10平面向量(学校综合素质评价与强基计划)系列培训教材

强基计划
招生试题分类汇编——平面向量
4．（2010年北约）向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，
01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当01
05t <<时，夹角的取值范围．
（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令
2
22()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．
其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1
154cos 3
αα+-+≤≤．
当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<
． 当12cos 1054cos α
α
+-<+≤
时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．
于是夹角的范围为2[,]23
ππ
．
（4）（2012年华约）向量a e ≠r r ，||1e =r 。

若,||||t R a te a e ∀∈-≥+r r r r
，则（ ）
(A) a e ⊥r r (B) ()a a e ⊥+r r r (C) ()e a e ⊥+r r r (D)
()()a e a e -⊥+r r r r
解析：由于,||||t R a te a e ∀∈-≥+r r r r ，那么22||||a te a e -≥+r r r r ，即22
()()a te a e -≥+r r r r ，从
而有
2222222e t a et a e a e a -⋅+≥+⋅+r r r r r r r r
即t R ∀∈，22120t a et a e -⋅--⋅≥r r r r ，因此24()4(12)0a e a e ⋅++⋅≤r r r r ，得到2
(1)0a e ⋅+≤r r ，
即1a e ⋅=-r r 。

因此有2
()||110e a e e a e ⋅+=⋅+=-+=r r r r r r ，从而
()e a e ⊥+r r r 。

选C
7、（2011年华约）
已知向量
11(0,1),(),(),(1,1)2222
a b c xa yb zc ==--=-++=r r r r r r
则222x y z ++ 的最小值为( )
43
A1
B C D 232 解：由(1,1)xa yb zc ++=r r r
得
1)122211222
y z y z y z y z x x ⎧⎧-+=--=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222222
()()2
y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y
+ z ，y - z
三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧
-=⎪
⎨⎪+=-⎩
，代入
222222
()()2
y z y z x y z x ++-++=+
22222824
2(1)343()3333
x x x x x =+-+=-+=-+，答案B
2．（2010年华约）设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为
（ D ）
（A ）2 （B
（C ）1 （D
4.(填空)12,n n 是两个夹角为θ的单位矢量.以12,n n 为基底的坐标系中1222(,),(,)A x y B x y ,求
||AB .
【解】以1n 方向为x 轴建立直角坐标系,
于是,A B 的直角坐标为111222(cos ,sin ),(cos ,sin )x y y x y y θθθθ++,则
222121212||(cos cos )(sin sin )AB x x y y y y θθθθ=-+-+-
2212121212()()2()()cos x x y y x x y y θ=-+-+--,
于是||AB =1、
（2013年卓越联盟）设点O 在ABC △的内部，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中
点，且21OD OE +=u u u r u u u r ，则23OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r
．
答案:（理科）2． 2、
（2013年卓越联盟）设点O 在ABC △内部，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，
且232OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r ，则2OD OE +=u u u r u u u r
．
答案:（文科）1．
（4）（2012年卓越联盟）已知ABC ∆中，o 90A ∠=，4BC =，点A 是线段EF 的中点，2EF =，若EF u u u v 与BC u u u v 的夹角为o 60，则BE CF u u u v u u u v g = 。

【解答】根据条件知()()BE CF BA EA CA FA BA CA BA FA EA CA EA FA ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
()
011114cos6011EA CA BA EA EA BA CA EA BC =-⋅+⋅-=⋅--=⋅-=⨯⨯︒-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v。

(1) （2011年卓越联盟）向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( B )
(A )
6
π
(B )
3
π
(C )
23
π (D )
56
π。