2011年自主招生华约数学试题解析

2011年华约试题解析一、 选择题(1) 设复数z 满足|z|<1且15||2z z+=则|z| = ( )4321A B C D 5432解：由15||2z z +=得25||1||2z z +=，已经转化为一个实数的方程。

解得|z| =2（舍去），12。

(2) 在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且。

则异面直线DM 与AN 所成角的余弦为( ) 1111A B C D 36812[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。

本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。

然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。

解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角。

如图建立坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0)，则11112(,,),,,)222222 M N-，31213(,,),(,,222222DM AN=-=-。

设所成的角为θ，则1c o s6D M A ND M A Nθ==。

解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角。

平移DM与AN在一起。

即M移到N，D移到CD的中点Q。

于是QN = DM = AN。

而PA = PB = AB = 2，所以QN = AN = ，而AQ = ，容易算出等腰ΔAQN的顶角1cos6ANQ∠=。

解法三：也可以平移AN与DM在一起。

即A移到M，N移到PN的中点Q。

以下略。

(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )A 2B1C 1D 2 - -此题有误，原题丢了，待重新找找。

(4)若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 ( ) 3131A1,B ,C1,1D ,122222222--+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。

解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222A B A B A B +++=+=++ 11cos()cos()1cos()2A B A B A B =++-=--，可见答案是B[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。

我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。

解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，222112O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故1212211()22O CA O CB OO O OO O πα-∠+∠=∠+∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2αβ=。

解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212OO O OO O πα-∠=∠=，1212124O CA O CB OO O πα-∠=∠=∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2αβ=。

(6) 已知异面直线a ，b 成60°角。

A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( )A 有且只有一个B 有且只有两个C 有且只有三个 D有且只有四个[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。

因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。

于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。

答案是4个。

(7) 已知向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)22a b c xa yb zc ==--=-++=则222x y z ++ 的最小值为( )43A1B C D 232解：由(1,1)xa yb zc ++=得1)122211222y z y z y z y z x x ⎧⎧-+=--=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222222()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y + z ，y - z三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩，代入 222222()()2y z y z x y z x ++-++=+222228242(1)343()3333x x x x x =+-+=-+=-+，答案B (8)AB 为过抛物线y 2 = 4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 ()A B C D 533解法一：焦点F （1，0），C （-1，0），AB 方程y = x – 1，与抛物线方程y 2 =4x 联立，解得2222222)A B (3+2+(3-2-，，于是22CA CB k k ==，tan 1CA CB CA CB k k ACB k k -∠==+，答案A解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠BAD = 45°，EF ∥DA ，EF = 2，AF = AD ，BF = BC ，求∠AEB 。

tan tan 2DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠===。

类似的，有 tan tan 2BEF EBC ∠=∠=，2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠， tan tan 2AEB AEF ∠=∠= A解：BDF BDE BDE DF S S zS DE ∆∆∆==，(1)BDE ABE ABE BDS S x S AB∆∆∆==-， ABE ABC ABC AES S yS AC∆∆∆==，于是(1)2(1)B D FA B C S x y z S x y z ∆∆=-=-。

将11y z x y z x +-=+=+，变形为，暂时将x 看成常数，欲使yz 取得最大值必须12x y z +==，于是21(1)(1)2BDF S x x ∆=-+，解这个一元函数的极值问题，13x =时取极大值1627。

(10) 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（）A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。

如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角。

事实上，∠D ≥∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B，所以∠D为钝角。

这样就排除了B，C。

下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。

假设ΔABC中∠B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC) ΔACD，则∠D = 180°-∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。

所以答案是D 。

二、 解答题解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（II ）由已知tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知tan3B B π==。

又11242si n2si n 2s i n2s i n 3A CB π+===，sin 2sin 2sin 2sin 2A C A C +=，sin()cos()cos 2()cos 2()A C A C A C A C +-=--+，而si n ()sinA CB +==， 1cos 2()cos 22A CB +==-，代入得2cos 2()13cos()AC A C -+=-，24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，cos 12A C -=（12）已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。

质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。

（I ）若b = 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？解：不妨设水杯高为1。

（I ）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。

水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320+=+ (II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。

设装x 克水。

这时，水杯质量 ：水的质量 = a ：x 。

水杯的重心位置为12，水的重心位置为2x b ，水面位置为xb，于是122xax xb a x b+=+，解得x a =（13）已知函数21()(1)1()2x f x f f ax b ===+2，，3。

令111()2n n x x f x +==，。

(I)求数列{}n x 的通项公式；(II)证明12112n x x x e +>。

解：由12(1)1()1()21xf f a b f x x =====+2，得，3(I)先求出123412482359x x x x ====，，，，猜想11221n n n x --=+。

用数学归纳法证明。

当n = 1显然成立；假设n = k 显然成立，即11221k k k x --=+，则122()121kk k k k k x x f x x +===++，得证。

(II) 我们证明12112n e x x x +>。

事实上，12111112(1)(1)(1)242nn x x x +=+++。

我们注意到 2212(1)12(1)nna a a a +<++<+，，，于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222n n nn n n n e x x x -+++-+<+=+<+<（14）已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F Fa b-=>>分别为C 的左右焦点。