【最新】2018-2019学年度高中北师大版数学选修4-4教学案：第二章4平摆线和渐开线
高中数学4-4第二章 参数方程全部教案北师大版选修4
高中数学第二章 参数方程[课标要求]1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆〔椭圆的中心在原点〕的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程〔一〕．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： 〔1〕、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα 〔2〕、抽象概括：参数方程的概念。
〔见课本第27页〕 说明：〔1〕一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
〔2〕参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
〔3〕平抛运动：[课本P27页例题]为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-==〔4〕思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
〔二〕、应用举例：例1、〔课本第28页例1〕曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)〔1〕判断点1M(0,1),2M (5,4)与曲线C 的位置关系；〔2〕点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系》2
课题：圆的极坐标方程（第1课时）授课老师：张秀红授课班级:高二（6）班●教学目的：通过类比直角坐标系下求曲线的方程的过程，探讨圆的极坐标方程。
本课题通过课本例题及习题归类学习，让学生经历由简单到复杂的过程，增强解决圆的极坐标方程的能力。
●教学重点与难点：重点：如何根据条件列出圆的极坐标方程,比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程。
难点：如何寻找条件列出圆的极坐标方程●教学过程：一尝试自学1、直角坐标与极坐标的互化2、圆心为M（a,0）,半径为a（a>0）的圆的直角坐标方程为。
3、上述1中如何推导圆的直角坐标方程（方法步骤）4、求曲线方程的步骤（求轨迹方程的步骤）二、主干讲解类型一：圆心在极点的圆例1：求圆心在极点、半径为r 的圆的极坐标方程。
类型二：圆心在极轴上且过极点的圆例2：求圆心坐标为Ca,0 （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？类型三：圆心在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa 处且过极点的圆 求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？三、局部训练1、求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程2、求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛23,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？3、求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π,半径为1的圆的极坐标方程四、效果反馈1、，圆θρcos 2=圆心极坐标是 半径是 θρsin 4=的圆心极坐标是 半径是 两圆的圆心距是2、求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程3、求圆心在A ()π,3、半径为3的圆的极坐标方程 圆的方程是为半径的为圆心，、以极坐标系中的点1)1,1(4A )4cos(2πθρ-=、A )4sin(2πθρ-=、B )1cos(2-=θρ、C )1sin(2-=θρ、D5、已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半6．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=7、求极坐标方程分别是1=ρ与θρcos 2-=的两个圆的公共弦所在的极坐标方程。
高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案第二章 §1 参数方程的概念
章末复习课[对应学生用书][对应学生用书]常以解答题中关键的一问的形式出现，一般与平面解析几何、向量、函数等知识交汇命题．常用的方法有：()直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解．()定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．()代入法：如果动点(，)依赖于另一动点(，)，而(，)又在某已知曲线上，则可先列出关于，，，的方程组，利用，表示，，把，代入已知曲线方程即为所求．()参数法：动点(，)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．[例]如图，圆和圆的半径都是，＝，过动点分别作圆和圆的切线，(，分别为切点)使得＝，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程．[解]如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为(－)，()．设(，)，则＝－＝(＋)＋－.同理，＝(－)＋－.∵＝，即＝.即(＋)＋－＝[(－)＋－]．即－＋＋＝.即动点的轨迹方程为(－)＋＝.迹极坐标方程的探求及直线和圆的极坐标方程的确定与应用问题．求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标ρ，θ的关系式(ρ，θ)表示出来，就得到曲线的极坐标方程．[例]已知△的直角顶点在直线ρθ＝上移动(为原点)，又∠＝°，求顶点的轨迹的极坐标方程．[解]如图①，设(ρ，θ)，(ρ，θ)．则ρ °＝ρ，即ρ＝ρ.又∵ρθ＝，而θ＝θ－°，∴ρ °＝，即ρ＝.①②若点的位置如图②所示，同理得点的轨迹方程为ρ＝.综上所述，点的轨迹方程为ρ＝. [例]已知定点()，动点对极点和点的张角∠＝.在的延长线上取点，使＝.当在极轴上方运动时，求点的轨迹的极坐标方程．[解]设，的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ，θ)，则θ＝θ.在△中，ρ＝·，＝θ(π))，又＝＋，∴ρ＝.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修4-4同步配套(课件+练习)：2.1
S随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做 2】
已知 P(x,y)是曲线
������ ������
= =
2sin+������cos������,(������为参数)
上任意一点, 求 (������-5)2 + (������ + 4)2的最大值.
解:由题意,设 d2=(x-5)2+(y+4)2=(2+cos α-5)2+(sin α+4)2=8sin α-6cos α+26=10sin(α-φ)+26,其中 φ 为锐角,tan φ= 34.
【做一做 1】
已知参数方程
������ ������
= =
22csions������������,(������为参数,
������∈[0,2π)).判
断点 A(1, 3)和������(2,1)是否在方程的曲线上.
分析:把A,B两点的坐标分别代入方程验证即可.
解:把 A,B 两点的坐标分别代入方程,
题型一 题型二 题型三
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
解:设点M的坐标为(x,y),∠AOP=θ.
因为点P在圆x2+y2=16上,过点P分别作x轴、y轴的垂线可得点P
的坐标为(4cos θ,4sin θ),又A(12,0),所以由中点坐标公式得点M的坐
(2)试求当 t=-3 时,曲线 C 上的点的坐标.
分析:将坐标分别代入参数方程进行判断.
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
2018学年高中数学北师大版选修4-4学案：第2章 章末分
章末分层突破[自我校对]①圆的参数方程②椭圆的参数方程③代数法④平摆线的参数方程⑤渐开线的参数方程迹曲线的方程.求轨迹方程是解析几何的主要问题之一，大致分为直接法和间接法两种方法.其中，参数法求轨迹方程是常用的间接法.如图2-1，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为BC ，CD 上的点，△CPQ 的周长为2，图2-1(1)求∠P AQ 的大小；(2)建立恰当的直角坐标系，试求△APQ 的重心的轨迹.【精彩点拨】 (1)利用平面图形的性质，先求tan P AQ 再求角；(2)建系后把重心坐标用参数θ(θ＝∠BOP )表示，消参即得轨迹方程.【规范解答】 (1)设BP ＝p ，DQ ＝q ，∠BAP ＝α， ∠DAQ ＝β，其中0＜p ＜1,0＜q ＜1， α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则tan α＝p ，tan β＝q ，∴tan(α＋β)＝p ＋q1－pq，又(1－p )＋(1－q )＋(1－p )2＋(1－q )2＝2， ∴(1－p )2＋(1－q )2＝(p ＋q )2， ∴1－pq ＝p ＋q ，∴tan(α＋β)＝1. 又0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4，∴∠P AQ ＝π4.(2)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立直角坐标系，如图. 设∠BOP ＝θ，由(1)得，∠BOQ ＝π4＋θ， 其中0＜θ＜π4.∴P 点的坐标为(1，tan θ)，Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，1， 又设△APQ 的重心为G (x ，y )，由重心坐标公式得：⎩⎨⎧x ＝13⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝23(1＋tan θ)，y ＝13(1＋tan θ)(θ为参数)，消去参数θ，得y ＝29x .又0＜θ＜π4，∴0＜tan θ＜1，∴13＜x ＜23，13＜y ＜23，∴△APQ 的重心G 的轨迹是双曲线xy ＝29在第一象限内的一部分. [再练一题]1.已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos β，y ＝2sin β(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点.(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α).M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π).(2)M 点到坐标顶点的距离 d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π).当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点.题.在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义.已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长. 【精彩点拨】 利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【规范解答】 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理得： t 2sin 2 α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①因为点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0，即sin α－cos α＝0. 因为0≤α<π，所以α＝π4， 因为|AB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4·8sin 2 π4＝8.[再练一题]2.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 【解】 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.a ，b 的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式.椭圆x 216＋y 24＝1上有P ，Q 两点，O 为椭圆中心，OP ，OQ 的斜率分别为k OP ，k OQ ，且k OP ·k OQ ＝－14.(1)求|OP |2＋|OQ |2的值； (2)求线段PQ 中点的轨迹方程.【精彩点拨】 利用椭圆的参数方程设点P (4cos θ1,2sin θ1)，Q (4cos θ1,2sin θ2)，充分利用已知条件建立方程求解.【规范解答】 (1)设P 点的坐标为(4cos θ1,2sin θ1)，Q 点的坐标为(4cos θ2,2sin θ2).∵k OP ·k OQ ＝－14，∴2sin θ14cos θ1·2sin θ24cos θ2＝－14，∴cos(θ1－θ2)＝0， ∴θ1－θ2＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴sin 2θ1＝cos 2θ2，cos 2θ1＝sin 2θ2，∴|OP |2＋|OQ |2＝16cos 2θ1＋4sin 2θ1＋16cos 2θ2＋4sin 2θ2＝20，即|OP |2＋|OQ |2＝20.(2)设PQ 的中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2(cos θ1＋cos θ2)，y ＝sin θ1＋sin θ2，∴x 24＋y 2＝(cos θ1＋cos θ2)2＋(sin θ1＋sin θ2)2＝2＋2cos(θ1－θ2)＝2， ∴PQ 中点的轨迹方程为x 28＋y 22＝1. [再练一题]3.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值.【解】 因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π. 因此，S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3.所以当φ＝π6时，S 取得最大值2.的坐标x ，y 的另一种曲线方程的形式，它体现了x ，y 之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数.有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围.在求轨迹方程问题时，参数的选择十分重要，参数必须与曲线上每一点都有密切关系，其次是能用参数较简捷地表示出x ，y .在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线.判断参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ＋t 21＋t 2，y ＝6＋2t 21＋t 2(t 为参数)表示的曲线形状.【精彩点拨】 根据参数方程的特点，可采用代数法消参，要注意自变量的范围.【规范解答】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ＋t 21＋t 2＝1＋4t 1＋t 2， ①y ＝6＋2t 21＋t 2＝2＋41＋t 2， ②由①得x －1＝4t1＋t 2， ③ 由②得y －2＝41＋t 2， ④ ③÷④得x －1y －2＝t ，代入④，得 (x －1)2＋(y －4)2＝4. ⑤ 由④知41＋t 2＞0，所以y ＞2， 所以参数方程的普通方程为 (x －1)2＋(y －4)2＝4(2＜y ≤6).可见，方程的曲线是以(1,4)为圆心，以2为半径的圆，不包括点(1,2). [再练一题]4.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程.【导学号：12990035】【解】 因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y 3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0..若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上.直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点.(1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线的长； (3)求|P 0A |和|P 0B |的长； (4)求交点A ，B 的坐标.【精彩点拨】 充分利用参数思想，即参数的几何意义解决问题.【规范解答】 将直线l 的参数方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0.(1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1·t 2＝9， 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3. (2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上，则 |P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9，所以切线长|P 0T |＝3.(3)解方程t 2－43t ＋9＝0，得t 1＝33，t 2＝3，所以|P 0A |＝33，|P 0B |＝ 3. (4)将t 1＝33，t 2＝3代入直线的参数方程，得 点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，332，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. [再练一题]5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ＜2π)，点M 是曲线C 1上的动点.(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ＞0)，求点P 到直线l 距离的最大值.【解】 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 点的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ＜2π)，消去参数θ得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. (2)由直角坐标与极坐标关系⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知，点P 的轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆， 因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.1.(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t (t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________.【解析】 由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2得x ＋y ＝－2.法一：由⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，得y 2＝8x ，联立⎩⎨⎧ x ＋y ＝－2，y 2＝8x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4).法二：把⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t代入x ＋y ＋2＝0得t 2＋22t ＋2＝0，解得t ＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4). 【答案】 (2，－4)2.(陕西高考)如图2-2，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________.图2-2【解析】 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数). 【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)3.(陕西高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.【解】 (1)由ρ＝23sin θ得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，点P 的直角坐标为(3,0).4.(全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.【解】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数). 直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.5.(全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α). 因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.。
高中数学(北师大版)选修4-4 同步教学课件+练习+作业：第二讲 参数方程 讲末复习方案2
(2)求点(1,1)到直线 AB 距离的最大值．
数学 选修4-4
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第二讲 参数方程
解析：(1)设 A( 2cos α， 2sin α)，
B
2cos α＋π2，
2sin α＋π2，
即 A( 2cos α， 2sin α)，B(－ 2sin α， 2cos α)
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第二讲 参数方程
【真题 7】 (2016·广东广州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：
x＝t＋1 y＝1－2t
(t
为参数)与曲线
C2：xy＝ ＝a3csions
θ θ
(θ 为参数，a>0)．
(1)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上，求 a 的值；
数学 选修4-4
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第二讲 参数方程
【真题 5】 (2016·河北衡水模拟)在直角坐标系 xOy 中，已知点 P(1，－2)，直线 l：
x＝1＋m， y＝－2＋m
(m 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝2cos θ，直线 l 和曲线 C 的交点为 A，B.
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第二讲 参数方程
考法四 直线的参数方程及其应用
1．利用直线的参数方程xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)中参数的几何意义，在解决
直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离．
2．直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数 t 没有明显的几何意义．在直线
8x＝cos θ，
得 2
y
3＝sin
高中北师大版数学选修4-4教学案...
⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案... 2019新版⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案：第⼀章曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程[对应学⽣⽤书P12]曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合．②极坐标系中的极轴与直⾓坐标系中的x 轴的正半轴重合．③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式： x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，错误!(3)圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程为：ρ＝.ρ＝1和ρ＝－1是同⼀个圆的极坐标⽅程，那么，该圆对应的直⾓坐标⽅程也有两个吗？提⽰：唯⼀的⼀个，x2＋y2＝1.[对应学⽣⽤书P13][例(1)x ＋y ＝0；(2)x2＋y2＋2ax ＝0(a≠0)；(3)(x －5)2＋y2＝25.[思路点拨] 本题考查极坐标与直⾓坐标互化公式的应⽤及转化与化归思想，解答此题，需要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，及x2＋y2＝ρ2代⼊直⾓坐标⽅程，再化简即可．[精解详析] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x＋y＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ.∴tan θ＝－1.∴θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．综上所述，直线x＋y＝0的极坐标⽅程为θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x2＋y2＋2ax＝0得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2acos θ)＝0.∴ρ＝－2acos θ.∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标⽅程为ρ＝－2acos θ.(3)(x－5)2＋y2＝25，即：x2＋y2－10x＝0.把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代⼊上式得：ρ2－10ρcos θ＝0.即ρ＝0或ρ＝10cos θ.∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上，∴所求圆的极坐标⽅程为ρ＝10cos θ.将直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程，只需将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代⼊化简即可，但化简时要注意变形的等价性．1．把圆的直⾓坐标⽅程(x－a)2＋(y－b)2＝r2化为极坐标⽅程．解：把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊⽅程(x－a)2＋(y－b)2。
2018-2019年北师大版数学选修4-4备课参考：1.1.1平面直角坐标系与曲线方程
第一章坐标系§1平面直角坐标系1.1平面直角坐标系与曲线方程教学建议1.借助例题展示,让学生明确在直角坐标系建立时,应考虑使研究对象的坐标尽可能简单,比如把图形的某些对称轴或边放在坐标轴上,或把图形的关键点放在坐标原点;在没有具体给出题中线段长度时,选择坐标系的单位长度,使图形中的有关数据简化等.2.通过易错辨析和练习,让学生掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的同时还要注意:(1)选择恰当的坐标系,坐标系如果选择恰当,可使解题过程简化,减少计算量;(2)要注意给出曲线图形的范围,要在限定范围的基础上求曲线方程,如果只求出曲线的方程,而没有根据题目要求确定出x,y的取值范围,最后的结论是不完备的;(3)建立不同的坐标系,同一曲线的方程也不相同.备选习题1.如下图,在平面直角坐标系xOy中,设△ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是在线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,某同学已正确求得直线OE的方程为x+y=0,请你完成直线OF的方程:()x+y=0.解析:由截距可得直线AB:=1,直线CP:=1,两式相减得:x+y=0,显然直线AB与CP的交点F满足此方程,故为所求的方程.答案:2.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程.(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A,B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解:(1)由题意,设曲线方程为y=ax2+,将点D(8,0)的坐标代入,得0=a·64+.∴a=-.∴所求曲线方程为y=-x2+.(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知得4y2-7y-36=0,解得y=4或y=-(舍去),于是x=6,∴C点的坐标为(6,4).应用两点间距离公式计算,得|AC|=2,|BC|=4.故当观测点A,B测得离航天器的距离分别为2,4时,应向航天器发出变轨指令.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 柱坐标系和球坐标系》
柱坐标系亳州二中王信一、学习目标1、理解柱坐标系。
并通过实例了解在柱坐标系中刻画空间中点的位置方法2、体会柱坐标系与空间直角坐标系的区别与联系。
3、了解柱坐标与空间直角坐标的互化关系并进行简单的数学应用。
二、教学重难点重点：在柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法，难点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系利用它们进行简单的数学应用三、教学过程（一）情景导入引例1：怎样准确的表示室内灯泡的位置？引例2：欣赏图片思考：如何确定圆柱形物体侧面商标或字的位置呢？试一试：给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，适当建立空间直角坐标系，利用直角坐标描述圆柱侧面点oPρ,θ,ZAθP()531，，因此θ=π3,故点A 的柱坐标为 2,π3,5 .的直角坐标为()21-1-，，,求它的柱坐标解:设点M 的柱坐标为(ρ,θ,z ).因为tan θ=yx =1,所以,θ=π4.所以点M 的柱坐标为 2,π4, 2 .正解点M 的为柱坐标为 2,5π4, 2 . 注：已知点的直角坐标,确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ,尤其是θ,要注意求出tan θ后,还要根据点在O 平面内的射影所在的象限确定θ的值θ的取值范围是[0,2π类型二：柱坐标化成直角坐标【例2】 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标:(1) 2,5π6,3 ;(2) 2,π4,5 . 分析：解答本题直接利用公式 x =ρcos θ,y =ρsin θ,z =z计算即可.解：(1)设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,5π6,3 , 所以x =ρcos θ=2cos 5π6=- 3,y =ρsin θ=2sin5π6=1,z =3,故(- 3,1,3)为所求.(2)设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,π4,5 ,所以 x =ρcos θ= 2cos π4=1,y =ρsin θ= 2sin π4=1,z =5,故(1,1,5)为所求.变式训练 将柱坐标点⎪⎭⎫⎝⎛162，，π化为直角坐标:解：设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,π6,1 ,所以 x =ρcos θ=2cos π6= 3,y =ρsin θ=2sin π6=1,z =1,即( 3,1,1)为所求.三、作业 教材的柱坐标为⎪⎭⎫⎝⎛142，，π,求点M 关于原点O 对称的点的柱坐标 2、在确定空间物体位置时怎样选取坐标系，使研究过程方便、简捷？ 3、在地理学、天文学中，科学家们在确定航天器或其他星球的准确位置时又该选取什么坐标系更好呢？课后作业：预习下一节：球坐标系！。
2018-2019学年高二数学北师大版选修4-4实用课件：第2章 2 2.2 2.3 2.4
上一动点，求 PQ 中点的轨迹方程，
【解】
设中点 M(x，y).则 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ 2
x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ y＝ 2 ，
(θ 为参数)，
这就是所求的轨迹方程. 1 它是以(1,0)为圆心，以2为半径的圆.
x＝2＋2cos α， (1) y＝1＋2sin α
(α 为参数).
(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0)，半径为 1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1)，半径为 1. ∵圆心到原点的距离为 2，∴最大值为 2＋1， 最小值为 2－1.
【答案】
x＝2＋2cos α， (1) y＝1＋2sin α
椭圆的参数方程及其应用
x2 y2 如图 224 所示，已知点 M 是椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)上在第一象
限的点，A(a,0)和 B(0，b)是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形 MAOB 的面 积的最大值.
图 224
【精彩点拨】
上都不相等. π 3π (3)× 双曲线中，参数 φ 的范围是 φ∈[0,2π)且 φ≠2，φ≠ 2 .
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
数学选修4-4教案
数学选修4-4教案教案标题：数学选修4-4教案课时数：1课时教学目标：1. 理解和掌握数列的概念及其性质。
2. 能够确定数列的通项公式。
3. 能够利用数列的通项公式计算数列中的任意项。
4. 能够解决与数列相关的实际问题。
教学重点：1. 数列的概念及其性质。
2. 数列的通项公式的确定。
3. 利用数列的通项公式计算数列中的任意项。
教学准备：1. 教材：数学选修4-4教材。
2. 教具：黑板、粉笔、计算器。
教学过程：步骤一：引入（5分钟）1. 教师简要介绍数列的概念，并与学生讨论数列在生活中的应用。
2. 引导学生思考：如何确定一个数列的通项公式？步骤二：概念讲解（10分钟）1. 教师详细讲解数列的定义，并给出一些例子进行说明。
2. 引导学生发现数列的性质，如公差、首项、末项等。
3. 讲解等差数列和等比数列的定义及其特点。
步骤三：通项公式的确定（15分钟）1. 教师通过具体的例子，引导学生发现数列的通项公式与数列的性质之间的关系。
2. 以等差数列为例，讲解如何通过已知条件确定数列的通项公式。
3. 以等比数列为例，讲解如何通过已知条件确定数列的通项公式。
步骤四：应用与拓展（20分钟）1. 教师给出一些实际问题，要求学生利用已学知识解决。
2. 学生分组进行讨论和解答，教师逐个指导和纠正。
3. 鼓励学生自主思考，拓展更复杂的数列问题。
步骤五：总结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调数列的重要性和应用价值。
2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和困惑。
教学延伸：1. 学生可通过课后作业进一步巩固和拓展数列的相关知识。
2. 学生可自主查找更多数列的实际应用例子，并进行分析和讨论。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 教师布置课后作业，检查学生对数列概念和通项公式的掌握情况。
3. 教师根据学生的表现和作业情况，进行个别辅导和巩固。
教学反思：本节课通过引入、概念讲解、通项公式的确定、应用与拓展等环节，全面培养了学生对数列的理解和掌握能力。
2018-2019学年北师大版高中数学选修4-4同步配套(课件+练习)：1.2.2
2.2点的极坐标与直角坐标的互化课时过关·能力提升1.在极坐标系中,极坐标(√2,5π4)化为直角坐标为().A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)解析:x=ρcos θ=√2cos5π4=√2×(-√22)=-1,y=ρsin θ=√2sin5π4=√2×(-√22)=-1,故所求直角坐标为(-1,-1).答案:D2.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-√3),若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以为().A.(2,-π3) B.(2,4π3) C.(1,-π3) D.(2,-4π3)解析:极径ρ=√12+(-√3)2=2,极角θ满足tan θ=-√3,因为点(1,-√3)在第四象限,所以θ=-π3,故其极坐标可以为(2,-π3).答案:A3.设点P对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则点P的极坐标可以为().A.(3√2,3π4) B.(-3√2,5π4)C.(3,5π4) D.(-3,3π4)解析:∵复数-3+3i对应的点P的坐标为P(-3,3),∴ρ=√(-3)2+32=3√2,tan θ=3-3=-1.又点(-3,3)在第二象限,∴θ=3π4.故其极坐标可以为(3√2,3π4).答案:A4.在极坐标系中,已知点A(4,1),B(3,1+π2),则线段AB的长度是().A.1B.√1+π24C.7D.5解析:设极点为O.∵点A(4,1),B(3,1+π2),∴OA⊥OB,∴|AB|=√OA2+OB2=5.故选D.答案:D5.已知直线l的直角坐标方程为x+y-1=0,则极坐标为(2,3π4)的点A到直线l的距离为().A.√2B.√22C.2-√22D.2+√22解析:点A(2,3π4)的直角坐标为(-√2,√2),则由点到直线的距离公式得d=|-√2+√2-1|√1+1=√22.故选B.答案:B6.如图所示,在极坐标系中,写出点P的极坐标为(ρ>0,0≤θ<2π),化为直角坐标为.解析:如图所示,连接OP.∵OQ是此圆的直径,∴∠OPQ=90°.又∠OQP=60°,∴∠POQ=30°,即∠POQ=π6.∴OP=OQ·cos 30°=2×√32=√3.故点P的极坐标为(√3,π6),化为直角坐标为(32,√3 2).答案:7.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的单位长度,若点M的极坐标为(4,7π3),则点M的直角坐标为.解析:设点M的直角坐标为(x,y),由题意得x=4cos 7π3=4cos π3=2,y=4sin 7π3=4sin π3=2√3,所以点M的直角坐标为(2,2√3).答案:(2,2√3)8.(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标:①(√2,π4);②(6,-π3);③(5,π).(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):①(√3,3);②(-1,-1);③(-3,0).解(1)①x=√2cos π4=1,y=√2sin π4=1, 故点(√2,π4)的直角坐标为(1,1). ②x=6cos (-π3)=3,y=6sin (-π3)=-3√3.故点(6,-π3)的直角坐标为(3,-3√3). ③x=5cos π=-5,y=5sin π=0,故点(5,π)的直角坐标为(-5,0).(2)①ρ=√(√3)2+32=2√3,tan θ=√3=√3. 因为点(√3,3)在第一象限,所以θ=π3.所以点(√3,3)的极坐标为(2√3,π3). ②ρ=√(-1)2+(-1)2=√2,tan θ=1.因为点(-1,-1)在第三象限,所以θ=5π4.所以点(-1,-1)的极坐标为(√2,5π4). ③ρ=√(-3)2+02=3,因为极角为π,所以点(-3,0)的极坐标为(3,π).9.在极坐标系中,已知三点M (2,5π3),N (2,0),P (2√3,π6). (1)将M ,N ,P 三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M ,N ,P 三点是否在同一条直线上.解(1)由公式{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得点M 的直角坐标为(1,-√3),点N 的直角坐标为(2,0),点P 的直角坐标为(3,√3).(2)因为k MN =√32-1=√3,k NP =√3-03-2=√3,所以k NP =k MN .故M ,N ,P 三点在同一条直线上.10.已知极坐标系中的三点A (5,π2),B (-8,116π),C (-3,π6).(1)将A ,B ,C 三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断△ABC 的形状.解(1)A ,B ,C 三点的直角坐标为A (0,5),B (-4√3,4),C (-3√32,-32).(2)|AB|=√(4√3)2+(5-4)2=7,|AC|=√(3√32)2+(5+32)2=7,|BC|=√(-4√3+3√32)2+(4+32)2=7, 因为|AB|=|BC|=|AC|,故△ABC 为等边三角形.★11.某大学校园的部分平面示意图如图所示.用点O ,A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 分别表示校门、器材室、操场、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园,其中|AB|=|BC|,|OC|=600.建立适当的极坐标系,写出除点B 外各点的极坐标[限定ρ≥0,0≤θ<2π,且极点为(0,0)].解以点O 为极点,OA 所在的射线为极轴Ox ,建立极坐标系.由|OC|=600,∠AOC=π6,∠OAC=π2,得|AC|=300,|OA|=300√3.又|AB|=|BC|,所以|AB|=150.由题意得|OE|=2|OG|=300√2,所以各点的极坐标分别为O (0,0),A (300√3,0),C (600,π6),D (300,π2),E (300√2,3π4),F (300,π),G (150√2,3π4).。
数学选修4-4教案
数学选修4-4教案教案标题：数学选修4-4教案教案目标：1. 理解和应用数列的概念和性质。
2. 掌握等差数列和等比数列的求和公式。
3. 能够解决与数列相关的实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学内容：1. 数列的概念和性质a. 了解数列的定义和常见符号表示。
b. 掌握数列的公式表示和递推关系。
c. 理解等差数列和等比数列的特点。
2. 等差数列a. 学习等差数列的定义和通项公式。
b. 理解等差数列的性质和规律。
c. 掌握等差数列的求和公式。
3. 等比数列a. 学习等比数列的定义和通项公式。
b. 理解等比数列的性质和规律。
c. 掌握等比数列的求和公式。
4. 数列的应用a. 解决与数列相关的实际问题。
b. 运用数列的性质和公式进行推导和证明。
教学步骤：第一步：引入数列的概念和性质a. 通过实际生活中的例子引导学生了解数列的概念。
b. 解释数列的符号表示和递推关系。
c. 引导学生讨论等差数列和等比数列的特点。
第二步：学习等差数列a. 介绍等差数列的定义和通项公式。
b. 引导学生观察等差数列的规律和性质。
c. 演示如何使用等差数列的求和公式。
第三步：学习等比数列a. 介绍等比数列的定义和通项公式。
b. 引导学生观察等比数列的规律和性质。
c. 演示如何使用等比数列的求和公式。
第四步：应用数列解决问题a. 给出一些实际问题，要求学生利用数列的性质和公式进行解答。
b. 引导学生分析问题，建立数学模型，并进行求解。
c. 鼓励学生在解决问题的过程中思考和讨论。
第五步：总结和拓展a. 总结本节课所学的内容和方法。
b. 提供一些拓展练习，巩固学生对数列的理解和应用能力。
教学资源：1. 数列的教学PPT或投影片。
2. 数列的练习题和答案。
3. 实际问题的案例和解答。
评估方法：1. 课堂练习：布置一些练习题，检查学生对数列的理解和应用能力。
2. 实际问题的解答：评估学生解决实际问题的能力和思维方式。
3. 课堂表现：观察学生的参与度、思维活跃度和合作能力。
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§4平摆线和渐开线
[对应学生用书P35]
[自主学习]
1．平摆线
(1)平摆线的概念： 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线)．
(2)摆线的参数方程：
①定点M 在滚动过程中满足的几何条件：
在平面直角坐标系中，设圆的半径为r ，圆在x 轴上滚动，开始时点M 在原点O (如图)． 设圆转动的角度为α时，圆和x 轴的切点是S ，圆心是N ，M 的坐标为(x ，y )，取角度α为参数．
连接NM ，NS ，过M 作x 轴的垂线MP ，垂足为点P ，过M 作NS 的垂线MQ ，垂足 为Q .
因为∠MNQ ＝α，所以OS ＝SM ＝rα.这就是圆周上的定点M 在圆N 沿直线滚动过程中满足的几何条件．
②摆线的参数方程：
如图(1)，由①分析可得：x ＝OP ＝OS －PS ＝SM －MQ ＝rα－r sin α＝r (α－sin α)，y ＝PM ＝SQ ＝SN －QN ＝r －r cos α＝r (1－cos α)．
图(1)
所以摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(－∞<α<＋∞)． 2．渐开线
(1)渐开线的相关概念：
把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．。