宣武区学第二学期第一次质量检测高三文科数学试题答案
北京宣武区二模文科数学试卷
北京市宣武区2009-2010学年度第二学期第二次质量检测高 三 数 学（文科） 2010.5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分， 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1. 若25-=x ，32-=x ，则y x , 满足 （ ）A ．x y >B ．x y ≥C ．x y <D ．x y =2. 若函数()()1log-=x x f a()1,0≠>a a 的图像恒过定点，则定点的坐标为 （ ）A ．()01，B ． ()02，C ．()11，D ．()12，3. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ． x y 21±=B ．x y 22±=C ．x y 2±=D . x y 2±=[来源:学.科.网]4. 若a a 3,4,为等差数列的连续三项，则9210a a a a +⋅⋅⋅+++的值为（ ）A ．2047B ．1062C ．1023D ．5315. 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是 （ ）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．m n m ⊥=β⋂α,且βα⊥，则α⊥nD ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥6. 随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图 ，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是 （ ）A ． 甲班同学身高的方差较大B ． 甲班同学身高的平均值较大C ． 甲班同学身高的中位数较大7. 已知命题(1)∃ α∈R ，使sin cos 1αα=成立；(2) ∃α∈R ，使()β+α=β+αt a n t a n t a n 成立；(3) ∀α∈R ，都有()βα-β+α=β+αtan tan 1tan tan tan 成立． 其中正确命题的个数是 （ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ．08. P 为椭圆162522yx+＝1上一点，M 、N 分别是圆(x ＋3) 2＋y 2＝4和(x －3) 2＋y 2＝1上的点，则|PM |+|PN |的取值范围是（ ）A . []137，B ．[]1510，C ． []1310，D . []157，第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=+Z x xA x ,42211的元素个数有 个.10. 已知向量a =()2,1，b =52，=b λa ，且λ>0.则λ= ；=b . 11. 函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期是 .12. 若i 是虚数单位，则832i 8i 3i 2i +⋅⋅⋅+++= .13. 某批发商按客户订单数额的大小分别给予不同的优惠折扣.计算客户应付货款的算法步骤如下：S1 输入订单数额x （单位：件）；输入单价A(单位：元)； S2 若250x <，则折扣率0d =；若250500x ≤<，则折扣率0.05d =； 若5001000x ≤<，则折扣率0.10d =； 若1000x ≥，则折扣率0.15d =；S3 计算应付货款()d Ax T -=1（单位：元）；D ． 甲班同学身高在175以上的人数较多S4 输出应付货款T.已知一客户买400件时付款38000元，则应付货款为88200元时订单数额是 .14.有下列命题：①函数y=f (-x+2)与y=f (x-2)的图象关于y轴对称；②若函数f（x）＝x e，则∈∀21,xx R，都有()()222121xfxfxxf+≤⎪⎭⎫⎝⎛+；③若函数f（x）＝log a| x |()1,0≠>aa在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2）> f（a＋1）；④若函数()1220102--=+xxxf(x∈R)，则函数f(x)的最小值为-2.其中真命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题共13分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙船.（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA成θ角，求()xxxf coscossinsin22θ+θ=(x∈R)的值域.16.（本小题共13分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，（Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111DCBAABCD-，其中BABA11为正方形.（i）求证：DCABBA111平面⊥；（ii）求证：P为棱11BA上一点，求1PCAP+的最小值.北2010AB••C17. （本小题共13分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5.甲先摸出一个球，记下编号为a ，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b . （Ⅰ）求“6=+b a ”的事件发生的概率；（Ⅱ）若点()b a ,落在圆2122=+y x 内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？试说明理由.[来源:学,科,网]18. （本小题共13分）已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=． （Ⅰ）当3=a 时，求函数()x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若)(x f 在区间)21,0(上是减函数，求实数a 的取值范围．19. （本小题共14分）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ,有()214+=n n a S ．(I) 求1a ，2a 的值；(II) 求数列{}n a 的通项公式；（III ）令11=b ，k k k a b )1(122-+=-，kk k a b 3212+=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求{}n b 的前20项和20T ．20.（本小题共14分）已知椭圆C 的焦点是()301-，F ,()302，F ,点P 在椭圆上且满足421=+PF PF .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B .[来源:学§科§网](i)求使P A B ∆ 的面积为12的点P 的个数；(ii)设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)O M O A O B R λμλμ=+∈，求22μλ+的值.北京市宣武区2009~2010学年度第二学期第二次质量检测高三数学（文）参考答案及评分标准 2010.5一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C BBC D ACA 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分题号 9 10 11 1213 14 答案22；()42，πi 44-980件②④三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700.[来源:学§科§网Z§X§X§K]∴BC=107. ……………………………………5分（Ⅱ）∵710120sin 20sin ︒=θ， ∴sin θ =73∵θ是锐角，∴74cos =θ()x x x f cos cos sin sin22θ+θ==()ϕ+=+x x x sin 75cos 74sin 73∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-75,75. ……………………………………13分16.（本题满分13分）解：（Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱 π+=⨯⨯π+⨯⨯=806401042110882V . …………………………5分(Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂ ∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥. …………………………10分（ii ）将上底面1111D C B A 展开，与平面BA B A 11共面时，连结A C 1交11B A 于点P ，即1AC 为最短距离.此时长度为97218822=+. …………………………13分17．（本题满分13分）解：（Ⅰ）设“6=+b a ”为事件A ,其包含的基本事件为：()()()()()1524334251，，，，，，，，，共5个又基本事件空间有2555=⨯个 ∴()51255==A P . …………………………6分(II)这个游戏规则不公平设甲胜为事件B ,则其所包含的基本事件为：()()()()，，，，，，，，41312111()()()()，，，，，，，，42322212()()()，，，，，，332313()()2414，，，共13种.∴()212513>=B P ，故而对乙不公平. …………………………13分18．（本题满分13分）解：（Ⅰ）当3=a 时，()x x x x f ln 132-++-=∴()()xx x x x x f 1321322+--=-+-='解()0>'x f ，即：01322<+-x x函数()x f 的单调递增区间是⎪⎭⎫⎝⎛1,21. …………………………6分 （Ⅱ）)(x f '=xa x 12-+- ∵)(x f 在)21,0(上为减函数，∴)21,0(∈x 时012<-+-xa x 恒成立．即xx a 12+<恒成立．设xx x g 12)(+=，则)(x g '=212x-．∵)21,0(∈x 时21x＞4，∴)(x g '0<，∴)(x g 在)21,0(上递减，∴g(x ) ＞g(21)=3，∴a ≤3． …………………13分19．（本题满分14分）解：(I) 当1=n 时，()21114+=a a ∴()0121=-a ，11=a当2=n 时，()()222114+=+a a a ， ∴ 32=a . …………………3分(II) ∵()214+=n n a S()21114+=--n n a S ，相减得：()()0211=--+--n n n n a a a a∵{}n a 是正数组成的数列∴21=--n n a a ，∴12-=n a n . …………………8分（Ⅲ）()[]()()[]()242312111203131++-++++-++=a a a a b T +⋅⋅⋅+()[]10191-+a=1+()9219333+⋅⋅⋅+++S =()27213313131911092+=--++. …………………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵421=+PF PF >21F F∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆 ∵3,42==c a∴1222=-=c a b ∴椭圆C 的标准方程为1422=+yx . …………………4分（Ⅱ）(i) ∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B∴()()2,0,0,1--B A ,5=AB若2121==∆d AB S PAB∴55=d∵原点O 到直线:220l x y ++=的距离是5555252>=∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点设直线02:=++'n y x l 与椭圆相切，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++140222yx n y x 有且只有一个交点 ∴044822=-++n nx x 有且只有一个解 由0=∆解得22=n （设负） 此时，l '与l 间距离为515222<-∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点∴符合条件的点P 有2个. …………………10分 (ii)设()y x M ,，则y x ,满足方程：1422=+yx∵ (,)O M O A O B R λμλμ=+∈∴()()()()μ-λ-=-μ+-λ=2,2,00,1,y x即：⎩⎨⎧μ-=λ-=2y x ，从而有⎪⎩⎪⎨⎧-=μ-=λ2y x∴142222=+=μ+λyx . …………………14分。
北京宣武区2010年高三第二学期第一次质量检测数学文
北京市宣武区2009—2010学年度高三第二学期第一次质量检测数学试题（文）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分2010. 4 150分，考试时间为120分钟.第I卷（选择题共40 分）一、选择题（本大题共是符合题目要求的）1 .设集合A {x | x8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个4}, m sin40，则下列关系中正确的是( )A. m AB. m AC. {m} AD. {m} A2•设平面向量a (1,2),b ( 2, y),若a//b,则|3a b|等于( )A . .5B.、..6 C. .17D..263.下列函数中，既是奇函数又是区间（0,）上的增函数的是( )A .1t x"B.1y x C. y x3D.y 2x4 .设i是虚数单位，则复数z (1 i）2i所对应的点落在( )A . 第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限5•若{a*}为等差数列，S n是其前n项和，且Sn —，则tan a6的值为（）3A. 3B. 、3C. .3D. 336 •设函数f （x）log3~~2 a在区间（1, 2）内有零点，则实数xa的取值范围是（A. ( 1, log 3 2)B. (0, log 3 2)C. (log 3 2,1)D. (1, log 3 4)7 .在ABC中，角A、B、C所对的边分别为csinC,S ^（b2c2a2）,则 B4a, b, c, S表示ABC 的面积，若acosB bcsoA=l : x ,3y 0截得的弦长等于2，则a 的值为第 n 卷 (非选择题共110分)、填空题(本大题共 6个小题，每小题 5分，共30 分)9 •把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是 频率之和是0.32，那么第8组的频率是 10 •命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是 ________________ . 11 .若将下面的展开图恢复成正方体，贝UABC 的度数为 ___________2：(11眄12 •执行如图程序框图，输出 S 的值等于 ____________ . 13.设x, y R,且满足x y 2 0,则 x 2y 2的最小值为 __________若x,y 又满足y 4 x,则-的取值范围是 ___________________ .x14 .有下列命题:①x=0是函数y x 3的极值点; 2cx d 有极值点的充要条件是 b 3ac 0;③奇函数f(x) mx 3 (m 1)x 2 48(m 2)x n 在区间(-4, 4) 上是单调减函数 其中假命题的序号是 ______________ .三、解答题(本大题共 6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15 .(本小题共13分)已知函数 f (x) 2asin x cos- sin 2° cos 2 x (a R).2 2 2 2(I) 当a=1时，求函数f (x)的最小正周期及图象的对称轴方程式;A . 90°B . 60° C. 45 ° D . 30&设圆C 的圆心在双曲线2x~2a1(a 0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线C. 2D . 315, 17, 11 , 13,第5组到第7组的②三次函数f(x) ax 3 bx 2(本小题共13分)如图，在四棱锥 P — ABCD 中，PA 丄平面ABCD,底面ABCD 为直角梯形，/ ABC= / BAD=90°, AD > BC, E , F 分别为棱 AB , PC 的中点. (I) 求证：PE 丄BC; (II) 求证：EF 〃平面PAD.(本小题共13分)某校高三年级有男生 105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取 问卷调查•设其中某项问题的选择分为“同意” ，“不同意”两种，且每人都做了一种选择提供了被调查人答卷情况的部分信息.同意不同意合计教师1(II )当a=2时，在f(x) 0的条件下，求cos2x 1 sin2x的值.17. 13人，进行 •下面表格中(I) 请完成此统计表；(II) 试估计高三年级学生“同意”的人数；(III) 从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意的概率•”18 .(本小题共13分)1已知函数f(x) x3 ax2 (a21)x b(a,b R).3(I)若x=1为f (x)的极值点，求a的值；(II) 若y f (x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程为x y 3 0，求f(x)在区间［-2, 4］上的最大值；(III) 当a 0时，若f(x)在区间(-1, 1)上不单调，求a的取值范围.19.(本小题共14分)已知椭圆的中心在原点0,焦点在x轴上，点A( 2-3,0)是其左顶点，点C在椭圆上且AC CO 0,| AC| |CO|.(I) 求椭圆的方程；(II) 若平行于CO的直线I和椭圆交于M ,N两个不同点，求CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程•20 .（本小题共14分）数列｛a n｝的前n项和为S n,若a i 3，点（S n，S n 1）在直线y 丄」X n 1（n N*）n 上.S（I）求证：数列｛泡｝是等差数列；na（II）若数列｛b n｝满足b n a n 2 n，求数列｛b n｝的前n项和T n；T 20（III）设C n ，求证：C1 C2C n .2 27参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且仅有一个符合题目要求的）1 —4 DACB 5 —8 BCCA二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分）9. 0.1210 •存在一个常数列不是等比数列11. 60°12. 2013. .2 (1,3)14 .①三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15 .（本题满分13分）解：(I) f (x) sinx cosx 2 sin(x )4最小正周期为2 ,(ll)当a k ,2+(k Z).41 2, f (x) 0时，解得tanx亍cos2x 1 sin 2x cos2x sin2x cosx sin x 1 tanx 12(cosx sinx) cosx sinx 1 tanx 313分16 .（本题满分13分）证明：（I）PA 平面ABCD, BC 平面ABCD••• PA!BCABC 90 ,BC AB• BC丄平面PAB又E是AB中点，PE 平面PAB••• BC 丄 PE.(II )证明：取 CD 中点G ,连结FG, EG, •/ F 为 PC 中点，• FG//PDFG 平面PAD , PD 平面PAD• FG// 平面 PAD 同理，EG//平面PADFG EC G ,•平面 EFG//平面 PAD. • EF//平面 PAD. 17 .（本题满分13分）同意不同意 合计 教师 1 1 2 女生 2 4 6 男生32523(II) — 126 — 10542 63 105 (人)....... 8 分6 5(III)设“同意”的两名学生编号为1, 2, “不同意”的四名学生分别编号为3, 4, 5, 6,选出两人则有( 1 , 2) , ( 1, 3) , (1, 4), ( 1, 5) , (1 , 6), ( 2 , 3) , (2 , 4), ( 2 , 5), (2 , 6), (3 , 4), ( 3 , 5),(3 , 6), (4 , 5), (4 , 6), (5 , 6)共 15 种方法；其中(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2 , 3), (2 , 4), (2 , 5), (2 , 6), 8 种满足题意，则恰有18 .(本题满分13分)解：(I ) f'(x) x 2 2ax a 2 1x 1是f (x)的极值点， f'(x)0,即 a 2 2a 0,解得a 0或2.(Il )(1, f (1))是切点，1 f(1) 30 f(1) 2.1 2 2 8即 2 a a 1 b, a a b 0 3 3切线x y 30的斜率为-1一人“同意”一人“不同意”的概率为—.1513分(Hl )因为函数f (x)在区间(-1，1)不单调, 所以函数f'(x)在(-1，1)上存在零点 而f'(x)0的两根为a-1，a+1，区间长为2,•••在区间(-1, 1)上不可能有2个零点. 所以 f'( 1)f'(1) 0 即：a 2(a 2)(a2) 0a 2 0, (a 2)(a 2)0, 2 a 2 又 a 0, a ( 2,0) (0,2).19 .(本题满分14分)左顶点 A( 2 、3,0), AC CO, | AC | | CO |. a 212,点 C( ..3^.3),又••• C 在椭圆上,2 2••椭圆的标准方程为 — y 1.12 4(II )设 M (捲，yj, N(X 2,y 2),f'(1)1,即 a 22a 1 0,a 1.代入解得f(x)b 83 1 3 x 3x 2 f'(x)2x,f (x)的两个极值点.8f(0)3，f(2) -,f( 2)4,f(4) 8y f (x)在［-2 , 4］上的最大值为8.10分3 3 12 b 21, b 24,13分解：(I )设椭圆的标准方程为2 x2ab 21(a b 0),••• CO 的斜率为-1,•••设直线I 的方程为y x m,2 2代入0 孔 1刘1244X 2 6mx 3m 2 12 0,36m 224 4(3m 12) 0X 1 X 23m23m 2 124又C 到直线l 的距离dCMN 的面积 S 1 |MN | d -3 ,m 2 (16 m 2)24当且仅当m 2 16 m 2时取等号，此时 m 2、2满足题中条件,•••直线l 的方程为X y 2-..20.•…(本题满分14分)n 1解: (I ) 点(S n ,S n1)在直线yX n 1(n N *)上，nn 1 ’S n 1 S n n 1,nS S同除以n 1,则有:」 1n 1 n数列｛巫｝是以3为首项，1为以差的等差数列n2 *(II )由(I )可知，S nn 2n(n N ),当 n=1 时，a 1=3,| MN |2 v (x 1 x 2)2 4XM 22 3,14分3m 2 416 m 2) 2当 n 2时,a n S n S n 1 2n 1,经检验，当n=1时也成立,a n 2n 1(n N *).b n a n 2an ,b n (2n 1) 22n1,T n b 1 b 2b n 1b nT n3 2 3 5 25(2n 1) 22n1(2n 1) 22n 13n 2 4n1 7 1 20 927 9 27 27(2n 1) 22n 3解得：T n(2n 1 ?2n 3 83 99C nT n3n 1 1 1x n(III )~2n 33 —-(：)29 9 4C C 2C n2 n(n 1) 1 . 1 1[1 G )n ] 4132 99 13n 2 4n 1927 1 27（1）14分4T n 3 25(2n 3) 22n 1(2n 1) 22n 14n。
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北京市宣武区20XX-201X 学年度第一学期期末质量检测高 三 数 学（文科） 201X.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.全卷满分150分. 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.设集合{}4,3,2,1=A ，{}5,4,3=B ，全集B A U ⋃=，则集合()B A C U ⋂中的元素个数为（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个2. “2=a ”是“直线03:21=+-y x a l 与直线14:2-=x y l 互相垂直”的 （ ）3. 在区间[1,9]上随机取一实数，则该实数在区间[4,7]上的概率为（ ）A ．94 B ．31 C ．21 D ．83 4. 若函数()y f x =是函数xy 2=的反函数，则)]2([f f 的值为 （ ）A ． 16B ． 0C ． 1D ．25. 下列结论正确的是( )6. 设m 为直线，γβα,,为三个不同的平面，下列命题正确的是 （ ） ① 若,,//β⊥ααm 则β⊥m ②若,,β⊥αα⊥m 则β//m ③若,//,βαα⊂m 则β//m ④若,,γ⊥αβ⊥α则γβ//7. 设斜率为k 的直线l 过抛物线x y 82=的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则实数k 的值为 ( ).A ． 2±B ．4±C ．2D ． 4A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ．,R x ∈∃ 使0122<+-x x 成立B ．0>∀x ，都有2lg 1lg ≥+xx 成立 C ．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=2sin x y 是偶函数D ． 02x <≤时，函数xy 1-=无最大值8. 设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是 （ ）A ． []63， B ．[]343+，C ．[]634，- D ． []3434+-，第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。
北京宣武2020年高三第一次质量检测doc高中数学
x北京宣武2020年高三第一次质量检测doc 高中数学北京市宣武区2018— 2018学年度高三第二学期第一次质量检测数学试题〔文〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，全卷总分值 刻为120分钟.第一卷〔选择题共40分〕、选择题〔本大题共 8个小题，每题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一个是符合题目要求的〕设集合A {x|x 4}, m si n 40，那么以下关系中正确的选项是C . {m} AD . {m} AC .171A . t x 2C . ■■ 3x 26.设函数f (x) log 3 a 在区间〔1, 2〕内有零点，那么实数a 的取值范畴是〔〕2. 设平面向量a(1,2),b ( 2,y),若a//b,则 |3a b |等于2018. 4150分，考试时1. 3. 以下函数中，既是奇数又是区间(0,)上的增函数的是4. 设i 是虚数单位，那么复数 z(1 i) 2i 所对应的点落在5. A •第一象限B .第二象限假设{a n }为等差数列，S n 是其前C .第三象限22n 项和，且S 113D •第四象限 那么tan a 6的值为A .3A • ( 1, log 3 2)B . (0,log 3 2)C . (log 3 2,1) 7•在 ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分不为a ,b ,c , S 表示 ABC 的面积，假设acosB bcsoA =1csinC,S (b 2 c 2 a 2),则 B〔 〕4A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°x 2 y 2、&设圆C 的圆心在双曲线 —1(a0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，假设a 2圆C 被直线l : x 3y 0截得的弦长等于2，那么a 的值为〔 〕A . . 2B . 、3C . 2D . 3第二卷〔非选择题 共110分〕二、填空题〔本大题共 6个小题，每题5分，共30分〕9.把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分不是15 , 17, 11, 13,第5 组到第7组的频率之和是 0.32，那么第8组的频率是 _______________________ . 10 .命题”任意常数列差不多上等比数列〃的否定形式是 _________ 11 •假设将下面的展开图复原成正方体，那么ABC 的度数为(11題图)12 .执行如图程序框图，输出 S 的值等于 _______________ . 13 .设x, y R,且满足x y 2 0 ,那么.x 2y 2的最小值为假设x, y 又满足y 4 x,则-的取值范畴是 ___________________ .x14 .有以下命题：D • (1, log 3 4)!7/ 16出£/(11 MB)s=o.,沁A=A+L①x=0是函数y x3的极值点;〔II 〕求证：EF 〃平面PAD.② 三次函数f(x) ax 3 bx 2 ex d 有极值点的充要条件是 b 2 3ac 0; ③ 奇函数f(x) mx 3 (m 1)x 2 48(m 2)x n 在区间〔-4, 4〕上是单调减函数 其中假命题的序号是 ______________ .三、解答题〔本大题共 6个小题，共80分；解承诺写出文字讲明，证明过程或演算步骤〕 15. 〔本小题共13分〕函数 f(x) 2as in x eos- sin 2? eos 2 - (a R).2 2 2 2〔I 丨当a=1时，求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程式；eos2x〔II 〕当a=2时，在f(x) 0的条件下，求的值.1 sin2x16. 〔本小题共13分〕如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA 丄平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形，/ ABC= / BAD=90 ° , AD > BC , E , F 分不为棱 AB , PC 的中点. 〔I 〕求证：PE 丄BC ; D17. 〔本小题共13分〕某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行咨询卷调查•设其中某项咨询题的选择支为”同意〃，”不同意〃两种，〔〔I I〕试估量高三年级学生”同意〃的人数；UII丨从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人"同意一人"不同决的概率18. 〔本小题共13分〕函数f(x) -x3ax2(a21)x b(a,b R).3〔I丨假设x=1为f (x)的极值点，求a的值；〔II〕假设y f (x)的图象在点〔1, f(1)〕处的切线方程为x y 3 0,求f (x)在区间［-2, 4］上的最大值；〔山丨当a 0时，假设f(x)在区间〔-1, 1〕上不单调，求a的取值范畴19.〔本小题共14分〕椭圆的中点在原点O,焦点在x轴上，点A( 2.3,0)是其左顶点，点C在椭圆上且AC CO 0,| AC ||CO|.〔I丨求椭圆的方程；〔II丨假设平行于CO的直线I和椭圆交于M , N两个不同点，求CMN面积的最大值, 并求现在直线I的方程•20.〔本小题共14分〕数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1 3，点(S n,S n 1)在直线y -—x n 1(n N*) n 上.〔I丨求证：数列是等差数列；n〔II丨假设数列｛b n｝满足b n a n 2跖，求数列｛0｝的前n项和T n;参考答案一、 选择题〔本大题共 8个小题，每题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有 且仅有一个符合题目要求的〕 1 — 4 DACB 5— 8 BCCA二、 填空题〔本大题共有 6个小题，每题5分，共30分〕 9. 0.1210 •存在一个常数列不是等比数列 11. 60° 12. 20〔山丨设C nT n 、、?2n 3，求证：C 1 C 2C n20 2713.2(1,3)14. ①三、解答题〔本大题共 6个小题，共80分；解承诺写出文字讲明，证明过程或演算步骤〕 15. 〔此题总分值13分〕解：〔I 〕f (x) sinx cosx . 2 sin(x ) 4最小正周期为2,••• PA丄 BC ABC 90 ,BC AB• BC 丄平面PAB 又E 是AB 中点，PE 平面PAB• BC 丄 PE.〔II 丨证明：取CD 中点G ,连结FG , EG , •/ F 为 PC 中点，• FG//PDFG 平面PAD , PD 平面PAD• FG//平面 PAD ; 同理，EG//平面PADFG EC G ,•平面EFG//平面PAD. • EF//平面 PAD. .............13 分同意不同意 合计 教师112由xk , 42 3得 x k(k Z)........... 7 分4 1〔II 〕当 a 2, f (x) 0 时，解得 tanx , 2 cos2x cos 2 x sin 2 x cosx sinx 2- 1 sin2x (cosx sinx) cosx sinx 16.〔此题总分值13分〕 1 tanx 13分证明：〔I 〕 1 tanxPA 平面 ABCD, BC 平面 ABCD2 3〔II〕126 105 42 63 105〔人〕...... 8分6 5UII丨设”同意'’的两名学生编号为1,2,”不同意"的四名学生分不编号为3,4,5, 6,选出两人那么有〔1, 2〕，〔1 , 3〕,〔1, 4〕，〔1 , 5〕,〔1 , 6〕，〔2 , 3〕,〔2 , 4〕，〔2 , 5〕，〔2 , 6〕，〔3 , 4〕，〔3 , 5〕，〔3 , 6〕，〔4 , 5〕，〔 4 , 6〕，〔 5 , 6〕共15 种方法；其中〔1 , 3〕，〔1, 4〕，〔 1 , 5〕，〔 1 , 6〕，〔 2 , 3〕，〔 2 , 4〕，〔 2 , 5〕，〔 2 , 6〕, 8 种满足题意，那么恰有一人”同意〃一人”不同意'‘的概率为13分1518.〔此题总分值13分〕解：〔I〕f'(x) x2 2ax a2 1x 1是f (x)的极值点，2f'(x) 0,即a 2a 0,解得a 0或2.〔II〕(1, f (1))是切点，1 f (1) 3 0f(1) 2.1 8即2 a a2 1 b, a2 a b 03 3切线x y 3 0的斜率为-1f'(1) 1,即a2 2a 1 0,a 1.代入解得b 8.31 3 2f (x) - x x32f'(x) x 2x,x 0和x 2是y f (x)的两个极值点.8 4f(0) , f(2) ,f( 2) 4, f(4) 83 3〔山丨因为函数f (x)在区间〔-1, 1〕不单调, 因此函数f'(x)在〔-1, 1〕上存在零点 而f'(x)0的两根为a-1, a+1，区间长为2,•••在区间〔-1, 1〕上不可能有2个零点. 因此 f'( 1)f'(1) 0 即：a 2(a 2)(a2) 0a 20, 又 a 0,〔此题总分值14分〕解：〔I 〕设椭圆的标准方程为左顶点 A( 2、3,0),AC a 212,点C( ,3, .3),2 2笃笃 1(a b 0), a bCO,| AC | |CO |.〔II 〕设 M(X 1,yJ,N(X 2,y 2), ••• CO 的斜率为-1 , •设直线I 的方程为y x m,2 2代入—1刘124y f(x)在［-2 , 4］上的最大值为8.10分3 3221, b12 b 24,椭圆的标准方程为2x12又••• C 在椭圆上,2y- 1. 4(a 2)(a2) 0, 2 a 2a ( 2,0) (0,2).13分19.1 | MN | d -3 v m2 (16 m 2) 2 416 m 2)22/~当且仅当m 16 m 时取等号，现在 m 2 2满足题中条件, •••直线l 的方程为x y 2 2 0. •…20.〔此题总分值14分〕n 1*解：〔I 〕点(S n ,S n 1)在直线y x n 1(n N)上，nn 1 ’Sn 1& n 1,n 同除以n 1,则有：乩Sn 1n 1 n数列｛-Sn ｝是以3为首项，1为以差的等差数列n〔II 〕由〔I 〕可知，S n n 2 2n(n N ), 当 n=1 时，a 1=3,当 n 2时，a n S n S n 1 2n 1, 经检验，当n=1时也成立,4x 2 6mx 3m2120,36 m 2 4 4(3m 2 12) 03mX 1 X 22c 23m 12X 1 X 242、(％| MN | 2x 2)4x 1x 2 2 12 3m 2 4又C 到直线|的距离 | ..33 m| |m|d2 2,CMN 的面积S 14分a n 2n 1(n N ).b n a n 2a n,b n (2n 1) 22n1,T n b i b 2 b n 1 b n352n 12n 1T n 3 25 2 (2n 1) 2(2n 1) 24T n(2n 3) 2 2n 1(2n 1) 2 2n 1(2n 1) 2 2n 3解得:T n〔Hl〕T n3n2n 31 (4)C 2n(n 1)3n 4nG )3n 2 4n 171927 9 279 27 2720 2714分。
北京市宣武区2019-2020学年高考数学第一次调研试卷含解析
北京市宣武区2019-2020学年高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B C D ．【答案】B【解析】【分析】由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合222c a b =+，构造齐次关系即得解【详解】 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直． ∴双曲线的渐近线方程为12y x =±． 12b a ∴=，得2222214,4b ac a a =-=．则离心率2c e a ==． 故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 2．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．1【答案】D【解析】【分析】 推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可.【详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=， ()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.3．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ）A ．1 5B ．415C ．1 3D ．25 【答案】B【解析】【分析】先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，满足3a b -<”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13，在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，所有的基本事件有：()2,3、()2,5、()2,7、12()()f x f x -、()2,13、()3,5、()3,7、()3,11、()3,13、()5,7、()5,11、()5,13、()7,11、()7,13、()11,13，共15种情况，其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，且3a b -<”包含的基本事件有：()2,3、()3,5、()5,7、()11,13，共4种情况， 因此，所求事件的概率为415P =. 故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.4．已知向量a r ，b r ，b r =(1)，且a r 在b r 方向上的投影为12，则a b ⋅r r 等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．0 【答案】B【解析】【分析】 先求出b r ，再利用投影公式a b b⋅r r r 求解即可. 【详解】解：由已知得2b ==r ，由a r 在b r 方向上的投影为12，得12a b b ⋅=r r r ， 则112a b b ⋅==r r r . 故答案为：B.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题.5．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+B．6+ C ．8D ．6 【答案】C【解析】【分析】 由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1c e a=，2c e a ='，设2PF m = 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122m PF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+=当且仅当73a c=时，取等号.故选：C．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 6．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为()A．1 B．13C．23D．43【答案】B【解析】【分析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可. 【详解】联立方程：22y xy x⎧=⎨=⎩可得：11xy=⎧⎨=⎩，2211xy=⎧⎨=⎩，结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：)312312211|333S x dx x x⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.7．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y，其中x，y都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x，y能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y的个数m﹔最后根据统计数m来估计π的值.若435m=，则π的估计值为（）A．3.12B．3.13C．3.14D．3.15【答案】B【解析】【分析】先利用几何概型的概率计算公式算出x，y能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到x，y能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出π.【详解】因为x，y都是区间()0,1上的均匀随机数，所以有01x<<，01y<<，若x，y能与1构成锐角三角形三边长，则2211x y x y +>⎧⎨+>⎩，由几何概型的概率计算公式知11435411142000m P n ππ⨯-==-==⨯， 所以4354(1)2000π=⨯-=3.13. 故选：B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =-B ．21n n S a =+C ．21n n S a =-D ．43n n S a =- 【答案】C【解析】【分析】 在等比数列中，由11n n a a S q q -⋅=-即可表示之间的关系. 【详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n n n n a a q a a q S -⋅-===--- 故选：C【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.9．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3πD ．23π 【答案】D【解析】【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()sin)(f x a x x xθθ==+为辅助角)，由于函数的对称轴的方程为56xπ=，且53()622afπ=+，即322a+=1a=，所以()2sin()3f x xπ=-，又由12()()4f x f x⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Zππ=+∈，2222,6x k k Zππ=-∈，所以1212222,3x x k k k Zπππ+=++∈，当12k k==时，12x x+的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 10．点P为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D-的内切球O球面上的动点，点M为11B C的中点，若满足DP BM⊥，则动点P的轨迹的长度为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】设1B B的中点为H，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出BM⊥平面DCH，这样可以确定动点P的轨迹，最后求出动点P的轨迹的长度.【详解】设1B B的中点为H，连接,CH DH，因此有CH BM⊥，而DC MB⊥，而,DC CH⊂平面CDH，DC CH C=I，因此有BM⊥平面DCH，所以动点P的轨迹平面DCH与正方体1111ABCD A B C D-的内切球O的交线. 正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，所以内切球O的半径为1R=，建立如下图所示的以D为坐标原点的空间直角坐标系：因此有(1,1,1),(0,2,0),(2,2,1)O C H，设平面DCH的法向量为(,,)m x y z=u r，所以有20(1,0,2)220ym DC m DCmx y zm DH m DH⎧⎧=⎧⊥⋅=⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨++=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u vv vvu u u u v u u u u vv v，因此O到平面DCH的距离为：5m ODd m⋅==u r u u u r u r ，所以截面圆的半径为：22255r R d =-=，因此动点P 的轨迹的长度为452r ππ=. 故选：C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力. 11．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r ，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．12【答案】A【解析】【分析】 根据向量坐标运算求得2a b +r r ，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=r r()//2c a b +r r r Q 24λ∴=-，解得：2λ=- 故选：A【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.12．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．31e【答案】C【解析】【分析】 根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭, 即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立.设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0.又()()1'23h x m x=-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值.若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增. 故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+,故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭递增. 故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21e. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
度4月北京市宣武区高三第一次模拟(文)
2006-2007学年度北京市宣武区第二学期第一次质量检测高 三 数 学（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的。
）1．已知全集},5,3{},6,5,2{},6,5,4,3,2{===B A U 集合集合则（U B ）∩A =（ ）A ．{5}B ．{2，6}C ．{2，3，4，6}D ．{3} 2．已知m ，n ∈R ，则“m ≠0”是“mn ≠0”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数)1(12≥-=x x y 的反函数是（ ）A ．)1(12≥+=x x yB ．)0(12≥+=x x yC ．)1(12≥+-=x x yD ．)0(12≥+-=x x y4．数列}{n a 为等差数列，=+=+=+526341,9,21a a a a a a 则 （ ）A ．12B ．25C ．16D ．155．点M 、N 在圆且点上,04222=-+++y kx y x M 、N 关于直线01=+-y x 对称，则该圆半径为 （ ）A ．22B ．2C ．3D ．16．将函数)62cos(3π+-=x y 的图象按向量a =)1,6(--π平移后得到的函数的图象的解析式是（ ）A ．1)322sin(3-+=πx y B ．1)322sin(3++=πx yC ．12sin 3+=x yD ． 1)22sin(3-+=πx y7．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，E 为CD 上一点，且1:2:=ED CE ，则截面△ABE的面积是（ ）A ．242a B ．222a C ．21217a D ．21219a 8．对于任意两个实数b a ,定义运算“*”如下：⎩⎨⎧>≤=*.,b a bb a a b a 若若则函数)]152()6[()(2+*-*=x x x x f 的最大值为 （ ）A ．25B ．16C ．9D ．4第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上） 9．函数1323=-=x x x y 在处的切线的斜率是 .10．若一个正方体的所有顶点都在一个球的球面上，则该正方体与该球体的体积之比为.11．现有A 、B 、C 、D 、E 、F 、共6位同学站成一排照像，要求同学A 、B 相邻，C 、D 不相邻，这样的排队照像方式有 .12．已知x 、y 满足约束条件y x z k y x x y x 42,03,05+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且的最小值为－6，则常数k = . 13．设二项式nxx )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P +S =272，则n = ,其展开式中的常数项为 .14．抛物线04242=-+=y x x y 与直线交于两点A 、B ，设抛物线的焦点为F ，则|FA |+|FB |= .三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分）已知22tan=α，求：（1）)4tan(πα+的值；（2）ααααcos 2sin 3cos sin 6-+的值.16．（本题满分14分）已知∈a R ，函数∈-=x x ax x f ()2()(2R ）有极大值32.（1）求实数a 的值； （2）求函数)(x f 的单调区间. 17．（本题满分14分）如图：四棱锥P —ABCD 底面为一直角梯形，,2,,AB CD AD CD AD AB =⊥⊥ABCD PA 平面⊥，E 是PC 中点.（1）求证：平面;PAD PDC 平面⊥ （2）求证：;//PAD BE 平面（3）假定C BD E CD AD PA --==求二面角.的平面角的正切值.18．（本题满分13分）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13秒内（称为合格）的概率分别是31,43,52.如果对这3名短跑运动员的 100米跑的成绩进行一次检测. 问：（1）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ （2）出现几个合格的概率最大？ 19．（本题满分13分）点A ，B 分别是以双曲线1201622=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆C 上，且位于x 轴上方，0=⋅PF PA . （1）求椭圆C 的方程； （2）求点P 的坐标；（3）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.20．（本小题满分14分）设定义在R 上的函数)(x f 满足：①对任意的实数∈y x ,R ，有)()()(y f x f y x f ⋅=+；②).()1(1)(),0(}{.1)(,011*+∈--==>>N n a f a f f a a x f x n n n 且满足数列时当（1）求)0(f ；（2）若)(x f 在R 上为单调递增函数，求数列}{n a 的通项n a 的表达式.。
北京市宣武区2002—2003学年度第二学期第一次质量检测
北京市宣武区2002—2003学年度第二学期第一次质量检测文科综合试卷2003．4本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分300分。
考试时间150分钟。
为西半球图，根据图中信息，回答1～4题。
图1月1日9时，美国哥伦比亚号航天飞机在返回地面前坠毁，当时与美国42月1日．哥伦比亚号航天飞机的碎片散落于休斯敦市所在的得克萨斯州A．a B．b C．c D．d3．哥伦比亚号航天飞机是在6万多米高空爆炸解体的，这一高度大气层的性状为：A．空气对流运动B．空气水平运动C．天气复杂多变D．空气成分为臭氧4．用30×50厘米两张同样的图纸，绘制图1中甲、乙两个经纬度范围相同的区域图，下列说法正确的是：A．甲图比例尺大于乙图B．甲图内容比乙图详细C．甲、乙两图表示方向的方法相同D．甲、乙两图面积相同读等高线地形图（图2），回答5～7题。
图25．图中最高山峰的山麓处自然带类型应为：A．热带季雨林B．针叶林C．常绿阔叶林D．高山草甸6．图中500米以下的平原区农业发达，土质肥沃，其土壤类型为：A．红壤B．紫色土C．黑土D．黄土7．图示区域内，最具发展潜力的能源是：A．太阳能B．水能C．煤炭D．核能读某国三大产业比重图，A点和B点分别代表该图1975年和1995年的三大产业构成。
回答8～9题。
8．从该国三大产业构成和变化分析，该国可能是：A．伊拉克B．俄罗斯C．泰国D．新加坡9．使该国第三产业比重增加的产业可能是：A．金融业B．旅游业C．加工业D．农业我国是多民族国家。
根据我国少数民族分布，生产、生活情况。
回答10～11题。
图310．下列我国少数民族中，以种植水稻为主的是：A．哈萨克族B．鄂伦春族C．蒙古族D．朝鲜族11．与该少数民族分布接壤的邻国是：A．俄罗斯B．朝鲜C．哈萨克斯坦D．蒙古秦始皇和汉武帝是中国古代很有作为的皇帝。
但是史学界对二者在中国历史上的贡献和评价不一。
回答12～13题。
2018年高三最新 北京市宣武区2018学年度第二学期第一
北京市宣武区2018－2018学年度第一学期期末质量检测高三数学（文史类）第I卷（选择题共40分）参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式：其中c'、c分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长球体的体积公式：其中R表示球的半径一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，则等于（）A. B.C. D.（2）当时，函数和的图像只可能是（）（3）给定函数的性质：①函数的最小正周期为；②函数图像关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的函数是（）A. B.C. D.（4）已知直线和平面α、β，且，给出下列三个论断：①⊥α，②∥β，③α⊥β。
从中任取两个作为条件，另一个作为结论，那么（）A. 一共可以写出6个命题，其中有2个命题正确B. 一共可以写出3个命题，其中有2个命题正确C. 一共可以写出6个命题，这6个命题都正确D. 一共可以写出3个命题，这3个命题都正确（5）若且，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件（6）已知一个椭圆的右顶点到右准线的距离等于半焦距，则这个椭圆的离心率是（）A. B. C. D.（7）设，则集合中元素的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 无穷多个（8）某重点中学要把9台型号相同的电脑送给农村的三所希望小学，每个小学至少2台电脑，则不同的送法种数有（）A. 10种B. 9种C. 8种D. 6种第II卷（非选择题共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
（9）函数的反函数____________，不等式的解集是____________。
（10）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线和直线垂直，则这条渐近线的方程是____________；又若双曲线过点，则此双曲线的方程是____________。
北京市宣武区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题含解析
北京市宣武区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-【答案】B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法. 2．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1 B ．11C ．-19D ．51【答案】B 【解析】 【分析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况. 【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况： （1）5个括号都出1，即1T =；（2）两个括号出x ，两个括号出1()x-，一个括号出1，即2222531()130T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=；（3）一个括号出x ，一个括号出1()x-，三个括号出1，即11541()120T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=-；所以展开项中的常数项为1302011T =+-=，故选B. 【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.3．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．43C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为23，所以该几何体的体积113223132V =⨯⨯⨯=，故选C ．4．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u v u u u v，则该双曲线的离心率为（ ） A ．324B ．233C ．305D ．52【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±bax 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =u u u r u u u r ，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【详解】双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍， ∴k l 222aba b=-， ∴直线l 的方程为y 222aba b =-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abca b =+，∵2AF FB =u u u r u u u r ，∴222abc a b =+2•2223abca b -，∴a 3=b ， ∴c ＝2b ， ∴e 23c a ==． 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．5．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B【答案】C 【解析】 【分析】充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据//EF AC 判断A 的正误.根据1111//,//GH A C A C AC ，判断B 的正误.根据11//,EH C D C D 与 1D C 相交，判断C 的正误.根据11//A B D C ，判断D 的正误.【详解】在正方体中，因为//EF AC ，所以//EF 平面1ACD ，故A 正确.因为1111//,//GH A C A C AC ，所以//GH AC ，所以//GH 平面1ACD 故B 正确. 因为11//A B D C ，所以1//A B 平面1ACD ，故D 正确.因为11//,EH C D C D 与 1D C 相交，所以 EH 与平面1ACD 相交，故C 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.6．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．3【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 【详解】Q 21log 03<，∴22211(log )log log 3033f =-=>；∴221[(log )](log 3)3123f f f ==-=；故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．7．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若PA =AB =O 的表面积为（ ） A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π【答案】D 【解析】由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得222PG PA AG =-=，再结合球的性质，求得球的半径32R =，利用表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，六棱锥P ABCDEF -底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，可得此六棱锥为正六棱锥， 又由2AB =，所以2AG =，在直角PAG ∆中，因为6PA =，所以222PG PA AG =-=，设外接球的半径为R ，在AOG ∆中，可得222AO AG OG =+，即222(2)(2)R R =-+，解得32R =， 所以外接球的表面积为249S R ππ==. 故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥【解析】试题分析：m α⊥Q ，,n βαβ∴⊥P ,故选D.考点：点线面的位置关系.9．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A 31B 21C ．512D ．212【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则()()()()222222114114y x y y PA m PFy x y y++++===-+-+24121yy y =+++当0y =时，1m =，当0y >时，244411121211222y m y y y y y y=+=+≤+=+++++⋅ 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，22,2PA PF ==，Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得2222a PA PF =+=，所以椭圆的离心率2212222c c e a a ====+，故选B.本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM 的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求. 【详解】 如图所示：设内切球球心为O ，O 到平面ACM 的距离为d ，截面圆的半径为r ， 因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1， 又因为O AMC M AOC V V --=，所以1233AMC AOC d S S ⨯⨯=V V ， 又因为()()221122526,221222AMCAOC S S =⨯-==⨯=V V所以12633d ⨯=，所以6d =， 所以截面圆的半径22313r d =-=，所以截面圆的面积为233S ππ=⋅=⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.11．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．13± B．3±C ．±1 D．±【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2px my =-，由题意得出212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合212y y =可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】由题意可知点,02p C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =-，由于点A 是BC 的中点，则212y y =， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y mpy p -+=，由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，2222121829m p y y y p ===，解得4m =±， 因此，直线l的斜率为13m =±. 故选：B. 【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.12．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，【答案】B 【解析】 【分析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，画出可行域如下图所示：将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =； 当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=， 所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6， 故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三一模考试(数学文)
北京市宣武区xx~xx学年度第二学期第一次质量检测2021年高三一模考试（数学文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的4个选项中，有且仅有一个是符合题目要求的）1. 的值为（）B. C. D.-2. 设等比数列的首相为，公比为q ，则“< 0 且0< q <1”是“对于任意都有”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充分比要条件 D 既不充分又不必要条件3.函数的反函数是（）A. B.C. D.4. 已知，向量a=(m,1), 若,则m= （）A. B. C. D.5、在展开式中，含的项的系数是（）A、20B、-20C、-120D、1206、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的做法是A、10种B、20种C、30种D、60种（）7、已知抛物线上有两点A、B，且AB垂直于y轴，若，则抛物线的焦点到直线AB的距离是（）A、B、C、D、8、定义：如果对于函数定义与内的任意x, 都有（M为常数），那么称M为的下界，下界M中的最大值叫做的下确界。
现给出下列函数，其中所有有下确界的函数是（）①=cosx ②③④A. ①B. ④C.②③④D. ①③④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分；把答案填在相应的位置上）9、设集合{}{}{}()====C B A C B A 则集合,8,7,3,9,8,6,3,1,7,5,4,2,1,010、在等差数列{}===+=n a a a a a n n 则中，已知,3,4,3152111、设的最大值是则满足条件变量z y y x xy y x y x z ,11,,2⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤+=12、已知球的表面积为，则它的体积是13、设函数()()()()1,00721<⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a f x x x x f x若，则实数a 的取值范围是14、已知双曲线()212222,0,01F F b a by a x 的左、右焦点分别为>>=-，点P 在双曲线的右支上， ，则此双曲线的离心率e的最大值是三、解答题（本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15、（本题满分13分） 已知 求： 16、（本题满分12分）某车间准备从10名工人中选送4人到某生产线工作，工厂规定：这条生产线上 熟练工人不得少于3人。
北京市宣武区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高三数学文
北京市宣武区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高三数学文高 三 数 学（文科） .1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.全卷满分150分. 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.设集合{}4,3,2,1=A ，{}5,4,3=B ，全集B A U ⋃=，则集合()B A C U ⋂中的元素个数为（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个2. “2=a ”是“直线03:21=+-y x a l 与直线14:2-=x y l 互相垂直”的 （ ）3. 在区间[1,9]上随机取一实数，则该实数在区间[4,7]上的概率为（ ） A ．94 B ． 31 C ．21 D ．834. 若函数()y f x =是函数xy 2=的反函数，则)]2([f f 的值为 （ ）A ． 16B ． 0C ． 1D ．25. 下列结论正确的是( )6. 设m 为直线，γβα,,为三个不同的平面，下列命题正确的是 （ ） ① 若,,//β⊥ααm 则β⊥m ②若,,β⊥αα⊥m 则β//m ③若,//,βαα⊂m 则β//m ④若,,γ⊥αβ⊥α则γβ//A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A ．,R x ∈∃ 使0122<+-x x 成立B ．0>∀x ，都有2lg 1lg ≥+xx 成立 C ．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=2sin x y 是偶函数D ． 02x <≤时，函数xy 1-=无最大值7. 设斜率为k 的直线l 过抛物线x y 82=的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则实数k 的值为 ( ). A ． 2± B ．4± C ．2 D ． 48. 设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是（ ）A ． []63， B ．[]343+，C ．[]634，- D ． []3434+-，第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。
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宣武区学第二学期第一次质量检测高三文科数学试
题答案
Modified by JEEP on December 26th, 2020.
宣武区2001—2002学年度第二学期第一次质量检测
高三文科数学试题答案
一、选择题：每小题5分，共60分
二、填空题：每小题4分，共16分
(13)48 (14)–1 (15)–32i (16)(21
,∞-)
三、解答题：共74分
(17)解：∵A +B +C =180°，且2B =A +C .
∴B =60°, A +C =120°. ∵,22
)cos(22
sin sin =-+-C A C A ∴22
)2sin 21(22
2sin 2cos 22=--+-⋅+C A C
A C
A
0)2sin 21(2sin =---C A C A 有 22
2sin 02sin =-=-C A C A 或
∵A +C =120°，︒<-<︒-60260C
A ，∴.45202︒=-︒=-C
A C
A 或
∴A =C =60°或A =105°，C =15°. ∴A =B =C =60°或A =105°，B =60°，C =15° 当A =B =C =60°时;43
3)23(421
60sin 421
sin 21
332=⨯⨯=︒⋅⋅==R B ac S
当A =105°，B =60°，C =15°时，︒︒︒⋅==60sin 15sin 105sin 421
sin 212R B ac S =︒︒-︒-⨯⨯60sin )]90cos 120(cos 21
[421
=.43
23
)21()21(421=⨯-⨯-⨯⨯
(18)解：显然，a >0,且a ≠1.
令g (x )=2–ax ，则当x ∈[1,2]时f (x )有意义，等价于g (x )>0在[1，2]上恒成立，于是
g (1)>0 2–a >0
⇒ ⇒a <1∴0<a <1.
g (2)>0 2–2a >0
由于0<a <1，不等式log a (2–ax )<0在[1，2]上恒成立，等价于g (x )>1，在[1，2]上恒成立，进而等价于不等式ϕ (x )=1–ax >0在区间[1，2]上的恒成立.
ϕ(1)=1–a >0 ϕ(2)=1–2a >0⇒0<a <
2
1 0<a <1
(19)(Ⅰ)证明：连结BD 交AC 于O ，连OE ，
∵O ，E 分别为BD 和PD 的中点，
∴OE ∥PB .
∵OE ⊂平面EAC ，
∴PB ∥平面EAC .
(Ⅱ)证明∵△PAD 为正三角形，且E 为PD 中点，
∴AE ⊥PD .
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且CD ⊂平面ABCD ，CD ⊥AD ，
∴CD ⊥平面PAD .
∴CD ⊥AE .
∴AE ⊥平面PCD .
(Ⅲ)证明：作AF ⊥PC 于F ，连EF ，
∵AE ⊥平面PCD ，∴EF ⊥PC . ∴∠AFE 为二面角A –PC –D 的平面角. 设AD =AB =a ,则EF =
22a ，AE =,23a ∴tg ∠EFA =6=EF
AE ，即二面角A –PC –D 的正切值为6. (Ⅳ)解：作PH ⊥AD 于H ，则H 为AD 中点，连BH .
∵平面PAD ⊥平面ABCD .
∴PH ⊥平面ABCD .
若BH ⊥AC ，则由三垂线定理知PB ⊥AC ，为此只须∠ABH =∠DAC ，故只须
tg ∠ABH =tg ∠DAC ，即.21AD AB AB AD
=即.2,222
==AB AD AB AD ∴当2=AB AD
时，能使PB ⊥AC .
(20)解：(Ⅰ) 109
)21(%)101%)(2001(1⨯+=-+=a a a ， 109
)11(%)101%)(1001(112⨯+=-+=a a a ， 109
)211(%)101%)(501(223⨯+=-+=a a a ， 109
)211(%)101%)(251(2334⨯+=-+=a a a ，
……
∴109
)211(21⨯+=--n n n a a (n ≥2).
(Ⅱ)∵109
)211(21⨯+=--n n n a a ，∴)2
1
1(10921--+=n n n
a a . 显然，产量并非始终逐年提高，当1)21
1(109
2<+-n 时，第n –1年后产量将开始下降，此时有
9121
2<-n ， n –2≥4， n –1≥5.
故5年后产量将开始下降.
(21)解：(Ⅰ)∵M (2,1),N (4,–1)均在直线AB 上，
∴直线AB 斜率为142)
1(1-=---=AB k ，AB 垂直平分线斜率k =1.
∴AB 垂直平分线方程为y –1=x –2，即x –y –1=0,
(Ⅱ) 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)
∵A ，B 在椭圆上，∴122
1
221=+b y a x ① 12
2
2
222=+b y a x ②
∵M (2,1) 为AB 中点，∴x 1+x 2=4 ③
y 1+y 2=2 ④
∵A 、B 、M 、N 四点共线，∴1421
12121-=-+=--x x y y ⑤
①–②得0))(())((
2212122121=+-++-b
y y y y a x x x x 即 2121221221)()(x x y y a
y y b x x ---=++ * 将③、④、⑤式代入*式，得a 2=2b 2，c 2=b 2， ∴.22,2112221
===e a c e (Ⅲ)设椭圆的右准线为l ，过N 作NN ′⊥l ，则由双曲线定义及题设知，
42)42(22
22-+-='=c
a N M MN
e =.24222=-a 解之，得223=
=a a 或. 当23=a 时，b 2=9,椭圆方程为19
1822=+y x ； 当2=a 时，椭圆方程为12
22=+y x ，此时点M (2，1)在椭圆外，不可能是椭圆弦的中点，应舍去. 故所求椭圆方程为.19
182
2=+y x 设P (x ，y )为双曲线上任一点，作PQ ⊥l 于Q ，依双曲线定义，得
22==e PQ PM
，.2PQ PM =
即x y x -=-+-3)23(2)1()2(2
2
2 化简，得(x –10)2– (y –1)2=32.
故双曲线方程为.132
)1(32)10(2
2=---y x (22)解：(Ⅰ)设.11),0,(11111bi
bi z b R b bi z z -+=≠∈=+-则且
∴.21)12(4)111(4222bi b bi
bi bi z --=-=-++= x =1–b 2≠1
记z =x +yi (x ,y ∈R )，则有 .消去b ，得
y = –2b ≠0
y 2= –4(x –1)(x ≠1),即点Z 的轨迹为除去顶点的抛物线 y 2= –4(x –1)(x ≠1). (Ⅱ)设抛物线上存在的两相异点A (x 1,y 1)，B(x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称，则
).1(4),1(4222121--=--=x y x y
两式相减得：(y 1+y 2)(y 1–y 2)= –4(x 1–x 2) *
又设AB 中点为M (x ,y ),则 y 1+y 2=2y ，1x x y y 2
121-=-- 代入 * 式，得：2,241=-=-y y
又点M 在直线l 上，
∴x =2–m ,即 M (2–m ,2).
又∵点M 在抛物线y 2= –4(x –1)内部，
∴22<–4(2–m –1),即m >2.
故实数m 取值范围为(2，+∞).。