精馏例题
精馏习题及答案解析
精馏习题课例题1.一分离苯、甲苯的常压精馏塔，按以下三种方式冷凝(图1，图2，图3)，塔顶第一板上升蒸汽浓度为含苯0.8(摩尔分率)，回流比均为2。
(1)采用全凝器冷凝，在塔顶及回流处插二支温度计，测得温度分别为0t 、1t ，问0t 、1t 是否相等?为什么?并求0t 、1t 的值。
(2)在图1，图2，图3三种冷凝情况下，第一板浓度为1y 含苯0.8(摩尔分率)。
①比较温度1t 、2t 、3t 的大小；②比较回流液浓度1L x 、2L x 、3L x 的大小；③比较塔顶产品浓度1D x 、2D x 、3D x 的大小。
将以上参数分别按顺序排列，并说明理由。
(3)三种情况下精馏段操作线是否相同?在同一x y -图上表示出来，并将三种情况下D x 、L x 、V x 的值在x y -图上表示出来。
已知阿托因常数如下(阿托因方程为)/(lg 0T C B A p +-=，其中P 单位为mmHg ，T 单位为℃)：例题2.用一连续精馏塔分离苯—甲苯混合液。
进料为含苯0.4(质量分率，下同)的饱和液体，质量流率为1000kg/h 。
要求苯在塔顶产品中的回收率为98%，塔底产品中含苯不超过0.014。
若塔顶采用全凝器，饱和液体回流，回流比取为最小回流比的1.25倍，塔底采用再沸器。
全塔操作条件下，苯对甲苯的平均相对挥发度为2.46，塔板的液相莫弗里(Murphree)板效率为70%,并假设塔内恒摩尔溢流和恒摩尔汽化成立。
试求：①塔顶、塔底产品的流率D 、W 及塔顶产品的组成x D ； ②从塔顶数起第二块板上汽、液相的摩尔流率各为多少； ③精馏段及提馏段的操作线方程；④从塔顶数起第二块实际板上升气相的组成为多少？例题3.如图所示，对某双组分混合液，分别采用简单蒸馏和平衡蒸馏方法进行分离，操作压力、原料液的量F 、组成x F 均相同。
①若气相馏出物浓度（或平均浓度）相同，即平D 简D ＝x x ,,，试比较残液（或液相产品）浓度x W ，简、x W ，平，气相馏出物量V 简、V 平；②若气相馏出物量相同，即V 简=V 平，试比较残液（或液相产品）浓度x W ，简、x W ，平，气相馏出物浓度（或平均浓度）平D 简D 、xx ,,及残液（或液相产品）量。
精馏知识试题库+答案
精馏知识试题库+答案1、溶液能否用一般精馏方法分离,主要取决于( )。
A、各组分溶解度的差异B、各组分相对挥发度的大小C、是否遵循拉乌尔定律D、以上答案都不对答案：B2、在精馏过程中,回流的作用是提供 ( )。
A、提供塔顶产品B、提供上升的蒸汽C、提供下降的液体D、提供塔底产品答案：C3、在蒸馏生产过程中,从塔釜到塔顶,压力( )。
A、由低到高B、由高到低C、都有可能D、不变答案：B4、回流比的计算公式是( )。
A、回流量比塔顶采出量B、回流量比进料量C、回流量比塔顶采出量加进料量D、回流量加进料量比全塔采出量答案：A5、操作中的精馏塔,F、q、xD、xW、v1不变,减小xF,则有 ( )。
A、D增大,R减小B、D不变,R增加C、D减小,R增加D、D减小,R不变答案：C6、精馏塔在操作时由于塔顶冷凝器冷却水用量不足而只能使蒸汽部分冷凝,则馏出液浓度。
( )A、下降B、下移7、下列不是产生淹塔的原因是( )。
A、下降液体量大B、回流量小C、上升蒸汽量大D、再沸器加热量大答案：B8、冷凝器的作用是提供( )产品及保证有适宜的液相回流。
A、塔顶气相B、塔底液相C、塔顶液相D、塔底气相答案：C9、适宜的回流比取决于( )。
A、生产能力和操作费用B、操作费用和设备折旧费C、生产能力D、塔板数答案：B10、在再沸器中溶液( )而产生上升蒸气,是精馏得以连续稳定操作的一个必不可少的条件。
A、部分冷凝B、全部冷凝C、部分气化D、全部气化答案：C11、连续精馏中,精馏段操作线随( )而变。
A、回流比B、进料组成C、残液组成D、进料热状态答案：A12、在四种典型塔板中,操作弹性最大的是( )型。
A、舌D、浮阀答案：D13、精馏塔操作前,釜液进料位置应该达到( )。
A、1/2~2/3B、满釜C、低于1/3D、1/3答案：A14、气液两相在筛板上接触,其分散相为液相的接触方式是( )。
A、鼓泡接触B、喷射接触C、泡沫接触D、以上三种都不对答案：B15、塔板上造成气泡夹带的原因是( )。
精馏典型例题
第9章 精馏 典型例题例1：逐板法求理论板的基本思想有一常压连续操作的精馏塔用来分离苯-甲苯混合液，塔顶设有一平衡分凝器，自塔顶逸出的蒸汽经分凝器后，液相摩尔数为汽相摩尔数的二倍，所得液相全部在泡点下回流于塔，所得汽相经全凝器冷凝后作为产品。
已知产品中含苯0.95（摩尔分率），苯对甲苯的相对挥发度可取为2.5 。
试计算从塔顶向下数第二块理论板的上升蒸汽组成。
解: 884.095.05.15.295.05.115.20000=⨯-=→=+=x x x x y DR=L/D=2905.03/95.0884.0323/95.032:11=+⨯=+=+y x y n n 精馏段方程845.03/95.0793.032793.0905.05.15.2905.05.15.22111=+⨯==⨯-=-=y y y x例2：板数较少塔的操作型计算拟用一 3 块理论板的（含塔釜）的精馏塔分离含苯50%（摩尔分率，下同）的苯-氯苯混合物。
处理量F=100 Kmol/h ，要求 D=45 Kmol/h 且 x D >84%。
若精馏条件为：回流比R=1 ，泡点进料，加料位置在第二块理论板，α=4.10 ，问能否完成上述分离任务？ 解：W=55kmol/h精馏段操作线方程：y n+1=0.5x n +0.42提馏段的操作线方程：Fq D R Wx x F q D R qFRD y w )1()1()1()1(--+---++=将相关数据代入得提馏段操作线方程：134.061.1-=x y 逐板计算：y 1=x D =0.84y 2=0.5×0.56+0.42=0.7057.0134.036.061.13=-⨯=y.22.05584.04550=⨯-=-=WDx Fx x Df w ()56.084.01.31.484.01111=⨯-=--=y y x αα36.07.01.31.470.02=⨯-=x22.024.057.01.31.457.03≥=⨯-=x所以不能完成任务。
精馏习题及答案
概念题一、填空题1. __________________________________________________ 精馏操作的依据是 _______ 。
利用 _________________________________________________________ 、______________________ 的方法 ,将各组分得以分离的过程。
_______________________________ 实现精馏操作的必要条件 __ 和。
2. 汽液两相呈平衡状态时，气液两相温度 ________ ，液相组成 __________ 汽相组成。
3.用相对挥发度 _______________________________ 表达的气液平衡方程可写为。
根据 的大小，可用来 ___________________ ，若 =1，则表示 ________________ 。
4. 某两组分物系，相对挥发度 =3，在全回流条件下进行精馏操作，对第 n,n+1 两层理论板 （从塔顶往下计） ，若已知 y n=0.4, y n+1= _______ 。
全回流操作通常适用于 _________________或_________________ 。
5. ____________________________________________________________________ 精馏和蒸馏的区别在于 _精馏必须引入回流 __________________________________________________ ；平衡蒸馏和简单蒸馏主要区别在于 _________________________________________ 。
6. 精馏塔的塔顶温度总是低于塔底温度，其原因是 _______________________________________ 和7.在总压为101.33kPa 、温度为85C 下，苯和甲苯的饱和蒸汽压分别为 P A °116.9kPa 、P B °=46kPa, 则相对挥发度 = _______ ，平衡时液相组成 x A = _________ ,汽相组成 y A = _______ 8.某精馏塔的精馏段操作线方程为y=0.72x+0.275，则该塔的操作回流比为 _____________馏出液组成为 ________________ 。
第九章精馏例题
【例4-1】 在连续精馏塔中，分离某二元理想溶液。
进料为汽-液混合物进料，进料中气相组成为0.428，液相组成为0.272，进料平均组成x F =0.35，假定进料中汽、液相达到平衡。
要求塔顶组成为0.93（以上均为摩尔分率），料液中易挥发组分的96%进入馏出液中。
取回流比为最小回流比的1.242倍。
试计算：（1）塔底产品组成；（2）写出精馏段方程；（3）写出提馏段方程；（4）假定各板效率为0.5，从塔底数起的第一块板上，上升蒸汽的组成为多少？解题思路：()Wx 1问要求的，此法不通）（第 3 1WL Wx x W L L y Wx Dx Fx F m m WD F -'--''=+=+ WFD W D F x Fx DxW D F Wx Dx Fx 联立解得只要通过 96.0 , =+=+=()1 21++=+x x R Ry D n n ()n n n x a y 11-+= ()FF F x x y 11-+=αα qq m R =11---=q x x q qy F ()F F f Fy q qFx Fx -+=1 （3）提馏段方程可以简化或代入提馏段方程本身求，也可以用两点式方程求得，即点（x w ，x w ）和进料线与精馏线交点（4）5.0 1*2122=--=→→y y y y E y MV 逐板计算法解题过程：()0223.0361.0193.0361.035.01361.093.035.096.0, 96.0 1=-⨯-=--=--=-=⎩⎨⎧+=+==⨯=∴=FD x F Dx DF Dx Fx W Dx Fx x Wx Dx Fx WD F F D Fx Dx DF DF D F W W D F FD得：由()()()()()186.08.0 1493.014411 0.422.3242.1242.1 22.3272.0428.0428.093.0 428.0272.0 07.03.27.012 7.0 15.035.015.05.011 5.0 428.01272.035.0 1 1 12 2, 272.011272.0428.0 11 22+=+++=+++=∴=⨯===--=--=∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=+-=---=---=∴=∴⨯-+⨯=-+=∴-'=-+=∴=∴⨯-+⨯=-+=n n n D n n m q q q D m q q f FF F n n n x y x R x x R R y R R x y y x R y x x x x y x x y x y x q x x q q y q q q y q F Fqx Fx FLL q qq xxy a a a x a ax y 即：精馏段方程为：线的交点联立求解平衡线与进料即，进料线方程为：气相所占分率为分率，则可视为进料中液相所占在汽、液混合进料中，：平衡线方程为()()()0109.049.11361.05.0361.040223.01361.01361.05.0361.045.0361.04111 311-=-++⨯⨯-+-++⨯+⨯=-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++⋅+⋅=-++-+-+++=-+--++=-'--''=++m m m W m W m W m W m m x y x FD q F D R x F D x F D q F D R qF DR FD qF RD x F D x F D qF RD qFRD WqF L Wx x W qF L qF L W L Wx x W L L y ()即提馏段方程由两点式直线方程有：解得：）的交点（又通过精馏线与进料线过点（又一解法：提馏段方程 0107.049.1 285.049.1414.0 285.00223.0285.0414.00223.0414.0 414.0285.0 7.0186.08.0 ,),, 12112111111111-=-=---=----=--⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+-=+=x y x y x y x x x x y y y y y x x y x y y x x x W W()0569.0 5.00436.00702.00436.0 0702.00364.010364.0212 0364.049.10107.00436.049.10107.0 0107.049.1 0436.00223.010223.0212 ?4221*21222*22*2122112112=∴=--=--==+⨯=+==+=+=∴-==+⨯=+==y y y y y y E x x y x y y x x y y x x x y x y y MV W W w 根据默弗里板效率公式成平衡关系与。
精馏习题及答案
精馏习题课例题1.一分离苯、甲苯的常压精馏塔，按以下三种方式冷凝(图1，图2，图3)，塔顶第一板上升蒸汽浓度为含苯(摩尔分率)，回流比均为2。
(1)采用全凝器冷凝，在塔顶及回流处插二支温度计，测得温度分别为0t 、1t ，问0t 、1t 是否相等?为什么?并求0t 、1t 的值。
(2)在图1，图2，图3三种冷凝情况下，第一板浓度为1y 含苯(摩尔分率)。
①比较温度1t 、2t 、3t 的大小；②比较回流液浓度1L x 、2L x 、3L x 的大小；③比较塔顶产品浓度1D x 、2D x 、3D x 的大小。
将以上参数分别按顺序排列，并说明理由。
(3)三种情况下精馏段操作线是否相同?在同一x y -图上表示出来，并将三种情况下D x 、L x 、V x 的值在x y -图上表示出来。
已知阿托因常数如下(阿托因方程为)/(lg 0T C B A p +-=，其中P 单位为mmHg ，T 单位为℃)：A B C 苯 甲苯例题2.用一连续精馏塔分离苯—甲苯混合液。
进料为含苯(质量分率，下同)的饱和液体，质量流率为1000kg/h 。
要求苯在塔顶产品中的回收率为98%，塔底产品中含苯不超过。
若塔顶采用全凝器，饱和液体回流，回流比取为最小回流比的倍，塔底采用再沸器。
全塔操作条件下，苯对甲苯的平均相对挥发度为，塔板的液相莫弗里(Murphree)板效率为70%,并假设塔内恒摩尔溢流和恒摩尔汽化成立。
试求：①塔顶、塔底产品的流率D 、W 及塔顶产品的组成x D ； ②从塔顶数起第二块板上汽、液相的摩尔流率各为多少；③精馏段及提馏段的操作线方程；④从塔顶数起第二块实际板上升气相的组成为多少？例题3.如图所示，对某双组分混合液，分别采用简单蒸馏和平衡蒸馏方法进行分离，操作压力、原料液的量F 、组成x F 均相同。
①若气相馏出物浓度（或平均浓度）相同，即平D 简D ＝x x ,,，试比较残液（或液相产品）浓度x W ，简、x W ，平，气相馏出物量V 简、V 平；②若气相馏出物量相同，即V 简=V 平，试比较残液（或液相产品）浓度x W ，简、x W ，平，气相馏出物浓度（或平均浓度）平D 简D 、xx ,,及残液（或液相产品）量。
完整word版精馏例题
例7—4 欲将65000kg／h含苯45％、甲苯55％(质量百分率，下同)的混合液在一连续精馏塔内加以分离，已知馏出液和釜液中的质量要求分别为含苯95％和2％，求馏出液和釜液的摩尔流率以及苯的回收率。
解苯和甲苯的摩尔质量分别为78kmol/kg和92kg/mol0.45/78?0.4911x?进料组成F9255/0.45/78?0.7895/0.9573.x??0产品组成D92/.95/78?0.05078/0.020235.x??0W92/02/78?0.980.进料平均摩尔质量_____kgkmol/85.120.4911)?92??x)M?0.4911?78?(1?1M?xM?(BAFFF65000?763.6kF?mol/h则85.12根据式(7—29)得x?x0.4911?0.0235WF F＝?763.6?382.4kmol/hD＝x?x0.9573?0.0235WD所以 W＝F－D＝763.6－382.4＝381.2kmol/hDx382.4?0.9573?D?100%＝?100%?97.6%?苯的回收率1Fx763.6?0.4911F例7-5分离例7－4中的苯－甲苯溶液。
已知泡点回流，回流比取3。
试求：(1) 精馏段的气液相流量和精馏段操作线方程；(2) 泡点进料和50℃冷液进料时提馏段的气液相流量和提馏段操作线方程。
解：(1) 精馏段的气液相流量和精馏段操作线方程精馏段的气液流量由回流比及馏出液流量决定，即V?(R?1)D?4.0?382.4?1529.6kmol/hL?RD?3.0?382.4?1147.2kmol/h精馏段操作线方程由式（7－34）计算，即xR31D＝x??0.9573?0y?.75x?x?0.2393R＋1R＋13＋13?1 (2) 提馏段的气液相流量和提馏段操作线方程在其他操作参数一定的情况下，提馏段的气液相流量即操作线方程受进料热状况的影响。
①泡点进料，q=1，则由式（7－43）得?＝L＋qF＝1147.2?763L.6?1910.8kmol/h??V?(1?q)VF?1529.6kmol/h代入提馏段操作线方程（7－38）得?W1910.8381.L2?0.0235y?x?x＝x??1.249x?0.00586W???W1529.L61529.L6?W② 50℃冷液进料. 根据x＝0.4911，查常压下苯—甲苯的t-x-y图，得泡点F t=94.2℃，露点t=99.2℃。
化工原理的精馏例题选
8．用一连续精馏塔分离由组分A 、B 所组成的理想混合液。
原料液中含A 0.44，馏出液中含A 0.957（以上均为摩尔分率）。
已知溶液的平均相对挥发度为2.5，最小回流比为1.63，说明原料液的热状况，并求出q 值。
解：采用最小回流比时，精馏段操作线方程为即由相平衡方程 ， 得联立两方程 ， 解得 x = 0.367，y = 0.592此点坐标（0.367，0.592）即为（x q ，y q ）。
因 x F = 0.44，即x q ＜x F ＜y q ，说明进料的热状况为气液混合进料。
由q 线方程 ，此线与平衡线的交点即是操作线与平衡线的交点有 解出 q = 0.676【例5-10提馏塔】 在常压连续提馏塔中，分离两组分理想溶液，该物系平均相对挥发度为2.0。
原料液流量为100kmol/h ，进料热状态参数q 为0.8，馏出液流量为60kmol/h ，釜残液组成为0.01（易挥发组分摩尔分率），试求；1．操作线方程；2．由塔内最下一层理论板下流的液相组成x N 。
解：本题为提馏塔，即原料由塔顶加入，一般无回流，因此该塔仅有提馏段。
再沸器相当一层理论板。
1．操作线方程 此为提馏段操作线方程，即w m m x V W x V L y '-'''='+1 其中 L ′=L +qF =0+0.8×100=80kmol/h V =D =60kmol/hV ′=V +（q －1）F =60+（0.8－1）×100=40kmol/h W =F －D =100－60=40kmol/h故 01.0201.0404040801-=⨯-'='+x x y m m 2．塔内最下一层理论板下降的液相组成x N ′因再沸器相当一层理论板，故 ()0198.001.0101.0211=+⨯=-+='w w w x a ax y 因x N ′和y W ′呈提馏段操作线关系，即0198.001.02=-'='N W x y 解得 x N ′=0.0149 讨论：提馏塔又称回收塔。
化工原理 精馏练习题
化工原理精馏练习题一、问题描述在一个精馏塔中，对乙酸和甲醇进行分馏。
原料含有10%的乙酸和90%的甲醇。
要求设计一个塔，使得在出口处乙酸的含量为90%以上。
二、基本原理精馏是一种通过分离液体混合物中各种组分的技术。
通常使用精馏塔来实现这一过程。
精馏塔可以分为两个部分：初级分馏区和精馏区。
初级分馏区将液体混合物分为两个相，其中一个相富集乙酸，另一个相则富集甲醇。
精馏区进一步加热液体混合物，产生的蒸汽经过冷凝器后得到两个部分：富含乙酸的液体和富含甲醇的液体。
通过不断回流和再沸腾，可以实现将乙酸含量提高到所需的目标。
三、塔的设计1. 确定精馏塔的高度：- 初级分馏区的高度：根据乙酸和甲醇的相对挥发度，在塔底部设定一个管理区，用于分离液相。
在此区域温度和压力较低，适合乙酸富集。
根据经验法则，初级分馏区的高度应该是整个塔高度的1/3至1/2。
- 精馏区的高度：根据所需乙酸的含量和其他操作参数来确定此区域的高度。
通常，较高的塔设计可以提供更高的分离效果。
2. 确定进料位置：- 进料位置应该位于初级分馏区与精馏区之间的合适位置，以实现较好的分离效果。
通常情况下，进料点应该位于塔的上部，以允许较高的沸点组分从上部释放，从而改善塔的效率。
3. 选择合适的回流比：- 回流比是进入塔中再沸腾的液体与从塔顶冷凝回流的液体的质量比。
适当的回流比对提高分离效果非常重要。
较高的回流比可以提供更高的塔效率，但会增加能耗。
- 在本例中，根据乙酸和甲醇的性质和要求，选择合适的回流比是至关重要的。
四、其他操作参数除了塔的设计之外，还有一些其他操作参数需要考虑：1. 温度和压力：温度和压力的选择取决于乙酸和甲醇的性质。
通常情况下，高温和低压有利于乙酸的分离。
2. 冷凝器的设计：冷凝器用于冷却塔顶的蒸汽，并将其转变为液体。
这样，可以通过回流将纯度较高的乙酸送回塔底。
冷凝器的设计要应对不同的工艺要求和流量。
3. 分离回流液的处理：分离回流液中可能含有乙酸和甲醇。
精馏典型例题
第9章 精馏 典型例题例1：逐板法求理论板的基本思想有一常压连续操作的精馏塔用来分离苯-甲苯混合液，塔顶设有一平衡分凝器，自塔顶逸出的蒸汽经分凝器后，液相摩尔数为汽相摩尔数的二倍，所得液相全部在泡点下回流于塔，所得汽相经全凝器冷凝后作为产品。
已知产品中含苯0.95（摩尔分率），苯对甲苯的相对挥发度可取为2.5 。
试计算从塔顶向下数第二块理论板的上升蒸汽组成。
解: 884.095.05.15.295.05.115.20000=⨯-=→=+=x x x x y DR=L/D=2905.03/95.0884.0323/95.032:11=+⨯=+=+y x y n n 精馏段方程845.03/95.0793.032793.0905.05.15.2905.05.15.22111=+⨯==⨯-=-=y y y x例2：板数较少塔的操作型计算拟用一 3 块理论板的（含塔釜）的精馏塔分离含苯50%（摩尔分率，下同）的苯-氯苯混合物。
处理量F=100 Kmol/h ，要求 D=45 Kmol/h 且 x D >84%。
若精馏条件为：回流比R=1 ，泡点进料，加料位置在第二块理论板，α=4.10 ，问能否完成上述分离任务？ 解：W=55kmol/h精馏段操作线方程：y n+1=0.5x n +0.42提馏段的操作线方程：Fq D R Wx x F q D R qFRD y w )1()1()1()1(--+---++=将相关数据代入得提馏段操作线方程：134.061.1-=x y 逐板计算：y 1=x D =0.84y 2=0.5×0.56+0.42=0.7057.0134.036.061.13=-⨯=y.22.05584.04550=⨯-=-=WDx Fx x Df w ()56.084.01.31.484.01111=⨯-=--=y y x αα36.07.01.31.470.02=⨯-=x22.024.057.01.31.457.03≥=⨯-=x所以不能完成任务。
化工原理 精馏习题
精馏一、填空题：801、精馏塔分离某二元物系，当操作压强降低，系统的相对挥发度α ，溶液的泡点 ，塔顶蒸汽冷凝温度 （增大、减小、不变）答案：增大，减小，减小802、精馏分离某二元组分混合液（,,F F x q ），要求塔顶D x ，轻组分回收率η。
设计时，若加大回流比R ，则精馏段液气比 ，提馏段液气比 ，所需理论板数T N ，塔顶产品量D ，塔釜W x ，塔顶冷凝量C Q ，塔釜加热量R Q ，若R 太大，过程的调节余地将 （增大、减小、不变）。
答案：增大，减小，减小，不变，不变，增大，增大，减小803、精馏塔设计时，已知,,,F D W F x x x ，进料热状态0.5q =时，所需塔板数为T N 。
试判断下列参数变化并定性绘出操作线的变化：（1）保持回流比不变，将进料状态由0.5q =改为1q =，则塔釜加热量R Q ，塔顶冷凝量C Q ，所需塔板数T N 。
答案：增大，不变，减小（2）保持塔釜加热量不变，将进料状态由0.5q =改为1q =，则塔顶冷凝量C Q ，所需塔板数T N 。
答案：减小，增大（3）保持回流比不变，将进料状态由0.5q =改为0q =，则塔釜加热量R Q ，塔顶冷凝量C Q ，所需塔板数T N 。
答案：减小，不变，增大804、某精馏塔设计中，若将塔釜间接蒸汽改为直接蒸汽加热，而F 、D 、F 、D x 、q 、R 不变，则W , W x , L V '' , T N （增大、减小、不变）。
答案：增大，减小，不变，增大805、精馏塔设计时，若塔顶采用全凝器，所需理论板数为1T N ，采用分凝器，所需理论板2T N ，则1T N 2T N （<，=，>）****答案****：>806、某精馏塔的实际回流比小于设计时的最小回流比，其结果如何？ 。
答案：完不成分离任务807、一精馏塔维持其他条件不变而增大回流比R ，则精馏段液气比L V ，提馏段的液气比L V '' ，D x ，W x （变大，变小，不变，不确定）。
精馏习题及答案解析
精馏习题课例题1.一分离苯、甲苯的常压精馏塔，按以下三种方式冷凝(图1，图2，图3)，塔顶第一板上升蒸汽浓度为含苯0.8(摩尔分率)，回流比均为2。
(1)采用全凝器冷凝，在塔顶及回流处插二支温度计，测得温度分别为0t 、1t ，问0t 、1t 是否相等?为什么?并求0t 、1t 的值。
(2)在图1，图2，图3三种冷凝情况下，第一板浓度为1y 含苯0.8(摩尔分率)。
①比较温度1t 、2t 、3t 的大小；②比较回流液浓度1L x 、2L x 、3L x 的大小；③比较塔顶产品浓度1D x 、2D x 、3D x 的大小。
将以上参数分别按顺序排列，并说明理由。
(3)三种情况下精馏段操作线是否相同?在同一x y图上表示出来，并将三种情况下D x 、L x 、V x 的值在x y图上表示出来。
已知阿托因常数如下(阿托因方程为)/(lg 0T CB Ap，其中P 单位为mmHg ，T 单位为℃)：AB C 苯 6.89740 1206.35 220.237 甲苯6.9581343.91219.58例题2.用一连续精馏塔分离苯—甲苯混合液。
进料为含苯0.4(质量分率，下同)的饱和液体，质量流率为1000kg/h 。
要求苯在塔顶产品中的回收率为98%，塔底产品中含苯不超过0.014。
若塔顶采用全凝器，饱和液体回流，回流比取为最小回流比的 1.25倍，塔底采用再沸器。
全塔操作条件下，苯对甲苯的平均相对挥发度为 2.46，塔板的液相莫弗里(Murphree)板效率为70%,并假设塔内恒摩尔溢流和恒摩尔汽化成立。
试求：①塔顶、塔底产品的流率D 、W 及塔顶产品的组成x D ；②从塔顶数起第二块板上汽、液相的摩尔流率各为多少；③精馏段及提馏段的操作线方程；④从塔顶数起第二块实际板上升气相的组成为多少？例题3.如图所示，对某双组分混合液，分别采用简单蒸馏和平衡蒸馏方法进行分离，操作压力、原料液的量F 、组成x F 均相同。
精馏例题
例7—4 欲将65000kg ／h 含苯45％、甲苯55％(质量百分率，下同)的混合液在一连续精馏塔内加以分离，已知馏出液和釜液中的质量要求分别为含苯95％和2％，求馏出液和釜液的摩尔流率以及苯的回收率。
解 苯和甲苯的摩尔质量分别为78kmol/kg 和92kg/mol进料组成 4911.092/55.078/45.078/45.0=+=F x 产品组成 9573.092/05.078/95.078/95.0=+=D x 0235.092/98.078/02.078/02.0=+=W x 进料平均摩尔质量kgkmol M x M x M B F A F F /12.8592)4911.01(784911.0)1(_____=⨯-+⨯=-+=则 h kmol F /6.76312.8565000== 根据式(7—29)得h kmol F x x x x D W D W F /4.3826.7630235.09573.00235.04911.0=⨯----＝＝ 所以 W ＝F －D ＝763.6－382.4＝381.2kmol/h苯的回收率 %6.97%1004911.06.7639573.04.382%1001=⨯⨯⨯⨯=＝F D Fx Dx η例7-5 分离例7－4中的苯－甲苯溶液。
已知泡点回流，回流比取3。
试求：(1) 精馏段的气液相流量和精馏段操作线方程；(2) 泡点进料和50℃冷液进料时提馏段的气液相流量和提馏段操作线方程。
解：(1) 精馏段的气液相流量和精馏段操作线方程精馏段的气液流量由回流比及馏出液流量决定，即h kmol D R V /6.15294.3820.4)1(=⨯=+=h kmol RD L /2.11474.3820.3=⨯==精馏段操作线方程由式（7－34）计算，即 2393.075.09573.013113311+=⨯+++=x x R x x R R y D ＋＝＋＋ (2) 提馏段的气液相流量和提馏段操作线方程在其他操作参数一定的情况下，提馏段的气液相流量即操作线方程受进料热状况的影响。
精馏的练习题
精馏的练习题精馏是化学分离技术中常用的方法，用于提纯混合物。
下面将介绍并解答一些与精馏相关的练习题，以帮助读者更好地理解和应用精馏技术。
练习题一：酒精和水的精馏分离问题描述：一瓶酒精与水的混合物，含有70%酒精和30%水，如何通过精馏将酒精和水分离？解答：酒精和水的沸点不同，可以利用这一特性进行分离。
首先，在实验室中准备精馏设备，包括加热源、冷却管和收集瓶。
将混合物倒入一个容器中，并将容器连接到精馏设备上。
接下来，加热混合物，酒精会先蒸发出来，经过冷凝管冷却成液体，并滴入收集瓶中。
待酒精完全蒸发后，剩下的液体主要是水。
通过控制加热源的温度，可以精确控制分离过程，使得酒精和水分离得更加彻底。
练习题二：多级精馏的应用问题描述：若需要纯度高达99%的乙醇，应如何使用多级精馏进行分离？解答：多级精馏是提高分离效率和纯度的常用方法。
乙醇和水的沸点相近，单级精馏很难达到99%的纯度，因此需要采用多级精馏。
首先，准备多级精馏设备，每个级别有冷却管和收集瓶。
将混合物加热至开始蒸发，并使其蒸汽通过冷却管冷却成液体。
在第一级，较富含乙醇的液体会凝结，流入收集瓶中，较富含水的液体则继续向下流动。
将第一级收集瓶中的液体作为进料，再次进行精馏，相同的分离过程重复进行。
不断重复这个过程，每个级别的分离效率都会逐渐提高，最终得到所需纯度为99%的乙醇。
练习题三：气液两相的平衡问题描述：在精馏过程中，为何需要冷却管？解答：冷却管是精馏设备中的重要组成部分，其作用是将蒸汽冷却成液体。
在精馏过程中，液体会被加热烧开，生成蒸汽。
通过冷却管，蒸汽可以被迫冷却，使其转变回液体状态。
这是因为在冷却管中，外界的冷却介质会吸收蒸汽的热量，使其迅速冷却。
冷却管的作用是实现气液两相的平衡，使得蒸汽能够重新转变为液体。
这样，在精馏过程中，液体和蒸汽可以不断地在不同的部分之间转移，最终达到有效分离混合物的目的。
结语：精馏是化学分离技术中的重要方法，可以应用于各个领域。
精馏操作练习题
精馏操作章末考试题姓名：________班级：_______1．精馏操作中，进料线与y=x对角线相交点的坐标为Ａ.（XＤ,X F）Ｂ.（XＤ,XＤ）Ｃ.（X W,X W）Ｄ.（X F,X F）2. 精馏操作饱和蒸汽进料时,精馏段下流液体量L与提馏段下流液体量的L /关系为Ａ．L /＞L + F Ｂ．L /= LＣ．L /＜L + F Ｄ．L /= L + F3. 在精馏计算,两操作线交点轨迹方程式的斜率为Ａ. 1/(q-1) Ｂ. q/(q-1) Ｃ. 1/(q+1) Ｄ. q/(q+1)4.二元溶液连续精馏计算中，进料热状况的变化将引起以下线的变化A.提馏段操作线与q线B.平衡线C.平衡线与精馏段操作线D.平衡线与q线5. 在精馏塔设计时，对一定的物系，若x F , x D, x W ,和q不变，R增大，则所需理论塔板数A．增加B．减小C．不变D．无法确定6. 苯乙烯精制流程中，下列说法中正确的是A．所有精馏塔的塔顶温度都很高B．苯.甲苯回收塔的顶部为甲苯C．苯乙烯必须在真空中进行精馏操作D．苯.甲苯分离不能在常压下操作7.对于二元溶液，用普通蒸馏方法能分离的条件是（）A．αAB = 0 B．αAB＞0C. αAB = 1 D．αAB＞18．连续精馏操作中，过冷进料且进料量为F，精馏段下降液量为L、蒸汽升上量为V，提留段下降液量为L/、蒸汽升上量为V/，则其关系为（）A．L /＞L + F V/ ＞V B．L /= L V = V/C．L /＜L + F V ＞V/D．L /= L + F V = V/9．精馏操作的操作费用与回流比R的关系是A．操作费用随回流比R 的增大而减小B．操作费用随回流比R 的增大而增大C. 操作费用随回流比R 的增大先减后增D．操作费用随回流比R 的增大先增后减10．根据理想溶液的t—x—y相图，下列说法错误的是（）A．因为易挥发组分在气相组成中所占的分数大于在液相中所占的分数，故气相线位于液相线之上B．当平衡温度升高时，液相中易挥发组分A增多，难挥发组分B减少C. 在气液共存区，两相之间量的关系符合杠杆原理D．平衡时，气、液平衡状态点在同一水平线上二.简答题精馏操作时如何确定最适宜的回流比？三、计算题1.在常压下将含苯25%的苯-甲苯混合液连续精馏分离。
化工原理第五章精馏题
化工原理第五章精馏题五蒸馏汽液相平衡1.1 苯(A)与氯苯(B)的饱和蒸汽压[mmHg]和温度[℃]的关系如下:t 80.92 90 100 110 120 130 131.8p 760 1008 1335 1740 2230 2820 3020p 144.8 208.4292.8 402.6 542.8 719 760若苯—氯苯溶液遵循Raoult定律,且在1atm下操作,试作：(1) 苯—氯苯溶液的t—x(y)图及y—x图；(2) 用相对挥发度的平均值另行计算苯—氯苯的x—y值。
1.2 苯—甲苯混合液的组成x=0.4(摩尔分率),求其在总压p=600[mmHg]下的泡点及平衡汽相组成。
又苯和甲苯的混合气含苯40％(体积％)，求常压下的露点。
已知苯—甲苯混合液服从拉乌尔定律。
苯(A)和甲苯(B)的蒸汽压p、p [mmHg],按下述Antoine方程计算：式中t为温度[℃]。
lg p=6.89740-1206.350/(t+220.237)lg p=6.95334-1343.943/(t+219.237)1.3 某双组分理想物系当温度t=80℃时，p=106.7kPa，p=40kPa，液相摩尔组成为x A=0.4，试求:(1) 与此液相组成相平衡的汽相组成y A；(2) 相对挥发度α。
1.4 一双组分精馏塔，塔顶设有分凝器，已知进入分凝器的汽相组成y1=0.96(?摩尔分率,下同)，冷凝液组成x D=0.95，两个组分的相对挥发度α=2，求:(1) 出分凝器的汽相组成y D=(2) 出分凝器之液、汽的摩尔流率之比L/V D= 习题4附图1.5 在1atm下对x=0.6(摩尔分率)的甲醇—水溶液进行简单蒸馏，当馏出量为原料的1/3时，求此时刻的釜液及馏出物的组成。
设x=0.6附近平衡线可近视为直线，其方程为y=0.46x+0.549 1.6 某二元混合物原料中易挥发组分x F=0.4(摩尔组成)，用平衡蒸馏的方式使50%的物料汽化，试求气相中易挥发组分的回收率。
精馏例题
例9.1 相对挥发度沿塔高的变化在常压下精馏塔分离苯与甲苯混合物，已知塔顶第一块板上液体苯的含量（摩尔分数）为0.95，釜液中苯含量为0.05，苯和甲苯混合物可作为理想溶液，两纯组分的饱和蒸气压如例8.1所示，试求塔顶、塔底处两组分的相对挥发度各为多少？ 解： 精馏塔的操作压强应等于两组分的蒸汽压之和，即kPa x p x p p B B A A 3.10100=+=在塔顶，05.0,95.0==B A x x ，设塔顶液体混合物的泡点C t o3.81=，可计算相应的饱和蒸汽压为022.28.2203.811211031.6log 0=+-=A pkPa p A 3.1050=kPa p p B B 6.40609.15.2193.811345080.6log 0==+-=因 kPa x p x p B B A A 3.10105.06.4095.03.10500≈⨯+⨯=+ 故假设的泡点温度基本正确。
两组分在塔顶的相对挥发度为59.26.403.10500＝==B A pp α设塔釜压强仍接近为常压，且95.0,05.0==B A x x ，设塔釜内溶液混合物的泡点C t o3.108=，两组分的饱和蒸汽压为kPap p A A 5.22435.28.2203.1081211031.6log 0==+-=kPa p p B B 8.94977.15.2193.1081345080.6log 0==+-=因 kPa x p x p B B A A 3.10195.08.9405.05.22400≈⨯+⨯=+ 故假设的泡点基本正确。
两组分在塔釜的相对挥发度37.28.945.22400===BAp p α从例8.2可知，理想溶液的相对挥发度随液体泡点的升高而减小。
对泡点产生影响的因素有两个：一是操作压强，另一个是液体的组成。
在精馏塔内，操作压强基本恒定（真空精馏除外），影响相对挥发度的因素只有组成的变化。
精馏经典例题
精馏典型计算例题1. 某连续精馏操作中，已知精馏段操作线方程为：y =0.723x +0.263,提馏段操作线方程为：y =1.25x -0.0187,若原料液于露点温度下进入精馏塔中，求原料液、馏出液和釜残液的组成及回流比。
解：由精馏段操作线方程 1111n n D Ry x x R R +=+++0.7231RR =+，得 R = 2.61；10.2631D x R =+，得 x D = 0.95 将提馏段操作线方程与对角线方程 y = x 联立1.250.0187y x y x =-⎧⎨=⎩解得 x = 0.07，即 x w = 0.07将两操作线方程联立0.7230.2631.250.0187y x y x =+⎧⎨=-⎩解得 x = 0.535，y = 0.65因是露点进料，q = 0，q 线水平，两操作线交点的纵坐标即是进料浓度， ∴ x F = 0.652. 有苯和甲苯混合物，含苯0.4，流量1000 kmol/h ，在一常压精馏塔内进行分离，要求塔顶馏出液中含苯0.9（以上均为摩尔分率），苯的回收率不低于90%，泡点进料，泡点回流，取回流比为最小回流比的1.5倍，已知相对挥发度α=2.5。
试求。
（1）塔顶产品量D ；塔底残液量W 及组成x W ； （2）回流比R 及精馏段操作线方程；（3）由第二块理论板（从上往下数）上升蒸汽的组成。
解：（1）kmol/h 600kmol/h 400%904.010009.0===⨯W D D10000.44000.910000.44000.96000.0667600W W x x ⨯-⨯⨯=⨯+==（2）111F x qq y x q q ==---q 线方程：0.4F x =平衡线方程：()x xy x x y 5.115.2115.2+=-+==ααα 联立求得：625.04.0==e e y x8333.15.1222.14.0625.0625.09.0min min ===--=--=R R x y y x R dd D精馏段操作线：317.0647.011+=+++=x R x x R R y D（3）9.01==D x y 由平衡线方程可得：7826.05.115.29.0111=+=x x x由精馏段操作线：8234.0317.0647.012=+=x y3. 一连续精馏塔分离二元理想混合溶液，已知精馏段某塔板的气、液相组成分别为0.83和0.70，相邻上层塔板的液相组成为0.77，而相邻下层塔板的汽相组成为0.78（以上均为轻组分A 的摩尔分数，下同）。
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例7—4 欲将65000kg ／h 含苯45％、甲苯55％(质量百分率，下同)的混合液在一连续精馏塔内加以分离，已知馏出液和釜液中的质量要求分别为含苯95％和2％，求馏出液和釜液的摩尔流率以及苯的回收率。
解 苯和甲苯的摩尔质量分别为78kmol/kg 和92kg/mol进料组成 4911.092/55.078/45.078/45.0=+=F x 产品组成 9573.092/05.078/95.078/95.0=+=D x 0235.092/98.078/02.078/02.0=+=W x 进料平均摩尔质量kgkmol M x M x M B F A F F /12.8592)4911.01(784911.0)1(_____=⨯-+⨯=-+=则 h kmol F /6.76312.8565000== 根据式(7—29)得h kmol F x x x x D W D W F /4.3826.7630235.09573.00235.04911.0=⨯----＝＝ 所以 W ＝F －D ＝763.6－382.4＝381.2kmol/h苯的回收率 %6.97%1004911.06.7639573.04.382%1001=⨯⨯⨯⨯=＝F D Fx Dx η例7-5 分离例7－4中的苯－甲苯溶液。
已知泡点回流，回流比取3。
试求：(1) 精馏段的气液相流量和精馏段操作线方程；(2) 泡点进料和50℃冷液进料时提馏段的气液相流量和提馏段操作线方程。
解：(1) 精馏段的气液相流量和精馏段操作线方程精馏段的气液流量由回流比及馏出液流量决定，即h kmol D R V /6.15294.3820.4)1(=⨯=+=h kmol RD L /2.11474.3820.3=⨯==精馏段操作线方程由式（7－34）计算，即 2393.075.09573.013113311+=⨯+++=x x R x x R R y D ＋＝＋＋ (2) 提馏段的气液相流量和提馏段操作线方程在其他操作参数一定的情况下，提馏段的气液相流量即操作线方程受进料热状况的影响。
① 泡点进料，q=1，则由式（7－43）得hkmol F q V V h kmol qF L L /6.1529)1(/8.19106.7632.1147=--='=+'＝＋＝ 代入提馏段操作线方程（7－38）得00586.0249.16.15290235.02.3816.15298.1910-=⨯--'--''=x x x W L W x W L L y W ＝ ② 50℃冷液进料. 根据x F ＝0.4911，查常压下苯—甲苯的t-x-y 图，得泡点t b =94.2℃，露点t d =99.2℃。
在平均温度为(92.4+50)／2=71.2℃下，查得苯和甲苯的质量比热容为1.83kJ ／(kg·℃)，于是料液在该温度下的比热容为 )./(8.15512.8583.1℃kmolkJ c PL =⨯=进料从94.2℃的饱和液体变为99.2℃的饱和蒸气时所要吸收的热量近似等于94.2℃料液的气化潜热（忽略蒸气显热的影响）。
查得94.2℃时苯和甲苯的气化潜热分别为390kJ ／kg 和360kJ ／kg ，于是料液的气化潜热为r=0.4911×390×78+（1－0.4911）×360×92＝31794.0 kJ ／kmol()22.10.31794502.948.1551)(1=-⨯+=-+=r t t c q F b PL 所以提馏段的气液流量为L '=L+qF=1147.2+1.22×763.6=2078.8 kmol ／hV '=V-(1-q)F=1529.6-(1-1.22)×763.6=1697.6kmol ／h代入提馏段操作线方程得 00528.022.16.16970235.02.3816.16978.2078-=⨯-=-'--''=x x W L Wx x W L L y W 或求出精馏段操作线与q 线的交点d 的坐标，提馏段操作线是过d(x d ，y d )和b(x W ，x w )这两点的一条直线。
q 线方程： 2323.054.5122.14911.0122.122.111-=---=---=x x q x x q q y F 联立精馏段操作线和q 线方程：⎩⎨⎧-=+=2323.254.52393.075.0x y x y 解得⎩⎨⎧==626.0516.0dd y x 过点d(0.516，0.626)和点b(0.0235，0.0235)得一条直线方程，也为y=1.22x-0.00528。
例7—7 以捷算法求例7－6中饱和液体进料时全塔需要的理论塔板数和加料板位置。
解 例7－6中的数据为x F =0.491,x D =0.957,x w =0.0235,R=3.0 取全塔相对挥发度47.235.260.2=⨯=-＝W D ααα（参见表7－3），精馏段相对挥发度54.249.260.21=⨯==-F D ααα。
(1)求最小回流比R min 由公式（7－56）得 ()()()18.1491.01957.0147.2491.0957.0147.2111111min =⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡----==＝F D F D q x x x x R αα (2)求最少理论板数N min 、N min1 分别利用式(7—53)和(7—54)进行计算得 55.747.2lg 0235.00235.01957.01957.0lg lg 11lg min =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αW W D D x x x x N －－37.354.2lg 491.0491.01957.01957.0lg lg 11lg 11min,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αF F D D x x x x N －－ (3)利用捷算法求理论板数N 、N 1455.01318.131min =+-=+-=R R R X ()()270.0455.0175.0175.05668.05668.0=-=-=X Y由 270.0155.71min =+-=+-=N N N N N Y 解得 N=10.7 (包括再沸器)再根据式(7-59)得8.47.1055.738.3min 1min,1=⨯==N N N N 例7—8 若已知例7－7所用精馏塔的总板效率E o =0.54，试估算泡点进料时所需的实际塔板数和加料板位置。
若该塔操作时，已测得塔顶第1块实际塔板下降液体组成x 1=0.93，试求第1块塔板的气相默弗里板效。
解 (1)求实际塔板数和加料板位置由例7—7结果知，完成上述分离任务所需的理论板数N=9.7块(已扣除再沸器)，其中精馏段N 1=4.8块。
故由式(7—62)得全塔实际板数：Ne=N ／Eo=9.7／0.54=18.0，圆整为18块；精馏段实际板数：N e1=N 1／E 。
=4.8／0.54=8.9，圆整为9块，加料板在第10块。
(2)求塔板的气相默弗里板效用逐板计算法求解，在塔顶蒸馏范围内近似取相对挥发度α=2.58。
根据题意有相平衡方程： nn n x x y 58.1158.2+=精馏段操作线方程： 239.075.04957.0431+=+=+n n n x x y 计算过程为：y 1=x D =0.957（全凝器）937.0239.093.075.0239.075.012=+⨯=+=x y 972.093.058.1193.058.258.1158.211*1=⨯+⨯=+=x x y 571.0937.0972.0937.0957.021211,=--=--=*y y y y E mV例7—9 在一含有8块理论塔板(包括塔釜)的常压连续精馏塔中分离苯-甲苯混合液，全塔相对挥发度α=2.47，F ＝100kmol/h,x F =0.45,q=1，V ′＝140kmol/h,R=2.11,加料在第4块。
求：(1)x D 、x W 为多少？此时加料位置是否合适？(2)因前段工序有波动料液含苯量降为40％，若要保持x D 、x W 不变，回流比需加大至多少？解 (1)求馏出液和釜液组成x D 、x Wh km ol W V L h km ol D F W h km ol R F q V R V D /19555140/5545100/45111.21401)1(1=+=+'='=-=-==+=+-+'=+=x D 、x W 的求解需采用试差法。
设x W =0.081,由全塔物料衡算得 901.045081.05545.0100=⨯-⨯=-=D Wx Fx x W F D 精馏段操作线方程为 2897.06785.0111.2901.0111.211.211+=+++=+++=x x R x x R R y D 提馏段操作线方程为 03182.0393.1140081.055140195-=⨯-='-''=x x V Wx x V L y W 平衡线方程为 ()yy y y x 47.147.21-=--=αα 由x D =0.901开始，用精馏段操作线方程求出y 1=0.901,将y 1=0.901代入平衡线方程，求出x 1=0.786；将x 1代入精馏段操作线方程，求出y 2=0.823；将y 2=0.823代入平衡线方程，求出x 2=0.653；如此反复计算，共用精馏段操作线方程4次，求出y 1～y 4；共用平衡线方程4次，求出x 1～x 4。
然后用提馏段操作线方程和相平衡方程各4次，所得全塔的气液相组成列于表7-6中。
x 8=0.0816与假设初值x W =0.081基本相近，计算有效。
从表可知，x 3=0.526，x 4=0.426，由于泡点进料q=1，q 线与精馏段操作线交点d 的横坐标x d =x F ＝0.45，满足43x x x d <<，即加料板为第4块是合适的。
（2）加料组成降低为x F =0.40后，若要保持x D =0.901、x W =0.081不变，所需回流比加大。
1009.389.38)1()1()1(/1.619.38100/9.38081.0901.0081.04.0100+=+='⨯+=+=--='=-=-==--⨯=--⨯=R qF RD L R D R F q V V hkmol D F W h kmol x x x x F D W D W F 精馏段操作线方程为 1901.0111+++=+++=R x R R R x x R R y D （1） 提馏段操作线方程为 9.38)1(081.01.619.38)1(1009.38⨯+⨯-⨯++='-''=R x R R V Wx x V L y W （2） 平衡线方程为()yy y yx 47.147.21-=--=αα （3） R 需通过试差法求得。