高三培优 数学

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2018年11月17日青冈一中
求导数中参数范围的常用方法与技巧
一、利用判别式
1、函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，
则a 的取值范围是_______
2、若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1在R 上单调递增，则a 的取值范围是________．
二、利用子集思想
1、已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2(x ∈R)的图象过点P (－1,2)，
且在点P 处的切线恰好与直线x －3y ＝0垂直．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求实数m 的取值范围．
解：(1)∵y ＝f (x )过点P (－1,2)，
且在点P 处的切线恰好与直线x －3y ＝0垂直，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－a ＋b ＝23a －2b ＝－3，∴a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2.
2、设函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R ，
若f(x)在区间(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围．
3、若函数()21ln 12
f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内 不是单调函数， 则实数k 的取值范围_______________
4、若函数f (x )＝－12
x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是______．
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三、利用一元二次方程根的分布
1、已知函数f(x)=ln x+x 2+ax.
若f(x)既有极大值又有极小值,求实数a 的取值范围.
2、设函数)1ln()(2++=x b x x f ，其中0≠b .
如果()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；
四、分离参数法
例3、若f (x )＝－12
x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 例5、设函数()2ln p f x px x x
=--（其中e 是自然对数的底数）， 若()f x 在其定义域内为单调函数，求实数p 的取值范围
练习1、已知函数1()ln ()e
x f x a x a =+∈R ． （Ⅰ）当1e
a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在定义域内不单调，求a 的取值范围．
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例9、已知函数f (x )＝x －1x ＋1
，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]， 存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是______．
例10、已知函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝212
x －2x ．设k ∈Z ， 当x ＞1时，不等式k （x －1）＜xf （x ）＋3()g x '＋4恒成立，求k 的最大值．
五、转化为求最值
1、已知函数()()21ln 12
f x a x x a x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围；
2.已知函数22()=ln ()f x x ax a x a --∈R ．（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
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3.已知函数()3212()32
a f x x x x a R =-+-∈. （Ⅱ）若过点1(0,)3
-可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围.
4. 已知函数mx e x f x +=2)(,其中0≤m .
（Ⅰ）当1-=m 时，求曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式0)(>x f 在定义域内恒成立，求实数m 的取值范围.
5. 设函数()()ln f x x k x =-，（k 为常数），()()x f x
x x g 11-=
．曲线()x f y =在点()()1,1f 处 的切线与x 轴平行.
（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅲ）若a
x g a g 1)()(<
-对任意0>x 恒成立，求实数a 的取值范围．
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六、利用题目己知信息分类讨论
例1、已知函数2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <．
若()0f x ≤在区间[]0,1上恒成立，求a 的取值范围．
练习1、（2018年高考数学（文）（北京卷））
设函数2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ；
（Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围.
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练习2、（2018年高考数学（理）（北京卷））
设函数()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ．
（Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，(1)f ）处的切线与x 轴平行，求a ；
（Ⅱ）若()f x 在x=2处取得极小值，求a 的取值范围．
例2、已知函数()1n f x x =．若11n x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值．
例3、 (2015·北京高考)已知函数f (x )＝ln 1＋x 1－x
. (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
(2)求证：当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33；
(3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立，求k 的最大值．
解：(1)因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，
所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x
，f ′(0)＝2. 又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)证明：令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33，则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2
. 因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0，1)上单调递增．
所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0，1)，
即当x ∈(0，1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33.
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4、设函数R a x ax x x f ∈-=,ln )42()(2.
若对任意0)(),,1[2>-++∞∈a x x f x 恒成立，求实数a 的取值范围.
5、已知函数1()ln f x x x =+.若在],[e 1上至少存在一个0x ，使得0002x e
x f kx >-)(
成立，求实数k 的取值范围.
练习1、已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.
若当x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．
222()()(24)ln [1,)g x f x x a x ax x x a x =+-=-+-∈+∞，
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7、设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R.
(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；
(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求正实数a 的取值范围．
9、设k R ∈，函数()ln f x x kx =-．若()f x 无零点，求实数k 的取值范围．
10、已知函数1ln )(++=x
b x a x f ，曲线()y f x =在点)2,1(处切线平行于x 轴. 当1x >时，不等式x k x x f x ln )()()1(->-恒成立，求实数k 的取值范围.
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10、(2015·新课标全国Ⅱ)已知f(x)＝lnx ＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．
练习2、当0x ≥时，2()10x f x e x ax =---≥恒成立，求a 的取值范围. （二次求导法）
11、（先通过缩小参数范围，再分类讨论）
已知函数f (x )＝13x 3－12
(a ＋2)x 2＋x (a ∈R)，设函数g (x )＝e －e x x (e 为自然对数的底数)， 若对于∀x ＞0，f ′(x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．
练习3（先通过特值压缩，通过缩小参数范围，再分类讨论）
当2x ≥-时，
2()2(1)420x f x ke x x x =+---≥恒成立，求k 的取值范围.
10 12、已知函数()e (ln 1)()x
f x a x a =-+∈R ． （Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数()y f x =在1(,1)2
上有极值，求a 的取值范围．
七、利用一个变量范围限定另一变量范围。