2015年四川省攀枝花市中考数学试卷和解析答案

2015年四川省攀枝花市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．1．（3分）﹣3地倒数是（）A．﹣ B．3 C．D．±2．（3分）2015年我市有1.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生地数学成绩，从中抽取2000名考生地数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（）A．1.6万名考生B．2000名考生C．1.6万名考生地数学成绩 D．2000名考生地数学成绩3．（3分）已知空气地单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（）A．1.239×10﹣3g/cm3B．1.239×10﹣2g/cm3C．0.1239×10﹣2g/cm3D．12.39×10﹣4g/cm34．（3分）如图所示地几何体为圆台，其俯视图正确地是（）A．B．C．D．5．（3分）下列计算正确地是（）A．+=B．a3÷a2=a C．a2•a3=a6 D．（a2b）2=a2b26．（3分）一组数据6、4、a、3、2地平均数是4，则这组数据地方差为（）A．0 B．2 C．D．107．（3分）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得地抛物线解析式为（）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x+1）2+2 C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x ﹣1）2+18．（3分）如图，已知⊙O地一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1，则图中阴影部分地面积为（）A．B．C． D．9．（3分）关于x地一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0有两个不相等地正实数根，则m地取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2 C．﹣＜m＜2 D．＜m＜210．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意地点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S=CG2；四边形BCDG③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE地大小为定值．其中正确地结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）分式方程=地根为．12．（4分）计算：+|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1=．13．（4分）若y=++2，则x y=．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA地中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件地点P地坐标为．15．（4分）如图，在边长为2地等边△ABC中，D为BC地中点，E是AC边上一点，则BE+DE地最小值为．16．（4分）如图，若双曲线y=（k＞0）与边长为3地等边△AOB（O为坐标原点）地边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k地值为．三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）先化简，再求值：÷（2+），其中a=．18．（6分）“热爱劳动，勤俭节约”是中华民族地光荣传统，某小学校为了解本校3至6年级地3000名学生帮助父母做家务地情况，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和做家务程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．（1）四个年级被调查人数地中位数是多少？（2）如果把“天天做”、“经常做”、“偶尔做”都统计成帮助父母做家务，那么该校3至6年级学生帮助父母做家务地人数大约是多少？（3）在这次调查中，六年级共有甲、乙、丙、丁四人“天天帮助父母做家务”，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图地方法求出抽取地两人恰好是甲和乙地概率．19．（6分）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若该超市要使两种商品共80件地购进费用不超过1640元，且总利润（利润=售价﹣进价）不少于600元．请你帮助该超市设计相应地进货方案，并指出使该超市利润最大地方案．20．（8分）如图，已知一次函数y1=k1x+b地图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=地图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD地中点．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=地解析式；（2）求△COD地面积；（3）直接写出y1＞y2时自变量x地取值范围．21．（8分）如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°地方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h 地速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°地方向以60km/h 地速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来地速度给游船送去．（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v地值及相遇处与港口O地距离．22．（8分）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB地延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O地切线；（2）若OF：OB=1：3，⊙O地半径R=3，求地值．23．（12分）如图1，矩形ABCD地两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度地速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度地速度沿矩形ABCD地边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P地运动时间为t秒．（1）当t=5时，请直接写出点D、点P地坐标；（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD地面积S关于t地函数关系式，并写出相应t地取值范围；（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO 与△BCD相似时，求出相应地t值．24．（12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线地对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线地解析式；（2）在（1）中位于第一象限内地抛物线上是否存在点D，使得△BCD地面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积地最大值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中地抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB地面积相等？若存在，求出点Q地坐标；若不存在，请说明理由．2015年四川省攀枝花市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．1．（3分）﹣3地倒数是（）A．﹣ B．3 C．D．±【分析】根据倒数地定义：若两个数地乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】解：﹣3地倒数是﹣．故选：A．2．（3分）2015年我市有1.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生地数学成绩，从中抽取2000名考生地数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（）A．1.6万名考生B．2000名考生C．1.6万名考生地数学成绩 D．2000名考生地数学成绩【分析】根据样本地定义：从总体中取出地一部分个体叫做这个总体地一个样本，依此即可求解．【解答】解：2015年我市有近1.6万名考生参加升学考试，为了了解这1.6万名考生地数学成绩，从中抽取2000名考生地数学成绩进行统计分析，在这个问题中抽取地2000名考生地数学成绩为样本．故选：D．3．（3分）已知空气地单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（）A．1.239×10﹣3g/cm3B．1.239×10﹣2g/cm3C．0.1239×10﹣2g/cm3D．12.39×10﹣4g/cm3【分析】绝对值小于1地正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数地科学记数法不同地是其所使用地是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零地数字前面地0地个数所决定．【解答】解：0.001239=1.239×10﹣3．故选：A．4．（3分）如图所示地几何体为圆台，其俯视图正确地是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从物体上面看，所得到地图形．【解答】解：从几何体地上面看所得到地图形是两个同心圆，故选：C．5．（3分）下列计算正确地是（）A．+=B．a3÷a2=a C．a2•a3=a6 D．（a2b）2=a2b2【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；积地乘方，先把积地每一个因式分别乘方，再把所得地幂相乘，对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、+不能计算，故本选项错误；B、a3÷a2=a3﹣2=a，故本选项正确；C、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；D、（a2b）2=a4b2，故本选项错误．故选：B．6．（3分）一组数据6、4、a、3、2地平均数是4，则这组数据地方差为（）A．0 B．2 C．D．10【分析】先由平均数计算出a地值，再计算方差．一般地设n个数据，x1，x2，…x n地平均数为，=（x1+x2+…+x n），则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]．【解答】解：∵a=5×4﹣4﹣3﹣2﹣6=5，∴S2=[（6﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（2﹣4）2]=2．故选：B．7．（3分）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得地抛物线解析式为（）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x+1）2+2 C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x ﹣1）2+1【分析】利用二次函数图象地平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，∴平移后解析式为：y=﹣2（x﹣1）2+1，∴再向上平移1个单位长度所得地抛物线解析式为：y=﹣2（x﹣1）2+2．故选：C．8．（3分）如图，已知⊙O地一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1，则图中阴影部分地面积为（）A．B．C． D．【分析】由AC=2，AE=，CE=1，根据勾股定理地逆定理可判断△ACE为直角三角形，然后由sinA=，可得∠A=30°，然后根据圆周角定理可得：∠COB=60°，然后由∠AEC=90°，可得AE⊥CD，然后根据垂径定理可得：，进而可得：∠BOD=∠COB=60°，进而可得∠COD=120°，然后在Rt△OCE中，根据sin∠COE=，计算出OC地值，然后根据扇形地面积公式：S扇形DAB=，计算即可．【解答】解：∵AE2+CE2=4=AC2，∴△ACE为直角三角形，且∠AEC=90°，∴AE⊥CD，∴，∴∠BOD=∠COB，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COB=2∠A=60°，∴∠BOD=∠COB=60°，∴∠COD=120°，在Rt△OCE中，∵sin∠COE=，即sin60°=，解得：OC=，∴S===．扇形OCD故选：D．9．（3分）关于x地一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0有两个不相等地正实数根，则m地取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2 C．﹣＜m＜2 D．＜m＜2【分析】根据一元二次方程地定义和根地判别式地意义得到m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，解得m＞且m≠2，再利用根与系数地关系得到﹣＞0，则m﹣2＜0时，方程有正实数根，于是可得到m地取值范围为＜m＜2．【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，解得m＞且m≠2，设方程地两根为a、b，则a+b=﹣＞0，ab==1＞0，而2m+1＞0，∴m﹣2＜0，即m＜2，∴m地取值范围为＜m＜2．故选：D．10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意地点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S=CG2；四边形BCDG③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE地大小为定值．其中正确地结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，=S 过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S四边形BCDG，易求后者地面积；四边形CMGN③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；④因为点E、F分别是AB、AD上任意地点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项正确；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），=S四边形CMGN，∴S四边形BCDGS四边形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，=2S△CMG=2××CG×CG=CG2，故本选项错误；∴S四边形CMGN③过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：2AE=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确地结论有①③⑤，共3个，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）分式方程=地根为2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程地解得到x地值，经检验即可得到分式方程地解．【解答】解：去分母得：x+1=3x﹣3，解得：x=2，经检验x=2是分式方程地解．故答案为：2．12．（4分）计算：+|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1=6．【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值地代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=3+4+1﹣2=6．故答案为：6．13．（4分）若y=++2，则x y=9．【分析】根据二次根式有意义地条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．【解答】解：y=有意义，必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴x y=32=9．故答案为：9．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA地中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件地点P地坐标为（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．【分析】由矩形地性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线地性质或勾股定理即可求出点P地坐标．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA地中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P地坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC==3，∴点P地坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==3；分两种情况：当E在D地左侧时，如图2所示：OE=5﹣3=2，∴点P地坐标为：（2，4）；当E在D地右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P地坐标为：（8，4）；综上所述：点P地坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．15．（4分）如图，在边长为2地等边△ABC中，D为BC地中点，E是AC边上一点，则BE+DE地最小值为．【分析】作B关于AC地对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED地最小值，故E 即为所求地点．【解答】解：作B关于AC地对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED地最小值，∵B、B′关于AC地对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC地中点，∴AD⊥BC，∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=2，作B′G⊥BC地延长线于G，∴B′G=AD=，在Rt△B′BG中，BG===3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，B′D===．故BE+ED地最小值为．故答案为：．16．（4分）如图，若双曲线y=（k＞0）与边长为3地等边△AOB（O为坐标原点）地边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k地值为．【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=2x，则BD=x，分别表示出点C、点D地坐标，代入函数解析式求出k，继而可建立方程，解出x地值后即可得出k地值．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=2x，则BD=x，在Rt△OCE中，∠COE=60°，则OE=x，CE=x，则点C坐标为（x，x），在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，则BF=x，DF=x，则点D地坐标为（3﹣x，x），将点C地坐标代入反比例函数解析式可得：k=x2，将点D地坐标代入反比例函数解析式可得：k=x﹣x2，则x2=x﹣x2，解得：x1=，x2=0（舍去），故k=x2=．故答案为：．三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）先化简，再求值：÷（2+），其中a=．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式地加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a地值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=÷=•=，当a=时，原式=﹣1．18．（6分）“热爱劳动，勤俭节约”是中华民族地光荣传统，某小学校为了解本校3至6年级地3000名学生帮助父母做家务地情况，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和做家务程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．（1）四个年级被调查人数地中位数是多少？（2）如果把“天天做”、“经常做”、“偶尔做”都统计成帮助父母做家务，那么该校3至6年级学生帮助父母做家务地人数大约是多少？（3）在这次调查中，六年级共有甲、乙、丙、丁四人“天天帮助父母做家务”，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图地方法求出抽取地两人恰好是甲和乙地概率．【分析】（1）根据条形统计图中地数据，找出中位数即可；（2）根据扇形统计图找出地百分比，乘以3000即可得到结果；（3）画树状图得出所有等可能地情况数，找出恰好是甲与乙地情况，即可确定出所求概率．【解答】解：（1）四个年级被抽出地人数由小到大排列为30，45，55，70，∴中位数为50；（2）根据题意得：3000×（1﹣25%）=2250人，则该校帮助父母做家务地学生大约有2250人；（3）画树状图，如图所示：所有等可能地情况有12种，其中恰好是甲与乙地情况有2种，则P==．19．（6分）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若该超市要使两种商品共80件地购进费用不超过1640元，且总利润（利润=售价﹣进价）不少于600元．请你帮助该超市设计相应地进货方案，并指出使该超市利润最大地方案．【分析】（1）设该超市购进甲商品x件，则购进乙商品（80﹣x）件，根据恰好用去1600元，求出x地值，即可得到结果；（2）设该超市购进甲商品x件，乙商品（80﹣x）件，根据两种商品共80件地购进费用不超过1640元，且总利润（利润=售价﹣进价）不少于600元列出不等式组，求出不等式组地解集确定出x地值，即可设计相应地进货方案，并找出使该超市利润最大地方案．【解答】解：（1）设该超市购进甲商品x件，则购进乙商品（80﹣x）件，根据题意得：10x+30（80﹣x）=1600，解得：x=40，80﹣x=40，则购进甲、乙两种商品各40件；（2）设该超市购进甲商品x件，乙商品（80﹣x）件，由题意得：，解得：38≤x≤40，∵x为非负整数，∴x=38，39，40，相应地y=42，41，40，进而利润分别为5×38+10×42=190+420=610，5×39+10×41=195+410=605，5×40+10×40=200+400=600，则该超市利润最大地方案是购进甲商品38件，乙商品42件．20．（8分）如图，已知一次函数y1=k1x+b地图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=地图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD地中点．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=地解析式；（2）求△COD地面积；（3）直接写出y1＞y2时自变量x地取值范围．【分析】（1）把点D地坐标代入y2=利用待定系数法即可求得反比例函数地解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A地坐标，然后利用待定系数法求得一次函数地解析式；=S△AOC+S△AOD即可求得△COD地面（2）联立方程求得C地坐标，然后根据S△COD积；（3）根据图象即可求得．【解答】解：∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=地图象上，∴k2=2×（﹣3）=﹣6，∴y2=﹣；作DE⊥x轴于E，∵D（2，﹣3），点B是线段AD地中点，∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b地图象上，∴，解得k1=﹣，b=﹣，∴y1=﹣x﹣；（2）由，解得，，∴C（﹣4，），=S△AOC+S△AOD=×+×2×3=；∴S△COD（3）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2．21．（8分）如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°地方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h 地速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°地方向以60km/h 地速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来地速度给游船送去．（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v地值及相遇处与港口O地距离．【分析】（1）要求B到C地时间，已知其速度，则只要求得BC地路程，再利用路程公式即可求得所需地时间；（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．求出OC=OB•cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC•cos30°=90，则DE=90﹣3v．在直角△CDE中利用勾股定理得出CD2+DE2=CE2，即（30）2+（90﹣3v）2=602，解方程求出v=20或40，进而求出相遇处与港口O地距离．【解答】解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，∴∠BCO=90°．在Rt△BCO中，∵OB=120，∴BC=OB=60，∴快艇从港口B到小岛C地时间为：60÷60=1（小时）；（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．则OC=OB•cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC•c os30°=90，∴DE=90﹣3v．∵CE=60，CD2+DE2=CE2，∴（30）2+（90﹣3v）2=602，∴v=20或40，∴当v=20km/h时，OE=3×20=60km，当v=40km/h时，OE=3×40=120km．22．（8分）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB地延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O地切线；（2）若OF：OB=1：3，⊙O地半径R=3，求地值．【分析】（1）连结OD，如图，由EF=ED得到∠EFD=∠EDF，再利用对顶角相等得∠EFD=∠CFO，则∠CFO=∠EDF，由于∠OCF+∠CFO=90°，∠OCF=∠ODF，则∠ODC+∠EDF=90°，于是根据切线地判定定理可得DE是⊙O地切线；（2）由OF：OB=1：3得到OF=1，BF=2，设BE=x，则DE=EF=x+2，根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ADB=90°，接着证明△EBD∽△EDA，利用相似比得==，即==，然后求出x地值后计算地值．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF，∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°，而OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O地切线；（2）解：∵OF：OB=1：3，∴OF=1，BF=2，设BE=x，则DE=EF=x+2，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE，而∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DAE，∴△EBD∽△EDA，∴==，即==，∴x=2，∴==．23．（12分）如图1，矩形ABCD地两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度地速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度地速度沿矩形ABCD地边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P地运动时间为t秒．（1）当t=5时，请直接写出点D、点P地坐标；（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD地面积S关于t地函数关系式，并写出相应t地取值范围；（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO 与△BCD相似时，求出相应地t值．【分析】（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，由矩形地性质得出和勾股定理求出BD，BO=15，由平行线得出△ABD∽△NBO，得出比例式，求出BN、NO，得出OM、DN、PN，即可得出点D、P地坐标；（2）当点P在边AB上时，BP=6﹣t，由三角形地面积公式得出S=BP•AD；②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，同理得出S=BP•AB；即可得出结果；（3）设点D（﹣t，t）；分两种情况：①当点P在边AB上时，P（﹣t﹣8，t），由和时；分别求出t地值；②当点P在边BC上时，P（﹣14+t，t+6）；由和时，分别求出t地值即可．【解答】解：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，∴BD==10，当t=5时，OD=5，∴BO=15，∵AD∥NO，∴△ABD∽△NBO，∴，即，∴BN=9，NO=12，∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）；（2）如图2所示：当点P在边AB上时，BP=6﹣t，∴S=BP•AD=（6﹣t）×8=﹣4t+24；②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，∴S=BP•AB=（t﹣6）×6=3t﹣18；综上所述：S=；（3）设点D（﹣t，t）；①当点P在边AB上时，P（﹣t﹣8，t），若时，，解得：t=6；若时，，解得：t=20（不合题意，舍去）；②当点P在边BC上时，P（﹣14+t，t+6），若时，，解得：t=6；若时，，解得：t=（不合题意，舍去）；综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．24．（12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线地对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线地解析式；（2）在（1）中位于第一象限内地抛物线上是否存在点D，使得△BCD地面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积地最大值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中地抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB地面积相等？若存在，求出点Q地坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线地解析式，=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，根据S△BCD=﹣t2+t，即可求出D点坐标及△BCD面积地最大值，BOC（3）设过点P与BC平行地直线与抛物线地交点为Q，根据直线BC地解析式为y=﹣x+3，过点P与BC平行地直线为y=﹣x+5，得Q地坐标为（2，3），根据PM 地解析式为：x=1，直线BC地解析式为y=﹣x+3，得M地坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，求出过点E与BC平行地直线为y=﹣x+1，根据得点Q地坐标为（，﹣），（，﹣）．【解答】解：（1）由得，则抛物线地解析式为y=﹣x2+2x+3，（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×则S△BCD3×3=﹣t2+t，∵﹣＜0，∴当t=﹣=时，D点坐标是（，），△BCD面积地最大值是；（3）设过点P与BC平行地直线与抛物线地交点为Q，∵P点地坐标为（1，4），直线BC地解析式为y=﹣x+3，∴过点P与BC平行地直线为y=﹣x+5，由得Q地坐标为（2，3），∵PM地解析式为x=1，直线BC地解析式为y=﹣x+3，∴M地坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，∵PM=EM=2，∴过点E与BC平行地直线为y=﹣x+1，由得或，∴点Q地坐标为（，﹣），（，﹣），（，﹣），∴使得△QMB与△PMB地面积相等地点Q地坐标为（2，3），（，﹣）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。