b y x （0＜b ＜3）的左、右焦点．若在椭圆的右准线上存在一点P,使得线段1PF 的垂直平分线过点2F ,则b 的取值范围是 ．答案：)6,0(解：线段1PF 的垂直平分线过点2F ,等价于212F F P F =． 设椭圆的右准线cx 9=交x 轴于点K ,则在椭圆的右准线上存在一点P,使得212F F P F =,等价于212F F K F ≤． 所以c c c29≤-,32≥c ． 因此692222≤-=-=c c a b 故b 的取值范围是]6,0(．10．方程10033100=+y x 的正整数解),(y x 有 组．答案：4解：由题设可知,10≤x ．两边模3,知)3(mod 1≡x ,所以,x ＝1,4,7,10,对应的y 分别为301,201,101,1．故满足方程的正整数解有4组．11．设x xx x f +-++=11lg521)(,则不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)21(x x f ＜51的解集为 ．答案：)4171,21()0,4171(+⋃- 解：原不等式即为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)21(x x f ＜)0(f ．因为)(x f 的定义域为（－1,1）,且)(x f 为减函数．所以⎪⎩⎪⎨⎧----0)21(1)21(1 x x x x ．解得∈x )4171,21()0,4171(+⋃- 12．设函数1321)(+--=x x x f ,如果方程a x f =)(恰有两个不同的实数根v u ,,满足102≤-≤v u ,则实数a 的取值范围是 ．答案：345≤≤-a 解：因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≤≤----+=.21,4211,251,4)(时当时，当时，当 x x x x x x x f当a ＞3时,a x f =)(无解；当a ＝3时,a x f =)(只有一个解．当329≤≤-a 时,直线a y =与4+=x y 和25--x y ＝有两个交点,故此时a x f =)(有两个不同的解；当a ＜29-时,直线a y =与4+=x y 和4--=x y 有两个交点,故此时a x f =)(有两个不同的解．对于上述两种情形,分别求出它们的解v u ,,然后解不等式102≤-≤v u ,可得实数a 的取值范围是345≤≤-a ． 三、解答题：（共4小题,每小题20分,满分80分．要求写出解题过程） 13．已知x x x f sin 22sin )(+=,xx x g 413)(+=,若对任意),0(,21∞+∈x x 恒有m x g x f +≥)()(21,试求m 的最大值．解：因为111sin 22sin )(x x x f +=, )1(cos sin 211+=x x[]31121)cos 1)(cos 1(4)(x x x f +-=)cos 1)(cos 1)(cos 1)(cos 33(341111x x x x +++-=41111)4cos 1cos 1cos 1cos 33(34x x x x ++++++-⨯≤＝427所以233)(1≤x f ．又3413)(222≥+=x x x g , 所以233233=-≤m ． 当63,321==x x π时,上述各式的等号成立,所以m 的最大值为23．14．已知1F 、2F 分别是双曲线1322=-y x 的左、右焦点,过1F 斜率为k 的直线1l 交双曲线的左、右两支分别于A 、C 两点,过2F 且与1l 垂直的直线2l 交双曲线的左、右两支分别于D 、B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）设点P ),00y x （是直线1l 、2l 的交点为,求证：32020y x +＞34； （3）求四边形ABCD 面积的最小值．解：（1）由条件知,1l 、2l 的方程分别为)2(+=x k y 、)2(1--=x ky ．由⎩⎨⎧+==-)2(3322x k y y x ,得0344)3(2222=----k x k x k ． 由于1l 交双曲线的左、右两支分别于A 、C 两点,所以22334kk x x C A ---=⋅＜0,解得2k ＜3． 由⎪⎩⎪⎨⎧--==-)2(13322x k y y x ,得0344)13(222=--+-k x x k ． 由于2l 交双曲线的左、右两支分别于D 、B 两点,所以133422---=⋅k k x x D B ＜0,解得2k ＞31．因此,31＜2k ＜3,k 的取值范围是)3,33()33,3(⋃--． （2）由条件知,21PF PF ⊥,点P 在以21F F 为直径的圆上．所以42020=+y x ．因此32020y x +＞332020y x +＝34．（3）由（1）知,2222222223)1(63344)34(11kk k k k k k x x k AC C A -+=---⨯--⋅+=-⋅+=． 13)1(613344)134()1(1)1(122222222-+=---⨯---⋅-+=-⋅-+=k k k k k k x x k BD D B ． ∴四边形ABCD 的面积)13)(3()1(18212222--+=⋅=k k k BD AC S ．由于)13)(3()1(182222--+=k k k S ＝18)11313(41181131318222222222=+-++-⨯≥+-⨯+-k k k k k k k k ．当且仅当 113132222+-=+-k k k k ,即1,12±==k k 时,等号成立． 所以,四边形ABCD 面积的最小值为18．15．如图,在锐角三角形ABC 中,1AA ,1BB 是两条角平分线,I,O,H 分别是ABC ∆的内心,外心,垂心,连接HO ,分别交AC,BC 于点P ,Q ．已知C,1A ,I,1B 四点共圆．（1）求证：︒=∠60C ；（2）求证：BQ AP PQ +=．证明：（1）因为C,1A ,I,1B 四点共圆,所以 AIB C ∠-︒=∠180C B A IBC IAB ∠-︒=∠+∠=∠+∠=21902121． 所以,︒=∠60C ．（2）因为︒=∠-︒=∠120180C AHB , ︒=∠=∠1202ACB AOB , 所以,B O H A ,,,四点共圆,于是︒=∠-︒=∠=∠30)180(21AOB OBA PHA ,又︒=∠-︒=∠3090C PAH , 所以PHA PAH ∠=∠, 于是PH AP =,同理可得 QH BQ = 故,BQ AP PQ +=第15题答题 图B第15题 图16．已知两个整数数列 ,,,210a a a 和 ,,,210b b b 满足 （1）对任意非负整数n ,有22≤-+n n a a ； （2）对任意非负整数,,n m 有 22n m n m b a a +=+证明：数列 ,,,210a a a 中最多只有6个不同的数．证明：首先,一个整数若是4的倍数,则它一定能表示成22)2(n n -+,其中n 是非负整数．事实上,由22)1()1(4--+=k k k 便得．若,,n m （m ＞n ）的奇偶性相同,则22n m -是4的倍数,设 22n m -＝22)2(k k -+, 所以 2222)2(n k k m ++=+ 于是由条件（2）知n k n k k m k m a a b b a a +===+++++2)2(2222, 故k k n m a a a a -=-+2 所以,2≤-n m a a于是在 ,,,531a a a 中,任意两项的差的绝对值至多为2,所以,它们最多能取3个不同的值：2,1,++a a a ．同样,在 ,,,420a a a 中,任意两项的差的绝对值也至多为2,所以,它们最多能取3个不同的值：2,1,++b b b ．综上所述,数列 ,,,210a a a 中最多只有6个不同的数．。
2007年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题与答案
π 6
⎤ ⎥⎦
，
⎜⎛ ⎝
π 6
,
π 3
⎤ ⎥⎦
，
⎜⎛ ⎝
π 3
,
π 2
⎤ ⎥⎦
.
由抽屉原理，上述 7 个θi （1 ≤ i ≤ 7 ）中必有某两个数在同一个子区间内，不妨设θ j ,θ j+1 ，
（1 ≤ j ≤ 6 ）在同一个子区间内. 因
0
≤θ
j +1
−θ
j
<
π 6
，
则
0≤
tan(θ j+1
−θ j)
>
2 3
11.
⎛ ⎜⎜⎝ −7, −
14 2
⎞ ⎟⎟⎠
∪
⎛ ⎜⎜⎝
−
14 2
,
−
1 2⎞ ⎟⎟⎠来自由 (7a + 2tb )(ta + b ) < 0 得 − 7 < t < − 1 ， 当 7a + 2tb 与 ta + b 共 线 时 有 7 = 2t ， t = ± 14 而
2
t1
2
t = − 14 时， 7a + 2tb 与 ta + b 反向故 t ≠ − 14 ，
<
π tan
6
=
3， 3
即： 0 ≤ tanθ j+1 − tanθ j < 3 . 1+ tanθ j+1 tanθ j 3
记 x = tanθ j+1 ， y = tanθ j ，即得所要证的不等式。
五、设{an} 为一个整数数列，并且满足：对任意的 n ∈ N * ，均有
(n − 1)an+1 = (n + 1)an − 2(n − 1)
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.文)含答案
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——培根2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题 1．cos330=（ ）A ．12 B ．12- CD．2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B =ð（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}， 3．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C．lnD ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞，， D ．(2)(3)-∞-+∞，， 6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）ABC．2D8．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x+ B ．e 2x- C ．2e x - D ．2e x +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种 11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13BC ．12D12．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（ ）AB．CD．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ． 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中， 底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >； （2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。
2007年全国高中数学联赛试题及详细解析
2007年全国高中数学联赛 （考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21-5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。
若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。
11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。
12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
2007年全国高中数学联赛试题及详细解析
2007年全国高中数学联赛 （考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21-5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。
若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。
11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。
12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
(
n
+ 2
2
n
+ 2
1
)
k=1
∑n
k 1
=
−
n + 2 n + 1 k=2 k
(n + 1)(n + 2) n + 2 < 0 ⇒ n ⩾ 2 时，an+1 < an.
n+1
k=1 k
14.
已知过点
(0, 1)
的直线
l
与曲线
C
:
y
=
x+
1 (x
>
0)
交于两个不同的点
M
x
和 N . 求曲线 C 在点 M 、N 处切线的交点轨迹.
法也有 72 种，此时包含 a, b 填在同一方格的情形. 即 a, b 的填法有 722 种.
2 个 a 都填好后，若填 a 的两个方格均填入 b，此时填法有 72 · 1 种；
若填 a 的两个方格仅有一个填入 b，划去这个方格所在的行和列，还有 9 个方
格，再除去另一个 a 所在的方格，另一个 b 填法有 8 种. 此时填法有 72 · C21 · 8 种.(也可考虑同时填入 a, b 的方格有 16 个，还有 9 个方格填入另一个 a 和 b，
|a| |a| ,
= |a|，
于是
a2
x∈R
⩽ |a|
⇒
|a|
⩽
1
⇒
a
∈
[1 −,
1
] .
23 所以选 A.
3
3
3
33
3. 将号码分别为 1、2、· · · 、9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，
2007年全国高中数学联赛试题及解答
2 3 9．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，以顶点 A 为球心， 为半径作一个球，则球面与正方 3 体的表面相交所得到的曲线的长等于 ． 10．已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数．若 a1＝d，b1＝d2， 2 2 a2 1＋a2＋a3 且 是正整数，则 q 等于 ． b1＋b2＋b3
2007 年全国高中数学联赛试卷
2007．10．18．
2007 年全国高中数学联赛一试试卷
(考试时间：10 月 14 日上午 8∶00——9∶40)
一、选择题(本题江分 36 分，每小题 6 分)： 1．如图，在正四棱锥 P－ABCD 中，∠APC＝60° ，则二面角 A－PB－C 的平 面角的余弦值为 A． 1 7 B．－ 1 7 C．
2007 年全国高中数学联赛试卷
2007．10．18．
2007 年全国高中数学联赛一试解答
(考试时间：10 月 14 日上午 8∶00——9∶40)
一、选择题(本题江分 36 分，每小题 6 分)： 1．如图，在正四棱锥 P－ABCD 中，∠APC＝60° ，则二面角 A－PB－C 的平面角的余弦值为 A． 1 7 B．－ 1 7 C． 1 2 D．－ 1 2
A．
B．
C．
D．
选 A． 解：设⊙O1、⊙O2 半径分别为 R、r(不妨设 R≥r＞0)，|O1O2|＝d． 若两圆内含，d＜R－r，则⊙P 与两圆都内切或与小圆外切与大圆内切，所求轨迹为两个以两圆圆心为 焦点的椭圆，当两圆圆心重合时，轨迹为圆；故 C 可以是动圆圆心轨迹； 当两圆外离， d＞R＋r， 若 R＞r， 动圆与两圆都外切或都内切， 所求轨迹为以两圆圆心为焦点的双曲线； 与一圆内切与另一圆外切时， 轨迹也为以两圆圆心为焦点的双曲线， 故 D 可以是动圆圆心轨迹； 当 R＝r 时， 与两圆都外切或都内切的动圆圆心轨迹为两圆圆心连线的中垂线，与一圆内切与另一圆外切时，轨迹为以 两圆圆心为焦点的双曲线，故 B 可以是动圆圆心轨迹． A 中的椭圆与双曲线焦点不同，从而没有动圆圆心轨迹为 A 中情形． 事实上，当两圆相交时，若 R＞r，动圆与两圆同时外切或内切，所求轨迹为以两圆圆心为焦点的双曲 线，与一圆内切与另一圆外切，轨迹为椭圆，但双曲线与椭圆的焦点相同；若 R＝r，则轨迹为椭圆及一条 直线．当两圆内切时，所求轨迹为一个以两圆圆心为焦点的椭圆与经过两圆圆心的直线；当两圆外切时， 若 R＞r，动圆与两圆都外切或都内切，所求轨迹为一个以两圆圆心为焦点的双曲线，与一圆外切与另一圆 内切，轨迹为经过两圆圆心的直线；若 R＝r，轨迹为两条直线；即 A 不能成为动圆圆心轨迹． 6．已知 A 与 B 是集合{1，2，3，„，100}的两个子集，满足：A 与 B 的元素个数相同，且 A∩B 为空 集．若 n∈A 时，总有 2n＋2∈B，则集合 A∪B 的元素个数最多为 A．62 B．66 C．68 D．74 选 B． 解：由 2n＋2≤100，知 n≤49．即若 n∈A，则 n≤49． 把不超过 49 的数分组：{2k－1，4k}(k＝1，2，„，12 其中 2(2k－1)＋2＝4k≤50)，(12 组，24 个数) {2k－1}(k＝13，14，„，25 其中 50≤4k≤100)，(13 组，13 个数) {2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38} (余下 4k－2 型数，配对 4 组，8 个数) {26}，{34}，{42}，{46}(4 组，4 个数) 共有 33 组，若 A 在小于 49 的正整数中取出的数超过 34 个，则必有两个数同组，此时 A∩B≠．故 n ≤33．又取 A＝{2k－1|k∈N*，k≤25}∪{2，10，14，18，26，34，42，46}，B＝{2n＋2|n∈A}，满足题意， 此时|A∪B|＝66． 二、填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分) 7．在平面直角坐标系内，有四个定点 A(－3，0)，B(1，－1)，C(0，3)，D(－1， y 3)及一个动点 P，则|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|的最小值为 ． 填 3 2＋2 5． 解：显然，如图可知，|PA|＋|PC|≥|AC|，|PB|＋|PD|≥|BD|，于是|PA|＋|PB|＋|PC| ＋|PD|≥|AC|＋|BD|＝3 2＋2 5． → → 8． 在∆ABC 和∆AEF 中， B 是 EF 中点， AB＝EF＝1， BC＝6， CA＝ 33， 若 AB · AE
2007年高考数学全国卷II(含答案)
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题1．cos330=（ ）A ．12B ．12-CD ．2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．D ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞ ，， D ．(2)(3)-∞-+∞ ，， 6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）A B C D 8．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ）A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B C ．12D 12．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF = ，则12PF PF +=（ ）AB ．CD ．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分） 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，， 分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．AEBCFSD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．22．（本小题满分12分） 已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。
2007年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷及解析
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人
得分
一、选择题
1.若点 在直线 上移动，则函数 的最小值等于（）.
A. B.
C. D.
2.满足 的正整数数对 （）.
A.只有一对B.恰有两对
8.已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足 .
（1）是否存在边长均为整数的△ABC?若存在，求出三边长；若不存在，说明理由.
（2）若 ， ， ，求出△ABC周长的最小值.
9.已知椭圆 过定点 ，且焦点在x轴上，椭圆与曲线 的交点为B、C.现有以A为焦点、过点B和C且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为 .当椭圆的离心率e满足 时，求实数m的取值范围.
11.
【解析】11.
易知方程 的两根为 ， .
当 ，即 时，方程 有两个共轭的虚根 ，且 的实部为 ，此时， 对应的点在以 对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为 ，
即 .
将 ， 及 对应点的坐标 代入方程，得 .
故m的取值范围是 .
12.
【解析】12.
由已知得 ， .
设x与y的夹角θ，则 .
故 .
13.设函数 ， ， .则函数 的图像与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是________.
14.已知单位正方体 棱 与直线 上分别有动点 、 ，若 与 相截得到的线段 长度为 ，设 ，则 的最小值写成关于 的函数关系式是______.
15.设 均为正实数，且 .则 的最小值是.
参考答案
1.A
【解析】1.
，
2007年全国高中数学联赛河南省预赛_高二试卷及解析
2007年全国高中数学联赛河南省预赛_高二试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知=25.则tana=（）.A. 34 B. 43 C. 247 D. 7242.设f (n )为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和（如f (123)=12+22+32=14）.记f 1(n )=f (n )，f k+1(n )=f (f k (n ))(k =1,2,⋯)，则f 2007(2007)=（）.A. 20B. 4C. 145D. 423.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，tan A ＝12，cos B ＝10.若△ABC 最长的边为1，则最短边的长为( )A.5 B. 5 C. 5 D. 54.凸四边形ABCD 中，AB =√3，BC=CD=DA=1.设S 、T 分别为△ABD 、△BCD 的面积，则S2+T 2的最大值是（）.A. 87B. 1C. 78 D. 25.直角三角形的三个内角的正弦值成等比.则该三角形的最小角等于（）. A. arcsin √5−12 B. arccos√5−12C. arcsin√5+14D. arccos√5+146.在正2008边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（）. A. 2008 B. 10042C. 10042−1004 D. 10042−1003第II 卷（非选择题）二、解答题的侧棱OA 、OB 、0C 两两垂直，且OA=1，OB=0C=2，E 是OC 的中点.（1）求点O 到面ABC 的距离； （2）求异面直线BE 与AC 所成的角； （3）求二面角E-AB-C 的大小.8.设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对所有自然数n ，都有S n=3n+12−n2a n（1）写出数列{a n }的前三项；（2）求数列{a n }的通项公式（写出推证过程） （3）令b n=1a n−1(n ∈N +)，求数列{b n }的前n 项和. 9.已知抛物线x 2=4y 及定点P (0,8)，A 、B 是抛物线上的两动点，且AP =λPB (λ>0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（1）证明：点M 的纵坐标为定值.（2）是否存在定点Q ，使得无论AB 怎样运动，都有∠AQP =∠BQP ?证明你的结论.10.已知偶函数f (x )=5cosθ⋅sinx −5sin (x −θ)+(4tanθ−3)sinx −5sinθ的最小值为-6.（1）求f (x )的最大值和此时的x 的集合. （2）设函数g (x )=λf (ωx )−f (ωx +π2)(λ>0,ω>0).已知y =g (x )在x =π6处取最小值并且点(2π3,3−3λ)是其图像的一个对称中心，试求λ+ω的最小值.三、填空题11.抛物线x +y +1=0的距离的最小值为________.12.已知方程sinx +√3cosx =M 在π4≤x ≤5π4上有两个不同的解.则M 的取值范围是____.13.设O (0,0)、A (1,0)、B (0,1)，P 是线段AB 上的一个动点，AP→ =λAB→ .若OP → ⋅AB→ ≥PA → ⋅PB→ 则实数λ的取值范围是________.14.已知n 是整数，且方程(n +1)2x 2−5n (n +1)x +(6n 2−n −1)=0(n ≠−1)有两个整数根，则n=________.15.已知O是△ABC的外心，|AB|=2，|AC|=1，∠BAC=2π3.设AB=a，AC=b.若AO=λ1a+λ2b，则λ1+λ2=________.16.设a、b是正实数，则a 3+b3+4(a+1)(b+1)的最小值等于________.参考答案1.D【解析】1. 由252=(7sina +24cosa )2+(7cosa −24sina )2，有7cosa −24sina =0. 故tana =724.选D.2.C【解析】2.将f 1(2007)=53记作2007→53.于是，2007→53→34→25→29→85→89→145→42→20→4→16→37→58→89→⋯从89开始，f n 是周期为8的周期数列.故f 2007(2007)=f 7+8×250(2007)=145. 选C. 3.D【解析】3.由cosB 知B 为锐角，∴tanB ＝13， 故tanC ＝tan (π－A －B )＝－tan (A ＋B )＝－tan tan 1tan tan A BA B+-＝－1，所以∠C ＝135°，故边c 最长，从而c ＝1，又tanA ＞tanB ，故b 边最短，∵sinB ＝10，sinC ＝2，由正弦定理得sin sin b cB C =，所以sin sin c B b C == 本题选择D 选项.4.C【解析】4.如图，设BD=x ，∠DAB=θ，作CE ⊥BD .则√3−1<x <2，E 为BD 的中点.x 2=12+(√3)2−2×1×√3cosθ，CE 2=12−x 24.故S2+T2=34sin2θ+14x2(1−x24)=−x48+3x24−14=−18(x2−3)2+78.当BD=√3时，S2+T2取最大值78.选C.5.A【解析】5.设三边为1、x、x2(0<x<1).则该三角形的最小角的正弦值就是x2.由12=x2+(x2)2，解得x2=√5−12.选A.6.C【解析】6.正2n边形A1A2⋯A2n，对角线共有12×2n(2n−3)=n(2n−3)（条）.计算与一边A1A2平行的对角线条数.因A1A2∥A n+1A n+2，所以，与A1A2平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条.故与某一边平行的对角线共n（n-2）条.由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n−3)−n(n−2)=n(n−1)（条）.选C.7.（1）√63（2）arccos 25（3）arccos7√618【解析】7.（1）如图，以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 则A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z).由n1⊥AB，知n1⋅AB=2x−z=0；由n1⊥AC，知n1⋅AC=2y−z=0.取n1=(1,1,2)，则点O到面ABC的距离为d=|n1⋅OA||n1|=√1+1+4=√63.（2）EB=(2,0,0)−(0,1,0)=(2,−1,0)，AC=(0,2,−1)cos <EB ，AC >=√5⋅√5=−25.故BE 与AC 所成的角为arccos 25. （3）设平面EAB 的法向量为n =(x,y,z ).由n ⊥AB ，知n ⋅AB =2x −z =0； 由n ⊥EB ，知n ⋅EB =2x −y =0.取n=(1,2,2)，则（1）知平面ABC 的法向量为n 1=(1,1,2).则cos<n ，n 1>n⋅n 1|n ||n 1|=9⋅6=36=7√618.结合图形可知，二面角E-AB-C 的大小为arccos 7√618.8.（1）43,1312,3130（2）a n =1+2n (n+1)(n+2)（3）S ′n =n (n+1)(n+2)(n+3)8【解析】8. （1）由题意S n =3n+12−n2a n (a n>0). 当n =1时，S 1=3+12−12a 1=a 1，解得a 1=43. 当n =2时，S 2=6+12−22a 2=a 1+a 2，解得a 2=1312. 当n=3时，S 3=9+12−32a 3=a 1+a 2+a 3，解得a 3=3130. 故该数列的前三项为43,1312,3130. （2）由题意有S n =3n+12−n2a n(n ∈N +). 由此得S n+1=3n+42−n+12a n+1. 因此，a n+1=S n+1−S n =32+n 2a n −n+12a n+1.整理得(n+3)2(a n+1−1)=n2(a n −1). 故(n+3)(n+2)(n+1)2(a n+1−1)=(n+2)(n+1)n2(a n −1)=⋯=(1+2)(1+1)×12(a 1−1)=1.则a n=1+2n (n+1)(n+2). （3）显然，b n =n (n+1)(n+2)2=n (n+1)(n+2)(n+3)8−(n−1)(n+1)(n+2)8.从而，S ′n=n (n+1)(n+2)(n+3)8.9.(1)见解析；（2）存在点Q (0,−8).【解析】9.设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).抛物线方程为y=14x 2，求导得y ′=12x .所以，过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别为y =12x 1(x −x 1)+y 1，y =12x 2(x −x 2)+y 2，即y=12x 1x −14x 12，y =12x 2x −14x 22. 解得M (x 1+x 22,x 1x 24).又由AP =λPB ，得(−x 1,8−y 1)=λ(x 2,y 2−8)，即−x 1=λx 2，①8−y 1=λ(y 2−8).②将式①两边平方并代入y 1=14x 12，y 2=14x 22得y 1=λ2y 2，再代入式②得λy 2=8. 解得y 1=8λ，y 2=8λ，且有x 1x 2=−λx 22=−4λy 2=−32. 所以，点M 的纵坐标为-8. （2）存在点Q (0,−8). 此时，k AQ =y 1+8x 1，k BQ =y 2+8x 2. 故k AQ +k BQ =x 124+8x 1+x 224+8x 2=x 1x 2(x 1+x 2)+32(x 1+x 2)4x 1x2=0 所以，∠AQP=∠BQP .10.(1) f (x )的最大值为0，此时，x 的集合为{x |x =2kπ,k ∈Z }. (2) √3+7【解析】10. 化简得f (x )=5cosx ⋅nθ+(tanθ−3)sinx −5sinθ.因f (x )是偶函数，所以，(4tanθ−3)sinx =0对一切x ∈R 恒成立.则4tanθ−3=0，tanθ=34.故f (x )=5cosx ⋅sinθ−5sinθ=5sinθ(cosx −1)，其最小值为-6，此时，有sinθ=35，cosx =−1.故f (x )=3(cosx −1).因此，f (x )的最大值为0，此时，x 的集合为{x |x =2kπ,k ∈Z }. （2）g (x )=λf (ωx )−f (ωx +π2)=3λcosωx −3λ−3cos (ωx +π2)+3=3λcosωx −3λ+3sinωx +3.由g (x )在x =π6处有最小值，知g (x )的图像关于x =π6对称，有g (−π3)=g (2π3)=3−3λ.故3λcos (−ωπ3)+3sin (−ωπ3)=0，且3λcos 2ωπ3+3sin2ωπ3=0.从而，λ=tan2ωπ3=−tan 2ωπ3=tan (−2ωπ3)=tan (kπ−2ωπ3).则ωπ3=kπ−2ωπ3，即ω=k ∈Z .又ω>0，ω是正整数，所以，ω=3l −2（l 是正整数，）λ=√3. 当ω=1时，g (x )=3√3cosx +3sinx +3−3√3.显然，g (x )在x =π6处有最大值，而不是最小值.矛盾.当ω=4时，g (x )=3√3cos4x +3sin4x +3−3√3.显然，g (x )在x =π6处既不是有最大值，也不是最小值.矛盾.当ω=7时，g (x )=3√3cos7x +3sin7x +3−3√3.显然，g (x )在x=π6处取最小值，且y =g (x )的图像关于点(2π3,3−3√3)中心对称.所以，λ+ω的最小值为√3+7. 11.√24【解析】11. 设点P (b 22,b)到直线x +y +1=0的距离最小.则d =|b 22+b+1|2≥√24.12.(−2,−√6+√22]【解析】12. 原式可变形为sin (x+π3)=M2，利用其图像及对称性可得到方程sinx +√3cosx =M在π4≤x ≤5π4上有两个不同的解时，M 的取值范围是(−2,−√6+√22].13.[1−√22,1]【解析】13.利用图像可设点P(1−λ,λ)(0<λ<1).则OP=(1−λ,λ)，AB=(−1,1)，PA=(λ,−λ)，PB(λ−1,1−λ)，由OP⋅AB≥PA⋅PB，得λ−1+λ≥λ2−λ+λ2−λ.解得1−√22≤λ≤1.故实数λ的取值范围是[1−√22,1].14.0或-2【解析】14.把方程分解为[(n+1)x−(3x+1)][(n+1)x−(2n−1)]=0.求得两根为x1=3n+1n+1=3−2n+1，x2=2n−1n+1=2−3n+1.所以，要使x1为整数，n+1只能为±1，±2；要使x2为整数，n+1只能为±1，±3. 从而，要使x1、x2都是整数，n+1只能为±1，即n=0或-2.15.136【解析】15.建立如图所示的直角坐标系.则A(0,0)、B(2,0)、C(−12,√32).显然，AC的中点为M(−14,√34).可设O(1,y).由OM⊥AC，有OM⋅AC=0，即−54×(−12)+(√34−y)×√32=0.解得y=2√33，AO=(1,2√33).由AO=λ1a+λ2b，得1=2λ1+(−12)λ2且2√33=√32λ2. 解得λ2=43，λ1=56.故λ1+λ2=136.16.32【解析】16.原式=(a3+1+1)+(b3+1+1)+(a3+b3+1)+32(a+1)(b+1)≥3a+3b+3ab+32(a+1)(b+1)=32.。