湖北省荆门市2019-2020学年高二数学上学期期末
湖北省荆门市2019-2020学年高二上学期期末质量检测数学(理)试题 Word版含解析
湖北省荆门市2019-2020学年度上学期期末高二年级质量检测数学试题（理）(解析版) 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.经过点，倾斜角为的直线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出直线的斜率，再由点斜式求得直线的方程．【详解】倾斜角为的直线的斜率，再根据直线经过点，由点斜式求得直线的方程为，即，故选：D．【点睛】本题考查了由点斜式的方法求直线的方程，属于基础题．2. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.考点：分层抽样．3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为15，则输出N的值为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量N的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得满足条件N能被3整除，不满足条件，执行循环体，不满足条件N能被3整除，不满足条件，执行循环体，不满足条件N能被3整除，满足条件，退出循环，输出N的值为3．故选：D．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于基础题．4.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设大圆的半径为R，则：，则大圆面积为：，小圆面积为：，则满足题意的概率值为：.本题选择B选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.5.设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。
湖北省荆门市2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高二上学期期末数学试卷一、选择题1．直线2x﹣3y﹣6＝0在y轴上的截距为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣32．圆心为C（﹣1，1），半径为2的圆的方程为（）A．x2+y2+2x﹣2y﹣2＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣2＝0C．x2+y2+2x﹣2y＝0 D．x2+y2﹣2x+2y＝03．抛物线y＝2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，）D．（，0）4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（）A．第2天B．第3天C．第4天D．第5天5．A，B是双曲线的左、右顶点，P为双曲线上异于A，B的一点，则直线PA，PB的斜率之积为（）A．B．C．D．6．已知等差数列{a n}前n项的和为S n，若S9＝27，a10＝8，则S14＝（）A．154 B．153 C．77 D．787．已知直线l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，则m的值为（）A．﹣1 B．C．或﹣2 D．﹣1或﹣2 8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝3，则＝（）A．2 B．C．D．39．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接F并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为（）A．B．C．或D．10．等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，则（）A．d＜0，S n随n的增大而减小B．d＞0，S n随n的增大而增大C．d＜0，S n+2﹣S n随n的增大而增大D．d＞0，S n+2﹣S n随n的增大而增大11．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x﹣y+2＝0，则顶点C的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣3，1）D．（﹣4，﹣2）12．设F是椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点，P是C上的点，圆x2+y2＝与直线PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题）13．平行线l1：3x﹣2y﹣5＝0与l2：6x﹣4y+3＝0之间的距离为．14．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P（1，1）为中点，则弦AB所在直线方程是．15．已知圆C：x2+y2﹣10y+16＝0上有且仅有三个点到双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为．16．数列{a n}的前n项和为S n，且满足（a n+1﹣a n）2+2＝3（a n+1﹣a n），且a50＝1，则S100的最小值为．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知双曲线的焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），且该双曲线过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上的点M满足MF1⊥MF2，求△MF1F2的面积．18．在平面直角坐标系中，设直线x+y﹣m＝0（m∈R）与圆O：x2+y2＝8交于不同两点A，B．（1）求实数m的取值范围；（2）若圆上存在点C使得△ABC为等边三角形，求实数m的值．19．已知{a n}是公比为整数的等比数列，a2＝9，且a1，a2+6，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（4n﹣1）a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．20．已知直线y＝2x﹣m与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于点A，B．（1）m＝p且|AB|＝5，求抛物线C的方程；（2）若m＝4p，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．21．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为（n2﹣n+2）万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元．（Ⅰ）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；（Ⅱ）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？22．已知F1，F2分别为椭圆C：＝1（b＞0）的左右焦点．（1）当b＝1时，点P为椭圆C上一点且P位于第一象限，若，求点P 的坐标；（2）当椭圆焦距为2时，直线y＝kx+m交椭圆C交于A，B两点，且k OA•k OB＝﹣，判断△AOB的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线2x﹣3y﹣6＝0在y轴上的截距为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【分析】直线ax+by+c＝0中，令x＝0，得直线在y轴上的截距为﹣．解：直线2x﹣3y﹣6＝0，令x＝0，得y＝﹣2．∴直线2x﹣3y﹣6＝0在y轴上的截距为﹣2．故选：B．2．圆心为C（﹣1，1），半径为2的圆的方程为（）A．x2+y2+2x﹣2y﹣2＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣2＝0C．x2+y2+2x﹣2y＝0 D．x2+y2﹣2x+2y＝0【分析】由题意先求出圆的标准方程，再把它化为一般方程，可得结论．解：圆心为C（﹣1，1），半径为2的圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝4，即x2+y2+2x ﹣2y﹣2＝0，故选：A．3．抛物线y＝2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，）D．（，0）【分析】将抛物线化为标准方程，结合抛物线的性质，可得答案．解：抛物线y＝2x2的标准方程为：x2＝y，故抛物线y＝2x2的焦点坐标是（0，），故选：C．4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（）A．第2天B．第3天C．第4天D．第5天【分析】利用已知条件，逐步求出结果即可．解：第一天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：1+1＝2；第二天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：2+0.5＝2.5，两天总和：2+2.5＝4.5，第三天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：4+0.25＝4.25，厚墙5尺，第3天不足打洞尺数，所以两鼠在第3天相遇故选：B．5．A，B是双曲线的左、右顶点，P为双曲线上异于A，B的一点，则直线PA，PB的斜率之积为（）A．B．C．D．【分析】求出A、B坐标，设出P，利用已知条件，列出关系式，求解即可．解：A，B是双曲线的左、右顶点，所以A（﹣3，0），B（3，0），设P（m，n），则：双曲线，所以n2＝，直线PA，PB的斜率之积：＝＝＝．故选：C．6．已知等差数列{a n}前n项的和为S n，若S9＝27，a10＝8，则S14＝（）A．154 B．153 C．77 D．78【分析】根据题意，由S9＝＝9a5＝27，解可得a5＝3，又由S14＝＝，计算可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中，若S9＝27，即S9＝＝9a5＝27，解可得a5＝3，又由a10＝8，则S14＝＝＝77，故选：C．7．已知直线l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，则m的值为（）A．﹣1 B．C．或﹣2 D．﹣1或﹣2【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．解：∵直线l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，∴，解得m＝﹣1．故选：A．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝3，则＝（）A．2 B．C．D．3【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n 项和公式则求得答案．解：设公比为q，则＝＝＝1+q3＝3，所以q3＝2，所以＝＝＝．故选：B．9．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接F并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为（）A．B．C．或D．【分析】过点Q作准线x＝﹣1的垂线，垂足为M，由抛物线的定义得|QM|＝|QF|，从而可求出直线PF的斜率，根据点斜式写出直线方程．解：由题意，F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，过点Q作准线的垂线，垂足为M，由点P的纵坐标为负数可知点Q在第一象限，由抛物线的定义可得|QM|＝|QF|，∵，∴，∴∠MPQ＝60°，从而直线PF的倾斜角为30°，斜率为，∴直线PF的方程为：，即．故选：D．10．等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，则（）A．d＜0，S n随n的增大而减小B．d＞0，S n随n的增大而增大C．d＜0，S n+2﹣S n随n的增大而增大D．d＞0，S n+2﹣S n随n的增大而增大【分析】根据题意，由等差数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，S n﹣S n﹣1＝a n，当a n＜0时，S n随n的增大而减小，与d无关，A错误；对于B，S n﹣S n﹣1＝a n，当a n＞0时，S n随n的增大而增大，与d无关，B错误；对于C，S n+2﹣S n＝a n+1+a n+2，当d＜0时，等差数列{a n}为递减数列，S n+2﹣S n随n的增大而减小，C错误；对于D，S n+2﹣S n＝a n+1+a n+2，当d＞0时，等差数列{a n}为递增数列，S n+2﹣S n随n的增大而增大，D正确；故选：D．11．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x﹣y+2＝0，则顶点C的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣3，1）D．（﹣4，﹣2）【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．解：设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（，），代入欧拉线方程得：﹣+2＝0，整理得：m﹣n+4＝0 ①AB的中点为（1，2），kAB＝＝﹣2，AB的中垂线方程为y﹣2＝（x﹣1），即x﹣2y+3＝0．联立，解得．∴△ABC的外心为（﹣1，1）．则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4．当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（﹣4，0）．故选：A．12．设F是椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点，P是C上的点，圆x2+y2＝与直线PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】取AB中点H，椭圆另一个焦点为E，连结PE根据平面几何的知识、勾股定理及中位线的性质得a＝5d解：如图，取AB中点H，椭圆另一个焦点为E，连结PE．∵A、B三等分线段PF，∴H也是AB中点，即OH⊥AB设OH＝d，则PE＝2d，PF＝2a﹣2d，AH＝，在Rt△OHA中，OA2＝OH2+AH2，解得a＝5d．在Rt△OHF中，FH＝，OH＝，OF＝c，由OF2＝OH2+FH2化简得17a2＝25c2，．即C的离心率为．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上相应位置）13．平行线l1：3x﹣2y﹣5＝0与l2：6x﹣4y+3＝0之间的距离为．【分析】将l1方程化成6x﹣4y﹣10＝0，再利用两条平行线之间的距离公式加以计算，即可得到l1与l2之间的距离．解：将l1：3x﹣2y﹣5＝0化成6x﹣4y﹣10＝0∴l1：3x﹣2y﹣5＝0与l2：6x﹣4y+3＝0之间的距离为d＝＝＝故答案为：14．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P（1，1）为中点，则弦AB所在直线方程是2x ﹣y﹣1＝0 ．【分析】设出A，B坐标，分别代入抛物线方程，两式相减整理，利用中点的纵坐标求得直线AB的斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得y12＝4x1，①，y22＝4x2，②，①﹣②整理得k＝＝＝2，则弦AB所在直线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即为2x﹣y﹣1＝0．故答案为：2x﹣y﹣1＝0．15．已知圆C：x2+y2﹣10y+16＝0上有且仅有三个点到双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为．【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，写出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得圆心到双曲线渐近线的距离等于2，由此列式求解双曲线离心率的取值．解：圆C：x2+y2﹣10y+16＝0可化为x2+（y﹣5）2＝9，可得圆心为（0，5），半径r＝3，∵圆C：x2+y2﹣10y+16＝0上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，∴圆心到双曲线渐近线的距离为2，由对称性不妨取双曲线的一条渐近线为bx﹣ay＝0，∴＝2，即为5a＝2c，则e＝＝，故答案为：．16．数列{a n}的前n项和为S n，且满足（a n+1﹣a n）2+2＝3（a n+1﹣a n），且a50＝1，则S100的最小值为﹣1075 ．【分析】利用已知条件求出数列的公差，然后转化求解S100的最小值．解：由条件满足（a n+1﹣a n）2+2＝3（a n+1﹣a n），得a n+1﹣a n＝2或a n+1﹣a n＝1，由a50＝1知，当n≤49时，a n＜0；当n≥51时，a n＞0．故当前50项的公差为2，后50项的公差为1时，数列的前100项和最小．所以．故答案为：﹣1075．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知双曲线的焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），且该双曲线过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上的点M满足MF1⊥MF2，求△MF1F2的面积．【分析】（1）设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），运用双曲线的定义，以及两点的距离公式可得a，结合a，b，c的关系，可得b，c，即可得到所求双曲线的方程；（2）由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、面积公式，化简可得所求值．解：（1）设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由F1（﹣4，0），F2（4，0），且该双曲线过点，可得＝，∴，又c＝4，∴，∴双曲线的标准方程为；（2）由，得|MF1|•|MF2|＝8，∴|MF1|•|MF2|＝4．18．在平面直角坐标系中，设直线x+y﹣m＝0（m∈R）与圆O：x2+y2＝8交于不同两点A，B．（1）求实数m的取值范围；（2）若圆上存在点C使得△ABC为等边三角形，求实数m的值．【分析】（1）由题意知圆心O到直线的距离，即可解出答案．（2）有题知圆周角，得圆心角，则圆心O到直线的距离，就可解得m的值．【解答】（1）由题意知圆心O到直线的距离，解得﹣4＜m＜4，所以m的取值范围为﹣4＜m＜4；（2）∵△ABC为等边三角形，∴圆周角，得圆心角，则圆心O到直线的距离，解得m＝±2．19．已知{a n}是公比为整数的等比数列，a2＝9，且a1，a2+6，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（4n﹣1）a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设{a n}是公比q为整数的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝（4n﹣1）a n＝（4n﹣1）•3n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．解：（1）{a n}是公比q为整数的等比数列，a2＝9，且a1，a2+6，a3成等差数列，可得a1q＝9，2（a2+6）＝a1+a3，即2（a1q+6）＝a1+a1q2，解得a1＝q＝3，则a n＝3n（n∈N*）；（2）b n＝（4n﹣1）a n＝（4n﹣1）•3n，前n项和S n＝3•3+7•9+11•27+…+（4n﹣1）•3n，3S n＝3•9+7•27+11•81+…+（4n﹣1）•3n+1，相减可得﹣2S n＝9+4（9+27+…+3n）﹣（4n﹣1）•3n+1＝9+4•﹣（4n﹣1）•3n+1，化简可得S n＝（2n﹣）•3n+1+．20．已知直线y＝2x﹣m与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于点A，B．（1）m＝p且|AB|＝5，求抛物线C的方程；（2）若m＝4p，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．【分析】（1）联立直线y＝2x﹣p和抛物线方程，可得x的二次方程，应用韦达定理和弦长公式，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；（2）y＝2x﹣4p联立抛物线方程y2＝2px，可得x的二次方程，应用韦达定理和两直线垂直的条件，化简计算可得证明．解：（1）直线y＝2x﹣p与抛物线C：y2＝2px（p＞0）联立，可得4x2﹣6p+p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝p，x1x2＝，|AB|＝•＝•＝5，解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x；（2）证明：由y＝2x﹣4p联立抛物线方程y2＝2px，可得2x2﹣9px+8p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝p，x1x2＝4p2，即有y1y2＝•（﹣）＝﹣2p＝﹣﹣4p2，即有x1x2+y1y2＝0，可得OA⊥OB．21．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为（n2﹣n+2）万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元．（Ⅰ）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；（Ⅱ）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？【分析】（Ⅰ）利用S n＝（n2﹣n+2），即a n＝S n﹣S n﹣1，可求a n的表达式；n≥2时，b n﹣b n﹣1＝，利用b n＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1），可求b n的表达式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中a n，b n的表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．解：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为S n，第n年销售额为a n则S n＝（n2﹣n+2）（n ≥2），因为n＝1时，a1＝a，则n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2﹣n+2）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）+2]＝a（n﹣1），故a n＝；设乙超市第n年销售额为b n，又b1＝a，n≥2时，b n﹣b n﹣1＝故b n＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）＝[3﹣2•（）n﹣1]a．显然n＝1也适合，故b n＝[3﹣2•（）n﹣1]a（n∈N*）．（Ⅱ）当n＝2时，a2＝a，b2＝a，有a2＞b2；当n＝3时，a3＝2a，b3＝a，有a3＞b3；当n≥4时，a n≥3a，而b n＜3a，故乙超市有可能被收购．当n≥4时，令a n＞b n，则（n﹣1）a＞[3﹣2•（）n﹣1]a，∴n﹣1＞6﹣4•（）n ﹣1，即n＞7﹣4•（）n﹣1．又当n≥7时，0＜4•（）n﹣1＜1，故当n∈N*且n≥7时，必有n＞7﹣4•（）n﹣1．即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购22．已知F1，F2分别为椭圆C：＝1（b＞0）的左右焦点．（1）当b＝1时，点P为椭圆C上一点且P位于第一象限，若，求点P 的坐标；（2）当椭圆焦距为2时，直线y＝kx+m交椭圆C交于A，B两点，且k OA•k OB＝﹣，判断△AOB的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）当b＝1时，椭圆方程为，则，设P（x，y）（x＞0，y＞0），通过得：，求出P的坐标．（2）联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理，结合，推出2m2﹣4k2＝3，利用弦长公式以及点到直线的距离，求解三角形的面积，推出结果．解：（1）当b＝1时，椭圆方程为，则，设P（x，y）（x＞0，y＞0）则，由得：，结合解得，所以点P坐标为．（2）由题意知椭圆c＝1，b2＝3所以椭圆方程为：联立可得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△＝3+4k2﹣m2＞0①且，，由可得，∴，∴2m2﹣4k2＝3，满足①∵，又原点到直线的距离，∴为定值．。
湖北省荆州市公安县2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
2019—2020学年度上学期期末考试高二数学试题命题人： 审题人：本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1. 本试卷分为试题卷[含选择题和非选择题]和答题卡[含填涂卡和答题框]两大部分.2. 考试在答题前，请先将自己的学校、班级、姓名、考号填在答题卡密封线内指定的地方.3. 选择题的答案选出后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标涂黑.非选择题请在答题卡指定的地方作答，本试卷上作答无效.4. 考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知复数i iz 212++=，则下列结论中正确的是（ ） A. z 的虚部为i B. 2z = C. 1z i =-+ D. 2z 为纯虚数 2. 已知等差数列{}n a 的首项为1，且532a a a =+，则3a =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 若直线l 经过()2,1A ，()()21B m m R -∈两点，则直线l 倾斜角α的取值范围是（ ） A. 40πα≤≤ B. 24παπ<≤ C. 432παπ≤< D. παπ<≤43 4. 已知数列{}n a 为等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“12a a >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知点()111,P x y ，()222,P x y 满足1，1x ，2x ，7依次成等差数列，1，1y ，2y ，8依次成等比数列，若1P ，2P 两点关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A. 10x y ++=B. 10x y --=C. 70x y +-=D. 250x y --=6. 已知直线10kx y k -+-=恒过定点A ，且点A 在直线()200,0mx ny m n +-=>>上，则mn 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（ ）A. 43y x =±B. 34y x =±C. 54y x =±D. 45y x =± 8. 设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3333++=n n T S n n ，则使Z b a n n ∈的n 的个数为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6 9. 直线l 过抛物线C ：22y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，若2BF =，则AF =（ ） A.25 B. 125 C. 23 D. 8310. 已知向量()cos ,sin a αα=r ，()2cos ,2sin b ββ=r ，若a r 与b r 的夹角为60︒，则直线01sin 2cos 2=-+ααy x 与圆()()22cos sin 1x y ββ-+-=的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交但不过圆心D. 相交且过圆心 11. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴端点为A 、B ，若椭圆上存在一点P 使120APB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. ⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛36,0 B. ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡1,36 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,36 D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,36 12. 已知曲线1C 的方程为221x y +=，过平面上一点1P 作1C 的两条切线，切点分别为1A ，1B 且满足11160A PB ∠=︒，记1P 的轨迹为2C ，过一点2P 作2C 的两条切线，切点分别为2A ，2B 且满足22260A P B ∠=︒，记2P 的轨迹为3C ，按上述规律一直进行下去……，设点n A 与1n A +之间距离的最小值为n a ，且n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则满足12100n S -<的最小的n 为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填写在答题卡中对应的横线上.）13. 在空间直角坐标系中，已知两点()5,1,P a 与()5,,4Q b 关于坐标平面xOy 对称，则a b +=______.14. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，628S =，则9S =______.15. 若圆229x y +=上恰有3个点到直线l ：0x y t ++=的距离为1，则实数t =______. 16. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为()123123,,0k k k k k k ≠.若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为-1（O 为坐标原点），则123111k k k ++=______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17. 已知直线l 的方程为()220ax y a a R +--=∈.（1）若直线l 与直线m ：20x y -=垂直，求实数a 的值；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，点列(),n S n n N n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在直线y x =上. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 19. 已知圆M ：()()22121x y ++-=，直线l 过原点()0,0O . （1）若直线l 与圆M 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆M 交于P ，Q 两点，当MPQ △的面积最大时，求直线l 的方程.20. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为14-. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若直线()112y x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AOB △的面积为4（O 为坐标原点），求椭圆C 的标准方程.21. 已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，准线l 与y 轴的交点为M ，动点A 在抛物线C 上，当AF 与y 轴垂直时，2AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AF 与抛物线C 交于另一点B ，证明：AMF BMF ∠=∠.22. 已知等比数列{}n a 满足34528a a a ++=，且42a +是3a ，5a 的等差中项；数列{}n b 满足11b =，数列(){}1n n n b b a +-的前n 项和为22n n +.（1）求数列{}n a 公比q 的值；（2）若数列{}n a 的公比1q >，求数列{}n b 的通项公式.高二年级上学期期末考试数学参考答案一、选择题1-5：DBBAC6-10：AACCD 11-12：BD 二、填空题13. -3 14. 9115. ± 16. 2三、解答题17. 解析：（1）∵直线l 与直线m ：20x y -=垂直，∴220a -=，解得1a =.（2）当0a =时，直线l 化为：1y =.不满足题意.当0a ≠时，可得直线l 与坐标轴的交点为20,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,0a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵直线l 在两轴上的截距相等，∴222a a a ++=， 解得：2a =±.∴该直线的方程为：0x y -=，20x y +-=.18. 解析：（1）依题意有n S n n=，即2n S n =， 当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，又1n =时上式也成立，∴21n a n =-.（2）()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.19. 解析：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时直线l 与圆M 相切，∴0x =符合题意：当直线l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，则直线l 方程为y kx =，即0kx y -=.1=，解得34k =-， 即直线l 的方程为0x =或340x y +=；（2）∵直线l 与圆M 交于P ，Q 两点，∴直线l 的斜率存在， 设直线方程为y kx =，圆心到直线l 的距离为d ， 由于11sin sin 22MPQ S MP MQ PMQ PMQ =∠=∠△， ∴当sin PMQ ∠取最大值1，即90PMQ ∠=︒时MPQ △的面积最大. 此时MPQ △为等腰直角三角形，d =，=，解得1k =-或7k =-. 故直线l 的方程为：0x y +=或70x y +=.20. 解析：（1）由题，椭圆上顶点的坐标为()0,b ，左右顶点的坐标分别为(),0a -、(),0a ， ∴14b b a a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，即224a b =，则2a b =， 又222a bc =+，∴c =，所以椭圆的离心率c e a == （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()222214112x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得：2222140x x b ++-=， ∴121x x +=-，212142b x x -=， ∴A B ===又原点O 到直线的距离d =∴12AB d⋅⋅== ∴21b =，则24a =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. 21. 解析：（1）抛物线C ：()220x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当AF 与y 轴垂直时，易得,2p A p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，即2AF p ==， 则抛物线方程为24x y =； （2）由题意可得()0,1F ，()0,1M -，设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线AB ：1y kx =+，代入抛物线方程24x y =，可得2440x kx --=， ∴124x x k +=，124x x =-，()()2212121212121144404AM BM x x x x x x k k x x x x +++++=+==， 因此可得AMF BMF ∠=∠.22. 解析：（1）由题可得43542428a a a a +=+=-，解得48a =， 所以88828q q++=， 解得12q =或2. （2）由于1q >，则2q =，12n n a -=，设()()1112n n n n n n n c b b a b b -++=-=-，可得1n =时，1123c =+=， 2n ≥时，可得()()22212121n c n n n n n =+----=+， 上式对1n =也成立，则()121n n n b b a n +-=+， 即有()111212n n n b b n -+⎛⎫-=+⋅ ⎪⎝⎭，则当2n ≥时， ()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-()01211113521222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， ()12111111352122222n n b n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，两式相减可得 ()221171111221222222n n n b n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L()21111227122112212n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⋅ ⎪⎝⎭-， 化简可得()2111232n n b n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭（1b 也符合）.。
2019-2020学年湖北省荆州高二上学期期末考试数学试题（解析版
2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中两校高二上学期期末考试数学试题一、单选题 1．复数231iz i+=-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．12-B ．12i -C ．52D ．52i 【答案】C【解析】根据复数的除法运算以及复数的概念即可求解. 【详解】()()()()231231511122i i i z i i i i +++===-+--+，故复数的虚部为52，故选：C 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的概念，属于基础题. 2．(2,,0)a m =，(1,3,1)b n =-，若a //b ,则m n +=（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】根据向量共线定理即可求解. 【详解】由a //b ,且(2,,0)a m =，(1,3,1)b n =-， 则存在非零实数λ使得λab ，即()2301m n λλλ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得6m =，1n =， 所以7m n +=. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量共线定理，需掌握向量共线定理的内容，属于基础题.3．椭圆2218x y m +=的焦距为4，则m 的值为（ ）A ．12B ．4C ．12或4D ．10或6【答案】C【解析】由椭圆的标准方程222a b c =+即可求解. 【详解】因为双曲线的焦距为24c =，则2c =， 由222a b c =+，当焦点在x 轴上时， 即28212m =+=，解得12m = 当焦点在y 轴上时，即282m =+，解得4m =. 故4m =或12. 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，需熟记,,a b c 之间的关系，属于基础题. 4．曲线31233y x x =-+在点（1，43）处的切线的倾斜角为（ ）A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π【答案】D【解析】首先对函数31233y x x =-+求导，求出()1f '的值，根据导数的几何意义以及倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】 由31233y x x =-+，则22y x '=-， 所以21121x y ==-=-'，所以切线的斜率为1-，由tan 1k α==-，所以34πα=， 故选：D 【点睛】本题考查了导数的计算以及导数的几何意义、倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 5．已知α，β是相异两平面；,m n 是相异两直线，则下列命题中假命题的是 （ ）A ．若m n ，m α⊥，则n α⊥B ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥C ．若m α，n αβ=，则m nD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ 【答案】C【解析】在A 中，由直线与平面垂直的判定定理可得真假； 在B 中，由平面与平面平行的判定定理可得真假； 在C 中，m 与n 平行或异面；在D 中，由平面与平面垂直的判定定理可得真假． 【详解】解：在A 中：若m n ，m α⊥，则由直线与平面垂直的判定定理得n α⊥，故A 正确；在B 中：若m α⊥，m β⊥，则由平面与平面平行的判定定理得αβ∥，故B 正确； 在C 中：若m α，n αβ=，则m 与n 平行或异面，故C 错误；在D 中：若m α⊥，m β⊂，则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥，故D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，22019,a a 是函数2()65f x x x =-+的两个零点，则2020S 的值为（ ）A ．6B ．12C ．2020D ．6060【答案】D【解析】根据题意判断数列{}n a 为等差数列，由函数的零点与方程根的关系可得220196a a +=，再由等差数列的性质以及等差数列的前n 和的公式即可求解. 【详解】数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+，∴数列{}n a 为等差数列，又22019,a a 是函数2()65f x x x =-+的两个零点，即22019,a a 是方程2650x x -+=的两个根，220196a a ∴+=，()()1202022019202020202020606022a a a a S +⋅+⋅∴===，故选：D 【点睛】本题主要考查了等差中项、函数与方程的关系、等差数列的性质以及前n 和的公式，属于基本知识的考查，属于基础题.7．平面直角坐标系内，到点(2,3)A 和直线:280l x y +-=距离相等的点的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【答案】A【解析】根据已知判断点A 是否在直线上，即可结合抛物线的定义判断正确选项，据此解答此题，此题属于基础题. 【详解】由题意，点(2,3)A 在直线:280l x y +-=， 即动点到点A 的距离与动点到直线l 的距离相等， 点(2,3)A 满足直线:280l x y +-=方程， 所以动点的轨迹是一条过A 与直线垂直的直线. 故选：A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，需注意抛物线定义中满足的条件，属于基础题.8．过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别,A B ,O 为坐标原点，则OAB∆的外接圆方程为（ ） A ．()()222+1=5x y -- B ．()()22+2++1=20x y C ．()()224+2=5x y -- D ．()()22+4++2=2x y【答案】A【解析】由题意知OA PA ⊥，BO PB ⊥，四边形AOBP 的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是OP ，AOB ∆外接圆就是四边形AOBP 的外接圆. 【详解】由题意知，OA PA ⊥，BO PB ⊥，∴四边形AOBP 有一组对角都等于90，∴四边形AOBP 的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是OP ，OP 的中点为()2,1，25OP =，∴四边形AOBP 的外接圆方程为()()222+1=5x y --，∴AOB ∆外接圆的方程为()()222+1=5x y --.故选：A 【点睛】本题考查了圆的标准方程，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题.9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点0(2,)M y 在抛物线C 上，M 与直线l 相切于点E ，且3EMF π∠=，则M 的半径为（ ）A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】C【解析】依据图像运用抛物线的定义及直线与圆相切，可得22222p p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，求出p ，进而得到M 的半径．【详解】如图所示，连接ME ，依题意ME l ⊥，过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ， 在Rt MFH ∆中，||2||MF FH =， 由抛物线定义可得||||ME MF =，则22222p p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得43p =， 故M 的半径为8223p +=， 故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与圆相切，考查逻辑推理，数学运算的核心素养，属于中档题．10．如图，正方形ABCD 沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为( )A ．2B ．12C ．3 D ．5 【答案】C【解析】设正方形边长为a ，AC 和BD 的交点为O ，过O 作BC 的平行线OE 交CD 于E ,则二面角B CD A --就是BEO ∠，由平面BAC ⊥平面DAC ，在BEO ∆中即可求解. 【详解】设正方形边长为a ，AC 和BD 的交点为O ， 过O 作BC 的平行线OE 交CD 于E , 则二面角B CD A --的平面角就是BEO ∠， 因2AO =，12OE a =，且平面BAC ⊥平面DAC ，BO AC ⊥，所以BO OE ⊥，所以222234BE BO OE a =+=，即3BE =，所以32cos 3aOE BEO BE a∠===， 故选： C 【点睛】本题主要考查面面角，解题的关键是作出二面角，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.11．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos cos b cB C a+=+，8sin bcA=，则ABC ∆的周长的最小值为( ) A ．3 B ．332+C ．4D ．442+【答案】D【解析】根据正弦定理边化角求出角90A =，从而可求出8bc =，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为cos cos b c B C a +=+，根据正弦定理可得sin sin cos cos sin B CB C A+=+， 所以()()sin sin sin cos sin cos A C A B A B A C +++=+， 所以cos sin cos sin 0A C A B +=，即()cos sin sin 0A C B +=， 在ABC ∆中，sin sin 0C B +≠，故cos 0A =，90A ∴=sin 1A =，则8bc =，所以2222442a b c b c b c bc bc ++=+++≥+=+， 当且仅当b c =时取等号，综上ABC ∆的周长的最小值为442+. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理以及基本不等式求最值，注意在利用基本不等式时需验证等号成立的条件，属于基础题. 12．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设，则，由题设可得，解之得，故，又由可知点是中点，则，代入双曲线方程可得，即，所以，应选答案A 。
19-20学年湖北省荆门市高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年湖北省荆门市高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x+√3y+1=0在x轴上的截距是()A. −√33B. √33C. 1D. −12.圆心为(1,0)，半径长为1的圆的方程为()A. x2−2x+y2=0B. x2+2x+y2=0C. x2+y2+2y=0D. x2+y2−2y=03.抛物线y=−2x2的焦点坐标是()A. (−12,0) B. (−1,0) C. (0,−18) D. (0,−14)4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第一天走的路程为()A. 192里B. 96里C. 63里D. 6里5.已知A，B分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为()A. √2B. √3C. √5D. √66.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a3+a7=8，则S9等于()A. 272B. 36C. 54D. 1087.已知直线l1:3mx+(m+2)y+1=0，直线l2:(m−2)x+(m+2)y+2=0，且l1//l2，则m的值为()．A. −1B. 12C. 12或−2 D. −1或−28.设等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，则S6S3=()A. 4B. 5C. 8D. 99.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率为−1，则|PF|=()A. 1B. √3C. 2D. 410.设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2a1a n}为递减数列，则()A. d>0B. d<0C. a1d>0D. a1d<011.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x−y+2=0，则顶点C的坐标为A. (−4,0)B. (−2,−2)C. (−3,1)D. (−4,−2)12.已知点F1是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，过点F1作圆x2+y2=a216的切线与椭圆交于P点，切点为M ，若切点M 恰好为线段PF1的中点，则椭圆的离心率e 为()A. √102B. √104C. √52D. √54二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：3x+4y−3=0，直线l2：3x+4y+2=0，则l1与l2之间的距离为______ ．14.过点P(3√3,4)的直线l交抛物线C：x2=18y于A，B两点，若弦AB的中点恰好为P，则直线l的倾斜角为__________．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x−2)2+y2=1相切，则该双曲线的离心率为__________．16.设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n−3，则S2=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1(−2,0)、F2(2,0)点P(3,√7)在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，若△OEF的面积为2√2求直线的方程．18.已知圆C：x2+y2=1与直线l：√3x−y+m=0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点．(1)求实数m的取值范围；(2)若|AB|=√3，求实数m的值．19.已知数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和，且a5=3a2，S7=14a2+7．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{a n+b n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b n(a n+b n)}的前n项和T n．20.已知直线y=x+b与抛物线x2=2y相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求实数b的值．21.甲、乙两个钢铁厂2010年的年产量均为100万吨，两厂通过革新炼钢技术、改善生产条件等措施，预计从2011年起，在今后10年内，甲厂的年产量每年都比上一年增加10万吨；以2010年为第一年，乙厂第n(n∈N∗,n≥2)年的年产量每年都比上一年增加2n−1万吨．(Ⅰ)“十二⋅五”期间(即2011年至2015年)，甲、乙两个钢铁厂的累计钢产量共多少万吨？(Ⅱ)若某钢厂的年产量首次超过另一钢厂年产量的2倍，则该钢厂于当年底将另一钢厂兼并，问：在今后10年内，其中一个钢厂能否被另一个钢厂兼并？若能，请推算出哪个钢厂在哪一年底被兼并；若不能，请说明理由．22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点(−12,√144)，且离心率为√22.过点(√2,−√2)的直线l与椭圆C交于M,N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为椭圆C的右顶点，探究：k PM+k PN是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．(其中k PN，k PN分别是直线PM，PN的斜率)．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查由直线的一般式方程求直线在x轴上的的截距，属于基础题．只需令y=0即可得到答案．解：直线方程x+√3y+1=0，令y=0得到x=−1，即直线x+√3y+1=0在x轴上的截距是−1．故选D．2.答案：A解析：根据题意求得圆的标准方程，并化为一般方程，可得结论．本题主要考查圆的标准方程和一般方程，属于基础题．解析：圆心为(1,0)，半径长为1的圆的方程为(x−1)2+y2=1，即x2−2x+y2=0，故选：A．3.答案：Cy．解析：解：抛物线y=−2x2的方程化为：x2=−12)．∴焦点坐标为(0,−18故选：C．y.即可得出．抛物线y=−2x2的方程化为：x2=−12本题考查了抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查等比数列的概念与求和公式，解题的关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题．根据题意，设此人每天所走的路程数为数列{a n}，其首项为a1，分析可得{a n}是以为a1为首项，12为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得a1的值，即可得答案．解：根据题意，设此人每天所走的路程数为数列{a n}，其首项为a1，即此人第一天走的路程为a1，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则{a n}是以为a1为首项，12为公比的等比数列，又由S6=378，即有a1(1−1 26 )1−12=378，解可得a1=192，即此人第一天走了192里，故选A．5.答案：B解析：解：设P(x,y)，实轴两顶点坐标为(±a,0)，则∵点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，∴yx+a ⋅yx−a=2，∴x2a2=y22a2+1，∵x2a2−y2b2=1，∴y22a2+1−y2b2=1，∴b2=2a2，∴c2=a2+b2=3a2，∴c=√3a，∴e=ca=√3，故选：B．利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b 的关系，从而可求双曲线的离心率．本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．解析：解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3+a 7=8， ∴S 9=92(a 3+a 7)=92×8=36． 故选：B ．由等差数列性质得S 9=92(a 3+a 7)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：D解析：解：∵直线l 1：3mx +(m +2)y +1=0， 直线l 2：(m −2)x +(m +2)y +2=0，且l 1//l 2， ∴3m(m +2)=(m −2)(m +2)，解得m =−1或m =−2， 经验证当m =−1或m =−2时，都有两直线平行． 故选：D由平行关系可得3m(m +2)=(m −2)(m +2)，解方程代入验证可得． 本题考查直线的平行关系，属基础题．8.答案：D解析：本题考查等比数列的前6项和与前3项和的求法，是基础题． 由a6=8a3，利用等比数列项公式q =2，由此能求出S 6S 3．解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，设公比为q ，且满足a 6=8a 3， ∴a6a 3=q 3=8，解得q =2， ∴S 6S 3=a 1(1−q 6)1−q a 1(1−q 3)1−q=1+q 3=9．故选D ．解析：本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，利用抛物线的定义是解决本题的关键，属于中档题．先由题意求出直线AF的方程y=−x+1，从而得到点A的坐标，又PA⊥l，可得点P的纵坐标继而求出P点横坐标，即可求解．解：∵抛物线方程为y2=4x，∴焦点F(1,0)，准线l方程为x=−1，∵直线AF的斜率为−1，直线AF的方程为y=−(x−1)即y=−x+1，当x=−1时，y=2，因此A点坐标为(−1,2)，∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为2，代入抛物线方程，得P点坐标为(1,2)，∴|PF|=|PA|=1−(−1)=2.故选C．10.答案：D解析：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，=2a1d<1，解出即可．属于中档题．由于数列{2a1a n}为递减数列，可得2a1a n+12a1a n解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1−a n=d，又数列{2a1a n}为递减数列，=2a1d<1，∴2a1a n+12a1a n∴a1d<0．故选D．11.答案：A解析：本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法，是基础的计算题．设出点C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C 的坐标．解：设C(m,n)，由重心坐标公式得， 三角形ABC 的重心为(2+m 3,4+n 3)， 代入欧拉线方程得：2+m 3−4+n 3+2=0，整理得：m −n +4=0 ① AB 的中点为(1,2)，k AB =4−00−2=−2，AB 的中垂线方程为y −2=12(x −1)，即x −2y +3=0．联立{x −2y +3=0x −y +2=0，解得{x =−1y =1．∴△ABC 的外心为(−1,1)．则(m +1)2+(n −1)2=32+12=10， 整理得：m 2+n 2+2m −2n =8 ②联立①②得：m =−4，n =0或m =0，n =4． 当m =0，n =4时B ，C 重合，舍去． ∴顶点C 的坐标是(−4,0)． 故选A ．12.答案：B解析：本题考查椭圆的几何性质，取椭圆的右焦点F 2，连接OM,PF 2，结合椭圆的定义求得F 1F 2，由离心率公式求解即可．解：取椭圆的右焦点F2，连接OM,PF2，由中位线定理计算出PF2=a2，由椭圆的定义计算出PF1=3a2，在直角三角形PF1F2中由勾股定理得F1F2=√102a=2c，所以e=2c2a =√104．，故选B．13.答案：1解析：解：∵直线l1与l2是平行直线，∴l1与l2之间的距离d=√32+42=1．故答案为：1．利用两条平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了两条平行线之间的距离公式，属于基础题．14.答案：π6解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，转化思想，属于中档题．弦AB的中点恰好为P，得x1+x2=6√3，结合抛物线方程得y1−y2x1−x2=x1+x218=√33，从而可以得到直线l的倾斜角．解：设A，B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，直线l的倾斜角为α，中点P(3√3,4)，∴x1+x2=6√3，{x12=18y1x22=18y2，则y1−y2x1−x2=x1+x218=√33，，0≤α<π，，故答案为π6．15.答案：2√33解析：本题主要考查了双曲线的简单性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等，属于基础题．先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离等于半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，即可求出双曲线的离心率．解：∵双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx±ay=0，与圆(x−2)2+y2=1相切，∴圆心到渐近线的距离等于半径，即√a2+b2=1，整理得3b2=a2，∴c2=a2+b2=43a2，∴e=ca =2√33．故答案为2√33．16.答案：23解析：解：由a n=4S n−3，得a1=4S1−3=4a1−3，得a1=1；a2=4S2−3=4(a1+a2)−3，得a2=4×1+4a2−3，则a2=−13．∴S2=a1+a2=1−13=23．故答案为：23．在已知数列递推式中，分别取n=1，2求得a1，a2，则S2可求．本题考查数列递推式，考查计算能力，是基础题．17.答案：解：(1)依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为x2a2−y24−a2=1(0<a2<4)，将点(3,√7)代入上式，得9a2−74−a2=1．解得a2=18(舍去)或a2=2，故所求双曲线方程为x22−y22=1．(2)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1−k2)x2−4kx−6=0．∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴{1−k 2≠0Δ=(−4k)2−4×6×(1−k2)>0⇒{k≠±1−√3<k<√3∴k∈(−√3,−1)∪(1,√3).设E(x1,y1)，F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=4k1−k2，x1x2=−61−k2，于是，|EF|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√(1+k2)(x1−x2)2=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅2√2√3−k2 |1−k2|而原点O到直线l的距离d=2，∴S△OEF=12d⋅|EF|=12√1+k2√1+k2⋅2√2√3−k2|1−k2|=2√2√3−k2|1−k2|．若S△OEF=2√2，即2√2√3−k2|1−k2|=2√2⇔k4−k2−2=0，解得k=±√2，满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=√2x+2和y=−√2x+2．解析：本题主要考查了双曲线的方程和双曲线与直线的关系．考查了学生综合运算能力．(1)根据题意可得a2+b2=4，得到a和b的关系，把点(3,√7)代入双曲线方程，求得a，进而根据a2+b2=4求得b，双曲线方程可得．(2)可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，根据直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，进而可得k的范围，设E(x1,y1)，F(x2,y2)，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而表示出|EF|和原点O到直线l的距离根据三角形OEF的面积求得k，进而可得直线方程．18.答案：解：(1)由{x2+y2=1√3x−y+m=0消去y得4x2+2√3mx+m2−1=0，由已知得，(2√3m)2−16(m2−1)>0得m2−4<0，得实数m的取值范围是(−2,2)；(2)因为圆心C(0,0)到直线l：√3x−y+m=0的距离为d=√3+1=|m|2，所以|AB|=2√r2−d2=2√1−m24=√4−m2由已知得√4−m2=√3，解得m=±1．解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)直线与圆的方程联立，利用判别式大于0，即可求实数m的取值范围；(2)求出圆心C(0,0)到直线l：√3x−y+m=0的距离，利用|AB|=√3，求实数m的值．19.答案：解：(Ⅰ)数列{a n}是公差为d的等差数列，且a5=3a2，S7=14a2+7，可得a1+4d=3(a1+d)，7a1+21d=14(a1+d)+7，解得a1=1，d=2，则a n=2n−1；(Ⅱ)数列{a n+b n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得a n+b n=2n−1，可得b n=2n−1−(2n−1)，则b n(a n+b n)=4n−1−(2n−1)⋅2n−1，设K n=1⋅20+3⋅2+⋯+(2n−1)⋅2n−1，2K n=1⋅2+2⋅22+⋯+(2n−1)⋅2n，相减可得−K n=1+2(2+22+⋯+2n−1)−(2n−1)⋅2n=1+2⋅2(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n，化简可得K n =3+(2n −3)⋅2n ， 则前n 项和T n =1−4n 1−4−3−(2n −3)⋅2n=4n −103−(2n −3)⋅2n ．解析：(Ⅰ)数列{a n }是公差为d 的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；(Ⅱ)a n +b n =2n−1，可得b n =2n−1−(2n −1)，运用数列的分组求和和错位相减法求和，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20.答案：解：联立{y =x +bx 2=2y，得：x 2−2x −2b =0．因为直线y =x +b 与抛物线x 2=2y 交于A 、B 两点， 则(−2)2−4×(−2b)=4+8b >0． 且x 1+x 2=2，x 1x 2=−2b ． y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )=x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2 =−2b +2b +b 2=b 2． 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →=0．即x 1x 2+y 1y 2=0，−2b +b 2=0，因为b ≠0，所以b =2． 满足△=4+8×2=20>0． 所以b =2．解析：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了利用数量及判断两个向量的垂直关系，训练了一元二次方程的根与系数的关系，是中档题，联立直线和抛物线方程，化为关于x 的一元二次方程后利用根与系数关系求出两个交点的横纵坐标的积，由OA ⊥OB 转化为其数量积等于0，代入坐标的乘积后求解b 的值．21.答案：解：(Ⅰ)由题得，甲工厂第n年的年产量是一个等差数列的项，其首项为100，公差是10，∴a n=10n+90，乙工厂的第n年的年产量是一个累加和为b n=100+2+22+23+⋯+2n−1=2n+98，∴“十二⋅五”期间(即2011年至2015年)，甲、乙两个钢铁厂的累计钢产量共5×100+5×42×10+2(1−25)1−2+490=1002万吨(Ⅱ)各年的产量如下表∴2018年底甲工厂将被乙工厂兼并．解析：(Ⅰ)由题意知，甲工厂第n年的年产量是构成等差数列，其首项为100，公差是10，而乙工厂的第n年的年产量是一个累加和为b n=100+2+22+23+⋯+2n−1，数列{a n}，{b n}的通项公式易得，可求“十二⋅五”期间(即2011年至2015年)，甲、乙两个钢铁厂的累计钢产量；(Ⅱ)比较两个通项公式，根据情况求出年份即可．本题考查等差数列与等比数列的综合，考查用数列解决实际问题．由于比较两个工厂的产量时两个函数的形式较特殊，不易求解，故采取了列举法，数据列举时作表格比较简捷．22.答案：解：(1)由题意得：{14a2+1416b2=1e=ca =√22a2=b2+c2，解得：a2=2，b2=1．所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1．(2)①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：x=√2，与椭圆C交于一点，不符合题意，舍去；②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为：y+√2=k(x−√2)，即：kx−y−√2k−√2=0．联立{x22+y2=1kx−y−√2k−√2=0得：(1+2k2)x2−(4√2k2+4√2k)x+4k2+8k+2=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(√2,0)，所以{x 1+x 2=4√2k 2+4√2k1+2k 2x 1x 2=4k 2+8k+21+2k 2， k PM =1x−2k PN =2x−2，∴k PM +k PM =1x 1−√22x 2−√2=1√2k √2)(x 2√2)2√2k √2)(x 1√2)(x 1−√2)(x 2−√2)=2k √2(x 12xx −2(x +x )+2=1．所以k PM +k PN 为定值，该定值为1．解析：本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，变形化简能力． (1)根据椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(−12,√144)，且离心率为√22，列方程组，求解即可； (2)设出直线的方程y +√2=k(x −√2)，联立{x 22+y 2=1kx −y −√2k −√2=0得：(1+2k 2)x 2−(4√2k 2+4√2k)x +4k 2+8k +2=0，计算x 1+x 2，x 1x 2,k PM +k PN 代入计算即可.。
湖北省2019_2020学年高二数学上学期期末考试备考精编金卷(A)文
湖北省2019-2020学年高二数学上学期期末考试备考精编金卷（A ）文注意事项：1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．命题“0x ∃∈R ,01()2f x <≤”的否定形式是（ ） A ．x ∀∈R ,1()2f x <≤ B ．x ∃∈R ,1()2f x <≤ C ．x ∃∈R ,()1f x ≤或()2f x > D ．x ∀∈R ,()1f x ≤或()2f x >2．不等式302x x -<+的解集为（ ） A ．{|23}x x -<<B ．{|2}x x <-C ．{|2x x <-或3}x >D ．{|3}x x >3．焦点在x 轴上,短轴长为8,离心率为35的椭圆的标准方程是（ ） A ．22110036x y +=B ．22110064x y +=C ．2212516x y +=D ．221259x y +=4．已知命题0:p x ∃∈R ,002lg x x ->,命题:q x ∀∈R ,20x >,则（ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题5．曲线ln y x x =在x e =处的切线方程为（ ） A ．y x e =-B ．2y x e =-C ．y x =D ．1y x =+6．已知正实数a ,b 满足430a b +=,当11a b+取最小值时,实数对(,)a b 是（ ）A ．(5,10)B ．(6,6)C ．(10,5)D ．(7,2)7．若数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若62a =,且530S =,则8S 等于（ ） A ．31B ．32C ．33D ．348．已知函数2sin ()=x xf x x+,则该函数的导函数()f x '=（ ）A ．22cos x x x+B ．22cos sin x x x x x+- C ．22cos sin x x x xx +-D ．2cos x x -9．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线2116y x =+相切,则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 10．已知函数3()128f x x x =-+在区间[1,4]-上的最大值与最小值分别为M ,m ,则M m -的值为（ ） A ．11B ．16C ．27D ．3211．若O 和F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,P 为椭圆上的任意一点,则OP FP ⋅u u u r u u u r 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．812．已知函数()xf x e =,()lng x x =,若()()f t g s =,则当s t -取得最小值时,()f t 所在的区间是（ ）A ．(ln 2,1)B ．1(,ln 2)2C ．11(,)3eD ．11(,)2e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a 的值为 ．14．若等比数列{}n a 满足2420a a +=,3540a a +=,则前n 项和n S = ．15．若变量x ,y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则x y +的最大值为 ．16．已知函数21()ln (0)2f x a x x a =+>,若对任意两个不相等的正实数1x ,2x ,1212()()2f x f x x x -≥-恒成立,则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题:p 方程2212x ym+=表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q x ∀∈R ,244430x mx m -+-≥．若()p q ⌝∧为真,求m 的取值范围．18．（12分）在ABC △中,设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,ππsin()cos()36C C -+-=（1）求角C ；（2）若c =,且sin 2sin A B =,求ABC △的面积．19．（12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列,数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为21n n +．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n an n b a =+⋅,求{}n b 的前n 项和n T ．20．（12分）已知关于x 的不等式2210mx x m --+<．（1）是否存在m 使对所有的实数x ,不等式恒成立？若存在,求出m 的取值范围； 若不存在,请说明理由．（2）设不等式对于满足2m≤的一切m的值都成立,求x的取值范围．21．（12分）如图,已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左顶点为(2,0)A-,且点3(1,)2-在椭圆上,1F、2F分别是椭圆的左、右焦点,过点A作斜率为(0)k k>的直线交椭圆E于另一点B,直线2BF 交椭圆E 于点C ．（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若1F C AB ⊥,求k 的值．22．（12分）已知函数21()ln 12a f x a x x +=++．（1）当12a=-时,求函数()f x在区间1[,]ee上的最值；（2）讨论()f x的单调性．2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷文科数学（A ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“x ∀∈R ,()1f x ≤或()2f x >”,故选D ．2．【答案】A【解析】原不等式等价于(3)(2)0x x -+<,解得23x -<<,故选A ． 3．【答案】C【解析】由题意,知28b =,得4b =,所以22216b a c =-=． 又35c e a ==,解得3c =,5a =． 又焦点在x 轴上,故椭圆的标准方程为2212516x y+=．故选C ．4．【答案】C【解析】当10x =时,28x -=,lg lg101x ==,故命题p 为真命题； 令0x =,则20x =,故命题q 为假命题．依据复合命题真假性的判断法则,可知命题p q ∨是真命题,命题p q ∧是假命题,q ⌝是真命题,进而得到命题()p q ∧⌝是真命题,命题()p q ∨⌝是真命题．故选C ．5．【答案】B【解析】由题可得ln 1y x '=+,则所求切线的斜率为ln 12e +=,又当x e =时,ln y e e e ==,所以所求切线方程为2()y e x e -=-,即2y x e =-,故选B ． 6．【答案】A【解析】1111(4)1413()(41)(530303010a b a b a b a b b a ++=+⋅=+++≥+=, 当且仅当4430a bb a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,即510a b =⎧⎨=⎩时取等号．故选A ． 7．【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,则有11525(51)5302a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩,解得126343a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 所以818(81)2648828()32233S a d ⨯-=+=⨯+⨯-=．故选B ． 8．【答案】B【解析】由题意可得2222(2cos )(sin )cos sin ()x x x x x x x x xf x x x +-++-'==,故选B ． 9．【答案】A【解析】由题意得,联立直线与抛物线2116y kxy x =⎧⎪⎨=+⎪⎩,得21016x kx -+=, 由0Δ=,得12k =±,即12b a =,所以2e a ==,故选A ． 10．【答案】D【解析】由题可得2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-,所以当12x -<<时,()0f x '<；当24x <<时,()0f x '>,即函数()f x 在[1,2]-上单调递减,在[2,4]上单调递增,所以(2)8m f ==-, 又(1)19f -=,(4)24f =,所以24M =,所以32M m -=,故选D ． 11．【答案】C【解析】由题意得点(1,0)F -,设点00(,)P x y ,则有2200143x y +=,可得220003(1)(22)4x y x =--≤≤．因为00(1,)FP x y =+u u u r ,00(,)OP x y =u u u r,所以22200000000(1)(1)3(1)344x x OP FP x x y x x x ⋅=⋅++=⋅++-=++u u u r u u u r ．此二次函数的图象的对称轴为直线02x =-,又022x -≤≤,所以当02x =时,OP FP ⋅u u u r u u u r 取最大值,最大值为222364++=．故选C ． 12．【答案】B【解析】令()()f t g s a ==,即ln 0t e s a ==>,则ln t a =,a s e =,所以ln (0)a s t e a a -=->．令()ln a h a e a =-,则1()a h a e a '=-,显然函数1()a h a e a'=-在(0,)+∞上单调递增, 所以存在唯一的实数0a a =使得()0h a '=,则当00a a <<时,()0h a '<；当0a a >时,()0h a '>,所以min 0()()h a h a =,所以当s t -取最小值时,0()f t a =, 易得当012a =时,0010a e a -<,当0ln 2a =时,0010a e a ->,所以01(,ln 2)2a ∈, 故()f t 所在区间是1(,ln 2)2,故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．【答案】18-【解析】将2y ax =化为21x y a=,由于准线方程为2y =, 所以抛物线开口向下,10a <且124a =,所以18a =-． 14．【答案】122n +-【解析】由题意知352440220a a q a a +===+, ∵222421(1)(1)20a a a q a q q +=+=+=,∴12a =, ∴12(12)2212n n n S +-==--． 15．【答案】6【解析】画出可行域,令z x y =+,易知z 在(4,2)A 处取得最大值6．16．【答案】[1,+)∞【解析】因为对任意两个不相等的正实数1x ,2x,1212()()2f x f x x x -≥-恒成立,所以()2f x '≥恒成立,因为()a f x x x'=+≥所以2≥,即1a ≥, 故实数a 的取值范围是[1,+)∞．三、解答题：本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】[1,2]．【解析】p 真时,2m >；q 真时,244430x mx m -+-≥在R 上恒成立,∴21616(43)0Δm m =--≤,解得13m ≤≤, ∵()p q ⌝∧为真,∴p 假,q 真,∴213m m ≤⎧⎨≤≤⎩,即12m ≤≤． ∴所求m 的取值范围为[1,2]．18．【答案】（1）π3C =；（2）ABC S =△【解析】（1）∵ππsin()cos()36C C -+-=, 11sin sin 22C C C C -++=,∴1cos 2C =, ∵在ABC △中,0πC <<,∴π3C =．（2）∵sin 2sin A B =,∴2a b =,又2222cos c a b ab C =+-,∴22222142232b b b b =+-⨯⨯=, ∴2b =,4a =,∴1sin 2ABC S ab C ==△ 19．【答案】（1）21n a n =-；（2）14(31)49n n n T ++-⋅=． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ,令1n =,得12113a a =,所以123a a =, 令2n =,得12231125a a a a +=,所以2315a a =． 所以2222()3()15a d a a a d -⋅=⎧⎨⋅+=⎩,即222222315a a d a a d ⎧-⋅=⎨+⋅=⎩,解得232a d =⎧⎨=⎩或232a d =-⎧⎨=-⎩, 又因为10a >,所以11a =,2d =,所以21n a n =-．（2）由（1）知21(1)2224n a n n n n b a n n -=+⋅=⋅=⋅,所以1214244n n T n =⋅+⋅++⋅K ,所以231414244n n T n +=⋅+⋅++⋅K ,两式相减,得121114(14)13434444441433n n n n n n n T n n +++⋅---=+++-⋅=-⋅=⋅--K , 所以113144(31)44999n n n n n T ++-+-⋅=⋅+=． 20．【答案】（1）m 不存在,见解析；（2）1()22-+． 【解析】（1）不等式2210mx x m --+<恒成立,即函数2()21f x mx x m =--+的图象全部在x 轴下方． 当0m =时,()12f x x =-,不满足()0f x <恒成立；当0m ≠时,2()21f x mx x m =--+,要使()0f x <恒成立,需044(1)0m Δm m <⎧⎨=--<⎩,则m 无解． 综上可知,不存在这样的m ．（2）设22()21(1)12f m mx x m x m x =--+=-+-,则()f m 为一个以m 为自变量的一次函数,其图象是直线．由题意知当22m -≤≤时,()f m 的图象为在m 轴下方的线段,∴(2)0(2)0f f -<⎧⎨<⎩,即2222302210x x x x ⎧--+<⎨--<⎩,解得x x x ⎧<>⎪⎪<<,x <<, ∴x的取值范围为1(22-． 21．【答案】（1）22143x y +=；（2）12k =． 【解析】（1）由题意得2222221914a a b c ab ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=． （2）设直线AB 的方程AB l 为(2)y k x =+, 由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得2222(34)1616120k x k x k +++-=, 所以221612234A B B k x x x k-⋅=-=+, 所以228634B k x k-+=+,所以212(2)34B B k y k x k =+=+, 所以2228612(,)3434k k B k k-+++． 若12k =,则3(1,)2B ,所以3(1,)2C -, 又1(1,0)F -,所以134CF k =-,所以1F C 与AB 不垂直,所以12k ≠． 因为2(1,0)F ,22414BF k k k =-,111CF AB k k k =-=-,所以直线2BF 的方程2BF l 为24(1)14k y x k =--, 直线1CF 的方程1CF l 为1(1)y x k=-+, 由24(1)141(1)k y x k y x k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-+⎪⎩,解得2818x k y k ⎧=-⎨=-⎩,所以2(81,8)C k k --． 又点C 在椭圆上,则222(81)(8)143k k --+=, 即22(241)(89)0k k -+=,解得2124k =． 因为0k >,所以12k =． 22．【答案】（1）2max 1()24e f x =+,min 5()4f x =；（2）见解析． 【解析】（1）当12a =-时,21()ln 124x f x x =-++,所以211()222x x f x x x-'=-+=, 因为()f x 的定义域为(0,)+∞,所以由()0f x '=,可得1x =． 因为5(1)4f =, 2131()24f e e =+,21()24e f e =+, 所以在1[,]e e 上,2max 1()()24e f x f e ==+,min 5()(1)4f x f ==． （2）由题可得2(1)()a x a f x x++'=,(0,)x ∈+∞, ①当10a +≤,即1a ≤-时,()0f x '<,所以()f x 在(0,)+∞上单调递减； ②当0a ≥时,()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当10a -<<时,由()0f x '>可得21a x a ->+,即x >, 由()0f x '<可得21a x a -<+,即0x <<所以()f x在上单调递减,在)+∞上单调递增． 综上：当0a ≥时,()f x 在(0,)+∞上单调递增；当10a -<<时,()f x 在上单调递减,在)+∞上单调递增； 当1a ≤-时,()f x 在(0,)+∞上单调递减．。
湖北省荆门市2019版高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷
湖北省荆门市2019版高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）抛物线y=x2的焦点坐标为（）A . (0,1)B .C . (1,0)D .2. （2分） (2019高二上·铜陵月考) 过点且与原点距离最大的直线方程是（）A .B .C .D .3. （2分）如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么（）A . 命题“非p”与命题“非q”的真值不同B . 命题“非p”与命题“非q”中至少有一个是假命题C . 命题p与命题“非q”的真值相同D . 命题“非p且非q”是真命题4. （2分）已知命题，命题，则命题是命题成立的（）A . 充分必要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若=，=，=，则=（）A . +-B . ++C . --D . -++6. （2分） (2019高三上·富平月考) 已知双曲线：的右焦点为，为坐标原点，为的中点，若以为直径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A . 16B .C .D . 88. （2分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A . ﹣或﹣B . ﹣或﹣C . ﹣或﹣D . ﹣或﹣9. （2分）若P是以F1 ， F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·北京期中) 已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°．则（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共7分)11. （1分） (2018高二上·赣榆期中) 命题“ ，”的否定是________．12. （1分）若，，，则 ________13. （1分） (2016高二上·六合期中) 直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为________．14. （2分）(2020·天津) 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为________，若是线段上的动点，且，则的最小值为________．15. （1分） (2017高二下·湘东期末) 已知F是抛物线x2=4y的焦点，P是抛物线上的一个动点，且A的坐标为（0，﹣1），则的最小值等于________．16. （1分）如果曲线2|x|﹣y﹣4=0与曲线x2+λy2=4（λ＜0）恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分） (2019高三上·双鸭山月考) 已知圆，直线．（1）判断直线与圆C的位置关系；（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．18. （10分）在正三棱柱中，点是的中点，．（1）求证：∥平面；（2）试在棱上找一点，使．19. （5分）(2016·天津模拟) 椭圆C： =1（a＞b＞0）的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且与椭圆x2+ =1有相同离心率，直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足，（O为坐标原点），求实数λ取值范围．20. （5分）(2017·嘉兴模拟) 如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．21. （10分） (2016高二上·余姚期末) 已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l：y=2x+2交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂直交抛物线C于点Q．（1）若直线l过焦点F，求的值；（2）是否存在实数p，使⊥ ？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、。
2019-2020学年湖北省荆州高二上学期期末考试数学试题
荆州中学、宜昌一中2019年秋季学期高二期末联考数 学 试 题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1． 复数231iz i+=-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．12-B ．12i -C ．52D ．52i2． )0,,2(m =，)1,3,1(-=n ，若//,则=+n m （ ） A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 93． 椭圆2218x y m +=的焦距为4，则m 的值为（ ） A ．12B ．4C ．12或4D ．10或64． 曲线32313+-=x x y 在点（1，34）处的切线的倾斜角为（ ） A ．4π B ． 3πC ．π32D ．π435． 已知,αβ是两相异平面，,m n 是两相异直线，则下列结论错误的是（ ） A ．若m ∥n ，α⊥m ，则n α⊥ B ．若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β C ．若α⊥m ，β⊂m ，则αβ⊥D ．若m ∥α，n =⋂βα，则m ∥n6．数列{}n a 满足112+-+=n n n a a a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，20192,a a 是函数56)(2+-=x x x f 的两个零点，则2020S 的值为（ ）A ．6B ．12C ．2020D ．60607．平面直角坐标系内，到点(2,3)A 和直线:280l x y +-=距离相等的点的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别B A ,,O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程为（ ）CADBA ．222+1=5x y --（）（） B ．22+2++1=20x y （）（） C ．224+2=5x y --（）（）D ．22+4++2=2x y （）（） 9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ，点0(2,)M y 在抛物线C 上，M 与直线l 相切于点E ，且3EMF π∠=，则M 的半径为( )A ．23B ．43C ．83D ．16310．如图，正方形ABCD 沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为( )A ．2B ．12C ．3D ．511．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，满足C B acb cos cos +=+，8sin =Abc，则ABC ∆的周长的最小值为( ) A ． 3B ．332+C ． 4D ．442+12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，,P Q 均位于第一象限，且2QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．15-B ．15+C ．110-D ．110+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分;把答案填在对应题号的横线上.） 13. 如图，已知平行四边形ABCD 中，060,3,4=∠==D CD AD ,⊥PA 平面ABCD ，且6=PA ，则=PC .14.各项均为正数的数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+，且55=a ，则2123a a +的最小值为 .15.已知A 、B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上的两个动点，且4=AB ，点D 为线段AB 的中点，对于直线l :)1(-=x k y 上任-点P ，都有1>PD ，则实数k 的取值范围是__________.16.若点P 是椭圆22:12516x y C +=上任意一点，点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，若直线 PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则=+-)cos()cos(βαβα .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分12分）若圆M 的方程为4)4()1(22=-+-y x ，△ABC 中，已知)2,7(A ,)6,4(B ,点C 为圆M 上的动点．（Ⅰ）求AC 中点D 的轨迹方程； （Ⅱ）求△ABC 面积的最小值．18.（本小题满分12分）设向量()2,sin a θ=，(1,cos )b θ=，其中θ为锐角. （Ⅰ）若94a b ⋅=，求sin cos θθ+的值； （Ⅱ）若a ∥b ，求θθθθ22cos cos sin sin -+的值.19. （本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别是21,F F ,点P 在椭圆C 上，421=+PF PF ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线32+=x y 相切.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，求实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O ．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PD PA =，AD AB =,PD PA ⊥，CD AD ⊥，060=∠BAD ，N M ,分别为PA AD ,的中点.（Ⅰ）证明：平面BMN ∥平面PCD ； （Ⅱ）若3,4==CD AD ，（1）求平面BMN 与平面BCP 所成锐二面角的余弦值； （2）求点M 到平面BCP 的距离.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*,292N n a S n n n ∈-=,nn n a b 23-=. （Ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，对任意,m n N *∈，不等式m nS b λ>恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在请说明理由．22．（本小题满分12分）如图，已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k 、2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点． （Ⅰ）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若121k k +=，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．2018级高二上学期期末考试数学试卷答案一、选择题二、填空题 13．7 14．524 15．43->k 16．419 三、解答题17.解：（Ⅰ）设00(,),(,)D x y C x y 有000072722222x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩， 由2200(1)(4)4x y -+-=得22(271)(224)4x y --+--=， 即D 点的轨迹方程为22(4)(3)1x y -+-=.（Ⅱ）计算得5AB =, 直线AB 为03434=-+y x , 点(1,4)到直线AB 的距离412341855d +-==, 118()min 5(2)425ABC S ∆∴=⨯⨯-=.18. 解：（Ⅰ）由92sin cos 4a b θθ⋅=+⋅=, 得1sincos 4θθ=, 213(sin cos )12sin cos 122θθθθ+=+=+=, sin cos θθ+=（Ⅱ）由//a b 得2cos sin 0θθ-=，即tan 2θ=,原式=222222sin sin cos cos tan tan 1sin cos tan 1θθθθθθθθ+-+-=++22221121+-==+. 19.解（Ⅰ）点(0,0)30y -+=的距离为d ==,得b =由1242PF PF a +==得2a =,椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）联立22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，设1122(,)(,)A x y B x y ,得22(43)40k x ++-=,12243x x k k +=-+ ,122443x x k -=+, 由题意可知：0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=,即12123)0x x +++=,得12123)90x x x x +++=,代入解得21,66k k ==±即为所求.20.（1）连接,,60,BD AB AD BAD ABD =∠=︒∴为等边三角形，M 为AD 的中点，BM AD ∴⊥,,,AD CD CD BM ⊥⊂平面ABCD ，BM CD ,又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，BM∴平面PCD ,,M N 分别为,AD PA 的中点，MN PD ∴,又MN ⊄平面,PCD PD ⊂平面PCD ，MN ∴平面PCD .又,BM MN ⊂平面,BMN BMMN M =，∴平面BMN 平面PCD .（2）连接PM ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABCD平面PAD AD =，PM ⊂平面PAD ，,PM AD PM ⊥∴⊥平面ABCD .又,,,BM AD MB MD MP ⊥∴两两互相垂直.以M 为坐标原点，,,MB MD MP 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -.4,3AD CD ==，则(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,1,1),(23,0,0),(3,2,0)M P A N B C --，设平面BMN 的一个法向量为111(,,)m x y z =，平面BCP 的一个法向量为222(,,)n x y z =，(23,0,0),(0,1,1)MB MN ==-∴由00m MB m MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1112300x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∴取(0,1,1)m =,(3,2,0),(23,0,2)BC BP =-=-，∴由00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22223202320x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴取(2,3,23)n =，3233114cos 38219m n m n m n ⋅+∴<⋅>===⋅ ∴平面BMN 与平面BCP 成锐二的余弦值为3114. （Ⅱ）（2）面BCP 的法向量为(2,3,23)n =,(0,0,2)MP =,243457192312MP n d n⋅===++. 21.解：（Ⅰ）当2n ≥时,111992(2)22n n n n n n n a S S a a ---=-=--- , ∴1922n n na a -=-， 11111393222223622n n n n n n n n n n n a a b b a a --------===--.∴数列{}nb 为公比为2的等比数列. 当1n =时，111992,22s a a =-=，11332b a =-=,13322n n n n b a -∴=⋅=- ,13322n n n a -∴=+⋅.（Ⅱ）011121113()3(222)222m m m S -=⋅+++++++011(1)2(12)3223332112212m m m m --=⋅+⋅=⋅---,假设存在实数λ，对任意*,,m nm n N S b λ∈>函数3322m m m S =⋅-，有min 19()2m S S ==， 132n n b -=⋅ , min 1()3n b b ==， min27()2m n S b λ∴<⋅=即为所求 22.解：（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2112y x =，2222y x =即有121212()()2()y y y y x x +-=-， 又(1,1)P 是线段AB 中点，得122y y +=，12121221AB y y K x x y y -===-+，直线AB 为11(1)y x -=⋅-，即y x =.（Ⅱ）设(,)M M M x y ，直线AB 为11(1)y k x -=-, 即1111y k x k =+-， 又121k k +=，直线AB 为12y k x k =+，代入22y x =有2221122(22)0k x k k x k +-+=，得1221111(,)k k M k k -，同理1222211(,)k k N k k -， 易知120k k ≠，直线MN 斜率为12121M N M N y y k kk x x k k -==--，直线MN 为12122112111()1k k k k y x k k k k --=--， 化简得121211k k y x k k =--, 直线过定点（0，1）即为所求.。
2019-2020学年湖北省荆门市宏图学校高二数学理上学期期末试题含解析
2019-2020学年湖北省荆门市宏图学校高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．2. 过椭圆(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()．参考答案：B略3. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于A．演绎推理 B．类比推理 C．合情推理 D．归纳推理参考答案：A4. 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足，则f(2)＋f(3)＋f(5)＝（）A. －1B. 0C. 1D. 4参考答案：B【分析】由函数满足是定义在上的奇函数，所以，且，又由，得函数是周期为2的函数，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数满足是定义在上的奇函数，所以，且，又由，则，所以函数是周期为2的函数，则，，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数的周期性的应用，其中解答中根据函数的奇偶性性求得，再根据函数的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5. 一质点做直线运动,由始点起经过后的距离为,则速度为零的时刻是（）A.4s末B.8s末C.0s与8s末 D.0s,4s,8s末参考答案：D6. 如图，在三棱锥S-ABC中，SA=SC=AB=BC，则直线SB与AC所成角的大小是(A)30o (B)45o(C)60o (D)90o参考答案：D7. 为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况，已知老、中、青人数之比为，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，其中老年教师有18人，则样本容量n=（）A. 54B. 90C. 45D. 126参考答案：B【分析】根据分层抽样的概念即可求解。
2019-2020学年湖北省荆门市高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年湖北省荆门市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线236x y -=在y 轴上的截距为（ ）． A ．3 B ．3- C ．2 D ．2-【答案】D【解析】令0x =，可得2036y ⨯-=， 解得2y =-，即直线236x y -=在y 轴上的截距为2-． 故选D ．2．圆心为()1,1C -，半径为2的圆的方程为（ ） A ．222220x y x y ++--= B ．222220x y x y +-+-= C ．22220x y x y ++-= D ．22220x y x y +-+=【答案】A【解析】由题意先求出圆的标准方程，再把它化为一般方程，即可得答案． 【详解】圆心为(1,1)C -，半径为2的圆的方程为22(1)(1)4x y ++-=， 即222220x y x y ++--=. 故选：A ． 【点睛】本题考查圆的标准方程和一般方程，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题．3．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．1(0,)2B ．1(0,)8C ．1(,0)2D ．(1,0)【答案】B【解析】将抛物线方程化为标准方程，求出2p即可得结果.【详解】整理抛物线方程得212x y =， ∴焦点在y 轴，14P =，∴焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，属于简单题.由抛物线的方程求准线与焦点坐标，一定要化为标准方程.4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（ ） A ．第2天 B ．第3天C ．第4天D ．第5天【答案】B【解析】用列举法求得前几天挖的尺寸，由此求得第几天相遇. 【详解】第一天共挖112+=，前二天共挖220.5 4.5++=，故前3天挖通，故两鼠相遇在第3天. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查中国古代数学问题，考查等比数列的概念，属于基础题.5．,A B 是双曲线221916x y -=的左、右顶点，P 为双曲线上异于,A B 的一点，则直线,PA PB 的斜率之积为（ ）A ．916B ．916-C ．169D ．169-【答案】C【解析】求出A 、B 坐标，设出P ，利用已知条件，列出关系式，求解即可． 【详解】∵A ，B 是双曲线221916x y -=的左、右顶点，∴(3,0)A -，(3,0)B ，设(,)P m n ，则双曲线221916m n -=，∴2216(9)9m n -=，直线PA ，PB 的斜率之积：222216(9)16933999m n n n m m m m -⋅===+---． 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用、直线的斜率的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．6．已知等差数列{}n a 前n 项的和为n S ，若91027,8S a ==，则14S =（ ） A ．154 B ．153C ．77D ．78【答案】C【解析】根据题意，由19959()9272a a S a ⨯+===，解可得53a =，又由5101141414()14()22a a a a S ⨯+⨯+==，计算即可得答案．【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，若927S =，即19959()9272a a S a ⨯+===，解得53a =，又108a =，∴5101141414()14()7722a a a a S ⨯+⨯+===. 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式、等差数列的前n 项和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7．已知直线()1:3210l mx m y +++=，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且12l l //，则m 的值为（ ） A ．-1 B ．12C ．12或-2 D ．-1或-2【答案】D【解析】试题分析：由两直线平行可知系数满足()()()()3222{3212m m m m m m m +=-+∴⨯≠⨯-的值为-1或-2【考点】两直线平行的判定8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2B ．73C ．83D ．3【答案】B【解析】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，则求得答案． 【详解】设公比为q ，则616363313(1)1113(1)11a q S q q q a q S qq---===+=---， ∴32q =，∴93962611271123S q S q --===--． 故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，Q 为抛物线上一点，连接QF 并延长交抛物线的准线于点P ，且点P|2||=PQ QF ，则直线PF 的方程为（ ）A．0y -=B0y += C．0y -=0y + D．10x --=【答案】D【解析】根据P 的纵坐标为负数，判断出直线PF 斜率大于零，设直线PF 的倾斜角为θ，根据抛物线的定义，求得cos θ的值，进而求得θ，从而求得tan θ也即直线PF 的斜率，利用点斜式求得直线PF 的方程. 【详解】由于P 的纵坐标为负数，所以直线PF 斜率大于零，由此排除B,C 选项.设直线PF 的倾斜角为θ.作出抛物线24y x =和准线1x =-的图像如下图所示.作QA PA ⊥，交准线1x =-于A 点.根据抛物线的定义可知QF QA =，且QFx AQP θ∠=∠=.依题意3||2||=PQ QF ，故在直角三角形PQA 中3cos QA QF PQ PQ θ===，所以π6θ=，故直线PF 的斜率为π3tan6=，所以直线PF 的方程为()301y x -=-，化简得310x y --=.故选：D.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则（ ） A ．0,n d S <随n 的增大而减小 B ．0,n d S >随n 的增大而增大 C ．20,n n d S S +<-随n 的增大而增大 D ．20,n n d S S +>-随n 的增大而增大 【答案】D【解析】根据题意，由等差数列的性质依次分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，1n n n S S a --=，当0n a <时，n S 随n 的增大而减小，与d 无关，故A 错误； 对于B ，1n n n S S a --=，当0n a >时，n S 随n 的增大而增大，与d 无关，故B 错误； 对于C ，212n n n n S S a a +++-=+，当0d <时，等差数列{}n a 为递减数列，2n n S S +-随n 的增大而减小，故C 错误；对于D ，212n n n n S S a a +++-=+，当0d >时，等差数列{}n a 为递增数列，2n n S S +-随n 的增大而增大，故D 正确；故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意数列的函数特性.11．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ）A ．()4,0-B ．()3,1--C ．()5,0-D ．()4,2--【答案】A【解析】设出点C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C 的坐标 【详解】设C （m ，n ），由重心坐标公式得，三角形ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭代入欧拉线方程得：242033m n++-+=整理得：m-n+4=0 ① AB 的中点为（1，2），40202AB k -==-- AB 的中垂线方程为()1212y x -=-， 即x-2y+3=0．联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得11x y =-⎧⎨=⎩∴△ABC 的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m 2+n 2+2m-2n=8 ② 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B ，C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是（-4，0）．故选A本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．12．设F 是椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆x 2＋y 2＝29a 与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．3 B ．53 C ．104D ．17 【答案】D【解析】取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA ，由题意可得OH ⊥AB ，设|OH |＝d ，根据椭圆的定义以及在Rt △OHA 中，可得a ＝5d ，在Rt △OHF 中，利用勾股定理即可求解. 【详解】如图，取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA . 设椭圆另一个焦点为E ，连接PE .∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是线段AB 的中点，即OH ⊥AB . 设|OH |＝d ，则|PE |＝2d ，|PF |＝2a －2d ，|AH |＝3a d-. 在Rt △OHA 中，|OA |2＝|OH |2＋|AH |2，解得a ＝5d .在Rt △OHF 中，|FH |＝45a ，|OH |＝5a，|OF |＝c . 由|OF |2＝|OH |2＋|FH |2， 化简得17a 2＝25c 2，17c a =即椭圆C 的离心率为175. 故选：D .本题考查了求椭圆的离心率，解题的关键是理解题中的几何关系，属于中档题.二、填空题13．两条平行直线3250x y --=与6430x y -+=间的距离为_______．【解析】将1l 方程化成64100x y --=，再利用两条平行线之间的距离公式加以计算，即可得到1l 与2l 之间的距离． 【详解】将1:3250l x y --=化成64100x y --=，1:3250l x y ∴--=与2:6430l x y -+=之间的距离为，∴d ===.故答案为：2【点睛】本题考查两条平行线之间距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．14．已知抛物线24y x =的一条弦AB 恰好以()1,1P 为中点，则弦AB 所在直线方程是__________．【答案】210x y --=【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 所在直线方程为(1)1y k x =-+，则122x x +=，122y y +=∵A ，B 在抛物线24y x =上 ∴2112224{4y x y x ==∴121212()()4()y y y y x x +-=-∴22121=--x x y y ，即2k =∴弦AB 所在直线方程为210x y --= 故答案为210x y --=点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k ，方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.15．已知圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有三个点到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为________. 【答案】52【解析】求得圆心和半径，根据圆上有且仅有三个点到双曲线渐近线的距离为1，判断出渐近线和圆的位置关系，根据点到直线距离公式列方程，由此求得双曲线的离心率. 【详解】圆C 方程可化为()22253x y +-=，故圆心为()0,5，半径3r =.由于圆C 上有且仅有三个点到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为1，所以圆心到渐近线的距离为2.不妨设双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，由点到直线距离公式得552,2a c e c a ====. 故答案为：52. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查双曲线的渐近线和离心率16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足211)23(),n n n n a a a a ++-+=-（且501a =，则100S 的最小值为_____． 【答案】1075-【解析】利用已知条件求出数列的公差，然后转化求解100S 的最小值． 【详解】由条件满足211()23()n n n n a a a a ++-+=-，得12n n a a +-=或11n n a a +-=， 由501a =知，当49n …时，0n a ≤；当51n …时，0n a >． 故当前50项的公差为2，后50项的公差为1时，数列的前100项和最小． ∴10050495049()501(2)502107522min S ⨯⨯=⨯+-+⨯+=-． 故答案为：1075-． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．三、解答题17．已知双曲线的焦点为12(4,0),(4,0)F F -，且该双曲线过点(6,P ． （1）求双曲线的标准方程；（2）若双曲线上的点M 满足12MF MF ⊥，求12MF F ∆的面积．【答案】（1）221124x y -=（2）4【解析】（1）设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，运用双曲线的定义，以及两点的距离公式可得a ，结合a ，b ，c 的关系，可得b ，c ，即可得到所求双曲线的方程； （2）由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、面积公式，化简可得所求值． 【详解】（1）设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由1(4,0)F -，2(4,0)F ，且该双曲线过点(6,P ，可得2a ==∴2212a ==，又4c =，∴22244b =-=，∴双曲线的标准方程为221124x y -=；（2）由221212|||||||||64MF MF MF MF -=+=，得12||||8MF MF ⋅=， ∴12121||||42MF F S MF MF =⋅=V ．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用勾股定理和定义法解题，考查运算能力．18．在平面直角坐标系中，设直线0()x y m m R +-=∈与圆228O x y +=：交于不同两点,A B .（1）求实数m 的取值范围；（2）若圆上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，求实数m 的值. 【答案】（1）44m -<<（2）2m =±【解析】（1）由题意知圆心O 到直线的距离d =< （2）有题知圆周角3ACB π∠=，得圆心角23AOB π∠=，则圆心O 到直线的距离d ==，就可解得m 的值． 【详解】（1）由题意知圆心O 到直线的距离d =<，解得44m -<<，∴m 的取值范围为44m -<<； （2）ABC ∆Q 为等边三角形，∴圆周角3ACB π∠=， 得圆心角23AOB π∠=，则圆心O 到直线的距离d ==2m =±.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．19．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，29a =，且123,6,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(41)()n n b n a n N *=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）3n n a =（2）139(2)322n n S n +=-+【解析】（1）设{}n a 是公比q 为整数的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得(41)(41)3n n n b n a n =-=-g，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和． 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵123,6,a a a +成等差数列，∴21326)a a a +=+（又29a =，∴92(96)9q q +=+，解得13q =或3q =， ∵公比为整数，∴13q =舍去，∴3q = ∴222933n n n n a a q--=⋅=⋅=. （2）由(41)(41)3nn n b n a n =-⋅=-⋅则12313373113(45)3(41)3,n nn S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ ①234133373113(45)3(41)3,n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ ②由①-②，得123412334(3333)(41)3n n n S n +-=⋅++++⋅⋅⋅+--⋅119(13)94(41)313n n n -+-=+⋅--⋅-1(34)39n n +=--∴139(2)322n n S n +=-+. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式、等差数列的中项性质的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．20．已知直线y ＝2x ﹣m 与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）交于点A ，B ． （1）m ＝p 且|AB |＝5，求抛物线C 的方程； （2）若m ＝4p ，求证：OA ⊥OB （O 为坐标原点）． 【答案】（1）y 2＝4x ；（2）见解析【解析】(1)根据韦达定理和弦长公式列方程可得;(2)联立直线与抛物线,根据韦达定理以及斜率公式可证结论。
湖北省荆门市长林中学2019-2020学年高二数学文上学期期末试题含解析
湖北省荆门市长林中学2019-2020学年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，从左到右，图象先增，再减，再增，因此根据图象即可求得极大值点的个数．【解答】解：由图象可知，从左到右，图象先增，再减，再增，故f（x）的极大值点的个数为2个，故选：C．2. 一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )A.12,24,15,9B.9,12,12,7C.8,15,12,5D.8,16,10,6参考答案：D略3. 抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）A．B．5 C．D．10参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程，可求得p，再根据抛物线焦点到准线的距离是p，进而得到答案．【解答】解：2p=10，p=5，而焦点到准线的距离是p．故抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5故选B4. 已知奇函数在区间[0，+∞)上单调递增，则满足以<0的菇的取值范围是A．(，+∞) B．(，+∞) C．(-∞，) D．(-∞，)参考答案：C5. 已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2参考答案：D【考点】四种命题．【分析】对于错误的情况，只需举出反例，而对于C，D需应用同向正的不等式两边平方后不等号方向不变这一结论．【解答】解：A．错误，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|；B．错误，比如3＞﹣4，便得不到；C．错误，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D．正确，a＞|b|，则a＞0，根据不等式的性质即可得到a2＞b2．故选D．6. 设函数，则（）A. f(x)的极大值点在（－1，0）内B. f(x)的极大值点在（0，1）内C. f(x)的极小值点在（－1，0）内D. f(x)的极小值点在（0，1）内参考答案：A【分析】求得函数的导数，然后得出函数的单调区间，由此判断出极大值点和极小值点的位置. 【详解】依题意，，令，解得.当或时，，当时，，故函数在时取得极大值，在时取得极小值.故A选项正确.所以本小题选A.【点睛】本小题主要考查乘法的导数运算，考查利用导数求函数的极大值点和极小值点的方法，属于基础题.7. 下列不等式中成立的是( )A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞参考答案：D【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．故选：D．【点评】本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键．8. 若复数是虚数单位）是纯虚数，则复数是( )A． B． C．-D．参考答案：C9. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）A． B. C． D.参考答案：记，则将（1）式平方，得（3）（2）（3）得. 选B.10. 双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（）A、 24B、25 C、 26 D、 28参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若随机变量X服从两点分布，且成功概率为0.7；随机变量Y服从二项分布，且Y～B(10，0.8），则E(X)，D(X)，E(Y)，D(Y)分别是，，，．参考答案：12. 复数，则复数对应点在第象限．参考答案：四略13. 已知函数，，若存在两切点，，，使得直线AB与函数和的图象均相切，则实数a的取值范围是_________.参考答案：【分析】利用导数求得点处的切线方程，联立方程组，根据判别式，令，得，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【详解】由题意，点在函数的图象上，令，则点，又由，则，所以切线方程，即，联立方程组，整理得，则，令，整理得，且，构造函数，则，，可得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即在上恒成立，所以函数在单调递减，又由，所以，解得．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．14. 设x，y都是正数，且，则3x+4y的最小值参考答案：15. 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．参考答案：由体积相等得：考点：圆柱及圆锥体积16. 正四面体ABCD的棱长为1，E在BC上，F在AD上，BE = 2 EC，DF = 2 FA，则EF的长度是。
湖北省荆门市宏图中学2019-2020学年高二数学理期末试题含解析
湖北省荆门市宏图中学2019-2020学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为（）参考答案：A略2. 设、为两个不同的平面，、、为三条互不相同的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若、是异面直线，，且，，则．其中真命题的序号是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②④参考答案：A3. 已知直线m、n及平面α、β，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】A：由条件可得：α∥β或者α与β相交．B：根据空间中直线与平面的位置关系可得：n∥α或者n?α．C：由特征条件可得：m∥β或者m?β．D：根据空间中直线与直线的位置关系可得：m⊥n．【解答】解：A：若m∥α，n∥β，则α∥β或者α与β相交，所以A错误．B：若m∥α，m∥n，则根据空间中直线与平面的位置关系可得：n∥α或者n?α，所以B 错误．C：若m⊥α，α⊥β，则有m∥β或者m?β，所以C错误．D：若m⊥α，n∥α，则根据空间中直线与直线的位置关系可得：m⊥n，所以D正确．故选D．4. 设点P对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（）A (，)B (，)C (3，)D (-3，)参考答案：A5. 两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（）A. 模型1的相关指数为0.98B. 模型2的相关指数为0.80C. 模型3的相关指数为0.50D. 模型4的相关指数为0.25参考答案：略6. 已知，则的最小值为（）A、2B、3C、4D、5参考答案：B略7. 已知等差数列的通项公式为, 则它的公差是A. B.C. 2D. 5参考答案：B略8. 在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线A′B与AD′所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】利用异面直线所成的角的定义、正方体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，连接CD′，AC．由正方体的性质可得A′B∥D′C．∴∠AD′C或其补角即为异面直线A′B与AD′所成的角．由正方体可得：AD′=D′C=AC，∴△AD′C是等边三角形．∴∠AD′C=60°．∴异面直线A′B与AD′所成的角为60°．故选C．【点评】熟练掌握异面直线所成的角的定义、正方体的性质等是解题的关键．9. 已知函数的图像关于直线对称，且当时其导函数满足若，则下列表示大小关系的式子正确的是（）A．B．C．D．参考答案：C10. 抛物线y=x2的焦点坐标是( )A．（0，） B.(,0) C.(1,0) D.(0,1)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，，复数和在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则的面积为。
2019-2020学年湖北省荆门市钟祥东湖中学高二数学理期末试题含解析
2019-2020学年湖北省荆门市钟祥东湖中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在空间直角坐标系中，在x轴上的点P（m，0，0）到点P1（4，1，2）的距离为，则m的值为（）A．﹣9或1 B．9或﹣1 C．5或﹣5 D．2或3参考答案：B【考点】空间两点间的距离公式．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用．【分析】据它与已知点之间的距离，写出两点之间的距离公式，得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意．【解答】解：（1）点P的坐标是（m，0，0），由题意|P0P|=，即=，∴（m﹣4）2=25．解得m=9或m=﹣1．故选：B．【点评】本题考查空间两点之间的距离公式，在两点的坐标，和两点之间的距离，这三个量中，可以互相求解．2. 已知，则（）A． B. C． D.-1参考答案：B略3. 已知直线l的倾斜角为120°，则直线l的斜率为( )A. B. C. D.参考答案：D4. 下列函数中是奇函数的有几个（）①②③④A． B．C． D．参考答案：D5. 从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为（）A.36%B.72%C.90%D.25%参考答案：C6. 命题“若函数在上是减函数，则”的否命题是（）A．若函数在上不是减函数，则B．若函数在上是减函数，则C．若，则函数在上是减函数D．若，则函数在上不是减函数参考答案：A7. 已知数列满足，则的前10项和等于( )A． B． C． D．参考答案：C8. 在△ABC中，已知，，，则等于（）(A) (B) (C) (D)参考答案：A略9. 点P是双曲线右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．4 参考答案：B如图，设的内切圆的半径为，∵为的内心，成立，∴，化为，又，∴，∴，故选B.10. 设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是( )A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0参考答案：C【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲、乙两组各有三名同学，她们在一次测试中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=3×3=9，这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的基本事件只有一个，由此利用对立事件概率计算公式能求出这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率．【解答】解：分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，基本事件总数n=3×3=9，这两名同学的成绩之差的绝对值超过3的基本事件只有一个：（88，92），∴这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率p=1﹣=．故答案为：．12. 已知函数，若函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则的值为．参考答案：略13. 一组数据x i(1≤i≤8)从小到大的茎叶图为：4|0 1 3 3 4 6 7 8，在如图所示的流程图中是这8个数据的平均数，则输出的s2的值为________．参考答案：714. 命题“若，则”的否命题为_____________.参考答案：若，则略15. 如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB上一点，M是棱D1C1上一点，则三棱锥M-DEC的体积是▲参考答案：16. ① 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题② 命题“若，则”的否命题为“若，则”③ “”是“ ”的充分不必要条件④ 命题“”的否定是“ ”上述判断正确的是_____________.参考答案：④略17. 已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组（x，y）依次记为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），…，则程序运行结束时输出的最后一个数组为．参考答案：（27，﹣6）考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环，计算并输出一系列点的坐标．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：n x y 是否继续循环循环前 1 1 0/第一圈 3 3﹣2 是第二圈 5 9﹣4 是第三圈 7 27﹣6 是第四圈 9 81﹣8 否但最后一圈产生的有序实数对未输出故最后输出的结果为：（27，﹣6）故答案为：（27，﹣6）点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年湖北省荆门市曾集中学高二数学理期末试卷含解析
2019-2020学年湖北省荆门市曾集中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知=(λ+1,0,2),=(6,2μ-1,2λ),若∥,则λ与μ的值可以是( )(A)2,(B)-2,(C)-3,2 (D)2,2参考答案：A2. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，|PF2|≥c﹣a，从而求得此双曲线的离心率e的最大值．【解答】解：∵P在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=4|PF2|，∴4|PF2|﹣|PF2|=2a，即|PF2|=a，根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|=a≥c﹣a，∴a≥c，即e≤，此双曲线的离心率e的最大值为，故选：C3. “|x|+|y|≤1”是“x2+y2≤1”的（）条件．A．充分必要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵|x|+|y|≤1，∴x2+y2+2|x||y|≤1，∴x2+y2≤1，是充分条件，而x2+y2≤1，推不出x2+y2+2|x||y|≤1，也就推不出|x|+|y|≤1，不是必要条件，故选：B．4. 已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为()参考答案：C略5. 下列命题正确的是A. 虚数分正虚数和负虚数B. 实数集与复数集的交集为实数集C. 实数集与虚数集的交集是D. 纯虚数集与虚数集的并集为复数参考答案：B略6. 设双曲线：的左、右焦点分别为、，是上的点，，，则双曲线的离心率为A. B. C. D.参考答案：C略7. 在同一坐标系中，D是由曲线y=cosx，x∈[﹣，]与x轴所围成的封闭区域，E是由曲线y=cosx，直线x=﹣，x=与x轴所围成的封闭区域，若向D内随机投一点，则该点落入E中的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B略8. 如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（）A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26JD. 0.18J参考答案：D略9. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A． B． C． D．参考答案：考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．解答：解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C．点评：本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．10. 函数y = –（x ≤ 1）的曲线长度是（）（A）（B）（C）2 π（D）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= _________．参考答案：212. 在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为.参考答案：13. 已知椭圆+=1与x轴交于A、B两点，过椭圆上一点P（x0，y0）（P不与A、B重合）的切线l的方程为+=1，过点A、B且垂直于x轴的垂线分别与l交于C、D两点，设CB、AD交于点Q，则点Q的轨迹方程为．参考答案：+y2=1（x≠±3）【分析】由椭圆方程可得A（﹣3，0），B（3，0），令x=﹣3，x=3分别代入切线方程，求得交点C，D，求得直线CB，AD的方程，两式相乘，再由P在椭圆上，化简整理即可得到所求轨迹方程．【解答】解：椭圆+=1的a=3，可得A（﹣3，0），B（3，0），由x=﹣3代入切线l的方程为+=1，可得y=，即C（﹣3，），由x=3代入切线l的方程为+=1，可得y=，即D（3，），可得直线CB的方程为y=（x﹣3）①直线AD的方程为y=（x+3）②①×②可得y2=﹣（x2﹣9），③结合P在椭圆上，可得+=1，即有9﹣x02=，代入③可得，+y2=1（x≠±3）．故答案为：+y2=1（x≠±3）．14. 命题“任取x∈R，x2－2x＋4≤0”的否定为________．参考答案：存在x0∈R，x－2x0＋4>0略15. 抛物线的焦点是__________.参考答案：（1,0）略16. 函数的值域为_______.参考答案：【分析】在含有根号的函数中求值域，运用换元法来求解【详解】令，则,，函数的值域为【点睛】本题主要考查了求函数的值域，在求值域时的方法较多，当含有根号时可以运用换元法来求解，注意换元后的定义域。
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用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效. 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试
题卷上无效.
∴双曲线的标准方程为 x2 − y2 = 1； 12 4
直接设标准方程，联立方程组求解酌情给分.
（2）由 MF1 − MF2 = 4 3, MF1 2 + MF 2 2 = 64
…………………………………5 分 ……………………………8 分
得 MF1 MF 2 = 8,
………………………………………………9 分
1-5 BACBC 6-10 CABDD 11-12 AD
11. 解析：设 C(m,n) ，由重心坐标公式得，ABC 的重心为 ( m + 2 , n + 4) ，代入欧拉线方 33
程得： m + 2 − n + 4 + 2 = 0 ，整理得： m − n + 4 = 0 ①
3
3
AB 的中点为 (1,2) ， AB 的中垂线方程为 x − 2y + 3 = 0 ，
S ∴ MF1F2
=1 2
MF1 MF 2
= 4．
………………………………………………10 分
18.（1）由题意知圆心 O 到直线的距离 d = m 2 2 ， 2
……………………4
分
解得 − 4 m 4 ，所以 m 的取值范围为 − 4 m 4 ；…………………………6 分
（2）ABC 为等边三角形，∴圆周角 ACB = , 得圆心角 AOB = 2 ,…10 分
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（2）由 bn = (4n −1) an = (4n −1) 3n ……………………………………………………7 分 则 Sn = 3 31 + 7 32 +11 33 + + (4n − 5) 3n−1 + (4n −1) 3n, ① 3Sn = 3 32 + 7 33 +11 34 + + (4n − 5) 3n + (4n −1) 3n+1, ② ……………9 分 由① −②，得 − 2Sn = 3 31 + 4(32 + 33 + 34 + + 3n ) − (4n −1) 3n+1
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四项中，只有一项是 符 合题目要求的)
1. 直线 2x − 3y − 6 = 0 在 y 轴上的截距为(▲)
A. 2
B. − 2
C. 3
2. 圆心为 C（−1,1），半径为 2 的圆的方程为(▲)
D. − 3
A. x2 + y2 + 2x − 2y − 2 = 0
线于点 P ，且点 P 的纵坐标为负数，若 3 PQ = 2QF ，则直线 PF 的方 程为(▲)
A . 3x − y − 3 = 0
B. 3x + y − 3 = 0
C. 3x + y − 3 = 0 或 3x − y − 3 = 0
D. x − 3y −1 = 0
10. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，公差为 d ，则(▲)
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18.（本小题满分 12 分）在平面直 角坐标系中，设直线 x + y − m = 0(m R)与
圆 O：x2 + y2 = 8 交于不同两点 A, B .
（1）求实数 m 的取值范围;
（2）若圆上存在点 C 使得
为等边三角形，求实数 m 的值.
19. （本小题满分 12 分）已知{an } 是公比为整数的等比数列， a2 = 9 ，且 a1, a2 + 6, a3 成
的斜率之积为(▲)
A. 9 16
B. − 9 16
C. 16 9
D. − 16 9
6. 已知等差数列{an}前 n 项的和为 Sn ,若 S9 = 27,a10 = 8 ，则 S14 = (▲)
A. 154
B. 153
C. 77
D. 78
7. 已知直线 l1 : 3mx + (m + 2) y + 3 = 0,l2 : (m − 2)x + (m + 2) y + 2 = 0 ，且 l1// l2 ，则 m 的
21.（本小题满分 12 分）甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额均为 a 万元.由于经营 方式不同，甲超市前 n 年的总销售额为 (n2 − n + 2)a 万元，乙超市第 n 年的销售 额比前 2 一年销售额多 ( 2)n−1a 万元． 3 （1）求甲、乙两超市第 n 年销售额的表达式； （2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50% ，则该超市将被另一超
等差数列.
（1）求数列{an } 的通项公式； （2）若 bn = (4n − 1)an (n N ) ，求数列{bn } 的前 n 项和 Sn .
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20.（本小题满分 12 分）已知直线 y = 2x − m 与抛物线 C : y2 = 2 px( p 0) 交于两点 A, B . （1）若 m = p且 AB = 5 求抛物线 C 的方程； （2）若 m = 4 p, 求证 OA ⊥ OB （点 O 为坐标原点）.
a5
5
二、填空题：每小题 5 分，共 20 分.
13. 13 14. 2x − y −1 = 0 15. 5 16. −1075
2
2
16. 解析：由条件得 an+1 − an = 2或an+1 − an = 1，由 a50 =1 知，当 n 49 时，an 0 ；当 n 51
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时， an 0 . 故当前 50 项的公差为 2，后 50 项的公差为 1 时，数列的前 100 项和最小.
当 m = 0,n = 4 时 B,C 重合，舍去，所以顶点 C 的坐标为（− 4,0），故选 A 12. 解析：如图，取线段 PF 的中点 H ，连接 OH ,OA .设椭圆另一个焦点为 E ，连接 PE .
∵ A, B 三等分线段 PF ，∴ H 也是线段 AB 的中点，即 OH ⊥ AB . 设 OH = d ，则 PE = 2d, PF = 2a − 2d, AH = a − d .
= 9 + 4 9(1 − 3n−1) − (4n −1) 3n+1 1−3
（2）当椭圆焦距为
2
时，直线
y
=
kx + m 交椭圆 C
交于
A, B 两点，且 kOA
kOB
=
− b2 4
，
判断 AOB 的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
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荆门市 2019—2020 学年度上学期 高二年级学业水平选择性考试阶段性检测
数学参考答案
一、选择题：每小题 5 分，共 60 分.
A. 3 3
B. 5 3
C. 10 4
D. 17 5
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二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡上相应位置）
13.两条平行直线 3x − 2y − 5 = 0 与 6x − 4y + 3 = 0 间的距离为 ▲ ．
14.已知抛物线 y2 = 4x 的一条弦 AB 恰好以点 P（1,1）为中点，则弦 AB 所在直线方程
联立 x − 2y + 3 = 0 和 x − y + 2 = 0 解得 ABC 的外心为 (−1,1)
则 (m +1)2 + (n −1)2 =32 +12 = 10 ，整理得 m2 + n2 + 2m − 2n = 8 ②
联立①②得： m = −4,n = 0 或 m = 0,n = 4 （舍）
又
a2
=
9
，所以 （2 9
+
6）=
9 q
+
9q
，解得
q
=
1 或q 3
=
3 ………………………………3
分
因为公比为整数，所以 q = 1 舍去，所以 q = 3 …………………………………………4 分 3
所以 an = a2 qn−2 = 9 3n−2 = 3n ；………………………………………………………6 分
最小值为 ▲ ．
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分 10 分）已知双曲线的焦点为 F1(−4,0), F2 (4,0) ，且该双曲线过点 P(6,2 2) ．
（1）求双曲线的标 准方程；
（2）若双曲线上的点 M 满足 MF1 ⊥ MF2 ，求 MF1F2 的面积．
3 在 RtOHA 中， OA 2 = OH 2 + AH 2 ，解得 a = 5d .
在 RtOHF 中， FH = 4 a, OH = a , OF = c ,由 OF 2 = OH 2 + FH 2 2，
5
5
化简得17a2 = 25c2, c = 17 ，即椭圆 C 的离心率为 17 .故选 D .
则顶点 C 的坐标为(▲)
A. (−4, 0)
B. (−2, −2)
C. (−3,1)
D. (−4, −2)
122
+
y2 b2
= 1(a
b 0) 的一个焦点，P 是椭圆 C 上的点，圆 x2
+
y2
=