七年级数学折叠问题总结
(完整版)七年级计算机科学折叠问题总结
(完整版)七年级计算机科学折叠问题总结本文旨在总结七年级计算机科学研究中的折叠问题，并给出方便理解和解决这些问题的简明策略。
1. 什么是折叠问题？折叠问题是指在计算机科学中，对于具有一定长度和宽度的纸张进行叠折后，与折叠前纸张上的图案相对应的问题。
常见的折叠问题包括纸飞机的折叠路径、纸片上的几何图形等。
2. 折叠问题的解决策略为了解决折叠问题，我们可以采用以下简明策略：2.1. 简化问题在解决折叠问题之前，我们可以尝试简化问题，例如将复杂的图形转化为简单的几何形状，或者对纸张进行抽象化，以便更容易理解和推导。
2.2. 几何知识的应用对于涉及几何图形的折叠问题，我们可以运用几何知识来辅助求解。
例如，通过计算折叠后的纸张上某个点的位置，我们可以推导出折叠前这个点所在位置的坐标。
2.3. 迭代和模拟对于复杂的折叠问题，我们可以采用迭代的方法来逐步求解。
可以将纸张的折叠过程分成多个步骤，每个步骤都根据前一步的结果来进行计算。
另外，模拟折叠过程也是一种常用的解决策略，通过模拟折叠过程来获得最终结果。
2.4. 数字化和编程对于涉及大量计算的折叠问题，可以考虑将纸张和折叠过程数字化，并使用计算机编程来求解。
编写程序可以提高计算速度和准确性，同时也能够实现对不同情况的扩展和自动化处理。
3. 注意事项在解决折叠问题时，我们需要注意以下几点：3.1. 保持精确性折叠问题涉及到几何计算和数字计算，对数值的精确性要求较高。
在计算过程中，需使用合适的数值表示方法和准确的计算方式，以避免计算误差。
3.2. 验证和优化在求解折叠问题后，需对结果进行验证，确保答案符合预期。
同时，我们也可以优化求解过程，减少计算时间和资源消耗。
3.3. 整体思考解决折叠问题不仅仅是局部计算，还需要将整体情况考虑在内。
预先规划好计算步骤，并在计算过程中及时调整和优化。
4. 总结折叠问题是计算机科学中的常见问题，解决这类问题需要运用数学、几何知识和计算机编程等多方面的技能。
七年级上册数学角的折叠问题
一、简介七年级上册数学角折叠是一种数学技巧，它可以帮助学生更好地理解数学概念。
七年级上册数学角折叠通过将数学概念组织成一个有结构的折叠图，使学生更容易理解数学概念。
这种折叠图可以帮助学生更好地记住数学概念，并且可以帮助学生更好地分析和解决数学问题。
二、七年级上册数学角折叠的原理七年级上册数学角折叠是一种数学技巧，它是基于一种叫做“角折叠”的数学原理。
角折叠原理是指，当一个多边形被折叠时，其内部的角会根据折叠的方式发生变化。
这种变化可以使多边形的角变成更小的角，也可以使多边形的角变成更大的角。
因此，通过七年级上册数学角折叠，学生可以更容易地理解数学概念，并且可以更容易地记住数学概念。
三、七年级上册数学角折叠的基本步骤1. 理解数学概念：首先，学生需要理解数学概念，包括多边形的边和角，以及多边形的性质，如对称性、平行性等。
2. 把多边形折叠成角：其次，学生需要把多边形折叠成角，这样就可以更容易地观察多边形的角。
3. 观察多边形的角：然后，学生可以观察多边形的角，并记录下多边形的角的大小。
4. 分析多边形的性质：最后，学生可以分析多边形的性质，如对称性、平行性等，以便更好地理解数学概念。
四、七年级上册数学角折叠的优点1. 可以帮助学生更好地理解数学概念：七年级上册数学角折叠可以帮助学生更好地理解数学概念，因为它可以使学生更容易地理解多边形的角和多边形的性质。
2. 可以帮助学生更好地记住数学概念：七年级上册数学角折叠可以帮助学生更好地记住数学概念，因为它可以使学生更容易地记住多边形的角和多边形的性质。
3. 可以帮助学生更好地分析和解决数学问题：七年级上册数学角折叠可以帮助学生更好地分析和解决数学问题，因为它可以使学生更容易地分析多边形的角和多边形的性质，从而更容易地解决数学问题。
五、七年级上册数学角折叠的练习1. 多边形练习：学生可以练习画多边形，并观察多边形的角的大小，以便更好地理解数学概念。
2. 角折叠练习：学生可以练习把多边形折叠成角，以便更好地理解数学概念。
展开与折叠(3种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
展开与折叠（3种题型）【知识梳理】一．几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．二．展开图折叠成几何体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．三．专题：正方体相对两个面上的文字（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．【考点剖析】一．几何体的展开图（共9小题）1．（2022秋•江汉区期末）下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．【分析】依据棱柱的所有的面的形状以及位置，即可得到棱柱的表面展开图．【解答】解：A．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；B．该图是棱柱表面展开图，故本选项正确；C．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；D．该平面图形不能围成棱柱，能围成圆柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了几何体的展开图以及棱柱的结构特征，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．2．（2022秋•南京期末）如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点B重合的点为（）A．点C和点D B．点A和点E C．点C和点E D．点A和点D【分析】根据图形，把正方体展开图折叠成正方体，观察得到重合的点．【解答】解：在这个正方体中，与点B重合的点为点C和点D．故选：A．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握折叠后的正方体的图形是关键．3．（2022秋•莲湖区期末）诗语同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm，高是2cm．（1）求长方体盒子的长和宽．（2）求这个包装盒的体积．【分析】（1）利用图中关系首先求出宽，然后求出长；（2）用体积公式即可．【解答】解：（1）宽为：（14﹣2×2）÷2＝5（cm），长为：5+3＝8（cm）；（2）8×5×2＝80（cm3）．【点评】本题考查的是几何体的展开图，解题的关键是求出长和宽．4．（2022秋•鹤壁期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12cm．（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？（2）若1平方米硬纸板价格为元，则制作10个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）【分析】（1）根据长方体的表面积公式计算即可；（2）根据题意列式计算即可．【解答】解：（1）由题意得，2×（12×6+12×6+6×6）＝360cm2；答：制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板；（2）360÷10000×5×10＝1.8元，答：制作10个这样的包装盒需花费1.8元钱．【点评】本题考查了几何体的表面积，正确的计算出长方体的表面积是解题的关键．5．（2022秋•和平区期末）某校积极开展文明校园的创建活动，七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有种添加方式．【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：“收”字分别放在“垃”“圾”“分”“类”下方均可成完整的正方体展开图，所以有4种添加方式．故答案为：4．【点评】本题主要考查了正方体的展开图特点，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键．6．（2022秋•江阴市期末）如图是一个正方体纸盒，下面哪一个可能是它的表面展开图（）A．B．C．D．【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．B，D与此不符，所以错误；再观察3个图案所在的位置，而选项C不符，正确的是A．故选：A．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．（2022秋•二道区校级期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同．【分析】依据正方体展开图的特征进行判断，即可得到3种不同的正方体展开图．【解答】解：如图所示：（答案不唯一）【点评】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的结构特点．8．（2022秋•伊川县期末）如图，是一个几何体的表面展开图：（1）请说出该几何体的名称；（2）求该几何体的表面积；（3）求该几何体的体积．【分析】（1（2）依据长方体的表面积等于六个面面积之和即可得出结论；（3）依据体积计算公式，即可得到该几何体的体积．【解答】解：（1）该几何体的名称是长方体；（2）该几何体的表面积为：2×（2×3+2×1+1×3）＝22（平方米）；（3）该几何体的体积为：2×3×1＝6（立方米）．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是关键．9．（2022秋•仪征市期末）将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开条棱．【分析】根据无盖正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，即可得出答案．【解答】解：∵无盖正方体有5个表面，两个面共一条棱，共8条棱，要展成如图所示图形必须4条棱连接，∴要剪8﹣4＝4条棱，故答案为：4．【点评】此题主要考查了正方体的展开图的性质，根据展开图的性质得出要展成如图所示图形必须4条棱连接，是解题关键．二．展开图折叠成几何体（共9小题）10．（2022秋•沈河区期末）如图，如果裁掉一个正方形后能折叠成正方体，那么能裁掉的是（）A．①B．②和③C．③和④D．②或③或④【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由正方体的展开图可知，去掉②或③或④原图都可以折叠成正方形，故选：D．11．（2022秋•高新区期末）下列图形经过折叠不能成为一个封闭的正方体的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折叠成正方体，故选：D．【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．12．（2022秋•青秀区校级期末）如图平面图形不能折成无盖长方体盒子的是（）A．B．C．D．【分析】根据长方体展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折成无盖长方体盒子，故选：C．【点评】本题主要考查长方体展开图的知识，熟练掌握长方体展开图的知识是解题的关键．13．（2022秋•晋江市期末）图①是正方体的表面展开图，该正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体，在图①标注的顶点A、B、C、D中，与点P重合的顶点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】先找出下面，然后折叠，找出正方形ABCD位于正方体的哪个面上，点P所在正方形位于正方体的哪个面上，即可找出与点P重合的顶点．【解答】解：如图：以正方形1为下面，将正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体时，正方形ABCD位于正方形的上面，点P所在正方形在前面，点B与点P重合．故选：B．【点评】本题考查正方形的展开图和空间想象能力，关键是找出或想象出折叠前后图形的关系．14．（2022秋•秦淮区期末）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）A．B．C．D．【分析】根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；B、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；C、底面有2个三角形，不能折叠围成一个三棱柱，故本选项错误；D、展开图有3个底面，不能围成三棱柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，15．（2022秋•姜堰区期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．如图是他制作的一个半成品的平面图：（1）在中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子；（2）已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为56cm，求这个长方体盒子的体积．【分析】（1）根据长方体的展开图补充图形即可求解；（2）根据题意，设长方体的高为a，则宽为2a，长为4a，根据长方体所有棱长的和为56cm，列出方程，进而根据体积公式即可求解．【解答】解：（1）如图所示，（2）设长方体的高为acm，则宽为2acm，长为4acm，根据题意得，4（a+2a+4a）＝56（cm），解得：a＝2，∴这个长方体的高为2cm，宽为4cm，长为8cm，∴这个长方体盒子的体积为：2×4×8＝64（cm3）．【点评】本题考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．16．（2022秋•宛城区校级期末）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b （cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．【问题解决】（1）若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面积为；【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b （cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．【拓展延伸】（2）若a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒的体积为；（3）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？【分析】（1）由折叠可得底面是边长为6cm的正方形，进而求出底面积即可；（2）由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为a﹣2b，，b，根据体积公式进行计算即可；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，分别求出按图1，图2的折叠方式所得到的长方体的体积即可．【解答】解：（1）如图1，若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面是边长为12﹣3×2＝6（cm）的正方形，因此面积为6×6＝36（cm2），故答案为：36cm2；（2）如图2，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来可得到长为a﹣2b，宽为，高为b的长方体，当a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒长为12﹣2×2＝8（cm），宽为＝4（cm），高为2cm，所以体积为8×4×2＝64（cm3），故答案为：64cm3；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，按图1作无盖的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（30﹣5×2）×5＝2000（cm3），按图2作的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（）×5＝1000（cm3），2000÷1000＝2（倍），答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键．17．（2022秋•昆明期末）图（1）和图（2）中所有的正方形都相同，将图（1）的正方形放在图（2）中的①②③④⑤某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．①②B．②③C．③④D．②⑤【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的②⑤的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．故选：D．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．熟记正方体的11种展开图是解题的关键．18．（2022秋•阳泉期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：观察判断：小明共剪开了条棱；动手操作：现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形；解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是880cm，求这个纸盒的体积．【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．【解答】解（1）小明共剪了8故答案为：8．（2）如图，四种情况．（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，∴4（a+5a+5a）＝880，解得a＝20，∴这个长方体纸盒的体积为20×100×100＝200000（立方厘米）．【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．三．专题：正方体相对两个面上的文字（共7小题）19．（2022秋•泗阳县期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（）A．1B．2C．3D．6【分析】根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2【解答】解：根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2，将正方形展开如图所示，∴5的对面是6，故选：D．【点评】本题考查了正方体展开图，相对面上的字，注意数字的摆放是解题的关键．20．（2022秋•溧水区期末）如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数相等，则a+b+c ＝．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：由图可知，c+1＝3，1+b＝1，a＝﹣2，所以a＝﹣2，b＝0，c＝2，所以a+b+c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，解答本题的关键在于注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．21．（2022秋•高邮市期末）一个正方体的6个面上分别标有字母a、b、c、d、e、f．若甲、乙两位同学分别在f、e朝上时，看到的另两个字母如图，则b对面的是．【分析】根据第一个图形和第二个图形中都含有d的面，即可判断．【解答】解：由题意可知d字母所在面相邻的面上的字母分别为a、c、e、f，则d的对面是b．即b对面的是d．故答案为：d．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，同时也考查了空间想象能力和推理能力．正确记忆立方体的特点是解题关键．22．（2022秋•川汇区期末）党的二十大报告提出，要以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴．将“中国式现代化”这六个字分别写在一个正方体的六个表面上，如图是它的一种展开图，则与“式”相对的字是（）A．中B．国C．现D．代【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“式”字相对的面上的汉字是“中”．故选：A．【点评】本题考查了正方体的展开图形，掌握相对面进行分析及解答是关键．23．（2022秋•青神县期末）如果一个骰子相对两面的点数之和为7，它的表面展开图如图所示，则下面判断正确的是（）A．A代表B．B代表C．C代表D．B代表【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面，∵骰子相对两面的点数之和为7，∴A代表的点数是6，B代表的点数是5，C代表的点数是3．故选：A．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握从相对面入手是关键．24．（2022秋•汉台区期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．25．（2022秋•青神县期末）一个立方体的六个面上分别标上一至六点（一个小圆表示一点，每个面上的点数不同），然后将完全一样的四个立方体摆放成如图样式的一个长方体，我们能看到的面上的点数如图所示，则长方体底面上的点数之和是．【分析】先判断出相对的面的点数，再进行计算即可．【解答】解：由题意可知，“3点”的面的邻面有“2点、6点、4点、5点”，所以与“3点”相对的面的点数为“1点”；因为“4点”的面的邻面有“6点、5点、3点、1点”，所以与“4点”相对的面的点数为“2点”；因为“6点”的面的邻面有“3点、1点、4点、2点”，所以与“6点”相对的面的点数为“5点”；所以长方体底面上的点数之和是：4+1+5+2＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，关键是弄清每个骰子六面点数之和是几，每个骰子看见面的点数之和是几．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2022•河南三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是（）A．老B．南C．河D．家【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．【解答】解：在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是“家”，故选：D．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．2．（2022•金坛区二模）某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（）A．圆柱B．长方体C．四棱锥D．五棱锥【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．【解答】解：这个几何体由四个三角形和一个正方形围成，故这个几何体为四棱锥．故选：C．【点评】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．3．（2022•梧州模拟）下列在立体图形中，它的侧面展开图是扇形的是（）A．正方体B．长方体C．圆柱D．圆锥【分析】根据常见立体图形的侧面展开图判断即可得出答案．【解答】解：A选项，正方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；B选项，长方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；C选项，圆柱的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；D选项，圆锥的侧面展开图是扇形，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形是解题的关键．4．（2022•丰台区二模）如图，下列水平放置的几何体中，侧面展开图是扇形的是（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的展开图：三棱柱的侧面展开图是三个长方形；四棱柱的侧面展开图是四个长方形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；可得答案．【解答】解：AB、侧面展开图是四个长方形，故此选项不符合题意；C、侧面展开图是一个长方形，故此选项不符合题意；D、侧面展开图是扇形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，记住常用几何体的侧面展开图是解题的关键．二．填空题（共3小题）5．（2022•晋中一模）“双奥之城”指既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．2008年北京夏季奥会之后，2022年北京冬季奥运会成功举办，使北京成为世界上首座“双奥之城”．下列正方体展开图的每个面上都标有一个汉字，把它们折成正方体后，与“双”字相对面上的汉字是．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．【解答】解：与“双”字相对面上的汉字是城，故答案为：城．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．6．（2021秋•息县期末）根据表面展开图依次写出立体图形的名称：、、．【分析】根据表面展开图的形状判断即可．【解答】解：圆锥的表面展开图是一个扇形和圆，四棱锥的表面展开是一个四边形和四个三角形，三棱柱的表面展开是三个长方形和两个三角形．【点评】本题考查立体图形的表面展开，熟悉各几何体表面展开的形状是求解本题的关键．7．（2021秋•绵阳期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“y”一面与相对面上的代数式相等，则有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0（用数字作答）．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端对面，判断即可．【解答】解：由图可知：y与2y﹣3相对，xy2与﹣3xy相对，由题意得：y＝2y﹣3，∴y＝3，∴xy2+（﹣3xy）＝9x+（﹣9x）＝0，∴有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0，故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．三．解答题（共5小题）8．（2021秋•武功县期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．9．（2021秋•临汾期末）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是；A．字母B B．字母A C．字母R D．字母T（2）若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．【分析】（1）根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可；（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可解答．【解答】解：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置：字母B，故答案为：A；（2）由题意得：2×3×2+2×3×1+2×2×1＝12+6+4＝22，∴包装盒的表面积为22．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据长方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．10．（2021秋•渠县期末）如图，是底面为正方形的长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：（1）与N重合的点是哪几个？（2）若AB＝3cm，AH＝5cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？【分析】（1）把展开图折叠即可得出答案；。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题16 折叠问题
专题16 折叠问题专题解读】折叠问题是近几年来中考出现频率较高的一类题型，同学们往往由于对折叠的本质理解不够透彻，因此难以找到解题的方向.折叠是现实生活常见的操作活动，而初中几何学习中，以折叠为活动载体的问题很多，这类问题一般都要经历操作、观察、比较、概括、交流、猜想、推理等过程.研究折叠问题，可以帮助学生提高观察能力、动手能力、想象能力、综合运用知识的能力，发展合情推理和演绎推理能力．思维索引】例1．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作研究：操作一：（1）折叠纸面，使1表示的点与-1表示的点重合，则-2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使1表示的点与-3表示的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠重合，则A、B两点表示的数分别是、；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从-1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若这三条线段的长度之比为1：1：2，求折痕处对应的点所表示的数？例2．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数．（2）△MNK的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，画出相应的图形．素养提升1．如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，∠1=95°，则∠2的度数为（ ） A ．24° B ．25° C ．30° D ．35°21FE C'B'BA F OD CBA2．如图，将△ABC 沿DE 、EF 翻折，顶点A 、B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠CDO +∠CFO =98°，则∠C 的度数为（ ）A ．40°B ．41°C ．42°D ．43°3．如图，四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若MF /∥AD ，FN //DC ，则∠D 的度数为（ ）A ．115°B ．105°C ．95°D ．85°4．如图，四边形ABCD 纸片中，已知∠A =160°，∠B =30°，∠C =60°，四边形ABCD 纸片分别沿EF ，GH ，OP ，MN 折叠，使A 与A'、B 与B'、C 与C'、D 与D'重合，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7-∠8的值是（ ）A ．600°B ．700°C ．720°D ．800°5．如图1是AD ∥BC 的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF 折叠并压平，再沿BF 折叠并压平，若图3中∠CFE =18°，则图2中∠AEF 的度数为（ ）A ．108°B ．114°C ．116° D ．120°图 1 图 2 图 3DCBA6．一根长30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠，为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，MA 的长应为 cm ．BM A7．如图，将四边形纸片ABCD 沿MN 折叠，点A 、D 分别落在点A 1、D 1处，若∠1+∠2=140°，则∠B +∠C = ．21D 11NM D CBA8．如图1，ABCD 是长方形纸带，∠DEF =23°，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF 折叠成图3，则图3中的∠CFE 的度数是 ．图 a 图 b 图 cCFED CBA9．如图，△ABC 中，∠A =30°，E 是AC 边上的点，先将△ABE 沿着BE 翻折，翻折后△ABE 的AB 边交AC 于点D ，又将△BCD 沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时∠CDB =82°，则原三角形中的∠B 的度数为 ．ED CBAE DACBA10．如图1，在长方形ABCD 中，E 点在AD 上，并且∠ABE =30°，分别以BE 、CE 为折痕进行折叠并压平，如图2．若图3中∠AED=n °，则∠BCE 的度数为 （用含n 的代数式表示）．11．如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部，我们知道∠A与∠1、∠2之间有一定的数量关系；（1）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；（2）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A与点H重合，试探究∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．12．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分：将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC是平分线AB1折叠，则等腰三角形的两个点B与点C 重合（因为等腰三角形的两个底角是相等的）；情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”“不是”）（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系，写出探究过程．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系是；应用提升（3）在三个角都不相等的三角形中，小丽找到一个三角形，三个角分别为4，16°，160°，发现此三角形的三个角都是好角．你能尝试再构造两组三个角都不相等，并且都是好角的三角形吗？写出具体角度即可．专题16折叠问题．思维索引】例1．(1)2； (2)－5，3 ； (3) 72，198，378； 例2．(1)40°； (2)不能，大于12； (3)略；素养提升】1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．A ； 5．B ； 6．10.5； 7．110°； 8．111°； 9．78； 10．30＋2n ； 11．(1)∠BIC ＝122.5°； (2)∠BHC ＝180°－5(∠1＋∠2)； 12．(1)是； (2)∠B ＝3∠C ；∠B ＝n ∠C ；(3)答案不唯一，只需要满足三点：和为180°，各不相等，以及任意两个角之间都存在整数倍关系；。
七年级数学下平面图形折叠问题
初一数学中的折叠问题 张文彩 折叠问题是一个热点问题，不仅在中考中居于很重要的地位，而且在初一初二年级的期中期末考试中都是经常遇到的题目。
初一年级的折叠问题大多是与平行有关的问题，然后根据平行线的性质求出有关角的度数问题，初二的折叠问题不仅与平行线有关，还和直角三角形的勾股定理，等腰三角形性质等相关的问题，初三的折叠问题就显得复杂得多，因为与初中阶段所学的各个知识点都有可能相关。
下面就从最简单的初一数学知识有关折叠的问题进行总结。
一．折叠矩形的一个角，求角的度数问题。
例1.如图，将矩形ABCD 沿AE 对折，使点D 落在点F 处，若∠CEF=60°，则∠EAF 等于（ ）；∠AED 的大小为 （ ）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°解析：根据折叠的性质，折叠的角等于原图形中的角，也就是∠DEA=∠FEA ；再根据平角的度数是180°和条件∠CEF=60°，先求出∠DEA ，然后根据三角形内角和是180°求出∠DAE ，最后求出∠EAF 。
解：∵∠CEF=60°，∴∠DEA=21（180°-60°）=60°．在Rt △ADE 中，∠DAE=90°-∠DEA=90°-60°=30°．∵△EAF 由△EAD 翻折而成，∴∠EAF=∠EAD=30°．故选D ．例2. 将矩形ABCD 沿折线EF 折叠后点B 恰好落在CD 边上的点H 处，且 ∠CHE=40°，求∠EFB 的度数．解析：折叠的性质：折叠后得到的角等于原来的角，也就是∠EHF=∠B=90°，∠EFH=∠BFE. 因为∠CHE=40°，所以∠FHC=90°+40°=130°，再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求得∠HFB，最后求得∠EFB的度数。
七年级数学展开与折叠
在机械制造中，经常需要将零件展开成平面图形进行加工和制造。这样可以提高加工精度 和效率，也可以减少材料浪费和降低成本。同时，在机械装配过程中，也需要将零件按照 一定规律进行折叠和组装。
02
平面图形展开与折叠
正方形和长方形展开
正方形展开
正方形可以沿着对角线或者中垂线展开成一个直线 段或者两个相等的直角三角形。
物理理论的数学化
许多物理理论最终需要转化为数学 模型以便进行更深入的分析和研究， 如量子力学和广义相对论等。
数学在化学中的应用
化学计量学
数学在化学计量学中有着广泛应 用，如化学方程式的配平、摩尔
质量的计算等。
化学反应动力学
数学方法可以帮助研究化学反应 的速率和机理，如反应速率常数
的确定、反应机理的推导等。
圆形和扇形展开后，其各边长度和角 度关系可能会发生变化。同时，圆形 和扇形的面积和周长也会发生变化。
扇形展开
扇形是圆的一部分，可以沿着半径或者圆弧 展开，得到一个平面图形。根据展开方式的 不同，可以得到不同的形状，如三角形、梯 形等。
03
立体图形展开与折叠
正方体和长方体展开
正方体展开
正方体有6个面，12条棱，8个顶 点，可以展开成6个相连的正方形 。展开后，相对的面不相邻。
实现变废为宝
利用废旧纸张、布料等材 料进行展开与折叠的手工 制作，可以实现资源的再 利用，具有环保意义。
05
拓展内容：数学在其他领域的应用
数学在物理中的应用
描述物理现象
数学语言可以精确描述物理现象， 例如牛顿第二定律 F=ma 就用数 学表达式阐明了力和加速度之间
的关系。
解决物理问题
数学方法如微积分、常微分方程等 被广泛应用于解决物理问题，如求 解运动方程、分析电磁场等。
七年级数学折叠问题总结
C D G FF 折叠问题1．常见图形① ② ③ ④⑤ ⑥ ⑦ ⑧⑨⑩2．折叠的本质是 ，折叠前后的对就应线段、对应角 。
3．折痕是 ，对应点连线被对称轴 。
练习题1．如图，DE ∥AB ，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于2．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上E 处，折痕为CD ，则∠BDE 等于3．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM ．如果将ABM △沿直线AM 翻折后， 点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．4．如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA ′=30°则∠BEA ′=_____5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为 。
6．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 。
7．矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图）， 则着色部分的面积为8．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为 ．9．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是 F E D C B A N M F E D C B A F E D C B A F E D C B A N M F E D C B A F E D C B A E D C B A N M F E D C B A FE D C B A P E D C B A P E D C B A E D C B A M C B AA B C D E A′A ′ G D B C A E D D ′A NM F D AD A C B A 'F E D C B A10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A ´处，若∠A ´BC ＝20°，则∠A ´BD 的度数为 ．11．如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为12．已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是 。
七年级数学下平面图形折叠问题
初一数学中的折叠问题张文彩折叠问题是一个热点问题，不仅在中考中居于很重要的地位，而且在初一初二年级的期中期末考试中都是经常遇到的题目。
初一年级的折叠问题大多是与平行有关的问题，然后根据平行线的性质求出有关角的度数问题，初二的折叠问题不仅与平行线有关，还和直角三角形的勾股定理，等腰三角形性质等相关的问题，初三的折叠问题就显得复杂得多，因为与初中阶段所学的各个知识点都有可能相关。
下面就从最简单的初一数学知识有关折叠的问题进行总结。
一．折叠矩形的一个角，求角的度数问题。
例1.如图，将矩形ABCD 沿AE 对折，使点D 落在点F 处，若∠CEF=60°，则∠EAF 等于（ ）；∠AED 的大小为 （ ）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°解析：根据折叠的性质，折叠的角等于原图形中的角，也就是∠DEA=∠FEA ；再根据平角的度数是180°和条件∠CEF=60°，先求出∠DEA ，然后根据三角形内角和是180°求出∠DAE ，最后求出∠EAF 。
解：∵∠CEF=60°，∴∠DEA=21（180°-60°）=60°．在Rt △ADE 中，∠DAE=90°-∠DEA=90°-60°=30°．∵△EAF 由△EAD 翻折而成，∴∠EAF=∠EAD=30°．故选D．例2.将矩形ABCD沿折线EF折叠后点B恰好落在CD边上的点H处，且∠CHE=40°，求∠EFB的度数．解析：折叠的性质：折叠后得到的角等于原来的角，也就是∠EHF=∠B=90°，∠EFH=∠BFE. 因为∠CHE=40°，所以∠FHC=90°+40°=130°，再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求得∠HFB，最后求得∠EFB的度数。
七年级数学下专题——折叠问题
七年级数学下专题——折叠问题1、将一张等宽的纸条按图中方式折叠,若∠1 = 50°,则∠2的度数为 .2、如图，矩形ABCD中(AD>AB)，M为CD上一点，若沿着AM折叠，点N恰落在BC上，∠ANB+∠MNC=____________；3、把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_______°，∠2=_______°4、如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（）5、如图，把矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，EB延长线交AD或AD的延长线于F，则△EAF是（）A.底边与腰不相等的等腰三角形 B.各边均不相等的三角形；C.或是各边不相等的三角形，或是底边与腰不相等的等腰三角形；D.6、如图(5)，将标号A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四个图形。
按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形，”的对应关系，填空：A与______对应，B与 ______对应，C与______对应，D与______对应。
A B C DP Q MAB CDNM右下方折右折沿虚线剪开A B C D图37、如图3，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（ ）.8、如图1，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（ ）.图1 A B C D9、将一圆形纸片对折后再对折，得到右图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是( )10、如图，ABC ∆沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A '处， 若点D 为AB 边的中点， 50=∠B ，则A BD '∠的度数\ 为 .11、如图8裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠， 使D 点落在BC 边的F 处，若∠BAF=60º，则∠DAE=______。
七年级折叠问题知识点总结
七年级折叠问题知识点总结折叠问题是初中数学中一个相对难度不高但却高频出现的考点，对于七年级学生来说，掌握折叠问题的知识点是非常重要的。
下面将就这一考点进行全面总结。
一、定义折叠问题是指在一个平面图形上通过把它按照一定的方式、方向折叠，最终使得不同的部分重叠在一起或被盖住，要求求出被盖住部分的面积或者所剩下的形状等问题。
其涉及的图形种类繁多，但基本操作类似，具有很高的抽象性和富有思维性，是一种综合运用几何知识的问题。
二、关键思维折叠问题的解题关键在于灵活运用图形之间的等价性质，相关的思维方法主要包括以下几点：1. 分析图形的对称性：折叠通常涉及到“翻折”、“对称”等概念，因此，我们在解题中首先需要分析图形的对称性质，找出各对称轴，这样才能找到正确的折叠方式，避免漏解或者重解。
2. 利用图形不变性：在进行折叠的过程中，需要注意图形的一些不变性质，如面积、周长、角度、比例等，这些特征是可以被运用的，例如，在解决一道求面积的问题时，可能只需找到一个图形特征，便能够得出答案。
3. 选择适当的剖法：在有些情况下，通过简单的折叠很难求解，因此需要选择适当的剖法，如通过切割、旋转、投影等方法，将图形分割成子图形或更容易操作的形状，这样可以更方便地分析和计算。
三、常见的折叠问题1. 棱镜类问题棱镜折叠问题是指给定一个长方形，将其沿着边界折叠成一个四面体，求四面体的表面积或者体积等问题。
这种情况下需要考虑对称和镜像点等概念，利用图形不变性求解。
2. 圆柱类问题圆柱折叠问题是指给定一个长方形或者正方形，将其围绕着一定的轴旋转，并折叠起来，求形成的圆柱的表面积或者体积等问题。
这种情况下需要运用如旋转、映射等数学方法，求解时同样需要考虑对称、面积不变等特征。
3. 复杂图形问题复杂图形折叠问题是指给定一个复杂的图形（如饼干、卡片、飞机等），将其沿着特定的折叠线折叠后，求被覆盖部分的面积，或者被剖开后所得到的不同的图形等问题。
七年级数学上册专题提分精练数轴折叠问题探究(解析版)
专题12 数轴折叠问题探究1．小聪在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为10，且A，B两点经上述折叠后重合，则B点表示的数为__．【答案】6.5或-3.5【解析】【分析】折叠后数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，点﹣2和点5的中点是1.5，数轴上A，B两点经上述折叠后重合，且A，B两点之间的距离为10，则A点与B点到1.5的距离都是5，进而求出B点表示的数即可．【详解】折叠后数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，折叠点为﹣2和5的中点：1.5．∵数轴上A，B两点经上述折叠后重合，且A，B两点之间的距离为10，∴A点与B点到1.5的距离都是5，当B点在中点右侧时，对应的数为1.5+5＝6.5，当B点在中点左侧时，对应的数是1.5﹣5＝-3.5．故答案为：6.5或-3.5．【点睛】本题考查数轴，能正确找出线段的中点是解题的关键．2．如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是7-，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且2AB=，则C点表示的数是______．【答案】1-【解析】【分析】根据A与B表示的数求出AB的长，再由折叠后AB的长，求出BC的长，即可确定出C表示的数．【详解】解：∵A，B表示的数为-7，3，∴AB=3-（-7）=4+7=10，∵折叠后AB=2，∴BC =10-22=4， ∵点C 在B 的左侧， ∴C 点表示的数为3-4=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了数轴，折叠的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．3．如图，数轴上a ，b ，c 三个数所对应的点分别为A ，B ，C ，已知：0b >，且b 的倒数是它本身，且a ，c 满足．()2620c a -++=，若将数轴左右折叠，使得点A 与点B 重合，则与点C 重合的点表示的数是______．【答案】7- 【解析】 【分析】由数轴和题意得到1b =，由非负数的性质，求出2a =-，6c =，然后根据折叠的性质，即可求出答案． 【详解】 解：根据题意，∵0b >，且b 的倒数是它本身， ∴1b =，∵()2620c a -++=， ∴2a =-，6c =，∵将数轴左右折叠，使得点A 与点B 重合， ∴折叠的点为12122-=-， ∴与点C 重合的点表示的数是11(6)722--+=-；故答案为：7-． 【点睛】本题主要考查了数轴及数轴上两点间的距离公式的运用，非负数的性质，倒数的定义，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．4．已知如图，点A 表示的数是﹣2，点B 表示的数是8，现将该数轴折叠，使得点A 与点B 重合，若点C 表示的数是9，则折叠后与点C 重合的点表示的数为 _____．【答案】-3【解析】【分析】先根据A和B重合找出对称轴，然后列出方程求解即可．【详解】解：由题意得：对称轴与数轴的交点表示的数是2832-+=，设折叠后与点C重合的点表示的数为x，可得：3﹣x＝9﹣3，解得x＝﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了有理数与数轴，解一元一次方程，求出对称轴与数轴交点表示的数是解题的关键．5．已知：数轴上的点A、B分别表示﹣1和3.5．(1)在数轴上画出A、B两点；(2)若点C与点A距离4个单位长度，则点C表示的数是___．(3)若折叠纸面，使数轴上﹣1表示的点与3表示的点重合，则10表示的点与数___表示的点重合．【答案】(1)见解析(2)3或﹣5(3)-8【解析】【分析】（1）根据有理数与数轴的关系可求．（2）利用数轴上两点之间的距离可求点C．分点A左边4个单位和右边4个单位两种情况；（3）根据-1与3表示的点重合，可得这两点的中点表示的数为1，继而可得10表示的点关于1表示的点对称的点；(1)解：如图：(2)解：点C在点A右侧时，点C表示的数为：﹣1+4＝3，当点C在点A左侧时，点C所表示的数为：﹣1﹣4＝﹣5．故答案为：3或-5．(3)解：1312-+=，故纸面是沿着数字1进行折叠的，即-1和3的中点表示的数为1，∴102x+＝1，解得x＝﹣8．∴10表示的点与数﹣8表示的点重合．故答案为：-8．【点睛】此题考查了数轴上的点表示有理数，有理数运算．数轴上两点间的距离和一元一次方程，解题的关键是利用数轴数形结合列式计算，注意不要漏解．根据题意列出方程，注意分类讨论．6．如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数－1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题：(1)表示数－2的点与表示数__________的点重合；表示数7的点与表示数__________的点重合.(2)若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是_______B表示的数是________；(3)已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数是多少？【答案】(1)6，－3(2)－4、8(3)M点表示的数为－1008或1012【解析】【分析】（1）先判断出表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，即可得出答案；（2）先判断出点A和点B到表示数2的点的距离为6，即可得出结论；（3）分点M在点A的左边和在点B的右侧，用距离之和为2020建立方程求解即可得出结论．(1)解：由折叠知，表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，∴表示数－2的点与表示数6的点关于数2的点对称， 表示数7的点与表示数－3的点关于数2的点对称， 故答案为：6，－3； (2)∵折叠后点A 与点B 重合，∴点A 与点B 关于表示数2的点对称， ∵A ，B 两点之间距离为12，∴点A 和点B 到表示数2的点的距离都为6，∴点A 表示的数为2－6=－4，点B 表示的数为2＋6=8， 故答案为：－4，8； (3)设M 表示的数为x ，当M 点在A 点左侧时482020x x --+-=，解得1008x =-； 当M 点在B 点右侧时：()482020x x --+-=，解得1012x =， 所以M 点表示的数为－1008或1012． 【点睛】本题考查折叠问题，一元一次方程的解法，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 7．如图，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，且a ，c 满足以下关系式：()2390a c ++-=，1b =．(1)a =______；c =______；(2)若将数轴折叠，使得A 点与B 点重合，则点C 与数______表示的点重合；(3)若点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，当代数式x a x b x c -+-+-取得最小值时，此时x =______，最小值为______． 【答案】(1)3-，9 (2)11- (3)1，12 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；（2）先求出AB 的中点表示的数，由此即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可． (1)解：∵()2390a c ++-=，30a +≥，()209c -≥，∴3090a c +=⎧⎨-=⎩， ∴39a c =-⎧⎨=⎩，故答案为：-3；9； (2)解：∵点A 表示的数为-3，点B 表示的数为1， ∴AB 中点表示的数为-1， ∴点C 到AB 中点的距离为10， ∴点C 与数-1-10=-11表示的点重合， 故答案为：-11； (3)解：由题意得x a x b x c -+-+-119x x x =++-+-，∴代数式x a x b x c -+-+-的值即为点P 到A 、B 、C 三点的距离和， 如图3-1所示，当点P 在A 点左侧时3316x a x b x c PA PB PC PA AB AC PA -+-+-=++=++=+ 如图3-2所示，当点P 在线段AB 上时，12x a x b x c PA PB PC PB -+-+-=++=+ 如图3-3所示，当点P 在线段BC 上时，12x a x b x c PA PB PC PB AC PB -+-+-=++=+=+ 如图3-4所示，当点P 在C 点右侧时，320x a x b x c PA PB PC PC -+-+-=++=+∴综上所述，当P 与B 点重合时，()=12x a x b x c -+-+-最小值．【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键．8．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：(1)请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：_______，B：_______；(2)在数轴上与点A的距离为2的点所表示的数是_______；(3)若经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，则B点与数_______表示的点重合；(4)若数轴上M、N两点之间的距离为11（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：_______，N：_______．【答案】(1)1；4-(2)1-或3(3)2-；4.5(4) 6.5【解析】【分析】（1）数轴上可以直接看出A：1，B：﹣4；（2）利用与点A的距离为2的点有两个，即一个向左，一个向右，可得答案；（3）找到对称中心即可得答案；（4）由题意知对称中心为﹣1，以及M，N两点间的距离为11，即可得M，N两点的位置．(1)解：数轴上可以看出A：1，B：﹣4，故答案为：1，﹣4；(2)解：利用与点A的距离为2的点有两个，即一个向左，一个向右，∴这些点表示的数为：1﹣2＝﹣1，1+2＝3，故答案为：﹣1或3；(3)解：∵经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，∴两点的对称中心是﹣1，∴B点与数2重合，故答案为：2；解: ∵两点的对称中心是﹣1，数轴上M、N两点之间的距离为11，∴M、N两点与对称中心的距离为115.52=，又∵M在N的左侧，∴M、N两点表示的数分别是：﹣5.5﹣1＝﹣6.5，5.5﹣1＝4.5，故答案为：﹣6.5，4.5．【点睛】本题考查了数轴有关的知识，解题的关键在于要考虑周全．9．根据下面给出的数轴，解答下面的问题；(1)请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：______，B：_____；(2)在数轴上与点A的距离为2的点所表示的数是______；(3)若经过折叠，A点与3-表示的点重合，则B点与数______表示的点重合；(4)若数轴上M、N两点之间的距离为11（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：，N：．【答案】(1)1，-4(2)-1或3(3)2(4)-6.5，4.5【解析】【分析】对于（1），根据数轴上的位置可得答案；对于（2），符合条件的点在点A的两侧，可得答案；对于（3），首先确定折叠的点，再判断与点B重合的点；对于（4），根据对称中心，及两点之间的距离可得答案．(1)数轴上的点可以看出点A表示的数是1，点B表示的数是-4；故答案为：1，-4；(2)根据与点A的距离是2的点有两个，即1-2=-1，1+2=3；故答案为：-1或3；经过折叠点A 与-3重合， 所以两点的对称中心是-1， 所以点B 重合的数是2； 故答案为：2； (4)由两点的对称中心是-1，数轴上M ，N 两点之间的距离是11， 所以两点之间与对称中心的距离是11÷2=5.5． 因为点M 在点N 的左侧， 所以-5.5-1=-6.5，5.5-1=4.5； 故答案为：-6.5，4.5． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点，确定对称中心是的关键．10．如图，在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，a 、b 满足()2530a b -++=，点O 是数轴原点．（1）计算点A 表示的数、点B 表示的数；（2）若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，则点O 与数_________表示的点重合； （3）点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，请在线段AB 上找一点C ，使2AC BC =，写出点C 在数轴上表示的数；（4）若点A 以0.5cm/s 的速度向左移动，2秒后，点B 以1cm/s 的速度向右移动，则B 出发几秒后，A 、B 两点相距1个单位长度？【答案】（1）点A 表示的数为5、点B 表示的数3-；（2）2；（3）13-；（4）B 出发4或163t =秒后，A 、B 两点相距1个单位长度 【解析】 【分析】（1）根据绝对值、乘方的性质，得50a -=，()230b +=，从而得50a -=，30b +=，通过求解一元一次方程，即可得到答案；（2）点G 为线段AB 的中点，根据数轴和线段中点的性质，得点G 表示的数；结合题意，再根据数轴的性质计算，即可得到答案；（3）根据题意，计算得8AB =，结合线段的和差性质，列一元一次方程并求解，得83BC =，再根据坐标的性质计算，即可得到答案；（4）设B 出发t 秒后，A 、B 两点相距1个单位长度，根据题意列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）∵()2530a b -++= ∴50a -=，()230b += ∴50a -=，30b += ∴5a =，3b =-∴点A 表示的数为5、点B 表示的数3-； （2）如图，点G 为线段AB 的中点∵点A 表示的数为5、点B 表示的数3-； ∴点G 表示的数为：()5312+-= ∴101OG =-=∵将数轴折叠，使得点A 与点B 重合 ∴将数轴沿点G 折叠∴与点O 重合的点为：112+=，即点O 与数2表示的点重合 故答案为：2；（3）∵点A 表示的数为5、点B 表示的数3-； ∴()538AB =--=∵点C 在线段AB 上，且2AC BC =， 又∵AC BC AB += ∴38BC BC AB +== ∴83BC =∵点B 表示的数为3- ∴点C 表示的数为：81333-+=-； （4）设B 出发t 秒后，A 、B 两点相距1个单位长度 根据题意，得：()0.5281t t ++=-，或()0.528+1t t ++= 去括号，得：0.5181t t ++=-，或0.518+1t t ++= 移项并合并同类项，得：4t =，或163t =∴B出发4或163t 秒后，A、B两点相距1个单位长度．【点睛】本题考查了线段、有理数和一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、乘方、一元一次方程的性质，从而完成求解．11．点A，B在数轴上的位置如图所示，请解决下列问题：(1)图中A，B两点表示的有理数分别是：，；(2)观察数轴，与点A的距离为4 的点表示的数是；(3)将数轴折叠，使A点与-3表示的点重合，则与点B重合的点表示的数是；(4)若数轴上M，N两点之间的距离为2022（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：，．【答案】(1)1，-2.5(2)-3或5(3)0.5(4)-1012，1010【解析】【分析】（1）观察数轴可得；（2）分点A左边4个单位和右边4个单位两种情况；（3）根据点A与-3表示的点重合可得折叠点为-1，继而可得点B关于-1对称的点；（4）根据题意得出M、N两点到折叠点的距离，继而由折叠点分别向左和向右得出点M、N所表示的数．(1)由数轴可知点A表示数1，点B表示数-2.5，故答案为：1，-2.5；(2)在点A右边与点A的距离为4的点表示的数是1+4=5，在点A左边与点A的距离为4的点表示的数是1-4=-3，故答案为：5或-3；(3)∵将数轴折叠，A点与-3表示的点重合，∴折叠点为3+12-=-1，∴点B与数0.5重合，故答案为：0.5；(4)∵数轴上M、N两点之间的距离为2022，∴M、N两点与-1的距离均为1011，∵折叠点为-1，则点M表示数-1012，点N表示数1010，故答案为：-1012，1010．【点睛】本题考查了数轴，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离，注意（2）要分情况讨论．12．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，(1)若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数是．(2)数轴上存在点P到点A、点B的距离之和为8，则x＝．(3)若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则点P与数表示的点重合（用含x代数式表示）；(4)若点P从A点出发沿数轴的正方向移动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点P到点A距离等于点P到点B距离的2倍，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1(2)3-或5(3)2x-(4)43t=或4【解析】【分析】（1）根据点P到点A、点B的距离相等，结合数轴可得答案；（2）此题要分两种情况：①当P在AB左侧时，②当P在AB右侧时，再列出方程求解即可；（3）根据中点坐标公式求解即可；（4）点P到点A距离等于点P到点B距离的2倍，应分两种情况讨论．(1)若点P到点A、点B的距离相等，则P为AB的中点，BP=P A，依题意得3－x ＝x －（－1) ，解得x ＝1，故点P 对应的数是1，故答案为：1；(2)由AB =4，若存在点P 到点A 、点B 的距离之和为8，P 不可能在线段AB 上，只能在A 点左侧，或B 点右侧，①P 在点A 左侧，P A ＝-1-x ，PB =3-x ，依题意得（－1－x )＋（3－x )＝8，解得x =-3，②P 在点B 右侧，P A ＝x －(－1)＝x ＋1，PB =x -3，依题意得(x ＋1)＋(x －3)=8，解得x =5，故P 点对应的数是-3或5，故答案为：-3或5；(3)(-1+3)÷ 2=1，若将数轴折叠，使-1与3表示的点重合，则点P 与数122x x ⨯-=-表示的点重合,故答案为：2x -；(4)①P 在线段AB 上，依题意有P A =2t ， PB =4-2t ，依题意有2t =2(4-2t )， 解得43t =， ②P 在点B 右边时，依题意有2t = 2(2t - 4) ，解得t ＝4，故t 的值为43或4． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴上点的距离，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合，列出一元一次方程．13．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：(1)已知点A ，B ，C 表示的数分别为1，52-，3-.观察数轴，与点A 的距离为3的点表示的数是______，A ，B 两点之间的距离为______．(2)数轴上，点B 关于点A 的对称点表示的数是______．(3)若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则与B 点重合的点表示的数是______；若此数轴上M ，N 两点之间的距离为2021（M 在N 的左侧），且当A 点与C 点重合时，M 点与N 点也恰好重合，则点M 表示的数是______，点N 表示的数是______．(4)若数轴上P ，Q 两点间的距离为m （P 在Q 左侧），表示数n 的点到P ，Q 两点的距离相等，将数轴折叠，当P 点与Q 点重合时，点P 表示的数是______，点Q 表示的数是______（用含m ，n 的式子表示这两个数）．【答案】(1)4或-2，3.5(2)4.5(3)0.5，-1011.5，1009.5(4)n -2m ，n +2m 【解析】【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解；（2）根据对称的性质可得对称点的坐标；（3）根据A 与C 重合表示对称点，可得与B 点重合的点表示的数；同理根据折叠后点A 与点C 重合，点M 与点N 也重合，即可求解；（4）根据数轴上的点左减，右加，即可求表示数n 的点到P 、Q 两点的距离相等的算式．(1)解：（1）观察数轴可知：与点A 的距离为3的点表示的数是1+3=4或1-3=-2，A 、B 两点之间的距离为1-(-52)=3.5． 故答案为：4或-2，3.5；(2)解：点B 关于点A 的对称点表示的数是：1-(-52)+1=4.5， 故答案为：4.5；(3)解：∵将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，∴对称点表示的数为：-1，∴与点B 重合的点表示的数是：-1+[-1-(-2.5)]=0.5；M 表示的数是：-1-20212=-1011.5， N 表示的数是：-1+20212=1009.5， 故答案为：0.5，-1011.5，1009.5；(4)解：根据题意，得P 表示的数为：n -2m ，Q 表示的数为：n +2m ． 故答案为：n -2m ，n +2m ． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，折叠的性质，列代数式等知识，解决本题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离公式．14．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与-1表示的点重合，则-4表示的点与______表示的点重合；（2）若8表示的点与-2表示的点重合，回答下列问题：①12表示的点与______表示的点重合；②数轴上A ，B 两点间的距离为2022（A 在B 的左侧），且A ，B 两点经折叠后重合，则A ，B 两点表示数分别为______，______．③在②的条件下，点C 为数轴上的一个动点，从点O 出发，以2个单位每秒的速度向右运动，求当时间t 为多少秒时，AC 之间的距离恰好是BC 之间距离的2倍．【答案】（1）4；（2）①-6；②-1008；1014；③170秒或1518秒【解析】【分析】（1）由表示1与-1的两点重合，利用对称性即可得到结果；（2）由-2表示的点与8表示的点重合，确定出3为对称点，得出①②的结果即可；③根据题意列出方程，求出t 的值即可．【详解】解：（1）若1表示的点与-1表示的点重合，则原点为对称点，所以-4表示的点与4表示的点重合；故答案为：4；（2）由题意得：（-2+8）÷2=3，即3为对称点，①根据题意得：2×3-12=-6；故答案为：-6；②∵3为对称点，A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，∴A表示的数=-20222+3=-1008，B点表示的数=20222+3=1014；故答案为：-1008；1014；③有两种情形：情形一：当点C在点B左侧时，根据题意得：2(1008)2(10142)t t--=⨯-解得，170t=∴当时间t为170秒时，AC之间的距离恰好是BC之间距离的2倍．情形二：当点C在点B右侧时，根据题意得：2(1008)2(21014)t t--=-解得，1518t=∴当时间t为1518秒时，AC之间的距离恰好是BC之间距离的2倍．综上所述，当时间t为170秒或1518秒时，AC之间的距离恰好是BC之间距离的2倍．【点睛】此题考查了数轴以及一元一次方程的应用，灵活运用对称性是解本题的关键．15．在一张长方形纸条上画一条数轴，我们定义：点M，N为数轴上任意两点，若折叠纸条使点M与点N刚好重合，折痕与数轴的交点为点Q，我们称点Q为点M和点N的“折点”．例如：若折叠纸条，使数轴上表示-2的点M与表示2的点N重合，则原点为点M和点N的“折点”．如下图，数轴上依次有三点A，B，C，它们在数轴上表示的数依次为-1，3，5．（1）若将数轴折叠，使A，C两点重合，则点A和点C的“折点”表示的数是______，此时与点B重合的点表示的数是______；（2）若线段BC以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，运动时间为t秒．当t为何值时，A，B，C三个点中，恰好一点为另外两点的“折点”？【答案】（1）2；1；（2）t的值为2或5或8．【解析】【分析】（1）根据“折点”的定义求解即可；（2）分三种情况讨论，分别求解即可．【详解】解：（1）∵A，C两点重合，∴点A和点C的“折点”表示的数是1522-+=；此时与点B重合的点表示的数是1，故答案为：2；1；（2）∵线段BC以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，运动时间为t秒．∴点B表示的数是3-t，点C表示的数是5-t，①当B为A、C的折点时，1532tt-+-=-，解得：t=2；②当A为B、C的折点时，3512t t-+-=-，解得：t=5；③当C为A、B的折点时，1352tt-+-=-，解得：t=8；综上，符合题意的t的值为2或5或8．【点睛】本题主要考查数轴，两点间的距离，一元一次方程的应用，“折点”的定义，分类讨论是解决问题的关键．16．操作探究：小明在一张长条形的纸面上画了一条数轴（如图所示），操作一：（1）折叠纸面，使1表示的点与-1表示的点重合，则-3表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使-1表示的点与5表示的点重合，请你回答以下问题：①-3表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间距离为12，其中A 在B 的左侧，且A 、B 两点经折叠后重合，则A 表示的数是 ，B 表示的数是 ；③已知在数轴上点M 表示的数是m ，点M 到第②题中的A 、B 两点的距离之和为14，则m 的值的是 ．【答案】（1）3；（2）①7；②-4，8；③-5或9【解析】【分析】（1）直接利用已知得出中点进而得出答案；（2）①利用-1表示的点与5表示的点重合得出中点，进而得出答案；②利用数轴再结合A 、B 两点之间距离为12，即可得出两点表示出的数据；③利用②中A ，B 的位置，利用分类讨论进而得出m 的值．【详解】解：（1）折叠纸面，使1表示的点与-1表示的点重合，则对称中心是0，∴-3表示的点与3表示的点重合，故答案为：3；（2）∵-1表示的点与5表示的点重合，∴对称中心是数2表示的点，①-3表示的点与数7表示的点重合；故答案为：7；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为12（A 在B 的左侧），则点A 表示的数是2-6=-4，点B 表示的数是2+6=8；故答案为：-4，8；③当点M 在点A 左侧时，则8-m +（-4-m ）=14，解得：m =-5；当点M 在点B 右侧时，则m -（-4）+m -8=14，解得：m =9；综上，m =-5或9．故答案为：-5或9．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，正确利用分类讨论得出是解题关键．17．我们知道：()41--表示4与1-的差的绝对值，实际上也可以理解为4与1-两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理3x -也可以理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，()5353+=--表示5、3-之间的距离．一般地，点A ，B 两点在数轴上表示有理数a b 、，那么A 、B 之间的距离可以表示为a b -．试探索：（1）若37x -=，则x =___________；（2）若A ，B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为2-，B 点对应的数为4．折叠数轴，使得A 点与B 点重合，则表示4-的点与表示__________的点重合；（3）计算：417x x -++=．【答案】（1）-4或10 （2）6；（3）-2或5【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解；（2）根据题意可得折叠处点对应的数为1 ，即可求解；（3）分三种情况讨论：当1x <-时，当14x -≤≤时，当4x ≥时， 即可求解．【详解】解：（1）37x -=，∴37x -=±，解得：10x =或-4；（2）∵A 点对应的数为2-，B 点对应的数为4，折叠数轴，使得A 点与B 点重合， ∴折叠处点对应的数为2412， ∴表示4-的点与表示6的点重合；（3）解：①当1x <-时，()()417x x ⎡⎤--+-+=⎣⎦，解得：x =-2 ；②当14x -≤≤时，()()417x x ⎡⎤-+-+=⎣⎦，则57-=，无解 ；③当4x ≥时，()()417x x -++=，则x =5．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．18．数轴是一个非常重要的数学工具， 它使实数和数轴上的点建立起一一对应关系， 揭示了数与点之间的内在联系， 它是 “数形结合” 的基础．【阅读理解】31- 表示 3 与 1 的差的绝对值， 也可理解为 3 与 1 两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 同理 1x -可以理解为 x 与 1 两数在数轴上所对应的两点之间的距离，()11x x +=-- 就表示 x 在数轴上对应的 点到 1- 的距离．【尝试应用】（1）①数轴上表示4-和2的两点之间的距离是____________（写出最后结果）； ②若 ()23x --=， 则 ____________x =；（2）【动手探究】小明在草稿纸上画了一条数轴， 并折叠纸面， 若表示2的点与表示-4的点重合， ①则表示10的点与表示____________的点重合；②这时如果,A B （ A 在 B 的左侧）两点之间的距离为2022 ， 且,A B 两点经过折叠后重合， 则A 表示的数是____________，B 表示的数是____________；③若点A 表示的数为a ， 点B 表示的数为b （ A 在B 的左侧）， 且,A B 两点经折叠后刚好重合， 那a 么与b 之间的数量关系是____________．（3）【拓展延伸】①当x =Δ 时， 213x x x ++-+- 有最小值，最小值是____________；②14x x +--有最大值， 14x +--有最小值， 最小值是____________．【答案】（1）①6；②1或5-；（2）①12-；②1012-，1010；③2a b +=-（3）①1，5②5，5-【解析】【分析】（1）①数轴上表示4-和2的两点之间的距离2-（-4）=2+4=6即可；②()23x --=，分两种情况当表示x 的点在-2的右边，()23x --=，当表示x 的点在-2的左边，23x --=，求出x 即可1；（2）根据表示2的点与表示-4的点重合，设折叠点表示的数为m ，表示m 的点与表示2的点与表示-4的点的距离相等，得出m +4=2-m ，解方程求出m =-1，①根据表示10的点到表示-1的点距离为：10-（-1）=11，-1-11=-12，表示10的点与表示-12的点重合， ②根据,A B （ A 在 B 的左侧）两点之间的距离为2022 ，可求出折叠点到点A ，与到点B 的距离都为1011，得出点A 表示的数为-1-1011=-1012，点B 表示的数为-1+1011=1010即可；③若点A 表示的数为a ， 点B 表示的数为b （ A 在B 的左侧）， 且,A B 两点经折叠后刚好重合，可得A 、B 两点到表示-1的点的距离相等，建构等式b -(-1)=-1-a ，即可；（3）①当x ＜-2时，化去绝对值合并213=238x x x x ++-+--＞，当-2≤x ＜1时，化去绝对值2136x x x x ++-+-=-，得出568x -≤＜，当1≤x ＜3时，化去绝对值213=4x x x x ++-+-+，得出547x ≤+＜，当x ≥3时，化去绝对值213=327x x x x ++-+--≥，当x =1时，最小值为5；②当1x ＜-时，145x x +--=-，当14x -≤＜时，1423x x x +--=-，5235x -≤-＜，当4x ≥时，145x x +--=即可．【详解】解：（1）①数轴上表示4-和2的两点之间的距离2-（-4）=2+4=6，故答案为6；②()23x --=，当表示x 的点在-2的右边，()23x --=，解得1x =，当表示x 的点在-2的左边，23x --=，解得x =-5，∴x =-5或1，故答案为-5或1；（2）表示2的点与表示-4的点重合，设折叠点表示的数为m ，表示m 的点与表示2的点与表示-4的点的距离相等，则m +4=2-m ，解得m =-1，则表示10的点,①表示10的点到表示-1的点距离为：10-（-1）=11，-1-11=-12，表示10的点与表示-12的点重合，故答案为-12；②这时如果,A B （ A 在 B 的左侧）两点之间的距离为2022 ，折叠到点A ，与到点B 的距离为1011，点A 表示的数为-1-1011=-1012，,点B 表示的数为-1+1011=1010，故答案为-1012，1010；③若点A 表示的数为a ， 点B 表示的数为b （ A 在B 的左侧）， 且,A B 两点经折叠后刚好重合，∴b -(-1)=-1-a ，∴a +b =-2，故答案为：a +b =-2；（3）①当x ＜-2时，213213238x x x x x x x ++-+-=---+-+=-＞，当21x -≤≤时，213=2136x x x x x x x ++-+-+-+-+=-，当x =-2时，()6-628x =--=，当x =1时，6-615x =-=，∴568x -≤＜，当13x ≤≤时，213=2+134x x x x x x x ++-+-+--+=+，当x =3时，4437x +=+=，当x =1时，4415x +=+=，547x ≤+＜，当x ≥3时，213=2+13327x x x x x x x ++-+-+-+-=-≥，当x =1时，最小值为5，故答案为1；5；②当1x ＜-时，14145x x x x +--=--+-=-，当14x -≤≤时，141423x x x x x +--=++-=-，当x =-1时，23235x -=--=-，当x =4时，23835x -=-=，5235x -≤-≤，当4x ≥时，141+45x x x x +--=+-=，∴最大值为5，最小值为-5．【点睛】，本题考查两点距离，绝对值方程，数轴折叠，绝对值化简，最大值与最小值，整式的加减，代数式的值，掌握两点距离，绝对值方程，数轴折叠，绝对值化简，最大值与最小值，整式的加减，代数式的值是解题关键．。
七年级折叠问题知识点梳理
七年级折叠问题知识点梳理折叠问题是数学中的一种经典问题，也是考察对数学知识的理解和实际应用能力的重要领域。
在初中数学中，折叠问题也是一个重要的知识点，需要深入理解和掌握。
本文将对七年级折叠问题知识点进行梳理和整理，以帮助同学们更好地掌握这一知识点，从而在考试中取得更好的成绩。
一、基本概念折叠问题是指在平面图形上切割一条或数条线，然后将剩余部分按照指定的顺序进行折叠，并寻求可能出现的图形形态。
常出现的几何图形包括三角形、正方形、长方形等。
二、折叠的基本操作1. 折叠轴：指在平面图形上折叠的参考线，通常为直线。
2. 对称轴：指原图形和折叠后图形的对称轴，它们的交点处是折叠轴。
3. 折线：指从折叠轴起到图形边缘的折叠线段。
4. 折叠方向：指折叠时图形所向的方向，可以是向上、向下、向左或向右。
5. 折痕：指在图形上产生的折叠痕迹。
三、折叠问题的解题方法在解决折叠问题时，首先要对给定图形和折叠过程进行分析，然后选择合适的方法进行求解，一般有以下几种方法：1. 利用对称性：可以利用图形对称性进行折叠，其中对称轴可以作为折叠轴，而对称轴两侧的部分可以通过折叠得到图形的其他部分。
2. 利用折线的特性：根据折线的特性可以确定图形的边长和角度，从而得到图形的面积和形状。
3. 综合使用多种方法：在解决较为复杂的折叠问题时，可以综合使用多种方法，包括对称性、折线特性、面积等多个方面，灵活应用不同的方法。
四、折叠问题的实际应用折叠问题在实际生活中也有广泛的应用，例如在制作纸质建筑模型时，需要根据图纸进行折叠，从而得到复杂的建筑结构；在设计3D打印模型时，需要将平面图形折叠成三维立体模型，从而进行后续加工等。
总之，折叠问题是数学中非常重要的一个知识点，需要同学们用心理解和掌握，善于运用不同的方法解决问题，在实际应用中也能够得心应手。
希望本文对七年级学生们的学习有所帮助，祝愿大家在数学学习中取得更好的成绩。
七年级数学上册数学 5.3 展开与折叠(三大题型)(解析版)
5.3展开与折叠分层练习考察题型一几何体的展开与折叠【展开】1．下列图形中是棱锥的侧面展开图的是()A．B．C．D．【详解】解：棱锥的侧面是三角形．故本题选：D．2．如图，是一个几何体的展开图，该几何体是()A．圆柱B．三棱柱C．长方体D．三棱锥【详解】解： 该几何体的上下底面是三角形，侧面是三个长方形，该几何体是三棱柱．故本题选：B．3．下面的平面展开图与图下方的立体图形名称不相符的是()A．三棱锥B．长方体C．正方体D．圆柱体【详解】解：选项A中的图形折叠后成为三棱柱，不是三棱锥；选项B的图形折叠后成为长方体；选项C的图形折叠后成为正方体；选项D的图形折叠后成为圆柱体．故本题选：A．4．下列图形中，是长方体表面展开图的是()A．B．C．D．【详解】解：由题意知：图形可以折叠成长方体．故本题选：C．5．如图是一个直三棱柱，它的底面是边长为5、12、13的直角三角形．下列图形中，是该直三棱柱的表面展开图的是()A．B．C．D．【详解】解：A选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；B选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；C选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；D选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；故本题选：D．【折叠】6．下列图形中经过折叠，可以围成圆锥的是()A．B．C．D．【详解】解：A、能围成圆锥，符合圆锥展开图的特征；B、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形；C、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形；D、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形．故本题选：A．7．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是()A ．B ．C ．D ．【详解】解：A 不能围成棱柱，B 可以围成五棱柱，C 可以围成三棱柱，D 可以围成四棱柱．故本题选：A ．8．如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：（1）与字母N 重合的点是哪几个？（2）若14AG CK cm ==，2FG cm =，5LK cm =，则该长方体的表面积和体积分别是多少？【详解】解：（1）与N 重合的点有H ，J 两个；（2）由14AG CK cm ==，5LK cm =可得：1459CL CK LK cm =-=-=，长方体的表面积：22(952529)146cm ⨯⨯+⨯+⨯=，长方体的体积：359290cm ⨯⨯=．9．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是她在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全．【详解】解（1）小明共剪了8条棱，故本题答案为：8；（2）如图，四种情况：考察题型二正方体的展开与折叠【展开】1．正方体的表面展开图可能是()A．B．C．D．【详解】解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知：A，B，D选项不可以拼成一个正方体，选项C可以拼成一个正方体．故本题选：C．2．如图，将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开_____条棱．()A．4B．5C．6D．7【详解】解：将一个无盖正方体展开成平面图形，需要剪开4条棱．故本题选：A．3．把如图所示的正方体展开，则选项中哪一个图形不是这个正方体的展开图()A．B．C．D．【详解】解：由题知：ACD三个选项中的图案都是原正方体的展开图，B选项中黑色小圆圈与一个白色小圆圈相对了，故B选项中的图形不是原正方体的展开图．故本题选：B．4．如图，下面的平面图形是左边正方体展开图的是()A．B．C．D．【详解】解：根据正方体的展开图的性质可得：C为正方体的展开图．故本题选：C．5．如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是()A．B．C．D．【详解】解：由正方体的展开图可知：两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，故A，B，D均不合题意．故本题选：C．【折叠】6．下列图形中，能围成正方体的是()A．B．C．D．【详解】解：A、折叠后有两个面重合，缺少一个侧面，所以不能折叠成正方体，；B、折叠后有两个面重合，缺少一个侧面，所以不能折叠成正方体；C、可以折叠成一个正方体；D、是“凹”字格，所以不能折叠成一个正方体．故本题选：C．7．如图，它需再添一个面，折叠后才能围成一个正方体．图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是()A．B．C．D．【详解】解：A 、四个方格形成的“田”字的，不能组成正方体，A 错；B 、出现“U ”字的，不能组成正方体，B 错；C 、以横行上的方格从上往下看，能组成正方体，C 对；D 、有两个面重合，不能组成正方体，D 错．故本题选：C ．8．将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，则下列序号中不应剪去的是()A ．3B ．2C ．6D ．1【详解】解：正方体有6个面组成，每一个顶点出有3个面．1∴、2、6必须剪去一个，故本题选：A ．考察题型三正方体的相对面问题1．一枚骰子相对两面的点数之和为7，它的平面展开图如图，下列判断正确的是()A ．A 代表6B ．B 代表3C ．C 代表5D ．B 代表6【详解】解：根据正方体的表面展开图可知：相对的面之间一定相隔一个正方形，A 是点数1的对面，B 是点数2的对面，C 是点数4的对面，骰子相对两面的点数之和为7，A ∴代表的点数是6，B 代表的点数是5，C 代表的点数是3．故本题选：A ．2．如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么2x y z -+的值是()A ．1B ．4C ．7D ．9【详解】解：根据正方体的表面展开图可知：相对的面之间一定相隔一个正方形，“x ”与“8-”是相对面，“y ”与“2-”是相对面，“z ”与“3”是相对面，相对面上所标的两个数互为相反数，8x ∴=，2y =，3z =-，282231x y z ∴-+=-⨯-=．故本题选：A ．3．有一个正方体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90︒算一次，则滚动第2023次后，骰子朝下一面的点数是()A ．5B ．3C ．4D ．2【详解】解：由图可知：3和4相对，2和5相对，1和6相对，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90︒算一次，骰子朝下一面的点数依次为2，3，5，4，且依次循环，202345053÷= ，∴滚动第2023次后，骰子朝下一面的点数是：5．故本题选：A ．4．一个正方体，六个面上分别写有六个连续的整数（如图所示），且每两个相对面上的数字和相等，本图所能看到的三个面所写的数字分别是：3，6，7，问：与它们相对的三个面的数字各是多少？为什么？【详解】解：从3，6，7三个数字看出可能是2，3，4，5，6，7或3，4，5，6，7，8，因为相对面上的数字和相等，所以第一种情况必须3和6处于邻面，与图示不符合，所以这六个数字只能是3，4，5，6，7，8，所以3与8，6与5，7与4处于对面位置．5．如图，在一个正方形网格中有五个小正方形，每个面上分别标有一个数值，在网格中添上一个正方形，使之能折叠成一个正方体，且使相对面上的两个数字之和相等．（1）在图中画出添上的正方形；（要求：在网格中用阴影形式描出，并描出所有符合条件的正方形）（2）求添上的正方形面上的数值．【详解】解：（1）画出添上的正方形如图所示：（2）设添上的正方形面上的数值为a，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∴与6相对，21ax-与2相对，3x与5-相对，相对面上的两个数字之和相等，a x x∴+=-+=-，621235x=，∴=，6a7∴添上的正方形面上的数值是7．6．一个小立方体的六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F从三个不同方向看到的情形如图所示．（1）A 对面的字母是，B 对面的字母是，E 对面的字母是．（请直接填写答案）（2）若21A x =-，39B x =-+，7C =-，1D =，45E x =+，9F =，且字母A 与它对面的字母表示的数互为相反数，求B ，E 的值．【详解】解：（1）由图可知：A 相邻的字母有D 、E 、B 、F ，所以A 对面的字母是C ，与B 相邻的字母有C 、E 、A 、F ，所以B 对面的字母是D ，与E 相邻的字母有A 、D 、B 、C ，所以E 对面的字母是F ，故本题答案为：C ，D ，F ；（2） 字母A 与它对面的字母表示的数互为相反数，21(7)x ∴-=--，解得：4x =，393493B x ∴=-+=-⨯+=-，4544521E x =+=⨯+=．7．一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．（1）该盒子的底面的长为（用含a 的式子表示）．（2）若①，②，③，④四个面上分别标有整式2(1)x +，x ，2-，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x 的值．（3）请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖．【详解】解：（1）由题可得：无盖的长方体盒子的高为a ，底面的宽为32a a a -=，∴底面的长为523a a a -=，故本题答案为：3a ；（2） ①，②，③，④四个面上分别标有整式2(1)x +，x ，2-，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，2(1)(2)4x x ∴++-=+，解得：4x=；（3）如图所示：（答案不唯一）8．如图1，边长为a cm的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为x cm．cm，高是cm（用含a、x的代数式表示）．（1）这个纸盒的底面积是2（2）x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示：/x cm123456789/cm m72n纸盒容积3①请通过表格中的数据计算：m=，n=；②猜想：当x逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：．（3）若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是cm，cm（用含a、y的代数式表示）；②已知A，B，C，D四个面上分别标有整式2(2)m+，m，3-，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求m的值．∴的值为5．m1．若在上述折叠的正方体表面上画如图所示的线段，请你在展开图上标出对应的其它两条线段．【详解】解：如图所示：2．用若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，在这个大正方体的6个面上都涂上红色．其中只有2个面涂上红色的小正方体有48个，则拼成这个大正方体的小正方体个数一共有个．【详解】解：大正方体的6个面上涂上红色．只有2个面涂上红色的小正方体在大正方体的12条棱上（除去8个顶点处），所以每一条棱上只有2面涂色的正方体有48124÷=（个），因此每一条棱上有小正方体的个数是426+=（个），所以拼成这个大正方体的小正方体个数一共有666216⨯⨯=（个）．故本题答案为：216．3．如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体．（1）与字母F重合的点有哪几个？（2）若4=，3AD AB=，长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求原长方体的容积．AN AB【详解】解：（1）与F重合的点是B，∴有一个点与F重合；（2）设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，根据题意得：24322(22)8 z y zx zx z z y+=⎧⎪=⎨⎪+-+=⎩，解得：1284xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴原长方体的容积4812384=⨯⨯=．。
七年级数学 轴对称之—翻折问题
轴对称之——翻折问题1．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则AE的长为．2．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A 恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为°．3．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1+∠2＝140°，则∠B+∠C＝°．4．如图，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为．5．如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝6，求AE的长．6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．7．如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．8．如图，长方形ABCD中AD∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D 与点B重合，点C落在点G处．（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；（2）求△BEF的面积．9．如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．（1）求证：①△ABG≌△AFG；②求GC的长；（2）求△FGC的面积．。
七年级折叠问题
七年级折叠问题本节课主要讲解折叠问题。
本节课，重点讲折叠问题的解题思路，以及折叠问题的基本计算方法。
要想正确解答折叠问题，需要先掌握折叠问题的解题思路。
将一个圆筒形的物体折叠成四个方形，并对其进行折痕，得到的形状为“四边”，求出折叠时四个边正好对齐。
根据这一思路，可以用一些公式计算折叠次数，把四个边对齐即可。
如：将一块圆形的平面（如图),对折三次后得到一个圆弧段（如图),对折一次后得到一个长方形（如图）。
根据折叠顺序和面积计算方法，我们将这个方形切成四个三角形（如图）。
一、首先，对折叠问题的思路进行了梳理，帮助学生在理解基本原理的基础上记忆知识，建立起知识体系；其次，进行了学法指导。
指导学生根据“折痕”的特点把长方形转化为三角形，并将折叠现象写在纸上；帮助学生建立折叠和解折痕的联系，通过折痕，解决一些题目中的问题，形成数学思想方法。
然后，组织学生进行交流练习：通过问题交流、师生互动学习、讨论等方式使学过的知识得到巩固与拓展。
通过练习掌握并应用基本的解题方法进行解答；最后，结合本节课内容特点指导同学们进行复习巩固。
在复习巩固中要注意：首先需要做到对知识及时过性总结。
二、其次，通过对折叠问题的分类与分析，帮助学生理清思路。
折叠问题是一类常见的综合性、逻辑性较强的问题，也是数学学习过程中一个重要的概念。
同学们对折叠问题的分类与分析可以有效地帮助我们理清思路、找准答案。
我们可以把折叠问题分成：一类是简单折叠与复杂折叠。
简单折叠主要指物体对侧所组成的两个圆形面积相等；复杂折叠主要指物体对侧所组成的四个椭圆形面积相等；一般折叠主要指物体对侧所组成的四个圆形面积相等。
这些问题都是折叠问题当中比较常见的一类问题。
所以，这一类折纸问题也是我们接下来重点讲一讲的问题之一。
三、最后，通过直观的视觉观察形式引导学生对不同情况进行判断和推理；折叠问题是数学课程标准中对中学生抽象思维能力的一种强调，也是数学课程的重要内容。
七年级折叠问题知识点
七年级折叠问题知识点折叠问题是数学中的一个经典问题。
在数学竞赛和考试中，被认为是一种基本函数，是考察数学运算能力和思维逻辑的基本题型之一。
而在七年级的数学课中，也会接触到一些折叠问题。
本文将介绍七年级折叠问题的知识点，供大家参考。
一、折纸图形的平移、旋转和对称在折叠问题中，图形的平移、旋转和对称是常见的变换方式。
因此，掌握这些变换的基本概念及性质是十分重要的。
1.平移变换平移变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形沿着某一方向移动一定距离后得到的新图形。
平移变换的性质是：对于平面上任意两点A和B，其平移后的位置A'和B'可以由向量AB和A'B'相等得到。
2.旋转变换旋转变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形绕给定的点（旋转中心）顺时针或逆时针旋转一定角度后得到的新图形。
旋转变换的性质是：任何平面上的图形旋转一周后均回到原来的位置。
3.对称变换对称变换指的是保持图形形状不变的情况下，将整个图形绕某条直线对称后得到的新图形。
对称变换的性质是：对称变换前后的图形具有相等的形状和大小。
二、折纸图形的叠合和重合折叠问题中，叠合和重合是两个核心概念。
只有掌握了这些概念，才能更好地解决折叠问题。
1.叠合叠合指的是将两个相同的图形重叠在一起，使它们完全重合的过程。
叠合要求两个图形的形状和大小完全相同。
2.重合重合指的是将两个不完全相同但有一定相似之处的图形重合在一起，使它们重合的程度最大。
重合要求两个图形的形状和大小不需要完全相同。
三、折纸图形的解析与构造折叠问题通常需要进行图形的解析和构造。
下面介绍两个基本的解析和构造方法。
1.解析方法解析方法指的是通过观察图形特征，确定图形各个部分的位置、大小和形状的方法。
解析方法的关键在于观察，要将图形各个部分的位置、大小和形状仔细观察、分析和比较，找出它们之间的关系，以便在后续的折叠中更好地处理图形。
2.构造方法构造方法指的是通过折叠纸张的方式，得到所需的图形的方法。
七年级下册数学折叠知识点
七年级下册数学折叠知识点数学中的折叠，是一种将平面图形沿着一条或多条直线折叠的方法，通过折叠，可以使得原本的形状变化或被拼合成为其他图形。
折叠不仅能加强数学的直观性和形象性，也能深化对立体几何的理解。
在七年级下册的学习中，折叠是一个重要的知识点，下面我们来看看具体的内容。
一、折叠的基本概念折叠是指将纸张或橡皮等平面物体按照一定的方法折叠成为一定形状的技巧。
在数学中，折叠不仅可以用来解决平面几何中的问题，还可以用来研究立体几何的性质。
二、折叠的方法与技巧1. 对称折叠对称折叠是将一张图案沿着它的对称线对折，使得图案的两侧完全重合的过程。
对称折叠常用于几何中，可以用来证明几何定理，也可以用来解决折纸难题。
2. 拼合折叠拼合折叠是指将图案中的不同部分通过折叠和组合的方式拼合成为一个整体的过程。
拼合折叠可以帮助学生理解平面图形的构造，也可以拓展他们的空间想象能力。
3. 折叠展开图折叠展开图是指将一个立体图形通过分解折叠成为平面图形后，再将平面图形展开为一个二维图形的过程。
折叠展开图可以帮助学生理解立体几何图形的构造和性质，并且可以用来计算面积和体积等问题。
三、折叠的应用领域1. 数学在数学中，折叠可以用来解决几何问题，比如通过折叠构造等获得图形的性质，或通过折叠展开图计算各种图形的面积和体积。
2. 工程学在工程学中，折叠可以用来制作各种模型和原型，比如汽车、船只、房屋等，可以帮助工程师们更好地理解和设计产品。
3. 艺术设计在艺术设计中，折纸、折扇等技巧十分常见，是展示创意的一种手段。
折纸艺术能够通过不同的折叠方式，来创造出各种美观、有趣的形态。
四、折叠的重要性折叠不仅能够锻炼学生的思维能力和空间想象能力，还能够拓展他们的艺术视野和文化素养。
通过折叠，学生们不仅可以加深对几何和数学的理解，还可以培养创造力和审美能力。
总之，折叠是一项充满趣味和挑战的技能，它不仅能够加强学生对数学的直观理解，也能够帮助他们在实践中掌握几何的基本概念和方法。
专题5.13 简单的轴对称图形-折叠问题(知识讲解)七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.13 简单的轴对称图形-折叠问题（知识讲解）【学习目标】1、理解折叠问题的内涵，认识折叠（对折）的本质；2、理解并掌握重叠图形的对应边，对应角；拆㡾所在直线是对应点连线的垂直平分线；3、能用折叠原理解决一些基本图形的边和角。
【要点梳理】知识要点一：折叠（对折）的定义一条直线把一个平面图形分成两个全等的图形,其中的一个图形沿着这条直线翻折到另一个图形上面,则两部分完全重合,这个过程就叫做对折.知识要点二：折叠（对折）的特点1、折叠问题实际上就是对称变换；2、折叠是一种对称变换，属于轴对称，对称轴（折㡾所在直线）是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；3、教学初，为使学生直观感悟，可以进行一些实际操作，以便于学生形成直观感受，利于问题的解决。
知识要点三：折叠（对折）的基本图形及图形特点1、折叠图形的基本背景图形有：三角形、四边形、梯形等，解决这些问题的基本方法是精确找出折叠前后相等边与角，以及结合图形的性质把边角的关系联系起来，同时结合方程思想、数形结合等数学思想进行解题。
2、折叠特点：有折叠----就有重合----就有全等-----对应线段相等、对应角相等，运用勾股定理、等面积法结合图形特点进行解题。
【典型例题】1.如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将∥EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．∥若∥PEF＝48°,点Q恰好落在其中的一条平行线上,则∥EFP的度数为．∥若∥PEF＝75°，∥CFQ＝∥PFC，求∥EFP的度数．【答案】∥ ∥EFP =42°或66°∥∥EFP 的度数为35°或63°.【解析】试题分析：()1 当点Q 落在AB 上，根据三角形的内角和即可得到结论；当点Q 落在CD 上，由折叠的性质得到PF 垂直平分EQ ，得到12∠=∠，根据平行线的性质即可得到结论；()2 ∥如图1，当点Q 在平行线AB ，CD 之间时，设PFQ x ∠=，由折叠可得.EFP x ∠=根据平行线的性质即可得到结论；∥如图2，当点Q 在CD 的下方时，设CFQ x ，∠= 由1.?2CFQ PFC ∠=∠得，2PFC x ∠=.根据平行线的性质即可得到结论． 试题解析：()1 42EFP ∠=或66.()2∥如图1，当点Q 在平行线AB ，CD 之间时：设PFQ ∠的度数为x ，由折叠可得：.EFP x ∠=︒1.2CFQ PFC ∠=∠ .PFQ CFQ x ∴∠=∠=︒.?AB CD ,180.AEF CFE ∴∠+∠=︒75180.x x x ∴+++=解得：35.x =即：35.EFP ∠=︒∥如图2，当点Q 在CD 的下方时,设CFQ x ，∠= 由12CFQ PFC ∠=∠得：2.PFC x ∠=︒ 3PFQ x ∴∠=︒，由折叠得3.PFE PFQ x ∠=∠=︒,?AB CD180.AEF CFE ∴∠+∠=︒2375180.x x ∴++= 解得：21.x =363.EFP x ∴∠=︒=︒综上：EFP ∠的度数为35︒或63.︒【变式1】如图，将∥ABC 沿DE ，EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∥DOF ＝142°，则∥C 的度数为（ ）A ．38°B ．39°C ．42°D ．48°【答案】A 【解析】根据翻折的性质得出∥A =∥DOE ，∥B =∥FOE ，进而得出∥DOF =∥A +∥B ，利用三角形内角和解答即可．解：∥将∥ABC 沿DE ，EF 翻折，∥∥A =∥DOE ，∥B =∥FOE ，∥∥DOF =∥DOE +∥EOF =∥A +∥B =142°，∥∥C =180°﹣∥A ﹣∥B =180°﹣142°=38°． 故选A．点拨：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．【变式2】如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∥FEG，且'ED在A EF∠'内部，如图2，设∥A′ED'=n°，则∥FE D′的度数为___________(用含n的代数式表示)．【答案】1804n︒-︒【分析】先根据角之间的关系表示出∥AEA′+∥DED′，再由折叠的性质得到∥A′EF+∥D′EG，然后根据∥FEG=∥A′EF+∥D′EG－∥A′ED′可表示出∥FEG，最后利用角平分线的性质求出∥FED′即可.解：∥∥AEA′+∥DED′－∥A′ED′=180°，∥A′ED′=n°，∥∥AEA′+∥DED′=180°+n°，由折叠的性质可知，∥AEA′=2∥A′EF，∥DED′=2∥D′EG，∥∥A′EF+∥D′EG=1802n+，∥∥FEG=∥A′EF+∥D′EG－∥A′ED′=1802nn+-=1802n-，∥ED′平分∥FEG，∥∥FED′=12∥FEG=1804n-.【点拨】本题考查与折叠、角平分线有关的角度问题，明确折叠的性质，正确找出角与角之间的关系是解题的关键.2.如图1，一张∥ABC纸片，点M、N分别是AC、BC上两点．（均只需写出结论即可）（1）若沿直线MN折叠，使C点落在BN上，则∥AMC′与∥ACB的数量关系是．（2）若折成图2的形状，猜想∥AMC′、∥BNC′和∥ACB的数量关系是．（3）若折成图3的形状，猜想∥AMC′、∥BNC′和∥ACB的数量关系是．（4）将上述问题推广，如图4，将四边形ABCD纸片沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABNM的内部时，∥AMD′+∥BNC′与∥C、∥D之间的数量关系是．【答案】(1) ∥AMC′＝2∥ACB；（2）∥AMC′＋∥BNC′＝2∥ACB；（3）∥AMC′－∥BNC′＝2∥ACB；（4）∥AMD′+∥BNC′＝2(∥C＋∥D－180°).试题分析：（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；（2）先根据折叠得：∥CMN=∥C′MN，∥CNM=∥C′NM，由两个平角∥CMA和∥CNB得：∥AMC′+∥′BNC′等于360°与四个折叠角的差，化简为结果；（3）利用两次外角定理得出结论；（4）与（2）类似，先由折叠得：∥DMN=∥D′MN，∥CNM=∥C′NM，再由两平角的和为360°得：∥AMD′+∥BNC′=360°﹣2∥DMN﹣2∥CNM，根据四边形的内角和得：∥DMN+∥CNM=360°﹣∥C﹣∥D，代入前式可得结论．试题解析：解：（1）由折叠得：∥ACB=∥MC′C，∥∥AMC′=∥ACB+∥MC′C，∥∥AMC′=2∥ACB；故答案为：∥AMC′=2∥ACB；（2）猜想：∥AMC′+∥BNC′=2∥ACB，理由是：由折叠得：∥CMN=∥C′MN，∥CNM=∥C′NM，∥∥CMA+∥CNB=360°，∥∥AMC′+∥′BNC′=360°﹣∥CMN﹣∥C′MN﹣∥CNM﹣∥C′NM=360°﹣2∥CMN﹣2∥CNM，∥∥AMC′+∥BNC′=2（180°﹣∥CMN﹣∥CNM）=2∥ACB；（3）∥∥AMC′=∥MDC+∥C，∥MDC=∥C′+∥BNC′，∥∥AMC′=∥C′+∥BNC′+∥C，∥∥C=∥C′，∥∥AMC′=2∥C+∥BNC′，∥∥AMC′﹣∥BNC′=2∥ACB；（4）由折叠得：∥DMN=∥D′MN，∥CNM=∥C′NM，∥∥DMA+∥CNB=360°，∥∥AMD′+∥BNC′=360°﹣2∥DMN﹣2∥CNM，∥∥DMN+∥CNM=360°﹣∥C﹣∥D，∥∥AMD′+∥BNC′=360°﹣2（360°﹣∥C﹣∥D）=2（∥C+∥D-180°），故答案为：∥AMD′+∥BNC′=2（∥C+∥D﹣180°）．点拨：本题是折叠变换问题，思路分两类：∥一类是利用外角定理得结论；∥一类是利用平角和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．【变式1】将∥ABC的∥C折起，翻折后角的顶点位置记作C′，当C′落在AC上时（如图1），易证：∥1=2∥2．当C′点落在CA和CB之间（如图2）时，或当C′落在CB、CA的同旁（如图3）时，∥1、∥2、∥3关系又如何，请写出你的猜想，并就其中一种情况给出证明．图1 图2 图3【答案】∥1－∥3=2∥2，证明见解析．【分析】利用轴对称的知识找出等解即可进行推理判断．解：当C′点落在CA和CB之间（如图2）时，∥1+∥3=2∥2；当C′落在CB、CA的同旁（如图3）时，∥1－∥3=2∥2；对于图2证明如下：连结CC’，如图4所示，∥∥EC’D是由∥ECD翻折得到的，∥∥EC’D∥∥ECD，由此得EC=EC’，DC=DC’，∥EC’D=∥ECD，∥∥EC’C=∥ECC；∥DC’C=∥DCC，∥∥1=∥DC’C+∥DCC’ ，∥3=∥EC’C+∥ECC’ ，∥∥1+∥3=∥DC’C+∥DCC’ +∥ EC’C+∥ECC’=2∥D C’C+2∥ EC’C =2(∥DC’C+∥ EC’C)=2∥2；∥∥1+∥3=2∥2；对于图3证明如下：设AC与DC’在∥ABC内部所夹角为∥4，如图5所示，则有∥1=∥C+∥4，∥4=∥3+∥2，又由翻折得：∥2=∥C，∥∥1=∥2+∥3+∥2=∥3+2∥2，∥∥1－∥3=2∥2．【点拨】本题主要考查了轴对称的性质.找准对称轴是解题的关键．【变式2】如图1，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G．若∥EFG=20°，（1）求∥AEG，∥BGE的度数．（2）再沿GF折叠成如图2，求图2中的∥CFE的度数.图1 图2【答案】（1）∥AEG=140˚,∥BGE=40˚；（2）∥CFE=120˚【解析】【分析】（1）如图，由折叠的性质可得，∥D′EF=∥FEG，根据平行线的性质可得，∥D′EF=∥EFG=20°，根据平角的定义即可求得∥AEG，从而再由平行线的性质求得∥BGE；（2）由（1）可知∥GFC的度数，根据∥CFE=∥GFC-∥EFG进行计算即可得.【详解】（1）由折叠的性质可得，∥D′EF=∥FEG，∥AE//BG，∥∥D′EF=∥EFG=20°，∥∥D′EG=∥D′EF+∥FEG=40°，∥∥AEG=180°-∥D′EG=140°，∥AE//BG ，∥∥BGE=∥D′EG =40°；（2）∥FC//DG ，∥∥FGD+∥GFC=180°，∥∥FGD=∥BGE=40°，∥∥GFC=140°，∥∥CFE=∥GFC -∥EFG=140°-20°=120°.【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题）；平行线的性质等，结合图形灵活运用相关知识解题是关键，注意要弄清折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化.【变式3】如图，长方形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，M 、N 分别在射线BC 和射线AD 上，连接EM ，EN ，将三角形MBE 沿EM 折叠（把物体的一部分翻转和另一部分贴拢），点B 落在点B’处；将三角形NAE 沿EN 折叠，点A 落在点A’处.（1）若MEB 30∠=︒，NEA 45∠=︒，用直尺、量角器画出射线EB’与EA’； （2）若MEB 30∠=︒，NEA 45∠=︒，求A'EB'∠的度数；（3）若MEB α∠=，NEA β∠=，用含αβ、的代数式表示A'EB'∠的度数.【答案】（1）作图见解析；（2）30°；（3）∥A 'EB '=180°－2(α+β)或2(α+β)－180°．【分析】（1）根据已知作图即可；（2）由折叠的性质得到∥AEN =∥A 'EN ，∥BEM =∥B 'EM ，根据平角的定义得到2∥AEN +2∥BEM +∥A 'EB '=180°，即可得到结论；（3）分两种情况讨论：∥当α+β≤90°时，∥当α+β＞90°时．解：（1）如图：（2）由折叠的性质得：∥AEN=∥A'EN，∥BEM=∥B'EM．∥2∥AEN+2∥BEM+∥A'EB'=180°，∥∥A'EB'=180°－2(∥AEN+∥BEM)=180°－2(45°+30°)=30°；（3）分两种情况讨论：∥当α+β≤90°时，如图1，由（2）可知：∥A'EB'=180°－2(∥AEN+∥BEM)=180°－2(α+β)；∥当α+β＞90°时，如图2，类似可得：∥A'EB'=2(∥AEN+∥BEM)－180°=2(α+β)－180°．综上所述：∥A'EB'=180°－2(α+β)或2(α+β)－180°．【点拨】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，正确的识别图形是解答本题的关键．。
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折叠问题
1．常见图形
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
⑨ ⑩
2．折叠的本质是 ，折叠前后的对就应线段、对应角 。
3．折痕是 ，对应点连线被对称轴 。
练习题
1．如图，DE ∥AB ，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等
于
2．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上E 处，折痕为CD ，则∠BDE 等于
3．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM ．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，
点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．
4．如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA ′=30°则∠BEA ′=_____
5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为 。
6．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′
等于 。
7．矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），
则着色部分的面积为
8．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边
上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为 ．
F E D C B A M F E D C B A F E D C B A F E D C B A N M F E D C B A E D C B A N M F E D C B A F
E D C B A P E D C B A P E D C B A E D C B A M C B A
A B C D E A′ C
D A C B A ' F
E D C B A A B C D G
F F 9．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是 10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A ´处，若
∠A ´BC ＝20°，则∠A ´BD 的度数为 ．
11．如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向
右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为
12．已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是 。
13．将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图①）；再
沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点M 处，折痕为E G （如图②）；再展平纸片（如图③）．则图③中∠1= ．
E D B C′
F C
D ′ A N M F
E B A E D C
F B A 图① E D C A B F
G M A D
E C B
F
G 图② 图③ 1。