线性代数08A卷及答案
线性代数07-08第一学期期末(A卷)答案
北京师范大学珠海分校2007-2008学年第一学期期末考试（A ）答案开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__李兴斯 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123456____0_____789=2、行列式sin cos cos sin _______+-=-32323302xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则+=21232A A 04、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==65，则||______=30AB5、设A 为3阶方阵，且A =3，则A -=13 96、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11111101101，则A 的秩()R A = 3 7、已知4阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式8=*A ，则=A 28、向量组,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111110221002αααα线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1212369线性相关，则___3____=x10、设4元方程组=0Ax 的系数矩阵A 的秩为2，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式197621962394180第3行第2列元素的代数余子式A =32（ D ）（A ）3； （B ）6； （C ）9； （D ）12。
2、若1112131112131212223221222331323331323323,2323a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a ==，则()21=D C D（A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）8。
2008线性代数A参考答案
2007~2008学年第二学期《线性代数》A 卷参考答案及评分标准一、单项选择（每小题2分，共20分）请将正确选项前的字母填入下表中1、2-。
2、159206915-⎛⎫⎪-⎝⎭。
3、4。
4、213/21/2-⎛⎫⎪-⎝⎭。
5、 3 。
6、3。
7、 0 。
8、2。
9、1/λ。
10、222123122344x x x x x x x ++++ 三、计算题（1、2每小题6分，其余每小题6分，共40分）1、解：212223242322A A A A +++=1222232********* ……3分122201220011001---=1=- ……6分2、解：由AX A X =+有()A E X A -=()1002001002001101200101201111120112A E A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ……4分 200120012X ⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭……6分 3、解：由225A A E O --=有()()32A E A E E -+= ……3分320A E A E -+=≠有30A E -≠ 所以3A E -可逆 ……6分 且11(3)()2A E A E --=+ ……7分4、解：()1234310111512112370122318100001397000TTTTαααα⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭……3分 ∴1234,,,αααα线性相关，1234(,,,)2R αααα=，12,αα是它的一个极大无关组，……4分且31241237, 222αααααα=-=+. ……7分5、解：矩阵A 的特征方程为0)1)(2(163530642=--=-+--=-λλλλλλA E得特征值 12321==-=λλλ ……3分当21-=λ时有⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=--00,036303306632313212121x x x x x x x x x x x 即它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，所以对应于21-=λ的全部特征向量是)0(111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-c c ……5分当132==λλ时有 02,6306306321212121=+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=--x x x x x x x x 即它的基础解系是向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012及，所以对应于132==λλ的全部特征向量是不全为零）2121,(100012c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ……7分6、解： 22020021201002000410011201001201001A E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪⎪⎪⎪-⎛⎫=→⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……3分112012001P -⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭……6分 222123123(,,)24f x x x y y y=-+ ……7分 四、证明题（每题5分，共10分）1、证明：由 AB O = 有 12(,,,)s A X X X O = 即12(,,,)s AX AX AX O = 得i AX O = ()1,2,i s =即i X 为A X O =的s 个解 ……2分 显然12()(,,,)()s R B R X X X n R A =≤-即()()R A R B n +≤ ……3分 2、证明：()123,,3R ααα= ，()1234,,,3R αααα= 123,,ααα 线性无关 1234,,,αααα线性相关 则有 4112233m m m αααα=++ 成立 ……2分 设 112233454()0k k k k ααααα+++-=有 112233454112233()0k k k k k m m m ααααααα+++-++= 1411242234334()()()0k k m k k m k k m kαααα-+-+-+=……3分 ()1235,,,4R αααα=1235,,,αααα 线性无关则有141242343400k k m k k m k k m k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解之有 12340k k k k ==== ……4分故 12354,,,ααααα-线性无关 即12354(,,,)4R ααααα-=……5分。
2008-2009学年线性代数试卷A及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008-2009学年第2学期 考试科目： 线性代数考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评阅人试卷说明: T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设n B A 均为,阶方阵，满足等式0=AB ，则必有( C )(A) 0=A 或 0=B(B) 0=+B A () 0||=A 或 0||=B(D) 0||||=+B A2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵，且ABC I =，则下列结论必然成立的是( C )(A) ACB I = (B) BAC I = () BCA I = (D) CBA I =3．设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则( B )(A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关() 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 (C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 (D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4．设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX =0有非零解的充分必要条件是( B )5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( D )二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010021A ，则=-1A120010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (A) r=n() r<n(C) r ≥n(D) r>n(A) 7 (B) 8 (C) 9 () 107. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量，则=+++t λλλ 21______1__________.8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（则当k = 时，α1,α2,α3 线性相关.10.设A 为三阶方阵，其特征值2,1,3,- 则*A = ．11.已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值范围为 ．三、计算题12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A AB +13.（8分）计算下列行列式3214214314324321四、解方程组14. (10分)求方程组123412341234311232x x x xx x x xx x x x⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.五、解答题15.（10分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3= (-2,-4, 2,-8)T．16. (8分) 已知1121 342 012A--⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求A的伴随矩阵*A．17.(12分) 设212122221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个正交阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵．六、证明题18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2008—2009第二学期《线性代数》（A ）参考答案和评分标准一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. C2. C3. B4. B5. D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. 120010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ 7. 18. 8 9. -1/2 10. 36 11. 405t -<<三、计算题12.T T A AB A E B 2(2)+=+=1001001001102010310021001112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3分100300110330021114⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 5分 300030754⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭7分 13.将行列式第2、3、4列加到第1列上，得3214214314324321=32110214101431043210=101110222031104321------ 4分=10400440311--- 6分=160 8分14.11110111101111011131002410024111231/200121/200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 x x x x x x 1234340241--+=⎧⎨-=⎩，x x x x x x x x 1324132431-=-⎧⎨+=++⎩， 5分 取x x 2400⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得*120120η⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 6分取x x 2410,01⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x x 1311,02⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分 得齐次方程组基础解系为121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 9分通解为x x k kx x 12123411120101022010⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10分 15. 192192192210040820010110201900004480320000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6分rank(A)=2 7分 所以向量组的秩为2． 8分 a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T 不成比例，所以 a 1，a 2为最大无关组. 10分16. 因为1*1,||A A A -=2分*1111||||A A AA A ---==4分 1||1A -=- 6分*1||1*A A -=-=121342012--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭8分17.123(1)(1)(5),1,1,5A E λλλλλλλ-=-+--=-==， 3分对应于11λ=-，由 ()0A E x += 得111122ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得111162p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭； 6分 对应于21λ=，由 ()0A E x -= 得2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得211120p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 8分 对应于35λ=，由 (5)0A E x -= 得3111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得311131p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 10分 11162311162321063P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有1100010005TP AP P AP --⎛⎫⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭． 12分18. 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x即0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 3分整理得 01100011000111001)(43214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x a a a a 4分而011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x 有非零解，所以结论成立 6分。
线性代数2008A答案
上海财经大学成人高等教育线性代数试题参考 答案（2008A 卷）姓名 学号 专业 班级一、 单选题(每小题2分，共计10分)1. 设,A B 均为方阵，且0AB =, 则以下结论中正确的是 ( 4 ) .(1) 0AB = (2) 0,0A B == (3) 0A =或0B = (4) 0A =或0B =2. 以下矩阵中是对称矩阵的是 ( 2 ).(1) 123212025⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ (2)123204341⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 123211301⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4) 111011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 以下矩阵中是初等矩阵的是 ( 2 ).(1) 100010000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (2)100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 101010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (4) 101011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4. 下列不是n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件的为 ( 1 ) .(1) 0A ≠ (2) 0A ≠ (3) ()R A n = (4) A 与单位阵E 等价5. 下列矩阵中是分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为 ( 4 ). (1) 1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ (2) 1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭(3) 1100A B--⎛⎫⎪⎝⎭(4) 1100B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭二、 填选题(每小题3分，共计30分)6. 行列式 111253_____.4259= （- 6）7. 设4阶行列式的第三行元素为1，2，3，4，其对应的余子式为4，3，2，1，则该行列式的值等于______.（ 0 ）……………………………………………………………装订线…………………………………………………8. 设A 是3阶方阵，TA 是A 的转置矩阵且 2,A =则 3____.T A =； （ 54 ）9. 设211123223,322141113A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭, 则 _____________AB =； （487731112514⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭）10．设矩阵 120340002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=__________. ； （312212210000--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭） 11. 设矩阵 200030004A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*A =__________.（*A 是A 的伴随矩阵）； （12000800012⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭） 12. 设矩阵 123024003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*1()A -=__________； （12310246003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭）13. 设矩阵 121211212112121,a a a a a A b b B b b b c c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且AP B =,则初等阵P _____________；（1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭） 14. 设 123(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)ααα===，则 123,,ααα的秩等于_______.；（ 2 ） 15. 设123(1,1,1),(1,3,4),(3,4,5)ααα===，则 123,,ααα的极大无关组的个数为 _____.（ 3 ）三、 计算题（共计47分)16. 求解方程:2452450245x x x++=+ (本题满分10分)解：由于311113111132245(1)024500(1)47245(1)245047x r r x xx x x x x x c c x x a A x xx r r x x ++-+--+=-+-==-++-+++则原方程即2(11)0x x += 因而原方程的解为：120,11x x ==。
西安交通大学2008年线性代数期末考试试题(含答案)
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五、(12分).设二次型 ，其中
(1)写出二次型 的矩阵 ;
(2)求一个正交矩阵 ，使 成对角矩阵;
(3)求一个合同矩阵 ，写出 在线性变换 下的规范形.
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六、(12分)向量组 ， ,能否由向量组 ， ， 线性表示。若能，求出它们的表达式。
(3).若向量组 线性相关,则 =.
(4).设矩阵 为正定矩阵，则 的取值范围
是.
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二、单项选择题(每小题4分,共16分)
(1).设 ，则必有
(A) .(B) .
(C) .(D) .【】
(2).直线 和直线
(A)重合.(B)相交.(C)平行.(D)异面.【】
(3). 只有零解的充分必要条件是
(A) 的列向量线性相关;(B) 的行向量线性相关;
(C) 是行满秩的;(D) 是列满秩的;【】
(4).设矩阵 ，则 ＝
(A) .(B) .(C) .(D) .【】
三、(12分)写出以 为顶点， 为准线的锥面方程。并指出其在平面 上的投影曲线的名称。
.
共6页第2页
四、(12分) 取何值时,线性方程组
成绩
西安交通大学考试题
课程线性代数与解析几何（A卷）
系别考试日期2008年1月10日
专业班号
姓名学号期中期末√
说明: 指方阵 的行列式, 指方阵 的伴随矩阵, 指矩阵 的秩, 指矩阵 的转置矩阵, 为单位矩阵.
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
得分
一、填空题(每小题4分,共16分)
线性代数(A卷考题及答案)
（ 2008 至 2009 学年 第一学期 ）课程名称： 线性代数 考试时间： 110 分钟 课程代码： 7100500 试卷总分： 100 分 考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 不允许1、 设A 是三阶方阵，且det(A )=-1,则det(-2A )=_______.2、设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100120001，则A -1=_______3、等价的线性无关向量组所含向量的个数_______4、设实对称矩阵11211203132A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是二次型123(,,)f x x x 的矩阵，则二次型123(,,)f x x x 的一般表示式为_______.5、设A 为实对称矩阵，()11,1,3T α=与()23,2,Ta α=分别是属于A 的相异特征值1λ与2λ的特征向量，则a =_______.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列等式中正确的是（ ）A ．()222A B A AB BA B +=+++B ．()TT TAB A B =C ．()()A B A B A B -+=-22D ．()33A A A A -=-22．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ）A ．ββ12+B ．12ββ-C ．1222ββ+ D ．12325ββ+ 3．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则21A -必有一个特征值是（ ）A ．210λ B ．21λ C ．20λ D ．2λ 4．二次型22221234123412(,,,)542f x x x x x x x x x x =++-+的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．设1ξ，2ξ是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（ ） A ．1ξ+2ξ是λ对应的特征向量 B ．21ξ是λ对应的特征向量 C ．1ξ，2ξ一定线性相关 D ．1ξ，2ξ一定线性无关三、（8分）(本大题共两小题各4分) 计算行列式：(1)2100121001210012=D (2)1200012000122001D =. 四、（6分）101210325A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，求1()E A -- 五、(12分)（本大题共两小题各6分）（1）设矩阵121231041a A a b ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，求,a b（2）已知矩阵20000101x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵20000001y⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，求 ,.x y 六、（10分）。
山东建筑大学07-08代数A+答案
2007-2008学年第二学期线性代数试题（A 卷）一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分）1．如果将n 阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（ ） (A) 不变; (B)变号;(C)若n 为奇数，行列式变号；若n 为偶数，行列式不变; (D)若n 为奇数，行列式不变；若n 为偶数，行列式变号. 2．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则（ ） (A)0λ可以是任意一个数; (B)00>λ;(C)00≠λ; (D) 00<λ.3.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，1η和2η是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） (A) 12ηη+是Ax=0的一个解; (B)121122ηη+是Ax=b 的一个解; (C) 12ηη-是Ax=0的一个解;(D) 122ηη-是Ax=b 的一个解.4. 若1112α=-（，，）, 2764α=（，，），3000α=（，，），则向量组123,,ααα是( )(A) 线性相关; (B) 线性无关; (C) 可能线性相关，可能线性无关; (D) 秩123(,,)3ααα=.5.设100020004A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的特征值为 （ ）(A) 1,1,2 ； (B) 1,2,2 ； (C) 1,2,4 ； (D) 2,4,4.二、填空题（每小题4分，本大题共20分） 1. 排列32514的逆序数为 .2. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A ，则矩阵=3A .3. 设3阶方阵A 的元素全为1，则秩(A )为 . 4．二次型12(,)f x x =22112264x x x x ++的矩阵是 .5.实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有特征值全是 .三、（本题10分）计算行列式efcfbfde cd bd ae ac ab---.四、（本题10分）求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025的逆矩阵.五、（本题12分） 求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.六、（本题12分）求三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的特征值及特征向量，并判断A 是否与对角形矩阵相似？七、（本题8分）设321,,ααα线性无关，证明3213221,,ααααααα++++也线性无关.八、（本题8分）证明：若A 为n n ⨯阶非零矩阵，则秩（A ）=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.2007-2008学年第二学期线性代数试卷A 参考答案和评分标准一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分） 1．C ； 2．C ； 3. A ； 4. A ； 5. C 二、填空题（每小题4分，本大题共20分）1. 5 ；2、4444⎛⎫⎪⎝⎭；3. 1 ；4．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4331 ；5．正数. 三、（本题10分）计算行列式efcfbfde cd bd ae ac ab ---.解：efcfbfde cd bd ae ac ab---=ecb ec b e c b adf---……….…….…..…………（3分）=111111111---adfbce……………………………………………………………………………….（6分）=abcdef 4……….………………………………………………………....……（10分）四、（本题10分）求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 的逆矩阵.解：,21⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A O O A A ,112251==A ,125382==A .……….……..……..（3分） ,5221111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==*-A A .……….……………………………………………（5分）,8532212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==*-A A .…………………………………………..……..…（7分）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=- 85-003-2000000 2- 1 521A .……….…………………………………….…（10分） 五、（本题12分） 求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 通解.解.对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00000175100172021211117847246373542A ………………………..（4分） 于是方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=434217517221x x x x x ，42,x x 为自由未知量……………………..………..（8分）所以方程组的通解为：21432117507200120101k k x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ . …………….…..….（12分） 六、（本题12分）解：A 的特征方程为2134011||----+=-λλλλA E =0)1)(2(2=--λλ，……………..………....（2分）故A 的特征值为21=λ，132==λλ. ……………..………………….……..（5分）(1) 对于特征值21=λ，得到齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-0040312121x x x x x ，它的基础解系是 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100， 所以属于特征值2的全部特征向量为,100⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k (0≠k ).………..…….（7分）(2) 对于特征值132==λλ，得到齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-002402312121x x x x x x ，它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121，所以属于特征值1的全部特征向量为,121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k (0≠k ).………...（9分）因此A 不与对角形矩阵相似. .…………….…………………………….（12分）七、（本题8分）设321,,ααα线性无关，证明3213221,,ααααααα++++也线性无关.证明：设0)()()(3213322211=++++++αααααααk k k ，………..…….（2分）则有0)()()(3322321131=++++++αααk k k k k k k ， ……………….（4分）321,,ααα 线性无关，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+∴0003232131k k k k k k k ，0321===∴k k k ……….….（6分）所以3213221,,ααααααα++++线性无关. …………………………..….（8分）八、（本题8分） 证明：若A 为n n ⨯阶非零矩阵，则秩（A ）=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.证明：必要性：因为秩（A ）=1，所以存在可逆矩阵P 和Q ，使得10010000(100)0000PAQ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.……………………..….（2分） 得到11)001(001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A =)(2121n n b b b a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011 P ，)(21n b b b =1)001(-Q 。
2007-2008第二学期线代试卷A及答案)
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共12分）1、 2；2、 1；3、 21t ≠；4、k >二、选择题（每小题3分，共12分）1、 A ；2、 C ；3、 B ；4、 D 三、解答题（每小题9分，共36分）1、11(2,,)(2,,)1100011111100100020012000200011i in i n i n r r r r n nn n n D n nn n nn n==+++---=-------…..…（4分）()(1)(2)(1)1122000001(1)1(1)(1)()(1)1222000n n n n n n n n n n n n n n nn n n n -------+++=⋅=⋅⋅-⋅-=⋅⋅---...….（9分）2、记 121624,1713A A ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则121,1A A =-=；…..…………………………………..…..……...（4分）又1112767637,111112A A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1760011000037012A --⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭－。
………………………...（9分）3、由题意有010100001A B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100011001B C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，……………..…………………………………………...（4分） 于是 010100100011001001A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以011100001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
……….……………………………………...（9分）4、()123403481011,,,21043211αααα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭～1011034801220244-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～10110122002200-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭～10000104001100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………...（4分） 则()1234,,,3R αααα=，且123,,ααα线性无关，所以123,,ααα即为1234,,,αααα的一个极大无关组，（7分） 且412304αααα=+-；…………………………………………………………………………………..………...（9分） 或者取124,,ααα，312404αααα=+-；还可以取134,,ααα，2341144ααα=+四、解()2111,1111tA b t t tt -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭～2223110110111t tt t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭～ 22321101100(1)(2)1t tt t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪-+---+⎝⎭…………………………….…………..………...（4分） 所以当12t t ≠-≠且时，方程组有唯一解；…………………………………..…………………………….……...（6分） 当2t ＝时，(),A b ～112403360001-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭()(),32R A b R A =≠=，所以方程组无解。
《2008线性代数》试卷参考答案(不完整版)
2 3 10
0
3
C1 证明：β = AZ 有解，Z0 = ⋮ ,则β = C1α1 + ⋯ + Cnαn，故（A，β）的列向 Cn 量组与 A 的列向量组等价，从而秩相等 反过来， （A，β）的列向量组与 A 的列向量组等价 故β可用α1， ⋯ ，αn线性表示 令β = C1α1 + ⋯ + Cnαn,则 Z0= C1 ⋮ 为 AZ=β的解 Cn
1 1 = (a + 2)(a − 1)2 a
当 a≠ −2, a ≠ 1 时，有唯一解； 当 a= 1时，无解； 当 a=-2 时，有无数解。 方程为-2x1+x2+x3=2，,x1+x2-2x3=4 对应齐次方程组基础解为 −1， − 1，1
T
求一特解为 x1=3，x2= 3 ，x3=0
2
10
−1 故通解为 a −1 + −1 六、证明题
n −2 n −1
n
=nn −1
1 + n +n + ⋯+ 0 0 ⋮ 0 0
n+1 2
n −1
0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 −1 −1 0
n+1 2
0 −1 ⋮ 0 0
n
−1 0 ⋮ 0 0
n
=nn −1 五、 a 1 解： A = 1 a 1 1
(−1)n+
n (n +1) 2
= nn −1
(−1)n(n+1)
1 1 1 3、解： A = ⋮ 1 1
2 1 1 ⋮ 1 1−n
3 1 1 ⋮ 1−n 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯
2 n
⋯ n−2 n−1 ⋯ 1 1 ⋯ 1 1−n ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ 1 1 ⋯ 1 1
沈阳建筑大学08秋-线性代数试卷A答案
沈阳建筑大学考试评分标准专用纸2008年 秋季学期 科目： 线性代数1（A 卷） 适用年级、专业：07级土木、环境、交通机械、管理、信息（除计算机）学院 ————————————————————————————————一、填空（每小题4分，共20分） 1．0； 2．AA； 3．-4； 4．!n ； 5．22t -<< 二、选择题（每小题4分，共20分） 1． D ； 2．D ； 3．B ； 4．C ；5．C 三、（6分） 原式＝222222()(()())16x y x yx y x y x y x y x y x y-+-=--+=+- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6' 四、（6分）证明：设存在121,,,s l l l - 满足 1122110s s l l l βββ--+++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2' 则有111222111()()()s s s s s s l k l k l k αααααα---++++++112211112211()0s s s s s l l l l k l k l k αααα----=+++++++=因为 12,,,s ααα无关， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2' 所以 1211122110s s s l l l l k l k l k ---====+++=故 121,,,s βββ-无关. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2'五、（6分）解：32213211111111122200()3203200r r r r A a b aba b a a b aa ba ab a b+----=+--=-=-=--+-+-．．2'当()0a a b -=时，即0a =或a b =时，()3R A < （1）若0a b ==，则111100010000A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()1()2R A R =<=，无解. .．．．．．．．．．．．．2' （2）若0,0a b =≠，则2132221 1 1 1111 1222300100 23002311 1100100 01r r r r A b b b b b -+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()2()3R A R A =<=，无解. ．．．．．．．．．．．．．2' 六、（6分）解：()12341525100236330101,,,2215001110110000a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.．．．．．．．．．．．．．3' 秩为3，123,,a a a 为一个最大无关组，41232a a a a =-+. ..．．．．．．．．．．．．．3' 七、（6分）解：1122r n n n D D D --=-按展..．．．．．．．．．．．．．3'232232(2)32n n n n n D D D D D -----=--=-34334213(2)243(1)(2)n n n n n D D D D D n D n D -----=--=-==---21(1)(2)2(1)32(2) 1.12n n n n n =---=---=+ ..．．．．．．．．．．．．．3' 八、（6分）解：由2AX E A X +=+，得到2()A E X A E -=- ..．．．．．．．．．．．．．2' 由于001010,0100A E A E ⎡⎤⎢⎥-=-≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦201030102X A E ⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ..．．．．．．．．．．．．．4' (或者)由2AX E A X +=+，得到2()A E X A E -=- ..．．．．．．．．．．．．．2'11001001001010,()010010100100100A E A E --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦..．．．．．．．．．．．．．2'12()()X A E A E -=--001102201010030030100201102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ..．．．．．．．．．．．．．2' 九、（6分）解：222222A B αααηζηζβββ+=+=+4444A B ααηζββ=+=+ .．．．．．．．．．．．．．4' 454(2)12.=⨯+⨯-= ..．．．．．．．．．．．．．2'十、（8分）解：100023032A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (5)(1)(1)E A λλλλ-=--+ ..．．．．．．．．．．．．．1' 5λ=的特征向量1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1λ=特征向量2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1λ=-特征向量3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭单位化11011q β⎛⎫⎪==⎪⎪⎭ ，222q βξ==，333011q βξ⎛⎫⎪===⎪⎪-⎭..．．．．．．．．．．．．．4'正交变换01000X Y ⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪..．．．．．．．．．．．．．1'2221235f y y y =+-. ..．．．．．．．．．．．．．1' 由顺序主子式不全大于等于0或标准形中有负项，得不是正定的...．．．．．．．．．．1' 十一、（6分）解：由 ,P PA Λ=故11,k k A P P A P P --=Λ=Λ所以 175()(62)A P E P ϕ-=Λ-Λ+又10,11P -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 所以110,11P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦..．．．．．．．．．．．．3' 75175101010()62010(1)0(1)103010110711A P P ϕ-⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦30.107-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦..．．．．．．．．．．．．3' 十二、（4分）解：由1234b αααα=+++得线性方程组Ax b = 的特解*T (1,1,1,1)η= . 由234,,ααα 线性无关，1232ααα=-知()3R A =，线性方程组0Ax = 的基础解系含有431-=个解向量。
广工2008线代试题A-答案
解：设有关系式 ，即
则有
因为 线性无关，所以
………………………………………….4分
齐次线性方程组的系数行列式为
…………….….…6分
即当 为奇数时，齐次线性方程组只有零解，从而 ，即向量组线性无关；
即当 为偶数时，齐次线性方程组有非零解，从而存在不全为零的数 ，使 ，即向量组线性无关………………………………………………………………..……………8分
解答
一、单项选择题（每题4分，共20分）
1、D；2、D；3、D；4、B；5、B；
二、填空题（每题4分，共24分）
1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；6、
三、（11分）法一：
解： = --------------------------------------------4分
---------------------------------------------7分
五、（13分）
解：对增广矩阵进行初等行变换
…………3分
（1） ；……………5分
(2) ；………………………………7分
(3) ；………………………9分
----------------------------------------11分
方程组的通解为：
-----------------------------------------------------13分
4、设 是齐次线性方程组 的一个基础解系，则（ ）也是它的基础解系
（A） ；（B） ；
ห้องสมุดไป่ตู้(C) (D) .
5、设A是n阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（）
（A） ;（B）A的行列式等于1
（C）A的行向量都是单位向量且两两正交；
2007-2008第二学期线性代数及答案工科36学时
武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数D 》 （A 卷，工科36学时）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、(10分)设123,,ααα均为三维向量 ，记三阶矩阵123123123123(,,),(,24,39).A B αααααααααααα==++++++ 已知1A =，求B ．二、(10分) 设211120212-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,023214014-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，-=+AC E B C ,求矩阵C ．三、（15分）已知向量组123418210:2,4,1,53826A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξξ求向量组A 的秩及一个最大无关组，并把其它的向量用最大无关组表示出来．四、(15分）设线性方程组为123123123(2)2212(5)4224(5)31x x x x x x x x x λλλλ++-=⎧⎪++-=⎨⎪--++=+⎩问λ为何值时，该方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其解.五、(15分）已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T2(2, 2, 1)α＝是A 的对应于121λλ＝＝的特征向量，1） 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，试求出该特征向量，若不能，则说明理由。
2）能否由此求得实对称阵A ？若能，试求之，若不能则说明理由。
六、(15分) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，E 是n 阶单位矩阵().n n ⨯已知,BA E = 试判断A的列向量组是否线性相关？为什么？七、(20分)设二次型的矩阵为5212233a b a b cc c --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，,,a b c 为常数，则 （1).写出二次型),,321x x x f （的具体形式；(2).求A 的全部特征值与特征向量；(3).求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形；(4).在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
2008级《线性代数》考题(2009年12月25用)(1)
2008级《线性代数》考题（2009年12月用）(附答案)一. 填空题（每空3分，共15分）1. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111c b a c b a c b a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A 20 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围是44 t -3. A 为3阶方阵，且21=A ，则=--*12)3(A A 2716-4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是0,21====n n λλλ5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 n二. 选择题（每题3分，共15分）6. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322313221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（A ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（C ）成立(A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A8. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010101P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则（C ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （D ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ⨯矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（B ） （A ）任意r 个列向量线性无关 (B) 必有某r 个列向量线性无关(C) 任意r 个列向量均构成极大线性无关组(D) 任意1个列向量均可由其余n －1个列向量线性表示三. 计算题（每题7分，共21分）11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300041003A 。
2007-2008(1)线性代数试题A卷解答
广州大学2007-2008学年第一学期考试卷线性代数A 卷参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．设A 为3阶方阵，且||4A =, 则|2|A =322．设1234⎛⎫= ⎪⎝⎭AB , 则T T1324⎛⎫= ⎪⎝⎭B A3．已知200*220421⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1100110210.5-⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭A4．n 元齐次线性方程组=Ax 0的解空间的维数等于()n R -A5．若2阶方阵A 满足方程256-+=A A E O ，且A 的两个特征值不相等, 则||=A 6二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1．设123,,ααα为3维列向量, 且123|,,|4ααα=, 则1322|2,23,|-=αααα( B ). (A) 16； (B) 16-； (C) 24 (D) 24-.2. 二次多项式281175413561081x x ---中2x 项的系数是( D ).(A) 7； (B) 7-； (C) 5 (D) 5-.3. 设,,A B C 均为n 阶方阵, 且ABC E =, 则必有( A ).(A) BCA E =; (B) BAC E =; (C) CBA E =; (D) ACB E =.4. 矩阵方程=AX B 有解的充分必要条件是( C ). (A) ()(,)R R <A A B ; (B) ()(,)R R <B A B ;(C) ()(,)R R =A A B ; (D) ()(,)R R =B A B .5. 若向量组1,,ααm 线性相关, 且110ααm m k k ++= , 则( D ). (A) 1,,m k k 全为0; (B) 1,,m k k 全不为0; (C) 1,,m k k 不全为0; (D) 前述情况都可能出现.三．（本题满分8分）计算行列式0000a b ca b cD b a c c a b =.解 000a b c a b c a b c b cD a b c a c a b c a b ++++=++++……………………………………………….3分000000000a b c a b c a b c++-=--…………………………………………..6分 ()abc a b c =-++……………………………………………………..8分四．（本题满分10分）设1200010000240012⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求8A . 解 令11201⎛⎫= ⎪⎝⎭A , 22412⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,21121214010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A , 41141418010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A , 811818116010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ,……………………………………..4分 22224248164121248⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A ,422222322222()(4)44====A A A A A ,8423262722222()(4)44====A A A A A ,………………………………8分 881151682141511600010000220022⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A O A O A (10)分五．（本题满分10分）设12341314(,,,)431010561114⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα, 求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.解 化矩阵1234(,,,)αααα为行最简形:1234(,,,)αααα1314~09660966⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭103222~01330000⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪⎝⎭……………..4分 向量组1234,,,αααα的秩为2, …………………………………………………….6分一个最大无关组为12,αα, …………………………………………………………8分 且有 312233=-ααα, 412223=+ααα………………………………………10分六．（本题满分10分）已知矩阵3000130011301113⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 解矩阵方程2=+AX X A . 解 由 2=+AX X A ,得 (2)-=A E X A ,…………………………………………………….2分因 10001100211101111⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E , |2|1,-=A E 所以2-A E 可逆, 于是 1(2)-=-X A E A …………………………………...5分利用 1(2,)(,(2))r--−−→-A E A E A E A 求1(2)-=-X A E A :1000300011001300(2,)1110113011111113⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E A 10003000010023000010023000010023r ⎛⎫ ⎪-⎪−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭ 3000230002300023⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭X ………………………………………………...10分七．（本题满分12分）求方程组12341234123432434537761171513x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩的通解.解 化增广矩阵为行最简形:13243(,)4537761171513--⎛⎫⎪=-- ⎪--⎝⎭A b …………………………………..2分13243~0759507595--⎛⎫⎪-- ⎪--⎝⎭…………………………………………4分 61177759577710~0100000--⎛⎫ ⎪-- ⎪⎝⎭………………………………………….6分 同解方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--757975767171432431x x x x x x ……………………………………….8分令13k x =，24k x =，得通解为121234116777595777100010x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中21,k k 为任意实数……………...12分八．（本题满分12分）已知矩阵9226A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1) 求矩阵A 的特征值和特征向量;(2) 求可逆矩阵P , 使1P AP -为对角矩阵.解 (1) 92||26λλλ--=-A E (5)(10)λλ=-- A 的特征值为15λ=，210λ=……………………...…………………………...5分当15λ=时，解 (5)0-=A E x ，得基础解系112⎛⎫= ⎪-⎝⎭p ，对应于特征值15λ=的全部特征向量为11k p （01≠k ）……………………….7分 当210λ=时，解 (10)0-=A Εx ，得基础解系221⎛⎫= ⎪⎝⎭p ，对应于特征值210λ=的全部特征向量为22k p （02≠k ）……………………9分 (2) 取1221⎛⎫=⎪-⎝⎭P , 则150010-⎛⎫= ⎪⎝⎭P AP …………………………………..12分九．（本题满分8分）设η是非齐次线性方程组=Ax b 的一个解, 1,,n r -ξξ 是=Ax 0的一个基础解系. 证明 1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关.证明 设存在一组数1,,,n r x x x - , 使11()()0n r n r x x x --+++++=ηηξηξ (1)即 111()0n r n r n r x x x x x ---++++++=ηξξ (2)..................2分 由题设=A ηb , (1,,)0i i n r ==-A ξ , 用矩阵A 左乘(2)的两边, 得1()0n r x x x -+++=b因0≠b , 得10n r x x x -+++= (3)…………..5分代入(2)得110n r n r x x --++=ξξ因基础解系 1,,n r -ξξ 线性无关, 所以10n r x x -===代入(3)得 0x =.因此(1)只有零解, 从而1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关………………………..8分。
线性代数2007-2008第二学期试卷A答案
n 4, 有唯一解 III)a 2且a 1时，r r
综上，a 2且b 1时，方程组无解。
1 0 (2)a 2, b 1时，A 0 0
1 0 a 1时，A 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0
3、 设 A, B 均为 3 阶方阵， 且满足 A 2, B 3 ， 则 ( AB ) 6 ； ( AB ) ＝ 36 。
1 1 1 1 1 1 2 3 的秩为 4、矩阵 3 1 5 1 1 3 4 2
4
1 0 ，它的行最简形是 0 0
1
1 3 6 0 0 1 和 2 。 3 6 1 1 3 6
6,3,2
8、 设三阶方阵 A 、B 相似，A 的特征值为 1、 2、 3， 则 B* 的特征值为
。
二、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分） 得 分
1 3 0
2 3 2 ( 1) 3
3 1 2 1 0 1 1 0 1 A E 5 2 3 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 2 0 0 0 1 ( A E ) x 0的基础解系为 1 ， 1 A只有一个线性无关的特征向量，因此A不能对角化。
3310分分设为一向量组12341131151?21893??????317?????????????????????????????????????????????????????????????????1
浙 江 工 业 大 学
《线 性 代 数》试 卷 (A)
线性代数考试样卷及解答
2007 — 2008学年第 一 学期 《线性代数Ⅰ》课程考试A 卷试题解答一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设行列式1112132122233132333 ， =a a a a a a a a a 则111213313233212223333333333 等于 a a a a a a a a a 【 A 】 （A ）–81 ;（B ）–9 ; （C ） 9;（D ）81 .2、设A 为3阶方阵，且行列式A =21，则A -2的值为【 A 】 （A ）-4； （B ）4； （C ）-1； （D ）1。
3、设n 阶方阵A 满足20A E -=，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【 C 】（A ）A E =； （B ）A E =-； （C ）1A A -=； （D ）1A =。
4、若向量组123a a a ,,线性无关，向量组234a a a ,,线性相关，则【 D 】 (A) 1a 必可由234a a a ,,线性表示； (B)2a 必可由134a a a ,,线性表示； (C) 3a 必可由124a a a ,,线性表示；(D)4a 必可由123a a a ,,线性表示。
5、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=【 B 】 (A ） 2； （B ） 1； (C ） 0； （D ） -1。
6、设A 是实对称矩阵，则【 A 】（A ）A 一定有n 个线性无关的特征向量； （C ）A 的特征值一定是非零的； （B ）A 的任意两个不同的特征向量一定是正交的；（D ）A 一定有n 个不同的特征值。
7、设n 阶可逆矩阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x ，则下列不正确．．．的是【 C 】 (A ）Ax =2x ； （B ）A -1x =21x ； (C ）A -1x =2x ； （D ） A 2x =4x 。
8、设A 是3阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，|A |=21，则()132A A -*-等于【 C 】 （A ）-12； （B ）43-； （C ）1627-； （D ）432-。
2007-2008第一学期线代试卷A及标答
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、23-； 2、E ； 3、-15； 4、5t ≠； 5、 2 二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4、C 5 、D 三、解答题（每小题8分，共32分）1、 121000121000(1)2121000121121n n n x xn x n xn n D x x n n x x n nn n-+-++⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦+-+--………………（4分） (1)12(1)(1)2n n n n n x x --+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦………………………………………………………………（8分） 2、 由题意(1,2)B AE = ……………………………………………………………………………………（4分）又BX A =，即(1,2)A E X A =，所以1(1,2)X E -=(1,2)E =……………………………………………（8分） 3、 记1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则1111200A A A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭， ……………………………………………………………（2分） 又*11211,10A A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，故112110A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭ …………………………………………………………（4分）*21211,31A A -⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭，故122131A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭………………………………………………………（6分）所以12100100000210031A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭。
…………………………………………………………………（8分） 4、记()1234,,,A αααα=，对A 进行行初等变换，将其化为行最简形：1211241012213631A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭～1211003200320064-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭～121100320000000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭～11203201300000000⎛⎫-⎪⎪⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭…………………（4分）()2R A =，又显然13,αα线性无关，所以13,αα即为原向量组的一个最大无关组；………………………（6分）且212αα=，4131233ααα=--。
2008级线性代数试题和答案 A卷
经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷 (A 卷)答案及评分标准一、填空题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 31det =A , 则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛*-A A 1541det 1_____ 2. 已知12,αα均为2维列向量, 矩阵),2(2121αααα-+=A , ),(21αα=B . 若行列式6A =, 则B = _____3.若,),,,(),,,,(2121k r r s s ==αααβααα,1),,,,(21+=k r s γααα 则),,,,,(21γβαααs r = _____4. 设A 为5阶方阵, 且4)(=A r , 则齐次线性方程组0*=x A （*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 _____5. 设33()ij A a ⨯=是实正交矩阵, 且,a b T11=1,=(1,0,0)则线性方程组Ax b =的解是_____6. 若使二次型31212322213212242),,(x tx x x x x x x x x f ++++=为正定的, 则 t 的取值范围是 _____7. 设3阶方阵A 满足0322=--E A A , 且0<A <5, 则=A _____ 答案：（1） 3)1(n - （2）-2 （3） k +1 （4） 4（5） T)0,0,1( （6） 2<t （7）3二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵, 则有（ ） (A) B A = (B) B A ≠(C) 若0=A , 则一定有0=B (D) 若0>A , 则一定有0>B 2. 设行列式3040222207005322D =--, 则第四行各元素代数余子式之和的值为 ( ) (A) 28 (B) -28 (C) 0 (D) 336 3. 设A 为m 阶方阵, B 为n 阶方阵, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00BA C , 则 C 等于 ( )(A) B A (B) B A - (C) B A m n )1(- (D) B A n m +-)1( 4. 设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关, 则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充分必要条件是 （ ）(A) 向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示 (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示 (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价 (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价 5．设A 、B 为n 阶方阵, 且)()(B r A r =, 则（ ）(A) 0)(=-B A r (B) )(2)(A r B A r =+ (C) )()()(B r A r B A r +≤ (D) )(2)(A r AB r =6. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A , 则A 与B （ ） （A ）合同且相似 （B ）合同但不相似( C ) 不合同但相似 （D) 不合同且不相似7．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为21,αα, 则221),(ααα+A 线 性无关的充分必要条件是 （ ）（A ）01≠λ （B ）02≠λ ( C )01=λ (D) 02=λ 答案：CCC CCA A三、计算题（每小题8分、本题共32分）1．计算n +1阶行列式 nn n n d b d b d b a a a a D 00000022112101=+.解 分三种情况讨论：（1）当n d d d ,,,21 全不为0时，D 为箭型行列式且∑∑==--=-=====nk n kkk nn nk k k k c c d d d d b a a d d d a a a d b a a D jjd jb 1210212110;)(0000001（2）当n d d d ,,,21 中只有一个为0时，不妨假设0=i d ，则ni i i i ni i i inni i i i ni i ic cd d d d b a d d b d d a d b d b b d b d a a a a a a D i111111111111011000011+-+-+--+-↔-=-=-====+（3）当n d d d ,,,21 中有两个以上为0时，显然0=D .综合以上三种情况，我们有⎪⎩⎪⎨⎧=∃-=≠-=+-=∑0,;...),...,2,1(0;)(11211210i n i i i i k nk n kk k d i d d d d d b a n k d d d d d b a a D 2. 设矩阵A 满足关系式11)2(--=-C A B C E T , 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1000210002101021,1000210032102321C B , 求A ？ 解 在等式11)2(--=-C A B C E T 等号两边同时乘以C , 得[]TB C A 1)2(--=,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--100021********21)2(,100021003210432121B C B C ,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-1210012100120001)2(1TB C A . 3．设线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++-=+--=+--bx x x x x ax x x x x x x x x x x 43214321432143217107141253032（1）问：a , b 取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解 设题中线性方程组为.Ax b =用消元法, 对线性方程组Ax b =的增广矩阵A 施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=ｂ－４０１００００００－１００１３２０ｂ１－１０初等行变换a a A 32117107141125313211 由此可知：当b ≠4时,)()(A r A r ≠ 线性方程组Ax b =无解; 当b =4时, 恒有)()(A r A r = 线性方程组Ax b =有解.若,3)()(,1==≠A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T T )1,0,21,27()0,0,21,21(--+k k 为任意实数 若,2)()(,1===A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T 2T 1T )1,0,21,27()0,1,23,21()0,0,21,21(--+-+k k 21k k 、为任意实数 4．设矩阵,,321101210,324202423*1Q A Q B Q A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 求E B 2010+的特征值和特征向量. 其中*A 是A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵. 解 计算A 的特征多项式32422423--------=-λλλλA E .)1()8(2+-=λλ故A 的特征值为1,8321-===λλλ. 因为.,,8*X AX A X AX A i λλλ====∏则若所以*A 的特征值为1,-8,-8.由于Q A Q B *1-=与*A 相似, 相似矩阵有相同的特征值，所以E B 2010+的特征值为：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因为X Q A X A Q X Q Q A Q X Q B 1*11*11||))(()(-----===λ,我们有矩阵B 的属于λA的特征向量为X Q 1-, 因此矩阵E B 2010+的属于2010+λA的特征向量为X Q 1-第三步 求出A 的全部特征向量对于81=λ，求解线性方程组0)8(=-x A E 得特征向量 .2121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 对于132-==λλ，求解线性方程组0)(=--x A E 得特征向量.021,10132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αα第四步 求出E B 2010+ 的全部特征向量，即计算312111,,ααα---Q Q Q .,012,23223,23121,21211111212113121111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=----αααQ Q Q Q综合以上分析我们有：矩阵E B 2010+属于特征值2011的特征向量为k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--27121, k 为任意实数属于特征值2002的特征向量为 ,0122322321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k k 21k k 、为任意实数四、证明题（每题6分，共12分）1. 已知向量组)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 向量组s βββ,,21 可表示为),,2,1(1s i t i i i i =+=+ααβ, 其中i t 是实数. 证明s βββ,,21 线性无关.证明 用定义. 假设存在 s 个数s k k k ,,21 , 使 02211=+++s s k k k βββ , 即 0)()()(132222111=+++++++s s s s t k t k t k αααααα , 也就是0)()()(11133212221111=++++++++++--s s s s s s s t k k t k k t k k t k k ααααα .又因为)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 所以上式中系数部分都为0, 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=--0000112111s s s s s t k k t k k t k k 解得 021====s k k k , 故s βββ,,21 线性无关. 2. 设n 阶矩阵 A 满足022=-+E A A 且E A ≠. 证明A 相似于对角矩阵.证 由022=-+E A A 可得 ))(2(0)2)((E A A E A E A E ---==+- (1)可得A 的特征值为 1或 -2，要证明A 相似于对角矩阵，也就是A 可以对角化，即要证明A 有n 个线性无关的特征向量。
线性代数2007-2008第一学期试卷A
浙 江 工 业 大 学《线 性 代 数》试 卷 (A)(2007—2008学年第一学期) 2008.6一、填空(每空2分,共24分)1、在四阶行列式中，乘积项43213412a a a a 的符号为 号。
2、设,B C 为n 阶可逆方阵，00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，则T A = ；1A -= 。
3、设,A B 均为n 阶方阵，且满足2,3A B ==，则()AB *= 。
4、设 100010b A ac ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，当,,a b c 分别为 时，A 为对称阵；A 的伴随阵为 ；当,,a b c 满足条件 时，A 为正交阵。
5、向量组⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭141、k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭14、⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭120为3R 的一组基, 则k 必须满足的条件是 。
6、线性方程组AX β=有无穷多解的充要条件是 。
7向量TT)0,1,0,1,0(,)1,0,1,0,1(==βα8、设二阶方阵A 、B 相似，A 的特征值为2、3，则1-B 的特征值为 ，而*B 的特征值为 。
二、单项选择题（每小题2分，共12分）1、以下结论正确的是（ ）。
A 、若2=A 0，则A =0；B 、若方阵A 的行列式0=A ，则A =0；C 、若=A B 0，则A =0或B =0；D 、若方阵A 对称，则2A 也对称。
2、下列四项中，向量组T 线性相关的充分必要条件是（ ）。
A 、向量组T 中至少有一个是零向量；B 、向量组T 中至少有两个向量的分量成比例；C 、向量组T 中至少有一个向量能由其余向量线性表示；D 、向量组T 中至少有一个部分向量组线性相关。
3、下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
A 、100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ； B 、001010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C 、100015001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D 、001010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
4、若n 阶方阵A 可逆，则下列各项中不是A 可逆的充分必要条件的是（ ）。
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( B) α 4 必可由 α1 , α 2 , α 3 线性表示 ( D) α 2 必可由 α1 , α 3 , α 4 线性表示
）.
T T
4. 设 m × n 阶矩阵 R ( A) = r ， 则如下结论正确的是（
T T T
（A） R ( A A) = R ( A) (B) R ( A A) < R ( A) (C) R ( A A) > R ( A) (D) R ( A A) ≠ R ( A ) 5. 对于矩阵方程 AB = AC ，以下结论正确的是（ (A) B = C (B) B ≠ C 三、(10分)计算下行列式 ）.
1 (1,1,⋯ ,1)T ，试给出此Householder矩阵属于各特征值的特征向量.（2分） n
南京工业大学
线 性 代 数 试 题 标 准 答 案
试题
（A）卷
2008--2009 学年第一学期
一、填空题(每题 3 分，共 15 分) (1) 0 (2.) -432 (3)
使用班级
江浦各专业本科生
(C)如 A 可逆 , 则B = C （D）以上均不正确.
x + a1 a1 D = a1 ⋯ a1
a2 x + a2 a2 ⋯ a2
a3 a3 x + a3 ⋯ a3
⋯ ⋯
an an ⋯ an ⋯ ⋯ ⋯ x + an
⎛ 2 0 0⎞ ⎜ ⎟ 2 四、（10分）设三阶矩阵 A = 4 5 0 满足矩阵方程 AX + A = 3 X + 9 E ，试求矩阵 ⎜ ⎟ ⎜ −1 2 4 ⎟ ⎝ ⎠
2
2
2
八、 （8分）Housesholder矩阵是计算数学中一类重要的变换（镜面反射）方法，一般用来化 矩阵为上Hesseberg矩阵。设实向量 u = (u1 , u2 ,⋯ , un ) 且 u u = 1 ，则其一般形式为
T T
H = E − 2uu T 试回答下列问题：
1） 证明：Householder矩阵是实对称正交矩阵;（3分） 2） 证明： 一般实对称正交矩阵的特征值只能是1或－1， 并确定Householder矩阵的特征值（3 分） 3） 对于 u =
− r2 1/ 9r3
r2 + 7r3 r1 + 3r3
r1 + r2
0 1⎞ ⎟ 0 −1 ⎟ ―――8 分 1 2⎟ ⎟ 0 0⎠
所以 R (α1 ,⋯ , α 5 ) = 3 ，一个极大无关组为 α1 , α 2 , α 4 ， ―――――――（12 分） 且 α 3 = 2α1 + α 2 , α 5 = α1 − α 2 + 2α 4 . ―――――――――――――――（14 分） 六、 （13 分）对方程组的增广矩阵进行初等行变换
X.
五、 （14分）设向量 α1 = (3, 2,1,3), α 2 = (1, −3, −1, −4), α 3 = (7,1,1, 2),α 4 = (−1,1, − 3, −2),
α 5 = (0, 7, −4,3) ，求向量组的秩和极大无关组，并把极大无关组以外的向量用极大无关
组线性表示.
六、 （13分）当 a, b 为何值时，线性非齐次方程组
1 0 0 ⋯ 0 1 x 0 ⋯ 0 n ＝ ( x + ∑ ai ) 1 0 ――――――――――8 分 x ⋯ 0 （ ci − ai c1 (i ≥ 2) ） i =1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 0 0 ⋯ x
n
＝x
n −1
( x + ∑ ai ) ―――――――――――――――――――――――10 分
与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为
⎧ x1 = x3 + x4 ⎨ ⎩ x2 = 2 x3 − 2 x4
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −2 ⎟ −2 ⎛ x3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ 令 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ 得齐次方程组的一个基础解系为 η1 = ,η 2 = ⎜ ⎟ . ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎝ x4 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝1⎠
i =1
2
四、 （10 分）解：由 AX + A = 3 X + 9 E 得
( A − 3E ) X = −( A − 3E )( ，故 A − 3E 可逆，上式两边同时左乘 ( A − 3E ) 得
−1
⎛ −5 0 0 ⎞ ⎟ ――――――――10 分 X = −( A + 3 E ) = ⎜ ⎜ −4 −8 0 ⎟ 。 ⎜ 1 −2 −7 ⎟ ⎝ ⎠
南京工业大学
线 性 代 数
试题（A）卷（闭）
姓名
2008--2009 学年第 一 学期 使用班级 江浦各专业本科生 班级
题号 得分 （符号说明： E 表示单位矩阵， R 表示矩阵的秩， 一、填空题（每题 3 分，共 15 分） 表示行列式， T 表示矩阵的转置。 ） 一 二
学号
三 四 五
六
七
八
总分
⎛1 1 1⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1．设 3 阶矩阵 A = 0 1 2 , B = 0 2 5 ，则 AB = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 3 4⎟ ⎜ 0 0 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 −1 ⎜ ⎜ 2 −3 ⎜3 1 ⎜ ⎝ 3 −4
r
1 −3 −4 ⎞ ⎟ 1 1 7⎟ 7 −1 0 ⎟ ⎟ 2 −2 3 ⎠ ⎛ 1 −1 1 −3 −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 −1 7 15 ⎟ ⎜0 1 1 2 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 0 0 ⎠ ⎛ 1 −1 ⎜ ⎜0 1 ⎜0 0 ⎜ ⎝0 0 ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0 0 1 0 0 2 1 0 0 1 −3 −4 ⎞ ⎟ 1 −7 −15 ⎟ ―6 分 0 1 2 ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎠
故原方程组有无穷多组解时的通解为 X = η + k1η1 + k2η 2 ， k1 , k2 为任意常数.―――13 分 七、 （15 分）解：1）二次型的矩阵为
五、 （14 分）解：以 α1 , α 2 ,⋯ , α 2 为列生成矩阵 A ，并对 A 施行初等行变换将其化为行
T T T
最简形.
⎛ 3 1 7 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ 2 −3 1 1 7 ⎟ ⎜ A= r ↔ r3 ⎜ 1 −1 1 −3 −4 ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎝ 3 −4 2 − 2 3 ⎠
k (1,1,⋯ ,1)T , k为任意常数.(4) 1 或－1 (5) 1/ 2( A − E ) .
二、选择题（每题 3 分，共 15 分） （1 ） D (2) C (3) B (4) A (5) C 三、 （10 分）
n
x + ∑ ai
i =1
a2 x + a2 a2
⋯
a3 a3
⋯ ⋯
an an an
1 1 ⎛1 1 ⎜ 1 2 3 3 ( A | b) = ⎜ ⎜ 0 −1 a − 3 −2 ⎜ 1 a ⎝3 2
⋮ 0⎞ ⎟ ⋮ 1⎟ ⋮ b⎟ ⎟ ⋮ −1 ⎠
r2 − r1 r3 − 3r1
1 1 ⎛1 1 ⎜ 2 2 ⎜0 1 ⎜ 0 −1 a − 3 −2 ⎜ ⎝ 0 −1 −2 a − 3
（ ）.
( A) R( A) = 5
( B) R( A) = 4
(C ) R( A) = 3
( D) R( A) = 2
2． 设 n 阶矩阵 A 有 s 个不同的特征值 λ1 , λ2 ,⋯ , λs ， 而且 R (λi E − A) = n − ri , i = 1, 2,⋯ , s 。
如果 A 与对角矩阵相似，则(
⎛1 ⎜ 0 B=⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0
1 1 0 0
1 2 0 0
1 2 0 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0⎞ ⎟ 1⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠
r1 − r2
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
0 −1 −1 1 2 2 0 0 0 0 0 0
⋮ −1 ⎞ ⎟ ⋮ 1⎟ ⋮ 0⎟ ⎟ ⋮ 0⎠
与原方程组等价的方程组为
⎧ x1 = −1 + x3 + x4 ⎨ ⎩ x2 = 1 − 2 x3 − 2 x4 ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎛ x3 ⎞ ⎛ 0 ⎞ 令 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ，得原方程组的一个特解为 η = ⎜ ⎟ 。 ――――――――11 分 ⎜0⎟ ⎝ x4 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝0⎠
⋯
x + a1 a1 解 ： D = a1 ⋯ a1
a2 x + a2 a2 ⋯ a2
a3 a3 x + a3 ⋯ a3
n ⋯ an x + ∑ ai ⋯ an i =1 n ⋯ an = x + ∑ ai ⋯ ⋯ i =1 ⋯ ⋯ x + an n
x + a3 ⋯
⋯ ⋯
x + ∑ ai
i =1
a2
x3 + x4 = 0 ⎧ x1 + x2 + ⎪x + 2x + 3 x3 + 3 x4 = 1 ⎪ 1 2 ⎨ − x2 + (a − 3) x3 − 2 x4 = b ⎪ ⎪ x3 + ax4 = −1 ⎩3 x1 + 2 x2 +
无解、有唯一解、或有无穷多组解？在有无穷多解时，求出其通解.
七、 （15 分）已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 3 x2 + 3 x3 + 4 x2 x3 ，试回答下列问题 1） 写出此二次型的矩阵 A ； 2） 利用正交变换 X = QY 该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型； 3） 判断该二次型是否具有正定性。
。 。