2016年江苏省南京市汇文中学九年级上学期数学期中试卷与解析

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【人教版】2016届九年级上期中数学试卷及答案解析

九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填在该题相应的括号内）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：12．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB的值是（）A．B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．60°D．75°4．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD •AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA=4，PB=2，那么线段BC的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①②③④ C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）9．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为．10．弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则该弧所在圆的半径是．11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．12．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，则= ．13．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC=80°，那么∠BDC= 度．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的证明过程或演算步骤15．计算：tan30°•sin60°+cos230°﹣sin245°•tan45°．16．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的长．17．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD ⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的长．18．如图，△ABC的三顶点分别为A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．请画出一个以原点O为位似中心，且与△ABC相似比为的位似图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（只需画出一种情况，A1B1：AB=）19．如图1表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直与桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距离桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分？20．如图，小明为测量某铁塔AB的高度，他在离塔底B的10米C处测得塔顶的仰角α=43°，已知小明的测角仪高CD=1.5米，求铁塔AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin43°=0.6820，cos43°=0.7314，tan43°=0.9325）21．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．22．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．24．如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）计算：AC•AF的值．九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

【5套打包】南京市初三九年级数学上期中考试检测试卷(解析版)

新九年级上册数学期中考试试题(含答案)一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）二次函数y＝（x+2）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）3．（2分）如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（）A．8B．6C．4D．104．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（）A．29°B．31°C．59°D．62°5．（2分）如图4×4的正方形网格中，△PMN绕某点旋转一定的角度，得到△P1M1N1，其旋转中心是（）A．A点B．B点C．C点D．D点6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝6，阴影部分图形的面积为（）A．4πB．3πC．2πD．π7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：①物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2以上结论中其中的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④8．（2分）如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是．10．（2分）平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则点A（4，3）在⊙O（填：“内”或“上“或“外”）11．（2分）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕30°角的顶点B顺时计旋转，使得点A 落在CB的延长线上的点E处，则∠BCD的度数为．12．（2分）将抛物线y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2﹣k的形式，则hk＝．13．（2分）若正六边形的边长为2，则其外接圆的面积为．14．（2分）二次函数满足下列条件：①函数有最大值3；②对称轴为y轴，写出一个满足以上条件的二次函数解析式：15．（2分）圆锥底面半径为6，高为8，则圆锥的侧面积为．16．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：∠ACB是△ABC的一个内角．求作：∠APB＝∠ACB．小明的做法如下：如图①作线段AB的垂直平分线m；②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．所以∠APB＝∠ACB．老师说：“小明的作法正确．”请回答：（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA＝OB＝OC）的依据是；（2）∠APB＝∠ACB的依据是．三、解答题（本原共68分，第17-22题，每小题5分，第23、24、26、28题，每小题5分，第25，27题，每小题5分）17．（5分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90，且点B的坐标为（4，2）（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1．（2）求点B旋转到点B1所经过的路线长（结果保留π）18．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示．（1）确定二次函数的解析式；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．20．（5分）关于x一元二次方程x2+mx+n＝0．（1）当m＝n+2时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．21．（5分）如图，P A，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝70°．求∠P的度数．22．（5分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w （双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？23．（6分）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，并标出M点的坐标；（2）若D点的坐标为（7，0），想一想直线CD与⊙M有怎样的位置关系，并证明你的猜想．24．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE ⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，∠F＝30°，求DE的长．25．（7分）如图，Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交弧AB于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是．（2）按下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值．（3）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并面出函数y1，y2的图象．（4）结合函数图象，解决问题：当△BPC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．26．（6分）在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q是x轴上一点，①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．27．（7分）已知：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°（1）如图①，若∠ACD＝60°，BC＝1，CD＝3，则AC的长为；（2）如图②，若∠ACD＝45°，BC＝1，CD＝3，求出AC的长；（3）如图③，若∠ACD＝30°，BC＝a，CD＝b，直接写出AC的长．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m≠0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B顺时针旋转90°．得到线段BA1，称点A1为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图（1）已知点A（0，4），①当点B的坐标分别为（1，0），（﹣2，0）时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为，；②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；（2）如图2，点C的坐标为（﹣3，0），以C为圆心，为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．2018-2019学年北京市朝阳区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选：C．2．【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴二次函数y＝（x+2）2+3的图象的顶点坐标是（﹣2，3）．故选：A．3．【解答】解：连接OA，∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，∴AC＝＝＝4，∵OC⊥AB，∴AB＝2AC＝2×4＝8．故选：A．4．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝59°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝31°，∴∠C＝∠A＝31°．故选：B．5．【解答】解：如图，连接NN1，PP1，可得其垂直平分线相交于点B，故旋转中心是B点．故选：B．6．【解答】解：连接BC，OD，设CD交AB于E．∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝6，∴＝，CE＝ED＝3，∴∠BOC＝∠BOD＝60°，EO＝，OC＝2，∴∠CBO＝∠BOD，∴BC∥OD，∴S△BCD＝S△BCO，∴S阴＝S扇形OBC＝＝2π．故选：C．7．【解答】解：从表格可以看出，函数的对称轴是x＝1，顶点坐标为（1，﹣1），函数与x轴的交点为（0，0）、（2，0），①物线y＝ax2+bx+c的开口向下．抛物线开口向上，错误；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，错误；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，正确；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，正确．故选：D．8．【解答】解：根据画出的函数的图象，C符合，故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．10．【解答】解：∵点A（新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（共30分，每小题3分）1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y26．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．547．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．208．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．解：∵DE∥BC，∴＝，∵，AE＝2cm，∴＝，∴AC＝6（cm），故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D 满足这两点，故选：D．【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y2．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF 的周长．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为6厘米．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．解：根据题意得，＝，解得，m＝20．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE ＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．解：方程整理得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x 1＝0，x2＝．故答案为：x 1＝0，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，∴∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，由题意2a×a＝8，∴a2＝，∴k＝a2＝4，故答案为4．【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 3 ．【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB＝AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，∴＝，即MN＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是3+．【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．故答案为3+．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．解法一：原式可以变形为，，，∴，∴，．解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝12，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．解：如图所示：【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF＝∠ECD，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝BD，∴四边形AFCD是菱形．（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，在Rt△BHF中，BF＝＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：舍利塔的高度AB为55米．【点评】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝14求出即可．解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）＝14，解得：x1＝1，x2＝4．因为要且尽可能地减少成本，所以x2＝4舍去，x+3＝4．答：每盆植4株时，每盆的盈利14元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；（2）延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），∴点C（5，0），∴点B（6，4）．（2）延长DP交OA于点E，如图②所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）．令y＝中y＝2，则x＝2，∴点P（2，2），∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，∴S△AOP＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质，解题的关键是：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式．23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．【分析】（1）列举出所有情况，看白色衬衫配米色裙子的总数即可得出答案；（2）列举出青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数占所有情况数的多少即可．解：（1）共有8种情况，白色衬衫米色裙子的情况数有1种，所以他最喜欢的搭配的概率为；（2）青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数有2种，所以他最不喜欢的搭配的概率为，故她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会不相等．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．。

【初三数学】南京市九年级数学上期中考试检测试卷(含答案)

新九年级上学期期中考试数学试题(答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程3x 2－6x －1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A ．3，6，1 B ．3，6，－1 C ．3，－6，1 D ．3，－6，－12．用配方法解方程x 2－4x ＋2＝0，配方正确的是（） A ．(x －2)2＝2 B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝－2D ． (x －2)2＝63．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是（） A ．6 B ．－6 C ．5 D ．－5 5．如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是AB 上一个动点，则OP 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．某市“赏花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（） A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20C ．20(1＋x )2＝28.8D ．20＋20(1＋2x )＋ 20(1＋x )2＝28.87．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △A ′B ′C ′，点A 在B ′C 上，则∠B ′的大小为（） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 8．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为（） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°9．抛物线y ＝ax 2－2ax －3a 上有A （－0.5，y 1），B （2，y 2）和C （3，y 3）三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 2＜y 3第5题图第7题图ABCA 'B 'A第8题图10．某学习小组在研究函数y ＝16x 3－2x 的图象和性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分，则方程16x 3－2x ＝1实数根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程x 2－9＝0的解是．12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有个班级参赛．13．抛物线y ＝12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是．14．飞机着陆后滑行的距离s (m )与滑行时间t (s )的函数关系式为s ＝60t－1.5t 2，飞机着陆后滑行 m 才能停下来．15．如图，将⊙O沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AB 上的一动点，则∠APB 的大小是度．16．如图，⊙O 的半径是1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连OC ，则OC 的最大值为．第10题图第16题图第15题图三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（本题8分）解方程x2－3x＋1＝018．（本题8分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝2的根；（2）直接写出不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.19．(本题8分) 关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有实数根. （1）求m的取值范围；（2）若两根为x1、x2且x12＋x22＝7，求m的值.20．(本题8分) 如图，△ABC是等边三角形.（1）作△ABC的外接圆；（2）在劣弧BC上取点D，分别连接BD，CD，并将△ABD绕A点逆时针旋转60°；（3）若AD＝4，直接写出四边形ABDC的面积.21．(本题8分) 如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点E，AE＝6，，AD⊥CD于D，F为半圆弧AB的中点，EF交AC于点G.（1）求CD的长；（2）求EG的长.第18题图第20题图AB C第21题图A B22．(本题10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABC D .（1）如图1，已知矩形菜园的一边靠墙，且AD ≤MN ，设AD ＝x 米.①若a ＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长； ②求矩形菜园ABCD 面积的最大值；（2）如图2，若a ＝20，则旧墙和木栏能围成的矩形菜园ABCD 面积的最大值是米2.23．(本题10分) 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是△ABC 内一点，连接PA ，PB ，PC ，且PA，设∠APB ＝α，∠CPB ＝β.（1）如图1，若∠ACP ＝45°，将△PBC 绕点C 顺时针旋转90°至△DAC ，连结新九年级上学期期中考试数学试题(答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程3x 2－6x －1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A ．3，6，1 B ．3，6，－1 C ．3，－6，1 D ．3，－6，－12．用配方法解方程x 2－4x ＋2＝0，配方正确的是（） A ．(x －2)2＝2 B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝－2D ． (x －2)2＝63．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是（） A ．6B ．－6C ．5D ．－5A BCDMN NM DC BA第22题图2第22题图15．如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是AB 上一个动点，则OP 的最小值为（） A ．2B ．3C ．4D ．56．某市“赏花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（） A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20C ．20(1＋x )2＝28.8D ．20＋20(1＋2x )＋ 20(1＋x )2＝28.87．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △A ′B ′C ′，点A 在B ′C 上，则∠B ′的大小为（） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 8．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为（） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°9．抛物线y ＝ax 2－2ax －3a 上有A （－0.5，y 1），B （2，y 2）和C （3，y 3）三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 2＜y 310．某学习小组在研究函数y ＝16x 3－2x 的图象和性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分，则方程16x 3－2x ＝1实数根的个数为（）A ．1 B．2C ．3D ．4第5题图第7题图ABCA 'B 'A第8题图第10题图二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程x 2－9＝0的解是．12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有个班级参赛．13．抛物线y ＝12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是．14．飞机着陆后滑行的距离s (m )与滑行时间t (s )的函数关系式为s ＝60t －1.5t 2，飞机着陆后滑行 m 才能停下来．15．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AB 上的一动点，则∠APB 的大小是度．16．如图，⊙O 的半径是1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连OC ，则OC 的最大值为．三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本题8分）解方程x 2－3x ＋1＝018．（本题8分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax 2＋bx ＋c ＝2的根；（2）直接写出不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集.19．(本题8分) 关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＝0有实数根. （1）求m 的取值范围；第16题图第15题图第18题图（2）若两根为x 1、x 2且x 12＋x 22＝7，求m 的值.20．(本题8分) 如图，△ABC 是等边三角形. （1）作△ABC 的外接圆；（2）在劣弧BC 上取点D ，分别连接BD ，CD ，并将△ABD 绕A 点逆时针旋转60°；（3）若AD ＝4，直接写出四边形ABDC 的面积.21．(本题8分) 如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝10，C 为⊙O 上一点，AC 平分∠DAB 交⊙O 于点E ，AE ＝6，，AD ⊥CD 于D ，F 为半圆弧AB 的中点，EF 交AC 于点G . （1）求CD 的长；（2）求EG 的长.22．(本题10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABC D .（1）如图1，已知矩形菜园的一边靠墙，且AD ≤MN ，设AD ＝x 米.①若a ＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长； ②求矩形菜园ABCD 面积的最大值；（2）如图2，若a ＝20，则旧墙和木栏能围成的矩形菜园ABCD 面积的最大值是米第20题图ABC第21题图AB A BCDMN NM DC BA第22题图2第22题图12.23．(本题10分) 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，且PA，设∠APB＝α，∠CPB＝β.（1）如图1，若∠ACP＝45°，将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（共30分，每小题3分）1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2 6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．547．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．208．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．解：∵DE∥BC，∴＝，∵，AE＝2cm，∴＝，∴AC＝6（cm），故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D 满足这两点，故选：D．【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y2．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF 的周长．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为6厘米．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．解：根据题意得，＝，解得，m＝20．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE ＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．解：方程整理得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x 1＝0，x2＝．故答案为：x 1＝0，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，∴∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，由题意2a×a＝8，∴a2＝，∴k＝a2＝4，故答案为4．【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 3 ．【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB＝AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，∴＝，即MN＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是3+．【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．故答案为3+．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．解法一：原式可以变形为，，，∴，∴，．解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝12，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．解：如图所示：【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF＝∠ECD，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝BD，∴四边形AFCD是菱形．（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，在Rt△BHF中，BF＝＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：舍利塔的高度AB为55米．【点评】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝14求出即可．解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）＝14，解得：x1＝1，x2＝4．因为要且尽可能地减少成本，所以x2＝4舍去，x+3＝4．答：每盆植4株时，每盆的盈利14元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；（2）延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），∴点C（5，0），∴点B（6，4）．（2）延长DP交OA于点E，如图②所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）．令y＝中y＝2，则x＝2，∴点P（2，2），∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，∴S△AOP＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质，解题的关键是：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式．23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．【分析】（1）列举出所有情况，看白色衬衫配米色裙子的总数即可得出答案；（2）列举出青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数占所有情况数的多少即可．解：（1）共有8种情况，白色衬衫米色裙子的情况数有1种，所以他最喜欢的搭配的概率为；（2）青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数有2种，所以他最不喜欢的搭配的概率为，故她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会不相等．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．【分析】（1）只要证明△FAD∽△DAB，可得＝，延长即可解决问题；（2）只要证明△CAD≌△EBD，可得AC＝BE，再证明△EBD∽△CBA，可得＝，由BD＝AD，AC＝BE，可得AD•BE＝DE•AB；证明：（1）∵∠BAC＝2∠B，∠DAB＝∠DAC，∴∠B＝∠DAB，∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD，∴△FAD∽△DAB，∴＝，∴AD2＝AF•AB．（2）∵∠B＝∠DAB，∴DA＝DB，∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，∴△CAD≌△EBD，∴AC＝BE，∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，∴△EBD∽△CBA，∴＝，∵BD＝AD，AC＝BE，∴AD•BE＝DE•AB．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2）当DP＝CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）当AP＝5时，在Rt△PAD和Rt△PBC中，，。

江苏省南京市九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 6 小题，共18.0 分）1.以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. 平行四边形B. 圆C. 等边三角形D. 正五边形2.已知⊙ O 的半径为 6cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与⊙O 的交点个数为（）A. 0B. lC. 2D. 没法确立3. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的均匀数x- 与方差 S2：甲乙丙丁均匀数 x- （cm）563 560 563 560方差 S2（ cm2）依据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳固的运动员参加竞赛，应当选择（）A.甲B.乙C.丙D.丁4. 当 m 取以下哪个值时，对于x 的一元二次方程x2-2x+m=0 没有实数根（）A.-2B.0C.1D.25.如图，点 E 在 y 轴上，⊙E 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C、 D，若 C（ 0，9）， D （0， -1），则线段AB 的长度为（）A.3B.4C.6D.86.如图，? ABCD 中，AD ∥BC，AD =8，CD =4，∠B=60 °．若点 P 在线段 BC 上，且△ADP 为直角三角形，则切合要求的点P 的个数有（）A. 4个B. 3个C.2个D. 1 个二、填空题（本大题共10 小题，共分）7. 一个不透明的口袋中，装有除颜色之外其他都同样的红、黄两种球共15 个，摇匀后从中随意摸出一球，记下颜色放回，摇匀再摸出一个，记下颜色放回．经过大量的重复试验，发现摸到红球的频次为，则预计袋中有红球______ 个．8. 2017 年金砖国家峰会中， 6 名礼仪小姐的身高以下（单位： cm）：168，166，168，167， 169， 168，她们的身高的众数是______cm，中位数 ______cm．9.小明上学期数学的平常成绩80 分，期中成绩 90 分，期末成绩 85 分，若学期总评成绩按平常：期中：期末=3 ： 3：4 计算，则小明上学期数学的总评成绩是______分．12.如图，已知 CD 是⊙ O 的直径，A、B 在⊙ O上，∠AOB=35 °，CA∥OB，则∠BOD =______．13.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE 中，∠B+∠E=210 °，则∠CAD =______ °．14.如图，用一个半径为 30cm，面积为 300 πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计消耗），则圆锥的底面半径r 为 ______．15.今年梦想公司一月份产值 200 万，二、三月份产值均以同样的增添率连续增添，结果三月份产值比二月份产值增添了22 万．若设该公司二、三月份产值均匀增添率为 x，依据题意可列方程______．16.如图， Rt△ABC 的内切圆⊙ I 分别与斜边 AB、直角边BC、CA 切于点 D、E、F，AD=3，BD =2，则 Rt△ABC的面积为 ______．三、解答题（本大题共11 小题，共88.0 分）17.解方程：（1） 4x2-2x-1=0 ；（2）（ y+1）2=（ 3y-1）2．18.如图，转盘 A 中的 4 个扇形的面积相等，转盘 B 中的 3 个扇形面积相等．小明设计了以下游戏规则：甲、乙两人分别随意转动转盘A、 B 一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的 2 个数相乘，假如所得的积是偶数，那么是甲获胜；假如所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公正吗？为何？19.一个不透明的口袋里装有白、红两种颜色的球，这些球除了颜色外都同样，此中白球 1 个，红球若干个．已知随机地从袋中摸出 1 个球，摸到白球的概率为13 ．（1）袋中有红色球 ______个；（2）从袋中随意摸出一球记下颜色放回、搅匀，再从中随意摸出一球，像这样有放回地先后摸球 3 次，请列出所有摸到球的可能结果，并求出三次都摸到红球的概率．20. 某区对马上参加2019 年中考的 3000 名初中毕业生进行了一次视力抽样检查，绘制出频数散布表和频数散布直方图的一部分．请依据图表信息回答以下问题：视力频数（人）频次≤x20＜≤x40＜≤x＜70≤x＜ a≤x＜10 b（1）在频数散布表中， a=______， b=______，并将频数散布直方图增补完好；（2）甲同学说“我的视力状况是此次抽样检查所得数据的中位数”，问甲同学的视力状况在什么范围内？（3）若视力在 4.9 以上（含）均属正常，依据上述信息预计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？21.如图，⊙ I是△ABC的内切圆，切点分别是D、 E、F ．（1）若∠B=50°，∠C=70°，则∠DFE 的度数为 ______ ；（2）若∠DFE =50°，求∠A 的度数．222.已知对于 x 的一元二次方程 x -mx+m-2=0 ．（1）若该方程有一个根为 -1，求 m 的值；（2）求证：无论 m 为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23.如图，△ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC于D，交AC于E．（1）求证： BD=CD ；（2）若∠BAC =50°，求∠EBC 和∠EDC 的度数．24.如图，在以 O 为圆心的两个齐心圆中，大圆的弦 AB、AC分别切小圆于点 M、 N．（1）求证： AB=AC；（2）若大圆的半径为 5，且 AB=8 ，求小圆的半径．25.某商铺经销的某种商品，每件成本价为40 元．经市场调研，售价为50 元 /件，可销售 150 件；销售单价每提升 1 元，销售量将减少 5 件．假如商铺将一批这类商品所有售完，盈余了 1500 元，问：该商铺销售了这类商品多少件？每件售价多少元？26.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90 °，∠ABC 的角均分线 BD 交 AC 边于 D．⊙ O 过 B、D两点，且圆心 O 在 AB 边上．（1）用直尺和圆规作出⊙ O（不写作法，保存作图印迹）；（2）判断直线 AC 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；（3）若 AB=9 ， AD=3 ，求⊙O 的半径．27.【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思虑】（ 1）如图 1，AB 是⊙ O 的弦，∠AOB=100°，点 P1、 P2分别是优弧 AB 和劣弧 AB 上的点，则∠AP1B=______ °，∠AP2B=______ °．（ 2）如图 2，AB 是⊙ O 的弦，圆心角∠AOB=m°（m＜ 180°），点 P 是⊙ O 上不与A、B 重合的一点，求弦AB 所对的圆周角∠APB 的度数（用m 的代数式表示）．【问题解决】（3）如图 3，已知线段 AB，点 C 在 AB 所在直线的上方，且∠ACB=135°．用尺规作图的方法作出知足条件的点 C 所构成的图形（不写作法，保存作图印迹）．答案和分析1.【答案】B【分析】解：A 、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、圆，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．应选：B．依据中心对称图形和轴对称图形的观点对各选项剖析判断即可得解．本题考察了中心对称图形与轴对称图形的观点，轴对称图形的重点是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要找寻对称中心，旋转 180度后两部分重合．2.【答案】C【分析】解：∵⊙O 的半径为 6cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，6cm＞ 5cm，∴直线 l 与⊙O 订交，∴直线 l 与⊙O 有两个交点．应选：C．先依据题意判断出直线与圆的地点关系即可得出结论．本题考察的是直线与圆的地点关系，熟知设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，当d＜r时，直线与圆订交是解答此题的重点．3.【答案】A【分析】S 2，S 2，S2，S2解：∵甲乙丙丁，∴S甲2=S 乙2＜S 丁2＜S丙2，∴＞，∴从中选择一名成绩好又发挥稳固的运动员参加竞赛，应当选择甲；应选：A．依据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再依据均匀数的意义即可求出答案．本题考察了均匀数和方差，它反应了一组数据的波动大小，方差越大，颠簸性越大，反之也成立．4.【答案】D【分析】解：由题意知，△=4-4m＜0，∴m＞1应选：D．方程没有实数根，则△＜0，成立对于 m 的不等式，求出 m 的取值范围．本题考察了根的判别式，总结：一元二次方程根的状况与判别式△的关系：（1）△＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0? 方程有两个相等的实数根；（3）△＜ 0? 方程没有实数根．5.【答案】C【分析】解：连结 EB，以下图：∵C（0，9），D（0，-1），∴OD=1，OC=9，∴CD=10，∴EB=ED=CD=5，OE=5-1=4，∵AB ⊥CD，∴AO=BO= AB ，OB===3，∴AB=2OB=6 ；应选：C．连结 EB，由题意得出 OD=1，OC=9，∴CD=10，得出 EB=ED=CD=5，OE=4，本题考察了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理；娴熟掌握垂径定理，由勾股定理求出 OB 是解决问题的重点．6.【答案】B【分析】解：如图，连结 AC ，取BC 的中点 K ，连结 AK ．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4 ，AD=BC=4 ，∵BK=KC=4 ，∴BA=BK ，∵∠B=60 °，∴△ABC 是等边三角形，AK=BK=KC ，∴∠BAC=90°，∵AB ∥CD，∴∠ACD= ∠BAC=90°，∴以 AD 为直径作⊙O 交 BC 于 P2，P3，此时△ADP2，△ADP3是直角三角形，当∠DAP1=90°时，△DAP 是直角三角形，∴切合条件的点 P 有三个，应选：B．如图，连结 AC ，取BC 的中点 K ，连结 AK ．第一证明∠BAC=90°，推出∠ACD=90°，以AD 为直径作⊙O 交 BC 于 P2，P3，此时△ADP 2，△ADP 3是直角三角形，当∠DAP1=90°时，△DAP 是直角三角形，因此切合条件的点 P有三个．本题考察圆周角定理，平行四边形的性质，直角三角形的判断和性质等知识，7.【答案】6【分析】解：设袋中有红球 x 个，依据题意得：，解得：x=6，答：袋中有红球 6 个；故答案为：6．设袋中有红球 x 个，依据摸到红球的频次列出方程，而后求解即可．本题主要考察了利用频次预计概率，本题利用了用大批试验获得的频次能够预计事件的概率．重点是依据红球的频次获得相应的等量关系．8.【答案】168168【分析】解：∵168cm 出现了 3 次，出现的次数最多，∴她们的身高的众数是 168cm；把这些数从小到大摆列为 166，167，168，168，168，169，则中位数是=168cm；故答案为：168，168找中位数要把数据按从小到大的次序摆列，位于最中间的一个数（或两个数的均匀数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数能够不只一个．本题考察了中位数和众数，注意找中位数的时候必定要先排好次序，而后再依据奇数和偶数个来确立中位数，假如数占有奇数个，则正中间的数字即为所求，假如是偶数个则找中间两位数的均匀数；众数是一组数据中出现次数最多的数．9.【答案】85【分析】解：依据题意，小明上学期数学的总评成绩是=85（分），故答案为：85．依据加权均匀数的计算公式计算可得．本题考察了加权均匀数的求法，要注意乘以各自的权，直接相加除以 3 是错误的求法．10.【答案】 -2【分析】解：依据题意得 1+（-2）=-b ，1×（-2）=c ，因此 b=1，c=-2，因此 bc=-2．故答案为 -2．依据根与系数的关系获得 1+（-2）=-b ，1×（-2）=c ，而后分别求出 b 、c 的值，再计算 bc 的值．本题考察了一元二次方程根与系数的关系：若 x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，x 1+x 2=- ，x 1x 2= ．也考察了根的判别式．11.【答案】 x 1=-1 ， x 2=2【分析】解：∵2（x+1）=x （x+1）， ∴2（x+1）-x （x+1）=0， ∴（x+1）（2-x ）=0，则 x+1=0 或 2-x=0，解得：x 1=-1，x 2=2，故答案为：x 1=-1，x 2=2．先移项获得 2（x+1）-x （x+1）=0，而后利用因式分解法解方程．本题考察认识一元二次方程 -因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左侧经过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能获得两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转变为解一元一次方程的问题了（数学转变思想）．12.【答案】 35°【分析】解：∵OA=OC ， ∴∠C=∠A ，∵OB ∥AC ，∴∠AOB= ∠A ，∠BOD= ∠C，∴∠AOB= ∠BOD=35°，故答案为 35°只需证明∠AOB= ∠BOD 即可．本题考察平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的重点是娴熟掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】30【分析】解：连结 CE，如图，∵四边形 ABCE 为⊙O 的内接四边形，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠B+∠AED=210°，∴∠CED=210°-180 =30° °，∴∠CAD= ∠CED=30°．故答案为 30．连结 CE，如图，先利用圆的内接四边形的性质获得∠B+∠AEC=180°，则可计算出∠CED=30°，而后依据圆周角定理获得∠CAD 的度数．本题考察了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补．14.【答案】10cm【分析】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、l，圆锥形容器底面半径为 r，则由题意得 R=30，由Rl=300π得 l=20 π；由 2πr=l得 r=10cm．故答案是：10cm．由圆锥的几何特点，我们可得用半径为积为 2 铁皮制30cm，面300πcm 的扇形作一个无盖的圆锥则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆形容器，锥的底面圆的半径．本题考察的知识点是圆锥的表面积，此中依据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的有关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．215.【答案】200（1+ x）-200（1+x）=22解：设该公司二、三月份产值均匀增添率为 x，则该公司二月份产值为 2002（1+x）万，三月份产值为 200（1+x）万，依据题200 1+x 2意得：（）-200 1+x =22（）．2故答案为：200（1+x）-200（1+x）=22．设该公司二、三月份产值均匀增添率为 x，则该公司二月份产值为 200（1+x）2万，三月份产值为 200（1+x）万，由三月份产值比二月份产值增添了 22 万，即可得出对于x 的一元二次方程，本题得解．本题考察了由实质问题抽出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的重点．16.【答案】6【分析】解：∵Rt△ABC 的内切圆⊙ I 分别与斜边 AB 、直角边 BC、CA 切于点 D、E、F， AD=3 ，BD=2 ，∴AD=AF=3 ，BD=BE=2 ，FC=EC，设 FC=EC=x，2 2 2则（3+x）+（2+x）=5 ，解得：x1=1，x 2=-6（不合题意舍去），则 AC=4，BC=3，故 Rt△ABC 的面积为：×4×3=6．故答案为：6．直接利用切线长定理得出 AD=AF=3 ，BD=BE=2 ，FC=EC，再联合勾股定理得出 FC 的长，从而得出答案．本题主要考察了切线长定理以及勾股定理，正确得出FC 的长是解题重点．217.【答案】解：（1）4x -2x-1=0；2∴x=2± 258，∴x1=1+54 ，x2=1-54 ；（2）（ y+1）2=（ 3y-1）2．解：（ y+1） =±（ 3y-1）y+1=3y-1 或 y+1=-3 y+1y1=1， y2=0 ．【分析】（1）找出a，b 及 c 的值，计算出根的判别式的值大于 0，代入求根公式即可求出解；（2）移项，而后利用因式分解法即可求解．本题考察认识一元二次方程 -公式法及因式分解法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出 a，b 及 c 的值，当根的鉴别式的值大于等于 0 时，代入求根公式即可求出解．18.【答案】解：列表以下：1 123 42 2 4 6 93 3 6 9 12以上共有12 个等可能的结果，此中积为偶数的有8 个结果，积为奇数的有 4 个结果，∴P（甲胜） =23， P（乙胜） =13 ，∵P（甲胜）＞ P（乙胜），∴规则不公正．【分析】第一依据题意画出表格，而后由表格求得所有等可能的结果，由两个数字的积为奇数和偶数的状况，再利用概率公式即可求得答案．本题考察游戏公正性、列表法和树状图法，解答此类问题的重点是明确题意，写出所有的可能性．19.【答案】2【分析】解：（1）袋中有红色球为：2 个，故答案为：2；（2）画树状图得：以上共 27 个等可能的结果，此中三次都为红色的有 8 个结果，∴P（三次都为红色）=．（1）依据概率公式即可获得结论；（2）先利用画树状图展现所有 27 种等可能的结果数，再找出 8 次都摸到红球的结果数，而后依据概率公式求解．本题考察了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的重点是依据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法能够不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所讨状况数与总状况数之比．20.【答案】60【分析】解：（1）20÷0.1=200（人），因此本次检查的样本为 200 名初中毕业生的视力状况，则 a=200×0.3=60，b=10÷；如图，（2）∵共有 200 个数据，此中位数是第 100 和第 101 个数据的均匀数，而第100 和第 101 个数据均落在 4.6 ≤x＜，∴甲同学的视力状况在 4.6 ≤x＜；（3）（）×3000=1050答：预计全区初中毕业生中视力正常的学生有1050 人．（1）先依据4.0 ≤x＜4.3 的频数和频次求得总人数，再依据频数 =频次×总数分别求得 a和 b，据此可补全图形；（2）依据中位数的定义求解可得；（3）用样本值后边两组的频次和乘以 3000 可预计全区初中毕业生中视力正常的学生数．本题考察了频数（率）散布直方图：频次散布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频次．直角坐标系中的纵轴表示频次与组距的比值，即小长方形面积 =组距×频数组距=频次．从频次散布直方图能够清楚地看出数据散布的整体态势，可是从直方图自己得不出原始的数据内容．也考查了用样本预计整体．21.【答案】60°【分析】解：（1）连结 ID 、IE，∵∠B=50 °，∠C=70°，∴∠A=60 °，∵⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D、E、F，∴∠IDA= ∠IEA=90 °，∴∠DIE=180 °-60 °=120 °，∴∠DFE 的度数为：60 °；故答案为：60°；（2）∵∠DFE=50°，∴∠DIE=100 °，∵AB 、AC 分别与⊙I 相切于点 D、E，∴∠ADI= ∠AEI=90 °，∴∠A=80 °．（1）直接利用切线的性质联合三角形内角和定理以及圆周角定理得出答案；（2）利用圆周角定理得出∠DIE 的度数，从而得出∠A 的度数．本题主要考察了三角形内切圆与心里：三角形的心里到三角形三边的距离相等；三角形的心里与三角形极点的连线均分这个内角．22.【答案】解：（1）x=-1代入得：1+m+m-2=0，解得 m=12 ；（2）∵a=1， b=-m，c=m-2，2 2∴b -4ac=m -4m+8，2 2∴b -4ac=（ m-2） +4，2∵（ m-2）≥0，∴（ m-2）2 +4＞ 0，∴无论 m 为任何实数，该方程都有两个不相等的实数．【分析】（1）依据方程的解的观点将x=-1 代入，解对于 m 的方程即可得；（2）依据△=m 2 （ 2 ＞即可得．）-4m+8= m-2 +4本题考察了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的重点是：（1）代入x=1 求出 m 值；（2）切记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”．23.【答案】（1）证明：连结AD∵AB⊙ O 的直径，∴∠ADB=90 °，又∵AB=AC，∴BD =CD ．（2）∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠C=12 （180 °-50 °）=65 °，∵AB⊙ O 的直径，∴∠AEB=90 °，∵∠BAC=50 °，∴∠ABE=40 °，∴∠EBC=25 °，∵四边形 ABDE 内接于⊙ O，∴∠BAC+∠BDE =180 °，∵∠EDC+∠BDE =180 °，∴∠EDC=∠BAC =50 °．【分析】（1）连结 AD ，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．（2）依据∠EBC=∠ABC- ∠ABE ，求出∠ABC ，∠ABE 即可，证明∠DEC=∠ABC 即可求出∠DEC．本题考察圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，娴熟掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】（1）证明：连结OM 、 ON，∵大圆的弦AB、AC 分别切小圆于点M、 N．∴AM =AN， OM ⊥AB， ON⊥AB，∴AM =12 AB， AN=12 AC，∴AB=AC；（2）解：连结 AO，则 AO=5∵AB=8，∴AM =4，在 Rt△AOM 中， OM 2=OA2-AM2 OM 2=52-42，∴OM =3，即小圆的半径为3．【分析】（1）连结 OM 、ON，依据切线长定理得出 AM=AN ，OM ⊥AB ，ON⊥AB ，依据垂径定理得出 AM= AB ，AN=AC ，即可证得结论；（2）连结 AO ，则 AO=5，而后依据勾股定理即可求得．本题考察了切线的性质，勾股定理以及垂径定理，熟练掌握性质定理是解本题的重点．25.【答案】解：设每件售价为x 元，则可售出这类商品[150-5（ x-50） ]件，依据题意得：（x-40） [150-5 （ x-50） ]=1500 ，2解得： x1=50 ，x2=70，当 x=50 时， 150-5（ x-50）=150；当 x=70 时， 150-5（ x-50）=50．答：每件售价为50 元时，销售这类商品150 件；每件售价为70 元时，销售这类商品 50 件．【分析】设每件售价为 x 元，则可售出这类商品 [150-5 （x-50）]件，依据总收益 =每件的收益×销售数目，即可得出对于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考察了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的重点．26.【答案】解：（1）以下图：（ 2）连结 OD，∵BD 均分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD ，∵OB、 OD 是半径， OB=OD ，∴∠ODB=∠ABD ，∴∠CBD=∠ODB ，∴OD ∥BC，∵∠C=90 °，∴∠ODA=90 °，∵D 是半径的外端点，∴AC 与⊙ O 相切．（ 3）设⊙ O 的半径为 x，在 Rt△AOD 中，由勾股定理得： 32+x2=（ 9-x）2，解得： x=4，∴⊙O 的半径为4．【分析】（1）作线段 AB 的中垂线与 AB 交于点 O，以O 为圆心、OB 长度为半径作图可得；（2）连结 OD，由BD 均分∠ABC 知∠ABD= ∠CBD，依据 OB=OD 知∠ODB= ∠ABD ，从而得∠CBD=∠ODB ，再由OD∥BC 知∠C=90°，据此即可得证；（3）设⊙O 的半径为 x，在Rt△AOD 中，由勾股定理得：3222，解之即+x =（9-x）可得出 x 的值．此题考查了作图-复杂作图线的判断与性质等知识题综合性很强，解、切．此题的重点是注意数形联合思想的应用．27.【答案】50130【分析】解：（1）∠AP1B=∠AOB=×100°=50°，∠AP2B=180°-∠APB=180°-50 °=130°；故答案为 50，130；（2）当P 在优弧 AB 上时，∠A PB=∠AOB=（）°；当 P 在劣弧 AB 上时，∠A PB=180°-（）°；（3）如图劣弧 AB （实线部分且不包括 A 、B 两个端点）就是所知足条件的点 C 所构成的图形．（1）依据圆周角定理计算∠AP1B 的度数，而后依据圆内接四边形的性质求∠AP2B 的度数；（2）与（1）的求法同样（注意分类议论）；（3）先作AB 的垂直均分线获得 AB 的中点 P，再以 AB 为直径作圆交 AB 的垂直均分线于 O，而后以 O 点为圆心，OA 为半径作⊙O，则⊙O 在⊙P内的弧为知足条件的点 C 所构成的图形．本题考察了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础长进行作图，一般是联合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的重点是熟习基本几何图形的性质，联合几何图形的基天性质把复杂作图拆解成基本作图，逐渐操作．也考察了圆周角定理．。

江苏省南京市九年级上学期数学期中考试试卷

江苏省南京市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）－5的倒数的相反数是（）A . －5B . 5C . －D .2. （2分） (2018七上·南昌期中) 太阳的直径约为1390000千米，这个数用科学记数法表示为（）A . 0.139×107千米B . 1.39×106千米C . 13.9×105千米D . 139×104千米3. （2分）(2017·宁津模拟) 下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016八上·遵义期末) 下列运算错误的是（）A . x2•x4=x6B . （-b）2•（-b）4=-b6C . x•x3•x5=x9D . （a+1）2（a+1）3=（a+1）55. （2分）如图所示，CE平分∠ACD，∠B=45°，∠ACE=50°，则∠A等于（）A . 45°B . 50°C . 55°D . 95°6. （2分） (2019九上·临沧期末) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是A . AD=DCB .C . ∠ADB=∠ACBD . ∠DAB=∠CBA7. （2分）(2017·滨州) 如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 18. （2分）在我市今年慈善公益万人行活动中，某校九年级有50人参与了公益捐款，捐款金额的条形统计图如图．捐款金额的众数和中位数分别是（）A . 10，20B . 20，50C . 20，35D . 10，35二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）(2019·五华模拟) 函数y＝1﹣的自变量x的取值范围是________10. （1分） (2017七下·苏州期中) 将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=30°，那么∠1+∠2=________°．11. （1分） (2017八下·常州期末) 如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转40°，顶点A恰好转到AB边上点E 的位置，则∠DBC=________．12. （1分）(2016·云南) 如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为________．13. （1分）(2017·江北模拟) 如图，已知反比例函数y=﹣的图象与直线y=kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB=120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为________．14. （1分） (2017八下·兴化期中) 已知y＝＋－3，则 xy的值为________．三、解答题 (共9题；共90分)15. （10分）(2018·无锡) 计算：（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（）0；（2）（x+1）2﹣（x2﹣x）16. （10分）如图，的半径为5，弦于E，．（1）求证：；（2）若于F，于G，试说明四边形OFEG是正方形．17. （5分） (2020九上·鞍山期末) 如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）．①画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1；②将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AB2C2 ，画出△AB2C2并求线段AB扫过的面积．18. （10分） (2018七上·宿州期末) 君畅中学计划购买一些文具送给学生，为此学校决定围绕“在笔袋、圆规、直尺、钢笔四种文具中，你最需要的文具是什么？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据以上信息回答下列问题：（1）在这次调查中，最需要圆规的学生有多少名？并补全条形统计图；（2）如果全校有970名学生，请你估计全校学生中最需要钢笔的学生有多少名？19. （10分）(2017·罗平模拟) 现有A，B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外完全一样．（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？若不公平，你认为怎样制定游戏规则，对甲乙双方才公平？20. （10分） (2018九上·安定期末) 如图，O为坐标原点，点A(1，5)和点B(m，1)均在反比例函数y＝图象上．（1）求m，k的值；（2）设直线AB与x轴交于点C，求△AOC的面积．21. （10分）(2013·贺州) 某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．（1）篮球和足球的单价各是多少元？（2）该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种？22. （10分） (2015九上·房山期末) 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△BCD∽△ACB；（2）如果BC= ，AC=3，求CD的长．23. （15分） (2016八上·鞍山期末) 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O 点的水平距离为9 ，高度为2.43 ，球场的边界距O点的水平距离为18 ．（1）当 =2.6时，求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当 =2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求二次函数中的取值范围．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共9题；共90分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、第11 页共11 页。

江苏省南京市汇文中学2016届九年级上学期期中考试数学试题解析(解析版)

汇文中学2015-2016学年第一学期期中检测九年级数学试卷一、选择题（各题所给答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共18分）1．方程2x2=x的根为( )A．x=12B．x=0 C．x1=2，x2=0 D．x=12或x=02．我校男子足球队22名队员的年龄如下表所示：这些队员年龄的众数和中位数分别是( )A．18，17 B．17，18 C．18，17.5 D．17.5，18【答案】A．【解析】试题解析：18出现的次数最多，18是众数．第11和第12个数分别是17、17，所以中位数为17．故选A．考点：中位数．3．下列命题中，是真命题的是( )A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧C．圆周角等于圆心角的一半 D．正七边形有七条对称轴【答案】D．【解析】试题解析：A、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；B、错误，能够重合的弧是等弧；C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；D、正确．故选D．考点：命题与定理．4．已知⊙O的直径为8，直线l上有一点M，满足OM=4，则直线l与⊙O的位置关系是( )A．相交 B．相离或相交C．相离或相切D．相交或相切【答案】D．【解析】试题解析：∵⊙O的直径为8，∴半径为4，∵OM=4，当OM垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=4=r，⊙O与l相切；当OM不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜4=r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选D．考点：直线与圆的位置关系．5．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是( )A． B．4.75 C．5 D．4.8【答案】D．【解析】试题解析：如图，∵∠ACB=90°，∴EF是直径，设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，∴EF为直径，OC+OD=EF，∴CO+OD＞CD，∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值∴由三角形面积公式得：CD=BC•AC÷AB=4.8．故选D．考点：1.切线的性质；2.勾股定理的逆定理；3.圆周角定理．6．如图已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题：①△AED∽△BEC ②∠AEB=90°③∠BDA=45° ④图中全等的三角形共有3对．其中正确的命题有( )个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D．【解析】试题解析：①根据圆周角的推论，可得到：∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE，则△AED∽△BED，正确；②由上面的分析可知，BE=CE=3，AB=5，AE=AC-CE=4，根据勾股定理的逆定理，△ABE为直角三角形，即∠AEB=90°，正确；③∵AE=DE，∴∠EAD=∠EDA=45°，正确；④从已知条件不难得到△ABE≌△DCE、△ABC≌△DCB、△ABD≌△DCA共3对，正确．其中正确的命题有4个；故选D．考点：命题与定理．二、填空题（每题3分，共30分）7．若a是方程x2-2x-1=0的解，则代数式2a2-4a+2011的值为．8．已知三角形三边长分别为1cm cm cm，则此三角形的外接圆半径为 cm．.【解析】试题解析：∵三角形的三条边长分别为1cm cm，12+）2=）2，cm为斜边的直角三角形，（cm）．考点：1.三角形的外接圆与外心；2.勾股定理的逆定理．9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，点M是⊙O上一点，∠EMF=55°，则∠A=．【答案】70°．【解析】试题解析：连接OF，OE，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∴∠AEO=∠AFO=90°，∵∠EMF=55°，∴∠EOF=110°，∴∠A=180°-110°=70°．考点：三角形的内切圆与内心．10．一组数据1，2，x，0，-1的极差为3，则整数x的值是．【答案】2或-1.【解析】试题解析：当x是最大值，则x-（-1）=3，所以x=2；当x是最小值，则2-x=3，所以x=-1；所以x的值为2或-1．考点：极差．11．已知圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，则它的表面积为 cm2（结果保留π）．【答案】15π.【解析】试题解析：由勾股定理知：圆锥母线长=5cm，则圆锥侧面积=12×6π×5=15πcm2．考点：圆锥的计算．12．一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x= ．【答案】22.【解析】试题解析：这组数据23，27，20，18，x，12，共6个；最中间两个数的平均数是这组数据的中位数．将除x外的五个数从小到大重新排列后为12 18 20 23 27；20这个数总是中间的一个数，由于中位数是21，所以中间还一个是22，即x=22．考点：中位数．13．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ACBD一定是形．【答案】矩.【解析】试题解析：连接AC、BC、BD、AD，∵AB、CD为圆O的直径，∴OA=OB=OC=OD，∴四边形ACBD为矩形．考点：1.圆周角定理；2.矩形的判定．14．若一组数据a1，a2，…，a n的方差是5，则一组新数据2a1，…，2a n的方差是．【答案】20.【解析】试题解析：一组数据a1，a2，…，a n的方差是5，设其平均数为m，方差为n，即n=5；则一组新数据2a1，2a2，…，2a n的平均数是2m，方差是S2=4n2=20．考点：方差．15．若一个圆锥的侧面积是它底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是．【答案】180°．【解析】试题解析：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．由题意得S底面面积=πr2，l底面周长=2πr，S扇形=2S底面面积=2πr2，l扇形弧长=l底面周长=2πr．由S扇形=12l扇形弧长×R得2πr2=12×2πr×R，故R=2r．由l 扇形弧长=180n rπ得： 2πr=2180n r π⨯解得n=180°．考点：圆锥的计算．16．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③AC AB CD BC=；④AC 2=AD•AB，其中单独能够判定△ABC∽△ACD 的有．【答案】①②④. 【解析】试题解析：由图可知∠A 为两个要证明相似的三角形的公共角，因此，只要再找出一组对应角相等，或两组对应边成比例即可证明△ABC ∽△ACD ．而①②④分别与∠A 为△ABC 与△ACD 的公共角相结合，均可推出△ABC ∽△ACD ． ③中∠A 不是已知的比例线段的夹角，故不正确．考点：相似三角形的判定．三、解答题17．已知关于x 的一元二次方程x 2-6x+k=0有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-6x+k=0与x 2+mx-1=0有一个相同的根，求常数m 的值．【答案】(1) k≤9;(2) 83-. 【解析】试题分析：（1）根据题意知△=b2-4ac ≥0，从而求出k 的取值；（2）根据题意和（1）知当k=9时，方程有相同的根，然后求出两根，再求m 的值即可．试题解析：（1）∵b 2-4ac=（-6）2-4×1×k=36-4k≥0 ∴k≤9（2）∵k是符合条件的最大整数且k≤9∴k=9当k=9时，方程x2-6x+9=0的根为x1=x2=3；把x=3代入方程x2+mx-1=0得9+3m-1=0∴m=83 .考点：根的判别式．18．有四张背面图案相同的卡片A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．小敏将这四张卡片背面朝上洗匀摸出一张，放回洗匀再摸出一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸出卡片所有可能的结果；（卡片可用A、B、C、D表示）（2）求摸出的两张卡片图形都是中心对称图形的概率．【答案】(1) 所有情况见解析；（2）14．【解析】试题分析：（1）列举出所有情况即可；（2）中心对称图形是绕某点旋转180°后能够和原来的图形完全重合，那么B，D是中心对称图形，看所求的情况占总情况的多少即可．试题解析：（1）树状图：或列表法（2）由图可知：只有卡片B、D才是中心对称图形．所有可能的结果有16种，其中满足摸出的两张卡片图形都是中心对称图形（记为事件A）有4种，即：（B，B）（B，D）（D，B）（D，D）．∴P（A）=41 164=．考点：1.列表法与树状图法；2.中心对称图形．19．一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分）（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分=（个人成绩一平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问甲同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？【答案】）1）70；6；（2）甲同学数学比英语考得更好．【解析】试题分析：由平均数的概念计算平均数，根据标准差是方差的算术平方根计算标准差，根据标准分的计算公式：标准分=（个人成绩一平均成绩）÷成绩标准差，计算数学和英语的标准分，然后比较．试题解析：（1）数学考试成绩的平均分x数学=1(7172696870)70 5++++=，英语考试成绩的标准差S英语6=；（2）设甲同学数学考试成绩标准分为P数学，英语考试成绩标准分为P英语，则P数学=(7170)-=P英语=1 (8885)62-÷=．∵P数学＞P英语，∴从标准分来看，甲同学数学比英语考得更好．考点：1.标准差；2.算术平均数．20．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC=，DE=3．求：（1）⊙O的半径；（2）弦AC的长；（3）阴影部分的面积．【答案】（1）6；（2）6；（3）6π【解析】试题分析：（1）半径OD⊥BC，所以由垂径定理知：CE=BE，在直角△OCE中，根据勾股定理就可以求出OC 的值；（2）根据AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，因而在直角三角形ABC中根据勾股定理得到AC的长；（3）阴影部分的面积就是扇形OCA的面积减去△OAC的面积．试题解析：（1）∵半径OD⊥BC，∴CE=BE，，，设OC=x，在直角三角形OCE中，OC2=CE2+OE2，∴x2=（）2+（x-3）2，∴x=6即半径OC=6；（2）∵AB为直径，∴∠ACB=90°，AB=12，∴AC2=AB2-BC2=36，∴AC=6；（3）∵OA=OC=AC=6，∴∠AOC=60°，∴S 阴=S 扇-S △OAC =26061663602π⨯⨯-⨯⨯=6π．考点：1.扇形面积的计算；2.勾股定理；3.垂径定理；4.圆周角定理．21．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x 元．（1）写出售出一个可获得的利润是元．（用含x 的代数式表示）（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？【答案】（1）x+10；（2）每个定价为70元，应进货200个．【解析】试题分析：（1）根据利润=销售价-进价列关系式；（2）总利润=每个的利润×销售量，销售量为400-10x ，列方程求解，根据题意取舍.试题解析：由题意得：（1）50+x-40=x+10（元）（2）设每个定价增加x 元．列出方程为：（x+10）（400-10x ）=6000解得：x 1=10 x 2=20要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个．考点：一元二次方程的应用．22．在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，AE=3，求AF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF的长．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）∵CD=AB=4，AE⊥BC，∴AE⊥AD；在Rt△ADE中，6==，∵△ADF∽△DEC，∴AD AF DE CD=；4AF=，解得AF=考点：1.勾股定理；2.平行线的性质；3.平行四边形的性质；4.相似三角形的判定与性质．23．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=，求⊙O的半径．【答案】(1)作图见解析；BC是⊙O的切线．理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；由∠BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC∥OD，又由∠C=90°，则问题得证；（2）设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值．试题解析：（1）如图1，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆．判断结果：BC是⊙O的切线．如图2，连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAB∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即：OD⊥BC，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径为r，则OB=6-r，∵BD=，在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，即r2+（）2=（6-r）2，解得r=2．故⊙O的半径是2．考点：1.作图—复杂作图；2.切线的判定．24．如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：（1）IE=EC；（2）IE2=ED•EA．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由内心的性质可知；∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE，由圆周角定理可知∠BCE=∠BAE，从而得到∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE，从而得到∠EIC=∠ICE，于是得到IE=EC；（2）先证明DCE∽△CAE，从而可得到CE2=DE•EA，由IE=EC从而得到IE2=DE•EA．试题解析：（1）如图所示；连接IC．∵点I是△ABC的内心，∴∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE．又∵∠BAE=∠BCE，∴∠CAE=∠BCE．∴∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE．∴∠EIC=∠ICE．∴IE=EC．（2）由（1）可知：∠CAE=∠BCE．又∵∠AEC=∠DEC，∴△DCE∽△CAE．∴CE DE AE CE．∴CE2=DE•EA．∵IE=EC，∴IE2=DE•EA．考点：三角形的内切圆与内心．25．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=513，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析；（2）30°；（3）485．【解析】试题分析：（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；（3）过点C作CG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=12BE=5，由于∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，得到∠GCE=∠A，△ADE∽△CGE，于是得到sin∠ECG=sin∠A=513，在R t ECG中求得，根据三角形相似得到比例式AD DECG GE=，代入数据即可得到结果．试题解析：（1）连接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．（2）如图1，连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴AF=OF，∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF=60°∴∠ABF=12∠AOF=30°；（3）如图2，过点C作CG⊥BE于G，∵CE=CB，∴EG=12BE=5，∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，∴∠GCE=∠A，∴△ADE∽△CGE，∴sin∠ECG=sin∠A=5 13，在R t ECG中，=12，∵CD=15，CE=13，∴DE=2，∵△ADE∽△CGE，∴AD DE CG GE=，∴AD=DEGE，CG=245，∴⊙O的半径OA=2AD=48 5．考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质．26．如图△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，△DEA 绕点A旋转，边AD、AE 与BC分别与AD、AE相交于点F、G，CB=5．回答下列问题：（1）求证：△GAF∽△GBA；（2）求证：AF2=FG•FC；（3）设y=AF2+AG2，FG=x，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（4）探究BF2、FG2、GC2之间的关系，证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）y=x2+5x；（4）FG2=BF2+GC2．证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，由外角的性质得到∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，于是得到∠CFA=∠BAG，即可得到结论．（2）方法同（1）证得△AGF∽△ACF，根据相似三角形的性质即可得到结论．（3）由△GAF∽△GBA，可得AG2=FG•BG，又由AF2=FG•FC，易得y=AF2+AG2=FG•（CB+FG），继而求得y与x的函数关系式．（4）首先把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知识证明∠ACP+∠ACB=90°，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系．试题解析：（1）∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，∴∠CFA=∠BAG，∴△GAF∽△GBA；（2）∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，∵∠FGA=∠B+∠EAC，∠CAF=∠FAG+∠EAC，∴∠AGF=∠CAF，∴△AGF∽△ACF， ∴AF CF FG AF=， ∴AF 2=FG•FC．（3）∵△GAF∽△GBA， ∴AG FG BG AG=， ∴AG 2=FG•BG，∵AF 2=FG•FC，∴y=AF 2+AG 2=FG•BG+FG•FC=FG•（BG+FC ）=FG•（CB+FG ）， ∵FG=x，CB=5，∴y=x（x+5）=x 2+5x ；（4）把△ABF 旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP， ∴∠1=∠4，AF=AP ，CP=BF ，∠ACP=∠B，∵∠1+∠3=45°，∴∠4+∠3=45°，∴∠2=∠4+∠3=45°，∴∠2=∠PAG，在△FAG 和△PAG 中， 2AF AP PAG AG AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG≌△AGP（SAS ），∴FG=GP，∵∠ACP+∠ACB=45°+45°=90°，∴在Rt△PGC 中，GP 2=GC 2+CP 2，∴FG 2=BF 2+GC 2．考点：相似形综合题．高考一轮复习：。

2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷(带解析)

一、选择题（题型注释）1、方程x2=x的根是（）A．x="1"B．x=﹣1C．x1=0，x2="1"D．x1=0，x2=﹣1来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）2、一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）3、如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）4、某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：A．82 B．83 C．84 D．85来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）5、如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8B．8C．16D．16来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）6、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）7、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）二、填空题（题型注释）8、用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）9、若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）10、若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）11、一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）12、如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC 于点E、F，则图中阴影部分的面积为．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）13、如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH= ．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）14、如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA= °．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）15、如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）16、将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为 °．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）17、甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是___ ；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）18、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为____ ．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）三、计算题（题型注释）19、某农场去年种植南瓜10亩，亩产量为2000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）四、解答题（题型注释）20、解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）21、甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）22、已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）23、在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P 的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）24、我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）25、如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）26、某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（1）填表（不需化简）为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）27、问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE是⊙O的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB ____ BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB ___ DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB=∠BAD，因为OB=OC，所以__ ，因为BD=BA，所以______ ，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到____ ，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．来源：2016-2017学年江苏南京鼓楼区九年级上期中数学试卷（带解析）参考答案1、C2、B3、C4、C5、B6、A7、①②③8、49、外10、-211、12、13、814、2015、x2﹣35x+34=016、22.517、（1）（2）18、（1）证明见解析（2）πa2（3）7π19、50%20、（1）x=﹣1或x=﹣5（2）x1=，x2=21、（1）7，7.5，4.2（2）乙22、（1）证明见解析（2）1，123、（Ⅰ）36°（Ⅱ）30°24、（1）x=2（2）x1=4，x2=1225、（1）作图见解析（2）作图见解析26、（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20（2）300元27、问题分析：⊥，∥（1）∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO（2）BF⊥AD（3）证明见解析【解析】1、试题分析：移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，所以由x2=x，得x2﹣x=0，即x（x﹣1）=0，所以可得x=0，x﹣1=0，解得x1=0，x2=1，故选C．考点：解一元二次方程-因式分解法2、在一元二次方程中，∵∴∴此一元二次方程有两个相等的实数根故选C.3、试题分析：由h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．考点：圆锥的计算4、试题分析：根据加权平均数的计算公式进行计算：张明的平均成绩为：（90×3+80×3+83×2+82×2）÷10=84；故选C．考点：加权平均数5、试题分析：由三角形的内角和公式求出∠A=45°，即可求得圆心角∠BOC=90°，由弧长公式，求得半径OB=8，再由勾股定理求得BC=，故选B．考点：弧长的计算6、试题分析：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．考点：垂径定理的应用7、试题分析：首先连接OD，OE，∵⊙O的半径为5且与AB、BC相切，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=5，∵∠B=90°，∴四边形ODBE是正方形，∴BE=BD=OE=OD=5，∴点O在∠B的平分线上，CE=BC﹣BE=5，AD=AB﹣BD=11﹣5=6，∴OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，∵OA=，OC=，∴OA≠OC，即O不在AC的垂直平分线上；∵AC=，∴点O不在AC上．∴①②③错误，④正确．故答案为：①②③．考点：1、切线的性质；2、线段垂直平分线的性质8、试题分析：要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．可由x2﹣4x=5，得x2﹣4x+4=5+4，用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．考点：解一元二次方程-配方法9、试题分析：由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P到圆心的距离OP=2＞1，可判定点P在圆外．考点：点与圆的位置关系10、试题分析：根据根与系数的关系即可由一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，得到x1+x2=﹣=﹣2．考点：根与系数的关系11、试题分析：先求出总球的个数2+3=5个球，再根据概率公式进行计算即可得出摸到红球的概率是．考点：概率公式12、试题分析：先根据OD=OF得出∠DOF=60°，同理可得出∠AOE=60°，进而得出∠EOF=60°，根据扇形的面积公式即可得出：图中阴影部分的面积=．考点：扇形面积的计算13、试题分析：取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，再根据勾股定理得OH2+DH2=OD2，即（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，进而可得出AH=AB﹣BH=10﹣2=8．考点：1、垂径定理；2、勾股定理14、试题分析：根据三角形的内角和得到∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，由AB 为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据圆周角定理即可得到∠CDA=∠B=20°．考点：1、圆周角定理，2、三角形的内角和15、试题分析：设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．考点：由实际问题抽象出一元二次方程16、试题分析：设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB=86°﹣30°=56°，根据圆周角定理得∠ACB=∠AOB，即可得到∠ACB =∠AOB=22.5°．考点：圆周角定理17、试题分析：（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．试题解析：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，所以有乙同学的概率=．考点：1、列表法与树状图法；2、概率公式18、试题分析：（1）根据切线的性质以及垂径定理即可证明．（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．（3）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=7，则可求得圆环的面积试题解析：（1）证明：如图1中，连接OP．∵AB是小圆的切线，P是切点，∴OP⊥AB，∴PA=PB．（2）解：如图1中，连接OB．∵大圆的弦AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，AP=PB，∴OB2﹣OP2=（2a÷2）2=a2，∵S圆环=S大﹣S小=πOB2﹣πOP2=π（OB2﹣OP2），∴S圆环=πa2．（3）解：如图2中，连接OA，OC，作OE⊥AB于点E．在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2，∵AB=8，CD=6，∴AE=EB=4，CE=DE=3，∴OA2﹣OC2=7，∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=7π．考点：1、垂径定理，2、勾股定理，3、圆的面积，4、切线的性质19、试题分析：根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．试题解析：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10（1+2x）2000（1+x）=60000．解得：x1=0.5，x2=﹣2（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为50%．考点：一元二次方程的应用20、试题分析：（1）因式分解法求解可得；（2）公式法求解可得．试题解析：（1）（x+1）（x+5）=0，∴x+1=0或x+5=0，解得：x=﹣1或x=﹣5；（2）∵a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=1+4=5，∴x=，∴x1=，x2=．考点：解一元二次方程-因式分解法21、试题分析：（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．试题解析：（1）甲的平均成绩a==7（环），∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击成绩的中位数b==7.5（环），其方差c=×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=×（16+9+1+3+4+9）=4.2（环）；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．考点：1、方差；2、条形统计图；3、折线统计图；4、中位数；5、众数22、试题分析：（1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m﹣2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=，2t=，然后解关于t 与m的方程组即可．试题解析：（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=，2t=，则2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一个根为1．考点：1、根与系数的关系；2、根的判别式23、试题分析：（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．试题解析：（Ⅰ）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；（Ⅱ）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．考点：切线的性质24、试题分析：（1）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；（2）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．试题解析：（1）两边平方，得16﹣6x=x2，整理得：x2+6x﹣16=0，解得x1=﹣8，x1=2；经检验x=﹣8是增根，所以原方程的根为x=2；（2）移项得：2=6﹣x两边平方，得4x﹣12=x2﹣12x+36，解得x1=4，x2=12（不符合题意，舍）．考点：1、无理方程；2、分式方程的增根25、试题分析：（1）作出BD、BC的垂直平分线，两线的交点就是⊙O的圆心O的位置，然后以O为圆心AO长为半径画圆即可；（2）以B为圆心，BC长为半径化弧，交⊙O于点D，再连接BD，CD即可．试题解析：（1）如图所示：⊙O即为所求；（2）如图所示：点D即为所求．考点：1、作图—复杂作图；2、圆周角定理；3、三角形的外接圆与外心26、试题分析：（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．试题解析：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，整理，得x2﹣420x+32000=0，解得x1=320，x2=100．当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．答：每间客房的定价应为300元．考点：一元二次方程的应用27、试题分析：问题分析：直接得出结论即可；解法探究：（1）根据证明方法直接写出结论；（2）先判断出OD=OA，再用垂径定理即可得出结论；（3）方法1，先判断出AC是⊙O的直径，进而判断出四边形BEDH是矩形即可；方法2，先判断出AH=DH，再判断出AC是⊙O的直径，进而判断出OH是△ACD的中位线，即可得出DE∥OB，即可得出结论；试题解析：问题分析：故答案为：⊥，∥；解法探究：（1）故答案为：∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO；（2）如图3，连接OD，∴OD=OA，∵BD=BA，∴BF垂直平分AD，即：BF⊥AD（垂径定理），（3）方法1，∵BF⊥AD，∴∠BHD=90°，∵∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵∠E=90°，∴四边形BEDH是矩形，∴∠EBO=90°，∴BE是⊙O的切线；方法2，∵BF⊥AD，∴AH=DH（垂径定理），∵∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴AO=CO，∴OH是△ACD的中位线，∴OH∥DC，即：DE∥OB，∵∠E=90°，∴∠EBO=90°，∴BE是⊙O的切线．考点：1、圆的性质，2、垂径定理，3、切线的判定，4、矩形的判定和性质，5、三角形的中位线。

中考数学复习：专题4-16 双等腰直角三角形问题前解法分析

专题16 双等腰直角三角形问题前解法分析【专题综述】一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.【方法解读】一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1 （2016内蒙古呼和浩特市）已知，如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为AB 边上一点．（1）求证：△ACE ≌△BCD ；（2）求证：2222=CD AD DB ．【举一反三】如图1，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD=∠BGC ． (1)求证：AD=BC ； (2)求证：△AGD ∽△EGF ；(3)如图2，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求AD:EF 的值．【来源】湖北武汉市硚口区六十中学2017年九年级数学中考模拟试卷二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例2 如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．如图2，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；（3）如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小.【举一反三】已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．【来源】2013年初中毕业升学考试（湖南常德卷）数学（带解析）三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例3 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量．．及位置．．关系，并证明你的猜想．【举一反三】如图△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，△DEA 绕点A旋转，边AD、AE 与BC分别与AD、AE相交于点F、G，CB=5．回答下列问题：（1）求证：△GAF∽△GBA；（2）求证：AF2=FG•FC；（3）设y=AF2+AG2，FG=x，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（4）探究BF2、FG2、GC2之间的关系，证明你的结论．【来源】2016届江苏省南京市汇文中学九年级上学期期中数学试卷（带解析）四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例4 （2016四川省资阳市）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：①△DOE 是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE ；③若AC=1，则四边形CEOD 的面积为14；④22222AD BE OP DP PE +-=⋅，其中所有正确结论的序号是．【举一反三】已知：△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，（1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形；（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，那么，△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【来源】2012-2013年福建仙游承璜第二学校八年级上期末考试数学试题（带解析）【强化训练】1.如图，已知，△ABC 与△DCE 为一小一大的两个等腰直角三角形，顶点C 互相重合。

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2015-2016学年江苏省南京市汇文中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（各题所给答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共18分）1．（3分）方程2x2=x的根为（）A．x= B．x=0 C．x1=2，x2=0 D．x=或x=02．（3分）我校男子足球队22名队员的年龄如下表所示：这些队员年龄的众数和中位数分别是（）A．18，17 B．17，18 C．18，17.5 D．17.5，183．（3分）下列命题中，是真命题的是（）A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧C．圆周角等于圆心角的一半D．正七边形有七条对称轴4．（3分）已知⊙O的直径为8，直线l上有一点M，满足OM=4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相离或相交C．相离或相切D．相交或相切5．（3分）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．B．4.75 C．5 D．4.86．（3分）如图已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题：①△AED∽△BEC②∠AEB=90°③∠BDA=45°④图中全等的三角形共有3对．其中正确的命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题3分，共30分）7．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣1=0的解，则代数式2a2﹣4a+2011的值为．8．（3分）已知三角形三边长分别为1cm、cm和cm，则此三角形的外接圆半径为cm．9．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，点M是⊙O上一点，∠EMF=55°，则∠A=°．10．（3分）一组数据1，2，x，0，﹣1的极差为3，则整数x的值是．11．（3分）已知圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，则它的表面积为cm2（结果保留π）．12．（3分）一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x=．13．（3分）已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ACBD一定是形．14．（3分）若一组数据a1，a2，…，a n的方差是5，则一组新数据2a1，…，2a n 的方差是．15．（3分）若一个圆锥的侧面积是它底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是．16．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB，其中单独能够判定△ABC∽△ACD的有．三、解答题17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣6x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求常数m的值．18．（8分）有四张背面图案相同的卡片A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．小敏将这四张卡片背面朝上洗匀摸出一张，放回洗匀再摸出一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸出卡片所有可能的结果；（卡片可用A、B、C、D表示）（2）求摸出的两张卡片图形都是中心对称图形的概率．19．（10分）一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分）（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分=（个人成绩一平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问甲同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC=，DE=3．求：（1）⊙O的半径；（2）弦AC的长；（3）阴影部分的面积．21．（10分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．（1）写出售出一个可获得的利润是元．（用含x的代数式表示）（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）△ADF与△DEC相似吗？为什么？（2）若AB=4，AD=，AE=3，求AF的长．23．（10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC 边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=，求⊙O的半径．24．（10分）如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：（1）IE=EC；（2）IE2=ED•EA．25．（12分）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．26．（14分）如图△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，△DEA 绕点A旋转，边AD、AE与BC分别与AD、AE相交于点F、G，CB=5．回答下列问题：（1）求证：△GAF∽△GBA；（2）求证：AF2=FG•FC；（3）设y=AF2+AG2，FG=x，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（4）探究BF2、FG2、GC2之间的关系，证明你的结论．2015-2016学年江苏省南京市汇文中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（各题所给答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共18分）1．（3分）方程2x2=x的根为（）A．x= B．x=0 C．x1=2，x2=0 D．x=或x=0【解答】解：方程整理得：2x2﹣x=0，分解因式得：x（2x﹣1）=0，解得：x=或x=0．故选：D．2．（3分）我校男子足球队22名队员的年龄如下表所示：这些队员年龄的众数和中位数分别是（）A．18，17 B．17，18 C．18，17.5 D．17.5，18【解答】解：18出现的次数最多，18是众数．第11和第12个数分别是17、17，所以中位数为17．故选：A．3．（3分）下列命题中，是真命题的是（）A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧C．圆周角等于圆心角的一半D．正七边形有七条对称轴【解答】解：A、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；B、错误，能够重合的弧是等弧；C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；故选：D．4．（3分）已知⊙O的直径为8，直线l上有一点M，满足OM=4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相离或相交C．相离或相切D．相交或相切【解答】解：∵⊙O的直径为8，∴半径为4，∵OM=4，当OM垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=4=r，⊙O与l相切；当OM不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜4=r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选：D．5．（3分）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．B．4.75 C．5 D．4.8【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，∴EF是直径，设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，∴EF为直径，OC+OD=EF，∴CO+OD＞CD=4.8，∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值∴由三角形面积公式得：CD=BC•AC÷AB=4.8．6．（3分）如图已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题：①△AED∽△BEC②∠AEB=90°③∠BDA=45°④图中全等的三角形共有3对．其中正确的命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①根据圆周角的推论，可得到：∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE，则△AED∽△BED，正确；②由上面的分析可知，BE=CE=3，AB=5，AE=AC﹣CE=4，根据勾股定理的逆定理，△ABE为直角三角形，即∠AEB=90°，正确；③∵AE=DE，∴∠EAD=∠EDA=45°，正确；④从已知条件不难得到△ABE≌△DCE、△ABC≌△DCB、△ABD≌△DCA共3对，正确．其中正确的命题有4个；故选：D．二、填空题（每题3分，共30分）7．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣1=0的解，则代数式2a2﹣4a+2011的值为2013．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1=0的一个解，∴a2﹣2a=1，则2a2﹣4a+2011=2（a2﹣2a）+2011=2×1+2011=2013；故答案为：2013．8．（3分）已知三角形三边长分别为1cm、cm和cm，则此三角形的外接圆半径为cm．【解答】解：∵三角形的三条边长分别为1cm、cm和cm，12+（）2=（）2，∴此三角形是以cm为斜边的直角三角形，∴这个三角形外接圆的半径为÷2=（cm）．故答案为：．9．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，点M是⊙O上一点，∠EMF=55°，则∠A=70°．【解答】解：连接OF，OE，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∴∠AEO=∠AFO=90°，∵∠EMF=55°，∴∠EOF=110°，∴∠A=180°﹣110°=70°．故答案为：70．10．（3分）一组数据1，2，x，0，﹣1的极差为3，则整数x的值是2或1或0或﹣1．【解答】解：当x是最大值，则x﹣（﹣1）=3，所以x=2；当x是最小值，则2﹣x=3，所以x=﹣1；所以x的值为2或1或0或﹣1．故答案为2或1或0或﹣1．11．（3分）已知圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，则它的表面积为15πcm2（结果保留π）．【解答】解：由勾股定理知：圆锥母线长==5cm，则圆锥侧面积=×6π×5=15πcm2．故本题答案为：15π．12．（3分）一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x=22．【解答】解：这组数据23，27，20，18，x，12，共6个；最中间两个数的平均数是这组数据的中位数．将除x外的五个数从小到大重新排列后为12 18 20 23 27；20这个数总是中间的一个数，由于中位数是21，所以中间还一个是22，即x=22．故填22．13．（3分）已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ACBD一定是矩形．【解答】解：连接AC、BC、BD、AD，∵AB、CD为圆O的直径，∴OA=OB=OC=OD，∴四边形ACBD为矩形．故答案是：矩．14．（3分）若一组数据a1，a2，…，a n的方差是5，则一组新数据2a1，…，2a n 的方差是20．【解答】解：一组数据a1，a2，…，a n的方差是5，设其平均数为m，方差为n，即n=5；则一组新数据2a1，2a2，…，2a n的平均数是2m，方差是S2=4n2=20．故答案为：20．15．（3分）若一个圆锥的侧面积是它底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是180°．【解答】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．由题意得S底面面积=πr2，l底面周长=2πr，S扇形=2S底面面积=2πr2，l扇形弧长=l底面周长=2πr．由S扇形=l扇形弧长×R得2πr2=×2πr×R，故R=2r．由l扇形弧长=得：2πr=解得n=180°．故答案为180°．16．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB，其中单独能够判定△ABC∽△ACD的有①②④．【解答】解：由图可知∠A为两个要证明相似的三角形的公共角，因此，只要再找出一组对应角相等，或两组对应边成比例即可证明△ABC∽△ACD．而①②④分别与∠A为△ABC与△ACD的公共角相结合，均可推出△ABC∽△ACD．③中∠A不是已知的比例线段的夹角，故不正确．∴选①②④．故答案为：①②④．三、解答题17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣6x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求常数m的值．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×k=36﹣4k≥0∴k≤9（2）∵k是符合条件的最大整数且k≤9∴k=9当k=9时，方程x2﹣6x+9=0的根为x1=x2=3；把x=3代入方程x2+mx﹣1=0得9+3m﹣1=0∴m=18．（8分）有四张背面图案相同的卡片A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．小敏将这四张卡片背面朝上洗匀摸出一张，放回洗匀再摸出一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸出卡片所有可能的结果；（卡片可用A、B、C、D表示）（2）求摸出的两张卡片图形都是中心对称图形的概率．【解答】解：（1）树状图：或列表法；（2）由图可知：只有卡片B、D才是中心对称图形．所有可能的结果有16种，其中满足摸出的两张卡片图形都是中心对称图形（记为事件A）有4种，即：（B，B）（B，D）（D，B）（D，D）．∴P（A）=．19．（10分）一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分）（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分=（个人成绩一平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问甲同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？【解答】解：（1）数学考试成绩的平均分数学=，英语考试成绩的标准差S英语=；（2）设甲同学数学考试成绩标准分为P数学，英语考试成绩标准分为P英语，则P数学=，P英语=．∵P数学＞P英语，∴从标准分来看，甲同学数学比英语考得更好．20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC=，DE=3．求：（1）⊙O的半径；（2）弦AC的长；（3）阴影部分的面积．【解答】解：（1）∵半径OD⊥BC，∴CE=BE，∵BC=6，∴CE=3，设OC=x，在直角三角形OCE中，OC2=CE2+OE2，∴x2=（3）2+（x﹣3）2，∴x=6即半径OC=6；（4分）（2）∵AB为直径，∴∠ACB=90°，AB=12，又∵BC=6，∴AC2=AB2﹣BC2=36，∴AC=6；（7分）（3）∵OA=OC=AC=6，∴∠AOC=60°，∴S阴=S扇﹣S△OAC=﹣=6π﹣9．（10分）21．（10分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．（1）写出售出一个可获得的利润是x+10元．（用含x的代数式表示）（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？【解答】解：由题意得：（1）50+x﹣40=x+10（元）（2）设每个定价增加x元．列出方程为：（x+10）（400﹣10x）=6000解得：x1=10 x2=20要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个．22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）△ADF与△DEC相似吗？为什么？（2）若AB=4，AD=，AE=3，求AF的长．【解答】解：（1）△ADF∽△DEC；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=4，又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△ADE中，DE===6，∵△ADF∽△DEC，∴=，∴=，解得：AF=2．23．（10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC 边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图1，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆．判断结果：BC是⊙O的切线．如图2，连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAB∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即：OD⊥BC，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径为r，则OB=6﹣r，∵BD=2，在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，即r2+（2）2=（6﹣r）2，解得r=2．故⊙O的半径是2．24．（10分）如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：（1）IE=EC；（2）IE2=ED•EA．【解答】解：（1）如图所示；连接IC．∵点I是△ABC的内心，∴∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE．又∵∠BAE=∠BCE，∴∠CAE=∠BCE．∴∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE．∴∠EIC=∠ICE．∴IE=EC．（2）由（1）可知：∠CAE=∠BCE．又∵∠AEC=∠DEC，∴△DCE∽△CAE．∴．∴CE2=DE•EA．∵IE=EC，∴IE2=DE•EA．25．（12分）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OB，∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，∴∠OBA+∠ABC=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴AF=OF，∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF=60°，∴∠ABF=∠AOF=30°；（3）解：作CH⊥BE于H，如图，∵CE=CB，∴BH=EH=BE=5，∵∠3=∠4，∴∠A=∠ECH，在Rt△CHE中，∵sin∠ECH=sinA==，∴CE=13，∴DE=CD﹣CE=15﹣13=2，在Rt△ADE中，∵sinA==，∴AE=，∴AD==，∵D为半径OA的中点，∴OA=2AD=，即⊙O的半径为．26．（14分）如图△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，△DEA 绕点A旋转，边AD、AE与BC分别与AD、AE相交于点F、G，CB=5．回答下列问题：（1）求证：△GAF∽△GBA；（2）求证：AF2=FG•FC；（3）设y=AF2+AG2，FG=x，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（4）探究BF2、FG2、GC2之间的关系，证明你的结论．【解答】证明：（1）∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，∴∠CFA=∠BAG，∴△GAF∽△GBA；（2）∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，∵∠FGA=∠B+∠EAC，∠CAF=∠FAG+∠EAC，∴∠AGF=∠CAF，∴△AGF∽△ACF，∴，∴AF2=FG•FC．（3）∵△GAF∽△GBA，∴，∴AG2=FG•BG，∵AF2=FG•FC，∴y=AF2+AG2=FG•BG+FG•FC=FG•（BG+FC）=FG•（CB+FG），∵FG=x，CB=5，∴y=x（x+5）=x2+5x；（4）把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，∴∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B，∵∠1+∠3=45°，∴∠4+∠3=45°，∴∠2=∠4+∠3=45°，∴∠2=∠PAG，在△FAG和△PAG中，，∴△AFG≌△AGP（SAS），∴FG=GP，∵∠ACP+∠ACB=45°+45°=90°，∴在Rt△PGC中，GP2=GC2+CP2，∴FG2=BF2+GC2．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.（2）当∠APB＝90°时，若AB2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。