福建省2016届高三上学期第二次月考数学文试卷Word版含答案
福建省市高三月综合质量检测文科数学试题及答
2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测文科数学能力测试 2016.5 （完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1) 集合{}4A x x =∈N ,{}240B x x =-<，则A B = （A ）{}02x x < （B ）{}22x x -<< （C ）{}0,1 （D ）{}2,0,1,2- (2) 复数z 满足(1i)1i z -=+，则z = （A ）12（B ）1 （C （D ）2(3) 已知条件:0p x ，条件1:0q x>，则p ⌝是q 成立的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件(4) 函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是偶函数 （B ）π()3f x +是奇函数 （C ）π()3f x -是偶函数（D ）π()3f x -是奇函数(5) 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm ），所得数据如下茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为,x x 甲乙，标准差分别为,s s 乙甲，则 （A ）,x x s s <>乙甲乙甲 （B ）,x x s s <<乙甲乙甲 （C ）,x x s s >>乙甲乙甲 （D ）,x x s s ><乙甲乙甲(6) 函数12,0,()1ln ,0x x x f x x x -⎧+=⎨-+>⎩的零点个数为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0(7) 在ABC ∆中，90,2C AC ∠=︒=，点M 满足BMMA =，则CM CA ⋅=（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）2(8) 在各项均为正数的等比数列{}na 中，564a a=，则数列{}2log na 的前10项和等于（A ）20 （B ）10 （C ）5（D ）22log 5+(9) 执行右面的程序框图，若输入的n 值为4，则输出的结果为 （A ）8（B ）21 （C ）34（D ）55 (10) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 （A ）10（B ）20 （C ）30（D ）60 (11)过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C 右支交于点A ，若OF OA=，则C 的离心率为 （A ）2（B ）2 （C ）5（D ）5(12)已知a ∈R ，函数321()23f x x ax ax =-++的导函数()f x '在(),1-∞内有最小值．若函数()()f x g x x'=，则（A ）()g x 在()1,+∞上有最大值 （B ）()g x 在()1,+∞上有最小值（C ）()g x 在()1,+∞上为减函数 （D ）()g x 在()1,+∞上为增函数第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． (13) 在平面直角坐标系xOy 中，点2(,3)P m -在抛物线2y mx =的准线上，则实数m = ．(14)若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩则2x y -的最大值等于 ． (15) 已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为12，则该球的表面积为 ． (16) 如图，在ABC ∆中，π,33B AC ==，D 为BC 边上一点．若AB AD =，则ADC ∆的周长的取值范围为． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17) （本小题满分12分）已知数列{}na 的前n 项和为n S ，11,2a =202)nn n nS a S a n -+=≥（．（Ⅰ）求证：数列1nS⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求123111++23n S S S S n++． (18)（本小题满分12分）某媒体为调查喜欢娱乐节目A 是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如下：男性观众 女性观众（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A 与观众性别有关？喜欢节目A 不喜欢节目A总计男性观众女性观众总计 605名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的概率．22()()()()K a b c d a c b d =++++．(19) （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//,AB CD AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===．（Ⅰ）求证：CE AB ⊥；（Ⅱ）若3,4CE AB ==，求三棱锥A PCD -的高． (20) （本小题满分12分）()2P K k0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.841 6.635 10.828附：已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的焦距为，直线()1y k x =-（0k ≠）经过E 的长轴的一个四等分点，且与E 交于,P Q 两点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）记线段PQ 为直径的圆为M ，判断点()2,0A 与M 的位置关系，说明理由． (21) （本小题满分12分）已知a ∈R ，函数()()e 1xf x a x =-+的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0x >时，2()f x mx >，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． (22) （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ． （Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线； （Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值． (23) （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，曲线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ．F(24) （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有实数根，求实数t 的值．2016年福州市普通高中毕业班质量检测文科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）C （2）B （3）C （4）A （5）A （6）B（7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）14（14）32- （15）9π （16）(三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题主要考查na 与nS 的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：因为当2n 时，1nnn a S S -=-， 所以211()0nn n n n n S S S S S S ----+-=． ··································· 1分 所以110n n n n S S S S --+-=, ·············································· 2分 因为11,2a =所以216a =-，所以10n nS S -≠， ························ 3分所以1111n n S S --=． ·················································· 4分所以1nS⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112S =为首项，以1为公差的等差数列． ·· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()1211nn n S =+-=+， 所以11nSn =+. ······················································· 8分 所以1111(1)1n S n n n n n ==-++． (10)分 所以12311111111++1++232231n SS S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭············· 11分 1111nn n =-=++． ·························· 12分（18）本小题主要考查等高条形图、独立性检验、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分． 解：22⨯观众 总计 39 21 60·················· 3分 假设0:H 喜欢娱乐节目A 与观众性别无关，则2K 的观测值()2602415156540=5.934 3.8413921303091k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ·········· 5分所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A 与观众性别有关． ······································································ 6分 （Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A 的人数为524430⨯=，不喜欢节目A 的人数为56=130⨯． 7分被抽取的喜欢娱乐节目A 的4名分别记为,,,a b c d ；不喜欢节目A 的1名记为B ．则从5名中任选2人的所有可能的结果为：{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a B b c b d b B {}{}{},,,,,c d c B d B ，共有10种． ······································································ 9分 其中恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的有{}{}{}{},,,,,,,a B b B c B d B ，共4种． ···································································· 10分所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的观众的概率是：42=105． ······································ 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． （Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示． 因为点E 是PB 中点， 所以//EF AB 且2AB EF =． ··················· 1分又因为//AB CD 且2AB CD =，所以//EF CD 且EF CD =， ··················· 2分所以四边形EFDC 为平行四边形， 所以//CE DF ， ······························ 3分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥． ······························ 4分 所以CE AB ⊥． ······························ 5分 （Ⅱ）解：设点O 为PD 的中点，连结AO ，如图所示，因为3,4EC AB ==，由（Ⅰ）知，3,DF =····················· 6分 又因为4AB =，所以2PD AD ==，所以222222232,AP AF AD DF ==--····························· 7分 所以ADP ∆为正三角形， ········································ 8分 所以AO PD ⊥，且3AO······································· 9分 因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ， 所以CD ⊥平面PAD ． ··········································· 10分 因为AO ⊂平面PAD ， 所以CD AO ⊥， ···················································· 11分 又因为PD CD D =，所以AO ⊥平面PCD ． 所以三棱锥A PCD -3 ······························ 12分（20）本小题考查点与圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.满分12分．解法一：（Ⅰ）依题意得，223,24c a ==， ················· 2分 所以2221b a c =-=， ················································· 3分所以E 的方程为2214x y +=． (4)分（Ⅱ）点A 在M 外．理由如下： ···························· 5分 设()()1122,,,P x y Q x y ，由22(1),44,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=， ······················· 6分所以，22222(8)4(41)(44)48160kk k k ∆=--+-=+>，所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+. ··································· 8分因为()()11222,,2,AP x y AQ x y =-=-，所以AP AQ ⋅()()121222x x y y =--+，2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++22222224(1)(1)8(2)41414k k k k k k k +-+=-++++ ························ 10分2214kk =+． 因为0k ≠，所以0AP AQ ⋅>． 所以点A 在M 外． ············································ 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）点A 在M 外．理由如下： ··························· 5分 设()()1122,,,P x y Q x y ，由22(1),44,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(14)8440kx k x k +-+-=， ······················· 6分所以，22222(8)4(41)(44)48160k k k k ∆=--+-=+>， 所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+. ··································· 8分所以()121222214k y y k x x k -+=+-=+，所以圆心M 坐标为2224,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，12PQ x =-==··············· 9分所以M 的方程为()()()22222222241134141414k k k k x y k k k ++⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+．· 10分 因为()()()()()2222222222222411341420014141414k k k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫-++-=> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++， ··· 11分所以点A 在M 外． ············································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）()e xf x a '=-，依题意，设切点为0(,0)x ， ········· 1分则00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即000e (1)0,e 0,x x a x a ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩解得00,1,x a =⎧⎨=⎩························································· 3分所以()e 1xf x '=-，所以，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．所以，()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为()0,+∞． 5分 （Ⅱ）令2()()g x f x mx =-， 则()e 21xg x mx '=--，令()()h x g x '=，则()e 2xh x m '=-， ··································· 7分 （ⅰ）若12m ，因为当0x >时，e 1x>，所以()0h x '>， 所以()h x 即()g x '在[0,)+∞上单调递增．又因为(0)0g '=，所以当0x >时，()()00g x g ''>=， 从而()g x 在[0,)+∞上单调递增，而(0)0g =，所以()()00g x g >=，即2()f x mx >成立． ············· 9分 （ⅱ）若12m >，令()0h x '=，解得ln(2)0x m =>，当(0,ln(2))x m ∈，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在[0,ln(2))m 上单调递减， 又因为(0)0g '=，所以当(0,ln(2))x m ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在[0,ln(2))m 上单调递减，而(0)0g =，所以当(0,ln(2))x m ∈时，()()00g x g <=，即2()f x mx >不成立． 综上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ························ 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G点，连结GE ，则90BEG ∠=︒,BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠，2分 所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······· 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径， 因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=，所以2222BD DA AF BF -=-． ·················· 7分因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,所以AB AF AE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅,因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅， 所以22AB AC AF BF ⋅=-， 所以226BD DA AB AC -=⋅=． ································ 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=， 即221:40C x y x +-=， ················································ 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ············· 4分 所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ···························· 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=， 所以3C 的方程为221x y +=． ······································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =． 又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································· 10分 （24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得，3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩或3,321,x x x >-⎧⎨+<+⎩ ········································ 2分 解得2x >．依题意2m =． ····················································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t tt tt⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭时取等号， ···························· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根， 所以12t t+．····················································· 8分另一方面，12t t+，所以12t t+=， ····················································· 9分 所以1t =或1t =-． ··············································· 10分。
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。
福建版2016届高三上学期第六次月考 数学文 Word版含答案
第六次月考数学文试题【福建版】第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题所给的四个选项中有且只有一个答案是正确的1、已知集合|}02|{},2,1,0{<-==x x B A ，则=B AA.{0,1}B.{0,2}C.{1,2}D.{0,1,2}2、向量)4,2(),,1(-==m ，若λλ(=为实数），则m 的值为A.2B.-2C.21D.21- 3、函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(2+=x x f ，则=-)1(fA.1B.-1C.2D.-24、若53)sin(),,2(=-∈απππα，则=αtan A.34- B.34 C.-43 D.43 5、若关于y x ,的不等式组 0100≥+-≥+≤y kx y x x ，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为A.1B.2C.3D.46、如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥E C B D 111-的体积等于A.31B.125C.63 D.61 7、过双曲线C ：19422=-y x 的左焦点作倾斜角为6π的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是 A.没有交点 B.只有一个交点C.两个交点都在左支上D.两个交点分别在左、右支上8、已知m ∈R ，“函数12-+=m y x有零点”是“函数x y m log =在（0，+∞）上为减函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于A.34B.41C.25D.15210、已知函数)(x f 的导函数)('x f 的图象如图所示，3)2()1(==-f f ，令)()1()(x f x x g -=，则不等式33)(-≥x x g 的解集是第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2016届福建省三明一中高三上学期第二次月考数学(文)试题(解析版)
2016届福建省三明一中高三上学期第二次月考数学（文）试题一、选择题1．若02sin >α，则（ ）A ．0cos >αB ．0tan >αC ．0sin >αD ．02cos >α 【答案】B【解析】试题分析：因为sin 22sin cos ααα=，所以由02sin >α可得：sin cos 0αα>，而sin tan cos ααα=的符号与sin cos αα的符号相同，所以0tan >α，而此时不能判断sin α、cos α和cos 2α的符号，所以应选B ． 【考点】1、倍角公式；2、三角不等式．2．设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则（ ）A ．[]1,2B ．[)1,2C ．[]0,3D ．(]0,3 【答案】D【解析】试题分析：对于集合2{430}{13}M x x x x x =-+≤=≤≤，对于集合2{log 0}{01}N x x x x =≤=<≤，所以{03}M N x x ⋃=<≤，故应选D ．【考点】1、集合间的基本运算；2、一元二次不等式的解法；3、对数不等式的解法． 3．已知直线l 过点(1,2)且与直线0132=+-y x 垂直，则l 的方程是（ ） A ．0123=-+y x B ．0723=-+y x C ．053-2=+y x D ．083-2=+y x 【答案】B【解析】试题分析：因为直线0132=+-y x 的斜率为23k =，所以直线l 的斜率为32-，又因为直线l 过点(1,2)，所以由点斜式可得直线l 的方程为：32(1)2y x -=--，即0723=-+y x ，故应选B ．【考点】1、直线的方程．4．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）试卷第2页，总14页【答案】B【解析】试题分析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的，即相应的侧视图可以为选项B 所示的图形，故应选B ． 【考点】1、三视图．5．函数)1lg()(2+=x x f 的图象大致是（ ）【答案】A【解析】试题分析：因为函数)1lg()(2+=x x f ，所以22()lg[()1]lg(1)()f x x x f x -=-+=+=，所以函数()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图像关于y 轴对称，所以排除选项C ；又因为20x ≥，所以2lg(1)0x +≥， 所以函数()y f x =的图像在x 轴上方，所以排除,B 而(0)lg10f ==，所以函数()y f x =的图像过原点，所以排除D ，故应选A ．【考点】1、函数的图像；2、函数的基本性质．6．设1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使02190=∠AF F ，且213AF AF =，则椭圆离心率为（ ）A ．45 B ．410 C ．415 D ．5 【答案】B【解析】 试题分析：设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，由椭圆的定义可知：122AF AF a+=，所以222121224AF AF AF AF a ++=，所以123,22a aAF AF ==．若椭圆上存在点A ，使02190=∠AF F ，所以222124AF AF c +=，所以2285c a =，所以4e =，故应选B ．【考点】1、椭圆的标准方程；2、椭圆的定义；3、椭圆的简单几何性质．7．平面向量a 与b 的夹角为︒60，)4,3(=a，1=b ，则b a 2-=（ ）A ．19B ．62C ．34D ．39 【答案】A【解析】试题分析：因为222220124444c o s 62a b a b a b a b a b -=+-⋅=+-⋅r r r r rr rr r r，所以2a b -=r rA ．【考点】1、平面向量的数量积的运算．8．已知函数x x x x f sin )cos (sin )(+=，则下列说法正确的为（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的最大值为C ．()f x 的图象关于直线D ．将()f x 的图象向右平移 【答案】C 【解析】试题分析：由倍角公式可得：21cos 21()(sin cos )sin sin sin cos sin 222x f x x x x x x x x -=+=+=+1)42x π=-+，所以其最小正周期为22T ππ==，即选项A 是不正确的；所试卷第4页，总14页以其函数()f x 的最大值为122+，即选项B 是不正确的；因为12(s i n (84422f πππ---=-，所以()fx 的图C 是正确的；将()f x的图象向右平移得到函数11sin[2())sin(2)cos(2)28422222y x x x πππ=--+-=-=-，该函数为偶函数，所以选项D 是不正确的，故应选C ．【考点】1、三角函数的恒等变换；2、三角函数的图像及其性质；3、三角函数的图像变换．9．已知双曲线的一个焦点与抛物线y x 242=的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为60，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．127922=-y x B ．127922=-x y C ．192722=-x y D ．192722=-y x 【答案】C【解析】试题分析：因为抛物线线y x 242=的焦点坐标为(0,6)，所以所求双曲线的一个焦点坐标为(0,6)，即焦点在y 轴上，且6c =，所以排除,A D ；于是设所求的双曲线的方程为22221y x a b-=，则其渐近线方程为ay x b =±，而其一条渐近线的倾斜角为60，所以0tan 60a b=，即a =，又因为222c a b =+，所以2227,9a b ==，所以所求的双曲线的方程为192722=-x y ，故应选C ． 【考点】1抛物线的定义；2、双曲线的定义；3、双曲线的简单几何性质．10．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥730ay x x y x ，若目标函数y x z +=的最大值为14，则a值为（ ）A ．1B ．21或31 C ．21 D ．31 【答案】C【解析】试题分析：首先根据已知约束条件画出其所表示的平面区域，如下图所示，然后由目标函数y x z +=的最大值为14，此时目标函数经过点7(0,)A a ，所以7140a =+，所以12a =，故应选C ．【考点】1、简单的线性规划问题．11．奇函数)(x f 的定义域为R ．若)2(+x f 为偶函数，且1)1(=f ，则=+)8()5(f f （ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1 【答案】B ．【解析】试题分析：因为)2(+x f 为偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称，所以(2)(2)f x f x +=-，于是，令1x =，则(3)(1)1f f ==；令3x =，则(5)(1)(1)1f f f =-=-=-；令6x =，则 (8)(4)(4)(0)0f f f f =-=-=-=，所以(5)(8)1f f +=-，故应选B ．【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的对称性．【思路点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的对称性，属中档题．其解题的一般思路为：首先由)2(+x f 为偶函数可得出，()f x 关于直线2x =对称，即可得出(2)(2)f x f x +=-，然后运用赋值法分别令1,3,6x x x ===可分别求出(5),(8)f f 值，进而得出所求的值．其解题的关键是灵活运用赋值法求出(5),(8)f f 的值． 12．数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前44项和为（ ） A ．990 B ．870 C ．640 D ．615【答案】A ．【解析】试题分析：令1a a =，则由1(1)21nn n a a n ++-=-可得：234561,2,7,,9a a a a a a a a a a =+=-=-==+，试卷第6页，总14页789102,15,,17a a a a a a a a =-=-==+，11122,24a a a a =-=-，……，所以135********()()()()22221122a a a a a a a a ++++++++=+++=⨯=L L ，所以2610421(1)(9)(81)11(1)11108451112a a a a a a a a a++++=++++++=++⨯⨯⨯=+L L ，所以481244(7)(15)(87)51711a a a a a a a a ++++=-+-++-=-L L ，即有前44项和为22451151711990a a +++-=，故应选A ．【考点】1、由数列的递推公式求其数列的和；2、等差数列的前n 项和．【思路点睛】本题主要考查了由数列的递推公式求其数列的和，等差数列的前n 项和公式的应用，考查学生运算能力和勇于创新能力，属高档题．其解题的一般思路为：首先由已知的递推关系式可计算出该数列的前几项，进而得到相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，最后由等差数列的求和公式计算即可得到所求的值．二、填空题13．过点（1，0）且与直线1-=x 相切的圆的圆心轨迹是 ． 【答案】抛物线24y x =．【解析】试题分析：设动圆的圆心为(,)M x y ，则由圆M 过点（1，0）且与直线1-=x 相切可得：点M 到点（1，0）的距离等于点M 到直线1-=x 的距离．由抛物线的定义可知，点M 的轨迹方程为以点（1，0）为焦点，直线1-=x 为准线的抛物线．设所求抛物线的方程为：22(0)y px p =>，则12p=，所以点M 的轨迹方程为24y x =，故应填抛物线24y x =． 【考点】1、抛物线的定义．14．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为1的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，2=AC ，则此三棱锥的体积为 ．1．【解析】试题分析：如下图所示，因为SO ⊥底面ABC ，所以SO AB ⊥，又因为1OC OS OA OB ====，所以SA SB SC ===所以,SAC SBC ∆∆为正三角形，所以112ABC S ∆=，242SAB SBC S S ∆∆==⨯=，所以该三棱锥的表面积为1122++=，1．【考点】1、球的内接体；2、球的有关计算．15．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =，135ADB ο∠=，AB AC 3=，则BD = ．【答案】295+．【解析】试题分析：在ABC ∆中，应用余弦定理可得：22202cos135AB BD AD AD BD =+-⋅，22202cos45AC CD AD AD CD =+-⋅，即2222AB BD BD =++，2222AC CD CD =+-，又因为3B C B D =，所以2C D B D =，所以22424AC BD BD =+-，又因为AB AC 3=，所以2223366A C A B B D B D ==++，所以22366424BD BD BD BD ++=+-，即21040B D B D --=，所以5BD =295+．【考点】1、余弦定理的应用．【思路点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先利用余弦定理可分别表示出,AB AC ，然后把已知条件代入并整理可根据3BC BD =推断出2CD BD =，进而整理得到等式22424AC BD BD =+-，再把AB AC 3=代入并整理，最后联立方程组即可解出BD 的长度．16．若定义在R 上的函数满足()()()/1,04f x f x f +>=，则不等式()31xf x e>+的解集为 ． 【答案】()∞+,0．【解析】试题分析：不等式()31x f x e >+可化为()3x x e f x e ->，设()(),x x g x e f x e x R=-∈，则()()'''()()[()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x =+-=+-，试卷第8页，总14页因为()()()/1,04f x f x f +>=，所以'()0g x >，所以()(),x x g x e f x e x R =-∈在定义域上单调递增，因为()3x x e f x e ->，所以()3g x >，又因为00(0)(0)3g e f e =-=，所以()(0)g x g >，所以0x >，所以原不等式的解集为()∞+,0，故应填()∞+,0．【考点】1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、利用函数的单调性解不等式．【思路点睛】本题主要考查了不等式的解集，涉及导数在研究函数的单调性中的应用和函数的基本性质以及构造法在研究函数的性质中的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先将不等式()31x f x e >+可化为()3x x e f x e ->，然后构造函数()(),x x g x e f x e x R =-∈，并运用导数法判断其在定义域上的单调性，进而可得所求的不等式的解集．三、解答题17．根据所给条件求直线的方程：（Ⅰ）直线过点（4，0），倾斜角的余弦值为10； （Ⅱ）直线过点（5，1），且到原点的距离为5．【答案】（Ⅰ）3120x y --=；（Ⅱ）50x -=或065512=-+y x ．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先设出所求直线的倾斜角为θ，然后由已知条件并运用直线的斜率公式可求出其斜率，进而由点斜式可得出其所求的直线方程；（Ⅱ）分直线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，然后由点到直线的距离公式可求出所求的直线的方程即可得出所求的结果． 试题解析：（Ⅰ）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为θ，则cos )θθπ=<<，从而sin θ=，则tan 3k θ==．故所求直线方程为3(4)y x =-．即3120x y --=．（Ⅱ）当斜率不存在时，所求直线方程为50x -=；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为1(5)y k x -=-，即150kx y k -+-=．由点到直线距离公式，得51512=+-k k ，解得k ＝512-．故所求直线方程为065512),5(5121=-+--=-y x x y 即．综上知，所求直线方程为50x -=或065512=-+y x ．【考点】1、直线的方程；2、直线与直线的位置关系．18．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程024102=+-x x 的根．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n n a 的前n 项和． 【答案】（Ⅰ）2+=n a n ．（Ⅱ） 1422n n n S ++=-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先解出一元二次方程的两个根，即可得出2a ，4a 的值，然后由等差数列的通项公式即可列出方程组，进而得出1a ，d 的值，最后得出所求的数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所求数列的通项公式是一个等比数列与一个等差数列的乘积形式，其前n 项和的求法是采用错位相减法，即可得出所求的结果．试题解析：（Ⅰ）方程024102=+-x x 的两根为4，6，由题意得42=a ，64=a ，设数列{}n a 的公差为 d ，，则d a a 264=-，故d =1，从而31=a ，K]所以{}n a 的通项公式为：2+=n a n ．（Ⅱ）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n n a 的前n 项和为n S ，由（Ⅰ）知11222+++=n n n n a ，则：23413451222222n n n n n S +++=+++++ 34512134512222222n n n n n S ++++=+++++ 两式相减得：21543222121212143S 21+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=n n n n 2122211)2118143+-+---+=n n n （112122214143++⋅+--+=n n n 121)221(1+++-=n n 121241+⋅+-=n n ， 所以1422n n n S ++=-．【考点】1、等差数列；2、错位相减法求和．【方法点睛】本题主要考查了等差数列和错位相减法求和，考查学生运用知识的能力和计算能力，属中档题．对于第一问求等差数列的通项公式的求法是：直接由等差数列的通项公式即可列出方程组，解出首项1a 和公差d 的值即可得出其通项公式；对于第二问针对数列的通项公式是一个等比数列与一个等差数列的乘积形式，一般采用错位相减法对其进行求解． 19．如图所示，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中CD //AB ，AD AB ⊥，侧棱ABCD PA 底面⊥，且112AD DC PA AB ====．试卷第10页，总14页（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设点M 为PB 中点，求四面体PAC M -的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）6112131=⨯⨯==--PAM C PAC M V V ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先作出辅助线即过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，然后由已知条件可得四边形ADCE 是正方形，再结合已知条件中边长的关系可计算出,BC AC 长度，并由勾股定理可得出AC BC ⊥，最后由线面垂直的判定定理即可得出所证明的结果；（Ⅱ）首先运用等体积转化将所求的三棱锥的体积转化为C PAM V -，然后结合（Ⅰ）中的结论可得CE PAB ⊥面，即三棱锥的C PAM -高，最后运用三棱锥的体积计算公式即可得出所求的结果． 试题解析：（Ⅰ）证明：过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，又已知在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，CD ∥AB ，AD DC =，∴四边形ADCE 是正方形．∵1==DC AD ，∴ 2=AC [又1===CE AE BE ．∴2=BC ．2=AB ∴ 222AB BC AC =+．∴ AC BC ⊥．又∵ABCD PA 底面⊥，BC PA ⊥∴A PA AC =⋂，∴ BC ⊥平面PAC ．（Ⅱ）∵ABCD PA 底面⊥，∴CE PA ⊥，又AB CE ⊥ A AB PA =⋂PAB CE 面⊥∴所以CE 为三棱锥PAM -C 的高， ABCD PA 底面⊥，AB PA ⊥∴，又M 为PBDME BAPCM中点，所以点M 到直线PA 的距离等于121=AB ，又1=PA ∴211121=⨯⨯=∆PAM S ，又1=CE ， ∴6112131=⨯⨯==--PAMC PAC M V V ． 【考点】1、线面垂直的判定定理；2、空间几何体的体积计算．【方法点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和空间几何体的体积求法，属中档题．对于线面垂直的证明的一般思路为：第一步按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步找到关键的直线或平面；第三步得出结论．对于第二问求空间几何体的体积的关键是合理地运用等体积转化法将所求的三棱锥的体积转化为可求的三棱锥的体积．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的焦点为21,F F ，点()12P ，在C 上，且x PF ⊥2轴．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ） 若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，原点O 在以AB 为直径的圆外，求m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）12422=+y x ；（Ⅱ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6,362362,6．． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先直接由已知条件可列出方程组，然后联立方程组即可得出椭圆中,,a b c 的值，进而得出所求的椭圆的方程；（Ⅱ）首先设出点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ，然后联立直线y x m =+与椭圆C 的方程，消去y 并整理得到关于x 的一元二次方程，由判别式0∆>可得m 的取值范围，以及由韦达定理可得由3421mx x -=+，342221-=m x x ，于是由原点O 在以AB 为直径的圆外可得422AB OH >，进而可得出所求的m 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知得2=c ，222=-∴b a ①又点()12P，在椭圆C 上 ，11222=+∴b a ② 联立① ②可得⎩⎨⎧==22b a ，故所求椭圆C 的方程为12422=+y x ． （Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12422y x mx y 得试卷第12页，总14页0424322=-++m mx x由0488)42(1216222>+-=--=∆m m m 得66<<-m ，3421mx x -=+，342221-=m x x ．又3222121m m x x y y =++=+，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴3,32H m m ，所以959942222m m m OH=+=．又18488)3168916)(11(41422222+-=--+=m m m AB ，依题意有422AB OH >，所以184889522+->m m ，解得382>m ，即362-<m 或362>m ，故m 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6,362362,6． 【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系．21．设函数)()(b ax e x f x +=．若曲线在点))0(,0(f P 处的切线方程为24+=x y ． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）设24)(2++=x x x g ，若x ≥－2时，)()(x g x kf ≥，求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）⎩⎨⎧==22b a ;（Ⅱ）[]21e ，．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求出函数()f x 的导函数，然后由导数的几何意义可得2)0(=f 和4)0('=f ，于是得出方程组，解出该方程组即可得出所求的a 、b 的值；（Ⅱ）首先构造函数)()()(x g x kf x F -=，然后求出其导函数，由已知条件可得出k 的取值范围，于是对k 分三类进行讨论：21e k <≤，2e k =，2e k >，分别求出函数()F x 的单调区间和最值，进而得出k 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知得2)0(=f ，4)0('=f ，而)()('a b ax e x f x++=，所以有⎩⎨⎧=+=42a b b 从而⎩⎨⎧==22b a ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1(2)(+=x ke x f x ，设函数)()()(x g x kf x F -=24)1(22---+=x x x ke x ，42)2(2)('--+=x x ke x F x )2)(12+-=x ke x （，由题设可得0)0(≥F ，即1≥k ，令0)('=x F 得k x ln 1-=，22-=x ．若21e k <≤，则021≤<-x ．从而当),2(1x x -∈时，0)('<x F ；当),(1+∞∈x x 时， 0)('>x F ，即)(x F 在),2(1x -单调递减，在),(1+∞x 单调递增．故)(x F 在[)∞+-,2的最小值为)(1x F ．而24)1(2)(121111---+=x x x ke x F x 24221211---+=x x x 1212x x --=0211≥+-=）（x x ，故当x ≥－2时，0)(≥x F ，即)()(x g x kf ≥恒成立． （ii ）若2e k =，则)2)(12)('2+-=x e e x F x （)2)(222+-=-x e e e x （从而当x >－2时，0)('>x F ，即)(x F 在),2(+∞-单调递增．而0)2(=-F ，故当x ≥－2时，0)(≥x F ，即)()(x g x kf ≥恒成立．（iii ）若2e k >，则22)2(2+-=--ke F 0)(222<--=-e k e ，从而当x ≥－2时，)()(x g x kf ≥不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[]21e ，．【考点】1、导数的几何意义；2、导数在研究函数的单调性；3、导数在研究函数的极值中的应用．22．已知圆C 的参数方程是ααα(sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+=y x 为参数）． （Ⅰ）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设直线l 和圆C 的交点为,M N ，求CMN ∆的面积．【答案】（Ⅰ）04sin 4cos 22=+--θρθρρ；（Ⅱ）2121=⋅CN CM ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）直接由已知圆C 的参数方程消去参数α即可得出圆C 的直角坐标方程，运用极坐标与直角坐标转化公式即可得出圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）首先把4πθ=代入圆C 的极坐标方程中，可计算出12ρρ，，进而得出12MN ρρ=-的长度，从而得出所求CMN ∆的面积．试题解析：（Ⅰ）由⎩⎨⎧+=+=ααs i n2c o s1y x 得1)2()122=-+-y x （，即试卷第14页，总14页044222=+--+y x y x04sin 4cos 22=+--∴θρθρρ，即圆C的极坐标方程是04sin 4cos 22=+--θρθρρ．（Ⅱ）把4πθ=代入04sin 4cos 22=+--θρθρρ中得04232=+-ρρ，求得22221==ρρ，221=-=∴ρρMN ，由于圆C 的半径为1，故CN CM ⊥，∴CMN ∆ 的面积为2121=⋅CN CM ． 【考点】1、参数方程；2、极坐标系．。
福建省高三上学期第二次月考试卷(全科9份 Word版含答
第二次月考数学理试题【福建版】（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列四个函数中,与表示同一函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（ ） A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数 3．已知集合，，若，则的取值范围是（ )A ．B ．C ．D ． 4．设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则（ ）A ．c>b>aB ．b>c>aC ．a>c>bD ．a>b>c 5．定义在上的奇函数满足，当时，，则f (2015)=（ ）A ．B ．C ．D ． 6．函数y ＝ln1|2x －3|的图像为( )7．方程的实根所在区间为( )A ． B. C. D. 8． “” 是“函数在区间上为增函数”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．给出下列命题：①在区间上，函数, , ,中有三个是增函数； ②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称； ④若函数，则方程有个实数根。
其中假命题．．．的个数为 （ ） A ． B ． C ． D ．10. 已知定义域为R 的函数满足，当时，单调递增，如果且，则的值 （ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．可正可负也可能为0二、填空题：(本大题5小题，每小题4分，共20分。
把答案填在答题卡相应位置). 11．函数的图象必经过定点____________. 12．是幂函数，则 ； 13．已知函数2log ,0,()2,0.xx x f x x >⎧=⎨≤⎩ 若，则_________．14．已知.若函数f (x )在区间（-∞，1－）上是增函数，则实数m 的取值范围为 .15．对于函数与和区间D ，如果存在唯一，使，则称函数与在区间D 上的“友好函数”．现给出两个函数： ①，； ②，； ③，； ④，，则函数与在区间上为“友好函数”的是 。
福建省2016届高三上学期第三次月考 数学文
数学（文）试题（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则Q P ⋂= （ ） A ．{|12}x x -<< B ．{|31}x x -<<- C ．{|14}x x <<- D ．{|21}x x -<< 2.已知复数2)1(24i iz +-=，则z =（ ） A. 1B. C. 2 D.53．已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（ ）A ．4B ．14 C ．-4 D ．-144．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ．120C ．168D ．1925．已知向量(2,3)a = ，(1,2)b =-，若ma b + 与2a b - 平行，则实数m 等于（ ）A ．12-B ．14 CD6．已知,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是( )A ．32-B ．32C ．-3D ． 37．在ABC ∆中，151060a b A ===︒，，，则cos B =( ) A ．33 B ．﹣33 CD8．已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π)=41 ,那么tan(α+4π)为 ( )A ．1813B ．2313C ．237 D ．183 9．平面向量a b与的夹角为602=0),||1,|2|a b a b =+= 则（ ）AB．C ．4D ．1210. 函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是（ ）A (),2-∞B （0，3）C （1，4）D ()2,+∞ 11．“1a =”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12.已知等比数列{}n a 满足0>n a ，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，1223212l o g l o g l o g -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n a a a =（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2n D. 2(1)n - 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13．已知x R ∈，i 是虚数单位，若i i x i 34))(21(-=+-，则x 的值等于 14．设1=x 与2=x 是函数x bx x a x f ++=2ln )(的两个极值点，则常数a =_______ 15．若命题“0932,2≥+-∈∀ax x R x ”为真命题，则实数a 的取值范围是___________. 16．定义行列式运算1234a a a a =1423a a a a -.将函数sin ()cos xf x x=的图象向左平移n （0n >）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为__________三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差2=d ，前n 项和为n S ． （1）若31,,2a a 成等比数列，求1a ； （2）若928a a S >，求1a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a . (1) 若4=b , 求A sin 的值;(2) 若△ABC 的面积,4=∆ABC S 求c b ,的值.19. (本小题满分12分)已知向量)1,cos 2(-=x ，R x x x b ∈=),2cos ,sin 3(,设函数b a x f ⋅=)(。
【2016年高考数学】2016届高三数学【理】上学期第二次月考试题(含答案)_7823
第二次月考数学理试题【山东版】注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150 分，考试时间为120 分钟．2．禁止使用计算器．3．答卷之前将姓名、班级等信息填写在答题卡与答题纸的相应位置.4．答卷必须使用黑色0.5 毫米中性笔，使用其它类笔不给分．画图题可先用铅笔轻轻画出，确定答案后，用中性笔重描．禁止使用透明胶带，涂改液，修正带．5．选择题填涂在答题卡上，填空题的答案抄写在答题纸纸上．解答题必须写出详细的解题步骤，必须写在答题纸相应位置，否则不予计分．第Ⅰ卷（选择题共50 分）一、选择题：每小题 5 分，共10 题，50 分．1．已知集合A＝{0,1, 2,3} ，集合 B { x N || x | 2} ，则 A B =（）A．{ 3 } B．{0 ，1，2} C．{ 1 ，2} D．{0 ，1，2，3}2．若f (x ) 3，则0 limh 0f (x h) f (x h)0 0h（）A． 3 B ． 6 C ．9 D ．122 x3．函数f ( x) ln( x ) 的定义域为（）A. (0 ,1)B. [ 0,1]C. ( ,0) (1, )D. ( ,0] [1, )4．已知函数|x| 2 x a Rf (x) 5 ，g(x) ax ( ) ，若 f [g (1)] 1，则a （）A.1B. 2C. 3D. -13 x25．已知 f ( x), g( x) 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 f (x) g(x) x 1，则f (1)g (1) （）A. 3B. 1C. 1D. 36．已知集合 A ={2 ，0，1，4} ，B ={ k | k R ，k2 2 A，k 2 A} ，则集合 B 中所有元素之和为（）A．2 B ．-2 C ．0 D ． 27．曲线x 1y xe 在点（1,1 ）处切线的斜率等于（）A．2e B ．e C ．2 D ． 18．若12f (x) x 2 f ( x )dx, 则1f ( x) dx （）A. 1B. 13C.13D.19．下列四个图中，函数y= 101n x 1x 1的图象可能是（）A B C D3 210．如图所示的是函数 f (x) x bx cx d 的大致图象，则2 2x1 x 等于（）2A．23B．43C．83D．163第Ⅱ卷（非选择题共100 分）二、填空题：每小题 5 分，共 5 题，25 分．t11．物体运动方程为S 2 3，则t 2 时瞬时速度为12．已知 f (x) =2lg( a)1 x是奇函数，则实数a的值是13．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为a，拱高为b ，其面积为____________．14．不等式 6 ( 2) ( 2)3 2x x x x 的解集为____________．x15．已知 f (x) 为R 上增函数，且对任意x R，都有 f f (x) 3 4，则 f (2)____________．三、解答题：共 6 小题，75 分．写出必要文字说明、证明过程及演算步骤.16．(本小题满分12 分)已知函数 f (x) 的定义域为( 2, 2) ，函数g(x) f (x1) f (3 2x)（Ⅰ）求函数g( x) 的定义域；（Ⅱ）若 f (x) 是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x) 0的解集.17．(本小题满分12 分)已知曲线 3 2y x x 在点P 处的切线l1 平行直线4x y 1 0 ，且点P0 在第三象限. 0（Ⅰ）求P的坐标；（Ⅱ）若直线l l , 且l 也过切点P0 , 求直线l 的方程.118．（本小题满分12 分）若实数x 满足f (x0) x0，则称x x0 为f (x) 的不动点．已知函数03f ( x) x bx 3，其中b 为常数．（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调递增区间；（Ⅱ）若存在一个实数x，使得x x0 既是 f (x) 的不动点，又是 f (x) 的极值点．求实数 b 的值；19．（本小题满分12 分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x（千米/ 小时）的函数解析式可以表示为：1 33y x x 8 (0 x 120)128000 80已知甲、乙两地相距100 千米（Ⅰ）当汽车以40 千米/ 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20．(本小题满分13 分)已知函数f ( x) ln x (x 0), 函数( ) 1 ( )( 0)g x af x xf (x)（Ⅰ）当x 0 时, 求函数y g(x) 的表达式;（Ⅱ）若 a 0 , 函数y g(x) 在(0, ) 上的最小值是 2 , 求a的值;（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下, 求直线2 7y x 与函数y g(x) 的图象所围成图形的面积.3 621．（本小题满分14 分）2 mx设关于x的方程 1 0x 有两个实根, , ，函数2x m f x 。
【K12教育学习资料】福建省莆田二十五中2016届高三数学上学期第二次月考试卷 文(含解析)
2015-2016学年福建省莆田二十五中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C．D．5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α6．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30° B．45° C．60° D．75°7．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm38．已知数列{a n}的前n项和，则a n=（）A．B．C．D．9．若点P（x，y）满足线性约束条件，点，O为坐标原点，则•的最大值为（）A．0 B．3 C．﹣6 D．610．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．212．设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．14．当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是．15．若数列{a n}满足，则a n= ．16．f′（x）为定义在R上的函数f（x）的导函数，而y=3f'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的单调递增区间是．三、解答题（本大题共6题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求b，c．18．如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面都是正方形，D为底边AB中点，E为侧棱CC1中点，AB1与A1B交于点O．（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：平面AB1C⊥平面A1EB．19．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E 是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．四、（本小题满分10分）选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）【选修4-2：坐标系与参数方程】22．已知直线n的极坐标是pcos（θ+）=4，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．（2015•包头一模）设函数f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|（1）若a≥2，x∈R，证明：f（x）≥3；（2）若f（1）＜2，求a的取值范围．2015-2016学年福建省莆田二十五中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合C U A，再计算（C U A）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．【点评】本题主要考查了集合间的交，补混合运算，较为简单．2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数为a+bi （a、b∈R）的形式，可以确定z对应的点位于的象限．【解答】解：复数=故选C．【点评】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题．3．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．【解答】解：当a=﹣2时，l1：2x+y﹣3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=﹣2，或a=1，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．4．设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角；单位向量．【专题】计算题．【分析】设与的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得•=﹣，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵|+|=1，∴（+）2=2+2•+2=1…（*）∵向量、均为单位向量，可得||=||=1∴代入（*）式，得1+2•+1=1=1，所以•=﹣根据向量数量积的定义，得||•||cosθ=﹣∴cosθ=﹣，结合θ∈[0，π]，得θ=故选C【点评】本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题．5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，γ与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β；在D中，n∥α或n⊂α．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故A错误；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故B错误；若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β，故C 正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积确定C的大小，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．7．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是4，3；高是3；其几何体的体积为：V=3×=90（cm3）．故选：B．【点评】本题考查三视图还原几何体，几何体的体积的求法，容易题．8．已知数列{a n}的前n项和，则a n=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知，结合递推公式可得，a n=S n﹣S n﹣1=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1（n＞1），即=，利用迭代法能求出an．【解答】解：∵S n=n2a n当n＞1时，S n﹣1=（n﹣1）2a n﹣1∴a n=S n﹣S n﹣1=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1（n2﹣1）a n=（n﹣1）2a n﹣1即=，∴a n=a1••…•=1××××…×==．故选B．【点评】本题主要考查由数列的递推公式a n=S n﹣S n﹣1求把和的递推转化为项的递推，及由即=，利用迭代法求解数列的通项公式，求解中要注意抵消后剩余的项是：分子，分母各剩余两项．9．若点P（x，y）满足线性约束条件，点，O为坐标原点，则•的最大值为（）A．0 B．3 C．﹣6 D．6【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设z=•，根据数量积的公式计算出z，作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．【解答】解：设z=•，则z=3x+y，即y=﹣x+，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+=3+3=6，故•的最大值为6，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据数量积的公式将条件化简，以及利用数形结合是解决本题的关键．10．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．2【考点】点到直线的距离公式．【专题】转化思想；导数的综合应用．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x ﹣2的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx，得y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，∴点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故选：C．【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想方法，是中档题．12．设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】转化函数的零点为方程的根，利用数形结合，推出3个零点满足的情况，利用函数的导数求出切线的斜率，推出结果即可．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，就是g（x）=f（x）﹣ax=0在区间（0，4）上有三个根，也就是f（x）=ax的根有3个，即两个函数y=f（x）与y=ax图象在区间（0，4）上的交点个数为3个．如图：由题意以及函数的图象可知函数有3个零点，直线y=ax过A，与l之间时，满足题意．A（4，lg4），k OA=．设l与y=lgx的切点为（t，f（t）），可得y′=，切线的斜率为： ==，即lgt=lge，t=e．可得切线l的斜率为：，a∈．故选：B．【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合转化思想的应用，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为﹣2 ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=，f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．14．当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是9 ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质、指数的运算法则即可得出．【解答】解：∵点（x，y）在直线x+3y=2上移动，∴x+3y=2，∴z=3x+27y+3≥+3=+3=+3=9，当且仅当x=3y=1时取等号．其最小值是9．故答案为：9．【点评】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算法则，属于基础题．15．若数列{a n}满足，则a n= ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件通过n=1与n＞1利用作商法求解即可．【解答】解：n=1时，a1=6，n≥2时，，…①=n2+n…②，可得=．a n=，故答案为：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，值域数列的首项，是易错点．16．f′（x）为定义在R上的函数f（x）的导函数，而y=3f'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的单调递增区间是（﹣∞，3] ．【考点】函数的图象．【专题】应用题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意知，欲求函数的增区间，由图象确定出函数导数为非负的区间就可以了，由于y=3f'（x）是一个指数型的函数，当指数大于0时函数值大于1，故由图象找出函数图象在直线y=1上面的那一部分的自变量的集合即为所求【解答】解：由题意如图f'（x）≥0的区间是（﹣∞，3），故函数y=f（x）的增区间（﹣∞，3），故答案为：（﹣∞，3]．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，由于函数的导数是指数型函数的指数，故可以借助指数函数的图象观察出导数非负的区间，此即为函数的递增区间．三、解答题（本大题共6题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求b，c．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；解三角形．【分析】（I）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，再由余弦定理求出cosA，从而确定A 的大小；（II）利用三角形的面积公式S=bcsinA得bc=16；再由余弦定理得b2+c2+bc=48，联立求出b、c．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得4bccosA=﹣2bc，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵sinA=，cosA=﹣，∴，a2=b2+c2﹣2bccosA⇔b2+c2+bc=48，⇒b=c=4，故b=4，c=4．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，结合题设条件，利用余弦定理求出角A的大小是解答本题的关键．18．如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面都是正方形，D为底边AB中点，E为侧棱CC1中点，AB1与A1B交于点O．（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：平面AB1C⊥平面A1EB．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）说明三棱柱为正三棱柱，连结OD，证明CD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明CD∥平面A1EB．（Ⅱ）证明AB1⊥平面A1EB，通过平面与平面垂直的判定定理证明平面A1EB⊥平面AB1C．【解答】证明：（Ⅰ）∵棱柱的每个侧面为正方形，∴⇒AA1⊥底面ABC，∴三棱柱为正三棱柱，连结OD，∵D为AB中点，O为对面线AB1，A1B交点，∴OD∥BB1，又E为CC1中点，∴EC∥BB1，OD∥EC，∴DCEO为平行四边形，CD∥EO，又CD⊄平面A1EB，EO⊂平面A1EB，∴CD∥平面A1EB．（Ⅱ）∵AB=AC=CB，∴CD⊥AB，又直棱柱侧面ABB1A1⊥底面ABC，∴CD⊥平面ABB1A1，CD⊥AB1，由（Ⅰ）CD∥EO，∴EO⊥AB1，又正方形中，A1B⊥AB1，EO∩A1B=O，EO、A1B⊂平面A1EB，∴AB1⊥平面A1EB，又AB1⊂平面AB1C，∴平面A1EB⊥平面AB1C．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力、逻辑推理能力．19．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）设数列{a n}的公差为d，由于a1+a7=﹣9，S9=﹣，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；（Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得S n=，于是b n=﹣=﹣，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明．【解答】（Ⅰ）解：设数列{a n}的公差为d，∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵S n==，∴b n==﹣=﹣，∴数列{b n}的前n项和为T n=﹣+…+==．∴T n＞﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E 是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．【考点】直线与平面平行的判定；棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）利用四棱锥的体积计算公式即可；（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（3）利用线面垂直的判定和性质即可证明．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA为此四棱锥底面上的高．∴V四棱锥P﹣ABCD==．（2）连接AC交BD于O，连接OE．∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，又∵AE=EP，∴OE∥PC．又∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE．∴PC∥平面BDE．（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵CE⊂平面PAC．∴BD⊥CE．【点评】熟练掌握线面平行、垂直的判定和性质定理及四棱锥的体积计算公式是解题的关键．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…（4分）令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分）（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分）当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…（11分）综上，a≥e﹣1…（12分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．四、（本小题满分10分）选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）【选修4-2：坐标系与参数方程】22．已知直线n的极坐标是pcos（θ+）=4，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）由ρcos（θ+）=4，展开为=4，利用即可得出；（2）圆A的（θ是参数）化为普通方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=2，圆心（1，﹣1），半径r=．利用点到直线的距离公式可得；圆心到直线n的距离d．即可得出圆A上的点到直线n上点距离的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）由ρcos（θ+）=4，展开为=4，化为x﹣y﹣8=0；（2）圆A的（θ是参数）化为普通方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=2，圆心（1，﹣1），半径r=．∴圆心到直线n的距离d==3．∴圆A上的点到直线n上点距离的最小值=d﹣r=2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】23．（2015•包头一模）设函数f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|（1）若a≥2，x∈R，证明：f（x）≥3；（2）若f（1）＜2，求a的取值范围．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【专题】综合题；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用绝对值不等式，即可证明结论；（2）分类讨论，利用f（1）＜2，求a的取值范围．【解答】（1）证明：f（x）=|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|（x﹣1+a）﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|∵a≥2，∴|2a﹣1|≥3，∴f（x）≥3；（2）解：f（1）=|a|+|1﹣a|a≤0时，f（1）=|a|+|1﹣a|=1﹣2a∵f（1）＜2，∴1﹣2a＜2，∴a＞﹣，∴﹣＜a≤0；0＜a≤1时，f（1）=1＜2恒成立；a＞1时，f（1）=|a|+|1﹣a|=2a﹣1∵f（1）＜2，∴2a﹣1＜2，∴a＜，∴1＜a＜综上，a的取值范围是（﹣，）．【点评】本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2016届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案
2016届高三级第一学期第二次月考文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合A ．)1,21(B ．)1,21[C ．]21,1(-D ．]21,1[-2、已知复数z 满足2(3)(1i z i i+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、数列{}n a 满足13n n a a +=,*n N ∈,且前3项之和等于13,则该数列的通项公式n a =（ ）A ．n 3B ．13-n C ．12+n D ．121+-n4、已知实数d c b a ,,,成等差数列，且曲线1123--=x x y 的极大值点坐标为),(c b ，则d a + 等于（ ）A. 13- B ．13 C ．15- D ．145.命题p ：“若x ，y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是5”，命题q ：“,0R x ∈∃120-=x”，则下列命题为真的是（ ）A. q p ∧ B ． q p ∧⌝)( C ．)(q p ⌝∧ D ．)()(q p ⌝∧⌝6、“双曲线1422=-x m y 的渐近线为x y 3±=”是“椭圆12022=+y m x 的离心率为32”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7、已知⎪⎩⎪⎨⎧+-=,1411,)(232x x x x f 99≥<x x ，若4)(=x f ，则x 的值是 ( )A ．108或B ．10,8,1或-C ．10,8,1,8或-D ．8,8- 或10 8、定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的1212,(,0)()x x x x ∈-∞≠，都有1212()()0f x f x x x -<-.则下列结论正确的是( )A ．)5(log )2()3.0(23.02f f f <<B ．)3.0()2()5(log 23.02f f f <<C ．)2()3.0()5(log 3.022f f f <<D ．)2()5(log )3.0(3.022f f f <<9、当输入的实数[]2,30x ∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是 ( )A ．528 B ．629 C ．914 D ．192910、已知定义在R 的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，且当)2,0[∈x 时，412)(2-=-x x f ，则=)2015(f （ ） A ．41 B ． 43 C ． 81- D ．41-11．某几何体的三视图如图，其顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积是（ ） A ．π2 B ．π4 C ．π8 D ．π1612使1221sin sin 0c PF F a PF F ∠=∠≠，则该双曲线离心率的取值范围为( )A．(1 B．(1 C．(1⎤⎦D．()1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、若函数()5lg 2lg 8log 22---=x x f 的定义域为 ．14、若幂函数52)1()(+--=m xm m x f 是R 上的奇函数，则])3,0[(22∈+-=x mx x y 的值域为 .15、已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x 与圆C 相交于A 、 B 两点，且|AB|=6,则圆C 的方程为 .16．已知()sin 2cos 2f x a x b x =+（,a b 为常数），若对任意x R ∈都有5()()12f x f π≥，则方程()f x =0 在区间[0,]π内的解为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(本题满分１２分)已知函数()2cos(2)23f x x x π=++（1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）设ABC ∆的三内角分别是A 、B 、C. 若1()22C f =，且3,1==BC AC ,求边AB 和sin A 的值.18、（本小题满分12分）2015年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h ）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题： （Ⅰ）求a 的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？ （Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）； （Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h 即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率.19．（12分） 如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示． （1）求四面体PBFC 的体积； （2）证明：AE ∥平面PFC ； （3）证明：平面PFC ⊥平面20、（本小题满分12分）已知函数()()2+1ln f x a x ax =-，21()2g x x x =-.（I ）若函数()f x 在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （II ）证明：若17a -<<，则对于任意1212,(1,),,x x x x ∈+∞≠有1212()()1()()f x f xg x g x ->--.21、（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，右焦点到直线1=+by a x 的距离721=d ，O 为坐标原点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A 、B 两点，证明点O 到直线AB 的距离为定值，并求弦AB 长度的最小值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点， AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC=PD ． （Ⅰ）求证：l 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若⊙O 的半径OA=5，AC=4，求CD 的长．23．（10分）在直角坐标系xOy 中，已知点P （，1），直线l 的参数方程为（t 为参数），若以O 为极点，以Ox 为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ=cos （θ﹣）（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．24、（本小题满分10分）已知函数()2123f x x x =-++． （Ⅰ）求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围．2016届高三级第一学期第二次月考文科数学参考答案一、选择题：CABBC ADACD CD 二、填空题：13. ),2[+∞ 14. ]5,1[ 15. 22(1)10x y +-= 6.16π或π32 三、解答题：17．(本题满分１２分)解：（1）1()2(cos 2()sin 22cos 22f x x x x x=⋅-+=……………………3分 所以，)(x f 的最小正周期π …………………………………………………………4分 当22x k π=时，即x k π=，k Z ∈, )(x f 最大值是1. ………………………6分 （2）1()22C f = 得1cos 2C =，C 是三角形内角，3C π=…………………………8分由余弦定理：AB ∴==……………………………………………………………………10分 由正弦定理：sin sin BC AB A C = AB＝ 3BC =,sin C =得sin 14A =…………12分（18）（本小题满分12分）（I ）由图知：（a +0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，∴a =0.06，该抽样方法是系统抽样； ……4分 （II ）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为77.5；∵前三个小矩形的面积和为0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，第四个小矩形的面积为0.06×5=0.3， ∴中位数在第四组，设中位数为75+x ，则0.325+0.06×x=0.5⇒x≈2.9， ∴数据的中位数为77.9 ………………………………………………8分 （III ）样本中车速在[90，95）有0.005×5×120=3（辆）， ∴估计该路段车辆超速的概率P=3112040=． ……………………………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：（Ⅰ）解：由左视图可得 F 为AB 的中点，所以 △BFC 的面积为 12121=⋅⋅=S ．………………1分 因为⊥PA 平面ABCD ， ………………2分 所以四面体PBFC 的体积为PA S V BFC BFC P ⋅=∆-31………………3分 322131=⋅⋅=． ………………4分（2）证明：取PC 中点Q ，连结EQ ，FQ ． ………………5分由正（主）视图可得 E 为PD 的中点，所以EQ ∥CD ，CD EQ 21=． ………6分 又因为AF ∥CD ，CD AF 21=， 所以AF ∥EQ ，EQ AF =． 所以四边形AFQE 为平行四边形，所以AE ∥FQ ． ………………7分 因为 ⊄AE 平面PFC ，⊂FQ 平面PFC ，所以 直线AE ∥平面PFC ． …………… ………………8分 （3）证明：因为 ⊥PA 平面ABCD ，所以 CD PA ⊥．因为面ABCD 为正方形，所以 CD AD ⊥．所以 ⊥CD 平面PAD ． …………… ………………9分 因为 ⊂AE 平面PAD ，所以 AE CD ⊥． 因为 AD PA =，E 为PD 中点，所以 PD AE ⊥．所以 ⊥AE 平面PCD ． ……………………………10分 因为 AE ∥FQ ，所以⊥FQ 平面PCD ． ………………11分 因为 ⊂FQ 平面PFC ，所以 平面PFC ⊥平面PCD . ………………12分（20）（本小题满分12分）（I ）解析：函数()()2+1ln f x a x ax =-的定义域为(0,)+∞()()2+12+1()a ax a f x a xx-+'=-=令()()2+1m x ax a =-+，因为函数()y f x =在定义域内为单调函数，说明()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，……………2分即()()2+1m x ax a =-+的符号大于等于零或小于等于零恒成立，当0a =时，()20m x =>，()0f x '>，()y f x =在定义域内为单调增函数； 当0a >时，()()2+1m x ax a =-+为减函数， 只需()(0)2+10m a =≤，即1a ≤-，不符合要求； 当0a <时，()()2+1m x ax a =-+为增函数，只需()(0)2+10m a =≥即可，即1a ≥-，解得10a -≤<， 此时()y f x =在定义域内为单调增函数；……………4分 综上所述[1,0]a ∈-………………5分（II ）22111()(1)222g x x x x =-=--在区间(1,)+∞单调递增，不妨设121x x >>，则12()()g x g x >，则1212()()1()()f x f xg x g x ->-- 等价于1212()()(()())f x f x g x g x ->--等价于1122()()()+()f x g x f x g x +>………………7分 设()21()()+()2+1ln (1)2n x f x g x x a x a x ==+-+，解法一：则22(1)()(1)(1)2a n x x a a x +'=+-+≥+=--，由于17a -<<，故()0n x '>，即()n x 在(1,)+∞上单调增加，……………10分从而当211x x <<时，有1122()()()+()f x g x f x g x +>成立，命题得证！………………12分解法二：则22(1)(1)2(1)()(1)=a x a x a n x x a x x+-+++'=+-+ 令2()(1)2(1)p x x a x a =-+++22(1)8(1)67(7)(1)0a a a a a a ∆=+-+=--=-+<即2()(1)2(1)0p x x a x a =-+++>在17a -<<恒成立 说明()0n x '>，即()n x 在(1,)+∞上单调增加，………………10分从而当211x x <<时，有1122()()()+()f x g x f x g x +>成立，命题得证！………………12分（21）（本小题满分12分） （I ）由题意得12c e a ==，∴2a c =，∴b ==………………….1分 由题意得椭圆的右焦点(,0)c 到直线1x ya b+=即0bx ay ab +-=的距离为77d c ====，∴1c =……………………3分 ∴2a =，b =C 的方程为22143x y +=…………………………….4分（II ）(i)当直线AB 斜率不存在时，直线AB 方程为7212=x ， 此时原点与直线AB 的距离7212=d …………………………………………… 5分 (ii)当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立得22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去得222(34)84120k x kmx m +++-=，122834km x x k ∴+=-+，212241234m x x k-=+ ……………..….…..….6分 O A O B ⊥ ，12120x x y y ∴+=由1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x km x x m =+++，∴221212(1)()0k x x km x x m ++++=整理得22712(1)m k =+，∴m =故O 到直线AB的距离7d ====综上：O到直线AB………………………………………………9分OA OB⊥,2222AB OA OB OA OB∴=+≥⋅，当且仅当OA OB=时取“=”号.∴22ABOA OB⋅≤，又由等面积法知d AB OA OB⋅=⋅，∴22ABd AB⋅≤,有27AB d≥=即弦AB………………..12分（22）（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD．又OA=OB，PC=PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．………..….………..…………..…..…………..5分（Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD），所以BD=2OP﹣AC=6，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD﹣AC=6﹣4=2，在Rt△ABE中，AE==4，∴CD=4．………………………………………….10分（23）（本小题满分10分）解：（I）由直线l 的参数方程，消去参数t ，可得=0；由曲线C的极坐标方程ρ=cos（θ﹣）展开为，化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=x+y ，即=．…………5分（II）把直线l 的参数方程代入圆的方程可得=0，∵点P （，1）在直线l上，∴|PA||PB|=|t1t2|=．…………10分（24）（本小题满分10分）（Ⅰ）由()21236f x x x=-++≤得13322x x-++≤解得12≤≤-x∴不等式的解集为[2,1]-．………………………………….4分（Ⅱ）∵()212321(23)4f x x x x x=-++≥--+=即)(xf的最小值等于4，….6分由题可知|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．…………………………………10分。
福建省2016届高三上学期第二次月考数学文试卷
第二次月考数学文试题【福建版】（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}{}{1,2,3,4,5},1,2,3,3,4,()U U A B C A B ===⋃则=（ ）.A ．{3}B ．{5}C ．{1，2，4，5}D ．{1，2，3，4}2．sin 480 等于（ ）.A ．12-B ．12C ． D3．命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是（ ）.A.R ∉∀x ，x x ≠2B.R ∈∀x ，x x =2C.R ∉∃x ，x x ≠2D.R ∈∃x ，x x =2 4．在等差数列{n a }中，已知16102=+a a ，则39a a +=（ ）.A ．8B ．16C ．20D ．24 5.若函数()1()33f x x x x =+>-，则()f x 的最小值为（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 66．已知函数()f x 是偶函数，在),0(+∞上单调递增，则下列不等式成立的是（ ）.A. (3)(1)(2)f f f -<-<B.(1)(2)(3)f f f -<<-C. (2)(3)(1)f f f <-<-D.(2)(1)(3)f f f <-<- 7．“ϕπ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的（ ）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．sin(65)cos(20)cos(65)sin(20)x x x x -----的值为（ ）.A B C ．12D ．9．如图，在ABC ∆中，2CD DB = ,记AB a = ，AC b = ，则AD=（ ）.A ．2133a b +B ．2133a b -C ．1233a b +D ．1233a b-10．已知二次函数()f x 的图象如图所示，则其导函数()f x '的图象大致形状是（ ）.11.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．12．定义在R 上的函数()f x ，若对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+， 则称f(x)为“Z 函数”，给出下列函数：①32123y x x x =-+-；②2(sin cos )y x x x =-+；③1x y e =+；④ln ||,0,()0,0.x x f x x ≠⎧=⎨=⎩其中是“Z 函数”的个数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置． 13.ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且3,3,2π===C b a ,则ABC ∆的面积为 . 14、已知2log 0()cos 2 0x x f x x x π>⎧=⎨≤⎩，则11()()22f f +-的值等于 .15．数列{}n a 满足113a =，1115()n nn N a a ++-=∈，则10a = . 16. 已知函数()y f x =同时满足下列条件：①周期为π；②定义域为R ，值域为［21,23］；③在［0，2π］上是减函数；④()()0f x f x --=，则满足上述要求的函数()f x 可以是 __(写出一个即可).三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分）已知向量(sin ,a θ= 与)cos ,1(θ=b（Ⅰ）若a 与b互相垂直，求tan θ的值（Ⅱ）若a b = ，求sin(2)2πθ+的值18. (本小题满分12分）已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，11a =，2321a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在常数M ,使得数列{}n c 的前n 项和n S M <，则称数列{}n c 是“上界和数列”.试判断数列{}n a 是否是“上界和数列”，并说明理由.19．(本小题满分12分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，长轴长为,离心率e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积.20. (本小题满分12分）已知44()sin cos cos f x x x x x a =-++（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）把()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，得到()y g x =的图像，求函数()y g x =的解析式；（Ⅲ）()y g x =在[0,]2π上最大值与最小值之和为3，求a 的值.21. (本小题满分12分）某游乐园拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 为主题活动园区，60ACB ∠= ；AD CD 、为游客通道（不考虑宽度），通道AD CD 、围成三角形区域ADC 为游客休闲中心，供游客休憩.（Ⅰ）若20AC m =，24BC m =，求AB 的长度.（Ⅱ）如图，24AB m =，AD 与AB 垂直，且0120ADC ∠=，0(4560)ABC θθ∠=≤≤.记游客通道长度和为L ，写出L 关于θ的关系式，并求L 的最小值．22. (本小题满分14分）已知()2ln 1f x ax b x =+-，设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =。
福建省三明市第一中学2016届高三数学上学期第二次月考试题文
三明一中2015-2016高三年段第二次月考文科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的.）1．若02sin >α,则（ ）A. 0cos >αB.0tan >αC.0sin >αD.02cos >α2．设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则（ ）A. []1,2B. [)1,2C. []0,3D. (]0,33.已知直线l 过点（1，2）且与直线0132=+-y x 垂直，则l 的方程是（ ）A. 0123=-+y xB. 0723=-+y x C ．053-2=+y xD ．083-2=+y x4．在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为（ ）A. B. C ． D ． 5.函数)1lg()(2+=x x f 的图象大致是( )6．设1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使02190=∠AF F ，且213AF AF =，则椭圆离心率为（ ）A. 45B ．410 C ． 415 D ． 5 7．平面向量a 与b 的夹角为︒60，)4,3(=a，1=b ，则b a 2-=（ ）A. 19B. 62C. 34D.398．已知函数x x x x f sin )cos (sin )(+=,则下列说法正确的为（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．()f xC ．()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图象向右平移8π,再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象 9．已知双曲线的一个焦点与抛物线y x 242=的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为 60，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．127922=-y x B ．127922=-x y C ．192722=-x y D ．192722=-y x 10.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥730ay x x y x ，若目标函数y x z +=的最大值为14，则a 值为（ ）A ．1B ．21或31C ．21D ．3111. 奇函数)(x f 的定义域为R .若)2(+x f 为偶函数，且1)1(=f ，则=+)8()5(f f （ ） A ．－2B ．－1C ．0D ．112.数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前44项和为（ ） A ．990 B ．870 C ．640 D ．615第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把答案填在答题卷相应的位置上.) 13．过点（1，0）且与直线1-=x 相切的圆的圆心轨迹是.14. 已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为1的球面上,球心O 在AB 上,SO ⊥底面ABC ,2=AC ，则此三棱锥的体积为 .15．在ABC ∆中,D 为BC 边上一点,3BC BD =,AD =135ADB ο∠=，AB AC 3=,则BD = .16．若定义在R 上的函数满足()()()/1,04f x f x f +>=，则不等式()31x f x e>+ 的解集为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）根据所给条件求直线的方程：（Ⅰ）直线过点(4, 0)，倾斜角的余弦值为1010； （Ⅱ）直线过点(5, 1)，且到原点的距离为5.18.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程024102=+-x x 的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n n a 的前n 项和.19．（本小题满分12分）如图所示，已知在四棱锥P ABCD -中, 底面ABCD 为直角梯形， 其中CD //AB ,AD AB ⊥,侧棱ABCD PA 底面⊥， 且112AD DC PA AB ====. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设点M 为PB 中点，求四面体PAC M -的体积.BAPCDM20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的焦点为21,F F ,点()12P ，在C 上，且x PF ⊥2轴． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ） 若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，原点O 在以AB 为直径的圆外，求m 的取值范围．21.（本小题满分12分）设函数)()(b ax e x f x+=.若曲线在点))0(,0(f P 处的切线方程为24+=x y .（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）设24)(2++=x x x g ，若x ≥－2时,)()(x g x kf ≥,求k 的取值范围.22．（本小题满分10分）已知圆C 的参数方程是ααα(sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+=y x 为参数）.（Ⅰ）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设直线l 和圆C 的交点为,M N ，求CMN ∆的面积.三明一中2015-2016第二次月考高三文科数学参考答案13. 抛物线 14.3115. 295+ 16. ()∞+,0 三、解答题17.解: （Ⅰ）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则cos α＝1010(0<α<π)， 从而sin α＝31010，则k ＝tan α＝3. …………3 分故所求直线方程为y ＝3 (x - 4)．即3x – y - 12＝0. …………6 分（Ⅱ）当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；…………7 分当斜率存在时，设其为k ， 则所求直线方程为y- 1＝k (x －5)，即kx －y + 1－5k ＝0. …………8 分 由点到直线距离公式，得51512=+-k k ，解得k ＝512-.…………10 分 故所求直线方程为065512),5(5121=-+--=-y x x y 即.…………11 分 综上知，所求直线方程为x －5＝0或065512=-+y x . …………12 分18.解: （Ⅰ）方程024102=+-x x 的两根为4,6,由题意得42=a ，64=a ，…………2 分设数列{}n a 的公差为 d ,，则d a a 264=-，故d =1，从而31=a ， (4)分所以{}n a 的通项公式为：2+=n a n …………6 分 (Ⅱ)设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+12n n a 的前n 项和为n S ,由(Ⅰ)知11222+++=n n n n a ，则：23413451222222n n n n n S +++=+++++ 34512134512222222n n n n n S ++++=+++++ …………7 分 两式相减得21543222121212143S 21+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=n n n n …………8 分 2122211)2118143+-+---+=n n n （112122214143++⋅+--+=n n n …………9 分 121)221(1+++-=n n121241+⋅+-=n n …………10 分所以1422n n n S ++=- ………12分19．解法一:（Ⅰ）证明：过C 作CE AB ⊥,垂足为E ，又已知在四边形ABCD 中，AD AB ⊥,CD ∥AB ,AD DC =， ∴四边形ADCE 是正方形． ……… 1分 ∵1==DC AD ，∴ 2=AC又1===CE AE BE ． ∴2=BC ．2=AB ∴ 222AB BC AC =+．∴ AC BC ⊥． 3分 又∵ABCD PA 底面⊥，BC PA ⊥∴A PA AC =⋂，∴ BC ⊥平面PAC ． 6分 （Ⅱ）∵ABCD PA 底面⊥,∴CE PA ⊥又AB CE ⊥ A AB PA =⋂ PAB CE 面⊥∴ 所以CE 为三棱锥PAM -C 的高 8分ABCD PA 底面⊥，AB PA ⊥∴,又M 为PB 中点，所以点M 到直线PA 的距离等于121=AB , 又1=PA ∴211121=⨯⨯=∆PAM S ， 10分 又1=CE∴6112131=⨯⨯==--PAM C PAC M V V 12分 解法二:（Ⅰ）证明：过C 作CE AB ⊥,垂足为E ，又已知在四边形ABCD 中，AD AB ⊥,CD ∥AB ,AD DC =， ∴四边形ADCE 是正方形． ………1分 ∴ ACD ACE ∠=∠=45． 又 ∵ 12AE CD AB ==，∴ BE AE CE ==． ∴ 45BCE ∠=．∴ ∠90ACB =． ∴ AC BC ⊥． 3分E BAPCDM又∵ABCD PA 底面⊥，BC PA ⊥∴A PA AC =⋂，∴ BC ⊥平面PAC ． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，M 为PB 中点，所以点M 到平面PAC 的距离等于12BC ,12M PAC B PAC V V --=． 8分， ∵ABCD PA 底面⊥,∴AC PA ⊥PAC ∆∴是直角三角形，且1=PA ,2=AC222121=⨯⨯=∴∆PAC S ，又2=BC∴11112666M PAC B PAC PAC V V BC S --∆==⋅⋅==12分 20．解法一：（Ⅰ）由已知得2=c ，222=-∴b a ①又点()12P，在C 上11222=+∴b a ②1分 联立① ②可得⎩⎨⎧==22b a 3分故所求椭圆C 的方程为12422=+y x ． 4分 (Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12422y x mx y 得0424322=-++m mx x ……………5分 由0488)42(1216222>+-=--=∆m m m 得66<<-m3421m x x -=+，342221-=m x x . ……………………7分又3222121mm x x y y =++=+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴3,32H m m ……………………8分所以959942222m m m OH =+=.……………………9分 又18488)3168916)(11(41422222+-=--+=m m m AB ,…………………10分 依题意有422AB OH>，所以184889522+->m m ， 解得382>m ，即362-<m 或362>m ……………………11分 故m 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6,362362,6．…………………………12分 解法二：(Ⅰ) 由已知得椭圆C 的两焦点坐标分别为()0,21-F ，()022，F ，……1分又点()12P，在C 上，由椭圆的定义得411)22(22221=++--=+=PF PF a故2=a ……………………2分 224222=-=-=∴c a b ……………………3分所以椭圆C 的方程为12422=+y x ． ……………………4分 (Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则()11,y x =，),(22y x =由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12422y x mx y 得0424322=-++m mx x ……………5分 由0488)42(1216222>+-=--=∆m m m 得66<<-m3421m x x -=+，342221-=m x x ……………7分从而))((21212121m x m x x x y y x x +++=+=⋅22121)(2m x x m x x +++=22234384m m m +--=3382m +-= ……………9分依题意有0>⋅OB OA ，故03382>+-m ， 解得382>m ，即362-<m 或362>m ……………11分 故m 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6,362362,6．……………12分 解法三：（I ）由已知得2=c ，222=-∴b a ①又当c x =时，242222)1(ab ac b y =-=12=∴a b ，即2b a = ②……………1分 联立① ②可得⎩⎨⎧==22b a ……………3分故所求椭圆C 的方程为12422=+y x ．……………4分 (Ⅱ)同解法二.21.解：（Ⅰ）由已知得2)0(=f ，4)0('=f ……………1分而)()('a b ax e x f x ++= ……………2分 所以有⎩⎨⎧=+=42a b b 从而⎩⎨⎧==22b a ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1(2)(+=x ke x f x设函数)()()(x g x kf x F -=24)1(22---+=x x x ke x42)2(2)('--+=x x ke x F x)2)(12+-=x ke x（ ……………5分 由题设可得0)0(≥F ，即1≥k令0)('=x F 得k x ln 1-=，22-=x ……………6分（i ） 若21e k <≤，则021≤<-x .从而当),2(1x x -∈时，0)('<x F ；当),(1+∞∈x x 时，0)('>x F ， 即)(x F 在),2(1x -单调递减，在),(1+∞x 单调递增.故)(x F 在[)∞+-,2的最小值为)(1x F .而24)1(2)(121111---+=x x x ke x F x24221211---+=x x x1212x x --=0211≥+-=）（x x 故当x ≥－2时, 0)(≥x F ，即)()(x g x kf ≥恒成立.……………8分 （ii ）若2e k =，则)2)(12)('2+-=x e e x F x （)2)(222+-=-x e e e x （ 从而当x >－2时, 0)('>x F ，即)(x F 在),2(+∞-单调递增.而0)2(=-F故当x ≥－2时, 0)(≥x F ，即)()(x g x kf ≥恒成立. ……………10分（iii ）若2e k >，则22)2(2+-=--ke F0)(222<--=-e k e从而当x ≥－2时, )()(x g x kf ≥不可能恒成立. ……………11分 综上，k 的取值范围是[]21e ，.……………12分22．解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 1y x 得1)2()122=-+-y x （，……………2分 即044222=+--+y x y x04sin 4cos 22=+--∴θρθρρ，即圆C 的极坐标方程是04sin 4cos 22=+--θρθρρ. ┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）把4πθ=代入04sin 4cos 22=+--θρθρρ中得04232=+-ρρ ……………6分 求得22221==ρρ， ……………7分 221=-=∴ρρMN ……………8分 由于圆C 的半径为1，故CN CM ⊥, ……………9分 ∴CMN ∆ 的面积为2121=⋅CN CM ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分。
福建省南平市建瓯二中2016届高三数学上学期第二次月考试卷理(含解析)
2015-2016学年福建省南平市建瓯二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．1．合集U={0，1，2，3}，∁U M={2}，则集合M=（）A．{0，1，3} B．{1，3} C．{0，3} D．{2}2．命题“∀x2＞1，x＞1”的否定是（）A．∀x2＞1，x≤1B．∀x2≤1，x≤1C．∃x2＞1，x≤1D．∃x2≤1，x≤13．已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．255．向量，，且∥，则cos2α=（）A． B．C． D．6．命题p：f（x）=x2﹣2ax+1在（1，+∞）上是增函数；命题q：f（x）=log a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）是减函数，则p是q的（）A．既不充分也不必要条件 B．充要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件7．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A．﹣1或1 B．﹣2或0 C．﹣2或1 D．﹣1或08．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为（）A．﹣4 B．4 C．3 D．﹣39．二项式（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．2010．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．设a＞0，若关于x的不等式恒成立，则a的最小值为（）A．4 B．2 C．16 D．112．若集合M，N满足M∪N=Ω，则称[M，N]是集合Ω的一组双子集拆分，规定：[M，N]和[N，M]是Ω的同一组双子集拆分，已知集合Ω={1，2，3}，那么Ω的不同双子集拆分共有（）A．16组B．15组C．14组D．13组二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（x+）dx= ．14．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是= ．15．若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n= ．16．观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…根据上述规律，第n 个等式为．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的模；（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；（3）求证：A1B⊥C1M．19．已知向量=（，﹣1），=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）若f（x）=0且0＜x＜π，求x的值．（2）求函数f（x）的单调增区间以及函数取得最大值时，向量与的夹角．20．已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°．侧面PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．2015-2016学年福建省南平市建瓯二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．1．合集U={0，1，2，3}，∁U M={2}，则集合M=（）A．{0，1，3} B．{1，3} C．{0，3} D．{2}【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】计算题．【分析】利用全集和补集的定义，确定集合M元素的构成．【解答】解：∵合集U={0，1，2，3}，C U M={2}，∴M是把全集U中的元素去掉2后，剩余元素构成的集合，集合M={0，1，3}，故选 A．【点评】本题考查全集和补集的定义，确定M是把全集U中的元素去掉2后，剩余元素构成的集合是解题的关键．2．命题“∀x2＞1，x＞1”的否定是（）A．∀x2＞1，x≤1B．∀x2≤1，x≤1C．∃x2＞1，x≤1D．∃x2≤1，x≤1【考点】全称命题；命题的否定．【专题】规律型．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x2＞1，x＞1”的否定是：∃x2＞1，x≤1．故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．进比较基础．3．已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．【解答】解：因为复数z的共轭复数，所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．z在复平面内对应的点位于第四象限．故选D．【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查．4．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．25【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．5．向量，，且∥，则cos2α=（）A． B．C． D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据向量平行的条件建立关于α的等式，利用同角三角函数的基本关系算出sinα=，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得cos2α的值．【解答】解：∵，，且∥，∴，即，化简得sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=故选：D【点评】本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求cos2α的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题．6．命题p：f（x）=x2﹣2ax+1在（1，+∞）上是增函数；命题q：f（x）=log a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）是减函数，则p是q的（）A．既不充分也不必要条件 B．充要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据函数单调性的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2ax+1在（1，+∞）上是增函数；∴对称轴，即p：a≤1．∵f（x）=log a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）是减函数，∴0＜a＜1，即q：0＜a＜1，∴p是q的必要不充分条件．故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的性质是解决本题的关键．7．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A．﹣1或1 B．﹣2或0 C．﹣2或1 D．﹣1或0【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求y=的值，分当x≥0时和当x＜0时求得输出的结果为0的x值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，∵输出的结果为0，当x≥0时，x2﹣1=0⇒x=1；当x＜0时，﹣x2﹣2x=0⇒x=﹣2，故选：C．【点评】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．8．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为（）A．﹣4 B．4 C．3 D．﹣3【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合可行域可知，当直线过点A时，截距最小，z最大，联立直线方程求出A的坐标，代入z=x﹣3y求z 得最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=x﹣3y，得．要使z最大，则直线在y轴上的截距最小．由图可知，当直线过点A时，截距最小，z最大．联立，解得，∴A（﹣2，﹣2）．则z=x﹣3y的最大值为﹣2﹣3×（﹣2）=4．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．9．二项式（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．【解答】解：二项式（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令6﹣=0，求得r=4，故展开式中常数项为=15，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图知最里面的面与底面垂直，高为2，结合直观图判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为2，如图：其中OA=OB=OC=2，SO⊥平面ABC，且SO=2，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，则=2﹣x⇒x=，∴外接球的半径R=，∴几何体的外接球的表面积S=4π×=π．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，考查了学生的空间想象能力及作图能力，判断几何体的特征及利用特征求外接球的半径是关键．11．设a＞0，若关于x的不等式恒成立，则a的最小值为（）A．4 B．2 C．16 D．1【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵a＞0，若关于x的不等式恒成立，∴，解得a≥4．∴a的最小值为4．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式和恒成立问题，属于基础题．12．若集合M，N满足M∪N=Ω，则称[M，N]是集合Ω的一组双子集拆分，规定：[M，N]和[N，M]是Ω的同一组双子集拆分，已知集合Ω={1，2，3}，那么Ω的不同双子集拆分共有（）A．16组B．15组C．14组D．13组【考点】子集与真子集．【专题】计算题．【分析】根据题意，由Ω的子集，结合题意中“Ω的同一组双子集拆分”的定义分情况讨论其不同双子集拆分的个数，即可得答案．【解答】解：∵Ω={1，2，3}，其子集是φ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，{1}分别与{1，2，3}，与{2，3}，共两组，同理{2}分别与{1，2，3}，与{1，3}两组，{3}分别与{1，2，3}，与{1，2}，共两组；{1，2}分别与{1，2，3}，与{2，3}，与{1，3}，与{3}，共四组，同理与{2，3}是一组双子集拆分有四组，和{1，3}是一组双子集拆分共四组，{1，2，3}与{1，2，3}一组；但有6组重合的，所以共有20﹣6=14组，∴A的不同双子集拆分共有14组，故选C．【点评】本题考查集合的子集，关键正确理解题意中“Ω的同一组双子集拆分”的定义，其次注意不要忽视其中重复的集合．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（x+）dx= ．【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】由于，利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：原式===．故答案为．【点评】本题考查了微积分基本定理，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是= ﹣2 ．【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利于抑制投机求出f（）的值，然后求解所求表达式的值．【解答】解：∵函数，∴f（）=2+=4．=f（4）==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，指数以及对数的运算法则，解题方法是由里及外逐步求解，考查计算能力．15．若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n= （﹣2）n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1=（﹣2）n﹣1经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．16．观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…根据上述规律，第n 个等式为13+23+33+43+…+n3=（）2．【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，进而可得答案．【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2 =（）2，故答案为：13+23+33+43+…+n3=（）2【点评】本题考查归纳推理，解题的关键是发现各个等式之间变化的规律以及每个等式左右两边的关系．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．18．如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的模；（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；（3）求证：A1B⊥C1M．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；向量语言表述线线的垂直、平行关系．【专题】综合题；空间向量及应用．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出B，N两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出BN的长；（2）求出=（1，﹣1，2），=（0，1，2），利用向量的夹角公式，即可求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；（3）证明•=0，即可证明A1B⊥C1M．【解答】（1）解：以C为坐标原点，以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图由题意得N（1，0，1），B（0，1，0），∴||==．（2）解：依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2）．∴=（1，﹣1，2），=（0，1，2），∴=3．∴||=，||=，∴cos＜，＞==，∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为．（3）证明：∵ =（﹣1，1，﹣2），=（，，0），∴•=﹣1×+1×+（﹣2）×0=0，∴⊥，即A1B⊥C1M．【点评】本题考查直线与直线垂直，考查线线角，其中建立空间坐标系，将线线垂直，线线角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．19．已知向量=（，﹣1），=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）若f（x）=0且0＜x＜π，求x的值．（2）求函数f（x）的单调增区间以及函数取得最大值时，向量与的夹角．【考点】三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）利用向量的数量积可得f（x）=•=sin2x﹣cos2x，由f（x）=0可求得tan2x=，而0＜x＜π，于是可求x的值；（2）依题意，可求f（x）=2sin（2x﹣），利用正弦函数的单调性质可求其单调增区间及最大值，再利用向量的数量积可求得向量与的夹角．【解答】解：（1）∵f（x）=•=sin2x﹣cos2x，∴由f（x）=0得sin2x﹣cos2x=0，即tan2x=．∵0＜x＜π，∴0＜2x＜2π，∴2x=或2x=，∴x=或x=．（2）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．由上可得f（x）max=2，当f（x）=2时，由•=||•||cos＜•＞=2得：cos＜•＞==1，∵0≤＜•＞≤π，∴＜•＞=0，即f（x）取得最大值时，向量与的夹角为0．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查向量的数量积的坐标运算，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．20．已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，分别表示出a2a6=55，a2+a7=16联立方程求得d 和a1进而根据等差数列通项公式求得a n．（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n，a n+1=c1+c2+…+c n+1两式相减得c n+1等于常数2，进而可得b n，进而根据b1=2a1求得b1则数列{b n}通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则依题意可知d＞0由a2+a7=16，得2a1+7d=16①由a3a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55②由①②联立方程求得得d=2，a1=1或d=﹣2，a1=（排除）∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c na n+1=c1+c2+…+c n+1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴c n+1=2，即c n=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=于是S n=b1+b2+b3+…+b n=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n≥2，．【点评】本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质．考查了对数列问题的综合把握．21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；定义法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）根据函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣a﹣当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，则f（1）=﹣2，f′（x）=﹣1，则f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（Ⅱ）f′（x）=﹣a﹣==，f （x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f′（x）=，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）当a≠0时，，即0＜a＜时，f（x）的增区间为（1，），减区间为（0，1），（，+∞）当=1，即a=时，f（x）在（0，+∞）上单调递减当＜1，即a＞或a＜0，当a＞时，f（x）的增区间为（，1），减区间为（0，），（1，+∞），当a＜0时，f（x）的增区间为（0，），（1，+∞），减区间为（，1）【点评】本题主要考查函数导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°．侧面PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）连结BD，由正三角形性质的BG⊥AD，由此能证明BG⊥平面PAD．（2）以G为原点，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由此能求出平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值．（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H，由已知条件得四边形CDGE为平行四边形，由此能证明平面DEF⊥平面ABCD．【解答】（本小题满分14分）（1）证明：连结BD．因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以△ABD为正三角形．又G为AD的中点，所以BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BG⊥平面PAD．（2）解：∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．∵PG⊂平面PAD，由（1）得：PG⊥GB．又由（1）知BG⊥AD．∴PG、BG、AD两两垂直．故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系G﹣xyz，，，所以G（0，0，0），D（0，1，0），，，，设平面PCD的法向量为，∴，即令z=1，则x=﹣1，y=，∴，又平面PBG的法向量为=（0，2，0），设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为θ，则∴即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为．（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H．因为E、G分别为BC、AD的中点，∴四边形CDGE为平行四边形，∴H为CG的中点．又F为CP的中点，∴FH∥PG．由（2），得PG⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．又FH⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
福建省高三上学期第二次阶段考试数学(文科)试卷 Word版含答案
在 上取点F，使 ，
连EF，FD，EF∥AB, ∥ ,
即平面 ∥平面 ，则有 ∥平面 . 12分
21．解：（1）函数 的定义域是 .当 时，
，2分
令 ，得 ，所以 或 . 3分
当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 在 上的最小值是 ；4分
当 时， 在 上的最小值是 ，不合题意；5分
A.5 B.6 C.7 D.8
4．已知 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
5．设 ,则（）
A． B． C． D．
6．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧（左）视图可以为（）
7．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向（）平移（）个单位
A．左， B．右， C．左， D．右，
又 平面 ， 平面 ，∴平面 .
又 ，∴ 平面 .又 平面 ，∴平面 平面 .12分
20．解析：（1）证明：在直三棱柱 中，有 平面 .∴ ，又 ，∴ ．又BC1⊥A1C，BC1交AC1于C1∴A1C⊥平面ABC1，
则平面ABC1⊥平面A1C．6分
南安一中2016～2017学年度上学期第二次阶段考
高三数学（文科）试卷
本试卷考试内容为：一轮复习1～7章、选考.共4页.满分１５０分，考试时间１２０分钟.
注意事项：
1．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效.按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
2．涂卡使用2B铅笔，其他使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔书写，字体工整、笔迹清楚.
A B C D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，请将正确答案写在答题卡）
13．若数列 满足 ， ，则数列的项 .
(优辅资源)福建省四地六校高三上学期第二次(12月)月考数学(文)试题 Word版含答案
“华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中”六校联考2016-2017学年上学期第二次月考高三数学（文科）试题(考试时间：120分钟 总分：150分)★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合2{x |log 0}A x =>，{|1}B x x =<，则A ．AB ∅I ＝B ．A B R U ＝C ．B A ⊆D ．A B ⊆2．i 是虚数单位，若(i 1)i z +=，则z 等于A ．1B ．23 C ．22 D ．213．设函数()f x 为偶函数，当()0,x ∈+∞时，()2log f x x =，则(f =A ．12-B ．12C ．2D ．-24．已知命题p ：x ∀∈R ，2130x +>，命题q ：“02x <<”是“2log 1x <”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A ．p ⌝B ．p q ∧C ．(q)p ∧⌝D ．(p q)⌝∨5．如图，在ABC ∆中，3=AB ,2=AC ,的中点，是边BC D 则⋅值为A ．1B ．25C ．-1D ．25-6．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位7．已知ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若222,3a b c bc a =+-=，则ABC ∆的周长的最大值为 A．B ．6CD ．98．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为 A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里9．已知O 为坐标原点,点M 坐标为(2,1)-，在平面区域020x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩上取一点N ,则使MN 为最小值时点N 的坐标是 A ．)0,0(B ．)1,0(C ．)2,0(D ．)0,2(10．在四面体S ABC -中，,2,AB BC AB BC SA SC SB ⊥=====体外接球的表面积是 A． BC ．24πD ．6π11．已知函数321()3f x x x ax =++.若1()x g x e =,对存在11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使函数()f x 导函数1()f x '满足12()()f x g x '≤，则实数a 的取值范围是 A ．]45,(--∞e e B．(,8]e -∞- C ．]451,(2--∞e D ．]81,(2--∞e12．已知函数()22,52,x x a f x x x x a +>⎧=⎨++≤⎩，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点， 则实数a 的取值范围是 A ．[1,1)- B ．[0,2]C ．[2,2)-D ．[1,2)-二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）. 13．若21(0,)sin cos 2,tan 24παααα∈+==且则 . 14．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的表面积为 .15．设l m n 、、表示不同的直线，αβγ、、表示不同的平面，给出下列 4个命题：①若m ∥l ，且m α⊥，则l α⊥； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α； ③若l αβ=I ，m βγ=I ，n γα=I ， 则l ∥m ∥n ；④若m αβ=I ，l βγ=I ，n γα=I ，且n ∥β， 则m ∥l ．其中正确命题是 .16．设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围是 ．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．已知向量(2sin ,cos ),()a x x b cosx x ==r v ，函数()f x a b =v vg. (I ）求函数()f x 的最小正周期； (II ) 当[0,]2x π∈时,求函数()f x 的最大值与最小值.第（14）题图18．已知等比数列{}n a 的公比为q （1q ≠），等差数列{}n b 的公差也为q ，且12323a a a +=． (I ）求q 的值；(II ）若数列{}n b 的首项为2，其前n 项和为n T ， 当2n ≥时，试比较n b 与n T 的大小.19．如图，已知ABC ∆和EBC ∆是边长为2的正三角形，平面EBC ⊥平 面ABC ，AD ⊥平面ABC，且AD =(I ）证明：AD ∥平面EBC ； (II ）求三棱锥E ABD -的体积．20．已知某渔船在渔港O 的南偏东60º方向，距离渔港约160海里的B 处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A 接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C 处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B 的俯角为68.20º，测得渔政船C 的俯角为63.43º，且渔政船位于渔船的北偏东60º方向上．(Ⅰ）计算渔政船C 与渔港O 的距离；(Ⅱ）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？ (参考数据：sin 68.200.93,tan 68.20 2.50,︒≈︒≈sin 63.43︒≈0.90,tan63.43 2.00︒≈， 3.62≈3.61≈）21．已知函数()(1)ln ()af x x a x a x=--+∈R ． (Ⅰ）当10≤<a 时，求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ）是否存在实数a ，使得至少存在一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立，若存在，AOCB北北求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．22． (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ）若点P 的直角坐标为()1,0，曲线C 与直线l 交于,A B 两点，求PA PB +的值.23. (本小题满分10分)不等式选讲 已知函数() 1.f x x =-(Ⅰ）解关于x 的不等式()210f x x +->(Ⅱ）若()()()4,g x x m f x g x =-++<的解集非空，求实数m 的取值范围.“华安、连城、泉港、永安、漳平一中、龙海二中”六校联考2016-2017学年上学期第二次月考高三数学（文科）答案一、选择题：ACBCD A DC BD AD二、填空题：13. 14. 53+； 15. ①④； 16. （﹣3，+∞）三．解答题： 17．解：（I ）∵x x x x f 2cos 32cos sin 2)(+=22cos 1322sin xx ++=……………………………………………2分32cos 32sin ++=x x 3)2cos 232sin 21(2++=x x332sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx ………………………………………………5分∴()f x 的最小正周期正周期为π ………………………………………………6分(II ）∵[0,]2x π∈ ∴42[,]333x πππ+∈……………………………………………………………8分∴当232x ππ+=，即12x π=时，()f x 有最大值2+；………………………10分当4233x ππ+=，即2x π=时，()f x 有最小值0.………………………………12分18．解：（I ）由已知可得211123a a q a q +=， ……………………………………………1分∵{}n a 是等比数列，10a ≠∴23210q q --=. ……………………………………………………………2分 解得1q =或13q =-.∵1q ≠， ∴ 13q =-……………………………………………………………………4分 (II ）由（I ）知等差数列{}n b 的公差为13-，∴ 72(1)()33n nb n 1-=+--=，………………………………………………5分 2132(1)()236n n n n T n n 1-=+--=， ………………………………………7分(1)(14)6n n n n T b ---=-， …………………………………………………9分当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n T b >. 综上，当214n ≤<时，n n T b >；当14n =时，n n T b =；当14n >时，n n T b <.………………………………………………12分19．(I ）证明：取BC 的中点为F ，连接AF ，EF ，………………1分∵△BCE 为正三角形，∴EF ⊥BC ，………………………………………………2分 ∵平面ABC ⊥平面BCE ，且交线为BC ，∴EF ⊥平面ABC ，………………………………………4分 又∵AD ⊥平面ABC ，∴AD ∥EF ，………………………………………………5分 ∵EF ⊂平面EBC ，DA ⊄平面EBC∴AD ∥平面EBC . …………………………………6分(II ）解 由(1)知EF ∥AD ，∴E ABD F ABD D ABF V V V ---==，………………………10分∴12ABF S BF AF ==V g ∴113D ABF ABF V S AD -==V g ，即1E ABD V -=.…………………………………………12分20．解：（1）依题意：160BO =海里，AB BOC ⊥平面，ABO ∠=68.20º, ACO ∠=63.43º, OBC ∠=60º+60º=120 º, ………2分在Rt ABO ∆中，tan AO BO =g 68.20º01602.50400AB BO =⋅︒≈⋅=（海里）， 在Rt AOC ∆中，OC =200tan 63.43AO≈（海里），………………………5分 故渔政船与渔港的距离约为200海里. ……………………………………6分(2）设BC x =（海里），在BOC ∆中，由余弦定理得2222cos OB BC OB BC OBC OC +-⋅⋅∠= ……………………………………8分 即,22211602160()200,2x x +-⋅⋅-=化简得2160144000,x x +-=解得：80x =-±0x >，………………………………………………10分∴8040 3.618064.40x =≈⨯-=（海里）.64.425 2.5763÷=<，故可以在3小时内赶到出事地点. …………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()'22111x a x a a f x x x x --+=+-= ………………………2分(1) 当01a <<时，由()'0f x >得，x a 0<<或1x >，由()'0fx <得，a x <<1∴函数()f x 的单调增区间为()0,a 和()1,+∞,单调减区间为(),1a ………4分 (2) 当1a =时, ()'0fx ≥,()f x 的单调增区间为()0,+∞ …………………5分(Ⅱ）命题“至少存在一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立”的否定是“(0,)x ∀∈+∞，()f x x ≤恒成立”。
(福建版)2016届高三数学上学期第一次月考试题 理
第一次月考数学理试题【福建版】考试时间：120分钟 试卷满分：150分本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷满分150分．考试时间120分钟． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差其中x 为样本平均数 锥体体积公式 V =31Sh 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式V =Sh其中S 为底面面积，h 为高球的表面积、体积公式 24S R =π，343V R =π 其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．如图，在复平面内，若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z +所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2． 一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为．．．． ① 长、宽不相等的矩形； ② 正方形；③ 圆；④ 三角形． 其中正确的是 A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④3．命题“对任意x R ∈，均有2250x x ≤－＋”的否定为A ．对任意x R ∈，均有2250x x ≥－＋ B ．对任意x R ∉，均有2250x x ≤－＋C ．存在x R ∈，使得2250x x >－＋D ．存在x R ∉，使得2250x x >－＋4． 对具有线性相关关系的变量x ，y ，有一组观测数据（i x ，i y ）（i =1，2，…，8），其回归直线方程是：16y x a =+，且12381238...3(...)6x x x x y y y y ++++=++++=，则实数a 的值是A ．116B ．18C ．14D ．1116第2题5． 已知,l m 为两条不同的直线，α为一个平面。
福建省大田县高中名校2016届高三数学(文)上学期第二次阶段考试试题及答案
福建大田一中2015—2016学年第一学期第二次阶段质量检测高三数学试题（考试时间：2015年12月17日上午8：00-10：00 满分：150分 ） 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题“x ∀∈R ,20x >”的否定是 （ D )A. 20x ≤B.x ∃∈R ,20x >C.x ∃∈R ,20x <D.x ∃∈R ,20x ≤2．已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与a b -平行，则实数x 的值是（ D ） A ．－2B ．0C ．1D ．23. 已知集合{}2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则MN 为 ( B )A. (0，＋∞)B. (1，＋∞)C. [2，＋∞)D.［1，＋∞) 4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于( A )2 C.65．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为( C )A.22126x y -= B. 22162x y -= C. 2213y x -= D.2213x y -= 6．已知实数52,,202m 构成一个等差数列，则圆锥曲线221x y m+= ( m<0) 的离心率为( B )或 D.56或7 7、设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝1，则m 等于（ B ）A ．10B ．10C ．20D ．1008．过点)2,2(P 的直线与圆5)1(22=+-y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直， 则a =（C ）A ．21-B ． 1C ． 2D ．21 9. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ D ）A ．7 B.5 C ．-5 D. -7 10.已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图像向右平移6π个单位后得到函数()()x x g ωsin =的图像，则函数()f x 的图像 ( B ) A ．关于直线512x π=对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 11.已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( D )A.522＋2 B.522＋1 C.522－2 D.522－1 12、定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)13log (1),0,2()14,2,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ B ）A ．31a -B ．13a- C ．31a -- D ．13a --二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.若(1)(2)i i a bi ++=+,其中,,a b R i ∈为虚数单位,则a b +=___________.414．已知条件p ：x 2﹣3x ﹣4≤0；条件q ：x 2﹣6x+9﹣m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ．解：∵条件p ：x 2﹣3x ﹣4≤0；∴p ：﹣1≤x ≤4，∵条件q ：x 2﹣6x+9﹣m 2≤0，∴q ：3﹣m ≤x ≤3+m ， 若P 是q 的充分不必要条件，则，解得：m ≥4，15.已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是 ．4[,5]5 16、已知双曲线上存在两点关于直线对称，且中点在抛物线上，则实数的值为________．0或-8三．解答题（17题到21题每题12分，选修题10分，共70分）17．(本题满分12分) 已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，a 7＝4a 3，前n 项和为S n ． (1) 求a n 及S n ； (2) 设b n ＝44n n S a n--，n ∈N *，求b n 的最大值．(1) 设公差为d ，由题意知a 1＋6d ＝4(a 1＋2d )， 2分 由a 1＝2解得d ＝－3，故a n ＝－3n ＋5， …… 4分S n ＝2372n n -+，n ∈N *． … 6分(2) 由(Ｉ)得b n ＝44n n S a n--＝312－32(n ＋16n )． 8分由基本不等式得 n ＋16n≥8，… 10分所以b n ＝312－32(n ＋16n )≤72，又当n ＝4时，b n ＝72． 从而得b n 的最大值为72．…… 12分18．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，60CAB ∠=,4,AC BC ==.(Ⅰ)求△ABC 的面积；(Ⅱ)若函数,0,0)(sin()(>>+=ωϕωM x M x f |ϕ|)2π<的图像经过A 、C 、Ｂ三点，且A 、B 为()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式 ．(Ⅰ)在△ABC 中由余弦定理可知：3cos 2222πbc c b a -+= …………2分∴24120c c --=6c AB ∴== …………4分363sin 6421=⋅⋅=∆πABC S ……6分 (Ⅱ) T=2×6=12, ∴6πω=………8分 ∵M M f =+⋅=)16sin()1(ϕπsin()16π∴+ϕ=，2,62k k Z ππ∴+ϕ=π+∈2πϕ<，3π∴ϕ=. …………10分 又323sin)0(==πM f ，4=∴M)36sin(4)(ππ+=∴x x f ． ……………12分19．(本小题满分12分)如图，已知长方形ABCD 中，AB=AD =M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．(Ⅰ)求证：AD BM ⊥；(Ⅱ)若点E 是线段DB 上的一动点， 问点E 在何位置时，三棱锥E ADM -的体积 与四棱锥D ABCM -的体积之比为1:3？．(Ⅰ) 证明：∵长方形ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为DC 的中点， ∴AM=BM=2，∴BM⊥AM . ………………2分 ∵平面ADM⊥平面ABCM ，平面ADM∩平面ABCM=AM ，BM ⊂平面ABCM ∴BM⊥平面ADM ∵AD ⊂平面ADM ∴AD⊥BM …6分 (Ⅱ)E 为DB 的中点． …………7分1112122233E ADM B ADM D ABM D ABCM D ABCM V V V V V -----===⋅= ……12分20.(本题满分12分)设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. (1)当m e =(e 为自然对数的底数)时，求()f x 的极小值；(2)讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数； 解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x，则f ′(x )＝x －ex2， ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee＝2，∴f (x )的极小值为2. 6分(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，第19题图令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点， 因此x ＝1也是φ(x )的最大值点．∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 9分又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点． 12分21. 在平面直角坐标系y x 0中,已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过（0，1），且离心率22=e ，（1）求椭圆方程。
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第二次月考数学文试题【福建版】（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}{}{1,2,3,4,5},1,2,3,3,4,()U U A B C A B ===⋃则=（ ）.A ．{3}B ．{5}C ．{1，2，4，5}D ．{1，2，3，4}2．sin 480等于（ ）.A ．12-B ．12C ． D3．命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是（ ）.A.R ∉∀x ，x x ≠2B.R ∈∀x ，x x =2C.R ∉∃x ，x x ≠2D.R ∈∃x ，x x =2 4．在等差数列{n a }中，已知16102=+a a ，则39a a +=（ ）.A ．8B ．16C ．20D ．24 5.若函数()1()33f x x x x =+>-，则()f x 的最小值为（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 66．已知函数()f x 是偶函数，在),0(+∞上单调递增，则下列不等式成立的是（ ）.A. (3)(1)(2)f f f -<-<B.(1)(2)(3)f f f -<<-C. (2)(3)(1)f f f <-<-D.(2)(1)(3)f f f <-<- 7．“ϕπ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的（ ）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．sin(65)cos(20)cos(65)sin(20)x x x x -----的值为（ ）.A B C ．12D ．9．如图，在ABC ∆中，2CD DB =,记AB a =，AC b =，则AD =（ ）.A ．2133a b + B ．2133a b - C ．1233a b + D ．1233a b -10．已知二次函数()f x 的图象如图所示，则其导函数()f x '的图象大致形状是（ ）.11.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．12．定义在R 上的函数()f x ，若对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+， 则称f(x)为“Z 函数”，给出下列函数：①32123y x x x =-+-；②2(sin cos )y x x x =-+；③1x y e =+；④ln ||,0,()0,0.x x f x x ≠⎧=⎨=⎩其中是“Z 函数”的个数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置． 13.ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且3,3,2π===C b a ,则ABC ∆的面积为 . 14、已知2log 0()cos 2 0x x f x x x π>⎧=⎨≤⎩，则11()()22f f +-的值等于 .15．数列{}n a 满足113a =，1115()n nn N a a ++-=∈，则10a = . 16. 已知函数()y f x =同时满足下列条件：①周期为π；②定义域为R ，值域为［21,23］；③在［0，2π］上是减函数；④()()0f x f x --=，则满足上述要求的函数()f x 可以是 __(写出一个即可).三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分）已知向量(sin ,a θ=与)cos ,1(θ=b（Ⅰ）若a 与b 互相垂直，求tan θ的值 （Ⅱ）若a b =，求sin(2)2πθ+的值18. (本小题满分12分）已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，11a =，2321a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在常数M ,使得数列{}n c 的前n 项和n S M <，则称数列{}n c 是“上界和数列”.试判断数列{}n a 是否是“上界和数列”，并说明理由.19．(本小题满分12分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，长轴长为,离心率e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积.20. (本小题满分12分）已知44()sin cos cos f x x x x x a =-++（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）把()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，得到()y g x =的图像，求函数()y g x =的解析式；（Ⅲ）()y g x =在[0,]2π上最大值与最小值之和为3，求a 的值.21. (本小题满分12分）某游乐园拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 为主题活动园区，60ACB ∠=；AD CD 、为游客通道（不考虑宽度），通道AD CD 、围成三角形区域ADC 为游客休闲中心，供游客休憩.（Ⅰ）若20AC m =，24BC m =，求AB 的长度.（Ⅱ）如图，24AB m =，AD 与AB 垂直，且0120ADC ∠=，0(4560)ABC θθ∠=≤≤.记游客通道长度和为L ，写出L 关于θ的关系式，并求L 的最小值．22. (本小题满分14分）已知()2ln 1f x ax b x =+-，设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =。
（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）设函数2()()2x g x mf x mx =+-.（i ）若m R ∈，求函数()g x 的单调区间；（ii ）若13m <<，求证：当[1,]x e ∈时，2()22e g x <-.参考答案二、填空题：13.14 2- 15 148 16 1()cos 212f x x =+ 三、解答题： 17解：解：（Ⅰ）a 与b 互相垂直sin 0θθ∴= …………3分 ∴tan θ=…………6分 （Ⅱ）a b == …………8分 221sin 1cos 5θθ∴+=+ 2214cos sin 155θθ∴-=-=-即4cos 25θ=- …………10分4sin(2)cos 225πθθ∴+==- …………12分18.解:（Ⅰ）解: 设数列{}n a 公比为q2321a a +=，21121a q a q ∴+=2210q q ∴+-=，1,=12q q ∴=-或 …………4分数列{}n a 为各项为正数，12q ∴=112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭…………6分（Ⅱ）记数列{}n a 的前n 项和为n T ,()1112112n n n a q T q -⎡⎤⎛⎫∴==-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦ …………9分数列{}n a 的前n 项和2n T <，∴数列{}n a 是“上界和数列”. …………12分19．解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为()222210x y a b a b+=>>∵长轴长为,离心率e =a ∴=且c a =∴1,c =2221,b a c =-= 所求椭圆方程为：2212x y +=． …………6分（Ⅱ）因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-． …………7分 设()()1122,,,P x y Q x y ，由 2222,1,x y y x ⎧+=⎨=-⎩ 得 23210y y +-=，解得 1211,3y y =-=． …………10分∴ 1212112223POQ S OF y y y y ∆=⋅-=-=． …………12分20. 解：（Ⅰ）44()sin cos cos ()f x x x x x x R =-+∈2222(sin cos )(sin cos )2x x x x x =-++12cos 222cos 22sin 226x x x x x a π⎫⎛⎫=-=-=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ …………4分 ()f x ∴的最小正周期22T ππ== …………6分 （Ⅱ）()2sin 26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin 6y x a π⎛⎫−−−−−−−→=-+ ⎪⎝⎭横坐标变为原来的2倍纵坐标不变32sin +6y x a ππ⎛⎫−−−−−−→=+ ⎪⎝⎭向左移动个单位所以函数()2sin +6g x x a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………9分 （Ⅲ）20, +,2663x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1sin 2+126x π⎛⎫∴≤≤ ⎪⎝⎭，即max min ()2,2330.()1,g x a a a g x a =+⎧∴+==⎨=+⎩即 …………12分21．解：（Ⅰ）由已知由余弦定理，得2222cos 60BC AB AC AB AC =+-⋅⋅2212420224204962=+-⨯⨯⨯=BC ∴== …………4分（Ⅱ）在ACB ∆中，sin sin AB ACACB ABC=∠∠24sin sin 60AC θθ∴== …………5分由已知得0120CAB θ∠=-，030CAD θ∠=-又0120ADC ∠=，090ACD θ∠=- …………6分 在ADC ∆中，sin sin sin AC AD CDADC ACD CAD==∠∠∠ ()00sin 9016sin 2sin120AC AD θθ-===1cos 2sin(30)sin120AC CD θθθθ⎫⋅-⎪-==216sin cos 28sin 2θθθθθ=-=- …………9分则16sin 228sin 2L AD CD θθθ=+=+--()8sin 2216sin 260θθθ=-=+-因004560θ≤≤，当045=θ时，L 取到最小值 ）（838+m …………12分22、解：（Ⅰ）由已知()2bf x a x'=+， 依题意(1)0f =，且(1)0f '=所以21020a ab -=⎧⎨+=⎩ 解得1,12a b ==- …………5分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）得()ln 1,0f x x x x =-->所以()2()ln 02x g x m x m x =-->，2()m x m g x x x x-'=-=…………6分当0m ≤，()0g x '≥在(0,)+∞上恒成立，所以在区间(0,)+∞上是增函数 …………7分当0m >时，由()0g x '>得x >，由()0g x '<得0x <<所以()g x 在区间上是减函数，在区间)+∞上是增函数 …………9分（ii ）当13m <<，[1,]x e ∈[1,]e ，()g x 在区间上是减函数，在区间]e 上是增函数所以()g x 最大值为max((1),())g g e …………11分又因为13m <<，22()2222e e g e m =-<-，21(1)0222e g m =-<<-所以当13,[1,]m x e <<∈时，2()22e g x <- …………14分。