人教版数学八年级上册 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

合集下载

八年级数学全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学全等三角形同步单元检测(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),在x轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有_____个.【答案】4【解析】【分析】以O为圆心,OA为半径画弧交x轴于点P1、P3,以A为圆心,AO为半径画弧交x轴于点P4,作OA的垂直平分线交x轴于P2.【详解】解:如图,使△AOP是等腰三角形的点P有4个.故答案为4.【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形,掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键.2.如图,∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2,B3…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,从左起第1个等边三角形的边长记a1,第2个等边三角形的边长记为a2,以此类推,若OA1=3,则a2=_______,a2019=_______.【答案】6; 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及a2=2a1=6,得出a3=4a1,a4=8a1,a5=16a1…进而得出答案.【详解】解:如图,∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°,∵∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°,又∵∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°,∵∠MON=∠1=30°,∴OA1=A1B1=3,∴A2B1=3,∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,∵∠4=∠12=60°,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∴a2=2a1=6,a3=4a1,a4=8a1,以此类推:a2019=22018a1=3×22018故答案是:6;3×22018.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质,根据已知得出a2=2a1=6,a3=4a1,a4=8a1,a5=16a1…进而发现规律是解题关键.3.如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC(AB>BC)为边,在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论:①AE=DC,②MN//AB,③BD⊥AE,④∠DPM=60°,⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________(把所有正确的序号都填上).【答案】①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两条边对应相等,两个角相等都为60°,利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论;②由①中三角形ABE与三角形DBC全等,利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等,再由∠ABD=∠EBC=60°,利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°,再由EB=CB,利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等,利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB,再由∠MBE=60°,利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形;可得∠BMN=60°,进行可得∠BMN=∠ABD,故MN//AB,从而可判断②,⑤正确;③无法证明PM=PN,因此不能得到BD⊥AE;④由①得∠EAB=∠CDB,根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE,∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠EBC=60°,∴∠ABE=∠DBC=120°,在△ABE和△DBC中,∵AB DBABE DBCBE BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△ABE≌△DBC(SAS),∴AE=DC,∵△ABE≌△DBC,∴∠AEB=∠DCB,又∠ABD=∠EBC=60°,∴∠MBE=180°-60°-60°=60°,即∠MBE=∠NBC=60°,在△MBE和△NBC中,∵AEB DCB EB CBMBE NBC ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨===,∴△MBE≌△NBC(ASA),∴BM=BN,∠MBE=60°,则△BMN为等边三角形,故⑤正确;∵△BMN为等边三角形,∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD,∴MN//AB,故②正确;③无法证明PM=PN,因此不能得到BD⊥AE;④由①得∠EAB=∠CDB,∠APC+∠PAC+∠PCA=180°,∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°,∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°,故④正确,故答案为:①②④⑤.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.4.等腰三角形顶角为30°,腰长是4cm,则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图,根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质,可由等腰三角形的顶角为30°,腰长是4cm,可求得BD=12AB =4×12=2,因此此三角形的面积为:S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4(cm2).故答案是:4.5.如图,在ABC ∆中,ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ,过点O 作//EF BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论:①EF BE CF =+;②点O 到ABC ∆各边的距离相等;③1902BOC A ∠=+∠;④设OD m =,AE AF n +=,则AEF S mn ∆=;⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________.【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,根据角平分线的定义与三角形内角和定理,即可求得③∠BOC =90°+12∠A 正确;由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF =BE +CF 故①正确;由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等,故②正确;由角平分线定理与三角形面积的求解方法,即可求得④设OD =m ,AE +AF =n ,则S △AEF =12mn ,故④错误,根据HL 证明△AMO ≌△ADO 得到AM =AD ,同理可证BM =BN ,CD =CN ,变形即可得到⑤正确.【详解】∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴∠OBC =12∠ABC ,∠OCB =12∠ACB ,∠A +∠ABC +∠ACB =180°,∴∠OBC +∠OCB =90°﹣12∠A ,∴∠BOC =180°﹣(∠OBC +∠OCB )=90°+12∠A ;故③正确; ∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴∠OBC =∠OBE ,∠OCB =∠OCF . ∵EF ∥BC ,∴∠OBC =∠EOB ,∠OCB =∠FOC ,∴∠EOB =∠OBE ,∠FOC =∠OCF ,∴BE =OE ,CF =OF ,∴EF =OE +OF =BE +CF ,故①正确;过点O 作OM ⊥AB 于M ,作ON ⊥BC 于N ,连接OA .∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴ON =OD =OM =m ,∴S △AEF =S △AOE +S △AOF =12AE •OM +12AF •OD =12OD •(AE +AF )=12mn ;故④错误; ∵在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,∴点O 到△ABC 各边的距离相等,故②正确;∵AO =AO ,MO =DO ,∴△AMO ≌△ADO (HL ),∴AM =AD ;同理可证:BM =BN ,CD =CN .∵AM +BM =AB ,AD +CD =AC ,BN +CN =BC ,∴AD =12(AB +AC ﹣BC )故⑤正确. 故答案为:①②③⑤.【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质,等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.6.如图,在△ABC 中,P ,Q 分别是BC ,AC 上的点,PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,垂足分别是R ,S ,若AQ PQ =,PR PS =,那么下面四个结论:①AS AR =;②QP //AR ;③△BRP ≌△QSP ;④BRQS ,其中一定正确的是(填写编号)_____________.【答案】①,②【解析】【分析】连接AP,根据角平分线性质即可推出①,根据勾股定理即可推出AR=AS,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA,推出∠QPA=∠BAP,根据平行线判定推出QP∥AB即可;在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS.无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BR QS.【详解】解:连接AP①∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,∴点P在∠BAC的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°,∴∠SAP=∠RAP,在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2-PR2,AS2=AP2-PS2,∵AP=AP,PR=PS,∴AR=AS,∴①正确;②∵AQ=QP,∴∠QAP=∠QPA,∵∠QAP=∠BAP,∴∠QPA=∠BAP,∴QP∥AR,∴②正确;③在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS,不满足三角形全等的条件,故③④错误;故答案为:①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用,熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.7.如图,∠AOB=45°,点M、点C在射线OA上,点P、点D在射线OB上,且OD=2,则CP+PM+DM的最小值是_____.【答案】34.【解析】【分析】如图,作点C关于OB的对称点C′,作点D关于OA的对称点D′,连接OC′,PC′,D′M,OD′,C′D′,根据轴对称的性质得到OC′=OC=2,OD′=OD=32,CP=C′P,DM=D′M,∠C′OD=′COD=∠COD′=45°,于是得到CP+PM+MD=C′+PM+D′M≥C′D′,当仅当C′,P,M,D′三点共线时,CP+PM+MD最小为C′D′,作C′T⊥D′O于点T,于是得到结论.【详解】解:如图,作点C关于OB的对称点C′,作点D关于OA的对称点D′,连接OC′,PC′,D′M,OD′,C′D′,则OC′=OC=2,OD′=OD=32,CP=C′P,DM=D′M,∠C′OD=′COD=∠COD′=45°,∴CP+PM+MD=C′+PM+D′M≥C′D′,当仅当C′,P,M,D′三点共线时,CP+PM+MD最小为C′D′,作C′T⊥D′O于点T,则C′T=OT=2,∴D′T=42,∴C′D′=34,∴CP+PM+DM的最小值是34.故答案为:34.【点睛】本题考查了最短路径问题,掌握作轴对称点是解题的关键.8.如图,正五边形ABCDE 中,对角线AC 与BE 相交于点F ,则AFE ∠=_______度.【答案】72.【解析】【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB ∠,根据等腰三角形的性质,三角形外角的性质计算即可.【详解】解:∵五边形ABCDE 是正五边形,(52)1801085EAB ABC ︒︒-⨯∴∠=∠==,BA BC =,36BAC BCA ︒∴∠=∠=,同理36ABE ∠︒=,363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠︒+︒︒===.故答案为:72【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角,掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键.9.如图,在△ABC 中,AB=AC ,AB 边的垂直平分线DE 交AC 于点D .已知△BDC 的周长为14,BC=6,则AB=___.【答案】8【解析】试题分析:根据线段垂直平分线的性质,可知AD=BD,然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14,可得AC+BC=14,再由BC=6可得AC=8,即AB=8.故答案为8.点睛:此题主要考查了线段的垂直平分线的性质,解题时,先利用线段的垂直平分线求出BD=AD,然后根据三角形的周长互相代换,即可其解.10.已知,∠MON=30°,点A1、A2、A3在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=a,则△A7B7A8的边长为______.【答案】64a【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2,进而得出A3B3=4B1A2=4a,A4B4=8B1A2=8a,A5B5=16B1A2…从而得到答案.【详解】∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°.∵∠MON=30°,∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°.又∵∠3=60°,∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°.∵∠MON=∠1=30°,∴OA1=A1B1=a,∴A2B1=a.∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,∴∠11=∠10=60°,∠13=60°.∵∠4=∠12=60°,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,∴A3B3=4B1A2=4a,A4B4=8B1A2=8a,A5B5=16B1A2=16a,以此类推:A7B7=64B1A2=64a.故答案为:64a.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质,根据已知得出A3B3=4B1A2,A4B4=8B1A2,A5B5=16B1A2进而发现规律是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.如图,平面直角坐标系中存在点A(3,2),点B(1,0),以线段AB为边作等腰三角形ABP,使得点P在坐标轴上.则这样的P点有()A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题,由题意知A、B是定点,P是动点,所以要分情况讨论:以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰.则满足条件的点P可求.【详解】由题意可知:以AP、AB为腰的三角形有3个;以AP、BP为腰的三角形有2个;以BP、AB为腰的三角形有2个.所以,这样的点P共有7个.故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质;分类别寻找是正确解答本题的关键.12.在平面直角坐标系中,等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(0,0)、(2,2),若顶点C落在坐标轴上,则符合条件的点C有()个.A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形,可分三种情况(①若AC=AB,②若BC=BA,③若CA=CB)讨论,通过画图就可解决问题.【详解】①若AC=AB,则以点A为圆心,AB为半径画圆,与坐标轴有4个交点;②若BC=BA,则以点B为圆心,BA为半径画圆,与坐标轴有2个交点(A点除外);③若CA=CB,则点C在AB的垂直平分线上.∵A(0,0),B(2,2),∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点.综上所述:符合条件的点C的个数有8个.故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识,还考查了动手操作的能力,运用分类讨论的思想是解决本题的关键.13.如图,在△ABC中,∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1-∠2的度数是()A.32°B.64°C.65°D.70°【答案】B【解析】【分析】此题涉及的知识点是三角形的翻折问题,根据翻折后的图形相等关系,利用三角形全等的性质得到角的关系,然后利用等量代换思想就可以得到答案【详解】如图,在△ABC中,∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH∠1=180︒-∠BEH -∠DEH=180︒-2∠DEH∠2=180︒-∠D -∠DEH -∠EHF=180︒-∠B -∠DEH -(∠B+∠BEH)=180︒-∠B -∠DEH -(∠B+∠DEH)=180︒-32°-∠DEH -32°-∠DEH=180︒-64°-2∠DEH∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH -(180︒-64°-2∠DEH)=180︒-2∠DEH -180︒+64°+2∠DEH=64°故选B【点睛】此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力,等量代换是解本题的关键14.如图,在射线OA ,OB 上分别截取11OA OB =,连接11A B ,在11B A ,1B B 上分别截取1212B A B B =,连接22A B ,按此规律作下去,若11A B O α∠=,则1010A B O ∠=( )A .102aB .92aC .20aD .18a 【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠,依此类推即可得到结论.【详解】解:1212B A B B =,11A B O α∠=,2212A B O α∴∠=, 同理332111222A B O αα∠=⨯=, 44312A B O α∠=, 112n n n A B O α-∴∠=, 101092A B O α∴∠=,故选:B .【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,图形的变化规律,依次求出相邻的两个角的差,得到分母成2的指数次幂变化,分子不变的规律是解题的关键.15.如图所示,在ABC 中,AC BC =,90ACB ︒∠=,AD 平分BAC ∠,BE AD ⊥交AC 的延长线F ,E 为垂足.则有:①AD BF =;②CF CD =;③AC CD AB +=;④BE CF =;⑤2BF BE =,其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】D【解析】【分析】 利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出答案.【详解】解:∵AC BC =,90ACB ︒∠=∴45CAB ABC ︒∠=∠=∵AD 平分BAC ∠∴22.5BAE EAF ︒∠=∠=∵90EAF F FBC F ︒∠+∠=∠+∠=∴EAF FBC ∠=∠∴ADC BFC ≅∴AD=BF ,CF=CD ,故①②正确;∵CD=C F ,∴AC+CD=AC+CF=AF∵67.5F ︒∠=∵18018067.54567.5ABF F CAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴AF=AB ,即AC+CD=AB ,故③正确;由③可知,三角形ABF 是等腰三角形,∵BE AD ⊥∴12BE BF = 若BE CF =,则30CBF ∠=︒与②中结论相矛盾,故④错误;∵三角形ABF 是等腰三角形,∵BE AD ⊥∴12BE BF = ∴BF=2BE ,故⑤正确;综上所述,正确的选项有4个.故选:D .【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,掌握以上知识点是解此题的关键.16.已知:如图,ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形,且CA CB =,CD CE =,ACB DCE α∠=∠=,AD 、BE 相交于点O ,点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论:①AD BE =;②180DOB α∠=-;③CMN ∆是等边三角形;④连OC ,则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A .①②③B .①②④C .①③④D .①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论,故可判断; ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ,故可判断;③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ,∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状;④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ,根据ACD BCE ≅△△,可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ,故可判断.【详解】①正确,理由如下:∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE ,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确;②正确,理由如下:由①知,ACD BCE ≅△△,∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确;③错误,理由如下:∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知,AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA =CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ,∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形,故③错误;④正确,理由如下:如图所示,在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ,由①知,ACD BCE ≅△△,∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确;故答案为:B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质,三角形内角和定理和外角定理,等边三角形的判定,根据已知条件作出正确的辅助线,找出全等三角形是解题的关键.17.如果三角形有一个内角为120°,且过某一顶点的直线能将该 三角形分成两个等腰三角形,那么这个三角形最小的内角度数是( )A .15°B .40C .15°或20°D .15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°,且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形,运用分类思想和三角形内角和定理,即可得到该三角形其余两个内角的度数.【详解】如图1,当∠A=120°,AD=AC ,DB=DC 时,∠ADC=∠ACD=30°,∠DBC=∠DCB=15°, 所以,∠DBC=15°,∠ACB=30°+15°=45°;故∠ABC=60°,∠C=80°;如图2,当∠BAC=120°,可以以A为顶点作∠BAD=20°,则∠DAC=100°,∵△APB,△APC都是等腰三角形;∴∠ABD=20°,∠ADC=∠ACD=40°,如图3,当∠BAC=120°,以A为顶点作∠BAD=80°,则∠DAC=40°,∵△APB,△APC都是等腰三角形,∴∠ABD=20°,∠ADC=100°,∠ACD=40°.故选C.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用,解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理.18.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD.有下列结论:①∠C=2∠A;②BD平分∠ABC;③S△BCD=S△BOD.其中正确的选项是()A.①③B.②③C.①②③D.①②【答案】D【解析】①、∵∠A=36°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=72°,∴∠C=2∠A,正确;②、∵DO是AB垂直平分线,∴AD=BD.∴∠A=∠ABD=36°.∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD.∴BD是∠ABC的角平分线,正确;③,根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等,错误;故选:D.19.如图,等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上的一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC于点D,下列结论中不一定正确的是()A.PD=DQ B.DE=12AC C.AE=12CQ D.PQ⊥AB【答案】D【解析】过P作PF∥CQ交AC于F,∴∠FPD=∠Q,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ACB=60°,∴∠A=∠AFP=60°,∴AP=PF,∵PA=CQ,∴PF=CQ,在△PFD与△DCQ中,FPD QPDE CDQPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PFD≌△QCD,∴PD=DQ,DF=CD,∴A选项正确,∵AE=EF,∴DE=12AC,∴B选项正确,∵PE⊥AC,∠A=60°,∴AE=12AP=12CQ,∴C选项正确,故选D.20.如图,O是正三角形ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O′的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO′=6+33;⑤S△AOC+S△AOB=6+934.其中正确的结论是()A.①②③⑤B.①③④C.②③④⑤D.①②⑤【答案】A【解析】试题解析:由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3,又∵OB=O′B,AB=BC,∴△BO′A≌△BOC,又∵∠OBO′=60°,∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,故结论①正确;如图①,连接OO′,∵OB=O′B,且∠OBO′=60°,∴△OBO′是等边三角形,∴OO′=OB=4.故结论②正确;∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.在△AOO′中,三边长为3,4,5,这是一组勾股数,∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°,∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°,故结论③正确;S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+34×423故结论④错误;如图②所示,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,点O旋转至O″点.易知△AOO″是边长为3的等边三角形,△COO″是边长为3、4、5的直角三角形,则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=123293,故结论⑤正确.综上所述,正确的结论为:①②③⑤.故选A.。

八年级数学上册全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学上册全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学上册全等三角形同步单元检测(Word 版 含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在ABC 中,点A 的坐标为()0,1,点B 的坐标为()0,4,点C 的坐标为()4,3,点D 在第二象限,且ABD 与ABC 全等,点D 的坐标是______.【答案】(-4,2)或(-4,3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D (4,2),这时△ABD 与△ABC 全等,分别作点C ,D 关于y 轴的对称点(-4,3)和(-4,2),所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(-4,2)或(-4,3).2.如图,线段AB ,DE 的垂直平分线交于点C ,且72ABC EDC ∠=∠=︒,92AEB ∠=︒,则EBD ∠的度数为 ________ .【答案】128︒【解析】【分析】连接CE ,由线段AB ,DE 的垂直平分线交于点C ,得CA=CB ,CE=CD ,ACB=∠ECD=36°,进而得∠ACE=∠BCD ,易证∆ACE ≅∆BCD ,设∠AEC=∠BDC=x ,得则∠BDE=72°-x ,∠CEB=92°-x ,BDE 中,∠EBD=128°,根据三角形内角和定理,即可得到答案.【详解】连接CE ,∵线段AB,DE的垂直平分线交于点C,∴CA=CB,CE=CD,∵72ABC EDC∠=∠=︒=∠DEC,∴∠ACB=∠ECD=36°,∴∠ACE=∠BCD,在∆ACE与∆BCD中,∵CA CBACE BCDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴∆ACE≅∆BCD(SAS),∴∠AEC=∠BDC,设∠AEC=∠BDC=x,则∠BDE=72°-x,∠CEB=92°-x,∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-(92°-x)=x-20°,∴在∆BDE中,∠EBD=180°-(72°-x)-(x-20°)=128°.故答案是:128︒.【点睛】本题主要考查中垂线的性质,三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.3.如图,∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2,B3…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,从左起第1个等边三角形的边长记a1,第2个等边三角形的边长记为a2,以此类推,若OA1=3,则a2=_______,a2019=_______.【答案】6; 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及a2=2a1=6,得出a3=4a1,a4=8a1,a5=16a1…进而得出答案.【详解】解:如图,∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°,∵∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°,又∵∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°,∵∠MON=∠1=30°,∴OA1=A1B1=3,∴A2B1=3,∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,∵∠4=∠12=60°,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,∴a2=2a1=6,a3=4a1,a4=8a1,a5=16a1,以此类推:a2019=22018a1=3×22018故答案是:6;3×22018.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质,根据已知得出a2=2a1=6,a3=4a1,a4=8a1,a5=16a1…进而发现规律是解题关键.4.如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC(AB>BC)为边,在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论:①AE=DC,②MN//AB,③BD⊥AE,④∠DPM=60°,⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________(把所有正确的序号都填上).【答案】①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两条边对应相等,两个角相等都为60°,利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论;②由①中三角形ABE与三角形DBC全等,利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等,再由∠ABD=∠EBC=60°,利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°,再由EB=CB,利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等,利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB,再由∠MBE=60°,利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形;可得∠BMN=60°,进行可得∠BMN=∠ABD,故MN//AB,从而可判断②,⑤正确;③无法证明PM=PN,因此不能得到BD⊥AE;④由①得∠EAB=∠CDB,根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE,∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠EBC=60°,∴∠ABE=∠DBC=120°,在△ABE和△DBC中,∵AB DBABE DBCBE BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△ABE≌△DBC(SAS),∴AE=DC,故①正确;∵△ABE≌△DBC,∴∠AEB=∠DCB,又∠ABD=∠EBC=60°,∴∠MBE=180°-60°-60°=60°,即∠MBE=∠NBC=60°,在△MBE和△NBC中,∵AEB DCBEB CBMBE NBC∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨===,∴△MBE≌△NBC(ASA),∴BM=BN,∠MBE=60°,则△BMN为等边三角形,故⑤正确;∵△BMN为等边三角形,∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD,∴MN//AB,故②正确;③无法证明PM=PN,因此不能得到BD⊥AE;④由①得∠EAB=∠CDB,∠APC+∠PAC+∠PCA=180°,∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°,∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°,故④正确,故答案为:①②④⑤.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.5.如图,已知每个小方格的边长为1,A、B两点都在小方格的格点(顶点)上,请在图中找一个格点C,使△ABC是等腰三角形,这样的格点C有________个。

八年级数学上册 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学上册 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学上册 全等三角形同步单元检测(Word 版 含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.在直角坐标系中,O 为坐标原点,已知点 A (1,2),点 P 是 y 轴正半轴上的一点,且△AOP 为等腰三角形,则点 P 的坐标为_____________.【答案】5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况:①以O 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于D ,求出OA 即可;②以A 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于P ,求出OP 即可;③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ,则AC =OC ,根据勾股定理求出OC 即可.【详解】有三种情况:①以O 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于D ,则OA =OD =22125+=;∴D (0,5);②以A 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于P ,OP =2×y A =4,∴P (0,4);③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ,则AC =OC ,由勾股定理得:OC =AC =()2212OC +-,∴OC =54, ∴C (0,54); 故答案为:5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,坐标与图形性质等知识点的理解和掌握,能求出符合条件的所有情况是解此题的关键.2.如图,在锐角△ABC中,AB=5,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD,AB上的动点,则BM+MN的最小值是______.【答案】5【解析】【分析】作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M点,过M点作MN⊥AB,垂足为N,则BM+MN为所求的最小值,再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN,再由等腰直角三角形的性质即可得出结论.【详解】如图,作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M点,过M点作MN⊥AB,垂足为N,则BM+MN 为所求的最小值.∵AD是∠BAC的平分线,∴MH=MN,∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短).∵AB=5,∠BAC=45°,∴BH==5.∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5.故答案为5.【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考,通过角平分线性质,垂线段最短,确定线段和的最小值.3.如图,P为∠AOB内一定点,M,N分别是射线OA,OB上一点,当△PMN周长最小时,∠OPM=50°,则∠AOB=___________.【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA,OB的对称点P1,P2.连接OP1,OP2.则当M,N是P1P2与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,根据对称的性质可以证得:∠OP1M=∠OPM=50°,OP1=OP2=OP,根据等腰三角形的性质即可求解.【详解】如图:作P关于OA,OB的对称点P1,P2.连接OP1,OP2.则当M,N是P1P2与OA、OB 的交点时,△PMN的周长最短,连接P1O、P2O,∵PP1关于OA对称,∴∠P1OP=2∠MOP,OP1=OP,P1M=PM,∠OP1M=∠OPM=50°同理,∠P2OP=2∠NOP,OP=OP2,∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2(∠MOP+∠NOP)=2∠AOB,OP1=OP2=OP,∴△P1OP2是等腰三角形.∴∠OP2N=∠OP1M=50°,∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°,∴∠AOB=40°,故答案为:40°【点睛】本题考查了对称的性质,正确作出图形,证得△P1OP2是等腰三角形是解题的关键.4.如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出下列四个结论:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③EF=AB;④12ABCAEPFS S∆=四边形,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析:∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角,∴∠APE=∠CPF,∵AB=AC,∠BAC=90°,P是BC中点,∴AP=CP,∴∠PAE=∠PCF,在△APE与△CPF中,{?PAE PCFAP CPEPA FPC∠=∠=∠=∠,∴△APE≌△CPF(ASA),同理可证△APF≌△BPE,∴AE=CF,△EPF是等腰直角三角形,S四边形AEPF=12S△ABC,①②④正确;而AP=12BC,当EF不是△ABC的中位线时,则EF不等于BC的一半,EF=AP,∴故③不成立.故始终正确的是①②④.故选D.考点:1.全等三角形的判定与性质;2.等腰直角三角形.5.△ABC中,最小内角∠B=24°,若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形,如图为其中一种分割法,此时△ABC中的最大内角为90°,那么其它分割法中,△ABC中的最大内角度数为_____.【答案】117°或108°或84°.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质进行分割,写出△ABC中的最大内角的所有可能值.【详解】①∠BAD=∠BDA=12(180°﹣24°)=78°,∠DAC=∠DCA=12∠BDA=39°,如图1所示:∴∠BAC=78°+39°=117°;②∠DBA=∠DAB=24°,∠ADC=∠ACD=2∠DBA=48°,如图2所示:∴∠DAC=180°﹣2×48°=84°,∴∠BAC=24°+84°=108°;③∠DBA=∠DAB=24°,∠ADC=∠DAC=2∠DBA=48°,如图3所示:∴∠BAC=24°+48°=72°,∠C=180°﹣2×48°=84°;∴其它分割法中,△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°,故答案为:117°或108°或84°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找出所有情况.6.如图,已知AB AC =,AD 平分BAC ∠,60DEB EBC ∠=∠=︒,若3BE =,3DE =,则BC =____________.【答案】33+【解析】【分析】延长ED 交BC 于点M ,延长AD 交BC 于点N ,作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形,△FDE 是等边三角形,在△DNM 中求出NM 的长度,即可求出BC 的长度.【详解】如图,延长ED 交BC 于点M ,延长AD 交BC 于点N ,作DF ∥BC 于点F ,∵AB AC =,AD 平分BAC ∠,∴AN ⊥BC ,BN=CN ,∵60DEB EBC ∠=∠=︒,∴△BEM 是等边三角形,∴△FDE 是等边三角形,∵3BE =,3DE =33DM =-∵△BEM 是等边三角形,∴∠EMB=60°,∵AN ⊥BC ,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=30°,∴1332NM DM -==, ∴33333BN BM NM -+=-=-= ∴233BC BN ==+【点睛】本题考查了等边三角形的性质,解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.7.如图,30AOB ∠=︒,P 是AOB ∠内一点,10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上的动点,则PQR ∆周长的最小值为_______.【答案】10【解析】【分析】作点P 关于OB 的对称点P′,点P 关于OA 的对称点P″,连接P′P″交OB 于R ,交OA 于Q ,连接PR 、PQ ,如图3,利用对称的性质得到△PQR 周长=P′P″,根据两点之间线段最短可判断此时△PQR 周长最小,最小值为P′P″的长,再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10,从而得到△PQR 周长的最小值【详解】解:作点P 关于OB 的对称点P′,点P 关于OA 的对称点P″,连接P′P″交OB 于R ,交OA 于Q ,连接PR 、PQ ,如图3,则OP=OP′,OP =OP″,RP=RP′,QP=QP″,∴△PQR 周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″,∴此时△PQR 周长最小,最小值为P′P″的长,∵由对称性可知OP=OP′,OP=OP″,PP′⊥OB ,PP″⊥OA ,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°,∴△P′OP″为等边三角形,∴P′P″=OP′=OP=10,故答案是:10.【点睛】本题考查了几何变换综合题:熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质;会利用两点之间线段最短解决最短路径问题.8.如图,正五边形ABCDE 中,对角线AC 与BE 相交于点F ,则AFE ∠=_______度.【答案】72.【解析】【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB ∠,根据等腰三角形的性质,三角形外角的性质计算即可.【详解】解:∵五边形ABCDE 是正五边形,(52)1801085EAB ABC ︒︒-⨯∴∠=∠==,BA BC =,36BAC BCA ︒∴∠=∠=,同理36ABE ∠︒=,363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠︒+︒︒===.故答案为:72【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角,掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键.9.如图,在△ABC 中,AB=AC ,AB 边的垂直平分线DE 交AC 于点D .已知△BDC 的周长为14,BC=6,则AB=___.【答案】8【解析】试题分析:根据线段垂直平分线的性质,可知AD=BD,然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14,可得AC+BC=14,再由BC=6可得AC=8,即AB=8.故答案为8.点睛:此题主要考查了线段的垂直平分线的性质,解题时,先利用线段的垂直平分线求出BD=AD,然后根据三角形的周长互相代换,即可其解.10.如图,在△ABC 中,AD 是高,DE 是 AC 的垂直平分线,AE=4cm,△ABD 的周长为15cm,则△ABC 的周长为______【答案】23cm.【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AC=2AE=8,DA=DC,根据三角形的周长公式计算即可.【详解】解:∵DE是AC的垂直平分线,∴AC=2AE=8,DA=DC,∵△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=15,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=15+8=23cm,故答案是:23cm.【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.如图,在等边△ABC中,AD是BC边上的高,∠BDE=∠CDF=30°,在下列结论中:①△ABD≌△ACD;②2DE=2DF=AD;③△ADE≌△ADF;④4BE=4CF=AB.正确的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】D【解析】【分析】 由等边三角形的性质可得BD=DC ,AB=AC ,∠B=∠C=60°,利用SAS 可证明△ABD ≌△ACD ,从而可判断①正确;利用ASA 可证明△ADE ≌△ADF ,从而可判断③正确;在Rt △ADE 与Rt △ADF 中,∠EAD=∠FAD=30°,根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得2DE=2DF=AD ,从而可判断②正确;同理可得2BE=2CF=BD ,继而可得4BE=4CF=AB ,从而可判断④正确,由此即可得答案.【详解】∵等边△ABC 中,AD 是BC 边上的高,∴BD=DC ,AB=AC ,∠B=∠C=60°,在△ABD 与△ACD 中90AD AD ADB ADC DB DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ∴△ABD ≌△ACD ,故①正确;在△ADE 与△ADF 中60EAD FAD AD ADEDA FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩, ∴△ADE ≌△ADF ,故③正确;∵在Rt △ADE 与Rt △ADF 中,∠EAD=∠FAD=30°,∴2DE=2DF=AD ,故②正确;同理2BE=2CF=BD ,∵AB=2BD ,∴4BE=4CF=AB ,故④正确,故选D .【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等,熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.12.如图,ABC ∆中,3AC DC ==,BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )A .1.5B .3C .4.5D .9【答案】C【解析】 【分析】 首先证明两个阴影部分面积之差=S △ADC ,然后由DC ⊥AC 时,△ACD 的面积最大求出结论即可.【详解】延长BD 交AC 于点H .设AD 交BE 于点O .∵AD ⊥BH ,∴∠ADB =∠ADH =90°,∴∠ABD +∠BAD =90°,∠H +∠HAD =90°.∵∠BAD =∠HAD ,∴∠ABD =∠H ,∴AB =AH .∵AD ⊥BH ,∴BD =DH .∵DC =CA ,∴∠CDA =∠CAD .∵∠CAD +∠H =90°,∠CDA +∠CDH =90°,∴∠CDH =∠H ,∴CD =CH =AC .∵BD =DH ,AC =CH ,∴S △CDH =12S △ADH 14=S △ABH . ∵AE =EC ,∴S △ABE 14=S △ABH ,∴S △CDH =S △ABE . ∵S △OBD ﹣S △AOE =S △ADB ﹣S △ABE =S △ADH ﹣S △CDH =S △ACD .∵AC =CD =3,∴当DC ⊥AC 时,△ACD 的面积最大,最大面积为12⨯3×392=. 故选C .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质,三角形中线的性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考选择题中的压轴题.13.如图,已知:30MON ∠=︒,点1A 、2A 、3A …在射线ON 上,点1B 、2B 、3B …在射线OM 上,112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形,若112OA =,则667A B A 的边长为( )A .6B .12C .16D .32【答案】C【解析】【分析】 先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得:∠B 1A 1A 2=60°,A 1B 1=A 1A 2,再利用外角定理求∠OB 1A 1=30°,则∠MON=∠OB 1A 1,由等角对等边得:B 1A 1=OA 1=12,得出△A 1B 1A 2的边长为12,再依次同理得出:△A 2B 2A 3的边长为1,△A 3B 3A 4的边长为2,△A 4B 4A 5的边长为:22=4,△A 5B 5A 6的边长为:23=8,则△A 6B 6A 7的边长为:24=16.【详解】解:∵△A 1B 1A 2为等边三角形,∴∠B 1A 1A 2=60°,A 1B 1=A 1A 2,∵∠MON=30°,∴∠OB 1A 1=60°-30°=30°,∴∠MON=∠OB 1A 1,∴B 1A 1=OA 1=12, ∴△A 1B 1A 2的边长为12, 同理得:∠OB 2A 2=30°, ∴OA 2=A 2B 2=OA 1+A 1A 2=12+12=1, ∴△A 2B 2A 3的边长为1, 同理可得:△A 3B 3A 4的边长为2,△A 4B 4A 5的边长为:22=4,△A 5B 5A 6的边长为:23=8,则△A 6B 6A 7的边长为:24=16.故选:C .【点睛】本题考查等边三角形的性质和外角定理,运用类比的思想,依次求出各等边三角形的边长,解题关键是总结规律,得出结论.14.如图,ABC ∆中,60BAC ∠=︒,BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ,DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ,DF AC ⊥于点F ,现有下列结论:①DE DF =;②DE DF AD +=;③DM 平分EDF ∠;④2AB AC AE +=,其中正确的是( )A .①②B .①②③C .①②④D .①②③④【答案】C【解析】【分析】 ①由角平分线的性质可知①正确;②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°,故此可知ED=12AD ,DF=12AD ,从而可证明②正确;③若DM 平分∠EDF ,则∠EDM=90°,从而得到∠ABC 为直角三角形,条件不足,不能确定,故③错误;④连接BD 、DC ,然后证明△EBD ≌△DFC ,从而得到BE=FC ,从而可证明④.【详解】解:如图所示:连接BD 、DC .①∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴ED=DF .∴①正确.②∵∠EAC=60°,AD 平分∠BAC ,∴∠EAD=∠FAD=30°.∵DE ⊥AB ,∴∠AED=90°.∵∠AED=90°,∠EAD=30°,∴ED=12AD . 同理:DF=12AD . ∴DE+DF=AD .∴②正确. ③由题意可知:∠EDA=∠ADF=60°.假设MD 平分∠EDF ,则∠ADM=30°.则∠EDM=90°,又∵∠E=∠BMD=90°,∴∠EBM=90°.∴∠ABC=90°.∵∠ABC 是否等于90°不知道,∴不能判定MD 平分∠EDF ,故③错误.④∵DM 是BC 的垂直平分线,∴DB=DC .在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC⎧⎨⎩==, ∴Rt △BED ≌Rt △CFD .∴BE=FC .∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ,BE=FC ,∴AB+AC=2AE .故④正确.综上所述,①②④正确,故选:C .【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质,掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.15.如图,∠AOB=60°,点P 是∠AOB 内的定点且,若点M 、N 分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()A.36B.33C.6 D.3【答案】D【解析】分析:作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,利用轴对称的性质得MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=3,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,所以∠COD=2∠AOB=120°,利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH,然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可.详解:作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,则MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=3,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC,∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH,∵∠OCH=30°,∴OH=12OC=32,CH=3OH=3 2 ,∴CD=2CH=3.故选D.点睛:本题考查了轴对称﹣最短路线问题:熟练掌握轴对称的性质,会利用两点之间线段最短解决路径最短问题.16.如图,Rt ACB ∆中,90ACB ∠=︒,ABC ∠的平分线BE 和BAC ∠的外角平分线AD 相交于点P ,分别交AC 和BC 的延长线于E ,D .过P 作PF AD ⊥交AC 的延长线于点H ,交BC 的延长线于点F ,连接AF 交DH 于点G .下列结论:①45APB ∠=︒;②PB 垂直平分AF ;③BD AH AB -=;④2DG PA GH =+;其中正确的结论有( )A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】A【解析】【分析】 ①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP ,再根据角平分线的定义∠ABP =12∠ABC ,然后利用三角形的内角和定理整理即可得解; ②先求出∠APB =∠FPB ,再利用“角边角”证明△ABP 和△FBP 全等,根据全等三角形对应边相等得到AB =BF ,AP =PF ;③根据直角的关系求出∠AHP =∠FDP ,然后利用“角角边”证明△AHP 与△FDP 全等,根据全等三角形对应边相等可得DF =AH ;④求出∠ADG =∠DAG =45°,再根据等角对等边可得DG =AG ,再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH =GF ,然后根据2PA 即可得到2DG PA GH =+. 【详解】解:①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线,∴∠ABP =12∠ABC , ∠CAP =12(90°+∠ABC )=45°+12∠ABC , 在△ABP 中,∠APB =180°−∠BAP−∠ABP ,=180°−(45°+12∠ABC +90°−∠ABC )−12∠ABC , =180°−45°−12∠AB C−90°+∠ABC−12∠ABC , =45°,故本小题正确;②∵PF ⊥AD ,∠APB =45°(已证),∴∠APB =∠FPB =45°,∵∵PB 为∠ABC 的角平分线,∴∠ABP =∠FBP ,在△ABP 和△FBP 中,APB FPB PB PBABP FBP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩===, ∴△ABP ≌△FBP (ASA ),∴AB =BF ,AP =PF ;∴PB 垂直平分AF ,故②正确;③∵∠ACB =90°,PF ⊥AD ,∴∠FDP +∠HAP =90°,∠AHP +∠HAP =90°,∴∠AHP =∠FDP ,∵PF ⊥AD ,∴∠APH =∠FPD =90°,在△AHP 与△FDP 中,90AHP FDP APH FPD AP PF ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩====,∴△AHP ≌△FDP (AAS ),∴DF =AH ,∵BD =DF +BF ,∴BD =AH +AB ,∴BD−AH =AB ,故③小题正确;④∵AP =PF ,PF ⊥AD ,∴∠PAF =45°,∴∠ADG =∠DAG =45°,∴DG =AG ,∵∠PAF =45°,AG ⊥DH ,∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形,∴DG =AG ,GH =GF ,∴DG =GH +AF ,∴FG=GH,AF=2PA故2=+.DG PA GH综上所述①②③④正确.故选:A.【点睛】本题考查了直角三角形的性质,全等三角形的判定,以及等腰直角三角形的判定与性质,等角对等边,等边对等角的性质,综合性较强,难度较大,做题时要分清角的关系与边的关系.17.如图,∠AOB=30º,∠AOB 内有一定点P,且OP=12,在OA 上有一动点Q,OB 上有一动点R。

八年级数学上册全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学上册全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学上册全等三角形同步单元检测(Word 版 含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在长方形ABCD 的边AD 上找一点P ,使得点P 到B 、C 两点的距离之和最短,则点P 的位置应该在_____.【答案】AD 的中点【解析】【分析】【详解】分析:过AD 作C 点的对称点C′,根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′,从而根据两点之间线段最短,得出这时的P 点使BP+PC 的之最短.详解:如图,过AD 作C 点的对称点C′,根据轴对称的性质可得:PC=PC′,CD=C′D∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD∴△ABP ≌△DC′P∴AP=PD即P 为AD 的中点.故答案为P 为AB 的中点.点睛:本题考查了轴对称-最短路线问题,矩形的性质,两点之间线段最短的性质.得出动点P 所在的位置是解题的关键.2.如图,在等边ABC ∆中取点P 使得PA ,PB ,PC 的长分别为3, 4, 5,则APC APB S S ∆∆+=_________.【答案】93 6【解析】【分析】把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD,由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC,连接PD,根据旋转的性质知△APD是等边三角形,利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形,∠BPD=90︒,由△ADB≌△APC得S△ADB=S△APC,则有S△APC+S△APB=S△ADB+S△APB=S△ADP+S△BPD,根据等边3S△ADP+S△BPD=332+12×3×4=936+.【详解】将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD,连接PD ∴AD=AP,∠DAP=60︒,又∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60︒,AB=AC,∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP,∴∠DAB=∠PAC,又AB=AC,AD=AP∴△ADB≌△APC∵DA=PA,∠DAP=60︒,∴△ADP为等边三角形,在△PBD中,PB=4,PD=3,BD=PC=5,∵32+42=52,即PD2+PB2=BD2,∴△PBD为直角三角形,∠BPD=90︒,∵△ADB≌△APC,∴S△ADB=S△APC,∴S△APC+S△APB=S△ADB+S△APB=S△ADP+S△BPD 3×32+12×3×4=936+.故答案为:93 6+【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定,解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解.3.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5,M,N分别是射线OA和OB上的动点,若△PMN周长的最小值为5,则∠AOB的度数为_____.【答案】30°.【解析】【分析】如图:分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P'',分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N,则可证明此时△PMN周长的最小,由轴对称性,可证明△P'O P''为等边三角形,∠AOB=12∠P'O P''=30°.【详解】解:如图:分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P'',分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N,由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知,此时△PMN周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB ,∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°. 故答案为30°.【点睛】 本题是动点问题的几何探究题,考查最短路径问题,应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.4.如图,在ABC 中,AB AC >,按以下步骤作图:分别以点B 和点C 为圆心,大于BC 一半长为半径作画弧,两弧相交于点M 和点N ,过点M N 、作直线交AB 于点D ,连接CD ,若10AB =,6AC =,则ADC 的周长为_____________________.【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ,则DC=DB ,然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ,再把10AB =,6AC =代入计算即可.【详解】解:由作法得MN 垂直平分BC ,则DC=DB ,10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为:16.【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质,熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线)是本题的关键.5.如图,△ABC 中,AB =AC ,∠A =30°,点D 在边AB 上,∠ACD =15°,则AD BC=____.【答案】22. 【解析】【分析】根据题意作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH =DH ,连接DH ,并设AD =2x ,解直角三角形求出BC (用x 表示)即可解决问题.【详解】解:作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH=DH ,连接DH .设AD=2x ,∵AB=AC ,∠A=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°,DF 12=AD=x ,AF 3=, ∵∠ACD=15°,HD=HC ,∴∠HDC=∠HCD=15°,∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°,∴DH=HC=2x ,FH 3=,∴3x , 在Rt △ACE 中,EC 12=AC=x 3+,AE 3=3=, ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ,在Rt △BCE 中,BC 22BE EC =+=2x , ∴2222AD BC x ==.故答案为:22. 【点睛】 本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.6.等腰三角形顶角为30°,腰长是4cm ,则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图,根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质,可由等腰三角形的顶角为30°,腰长是4cm ,可求得BD=12AB =4×12=2,因此此三角形的面积为:S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4(cm 2).故答案是:4.7.如图,在直角坐标系中,点()8,8B -,点()2,0C -,若动点P 从坐标原点出发,沿y 轴正方向匀速运动,运动速度为1/cm s ,设点P 运动时间为t 秒,当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时,直接写出t 的所有值__________________.【答案】2秒或6秒或14秒【解析】【分析】分两种情况:PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形,计算出OP 的长度,即可求出t 的值.解:如图所示,过点B 作BD ⊥x 轴于点D ,作BE ⊥y 轴于点E ,分别以点B 和点C 为圆心,以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ,点H 和点G∵点B (-8,8),点C (-2,0),∴DC=6cm ,BD=8cm ,由勾股定理得:BC=10cm∴在直角三角形COG 中,OC=2cm ,CG=BC=10cm ,∴OP=OG= 2210246(cm)-=,当点P 运动到点F 或点H 时,BE=8cm ,BH=BF=10cm ,∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2(cm )或OP=OH=8+6=14(cm ),故答案为:2秒,46秒或14秒.【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用,通过作图找出要求的点的位置,利用勾股定理来求解是本题的关键.8.如图,已知AB=A 1B ,A 1B 1=A 1A 2,A 2B 2=A 2A 3,A 3B 3=A 3A 4,…若∠A=70°,则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.在△1ABA 中,AB=A 1B ,∠A=70°可得:∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中,A 1B 1=A 1A 2可得:∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得:∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得:∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推:∠A n =1702n -︒ 故答案为:1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索,准确识图,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..9.如图,ABC ∆中,AB AC =,点D 是ABC ∆内部一点,DB DC =,点E 是边AB 上一点,若CD 平分ACE ∠,100AEC =∠,则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ,再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB -2∠ACD ,然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°,代换化简得出∠ACB -∠ACD=50°,即∠DCB=50°,从而求出∠BDC即可.【详解】∵CD平分∠ACE,∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD,∴∠ECB=∠ACB-∠ACE=∠ACB-2∠ACD,∵∠AEC=100°,∴∠ABC+∠ECB=100°,∴∠ABC+∠ACB-2∠ACD=100°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB-2∠ACD=100°,∴∠ACB-∠ACD=50°,即∠DCB=50°,∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB,∴∠BDC=180°-2∠DCB=180°-2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线,三角形内角和,外角定理,及等边对等角的性质等知识,熟练掌握基本知识,找出角与角之间的关系是解题的关键.10.如图,Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,AD 是 BC 边上的高,E 是 AD 上的一点。

人教版八年级数学上册 全等三角形单元练习(Word版 含答案)

人教版八年级数学上册 全等三角形单元练习(Word版 含答案)

人教版八年级数学上册 全等三角形单元练习(Word 版 含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.在直角坐标系中,O 为坐标原点,已知点 A (1,2),点 P 是 y 轴正半轴上的一点,且△AOP 为等腰三角形,则点 P 的坐标为_____________.【答案】5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况:①以O 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于D ,求出OA 即可;②以A 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于P ,求出OP 即可;③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ,则AC =OC ,根据勾股定理求出OC 即可.【详解】有三种情况:①以O 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于D ,则OA =OD =22125+=;∴D (0,5);②以A 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于P ,OP =2×y A =4,∴P (0,4);③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ,则AC =OC ,由勾股定理得:OC =AC =()2212OC +-,∴OC =54, ∴C (0,54); 故答案为:5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,坐标与图形性质等知识点的理解和掌握,能求出符合条件的所有情况是解此题的关键.2.如图,在等边ABC ∆中取点P 使得PA ,PB ,PC 的长分别为3, 4, 5,则APC APB S S ∆∆+=_________.【答案】9364+【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ,由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ,连接PD ,根据旋转的性质知△APD 是等边三角形,利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形,∠BPD =90︒,由△ADB ≌△APC 得S △ADB =S △APC ,则有S △APC +S △APB =S △ADB +S △APB =S △ADP +S △BPD ,根据等边3S △ADP +S △BPD =34×32+12×3×4=364+. 【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ,连接PD∴AD =AP ,∠DAP =60︒,又∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC =60︒,AB =AC ,∴∠DAB +∠BAP =∠PAC +∠BAP ,∴∠DAB =∠PAC ,又AB=AC,AD=AP∴△ADB ≌△APC∵DA =PA ,∠DAP =60︒,∴△ADP 为等边三角形,在△PBD 中,PB =4,PD =3,BD =PC =5,∵32+42=52,即PD 2+PB 2=BD 2,∴△PBD 为直角三角形,∠BPD =90︒,∵△ADB ≌△APC ,∴S △ADB =S △APC ,∴S △APC +S △APB =S △ADB +S △APB =S △ADP +S △BPD =3×32+12×3×4=936+. 故答案为:936+.【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定,解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解.3.如图,在ABC 中,点A 的坐标为()0,1,点B 的坐标为()0,4,点C 的坐标为()4,3,点D 在第二象限,且ABD 与ABC 全等,点D 的坐标是______.【答案】(-4,2)或(-4,3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D (4,2),这时△ABD 与△ABC 全等,分别作点C ,D 关于y 轴的对称点(-4,3)和(-4,2),所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(-4,2)或(-4,3).4.如图,△ABC 中,AB =8,AC =6,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ,过点F 作DE ∥BC ,分别交AB 、AC 于点D 、E ,则△ADE 的周长为_____.【答案】14.【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD =DF ,CE =EF ,则△ADE 的周长=AB +AC =14.【详解】∵BF 平分∠ABC ,∴∠DBF =∠CBF ,∵DE ∥BC ,∴∠CBF =∠DFB ,∴∠DBF =∠DFB ,∴BD =DF ,同理FE =EC ,∴△AED 的周长=AD +AE +ED =AB +AC =8+6=14.故答案为:14.【点睛】此题考查角平分线的性质,平行线的性质,等腰三角形的等角对等边的性质.5.如图,在△ABC 中,AB 的中垂线交BC 于D ,AC 的中垂线交BC 于E ,若∠BAC=126°,则∠EAD=_____°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB 的中垂线可得BAD ∠,再根据AC 的中垂线可得EAC ∠,再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD .【详解】根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=72DAE ︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质,重点在于等量替换表示角度.6.如图,在△ABC 中,AB=AC ,D 、E 是△ABC 内的两点,AE 平分∠BAC ,∠D=∠DBC=60°,若BD=5cm ,DE=3cm ,则BC 的长是 ______cm .【答案】8.【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM 为等边三角形,△EFD 为等边三角形,从而得出BN 的长,进而求出答案.【详解】解:延长DE 交BC 于M ,延长AE 交BC 于N ,作EF ∥BC 于F ,∵AB=AC ,AE 平分∠BAC ,∴AN ⊥BC ,BN=CN ,∵∠DBC=∠D=60°,∴△BDM 为等边三角形,∴△EFD 为等边三角形,∵BD=5,DE=3,∴EM=2,∵△BDM 为等边三角形,∴∠DMB=60°,∵AN ⊥BC ,∴∠ENM=90°,∴∠NEM=30°,∴NM=1,∴BN=4,∴BC=2BN=8(cm ),故答案为8.【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.7.如图,已知,点E 是线段AB 的中点,点C 在线段BD 上,8BD =,2DC =,线段AC 交线段DE 于点F ,若AF BD =,则AC =__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE 至G ,使EG=DE ,连接AG ,证明BDE AGE ∆≅∆,而后证明AFG ∆、CDF ∆是等腰三角形,即可求出CF 的长,于是可求AC 的长.【详解】解:如图,延长DE 至G ,使EG=DE ,连接AG ,∵点E 是线段AB 的中点,∴AE=BE,∴在BDE∆和AGE∆中,BE AEBED AEGDE EG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BDE AGE∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE∠=∠∵AFG DFC∠=∠,∴BDE DFC∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质,能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.8.如图:在ABC∆中,D,E为边AB上的两个点,且BD BC=,AE AC=,若108ACB∠=︒,则DCE∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD,用∠A表示∠AEC,用∠B表示∠BDC,然后根据内角和求出∠DCE的度数.【详解】∵∠ACB=1080,∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800,∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质,注意两条等边所在三角形,依此判断对应的两个底角相等.9.如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°, ∠ADC=∠ABC=90°,在AB 、AD 上分别找一点F 、E ,连接CE 、EF 、CF ,当△CEF 的周长最小时,则∠ECF 的度数为______.【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步:第一步是作出△CEF 的周长最小时E 、F 的位置(用对称即可);第二步是证明此时的△CEF 的周长最小(利用两点之间线段最短);第三步是利用对称性求此时∠ECF 的值.【详解】分别作出C 关于AD 、AB 的对称点分别为C 1、C 2,连接C 1C 2,分别交AD ,AB 于点E 、F 再连接CE 、CF 此时△CEF 的周长最小,理由如下:在AD、AB上任意取E1、F1两点根据对称性:∴CE=C1E,CE1=C1E1,CF=C2F,CF1=C2F1∴△CEF的周长= CE+EF+CF= C1E+EF+C2F= C1C2而△CE1F1的周长= CE1+E1F1+CF1= C1E1+E1F1+C2F1根据两点之间线段最短,故C1E1+E1F1+C2F1>C1C2∴△CEF的周长的最小为:C1C2.∵∠A=60°,∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°-∠A-∠ADC-∠ABC=120°∴∠C C1C2+∠C C2C1=180°-∠DCB=60°根据对称性:∠C C1C2=∠E CD,∠C C2C1=∠F CB∴∠E CD+∠F CB=∠C C1C2+∠C C2C1=60°∴∠ECF=∠DCB-(∠E CD+∠F CB)=60°故答案为:60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法(对称点),及周长最小值的证法:两点之间线段最短,掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.10.如图,在△ABC 中,AD 是高,DE 是 AC 的垂直平分线,AE=4cm,△ABD 的周长为15cm,则△ABC 的周长为______【答案】23cm.【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AC=2AE=8,DA=DC,根据三角形的周长公式计算即可.【详解】解:∵DE 是AC 的垂直平分线,∴AC=2AE=8,DA=DC ,∵△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=15,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=15+8=23cm ,故答案是:23cm .【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.已知∠AOB =30°,点P 在∠AOB 内部,P 1与P 关于OB 对称,P 2与P 关于OA 对称,则P 1,O ,P 2三点构成的三角形是 ( )A .直角三角形B .钝角三角形C .等边三角形D .等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意,作出相应的图形,然后对相应的角进行标记;本题先证明P 1,O ,P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒,然后证边12OP OP OP ==,得到P 1,O ,P 2三点构成的三角形为等腰三角形,又因为该等腰三角形有一个角为60︒,故得证P 1,O ,P 2三点构成的三角形是等边三角形。

人教版八年级数学上册单元检测卷:第十二章 全等三角形(word版,含答案)

人教版八年级数学上册单元检测卷:第十二章   全等三角形(word版,含答案)

第十二章检测卷一、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D.若CD=4,则点D到斜边AB的距离为________.2.如图,若△AOB≌△A′OB′,∠B=30°,∠AOA′=52°,OB与A′B′交于点C,则∠A′CO的度数是________.3.如图,在△ABC中,∠B=∠C=50°,BD=CF,BE=CD,则∠EDF的度数是________.4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F.若BC恰好平分∠ABF,AE =2BF,给出下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF,其中正确的结论是________(填序号).二、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)5.下列各组的两个图形属于全等图形的是()6.如图,已知△ABC≌△CDA,∠BAC=85°,∠B=65°,则∠CAD的度数为()A.85°B.65°C.40°D.30°7.如图,AE∥DF,AE=DF,要使△EAC≌△FDB,需要添加下列选项中的()A.AB=CD B.CE=BFC.∠A=∠D D.AB=BC8.如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,则两个木桩离旗杆底部的距离BD 与CD 的大小关系是()A.BD >CD B.BD <CDC.BD =CD D.不能确定9.如图,AB ∥CD ,AP 、CP 分别平分∠BAC 、∠ACD ,PE ⊥AC 于点E ,PN ⊥DC 于点N ,交AB 于点M .若PE =3,则MN 的长为()A.3B.6C.9D.无法确定10.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中∠1+∠2等于()A.90°B.150°C.180°D.210°11.如图,已知EA ⊥AB ,BC ∥EA ,ED =AC ,AD =BC ,则下列式子不一定成立的是()A.∠EAF =∠ADF B.DE ⊥ACC.AE =AB D.EF =FC12.如图,在方格纸中以AB 为一边作△ABP ,使之与△ABC 全等,从P 1,P 2,P 3,P 4四个点中找出符合条件的点P ,则点P 有()A.1个B.2个C.3个D.4个13.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB 交BC 于点D ,DE ⊥AB 于点E .若BC =7,则AE 的长为()A.4B.5C.6D.714.如图,在△ABC 和△DEB 中,点C 在边BD 上,AC 交BE 于点F .若AC =BD ,AB =ED ,BC =BE ,则∠ACB 等于()A.∠EDB B.∠BEDC.12∠AFB D.2∠ABF三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.如图,已知△ABE ≌△ACD .(1)如果BE =6,DE =2,求BC 的长;(2)如果∠BAC =75°,∠BAD =30°,求∠DAE 的度数.16.如图,已知CE ⊥AB ,DF ⊥AB ,AC =BD ,CE =DF .求证:AC ∥BD .四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,两车从路段AB的两端同时出发,沿平行路线以相同的速度行驶,相同时间后分别到达C、D两地,CE⊥AB,DF⊥AB,C、D两地到路段AB的距离相等吗?为什么?18.如图,已知∠DAB=∠CBE=90°,点E是线段AB的中点,CE平分∠DCB且与DA的延长线相交于点F,连接DE.求证:DE平分∠FDC.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,在△ABC中,点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点,AB+BC+AC=12,过点O作OD⊥BC于点D,且OD=2,求△ABC的面积.20.如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①以A为圆心,AB长为半径画弧;②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)试猜想BD与AC的位置关系,并说明理由.六、(本题满分12分)21.阅读下面材料:学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.小聪将命题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E.小聪的探究方法是对∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.第一种情况:当∠B是直角时,如图①,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据“HL”,可以判定Rt△ABC≌Rt△DEF;第二种情况:当∠B是锐角时,如图②,BC=EF,∠B=∠E<90°,在射线EM上有点D,使DF=AC,则△ABC和△DEF的关系是________;A.全等B.不全等C.不一定全等第三种情况:当∠B是钝角时,如图③,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E>90°.过点C作AB边的垂线,交AB的延长线于点M,过点F作DE边的垂线,交DE的延长线于点N,根据“AAS”,可以知道△CBM≌△FEN,请补全图形,进而证出△ABC≌△DEF.七、(本题满分12分)22.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=8,BC=6,点D为AB的中点,点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CA上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动.设运动时间为t 秒(0≤t≤3).(1)用含t的代数式表示线段PC的长;(2)若点P、Q的运动速度相等,当t=1时,△BPD与△CQP是否全等?请说明理由.(3)若点P、Q的运动速度不相等,则当△BPD与△CQP全等时,求a的值.八、(本题满分14分)23.(1)如图①,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系;(2)小聪延长CD至点G,使DG=BE,连接AG,得到△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图①证明上述结论;(3)如图②,四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足______________关系时,仍有EF=BE+FD,说明理由.参考答案1.4 2.82° 3.50°4.①②③④5-14:.D .D .A .C .B .C .D .C .D .C 15.解:(1)∵△ABE ≌△ACD ,∴BE =CD ,∠BAE =∠CAD .又∵BE =6,DE =2,∴EC =DC -DE =BE -DE =4,∴BC =BE +EC =10.(4分)(2)∵∠CAD =∠BAC -∠BAD =75°-30°=45°,∴∠BAE =∠CAD =45°,∴∠DAE =∠BAE -∠BAD =45°-30°=15°.(8分)16.证明:∵CE ⊥AB ,DF ⊥AB ,∴∠AEC =∠BFD =90°.(2分)在Rt△ACE 和Rt△BDF 中,=BD ,=DF ,∴Rt△ACE ≌Rt△BDF (HL),(5分)∴∠A =∠B ,∴AC ∥BD .(8分)17.解:C 、D 两地到路段AB 的距离相等.(2分)理由如下:由题意可知AC =BD .∵CE ⊥AB ,DF ⊥AB ,∴∠AEC=∠BFD =90°.∵AC ∥BD ,∴∠A =∠B .(5分)在△AEC 和△BFD AEC =∠BFD ,A =∠B ,=BD ,∴△AEC ≌△BFD (AAS),∴CE=DF ,∴C 、D 两地到路段AB 的距离相等.(8分)18.证明:过点E 作EH ⊥CD .(2分)∵CE 平分∠DCB ,∠CBE =90°,∴BE =EH .∵点E 是线段AB 的中点,∴AE =BE ,∴AE =EH .(5分)又∵∠DAB =90°,∴DE 平分∠FDC .(8分)19.解:如图,作OE ⊥AB 于E ,OF ⊥AC 于F ,连接OA .(2分)∵点O 是∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点,∴OE =OD ,OF =OD ,即OE =OF =OD =2,(5分)∴S △ABC =S △ABO +S △BCO +S △ACO =12AB ·OE +12BC ·OD +12AC ·OF =12×2×(AB +BC +AC )=12×2×12=12.(10分)20.(1)证明:由作图步骤可得AB =AD ,BC =DC .在△ABC 与△ADC =AD ,=DC ,=AC ,∴△ABC ≌△ADC (SSS).(4分)(2)解:BD ⊥AC .(5分)理由如下:由(1)知△ABC ≌△ADC ,∴∠BAC =∠DAC .(6分)在△ABE 与△ADE 中,=AD ,BAE =∠DAE ,=AE ,∴△ABE ≌△ADE (SAS),∴∠AEB =∠AED .(8分)又∵∠AEB +∠AED =180°,∴∠AEB =90°,∴BD ⊥AC .(10分)21.解:第二种情况:C(3分)解析:由题意可知满足条件的点D 有两个(如图②),所以△ABC 和△DEF 不一定全等.故选C.第三种情况:补全图形如图③所示.(6分)证明:∵∠ABC =∠DEF ,∴∠CBM =∠FEN .∵CM ⊥AB ,FN ⊥DE ,∴∠CMB =∠FNE =90°.在△CBM 和△FEN 中,CMB =∠FNE ,CBM =∠FEN ,=EF ,∴△CBM ≌△FEN (AAS),∴CM =FN .在Rt△AMC 和Rt△DNF =FN ,=DF ,∴Rt△AMC ≌Rt△DNF (HL),∴∠A =∠D .在△ABC 和△DEF A =∠D ,ABC =∠DEF ,=EF ,∴△ABC ≌△DEF (AAS).(12分)22.解:(1)PC =BC -PB =6-2t .(3分)(2)△BPD 与△CQP 全等.(4分)理由如下:∵t =1,∴PB =CQ =2,∴PC =BC -PB =6-2=4.∵AB =8,点D 为AB 的中点,∴BD =AD =4,∴PC =BD .在△BPD 与△CQP =CQ ,B =∠C ,=CP ,∴△BPD ≌△CQP (SAS).(8分)(3)∵点P 、Q 的运动速度不相等,∴BP ≠CQ .又∵△BPD 与△CQP 全等,∠B =∠C ,∴BP =PC ,BD =CQ ,∴2t =6-2t ,at =4,解得t =32,a =83.(12分)23.(1)解:EF =BE +DF .(3分)(2)证明:∵四边形ABCD 为正方形,∴AB =AD ,∠B =∠ADC =∠BAD =90°,∴∠ADG =180°-∠ADC =90°=∠B .在△ABE 和△ADG =AD ,B =∠ADG ,=DG ,∴△ABE ≌△ADG ,∴∠BAE =∠DAG .∵∠EAF =45°,∴∠DAF +∠BAE =∠BAD -∠EAF =90°-45°=45°,∴∠DAF +∠DAG =45°,即∠GAF =45°,∴∠GAF =∠EAF .(6分)在△GAF 和△EAF =AE ,GAF =∠EAF ,=AF ,∴△AFG ≌△AFE (SAS),∴GF =EF .∵GF =DG +FD =BE +FD ,∴EF =BE +FD .(9分)(3)解:∠BAD =2∠EAF (11分)理由如下:如图,延长CB 至M ,使BM =DF ,连接AM .∵∠ABC +∠D =180°,∠ABC +∠ABM =180°,∴∠D =∠ABM .在△ABM 和△ADF =AD ,ABM =∠D ,=DF ,∴△ABM ≌△ADF (SAS),∴AF =AM ,∠DAF =∠BAM .∵∠BAD =2∠EAF ,∴∠DAF +∠BAE =∠EAF ,∴∠BAE +∠BAM =∠EAM =∠EAF .在△FAE 和△MAE 中,=AE ,EAF =∠EAM ,=AM ,∴△FAE ≌△MAE (SAS),∴EF =EM .∵EM =BE +BM =BE +DF ,∴EF =BE +DF .(14分)。

人教版八年级上册数学 全等三角形单元综合测试(Word版 含答案)

人教版八年级上册数学 全等三角形单元综合测试(Word版 含答案)

人教版八年级上册数学全等三角形单元综合测试(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)∥,1.如图所示,ABC为等边三角形,P是ABC内任一点,PD AB,PE BC++=____cm.∥,若ABC的周长为12cm,则PD PE PFPF AC【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP是平行四边形,△AHE和△AHE是等边三角形,然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可.【详解】∥解:∵PD AB,PE BC∴四边形HBDP是平行四边形∴PD=HB∵ABC为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∥∵PE BC∴∠AHE=∠B=60°∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE是等边三角形,∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质,掌握等边三角形的性质是解答本题的关键.>,按以下步骤作图:分别以点B和点C为圆心,大于2.如图,在ABC中,AB ACBC 一半长为半径作画弧,两弧相交于点M 和点N ,过点M N 、作直线交AB 于点D ,连接CD ,若10AB =,6AC =,则ADC 的周长为_____________________.【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ,则DC=DB ,然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ,再把10AB =,6AC =代入计算即可.【详解】解:由作法得MN 垂直平分BC ,则DC=DB ,10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为:16.【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质,熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线)是本题的关键.3.如图,在ABC ∆中,点D 是BC 的中点,点E 是AD 上一点,BE AC =.若70C ∠=︒,50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______.【答案】10︒【解析】【分析】延长AD 到F 使DF AD =,连接BF ,通过ACD FDB ≅,根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠,AC BF =, 等量代换得BF BE =,由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠,即可得到BEF CAD ∠=∠,进而利用三角形的内角和解答即可得.【详解】如图,延长AD 到F ,使DF AD =,连接BF :∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠,AD DF = ∴ACD FDB ≅∴AC BF =, CAD F ∠=∠,C DBF ∠=∠∵AC BE =, 70C ︒∠=, 50CAD ︒∠=∴BE BF =, 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为:10︒【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理,解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形.4.如图,在△ABC 中,AB 的中垂线交BC 于D ,AC 的中垂线交BC 于E ,若∠BAC=126°,则∠EAD=_____°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB 的中垂线可得BAD ∠,再根据AC 的中垂线可得EAC ∠,再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD .【详解】根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=72DAE ︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质,重点在于等量替换表示角度.5.如图,己知30MON ∠=︒,点1A ,2A ,3A ,…在射线ON 上,点1B ,2B ,3B ,…在射线OM 上,112A B A ∆,223A B A ∆,334A B A ∆,…均为等边三角形,若12OA =,则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ,以及22122A B B A =,得出332212244A B A B B A ===,441288A B B A ==,551216A B B A =⋯进而得出答案.【详解】解:△112A B A 是等边三角形,1121A B A B ∴=,341260∠=∠=∠=︒,2120∴∠=︒,30MON ∠=︒,11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒,又360∠=︒,5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒,130MON ∠=∠=︒,1112OA A B ∴==,212A B ∴=,△223A B A 、△334A B A 是等边三角形,111060∴∠=∠=︒,1360∠=︒,41260∠=∠=︒,112233////A B A B A B ∴,1223//B A B A ,16730∴∠=∠=∠=︒,5890∠=∠=︒,22122242A B B A =∴==,33232B A B A =,33312428A B B A ∴===,同理可得:444128216A B B A ===,⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ,∴△556A B A 的边长为5232=.故答案为:32.【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质,根据已知得出33124A B B A =,44128A B B A =,551216A B B A =进而发现规律是解题关键. 6.如图,在第一个△A 1BC 中,∠B =30°,A 1B =CB ,在边A 1B 上任取一D ,延长CA 2到A 2,使A 1A 2=A 1D ,得到第2个△A 1A 2D ,在边A 2B 上任取一点E ,延长A 1A 2到A 3,使A 2A 3=A 2E ,得到第三个△A 2A 3E ,…按此做法继续下去,第n 个等腰三角形的底角的度数是_____度.【答案】1752n - 【解析】 【分析】先根据∠B =30°,AB =A 1B 求出∠BA 1C 的度数,在由A 1A 2=A 1D 根据内角和外角的关系求出∠DA 2A 1的度数,同理求出∠EA 3A 2=754,∠FA 4A 3=758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数=1752n . 【详解】∵在△ABA 1中,∠B =30°,AB =A 1B ,∴∠BA 1C =1802B ︒-∠=75°, ∵A 1A 2=A 1D ,∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角,∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×75°=37.5°; 同理可得,∠EA 3A 2=754,∠FA 4A 3=758,∴第n 个等腰三角形的底角的度数=1752n . 故答案为1752n -. 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质,利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.7.如图,在△ABC 中,AB =BC =8,AO =BO ,点M 是射线CO 上的一个动点,∠AOC =60°,则当△ABM 为直角三角形时,AM 的长为______.【答案】7或34【解析】【分析】分三种情况讨论:①当M 在AB 下方且∠AMB=90°时,②当M 在AB 上方且∠AMB=90°时,③当∠ABM=90°时,分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理,进行计算求解即可.【详解】如图1,当∠AMB =90°时,∵O 是AB 的中点,AB =8,∴OM =OB =4,又∵∠AOC =∠BOM =60°,∴△BOM 是等边三角形,∴BM =BO =4,∴Rt △ABM 中,AM 22AB BM -3如图2,当∠AMB =90°时,∵O 是AB 的中点,AB =8,∴OM =OA =4,又∵∠AOC =60°,∴△AOM 是等边三角形,∴AM =AO =4;如图3,当∠ABM =90°时,∵∠BOM =∠AOC =60°,∴∠BMO=30°,∴MO=2BO=2×4=8,∴Rt△BOM中,BM=22MO OB-=43,∴Rt△ABM中,AM=22AB BM+=47.综上所述,当△ABM为直角三角形时,AM的长为43或47或4.故答案为43或47或4.8.如图,∠BOC=60°,点A是BO延长线上的一点,OA=10cm,动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t=_____s时,△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形,分两种情况进行讨论:点P在AO上,点P在BO上,分别计算,即可得解.【详解】当PO=QO时,△POQ是等腰三角形,如图1所示当点P在AO上时,∵PO=AO-AP=10-2t,OQ=t当PO=QO时,102t t-=解得103 t=当PO=QO时,△POQ是等腰三角形,如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10,OQ=t当PO=QO时,210t t-=解得10t=故答案为:103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题,熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.9.在下列结论中:①有三个角是60︒的三角形是等边三角形;②有一个外角是120︒的等腰三角形是等边三角形;③有一个角是60︒,且是轴对称的三角形是等边三角形;④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形.其中正确的是__________.【答案】①②③④【解析】【分析】依据等边三角形的定义,含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.【详解】有三个角是600的三角形是等边三角形,故①正确;外角是1200时,邻补角为600,即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形,故②正确;轴对称的三角形是等腰三角形,且含有一个600角,因此是等边三角形,故③正确;一腰上的高也是中线,故底边等于腰长,所以此三角形是等边三角形,故④正确.故此题正确的是①②③④.【点睛】此题考查等边三角形的判定方法,熟记方法才能熟练运用.10.如图,在△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线DE交AC于点D.已知△BDC的周长为14,BC=6,则AB=___.【答案】8【解析】试题分析:根据线段垂直平分线的性质,可知AD=BD,然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14,可得AC+BC=14,再由BC=6可得AC=8,即AB=8.故答案为8.点睛:此题主要考查了线段的垂直平分线的性质,解题时,先利用线段的垂直平分线求出BD=AD,然后根据三角形的周长互相代换,即可其解.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】根据题意,作出相应的图形,然后对相应的角进行标记;本题先证明P 1,O ,P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒,然后证边12OP OP OP ==,得到P 1,O ,P 2三点构成的三角形为等腰三角形,又因为该等腰三角形有一个角为60︒,故得证P 1,O ,P 2三点构成的三角形是等边三角形。

八年级数学上册 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学上册 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学上册全等三角形同步单元检测(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在锐角△ABC中,AB=5,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD,AB上的动点,则BM+MN的最小值是______.【答案】5【解析】【分析】作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M点,过M点作MN⊥AB,垂足为N,则BM+MN为所求的最小值,再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN,再由等腰直角三角形的性质即可得出结论.【详解】如图,作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M点,过M点作MN⊥AB,垂足为N,则BM+MN 为所求的最小值.∵AD是∠BAC的平分线,∴MH=MN,∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短).∵AB=5,∠BAC=45°,∴BH==5.∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5.故答案为5.【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考,通过角平分线性质,垂线段最短,确定线段和的最小值.2.我们知道,经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线,均能把三角形分割成两个三角形(1)如图,在ABC ∆中,25,105A ABC ∠=︒∠=︒,过B 作一直线交AC 于D ,若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形,则BDA ∠的度数是______.(2)已知在ABC ∆中,AB AC =,过顶点和顶点对边上一点的直线,把ABC ∆分割成两个等腰三角形,则A ∠的最小度数为________. 【答案】130︒ 1807︒⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由题意得:DA=DB ,结合25A ∠=︒,即可得到答案;(2)根据题意,分4种情况讨论,①当BD=AD ,CD=AD ,②当AD=BD ,AC=CD ,③AB=AC ,当AD=BD=BC ,④当AD=BD ,CD=BC ,分别求出A ∠的度数,即可得到答案.【详解】(1)由题意得:当DA=BA ,BD=BA 时,不符合题意,当DA=DB 时,则∠ABD=∠A=25°,∴∠BDA=180°-25°×2=130°.故答案为:130°;(2)①如图1,∵AB=AC ,当BD=AD ,CD=AD ,∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴4∠B=180°,∴∠BAC=90°.②如图2,∵AB=AC ,当AD=BD ,AC=CD ,∴∠B=∠C=∠BAD ,∠CAD=∠CDA ,∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B ,∴∠BAC=3∠B ,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°,∴∠BAC=108°.③如图3,∵AB=AC ,当AD=BD=BC ,∴∠ABC=∠C ,∠BAC=∠ABD ,∠BDC=∠C ,∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC,∴∠ABC=∠C=2∠BAC,∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴5∠BAC=180°,∴∠BAC=36°.④如图4,∵AB=AC,当AD=BD,CD=BC,∴∠ABC=∠C,∠BAC=∠ABD,∠CDB=∠CBD,∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC,∴∠ABC=∠C=3∠BAC,∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴7∠BAC=180°,∴∠BAC=180 ()7︒.综上所述,∠A的最小度数为:180 ()7︒.故答案是:180 ()7︒.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质,根据等腰三角形的性质,分类讨论,是解题的关键.3.在平面直角坐标系中,点A在x轴的正半轴上,点B在y轴的正半轴上,36ABO∠=︒,在x轴或y轴上取点C,使得ABC∆为等腰三角形,符合条件的C点有__________个.【答案】8【解析】【分析】观察数轴,按照等腰三角形成立的条件分析可得答案.【详解】解:如下图所示,若以点A为圆心,以AB为半径画弧,与x轴和y轴各有两个交点,但其中一个会与点B重合,故此时符合条件的点有3个;若以点B为圆心,以AB为半径画弧,同样与x轴和y轴各有两个交点,但其中一个与点A重合,故此时符合条件的点有3个;线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点,此时符合条件的点有2个.∴符合条件的点总共有:3+3+2=8个.故答案为:8.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,可以观察图形,得出答案.4.如图,在△ABC中,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC于E,若∠BAC=126°,则∠EAD=_____°.【答案】72° 【解析】 【分析】根据AB 的中垂线可得BAD ∠,再根据AC 的中垂线可得EAC ∠,再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD .【详解】根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=72DAE ︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质,重点在于等量替换表示角度.5.等腰三角形顶角为30°,腰长是4cm ,则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图,根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质,可由等腰三角形的顶角为30°,腰长是4cm ,可求得BD=12AB =4×12=2,因此此三角形的面积为:S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4(cm 2).故答案是:4.6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于F ,若∠F =30°,DE =1,则EF 的长是_____.【答案】2【解析】【分析】连接BE,根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质,说明∠CBE=∠F,进一步说明BE =EF,,然后再根据直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解:如图:连接BE∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F,∴AE=BE,∠A+∠AED=90°,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴∠F+∠CEF=90°,∵∠AED=∠FEC,∴∠A=∠F=30°,∴∠ABE=∠A=30°,∠ABC=90°﹣∠A=60°,∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°,∴∠CBE=∠F,∴BE=EF,在Rt△BED中,BE=2DE=2×1=2,∴EF=2.故答案为:2.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质,其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.7.如图,已知∠MON =30°,点A 1,A 2,A 3,…在射线ON 上,点B 1,B 2,B 3,…在射线OM 上,△A 1B 1A 2,△A 2B 2A 3,△A 3B 3A 4,…均为等边三角形,若OA 2=4,则△A n B n A n +1的边长为_____.【答案】2n .【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,以及A 2B 2=2B 1A 2,得出A 3B 3=4B 1A 2=8,A 4B 4=8B 1A 2=16,A 5B 5=16B 1A 2…进而得出答案.【详解】解:∵△A 1B 1A 2是等边三角形,∴A 1B 1=A 2B 1,∵∠MON =30°,∵OA 2=4,∴OA 1=A 1B 1=2,∴A 2B 1=2,∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形,∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,B 1A 2∥B 2A 3,∴A 2B 2=2B 1A 2,B 3A 3=2B 2A 3,∴A 3B 3=4B 1A 2=8,A 4B 4=8B 1A 2=16,A 5B 5=16B 1A 2=32,以此类推△A n B n A n +1的边长为 2n .故答案为:2n .【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质,由条件得到OA 5=2OA 4=4OA 3=8OA 2=16OA 1是解题的关键.8.如图,在ABC 中, 90,ACB ABD ︒∠=是ABC 的轴对称图形,点E 在AD 上,点F 在AC 的延长线上.若点B 恰好在EF 的垂直平分线上,并且5AE =,13AF =,则DE =______.【答案】4.【解析】【分析】连接BE ,BF ,根据轴对称的性质可得△ABD ≌△ACB ,进而可得DB=CB ,AD=AC ,∠D=∠BCA=90°,再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF ,然后证明Rt △DBE ≌Rt △CBF 可得DE=CF ,然后可得ED 长.【详解】解:连接BE ,BF ,∵△ABD 是△ABC 的轴对称图形,∴△ABD ≌△ACB ,∴DB=CB ,AD=AC ,∠D=∠BCA=90°,∴∠BCF=90°,∵点B 恰好在EF 的垂直平分线上,∴BE=BF ,在Rt △DBE 和Rt △CBF 中BD BC EB FB =⎧⎨=⎩,∴Rt △DBE ≌Rt △CBF (HL ),∴DE=CF ,设DE=x ,则CF=x ,∵AE=5,AF=13,∴AC=AD=5+x ,∴AF=5+2x ,∴5+2x=13,∴x=4,∴DE=4,故答案为:4.【点睛】此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质,关键是掌握成轴对称的两个图形全等.9.在△ABC 中,∠ACB=90º,D、E 分别在 AC、AB 边上,把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE,点 F 恰好落在 BC 边上,若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形,则∠BAC 的度数为_________.【答案】45°或60°【解析】【分析】根据题意画出图形,设∠BAC的度数为x,则∠B=90°-x,∠EFB =135°-x,∠BEF=2x-45°,当△BFE 都是等腰三角形,分三种情况讨论,即可求解.【详解】∵∠ACB=90º,△CFD是等腰三角形,∴∠CDF=∠CFD=45°,设∠BAC的度数为x,∴∠B=90°-x,∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE,点 F 恰好落在 BC 边上,∴∠DFE=∠BAC=x,∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x,∵∠ADE=∠FDE,∴∠ADE=(180°-45°)÷2=67.5°,∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x,∴∠DEF=∠AED=112.5°-x,∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-(112.5°-x)-(112.5°-x)=2x-45°,∵△BFE 都是等腰三角形,分三种情况讨论:①当FE=FB时,如图1,则∠BEF=∠B,∴90-x=2x-45,解得:x=45;②当BF=BE时,则∠EFB=∠BEF,∴135-x=2x-45,解得:x=60,③当EB=EF时,如图2,则∠B=∠EFB,∴135-x=90-x,无解,∴这种情况不存在.综上所述:∠BAC 的度数为:45°或60°.故答案是:45°或60°.图1 图2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理,用代数式表示角度,并进行分类讨论,是解题的关键.10.如图,Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,AD 是 BC 边上的高,E 是 AD 上的一点。

人教版八年级上册数学 全等三角形单元试卷(word版含答案)

人教版八年级上册数学 全等三角形单元试卷(word版含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°(如图①).求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】试题分析:(1)作DF∥BC交AC于F,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠D CE,证明△ABC是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,得出AD=DF,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD,由AAS证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;(2)作DF∥BC交AC的延长线于F,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论.试题解析:(1)证明:如图,作DF∥BC交AC于F,则△ADF为等边三角形∴AD=DF,又∵∠DEC=∠DCB,∠DEC+∠EDB=60°,∠DCB+∠DCF=60°,∴∠EDB=∠DCA ,DE=CD,在△DEB和△CDF中,120EBD DFCEDB DCFDE CD,,∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB≌△CDF,∴BD=DF,∴BE=AD .(2).EB=AD成立;理由如下:作DF∥BC交AC的延长线于F,如图所示:同(1)得:AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.点睛:此题主要考查了三角形的综合,考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,平行线的性质等知识,综合性强,有一定的难度,证明三角形全等是解决问题的关键.2.已知OP平分∠AOB,∠DCE的顶点C在射线OP上,射线CD交射线OA于点F,射线CE交射线OB于点G.(1)如图1,若CD⊥OA,CE⊥OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系;(2)如图2,若∠AOB=120º,∠DCE=∠AOC,试判断线段CF与CG的数量关系,并说明理由.【答案】(1)CF=CG;(2)CF=CG,见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.(2)结论:CF=CG,作CM⊥OA于M,CN⊥OB于N,证明△CMF≌△CNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解:(1)结论:CF=CG;证明:∵OP平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,∴CF=CG(角平分线上的点到角两边的距离相等);(2)CF=CG.理由如下:如图,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,∵OP平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∠AOB=120º,∴CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等),∴∠AOC=∠BOC=60º(角平分线的性质),∵∠DCE=∠AOC,∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º,∴∠MCO=90º-60º =30º,∠NCO=90º-60º =30º,∴∠MCN=30º+30º=60º,∴∠MCN=∠DCE,∵∠MCF=∠MCN-∠DCN,∠NCG=∠DCE-∠DCN,∴∠MCF=∠NCG,在△MCF和△NCG中,CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG(ASA),∴CF=CG(全等三角形对应边相等);【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握角平分线的性质的应用,熟练证明三角形全等.3.如图,在ABC∆中,ACB∠为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD.以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.(1)若AB AC =,90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系; ②当点D 在线段C 的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中面出相应的图形并说明理由;(2)如图3,若AB AC ≠,90BAC ∠≠︒,45BCA ∠=︒,点D 在线段BC 上运动,试探究CF 与BD 的位置关系.【答案】(1)①CF ⊥BD ,证明见解析;②成立,理由见解析;(2)CF ⊥BD ,证明见解析.【解析】【分析】(1)①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ,然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等,②先求出∠CAF=∠BAD ,然后与①的思路相同求解即可;(2)过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ,可得△ACE 是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ,∠AED=45°,再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ,然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ,然后求出∠BCF=90°,从而得到CF ⊥BD .【详解】解:(1)①∵∠BAC=90°,△ADF 是等腰直角三角形,∴∠CAF+∠CAD=90°,∠BAD+∠ACD=90°,∴∠CAF=∠BAD ,在△ACF 和△ABD 中,∵AB=AC ,∠CAF=∠BAD ,AD=AF ,∴△ACF ≌△ABD(SAS),∴CF=BD ,∠ACF=∠ABD=45°,∵∠ACB=45°,∴∠FCB=90°,∴CF ⊥BD ;②成立,理由如下:如图2:∵∠CAB=∠DAF=90°,∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠CAF=∠BAD,在△ACF和△ABD中,∵AB=AC,∠CAF=∠BAD,AD=AF,∴△ACF≌△ABD(SAS),∴CF=BD,∠ACF=∠B,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,∴CF⊥BD;(2)如图3,过点A作AE⊥AC交BC于E,∵∠BCA=45°,∴△ACE是等腰直角三角形,∴AC=AE,∠AED=45°,∵∠CAF+∠CAD=90°,∠EAD+∠CAD=90°,∴∠CAF=∠EAD,在△ACF和△AED中,∵AC=AE,∠CAF=∠EAD,AD=AF,∴△ACF≌△AED(SAS),∴∠ACF=∠AED=45°,∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°,∴CF⊥BD.【点睛】本题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4.如图1,在等边△ABC 中,E 、D 两点分别在边AB 、BC 上,BE =CD ,AD 、CE 相交于点F .(1)求∠AFE 的度数;(2)过点A 作AH ⊥CE 于H ,求证:2FH +FD =CE ;(3)如图2,延长CE 至点P ,连接BP ,∠BPC =30°,且CF =29CP ,求PF AF的值. (提示:可以过点A 作∠KAF =60°,AK 交PC 于点K ,连接KB )【答案】(1)∠AFE =60°;(2)见解析;(3)75【解析】【分析】 (1)通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等,等量代换推导出60AFE ∠=︒;(2)由(1)得到60AFE ∠=︒,CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半,等量代换可得;(3)通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ,作辅助线证明ABK 和ACF 全等,利用对应边相等,等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】(1)解:如图1中.∵ABC 为等边三角形,∴AC =BC ,∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°,在BCE 和CAD 中,60BE CDCBE ACDBC CA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴BCE CAD≌(SAS),∴∠BCE=∠DAC,∵∠BCE+∠ACE=60°,∴∠DAC+∠ACE=60°,∴∠AFE=60°.(2)证明:如图1中,∵AH⊥EC,∴∠AHF=90°,在Rt△AFH中,∵∠AFH=60°,∴∠FAH=30°,∴AF=2FH,∵EBC DCA≌,∴EC=AD,∵AD=AF+DF=2FH+DF,∴2FH+DF=EC.(3)解:在PF上取一点K使得KF=AF,连接AK、BK,∵∠AFK=60°,AF=KF,∴△AFK为等边三角形,∴∠KAF=60°,∴∠KAB=∠FAC,在ABK和ACF中,AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ABK ACF≌(SAS),BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°,∴∠BKE=120°﹣60°=60°,∵∠BPC=30°,∴∠PBK=30°,∴29 BK CF PK CP===,∴79PF CP CF CP=-=,∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP==-+=-=∴779559CPPFAF CP== .【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质,及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.5.已知4AB cm=,3AC BD cm==.点P在AB上以1/cm s的速度由点A向点B运动,同时点Q在BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为()t s.(1)如图①,AC AB⊥,BD AB⊥,若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当1t=时,ACP△与BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;(2)如图②,将图①中的“AC AB⊥,BD AB⊥”为改“60CAB DBA∠=∠=︒”,其他条件不变.设点Q的运动速度为/xcm s,是否存在实数x,使得ACP△与BPQ 全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)全等,PC与PQ垂直;(2)存在,11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】(1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ,得出∠ACP=∠BPQ,进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可;(2)由△ACP≌△BPQ,分两种情况:①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得答案即可.【详解】解:(1)当t=1时,AP=BQ=1,BP=AC=3,又∠A=∠B=90°,在△ACP 和△BPQ 中,AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACP ≌△BPQ (SAS ).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.∴∠CPQ=90°,即线段PC 与线段PQ 垂直.(2)①若△ACP ≌△BPQ ,则AC=BP ,AP=BQ ,34t t xt =-⎧⎨=⎩, 解得11t x =⎧⎨=⎩, ②若△ACP ≌△BQP ,则AC=BQ ,AP=BP ,34xt t t =⎧⎨=-⎩, 解得232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩, 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,在解题时注意分类讨论思想的运用.6.如图1,在ABC ∆中,90ACB ∠=,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于点D ,BE MN ⊥于点E .易得DE AD BE =+(不需要证明).(1)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,其余条件不变,你认为上述结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系,并说明理由;(2)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,其余条件不变,请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系(不需要证明).【答案】(1) 不成立,DE=AD-BE ,理由见解析;(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE .由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ,证得△ACD ≌△CBE ,得到AD=CE ,CD=BE ,即有DE=AD-BE ;(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD .证明的方法与(1)一样.【详解】(1)不成立.DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ,理由如下:如图,∵∠ACB=90°,BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,AC CB =,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE ,在△ACD 和△CBE 中,90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD ≌△CBE(AAS),∴AD=CE ,CD=BE ,∴DE=CE-CD=AD-BE ;(2)结论:DE=BE-AD .∵∠ACB=90°,BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,AC CB =,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE ,在△ACD 和△CBE 中,90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC ≌△CEB(AAS),∴AD=CE ,DC=BE ,∴DE=CD-CE=BE-AD .【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质,旋转前后两图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角.7.如图1,Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,点D 是BC 边的中点连接AD ,则易证AD =BD =CD ,即AD =12BC ;如图2,若将题中AB =AC 这个条件删去,此时AD 仍然等于12BC . 理由如下:延长AD 到H ,使得AH =2AD ,连接CH ,先证得△ABD ≌△CHD ,此时若能证得△ABC ≌△CHA ,即可证得AH =BC ,此时AD =12BC ,由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法.(1)请你先证明△ABC ≌△CHA ,并用一句话总结题中的结论;(2)现将图1中△ABC 折叠(如图3),点A 与点D 重合,折痕为EF ,此时不难看出△BDE 和△CDF 都是等腰直角三角形.BE =DE ,CF =DF .由勾股定理可知DE 2+DF 2=EF 2,因此BE 2+CF 2=EF 2,若图2中△ABC 也进行这样的折叠(如图4),此时线段BE 、CF 、EF 还有这样的关系式吗?若有,请证明;若没有,请举反例.(3)在(2)的条件下,将图3中的△DEF 绕着点D 旋转(如图5),射线DE 、DF 分别交AB、AC于点E、F,此时(2)中结论还成立吗?请说明理由.图4中的△DEF也这样旋转(如图6),直接写出上面的关系式是否成立.【答案】(1)详见解析;(2)有这样分关系式;(3)EF2=BE2+CF2.【解析】【分析】(1)想办法证明AB∥CH,推出∠BAC=∠ACH,再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可.(2)有这样分关系式.如图4中,延长ED到H山顶DH=DE.证明△EDB≌△HD (SAS),推出∠B=∠HCD,BE=CH,∠FCH=90°,利用勾股定理,线段的垂直平分线的性质即可解决问题.(3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.【详解】(1)证明:如图2中,∵BD=DC,∠ADB=∠HDC,AD=HD,∴△ADB≌△HDC(SAS),∴∠B=∠HCD,AB=CH,∴AB∥CH,∴∠BAC+∠ACH=180°,∵∠BAC=90°,∴∠ACH=∠BAC=90°,∵AC=CA,∴△BAC≌△HCA(SAS),∴AH=BC,∴AD=DH=BD=DC,∴AD=12 BC.结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)解:有这样分关系式.理由:如图4中,延长ED到H山顶DH=DE.∵ED=DH,∠EDB=∠HDC,DB=DC,∴△EDB≌△HDC(SAS),∴∠B=∠HCD,BE=CH,∵∠B+∠ACB=90°,∴∠ACB+∠HCD=90°,∴∠FCH=90°,∴FH2=CF2+CH2,∵DF⊥EH,ED=DH,∴EF=FH,∴EF2=BE2+CF2.(3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.结论:EF2=BE2+CF2.证明方法类似(2).【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了旋转变换,翻折变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.8.(1)在等边三角形ABC中,①如图①,D,E分别是边AC,AB上的点,且AE CD=,BD与EC交于点F,则BFE∠的度数是___________度;②如图②,D,E分别是边AC,BA延长线上的点,且AE CD=,BD与EC的延长线交于点F ,此时BFE ∠的度数是____________度;(2)如图③,在ABC ∆中,AC BC =,ACB ∠是锐角,点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点,点D ,E 分别在AC ,OA 的延长线上,且AE CD =,BD 与EC 的延长线交于点F ,若ACB α∠=,求BFE ∠的大小(用含法α的代数式表示).【答案】(1)60;(2)60;(3)BFE α∠=【解析】【分析】(1)①只要证明△ACE ≌△CBD ,可得∠ACE=∠CBD ,推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°;②只要证明△ACE ≌△CBD ,可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ,即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°;(2)只要证明△AEC ≌△CDB ,可得∠E=∠D ,即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】解:(1)①如图①中,∵△ABC 是等边三角形,∴AC=CB ,∠A=∠BCD=60°,∵AE=CD ,∴△ACE ≌△CBD ,∴∠ACE=∠CBD ,∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°.故答案为60;②如图②,∵△ABC 是等边三角形,∴AC=CB ,∠A=∠BCD=60°,∴∠CAE=∠BCD=′120°∴△ACE≌△CBD,∴∠ACE=∠CBD=∠DCF,∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°.故答案为60;(2)如图③中,图③点O是AC边的垂直平分线与BC的交点,∴=,OC OA∴∠=∠=OAC ACOα=-,∴∠=∠︒EAC DCBα180=,AE CDAC BC=,∴∆≅∆,AEC CDB∴∠=∠,E D∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=.BFE D DCF E ECA OACα【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.9.操作发现:如图,已知△ABC和△ADE均为等腰三角形,AB=AC,AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点B,D,E在同一直线上,连接CE.(1)如图1,若∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=55°,求证:△BAD≌△CAE;(2)在(1)的条件下,求∠BEC的度数;拓广探索:(3)如图2,若∠CAB=∠EAD=120°,BD=4,CF为△BCE中BE边上的高,请直接写出EF的长度.【答案】(1)见解析;(2)70°;(3)2【解析】(1)根据SAS证明△BAD≌△CAE即可.(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.(3)同法可证△BAD≌△CAE,推出EC=BD=4,由∠BEC=∠BAC=120°,推出∠FCE=30°即可解决问题.【详解】(1)证明:如图1中,∵∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED,∴∠EAD=∠CAB,∴∠EAC=∠DAB,∵AE=AD,AC=AB,∴△BAD≌△CAE(SAS).(2)解:如图1中,设AC交BE于O.∵∠ABC=∠ACB=55°,∴∠BAC=180°﹣110°=70°,∵△BAD≌△CAE,∴∠ABO=∠ECO,∵∠EOC=∠AOB,∴∠CEO=∠BAO=70°,即∠BEC=70°.(3)解:如图2中,∵∠CAB=∠EAD=120°,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴∠BAD=∠ACE,BD=EC=4,同理可证∠BEC=∠BAC=120°,∴∠FEC=60°,∵CF⊥EF,∴∠F=90°,∴∠FCE=30°,∴EF=12EC=2.【点睛】本题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.10.(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.求证:DE=BD+CE.(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证:△DEF是等边三角形.【答案】(1)见解析;(2)成立,理由见解析;(3)见解析【解析】【分析】(1)因为DE=DA+AE ,故通过证BDA AEC ≅△△,得出DA=EC ,AE=BD ,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证明BDA AEC ≅△△,得出BD=AE ,AD=CE ,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由BDA AEC ≅△△得BD=AE ,=BDA AEC ∠∠,ABF 与ACF 均等边三角形,得==60BA AC ︒∠F ∠F ,FB=FA ,所以=BA BA AC AC ∠F +∠D ∠F +∠E ,即FBD FAB ≅∠∠,所以BDF AEF ≅△△,所以FD=FE ,BFD AFE ≅∠∠,再根据=60BFD FA BFA =︒∠+∠D ∠,得=60AF FA =︒∠E +∠D ,即=60FE =︒∠D ,故DFE △是等边三角形.【详解】证明:(1)∵BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m∴∠BDA =∠CEA=90°,∵∠BAC =90°∴∠BAD+∠CAE=90°,∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD ,又AB=AC ,∴△ADB ≌△CEA∴AE=BD ,AD=CE ,∴DE=AE+AD= BD+CE(2)∵∠BDA =∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE ,∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC∴△ADB ≌△CEA ,∴AE=BD ,AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE(3)由(2)知,△ADB≌△CEA, BD=AE,∠DBA =∠CAE∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF,∴△DBF≌△EAF∴DF=EF,∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.。

八年级上册全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级上册全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级上册全等三角形同步单元检测(Word 版 含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在菱形ABCD 中,∠ABC=120°,AB=10cm ,点P 是这个菱形内部或边上的一点.若以P ,B ,C 为顶点的三角形是等腰三角形,则P ,A (P ,A 两点不重合)两点间的最短距离为______cm .【答案】10310-【解析】解:连接BD ,在菱形ABCD 中,∵∠ABC =120°,AB =BC =AD =CD =10,∴∠A =∠C =60°,∴△ABD ,△BCD 都是等边三角形,分三种情况讨论:①若以边BC 为底,则BC 垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P 与点D 重合时,PA 最小,最小值PA =10;②若以边PB 为底,∠PCB 为顶角时,以点C 为圆心,BC 长为半径作圆,与AC 相交于一点,则弧BD (除点B 外)上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形,当点P 在AC 上时,AP 最小,最小值为10310-;③若以边PC 为底,∠PBC 为顶角,以点B 为圆心,BC 为半径作圆,则弧AC 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形,当点P 与点A 重合时,PA 最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;综上所述,PA 的最小值为10310-(cm ).故答案为:10310-.点睛:本题考查菱形的性质、等边三角形的性质,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.2.如图,在ABC 中,点A 的坐标为()0,1,点B 的坐标为()0,4,点C 的坐标为()4,3,点D 在第二象限,且ABD 与ABC 全等,点D 的坐标是______.【答案】(-4,2)或(-4,3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D (4,2),这时△ABD 与△ABC 全等,分别作点C ,D 关于y 轴的对称点(-4,3)和(-4,2),所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(-4,2)或(-4,3).3.在ABC ∆中,边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ,20DAE ∠=︒,则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意,点D 和点E 的位置不确定,需分析谁靠近B 点,则有如下图(图见解析)两种情况:(1)图1中,点E 距离点B 近,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠,再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,联立即可求得;(2)图2中,点D 距离点B 近,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,从而有3,4B C ∠=∠∠=∠,由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况:(1)图1中,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠(等边对等角),两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠,又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒,由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒, 80BAC ∴∠=︒;(2)图2中,根据垂直平分线性质可知,,BD AD AE CE ==,3,4B C ∴∠=∠∠=∠(等边对等角),两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠,又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠,3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒,20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒,20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒,100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质(垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)、等腰三角形的定义和性质(等边对等角)、以及三角形内角和定理,本题的难点在于容易漏掉第二种情况,出现漏解.4.如图,BD 是ABC 的角平分线,AE BD ⊥,垂足为F ,且交线段BC 于点E ,连结DE ,若50C ∠=︒,设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,,则y 关于x 的函数表达式为_____________.【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意,由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线,进而得到AD =ED ,求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式.【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线,AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒,90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠,50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-,故答案为:80y x =-.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定,三角形的内角和定理,三角形外角定理,角的和差倍分等相关知识,熟练运用角的计算是解决本题的关键.5.如图,在等腰直角三角形ABC 中,90ACB ∠=︒,4AC BC ==,D 为BC 中点,E 为AC 边上一动点,连接DE ,以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆,连接BF ,则BF的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】由60°联想旋转全等,转换动长为定点到定线的长,构建等边三角形BDG,利用△BDF≌△GDE,转换BF=GE,然后即可求得其最小值.【详解】以BD为边作等边三角形BDG,连接GE,如图所示:∵等边三角形BDG,等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°,BD=GD=BG,DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD,即∠BDF=∠GDE∴△BDF≌△GDE(SAS)∴BF=GE当GE⊥AC时,GE有最小值,如图所示GE′,作DH⊥GE′∴BF=GE=CD+12DG=2+1=3故答案为:3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,解题关键是由60°联想旋转全等,转换动长为定点到定线的长.6.如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM 上,△A 1B 1A 2,△A 2B 2A 3,△A 3B 3A 4,…均为等边三角形,若OA 2=4,则△A n B n A n +1的边长为_____.【答案】2n .【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,以及A 2B 2=2B 1A 2,得出A 3B 3=4B 1A 2=8,A 4B 4=8B 1A 2=16,A 5B 5=16B 1A 2…进而得出答案.【详解】解:∵△A 1B 1A 2是等边三角形,∴A 1B 1=A 2B 1,∵∠MON =30°,∵OA 2=4,∴OA 1=A 1B 1=2,∴A 2B 1=2,∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形,∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,B 1A 2∥B 2A 3,∴A 2B 2=2B 1A 2,B 3A 3=2B 2A 3,∴A 3B 3=4B 1A 2=8,A 4B 4=8B 1A 2=16,A 5B 5=16B 1A 2=32, 以此类推△A n B n A n +1的边长为 2n .故答案为:2n .【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质,由条件得到OA 5=2OA 4=4OA 3=8OA 2=16OA 1是解题的关键.7.如图,在ABC 中, 90,ACB ABD ︒∠=是ABC 的轴对称图形,点E 在AD 上,点F 在AC 的延长线上.若点B 恰好在EF 的垂直平分线上,并且5AE =,13AF =,则DE =______.【答案】4.【解析】【分析】连接BE ,BF ,根据轴对称的性质可得△ABD ≌△ACB ,进而可得DB=CB ,AD=AC ,∠D=∠BCA=90°,再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF ,然后证明Rt △DBE ≌Rt △CBF 可得DE=CF ,然后可得ED 长.【详解】解:连接BE ,BF ,∵△ABD 是△ABC 的轴对称图形,∴△ABD ≌△ACB ,∴DB=CB ,AD=AC ,∠D=∠BCA=90°,∴∠BCF=90°,∵点B 恰好在EF 的垂直平分线上,∴BE=BF ,在Rt △DBE 和Rt △CBF 中BD BC EB FB =⎧⎨=⎩,∴Rt △DBE ≌Rt △CBF (HL ),∴DE=CF ,设DE=x ,则CF=x ,∵AE=5,AF=13,∴AC=AD=5+x ,∴AF=5+2x ,∴5+2x=13,∴x=4,∴DE=4,故答案为:4.【点睛】此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质,关键是掌握成轴对称的两个图形全等.8.如图,ABC ∆中,AB AC =,点D 是ABC ∆内部一点,DB DC =,点E 是边AB 上一点,若CD 平分ACE ∠,100AEC =∠,则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ,再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB -2∠ACD ,然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°,代换化简得出∠ACB -∠ACD=50°,即∠DCB=50°,从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ,∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ,∴∠ECB=∠ACB -∠ACE=∠ACB -2∠ACD ,∵∠AEC=100°,∴∠ABC+∠ECB=100°,∴∠ABC+∠ACB -2∠ACD=100°,∵AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB -2∠ACD=100°,∴∠ACB -∠ACD=50°,即∠DCB=50°,∵DB=DC ,∴∠DBC=∠DCB ,∴∠BDC=180°-2∠DCB=180°-2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线,三角形内角和,外角定理,及等边对等角的性质等知识,熟练掌握基本知识,找出角与角之间的关系是解题的关键.9.如图,△ABC 中, AB=11 , AC= 5 ,∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相交于点 D ,过点 D 分别作 DE⊥AB ,DF⊥AC ,垂足分别为 E 、F ,则 BE 的长为_____.【答案】3【解析】【分析】连接CD,BD,由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质,易得CD=BD,DF=DE,继而可得AF=AE,易证得Rt△CDF≌Rt△BDE,则可得BE=CF,继而求得答案.【详解】如图,连接CD,BD,∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DF=DE,∠F=∠DEB=90°,∠ADF=∠ADE,∴AE=AF,∵DG是BC的垂直平分线,∴CD=BD,在Rt△CDF和Rt△BDE中,CD BDDF DE⎧⎨⎩==,∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL),∴BE=CF,∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,∵AB=11,AC=5,∴BE=12(11-5)=3.故答案为:3.【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.10.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ADC=∠ABC=90°,在AB、AD上分别找一点F、E,连接CE、EF、CF,当△CEF的周长最小时,则∠ECF的度数为______.【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步:第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置(用对称即可);第二步是证明此时的△CEF的周长最小(利用两点之间线段最短);第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.【详解】分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2,连接C1C2,分别交AD,AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小,理由如下:在AD、AB上任意取E1、F1两点根据对称性:∴CE=C1E,CE1=C1E1,CF=C2F,CF1=C2F1∴△CEF的周长= CE+EF+CF= C1E+EF+C2F= C1C2而△CE1F1的周长= CE1+E1F1+CF1= C1E1+E1F1+C2F1根据两点之间线段最短,故C1E1+E1F1+C2F1>C1C2∴△CEF的周长的最小为:C1C2.∵∠A=60°,∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°-∠A-∠ADC-∠ABC=120°∴∠C C 1C 2+∠C C 2C 1=180°-∠DCB=60°根据对称性:∠C C 1C 2=∠E CD ,∠C C 2C 1=∠F CB∴∠E CD +∠F CB=∠C C 1C 2+∠C C 2C 1=60°∴∠ECF =∠DCB -(∠E CD +∠F CB )=60°故答案为:60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法(对称点),及周长最小值的证法:两点之间线段最短,掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.已知40MON ∠=︒,P 为MON ∠内一定点,OM 上有一点A ,ON 上有一点B ,当PAB ∆的周长取最小值时,APB ∠的度数是( )A .40︒B .50︒C .100︒D .140︒【答案】C【解析】【分析】 设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P '、P '',当点A 、B 在P P '''上时,PAB ∆周长为PA AB BP P P ++=''',此时周长最小.根据轴对称的性质,可求出APB ∠的度数.【详解】分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P '',连接OP '、OP ''、P P ''',P P '''交OM 、ON 于点A 、B ,连接PA 、PB ,此时PAB ∆周长的最小值等于P P '''.由轴对称性质可得,OP OP OP '=''=,P OA POA ∠'=∠,P OB POB ∠''=∠,224080P OP MON ∴∠'''=∠=⨯︒=︒,(18080)250OP P OP P ∴∠'''=∠'''=︒-︒÷=︒,又50BPO OP B ∠=∠''=︒,50APO AP O ∠=∠'=︒,100APB APO BPO ∴∠=∠+∠=︒.故选:C .【点睛】此题考查轴对称作图,最短路径问题,将三角形周长最小转化为最短路径问题,根据轴对称作图是解题的关键.12.如图,在射线OA ,OB 上分别截取11OA OB =,连接11A B ,在11B A ,1B B 上分别截取1212B A B B =,连接22A B ,按此规律作下去,若11A B O α∠=,则1010A B O ∠=( )A .102aB .92aC .20aD .18a 【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠,依此类推即可得到结论.【详解】解:1212B A B B =,11A B O α∠=,2212A B O α∴∠=, 同理332111222A B O αα∠=⨯=, 44312A B O α∠=, 112n n n A B O α-∴∠=, 101092A B O α∴∠=,故选:B .【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,图形的变化规律,依次求出相邻的两个角的差,得到分母成2的指数次幂变化,分子不变的规律是解题的关键.13.如图,坐标平面内一点A(2,-1),O 为原点,P 是x 轴上的一个动点,如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P 的个数为( )A .2B .3C .4D .5【答案】C【解析】 以O 点为圆心,OA 为半径作圆与x 轴有两交点,这两点显然符合题意.以A 点为圆心,OA 为半径作圆与x 轴交与两点(O 点除外).以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点.共4个点符合,14.如图,120AOB ∠=︒,OP 平分AOB ∠,且2OP =,若点M N 、分别在OA OB 、上,且PMN ∆为等边三角形,则满足上述条件的PMN ∆有( )A .1个B .2个C .3个D .无数个【答案】D【解析】【分析】 根据题意在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ,作∠MPN=60°,只要证明△PEM ≌△PON 即可反推出△PMN 是等边三角形满足条件,以此进行分析即可得出结论.【详解】解:如图在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ,作∠MPN=60°.∵OP平分∠AOB,120AOB∠=︒,∴∠EOP=∠POF=60°,∵OE=OF=OP,∴△OPE,△OPF是等边三角形,∴EP=OP,∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM=∠OPN,在△PEM和△PON中,PEM PONPE POEPM OPN∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨===∴△PEM≌△PON(ASA).∴PM=PN,∵∠MPN=60°,∴△PNM是等边三角形,∴只要∠MPN=60°,△PMN就是等边三角形,故这样的三角形有无数个.故选:D.【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识,解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.15.如图,已知:30MON∠=︒,点1A、2A、3A…在射线ON上,点1B、2B、3B…在射线OM上,112A B A△、223A B A△、334A B A△…均为等边三角形,若112OA=,则667A B A的边长为( )A.6 B.12 C.16 D.32【答案】C【解析】【分析】先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得:∠B1A1A2=60°,A1B1=A1A2,再利用外角定理求∠OB1A1=30°,则∠MON=∠OB1A1,由等角对等边得:B1A1=OA1=12,得出△A1B1A2的边长为12,再依次同理得出:△A2B2A3的边长为1,△A3B3A4的边长为2,△A4B4A5的边长为:22=4,△A5B5A6的边长为:23=8,则△A6B6A7的边长为:24=16.【详解】解:∵△A1B1A2为等边三角形,∴∠B1A1A2=60°,A1B1=A1A2,∵∠MON=30°,∴∠OB1A1=60°-30°=30°,∴∠MON=∠OB1A1,∴B1A1=OA1=12,∴△A1B1A2的边长为12,同理得:∠OB2A2=30°,∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=12+12=1,∴△A2B2A3的边长为1,同理可得:△A3B3A4的边长为2,△A4B4A5的边长为:22=4,△A5B5A6的边长为:23=8,则△A6B6A7的边长为:24=16.故选:C.【点睛】本题考查等边三角形的性质和外角定理,运用类比的思想,依次求出各等边三角形的边长,解题关键是总结规律,得出结论.16.某平原有一条很直的小河和两个村庄,要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线(虛线)l表示小河,,P Q两点表示村庄,线段(实线)表示铺设的管道,画出了如下四个示意图,则所需管道最短的是().A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称分析即可得到答案.【详解】根据题意,所需管道最短,应过点P或点Q作对称点,再连接另一点,与直线l的交点即为水泵站M,故选项A、B、D均错误,选项C正确,故选:C.【点睛】此题考查最短路径问题,应作对称点,使三点的连线在同一直线上,这是此类问题的解题目标,把握此目标即可正确解题.的正方形网格中,A,B是如图所示的两个格点,如果C也是格点,且17.在一个33ABC是等腰三角形,则符合条件的C点的个数是()A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】根据题意、结合图形,画出图形即可确定答案.【详解】解:根据题意,画出图形如图:共8个.故答案为C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定,根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键.18.在平面直角坐标系中,等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(1,0)、(2,3),若顶点C 落在坐标轴上,则符合条件的点C有( )个.A.9 B.7 C.8 D.6【答案】C【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形,可分三种情况(①若CA=CB,②若BC=BA,③若AC=AB)讨论,通过画图就可解决问题.【详解】①若CA=CB,则点C在AB的垂直平分线上.∵A(1,0),B(2,3),∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点C1,C2.②若BC=BA,则以点B为圆心,BA为半径画圆,与坐标轴有3个交点(A点除外)C3,C4,C5;③若AC=AB,则以点A为圆心,AB为半径画圆,与坐标轴有4个交点C6,C7,C8,C9.而C8(0,-3)与A、B在同一直线上,不能构成三角形,故此时满足条件的点有3个.综上所述:符合条件的点C的个数有8个.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识,还考查了动手操作的能力,运用分类讨论的思想是解答本题的关键.19.如图, 在△DAE中, ∠DAE=40°, B、C两点在直线DE上,且∠BAE=∠BEA,∠CAD=∠CDA,则∠BAC的大小是()A.100°B.90°C.80°D.120°【答案】A【解析】【分析】由已知条件,利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等,再结合三角形内角和定理求解.【详解】解:如图,∵BG是AE的中垂线,CF是AD的中垂线,∴AB=BE,ACECD∴∠AED=∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠CDA=∠CAD=∠DAE+∠CAE,∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE=3∠DAE+∠BAD+∠EAC=120°+∠BAD+∠EAC=180°∴∠BAD+∠EAC=60°∴.∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=60°+40°=100°;故选:A【点睛】本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质;找着各角的关系利用内角和列式求解是正确解答本题的关键.20.如图,已知,点A(0,0)、B(43,0)、C(0,4),在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,…则第2017个等边三角形的边长等于()A .20152B .20162C .201727D .20192【答案】A【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质,由OB=OC=1,可得∠OCB=90°,然后根据等边三角形的性质,可知∠A 1AB=60°,进而可得∠CAA 1=30°,∠CA 1O=90°,因此可推导出∠A 2A 1B=30°,同理得到∠CA 2B 1=∠CA 3B 2=∠CA 4B 3=90°,∠A 2A 1B=∠A 3A 2B 2=∠A 4A 3B 3=30°,故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半,即OA 1=OCcos ∠CAA 1=B 1A 2=12⨯2017个等边三角形的边长为:20171()2⨯=. 故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质,属于规律型题目,解题关键是仔细审图,得出:后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.。

人教版八年级上册数学《全等三角形》单元检测(附答案)

人教版八年级上册数学《全等三角形》单元检测(附答案)

人教版数学八年级上学期《全等三角形》单元测试满分120分时间100分钟一.选择题(每题3分,共计30分)1.(2020•石台县期末)已知图中的两个三角形全等,则∠1等于()A.70°B.50°C.60°D.120°2.(2020•无棣县期末)如图,△ABC≌△ADE,点D落在BC上,且∠EDC=70°,则∠BAD 的度数等于()A.50°B.55°C.65°D.70°3.(2020 •历城区期中)如图,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使BC=CD,再作出BF的垂线DE,使点A、C、E在同一条直线上(如图),可以说明△ABC≌△EDC,得AB=DE,因此测得DE的长就是AB的长,判定△ABC≌△EDC,最恰当的理由是()A.SAS B.HL C.SSS D.ASA4.(2020•五常市期末)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DE=4,BC=9,则BD的长为()A.6 B.5 C.4 D.35.(2020 •南岗区期末)如图,已知∠l=∠4,添加以下条件,不能判定△ABC≌△CDA的是()A.∠2=∠3 B.∠B=∠D C.BC=DA D.AB=DC6.(2020•蜀山区期末)如图,D是AB延长线上一点,DF交AC于点E,AE=CE,FC∥AB,若AB=3,CF=5,则BD的长是()A.0.5 B.1 C.1.5 D.27.(2020•曹县期末)如图,点O在AD上,∠A=∠C,∠AOC=∠BOD,AB=CD,AD=6cm,OC=4cm,则OB的长为()A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm8.(2020•宁波模拟)如图,BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C=62°,∠BDE=75°,则∠AFE 的度数等于()A.148°B.140°C.135°D.128°9.(2020•呼和浩特期末)图中的小正方形边长都相等,若△MNP≌△MFQ,则点Q可能是图中的()A.点D B.点C C.点B D.点A10.(2020•偃师市期末)如图,BP平分∠ABC,D为BP上一点,E,F分别在BA,BC上,且满足DE=DF,若∠BED=140°,则∠BFD的度数是()A.40°B.50°C.60°D.70°二.填空题(每题3分,共计15分)11.(2020春•香坊区期末)如图,∠B=∠C=90°,AB=AC,∠ADB=65°,则∠DAC的度数为.12.(2020•朝阳区模拟)如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则∠1+∠2=.13.(2020 •南岗区期中)如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若△ABC的面积为21cm2,AB=8cm,AC=6cm,则DE的长为cm.14.(2020•南江县期末)如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为30,40,15,点P是△ABC三个内角平分线的交点,则S△PAB:S△PBC:S△PCA=.15.(2020•永州期末)如图,在△ABC和△DBC中,∠A=40°,AB=AC=2,∠BDC=140°,BD=CD,以点D为顶点作∠MDN=70°,两边分别交AB,AC于点M,N,连接MN,则△AMN 的周长为4.三.解答题(共75分)16.(8分)(2020•铜仁市期末)如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AD=BE,∠1=∠2,求证:Rt△ADE≌Rt△BEC.17.(9分)(2020•临泉县期末)如图,△ABC≌△DBE,点D在边AC上,BC与DE交于点P,已知∠ABE=162°,∠DBC=30°,求∠CDE的度数.18.(9分)(2020•鼓楼区期末)如图,点C、F在线段BE上,∠ABC=∠DEF=90°,BC=EF,请只添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF.(1)根据“ASA”,需添加的条件是;根据“HL”,需添加的条件是;(2)请从(1)中选择一种,加以证明.19.(9分)(2020•三台县期末)王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合.(1)求证:△ADC≌△CEB;(2)求两堵木墙之间的距离.20.(10分)(2020•温州一模)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,点E在AC边上,连结AD,DE.已知∠1=∠2,AD=DE.(1)求证:△ABD≌△DCE.(2)若BD=2,CD=5,求AE的长.21.(10分)(2020•扬中市模拟)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AB=AC,点E是BD上一点,且∠ABD=∠ACD,∠EAD=∠BAC.(1)求证:AE=AD;(2)若∠ACB=65°,求∠BDC的度数.22.(10分)(2020 •南岗区期末)如图,△ABC的边AB与△EDC的边ED相交于点F,连接CF.已知AC=EC,BC=DC,∠BCD=∠ACE.(1)求证:AB=ED;(2)求证:FC平分∠BFE.23.(11分)(2020•内乡县期末)如图(1),AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB垂足分别为A、B,AC =5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时,点Q运动随之结束).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由;(2)如图(2),若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为xcm/s,其它条件不变,当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等,求出相应的x的值.参考答案一.选择题(每题3分,共计30分)1.(2020•石台县期末)已知图中的两个三角形全等,则∠1等于()A.70°B.50°C.60°D.120°【答案】C【解答】∵△ABC≌△DEF,∴∠E=∠B=70°,∴∠1=180°﹣50°﹣70°=60°,故选:C.2.(2020•无棣县期末)如图,△ABC≌△ADE,点D落在BC上,且∠EDC=70°,则∠BAD 的度数等于()A.50°B.55°C.65°D.70°【答案】D【解答】∵△ABC≌△ADE,∴AB=AD,∠B=∠ADE,∴∠BDA=∠ADE,∵∠EDC=70°,×(180°﹣70°)=55°.∴∠BDA=∠ADE=12∴∠BAD=180°﹣55°﹣55°=70°,故选:D.3.(2020 •历城区期中)如图,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使BC=CD,再作出BF的垂线DE,使点A、C、E在同一条直线上(如图),可以说明△ABC≌△EDC,得AB=DE,因此测得DE的长就是AB的长,判定△ABC≌△EDC,最恰当的理由是()A.SAS B.HL C.SSS D.ASA【答案】D【解答】因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是:CD=BC,∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB =∠ECD,所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法.故选:D.4.(2020•五常市期末)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DE=4,BC=9,则BD的长为()A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B【解答】∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴BD=BC﹣CD=9﹣4=5.故选:B.5.(2020 •南岗区期末)如图,已知∠l=∠4,添加以下条件,不能判定△ABC≌△CDA的是()A.∠2=∠3 B.∠B=∠D C.BC=DA D.AB=DC【答案】D【解答】A、∵在△ABC和△CDA中{∠1=∠4 AC=CA ∠3=∠2,∴△ABC≌△CDA(ASA),故本选项不符合题意;B、∵在△ABC和△CDA中{∠1=∠4∠B=∠D AC=CA,∴△ABC≌△CDA(AAS),故本选项不符合题意;C、∵在△ABC和△CDA中{BC=DA ∠1=∠4 AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SAS),故本选项不符合题意;D、根据AB=AC,AC=AC和∠1=∠4不能推出△ABC≌△CDA,故本选项符合题意;故选:D.6.(2020•蜀山区期末)如图,D是AB延长线上一点,DF交AC于点E,AE=CE,FC∥AB,若AB=3,CF=5,则BD的长是()A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 【答案】D【解答】证明:∵FC∥AB∴∠FCE=∠DAE,在△CFE和△ADE中{∠FCE=∠DAE CE=AE∠CEF=∠AED,∴△CFE≌△ADE(ASA),∴AD=CF=5,∵AB=3,∴BD=5﹣3=2,故选:D.7.(2020•曹县期末)如图,点O在AD上,∠A=∠C,∠AOC=∠BOD,AB=CD,AD=6cm,OC=4cm,则OB的长为()A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm【答案】A【解答】∵∠AOC=∠BOD,∴∠AOB=∠COD,∵∠A=∠C,CD=AB,∴△AOB≌△COD(AAS),∴OA=OC=4cm,OB=OD,∵AD=6cm,∴OD=AB﹣OA=2cm,∴OB=OD=2cm.故选:A.8.(2020•宁波模拟)如图,BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C=62°,∠BDE=75°,则∠AFE 的度数等于()A.148°B.140°C.135°D.128°【答案】A【解答】∵BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C,∴△ABC≌△EDB(SAS),∴∠A=∠E,∵∠DBE=62°,∠BDE=75°,∴∠E=180°﹣60°﹣75°=43°,∴∠A=43°,∵∠BDE+∠ADE=180°,∴∠ADE=105°,∴∠AFE=∠ADE+∠A=105°+43°=148°.故选:A.9.(2020•呼和浩特期末)图中的小正方形边长都相等,若△MNP≌△MFQ,则点Q可能是图中的()A.点D B.点C C.点B D.点A【答案】A【解答】观察图象可知△MNP≌△MFD.故选:A.10.(2020•偃师市期末)如图,BP平分∠ABC,D为BP上一点,E,F分别在BA,BC上,且满足DE=DF,若∠BED=140°,则∠BFD的度数是()A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】A【解答】作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,∵D是∠ABC平分线上一点,DG⊥AB,DH⊥BC,∴DH=DG,在Rt△DEG和Rt△DFH中,{DG=DHDE=DF,∴Rt△DEG≌Rt△DFH(HL),∴∠DEG=∠DFH,又∠DEG+∠BED=180°,∴∠BFD+∠BED=180°,∴∠BFD的度数=180°﹣140°=40°,故选:A.二.填空题(每题3分,共计15分)11.(2020春•香坊区期末)如图,∠B=∠C=90°,AB=AC,∠ADB=65°,则∠DAC的度数为.【答案】25【解答】∵∠B=∠C=90°,AB=AC,在Rt△ABD与Rt△ACD中{AB=ACAD=AD,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),∴∠ADC=∠ADB=65°,∴∠DAC=90°﹣65°=25°,故答案为:25.12.(2020•朝阳区模拟)如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则∠1+∠2=.【答案】45°【解答】如图所示:由题意可得:∠1=∠3,则∠1+∠2=∠2+∠3=45°.故答案为:45°.13.(2020 •南岗区期中)如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若△ABC的面积为21cm2,AB=8cm,AC=6cm,则DE的长为cm.【答案】3【解答】∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴12×AB×DE+12×DF×AC=21,即12×8×DE+12×DE×6=21,∴DE=3(cm).故答案为3.14.(2020•南江县期末)如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为30,40,15,点P是△ABC三个内角平分线的交点,则S△PAB:S△PBC:S△PCA=.【答案】6:8:3【解答】∵点P是△ABC三个内角平分线的交点,∴P点到三边的距离相等,设这个距离为m,∴S△PAB:S△PBC:S△PCA=12×AB×m−12×BC×m−12×AC×m=AB:BC:AC=30:40:15=6:8:3.故答案为6:8:3.15.(2020•永州期末)如图,在△ABC和△DBC中,∠A=40°,AB=AC=2,∠BDC=140°,BD=CD,以点D为顶点作∠MDN=70°,两边分别交AB,AC于点M,N,连接MN,则△AMN 的周长为4.【答案】4【解答】延长AC至E,使CE=BM,连接DE.∵BD=CD,且∠BDC=140°,∴∠DBC=∠DCB=20°,∵∠A=40°,AB=AC=2,∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°,同理可得∠NCD=90°,∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°,在△BDM和△CDE中,{BM=CE∠MBD=∠ECD BD=CD,∴△BDM≌△CDE(SAS),∴MD=ED,∠MDB=∠EDC,∴∠MDE=∠BDC=140°,∵∠MDN=70°,∴∠EDN=70°=∠MDN,在△MDN和△EDN中,{MD=ED∠MDN=∠EDN DN=DN,∴△MDN≌△EDN(SAS),∴MN=EN=CN+CE,∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4;故答案为:4.三.解答题(共75分)16.(8分)(2020•铜仁市期末)如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AD=BE,∠1=∠2,求证:Rt△ADE≌Rt△BEC.证明:∵∠1=∠2,∴DE=CE.∵∠A=∠B=90°,∴△ADE和△EBC是直角三角形,而AD=BE.∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)17.(9分)(2020•临泉县期末)如图,△ABC≌△DBE,点D在边AC上,BC与DE交于点P,已知∠ABE=162°,∠DBC=30°,求∠CDE的度数.解:∵∠ABE=162°,∠DBC=30°,∴∠ABD+∠CBE=132°,∵△ABC≌△DBE,∴∠ABC=∠DBE,∠C=∠E,∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°,∵∠CPD=∠BPE,∴∠CDE=∠CBE=66°.18.(9分)(2020•鼓楼区期末)如图,点C、F在线段BE上,∠ABC=∠DEF=90°,BC=EF,请只添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF.(1)根据“ASA”,需添加的条件是;根据“HL”,需添加的条件是;(2)请从(1)中选择一种,加以证明.解:(1)根据“ASA”,需添加的条件是∠ACB=∠DFE,根据“HL”,需添加的条件是AC=DF,故答案为:∠ACB=∠DFE,AC=DF;(2)选择添加条件AC=DE证明,证明:∵∠ABC=∠DEF=90°,∴在Rt△ABC和Rt△DEF中,{AC=DEBC=EF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).19.(9分)(2020•三台县期末)王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合.(1)求证:△ADC≌△CEB;(2)求两堵木墙之间的距离.(1)证明:由题意得:AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC在△ADC和△CEB中{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠BCE AC=BC,∴△ADC≌△CEB(AAS);(2)解:由题意得:AD=2×3=6cm,BE=7×2=14cm,∵△ADC≌△CEB,∴EC=AD=6cm,DC=BE=14cm,∴DE=DC+CE=20(cm),答:两堵木墙之间的距离为20cm.20.(10分)(2020•温州一模)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,点E在AC边上,连结AD,DE.已知∠1=∠2,AD=DE.(1)求证:△ABD≌△DCE.(2)若BD=2,CD=5,求AE的长.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∠1=∠2,AD=DE,∴△ABD≌△DCE(AAS);(2)解:∵△ABD≌△DCE,∴AB=DC=5,CE=BD=2,∵AC=AB,∴AC=5,∴AE=AB﹣EC=5﹣2=3.21.(10分)(2020•扬中市模拟)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AB=AC,点E是BD上一点,且∠ABD=∠ACD,∠EAD=∠BAC.(1)求证:AE=AD;(2)若∠ACB=65°,求∠BDC的度数.证明:(1)∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC即:∠BAE=∠CAD在△ABE和△ACD中{∠ABD=∠ACD AB=AC∠BAE=∠CAD,∴△ABE≌△ACD(ASA),∴AE=AD;(2)解:∵∠ACB=65°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=65°,∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°,∵∠ABD=∠ACD,∠AOB=∠COD,∴∠BDC=∠BAC=50°.22.(10分)(2020 •南岗区期末)如图,△ABC的边AB与△EDC的边ED相交于点F,连接CF.已知AC=EC,BC=DC,∠BCD=∠ACE.(1)求证:AB=ED;(2)求证:FC平分∠BFE.证明:(1)∵∠BCD=∠ACE,∴∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD,即∠BCA=∠DCE,在△ABC与△EDC中{BC=DC∠BCA=∠DCE AC=EC,∴△ABC≌△EDC(SAS),∴AB=ED;(2)过点C作CG⊥AB,CH⊥DE,垂足分别为G,H,∵△ABC≌△EDC,∴∠B=∠D,∵CG⊥AB,CH⊥DE,∴∠BGC=∠DHC=90°,在△BCG与△DCH中{∠B=∠D∠BGC=∠DHC BC=DC,∴△BCG≌△DCH(AAS),∴CG=CH,∴FC平分∠BFE.23.(11分)(2020•内乡县期末)如图(1),AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB垂足分别为A、B,AC =5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时,点Q运动随之结束).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由;(2)如图(2),若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为xcm/s,其它条件不变,当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等,求出相应的x的值.解:(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下:∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴∠A=∠B=90°,∵AP=BQ=2,∴BP=5,∴BP=AC,∴△ACP≌△BPQ(SAS);∴∠C=∠BPQ,∵∠C+∠APC=90°,∴∠APC+∠BPQ=90°,∴∠CPQ=90°,∴PC⊥PQ;(2)①若△ACP≌△BPQ,则AC =BP ,AP =BQ ,可得:5=7﹣2t ,2t =xt 解得:x =2,t =1;②若△ACP ≌△BQP ,则AC =BQ ,AP =BP ,可得:5=xt ,2t =7﹣2t 解得:x =207,t =74. 综上所述,当△ACP 与△BPQ 全等时x 的值为2或207.。

人教版八年级上册数学 全等三角形单元试卷(word版含答案)

人教版八年级上册数学 全等三角形单元试卷(word版含答案)

人教版八年级上册数学 全等三角形单元试卷(word 版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,将△AEF 沿直线EF 翻折,点A 落在点P 处,且点P 在直线BC 上.则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上,可知当点E 与点B 重合时,CP 有最小值,当点F 与点C 重合时CP 有最大值,根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图,当点E 与点B 重合时,CP 的值最小,此时BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,如图,当点F 与点C 重合时,CP 的值最大,此时CP=AC ,Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,根据勾股定理可得AC=5,所以CP 的最大值为5, 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5,故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题,能根据点E 、F 分别在线段AB 、AC 上,点P 在直线BC 上确定出点E 、F 位于什么位置时PC 有最大(小)值是解题的关键.2.如图,ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥,ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ,AG 平分DAC ∠.给出下列结论:①BAD C ∠=∠;②EBC C ∠=∠;③AE AF =;④//FG AC ;⑤EF FG =.其中正确的结论是______.【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果,故①正确;②如果∠EBC=∠C ,则∠C=12∠ABC ,由于∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,得到∠ABF=∠EBD .由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ,∠AEB=∠C+∠EBD ,得到∠AFE=∠AEB ,可得③正确;④连接EG ,先证明△ABN ≌△GBN ,得到AN=GN ,证出△ANE ≌△GNF ,得∠NAE=∠NGF ,进而得到GF ∥AE ,故④正确;⑤由AE=AF ,AE=FG ,而△AEF 不一定是等边三角形,得到EF 不一定等于AE ,于是EF 不一定等于FG ,故⑤错误.【详解】∵∠BAC=90°,AD ⊥BC ,∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°,∴∠ABC=∠DAC ,∠BAD=∠C ,故①正确;若∠EBC=∠C ,则∠C=12∠ABC , ∵∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,∴∠ABF=∠EBD ,∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ,∠AEB=∠C+∠EBD ,又∵∠BAD=∠C ,∴∠AFE=∠AEF ,∴AF=AE,故③正确;∵AG是∠DAC的平分线,AF=AE,∴AN⊥BE,FN=EN,在△ABN与△GBN中,∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩,∴△ABN≌△GBN(ASA),∴AN=GN,又∵FN=EN,∠ANE=∠GNF,∴△ANE≌△GNF(SAS),∴∠NAE=∠NGF,∴GF∥AE,即GF∥AC,故④正确;∵AE=AF,AE=FG,而△AEF不一定是等边三角形,∴EF不一定等于AE,∴EF不一定等于FG,故⑤错误.故答案为:①③④.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理,全等三角形的判定和性质定理,直角三角形的性质定理,掌握掌握上述定理,是解题的关键.3.在锐角三角形ABC中.BC=32,∠ABC=45°,BD平分∠ABC.若M,N分别是边BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是____.【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M′,过点M′作M′N′⊥BC于N′,则CE即为CM+MN 的最小值,再根据32ABC=45°,BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形,由锐角三角函数的定义即可求出CE的长.【详解】解:过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M′,过点M′作M′N′⊥BC于N′,则CE即为CM+MN的最小值,∵BC=32,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,∴△BCE是等腰直角三角形,∴CE=BC•cos45°=32×22=4.∴CM+MN的最小值为4.【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题,难度较大,根据题意作出辅助线,构造出等腰直角三角形,利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键.4.如图,点P是AOB∠内任意一点,OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,PN PM MN++的最小值是5 cm,则AOB∠的度数是__________.【答案】30°【解析】试题解析:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:∵点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA;∵点P关于OB的对称点为C,∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,∴OC=OP=OD,∠AOB=12∠COD,∵PN+PM+MN的最小值是5cm,∴PM+PN+MN=5,∴DM+CN+MN=5,即CD=5=OP,∴OC=OD=CD,即△OCD是等边三角形,∴∠COD=60°,∴∠AOB=30°.5.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5,M,N分别是射线OA和OB上的动点,若△PMN周长的最小值为5,则∠AOB的度数为_____.【答案】30°.【解析】【分析】如图:分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P'',分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N,则可证明此时△PMN周长的最小,由轴对称性,可证明△P'O P''为等边三角形,∠AOB=12∠P'O P''=30°.【详解】解:如图:分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P'',分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N,由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知,此时△PMN周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB ,∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°. 故答案为30°.【点睛】 本题是动点问题的几何探究题,考查最短路径问题,应用了轴对称图形性质和等边三角形性质. 6.如图,BD 是ABC 的角平分线,AE BD ⊥,垂足为F ,且交线段BC 于点E ,连结DE ,若50C ∠=︒,设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,,则y 关于x 的函数表达式为_____________.【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意,由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线,进而得到AD =ED ,求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式.【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线,AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒,90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠,50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒ ∴80y x =-,故答案为:80y x =-.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定,三角形的内角和定理,三角形外角定理,角的和差倍分等相关知识,熟练运用角的计算是解决本题的关键.7.如图,在3×3的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中的△ABC 为格点三角形,在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC 成轴对称.【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴,然后作出轴对称三角形即可得解.【详解】如图,最多能画出6个格点三角形与△ABC 成轴对称.故答案为:6.【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键,本题难点在于确定出不同的对称轴.8.如图,正五边形ABCDE 中,对角线AC 与BE 相交于点F ,则AFE ∠=_______度.【答案】72.【解析】【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB ∠,根据等腰三角形的性质,三角形外角的性质计算即可.【详解】解:∵五边形ABCDE 是正五边形,(52)1801085EAB ABC ︒︒-⨯∴∠=∠==,BA BC =,36BAC BCA ︒∴∠=∠=,同理36ABE ∠︒=,363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠︒+︒︒===.故答案为:72【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角,掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键.9.如图, 在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6,BC =8,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处;再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ,则线段B′F 的长为_________【答案】85【解析】【分析】 首先根据折叠可得CD=AC=6,B′C=BC=8,∠ACE=∠DCE ,∠BCF=∠B′CF ,CE ⊥AB ,然后求得△ECF 是等腰直角三角形,进而求得∠B′FD=90°,CE=EF=4.8,由勾股定理求出AE ,得出BF 的长,即 B′F 的长.【详解】解:根据折叠的性质可知:DE=AE ,∠ACE=∠DCE ,∠BCF=∠B′CF ,CE ⊥AB ,B′F=BF ,∴B′D=8-6=2,∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF ,∵∠ACB=90°,∴∠ECF=45°,∴△ECF 是等腰直角三角形,∴EF=CE ,∠EFC=45°,∴∠BFC=∠B′FC=135°,∴∠B′FE=90°,∵S △ABC =12AC•BC=12AB•CE , ∴AC•BC=AB•CE , ∵根据勾股定理得:22226810ABAC BC ∴ 4.8AC BC CE AB⋅== ∴EF=4.8,22 3.6AE AC EC -=∴B′F=BF=AB -AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=85,故答案是:85.【点睛】此题主要考查了翻折变换,等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识;熟练掌握翻折变换的性质,由直角三角形的性质和勾股定理求出CE 、AE 是解决问题的关键.10.如图,在△ABC 中,AB =AC =10,BC =12,AD =8,AD 是∠BAC 的平分线.若P ,Q 分别是AD 和AC 上的动点,则PC +PQ 的最小值是_____.【答案】9.6.【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ,过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ,BQ 交AD 于点P ,则此时PC +PQ 取最小值,最小值为BQ 的长.在△ABC 中,利用面积法可求出BQ 的长度,此题得解.【详解】∵AB =AC ,AD 是∠BAC 的平分线,∴AD 垂直平分BC ,∴BP =CP .过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ,BQ 交AD 于点P ,则此时PC +PQ 取最小值,最小值为BQ 的长,如图所示.∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ,∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6. 故答案为:9.6.【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积,利用点到直线垂直线段最短找出PC +PQ 的最小值为BQ 是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.已知40MON ∠=︒,P 为MON ∠内一定点,OM 上有一点A ,ON 上有一点B ,当PAB ∆的周长取最小值时,APB ∠的度数是( )A .40︒B .50︒C .100︒D .140︒【答案】C【解析】【分析】 设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P '、P '',当点A 、B 在P P '''上时,PAB ∆周长为PA AB BP P P ++=''',此时周长最小.根据轴对称的性质,可求出APB ∠的度数.【详解】分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P '',连接OP '、OP ''、P P ''',P P '''交OM 、ON 于点A 、B ,连接PA 、PB ,此时PAB ∆周长的最小值等于P P '''.由轴对称性质可得,OP OP OP '=''=,P OA POA ∠'=∠,P OB POB ∠''=∠,224080P OP MON ∴∠'''=∠=⨯︒=︒,(18080)250OP P OP P ∴∠'''=∠'''=︒-︒÷=︒,又50BPO OP B ∠=∠''=︒,50APO AP O ∠=∠'=︒,100APB APO BPO ∴∠=∠+∠=︒.故选:C .【点睛】此题考查轴对称作图,最短路径问题,将三角形周长最小转化为最短路径问题,根据轴对称作图是解题的关键.12.如图,已知点B 、C 、D 在同一条直线上,△ABC 和△CDE 都是等边三角形.BE 交AC 于F ,AD 交CE 于G .则下列结论中错误的是( )A .AD =BEB .BE ⊥AC C .△CFG 为等边三角形D .FG ∥BC 【答案】B【解析】试题解析: A.ABC 和CDE △均为等边三角形,60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒,,,在ACD 与BCE 中,{AC BCACD BCE CD CF =∠=∠=,ACD BCE ∴≌,AD BE ∴=,正确.B .据已知不能推出F 是AC 中点,即AC 和BF 不垂直,所以AC BE ⊥错误,故本选项符合题意. C.CFG 是等边三角形,理由如下:180606060ACG BCA ∠=︒-︒-︒=︒=∠,ACD BCE ≌,CBE CAD ∴∠=∠,在ACG 和BCF 中,{CAG CBFAC BCBCF ACG ∠=∠=∠=∠,ACG BCF ∴≌,CG CH ∴=,又∵∠ACG=60° CFG ∴是等边三角形,正确. D.CFG 是等边三角形,60CFG ACB ∴∠︒=∠﹦,.FG BC ∴ 正确.故选B.13.如图,C 是线段 AB 上一点,且△ACD 和△BCE 都是等边三角形,连接 AE 、BD 相交于点O,AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N,连接 MN、OC,则下列所给的结论中:①AE=BD;②CM=CN;③MN∥AB;④∠AOB=120º;⑤OC 平分∠AOB.其中结论正确的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由题意易证:△ACE≅△DCB,进而可得AE=BD;由△ACE≅△DCB,可得∠CAE=∠CDB,从而△ACM ≅△DCN,可得:CM=CN;易证△MCN是等边三角形,可得∠MNC=∠BCE,即MN∥AB;由∠CAE=∠CDB,∠AMC=∠DMO,得∠ACM=∠DOM=60°,即∠AOB=120º;作CG⊥AE,CH⊥BD,易证CG=CH,即:OC 平分∠AOB.【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形,∴AC=DC,CE=CB,∠ACE=∠DCB=120°,∴△ACE≅△DCB(SAS)∴AE=BD,∴①正确;∵△ACE≅△DCB,∴∠CAE=∠CDB,∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形,∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°,AC=DC,在△ACM 和△DCN中,∵60CAE CDBAC DCACD DCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACM ≅△DCN(ASA),∴CM=CN,∴②正确;∵CM=CN,∠DCE=60°,∴△MCN是等边三角形,∴∠MNC=60°,∴∠MNC=∠BCE,∴MN∥AB,∵△ACE≅△DCB,∴∠CAE=∠CDB,∵∠AMC=∠DMO,∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO,即:∠ACM=∠DOM=60°,∴∠AOB=120º,∴④正确;作CG⊥AE,CH⊥BD,垂足分别为点G,点H,如图,在△ACG和△DCH中,∵90?AMC DHCCAE CDBAC DC∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACG≅△DCH(AAS),∴CG=CH,∴OC 平分∠AOB,∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理,等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理,添加合适的辅助线,是解题的关键.14.如图,ABC∆中,AB的垂直平分线DG交ACB∠的平分线CD于点D,过D作DE AC⊥于点E,若10AC=,4CB=,则AE=()A.7B.6C.3D.2【解析】【分析】连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F,利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD,DE=DF,依据HL定理可判断出Rt△AED≌Rt△BFD,根据全等三角形的性质即可得出BF=AE,再运用AAS定理可证得Rt△CED≌Rt△CFD,证出CE=CF,设AE的长度为x,根据CE=CF列方程求解即可.【详解】如图,连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F.∵AB的垂直平分线DG交ACB的平分线CD于点D,DE⊥AC,DF⊥BC,∴BD=AD,DE=DF.∴Rt△AED≌Rt△BFD.∴BF=AE.又∵∠ECD=∠FCD,∠CED=∠CFD,CA=CA,∴Rt△CED≌Rt△CFD,∴CE=CF,设AE的长度为x,则CE=10-x,CF=CB+BF= CB+AE= 4+x,∴可列方程10-x=4+x,x=3,∴AE=3;故选C.【点睛】本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质,直角三角形全等的判定定理及性质,解答此题的关键是作出辅助线,构造出直角三角形解答.15.如图,在锐角△ABC中,AC=10,S△ABC=25,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是()A.4 B.245C.5 D.6【答案】C 【解析】试题解析:如图,∵AD 是∠BAC 的平分线,∴点B 关于AD 的对称点B′在AC 上,过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ,由轴对称确定最短路线问题,点M 即为使BM+MN 最小的点,B′N=BM+MN ,过点B 作BE ⊥AC 于E ,∵AC=10,S △ABC =25,∴12×10•BE=25, 解得BE=5, ∵AD 是∠BAC 的平分线,B′与B 关于AD 对称,∴AB=AB′,∴△ABB′是等腰三角形,∴B′N=BE=5,即BM+MN 的最小值是5.故选C .16.如图,Rt ACB ∆中,90ACB ∠=︒,ABC ∠的平分线BE 和BAC ∠的外角平分线AD 相交于点P ,分别交AC 和BC 的延长线于E ,D .过P 作PF AD ⊥交AC 的延长线于点H ,交BC 的延长线于点F ,连接AF 交DH 于点G .下列结论:①45APB ∠=︒;②PB 垂直平分AF ;③BD AH AB -=;④2DG PA GH =+;其中正确的结论有( )A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】A【解析】【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP ,再根据角平分线的定义∠ABP =12∠ABC ,然后利用三角形的内角和定理整理即可得解;②先求出∠APB =∠FPB ,再利用“角边角”证明△ABP 和△FBP 全等,根据全等三角形对应边相等得到AB =BF ,AP =PF ;③根据直角的关系求出∠AHP =∠FDP ,然后利用“角角边”证明△AHP 与△FDP 全等,根据全等三角形对应边相等可得DF =AH ;④求出∠ADG =∠DAG =45°,再根据等角对等边可得DG =AG ,再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH =GF ,然后根据即可得到DG GH =+. 【详解】解:①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线,∴∠ABP =12∠ABC , ∠CAP =12(90°+∠ABC )=45°+12∠ABC , 在△ABP 中,∠APB =180°−∠BAP−∠ABP ,=180°−(45°+12∠ABC +90°−∠ABC )−12∠ABC , =180°−45°−12∠ABC−90°+∠ABC−12∠ABC , =45°,故本小题正确;②∵PF ⊥AD ,∠APB =45°(已证),∴∠APB =∠FPB =45°,∵∵PB 为∠ABC 的角平分线,∴∠ABP =∠FBP ,在△ABP 和△FBP 中,APB FPB PB PBABP FBP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩===, ∴△ABP ≌△FBP (ASA ),∴AB =BF ,AP =PF ;∴PB 垂直平分AF ,故②正确;③∵∠ACB =90°,PF ⊥AD ,∴∠FDP +∠HAP =90°,∠AHP +∠HAP =90°,∴∠AHP =∠FDP ,∵PF ⊥AD ,∴∠APH =∠FPD =90°,在△AHP 与△FDP 中,90AHP FDP APH FPD AP PF ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩====,∴△AHP ≌△FDP (AAS ),∴DF =AH ,∵BD =DF +BF ,∴BD =AH +AB ,∴BD−AH =AB ,故③小题正确;④∵AP =PF ,PF ⊥AD ,∴∠PAF =45°,∴∠ADG =∠DAG =45°,∴DG =AG ,∵∠PAF =45°,AG ⊥DH ,∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形,∴DG =AG ,GH =GF ,∴DG =GH +AF ,∴FG=GH,AF=2PA故2DG PA GH =+.综上所述①②③④正确.故选:A .【点睛】本题考查了直角三角形的性质,全等三角形的判定,以及等腰直角三角形的判定与性质,等角对等边,等边对等角的性质,综合性较强,难度较大,做题时要分清角的关系与边的关系.17.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,在直线AC 上取一点P ,使得△PAB 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有( )A .6个B .5个C .4个D .3个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.【详解】解:根据题意,∵△PAB为等腰三角形,∴可分为:PA=PB,PA=AB,PB=AB三种情况,如图所示:∴符合条件的点P共有4个;故选择:C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题,其关键是根据等腰三角形的判定定理解答.18.如图,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且速度都为1cm/s,连接AQ、CP交于点M,下面四个结论:①BP=CM;②△ABQ≌△CAP;③∠CMQ的度数不变,始终等于60°;④当第43秒或第83秒时,△PBQ为直角三角形,正确的有几个 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】①等边三角形ABC中,AB=BC,而AP=BQ,所以BP=CQ.②根据等边三角形的性质,利用SAS证明△ABQ≌△CAP;③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP,从而得到∠CMQ=60°;④设时间为t秒,则AP=BQ=tcm,PB=(4-t)cm,当∠PQB=90°时,因为∠B=60°,所以PB=2BQ,即4-t=2t故可得出t的值,当∠BPQ=90°时,同理可得BQ=2BP,即t=2(4-t),由此两种情况即可得出结论.【详解】①在等边△ABC中,AB=BC.∵点P、Q的速度都为1cm/s,∴AP=BQ,∴BP=CQ.只有当CM=CQ时,BP=CM.故①错误;②∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA,又∵点P、Q运动速度相同,∴AP=BQ,在△ABQ与△CAP中,∵AB CAABQ CAP AP BQ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△ABQ≌△CAP(SAS).故②正确;③点P、Q在运动的过程中,∠QMC不变.理由:∵△ABQ≌△CAP,∴∠BAQ=∠ACP,∵∠QMC=∠ACP+∠MAC,∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.故③正确;④设时间为t秒,则AP=BQ=tcm,PB=(4-t)cm,当∠PQB=90°时,∵∠B=60°,∴PB=2BQ,即4-t=2t,t=43,当∠BPQ=90°时,∵∠B=60°,∴BQ=2BP,得t=2(4-t),t=83,∴当第43秒或第83秒时,△PBQ为直角三角形.故④正确.正确的是②③④,故选C.【点睛】此题是一个综合性题目,主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识.熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键.19.如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为()A.(-2012,2)B.(-2012,-2)C.(-2013,-2)D.(-2013,2)【答案】A【解析】试题分析:首先由正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1),然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标,即可得规律:第n次变换后的点M的对应点的为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2),继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标.试题解析:∵正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).∴对角线交点M的坐标为(2,2),根据题意得:第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为:(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第n次变换后的点M的对应点的为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2),∴连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(-2012,2).故选A.考点:1.翻折变换(折叠问题);2.正方形的性质;3.坐标与图形变化-平移.20.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AC于D,则△BCD的周长为()A.13B.15C.18D.21【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质,可由AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AC于D,得到AD=BD,进而得出△BCD的周长为:CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13.故选A.点睛:此题主要考查了线段垂直平分线的性质,关键是掌握垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.。

人教版八年级上册数学第12章 全等三角形 单元测试卷(Word版,含答案)

人教版八年级上册数学第12章 全等三角形  单元测试卷(Word版,含答案)

人教版八年级上册数学第12章全等三角形单元测试卷一、选择题(本大题共10小题,共30分。

在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.如图所示,△ABC中,AB=AC,BE=EC,直接利用“SSS”可判定( )A. △ABD≌△ACDB. △ABE≌△EDCC. △ABE≌△ACED. △BED≌△CED2.根据下列条件,不能画出唯一的△ABC 的是( )A. AB=5,BC=6,AC=7B. AB=5,BC=6,∠B=45∘C. AB=5,AC=4,∠C=90∘D. AB=3,AC=4,∠C=45∘3.如图,已知正方形ABCD,AB=4,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点,两条直角边分别与BC交于点F,与CD的延长线交于点E,则四边形AECF 图的面积是( )A. 13B. 14C. 15D. 164.如图,在△ABC中,点E是AC的中点,点D是边AB上一点,FC//AB,交DE的延长线于点F.若BD=2,CF=5,则AB 的长是( )A. 3B. 5C. 7D. 95.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,BE与AD交于点F,AD=BD=5,则AF+CD 的长度为( )第1页共14页A. 10B. 6C. 5D. 4.56.如图,OA=OC,OB=OD且OA⊥OB,OC⊥OD,则下列结论: ①△AOD≌△COB; ②CD=AB; ③∠CDA=∠ABC.其中正确的是( )A. ① ②B. ① ② ③C. ① ③D. ② ③7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90∘,DE⊥BC,AC=6,EC=6,∠ACB=60∘,则∠ACD 的度数为( )A. 45∘B. 30∘C. 20∘D. 15∘8.如图,已知AE//DF,BE//CF,AC=BD ,则下列说法错误的是( )A. △AEB≌△DFCB. △EBD≌△FCAC. ED=AFD. EA=EC9.一块打碎的三角形玻璃如图所示,现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,最省事的方法是( )A. 带 ① ②去B. 带 ② ③去C. 带 ③ ④去D. 带 ② ④去10.如图,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,∠CAP=∠APQ,PR=PS,下面的结论:①AS=AR;②QP//AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题(本大题共8小题,共24分)第2页共14页11.如图,△ABC中,∠C=90∘,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=6cm,则△DEB的周长为.12.如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90∘而得,则点C的坐标为.13.如图,△ABC的三边AB,AC,BC的长分别为4,6,8,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△OAB:S△OAC:S△OBC=.14.如图,已知△ABC的周长是20,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是.15.如图,C,D和E,B分别是∠MAN的边AM和AN上的点,且AC=AB,AD=AE,CE和BD相交于点F,给出下列结论: ①△ABD≌△ACE; ②△BFE≌△CFD; ③点F在∠MAN的平分线上.其中正确的是.16.如图,DA⊥AB,EA⊥AC,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于点O,则∠DOE的度数是.17.如图,将一张长方形纸片一对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如图 ③的形式,使点B、F、C、D在同一条直线上.若AC=8,EF=6,CF=4,则BD的长为.第3页共14页。

人教版八年级数学上册 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

人教版八年级数学上册 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.在ABC ∆中,90,BAC AB AC ∠=︒=,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点,B C 重合),以AD 为腰作等腰直角DAF ∆,使90DAF ∠=︒,连接CF .(1)观察猜想如图1,当点D 在线段BC 上时,①BC 与CF 的位置关系为__________;②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________(提示:可证DAB FAC ∆≅∆)(2)数学思考如图2,当点D 在线段CB 的延长线上时,(1)中的①、②结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明;(3)拓展延伸如图3,当点D 在线段BC 的延长线时,将DAF ∆沿线段DF 翻折,使点A 与点E 重合,连接CE CF 、,若4,22CD BC AC ==CE 的长.(提示:做AH BC ⊥于H ,做EM BD ⊥于M )【答案】(1)①BC ⊥CF ;②BC =CF +DC ;(2)C ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC ,证明详见解析;(3)32【解析】【分析】(1)①根据正方形的性质得,∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC (SAS );②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质可得到=CF BD ,ACF ABD ∠=∠ ,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据正方形的性质得到∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论;(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,证明ADH DEM △≌△ ,推出3EM DH == ,2DM AH == ,推出3CM EM == ,即可解决问题.【详解】(1)①正方形ADEF 中,AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ,即BC CF ⊥ ;②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+(2)BC ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC证明:∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB =AC ,AD =AF ,∠BAC =∠DAF =90°,∴∠BAD =∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC (SAS )∴∠ABD =∠ACF ,DB =CF∵∠BAC =90°,AB =AC ,∴∠ACB =∠ABC =45°∴∠ABD =180°-45°=135°∴∠ACF =∠ABD =135°∴∠BCF =∠ACF -∠ACB =135°-45°=90°,∴CF ⊥BC∵CD =DB +BC ,DB =CF∴DC =CF +BC(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,∵90BAC ∠=︒,AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======, ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒,∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥,,∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==,∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====,∴3CM EM ==∴2232CE EM CM =-=【点睛】本题考查了三角形的综合问题,掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键.2.在四边形 ABCD 中,E 为 BC 边中点.(Ⅰ)已知:如图,若 AE 平分∠BAD ,∠AED =90°,点 F 为 AD 上一点,AF =AB .求证:(1)△ABE ≌AFE ;(2)AD =AB +CD(Ⅱ)已知:如图,若 AE 平分∠BAD ,DE 平分∠ADC ,∠AED =120°,点 F ,G 均为 AD 上的点,AF =AB ,GD =CD .求证:(1)△GEF 为等边三角形;(2)AD =AB + 12BC +CD .【答案】(Ⅰ)(1)证明见解析;(2)证明见解析;(Ⅱ)(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)(1)运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可;(2)由(1)得出∠AEB=∠AEF ,BE=EF ,再证明△DEF ≌△DEC (SAS ),得出DF=DC ,即可得出结论;(Ⅱ)(1)同(Ⅰ)(1)得△ABE ≌△AFE (SAS ),△DGE ≌△DCE (SAS ),由全等三角形的性质得出BE=FE ,∠AEB=∠AEF ,CE=GE ,∠CED=∠GED ,进而证明△EFG 是等边三角形;(2)由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ,即可得出结论. 【详解】(Ⅰ)(1)∵AE 平分∠BAD ,∴∠BAE=∠FAE ,在△ABE 和△AFE 中, AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△ABE ≌△AFE (SAS ),(2)∵△ABE ≌△AFE ,∴∠AEB=∠AEF ,BE=EF ,∵E 为BC 的中点,∴BE=CE ,∴FE=CE ,∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°,∴∠DEF=∠DEC ,在△DEF 和△DEC 中,FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△DEF ≌△DEC (SAS ),∴DF=DC ,∵AD=AF+DF ,∴AD=AB+CD ;(Ⅱ)(1)∵E 为BC 的中点,∴BE=CE=12BC , 同(Ⅰ)(1)得:△ABE ≌△AFE (SAS ),△DEG ≌△DEC (SAS ),∴BE=FE ,∠AEB=∠AEF ,CE=GE ,∠CED=∠GED ,∵BE=CE ,∴FE=GE ,∵∠AED=120°,∠AEB+∠CED=180°-120°=60°,∴∠AEF+∠GED=60°,∴∠GEF=60°,∴△EFG 是等边三角形,(2)∵△EFG 是等边三角形,∴GF=EF=BE=12BC , ∵AD=AF+FG+GD , ∴AD=AB+CD+12BC . 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识;熟练掌握等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.3.如图1,在正方形ABCD 中,P 是对角线BD 上的一点,点E 在AD 的延长线上,且PA=PE ,PE 交CD 于F(1)证明:PC=PE ;(2)求∠CPE 的度数;(3)如图2,把正方形ABCD 改为菱形ABCD ,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE ,试探究线段AP 与线段CE 的数量关系,并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)90°(3)AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC ,∠ABP=∠CBP=45°,结合PB=PB 得出△ABP ≌△CBP ,从而得出结论;(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP ,∠DAP=∠DCP ,根据PA=PE 得出∠DAP=∠E ,即∠DCP=∠E ,易得答案;(3)、首先证明△ABP 和△CBP 全等,然后得出PA=PC ,∠BAP=∠BCP ,然后得出∠DCP=∠E ,从而得出∠CPF=∠EDF=60°,然后得出△EPC 是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD 中,AB=BC ,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP 和△CBP 中,又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP (SAS ), ∴PA=PC ,∵PA=PE ,∴PC=PE ;(2)、由(1)知,△ABP ≌△CBP ,∴∠BAP=∠BCP ,∴∠DAP=∠DCP ,∵PA=PE , ∴∠DAP=∠E , ∴∠DCP=∠E , ∵∠CFP=∠EFD (对顶角相等),∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E , 即∠CPF=∠EDF=90°;(3)、AP =CE理由是:在菱形ABCD 中,AB=BC ,∠ABP=∠CBP ,在△ABP 和△CBP 中, 又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP (SAS ),∴PA=PC ,∠BAP=∠DCP ,∵PA=PE ,∴PC=PE ,∴∠DAP=∠DCP , ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E , ∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD (对顶角相等), ∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ,即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°, ∴△EPC 是等边三角形,∴PC=CE ,∴AP=CE考点:三角形全等的证明4.如图,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一动点,连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .(1)若AB AC =,90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系; ②当点D 在线段C 的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中面出相应的图形并说明理由;(2)如图3,若AB AC ≠,90BAC ∠≠︒,45BCA ∠=︒,点D 在线段BC 上运动,试探究CF 与BD 的位置关系.【答案】(1)①CF ⊥BD ,证明见解析;②成立,理由见解析;(2)CF ⊥BD ,证明见解析.【解析】【分析】(1)①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ,然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等,②先求出∠CAF=∠BAD ,然后与①的思路相同求解即可;(2)过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ,可得△ACE 是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ,∠AED=45°,再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ,然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ,然后求出∠BCF=90°,从而得到CF ⊥BD .【详解】解:(1)①∵∠BAC=90°,△ADF 是等腰直角三角形,∴∠CAF+∠CAD=90°,∠BAD+∠ACD=90°,∴∠CAF=∠BAD ,在△ACF 和△ABD 中,∵AB=AC ,∠CAF=∠BAD ,AD=AF ,∴△ACF ≌△ABD(SAS),∴CF=BD ,∠ACF=∠ABD=45°,∵∠ACB=45°,∴∠FCB=90°,∴CF ⊥BD ;②成立,理由如下:如图2:∵∠CAB=∠DAF=90°,∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠CAF=∠BAD,在△ACF和△ABD中,∵AB=AC,∠CAF=∠BAD,AD=AF,∴△ACF≌△ABD(SAS),∴CF=BD,∠ACF=∠B,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,∴CF⊥BD;(2)如图3,过点A作AE⊥AC交BC于E,∵∠BCA=45°,∴△ACE是等腰直角三角形,∴AC=AE,∠AED=45°,∵∠CAF+∠CAD=90°,∠EAD+∠CAD=90°,∴∠CAF=∠EAD,在△ACF和△AED中,∵AC=AE,∠CAF=∠EAD,AD=AF,∴△ACF≌△AED(SAS),∴∠ACF=∠AED=45°,∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°,∴CF⊥BD.【点睛】本题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.5.已知:平面直角坐标系中,点A(a,b)的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16=0.(1)如图1,求证:OA是第一象限的角平分线;(2)如图2,过A作OA的垂线,交x轴正半轴于点B,点M、N分别从O、A两点同时出发,在线段OA上以相同的速度相向运动(不包括点O和点A),过A作AE⊥BM交x轴于点E,连BM、NE,猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系,并证明你的猜想;(3)如图3,F是y轴正半轴上一个动点,连接FA,过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E,连接EF,过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H,过点H作HK⊥x轴于点K,求2HK+EF的值.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3)8【解析】【分析】(1)过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为M、N,则AN=AM,根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论;(2)如图2,过A作AH平分∠OAB,交BM于点H,则△AOE≌△BAH,可得AH=OE,由已知条件可知ON=AM,∠MOE=∠MAH,可得△ONE≌△AMH,∠ABH=∠OAE,设BM 与NE交于K,则∠MKN=180°﹣2∠ONE=90°﹣∠NEA,即2∠ONE﹣∠NEA=90°;(3)如图3,过H作HM⊥OF,HN⊥EF于M、N,可证△FMH≌△FNH,则FM=FN,同理:NE=EK,先得出OE+OF﹣EF=2HK,再由△APF≌△AQE得PF=EQ,即可得OE+OF=2OP=8,等量代换即可得2HK+EF的值.【详解】解:(1)∵|a﹣b|+b2﹣8b+16=0∴|a﹣b|+(b﹣4)2=0∵|a﹣b|≥0,(b﹣4)2≥0∴|a﹣b|=0,(b﹣4)2=0∴a=b=4过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为M、N,则AN=AM∴OA平分∠MON即OA是第一象限的角平分线(2)过A作AH平分∠OAB,交BM于点H∴∠OAH =∠HAB =45°∵BM ⊥AE∴∠ABH =∠OAE 在△AOE 与△BAH 中OAE ABH OA ABAOE BAH ==∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩, ∴△AOE ≌△BAH (ASA )∴AH =OE在△ONE 和△AMH 中OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩=, ∴△ONE ≌△AMH (SAS )∴∠AMH =∠ONE设BM 与NE 交于K∴∠MKN =180°﹣2∠ONE =90°﹣∠NEA∴2∠ONE ﹣∠NEA =90°(3)过H 作HM ⊥OF ,HN ⊥EF 于M 、N可证:△FMH ≌△FNH (SAS )∴FM =FN同理:NE =EK∴OE+OF ﹣EF =2HK过A 作AP ⊥y 轴于P ,AQ ⊥x 轴于Q可证:△APF ≌△AQE (SAS )∴PF =EQ∴OE+OF =2OP =8∴2HK+EF =OE+OF =8【点睛】本题考查非负数的性质,平面直角坐标系中点的坐标,等腰直角三角形,全等三角形的判定和性质.6.如图1,在等边△ABC 中,E 、D 两点分别在边AB 、BC 上,BE =CD ,AD 、CE 相交于点F .(1)求∠AFE 的度数;(2)过点A 作AH ⊥CE 于H ,求证:2FH +FD =CE ;(3)如图2,延长CE 至点P ,连接BP ,∠BPC =30°,且CF =29CP ,求PF AF的值. (提示:可以过点A 作∠KAF =60°,AK 交PC 于点K ,连接KB ) 【答案】(1)∠AFE =60°;(2)见解析;(3)75【解析】【分析】(1)通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等,等量代换推导出60AFE ∠=︒;(2)由(1)得到60AFE ∠=︒,CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半,等量代换可得;(3)通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ,作辅助线证明ABK 和ACF 全等,利用对应边相等,等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】(1)解:如图1中.∵ABC 为等边三角形,∴AC =BC ,∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°,在BCE 和CAD 中,60BE CDCBE ACDBC CA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴BCE CAD≌(SAS),∴∠BCE=∠DAC,∵∠BCE+∠ACE=60°,∴∠DAC+∠ACE=60°,∴∠AFE=60°.(2)证明:如图1中,∵AH⊥EC,∴∠AHF=90°,在Rt△AFH中,∵∠AFH=60°,∴∠FAH=30°,∴AF=2FH,∵EBC DCA≌,∴EC=AD,∵AD=AF+DF=2FH+DF,∴2FH+DF=EC.(3)解:在PF上取一点K使得KF=AF,连接AK、BK,∵∠AFK=60°,AF=KF,∴△AFK为等边三角形,∴∠KAF=60°,∴∠KAB=∠FAC,在ABK和ACF中,AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ABK ACF≌(SAS),BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°,∴∠BKE=120°﹣60°=60°,∵∠BPC=30°,∴∠PBK=30°,∴29 BK CF PKCP===,∴79PF CP CF CP=-=,∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP==-+=-=∴779559CPPFAF CP== .【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质,及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.7.如图,Rt△ABC≌Rt△CED(∠ACB=∠CDE=90°),点D在BC上,AB与CE相交于点F(1) 如图1,直接写出AB与CE的位置关系(2) 如图2,连接AD交CE于点G,在BC的延长线上截取CH=DB,射线HG交AB于K,求证:HK=BK【答案】(1)AB⊥CE;(2)见解析.【解析】【分析】(1)由全等可得∠ECD=∠A,再由∠B+∠A=90°,可得∠B+ECD=90°,则AB⊥CE.(2)延长HK于DE交于H,易得△ACD为等腰直角三角形,∠ADC=45°,易得DH=DE,然后证明△DGH≌△DGE,所以∠H=∠E,则∠H=∠B,可得HK=BK.【详解】解:(1)∵Rt△ABC≌Rt△CED,∴∠ECD=∠A,∠B=∠E,BC=DE,AC=CD∵∠B+∠A=90°∴∠B+ECD=90°∴∠BFC=90°,∴AB⊥CE(2)在Rt△ACD中,AC=CD,∴∠ADC=45°,又∵∠CDE=90°,∴∠HDG=∠CDG=45°∵CH=DB,∴CH+CD=DB+CD,即HD=BC,∴DH=DE,在△DGH和△DGE中,DH=DEHDG=EDG=45DG=DG⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DGH≌△DGE(SAS)∴∠H=∠E又∵∠B=∠E∴∠H=∠B,∴HK=BK【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,利用全等找出角相等,再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.8.综合实践如图①,90,,,ACB AC BC AD CE BE CE∠=︒=⊥⊥,垂足分别为点D E、,2.5, 1.7AD cm DE cm==.(1)求BE的长;(2)将CE所在直线旋转到ABC∆的外部,如图②,猜想AD DE BE、、之间的数量关系,直接写出结论,不需证明;(3)如图③,将图①中的条件改为:在ABC∆中,,AC BC D C E=、、三点在同一直线上,并且BEC ADC BCAα∠=∠=∠=,其中α为任意钝角.猜想AD DE BE、、之间的数量关系,并证明你的结论.【答案】(1)0.8cm;(2)DE=AD+BE;(3)DE=AD+BE,证明见解析.【解析】【分析】(1)本小题只要先证明ACD CBE≅,得到AD CE=,CD BE=,再根据2.5, 1.7AD cm DE cm==,CD CE DE=-,易求出BE的值;(2)先证明ACD CBE≅,得到AD CE=,CD BE=,由图②ED=EC+CD,等量代换易得到AD DE BE、、之间的关系;(3)本题先证明EBC DCA ∠=∠,然后运用“AAS”定理判定BEC CDA ≅,从而得到,BE CD EC AD ==,再结合图③中线段ED 的特点易找到AD DE BE 、、之间的数量关系.【详解】解:(1)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∵90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中,90ADC E ACD BCEAC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ 2.5, 1.7AD cm DE cm ==, 2.5 1.70.8()CD CE DE AD DE cm =-=-=-= ∴0.8BE cm =(2)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∴90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中,90ADC E ACD BCE AC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ED EC CD =+∴ED AD BE =+(3)∵BEC ADC BCA α∠=∠=∠=∴180BCE ACD a ︒∠+∠=-180BCE BCE a ︒∠+∠=-∴ACD BCE ∠=∠在ACD与CBE△中,ADC E aACD BCEAC BC∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE≅∴,AD CE CD BE==又∵ED EC CD=+∴ED AD BE=+【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定,确定一种判定定理,根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键.9.(1)问题发现:如图(1),已知:在三角形ABC∆中,90BAC︒∠=,AB AC=,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点,D E,试写出线段,BD DE和CE之间的数量关系为_________________.(2)思考探究:如图(2),将图(1)中的条件改为:在ABC∆中, ,,,AB AC D A E=三点都在直线l上,并且BDA AEC BACα∠=∠=∠=,其中α为任意锐角或钝角.请问(1)中结论还是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展应用:如图(3),,D E是,,D A E三点所在直线m上的两动点,(,,D A E三点互不重合),点F为BAC∠平分线上的一点,且ABF∆与ACF∆均为等边三角形,连接,BD CE,若BDA AEC BAC∠=∠=∠,试判断DEF∆的形状并说明理由.【答案】(1)DE=CE+BD;(2)成立,理由见解析;(3)△DEF为等边三角形,理由见解析.【解析】【分析】(1)利用已知得出∠CAE=∠ABD,进而根据AAS证明△ABD与△CAE全等,然后进一步求解即可;(2)根据BDA AEC BACα∠=∠=∠=,得出∠CAE=∠ABD,在△ADB与△CEA中,根据AAS证明二者全等从而得出AE=BD,AD=CE,然后进一步证明即可;(3)结合之前的结论可得△ADB与△CEA全等,从而得出BD=AE,∠DBA=∠CAE,再根据等边三角形性质得出∠ABF=∠CAF=60°,然后进一步证明△DBF与△EAF全等,在此基础上进一步证明求解即可.【详解】(1)∵BD⊥直线l,CE⊥直线l,∴∠BDA=∠AEC=90°,∴∠BAD+∠ABD=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠ABD,在△ABD与△CAE中,∵∠ABD=∠CAE,∠BDA=∠AEC,AB=AC,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,AD=CE,∵DE=AD+AE,∴DE=CE+BD,故答案为:DE=CE+BD;(2)(1)中结论还仍然成立,理由如下:∠=∠=∠=,∵BDA AEC BACα∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α,∴∠CAE=∠ABD,在△ADB与△CEA中,∵∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠CEA,AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴BD+CE=AE+AD=DE,即:DE=CE+BD,∆为等边三角形,理由如下:(3)DEF由(2)可知:△ADB≌△CEA,∴BD=EA,∠DBA=∠CAE,∵△ABF与△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=60°,BF=AF,∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF,∴∠DBF=∠FAE,在△DBF与△EAF中,∵FB=FA,∠FDB=∠FAE,BD=AE,∴△DBF≌△EAF(SAS),∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,∴△DEF为等边三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键. 10.在平面直角坐标系中,点A(0,5),B(12,0),在y轴负半轴上取点E,使OA=EO,作∠CEF=∠AEB,直线CO交BA的延长线于点D.(1)根据题意,可求得OE=;(2)求证:△ADO≌△ECO;(3)动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位,到B点处停止运动;动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位,到E点处停止运动.二者同时开始运动,都要到达相应的终点才能停止.在某时刻,作PM⊥CD于点M,QN⊥CD于点N.问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等?【答案】(1)5;(2)见解析;(3)当两动点运动时间为72、174、10秒时,△OPM与△OQN全等【解析】【分析】(1)根据OA=OE即可解决问题.(2)根据ASA证明三角形全等即可解决问题.(2)设运动的时间为t秒,分三种情况讨论:当点P、Q分别在y轴、x轴上时;当点P、Q都在y轴上时;当点P在x轴上,Q在y轴时若二者都没有提前停止,当点Q提前停止时;列方程即可得到结论.【详解】(1)∵A(0,5),∴OE=OA=5,故答案为5.(2)如图1中,∵OE =OA ,OB ⊥AE ,∴BA =BE ,∴∠BAO =∠BEO ,∵∠CEF =∠AEB ,∴∠CEF =∠BAO ,∴∠CEO =∠DAO ,在△ADO 与△ECO 中,CE0DA0OA 0ECOE AOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△ADO ≌△ECO (ASA ).(2)设运动的时间为t 秒,当PO =QO 时,易证△OPM ≌△OQN .分三种情况讨论:①当点P 、Q 分别在y 轴、x 轴上时PO =QO 得:5﹣t =12﹣3t ,解得t =72(秒), ②当点P 、Q 都在y 轴上时PO =QO 得:5﹣t =3t ﹣12,解得t=174(秒),③当点P在x轴上,Q在y轴上时,若二者都没有提前停止,则PO=QO得:t﹣5=3t﹣12,解得t=72(秒)不合题意;当点Q运动到点E提前停止时,有t﹣5=5,解得t=10(秒),综上所述:当两动点运动时间为72、174、10秒时,△OPM与△OQN全等.【点睛】本题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定,坐标与图形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.。

八年级上册全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级上册全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级上册全等三角形同步单元检测(Word 版 含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,将△AEF 沿直线EF 翻折,点A 落在点P 处,且点P 在直线BC 上.则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上,可知当点E 与点B 重合时,CP 有最小值,当点F 与点C 重合时CP 有最大值,根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图,当点E 与点B 重合时,CP 的值最小,此时BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,如图,当点F 与点C 重合时,CP 的值最大,此时CP=AC ,Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,根据勾股定理可得AC=5,所以CP 的最大值为5, 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5,故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题,能根据点E、F分别在线段AB、AC上,点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大(小)值是解题的关键.2.如图,点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形,AE,CD分别与BD,BE交于点F,G,连接FG,有如下结论:①AE=CD ②∠BFG= 60°;③EF=CG;④AD⊥CD⑤FG ∥AC 其中,正确的结论有__________________. (填序号)【答案】①②③⑤【解析】【分析】易证△ABE≌△DBC,则有∠BAE=∠BDC,AE=CD,从而可证到△ABF≌△DBG,则有AF=DG,BF=BG,由∠FBG=60°可得△BFG是等边三角形,证得∠BFG=∠DBA=60°,则有FG∥AC,由∠CDB≠30°,可判断AD与CD的位置关系.【详解】∵△ABD和△BCE都是等边三角形,∴BD=BA=AD,BE=BC=EC,∠ABD=∠CBE=60°.∵点A、B、C在同一直线上,∴∠DBE=180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠ABE=∠DBC=120°.在△ABE和△DBC中,∵BD BAABE DBCBE BC∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△DBC,∴∠BAE=∠BDC,∴AE=CD,∴①正确;在△ABF和△DBG中,60BAF BDGAB DBABF DBG∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪==︒⎩,∴△ABF≌△DBG,∴AF=DG,BF=BG.∵∠FBG=180°﹣60°﹣60°=60°,∴△BFG是等边三角形,∴∠BFG=60°,∴②正确;∵AE=CD,AF=DG,∴EF=CG;∴③正确;∵∠ADB=60°,而∠CDB=∠EAB≠30°,∴AD与CD不一定垂直,∴④错误.∵△BFG是等边三角形,∴∠BFG=60°,∴∠GFB=∠DBA=60°,∴FG∥AB,∴⑤正确.故答案为①②③⑤.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质,证得△ABE≌△DBC是解题的关键.3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.其中正确的是__________________.(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP,MP,根据SSS定理可得△ANP≌△AMP,故可得出结论;②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数,再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°,根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°;③根据∠1=∠B可知AD=BD,故可得出结论;④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°,CD=12AD,再由三角形的面积公式即可得出结论.【详解】①连接NP,MP.在△ANP与△AMP中,∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ANP≌△AMP,则∠CAD=∠BAD,故AD是∠BAC的平分线,故此选项正确;②∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2=12∠CAB=30°,∴∠3=90°﹣∠2=60°,∴∠ADC=60°,故此选项正确;③∵∠1=∠B=30°,∴AD=BD,∴点D在AB的中垂线上,故此选项正确;④∵在Rt△ACD中,∠2=30°,∴CD=12AD,∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD,S△DAC=12AC•CD=14AC•AD,∴S △ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD,∴S△DAC:S△ABC=1:3,故此选项正确.故答案为①②③④.【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的作法是解答此题的关键.4.如图,在△ABC 中,P ,Q 分别是BC ,AC 上的点,PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,垂足分别是R ,S ,若AQ PQ =,PR PS =,那么下面四个结论:①AS AR =;②QP //AR ;③△BRP ≌△QSP ;④BRQS ,其中一定正确的是(填写编号)_____________.【答案】①,②【解析】【分析】连接AP ,根据角平分线性质即可推出①,根据勾股定理即可推出AR=AS ,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA ,推出∠QPA=∠BAP ,根据平行线判定推出QP ∥AB 即可;在Rt △BRP 和Rt △QSP 中,只有PR=PS .无法判断△BRP ≌△QSP 也无法证明BRQS .【详解】解:连接AP①∵PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,PR=PS ,∴点P在∠BAC的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°,∴∠SAP=∠RAP,在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2-PR2,AS2=AP2-PS2,∵AP=AP,PR=PS,∴AR=AS,∴①正确;②∵AQ=QP,∴∠QAP=∠QPA,∵∠QAP=∠BAP,∴∠QPA=∠BAP,∴QP∥AR,∴②正确;③在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS,不满足三角形全等的条件,故③④错误;故答案为:①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用,熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.5.等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,它的周长是__.【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形;【详解】解:因为4+4=8<9,0<4<9+9=18,∴腰的不应为4,而应为9,∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.6.如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形,若OA2=4,则△A n B n A n+1的边长为_____.【答案】2n.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及A2B2=2B1A2,得出A3B3=4B1A2=8,A4B4=8B1A2=16,A5B5=16B1A2…进而得出答案.【详解】解:∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∵∠MON=30°,∵OA2=4,∴OA1=A1B1=2,∴A2B1=2,∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,∴A3B3=4B1A2=8,A4B4=8B1A2=16,A5B5=16B1A2=32,以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n.故答案为:2n.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质,由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键.7.如图,在第一个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB,在边A1B上任取一D,延长CA2到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D,在边A2B上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第三个△A2A3E,…按此做法继续下去,第n个等腰三角形的底角的度数是_____度.【答案】1752n - 【解析】【分析】先根据∠B =30°,AB =A 1B 求出∠BA 1C 的度数,在由A 1A 2=A 1D 根据内角和外角的关系求出∠DA 2A 1的度数,同理求出∠EA 3A 2=754,∠FA 4A 3=758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数=1752n . 【详解】∵在△ABA 1中,∠B =30°,AB =A 1B ,∴∠BA 1C =1802B ︒-∠=75°, ∵A 1A 2=A 1D ,∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角, ∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×75°=37.5°; 同理可得,∠EA 3A 2=754,∠FA 4A 3=758, ∴第n 个等腰三角形的底角的度数=1752n . 故答案为1752n -. 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质,利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.8.如图,∠AOB =45°,点M 、点C 在射线OA 上,点P 、点D 在射线OB 上,且OD =32,则CP +PM +DM 的最小值是_____.【答案】34.【解析】【分析】如图,作点C 关于OB 的对称点C ′,作点D 关于OA 的对称点D ′,连接OC ′,PC ′,D ′M ,OD ′,C ′D ′,根据轴对称的性质得到OC ′=OC =2,OD ′=OD =32,CP =C ′P ,DM =D ′M ,∠C ′OD =′COD =∠COD ′=45°,于是得到CP +PM +MD =C ′+PM +D ′M ≥C ′D ′,当仅当C ′,P ,M ,D ′三点共线时,CP +PM +MD 最小为C ′D ′,作C ′T ⊥D ′O 于点T ,于是得到结论.【详解】解:如图,作点C 关于OB 的对称点C ′,作点D 关于OA 的对称点D ′,连接OC ′,PC ′,D ′M ,OD ′,C ′D ′,则OC ′=OC =2,OD ′=OD =32,CP =C ′P ,DM =D ′M ,∠C ′OD =′COD =∠COD ′=45°,∴CP +PM +MD =C ′+PM +D ′M ≥C ′D ′,当仅当C ′,P ,M ,D ′三点共线时,CP +PM +MD 最小为C ′D ′,作C ′T ⊥D ′O 于点T ,则C ′T =OT =2,∴D ′T =42,∴C ′D ′=34,∴CP +PM +DM 的最小值是34.故答案为:34.【点睛】本题考查了最短路径问题,掌握作轴对称点是解题的关键.9.如图,30AOB ∠=︒,P 是AOB ∠内一点,10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上的动点,则PQR ∆周长的最小值为_______.【答案】10【解析】【分析】作点P关于OB的对称点P′,点P关于OA的对称点P″,连接P′P″交OB于R,交OA于Q,连接PR、PQ,如图3,利用对称的性质得到△PQR周长=P′P″,根据两点之间线段最短可判断此时△PQR周长最小,最小值为P′P″的长,再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10,从而得到△PQR周长的最小值【详解】解:作点P关于OB的对称点P′,点P关于OA的对称点P″,连接P′P″交OB于R,交OA于Q,连接PR、PQ,如图3,则OP=OP′,OP=OP″,RP=RP′,QP=QP″,∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″,∴此时△PQR周长最小,最小值为P′P″的长,∵由对称性可知OP=OP′,OP=OP″,PP′⊥OB,PP″⊥OA,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°,∴△P′OP″为等边三角形,∴P′P″=OP′=OP=10,故答案是:10.【点睛】本题考查了几何变换综合题:熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质;会利用两点之间线段最短解决最短路径问题.10.在下列结论中:①有三个角是60︒的三角形是等边三角形;②有一个外角是120︒的等腰三角形是等边三角形;③有一个角是60 ,且是轴对称的三角形是等边三角形;④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形.其中正确的是__________.【答案】①②③④【解析】【分析】依据等边三角形的定义,含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.【详解】有三个角是600的三角形是等边三角形,故①正确;外角是1200时,邻补角为600,即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形,故②正确;轴对称的三角形是等腰三角形,且含有一个600角,因此是等边三角形,故③正确;一腰上的高也是中线,故底边等于腰长,所以此三角形是等边三角形,故④正确.故此题正确的是①②③④.【点睛】此题考查等边三角形的判定方法,熟记方法才能熟练运用.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.如图,在等边△ABC中,AD是BC边上的高,∠BDE=∠CDF=30°,在下列结论中:①△ABD≌△ACD;②2DE=2DF=AD;③△ADE≌△ADF;④4BE=4CF=AB.正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由等边三角形的性质可得BD=DC,AB=AC,∠B=∠C=60°,利用SAS可证明△ABD≌△ACD,从而可判断①正确;利用ASA可证明△ADE≌△ADF,从而可判断③正确;在Rt△ADE与Rt△ADF中,∠EAD=∠FAD=30°,根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得2DE=2DF=AD,从而可判断②正确;同理可得2BE=2CF=BD,继而可得4BE=4CF=AB,从而可判断④正确,由此即可得答案.【详解】∵等边△ABC中,AD是BC边上的高,∴BD=DC,AB=AC,∠B=∠C=60°,在△ABD与△ACD中90AD ADADB ADCDB DC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△ACD,故①正确;在△ADE与△ADF中60EAD FADAD ADEDA FDA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩,∴△ADE≌△ADF,故③正确;∵在Rt△ADE与Rt△ADF中,∠EAD=∠FAD=30°,∴2DE=2DF=AD,故②正确;同理2BE=2CF=BD,∵AB=2BD,∴4BE=4CF=AB,故④正确,故选D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等,熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.12.如图,平面直角坐标系中存在点A(3,2),点B(1,0),以线段AB为边作等腰三角形ABP,使得点P在坐标轴上.则这样的P点有()A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题,由题意知A、B是定点,P是动点,所以要分情况讨论:以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰.则满足条件的点P可求.【详解】由题意可知:以AP、AB为腰的三角形有3个;以AP、BP为腰的三角形有2个;以BP、AB为腰的三角形有2个.所以,这样的点P共有7个.故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质;分类别寻找是正确解答本题的关键.13.如图,在△ABC中,∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1-∠2的度数是()A.32°B.64°C.65°D.70°【答案】B【解析】【分析】此题涉及的知识点是三角形的翻折问题,根据翻折后的图形相等关系,利用三角形全等的性质得到角的关系,然后利用等量代换思想就可以得到答案【详解】如图,在△ABC中,∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH∠1=180︒-∠BEH-∠DEH=180︒-2∠DEH∠2=180︒-∠D-∠DEH-∠EHF=180︒-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)=180︒-∠B-∠DEH-(∠B+∠DEH)=180︒-32°-∠DEH-32°-∠DEH=180︒-64°-2∠DEH∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH-(180︒-64°-2∠DEH)=180︒-2∠DEH-180︒+64°+2∠DEH=64°【点睛】此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力,等量代换是解本题的关键14.已知:如图,点D,E分别在△ABC的边AC和BC上,AE与BD相交于点F,给出下面四个条件:①∠1=∠2;②AD=BE;③AF=BF;④DF=EF,从这四个条件中选取两个,不能判定△ABC是等腰三角形的是()A.①②B.①④C.②③D.③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可.【详解】选取①②:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF∆和BEF∆中{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,关键是熟练地运用定理进行推理,是一道开放性的题目,能培养学生分析问题的能力.15.如图,等腰 Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,∠ABC 的平分线分别交 AC ,AD 于E ,F ,点M 为 EF 的中点,AM 的延长线交 BC 于N ,连接 DM ,NF ,EN .下列结论:①△AFE 为等腰三角形;②△BDF ≌△ADN ;③NF 所在的直线垂直平分AB ;④DM 平分∠BMN ;⑤AE =EN =NC ;⑥AE BN EC BC=.其中正确结论的个数是( )A .2个B .3个C .4个D .5个【答案】D【解析】【分析】①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°,再根据三角形外角性质得∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°,∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°,则得到∠AEF=∠AFE ,可判断△AEF 为等腰三角形,于是可对①进行判断;求出BD=AD ,∠DBF=∠DAN ,∠BDF=∠ADN ,证△DFB ≌△DAN ,由题意可得BF>BD=AD,所以BF ≠AF,所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上,所以③不正确,由∠ADB=∠AMB=90°, 可知A 、B 、D 、M 四点共圆, 可求出∠ABM=∠ADM=22.5°,继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°, 即可求出DM 平分∠BMN ,所以④正确;根据全等三角形的性质可得△AFB ≌△CAN , 继而可得AE=CN ,根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC 是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN ,所以⑤正确;根据等腰三角形的判定可得△BAN 是等腰三角形,可得BD=AB ,继而可得2BD BC A BC B ==,由⑤可得2AE EN EC EC ==所以⑥正确. 【详解】解:∵等腰Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC ,∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°,∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°, ∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°,∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE ,∴△AEF 为等腰三角形,所以①正确;∵∠BAC=90°,AC=AB ,AD ⊥BC ,∴∠ABC=∠C=45°,AD=BD=CD ,∠ADN=∠ADB=90°,∴∠BAD=45°=∠CAD ,∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE=∠CBE= 12∠ABC=22.5°, ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°,∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°,∴AF=AE ,AM ⊥BE ,∴∠AMF=∠AME=90°,∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN ,在△FBD 和△NAD 中,∠FBD =∠DAN ,BD =AD ,∠BDF =∠ADN ,∴△FBD ≌△NAD ,所以②正确;因为BF>BD=AD,所以BF ≠AF,所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上,所以③不正确∵∠ADB=∠AMB=90°,∴A、B、D、M四点共圆,∴∠ABM=∠ADM=22.5°,∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°,∴DM平分∠BMN ,所以④正确;在△AFB和△CNA中,∠BAF=∠C=45°,AB=AC, ∠ABF=∠CAN=22.5°,∴△AFB≌△CAN(ASA),∴AF=CN,∵AF=AE,∴AE=CN,∵AE=AF,FM=EM,∴AM⊥EF,∴∠BMA=∠BMN=90°,∵BM=BM,∠MBA=∠MBN,∴△MBA≌△MBN,∴AM=MN,∴BE垂直平分线段AN,∴AB=BN,EA=EN,∵BE=BE,∴△ABE≌△NBE,∴∠ENB=∠EAB=90°,∴EN⊥NC.∴△ENC是等腰直角三角形,∴AE=CN=EN,所以⑤正确;∵AF=FN,所以∠FAN =∠FNA,因为∠BAD =∠FND=45°,所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND,所以∠BAN =∠BNA,所以AB=BN,所以22BDBCABCB==,由⑤可知,△ENC是等腰直角三角形,AE=CN=EN,∴2AE ENEC EC==,所以AE BNEC BC=,所以⑥正确,故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形外角性质,三角形内角和定理,直角三角形斜质的应用,能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键.16.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC 于F,AD交CE于G.则下列结论中错误的是( )A.AD=BE B.BE⊥ACC.△CFG为等边三角形D.FG∥BC【答案】B【解析】试题解析:A.ABC和CDE△均为等边三角形,60AC BC EC DC ACB ECD∴==∠=∠=︒,,,在ACD与BCE中,{AC BCACD BCECD CF=∠=∠=,ACD BCE∴≌,AD BE∴=,正确.B.据已知不能推出F是AC中点,即AC和BF不垂直,所以AC BE⊥错误,故本选项符合题意.C.CFG是等边三角形,理由如下:180606060ACG BCA∠=︒-︒-︒=︒=∠,ACD BCE≌,CBE CAD∴∠=∠,在ACG和BCF中,{CAG CBFAC BCBCF ACG∠=∠=∠=∠,ACG BCF∴≌,CG CH∴=,又∵∠ACG=60°CFG∴是等边三角形,正确.D.CFG是等边三角形,60CFG ACB∴∠︒=∠﹦,.FG BC∴正确.故选B.17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,在直线AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有()A.6个B.5个C.4个D.3个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.【详解】解:根据题意,∵△PAB为等腰三角形,∴可分为:PA=PB,PA=AB,PB=AB三种情况,如图所示:∴符合条件的点P共有4个;故选择:C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题,其关键是根据等腰三角形的判定定理解答.18.如图,∠AOB=30º,∠AOB 内有一定点P,且OP=12,在OA 上有一动点Q,OB 上有一动点R。

八年级上册数学 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级上册数学 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级上册数学全等三角形同步单元检测(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P有_____个.【答案】4【解析】【分析】由A点坐标可得OA=22,∠AOP=45°,分别讨论OA为腰和底边,求出点P在x轴正半轴和负半轴时,△APO是等腰三角形的P点坐标即可.【详解】(1)当点P在x轴正半轴上,①如图,以OA为腰时,∵A的坐标是(2,2),∴∠AOP=45°,OA=22,当∠AOP为顶角时,OA=OP=22,当∠OAP为顶角时,AO=AP,∴OPA=∠AOP=45°,∴∠OAP=90°,∴OP=2OA=4,∴P的坐标是(4,0)或(22,0).②以OA为底边时,∵点A的坐标是(2,2),∴∠AOP=45°,∵AP=OP,∴∠OAP=∠AOP=45°,∴∠OPA=90°,∴OP=2, ∴P 点坐标为(2,0).(2)当点P 在x 轴负半轴上,③以OA 为腰时,∵A 的坐标是(2,2),∴OA =22,∴OA =OP =22,∴P 的坐标是(﹣22,0).综上所述:P 的坐标是(2,0)或(4,0)或(22,0)或(﹣22,0).故答案为:4.【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用,注意分类讨论思想的运用是解题关键.2.如图,ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥,ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ,AG 平分DAC ∠.给出下列结论:①BAD C ∠=∠;②EBC C ∠=∠;③AE AF =;④//FG AC ;⑤EF FG =.其中正确的结论是______.【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果,故①正确;②如果∠EBC=∠C ,则∠C=12∠ABC ,由于∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,得到∠ABF=∠EBD .由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ,∠AEB=∠C+∠EBD ,得到∠AFE=∠AEB ,可得③正确;④连接EG ,先证明△ABN ≌△GBN ,得到AN=GN ,证出△ANE ≌△GNF ,得∠NAE=∠NGF ,进而得到GF ∥AE ,故④正确;⑤由AE=AF ,AE=FG ,而△AEF 不一定是等边三角形,得到EF 不一定等于AE ,于是EF 不一定等于FG ,故⑤错误.【详解】∵∠BAC=90°,AD ⊥BC ,∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°,∴∠ABC=∠DAC ,∠BAD=∠C ,故①正确;若∠EBC=∠C ,则∠C=12∠ABC , ∵∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,∴∠ABF=∠EBD ,∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ,∠AEB=∠C+∠EBD ,又∵∠BAD=∠C ,∴∠AFE=∠AEF ,∴AF=AE ,故③正确;∵AG 是∠DAC 的平分线,AF=AE ,∴AN ⊥BE ,FN=EN ,在△ABN 与△GBN 中, ∵90ABN GBN BN BN ANB GNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩,∴△ABN ≌△GBN (ASA ),∴AN=GN ,又∵FN=EN ,∠ANE=∠GNF ,∴△ANE ≌△GNF (SAS ),∴∠NAE=∠NGF ,∴GF ∥AE ,即GF ∥AC ,故④正确;∵AE=AF ,AE=FG ,而△AEF 不一定是等边三角形,∴EF 不一定等于AE ,∴EF 不一定等于FG ,故⑤错误.故答案为:①③④.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理,全等三角形的判定和性质定理,直角三角形的性质定理,掌握掌握上述定理,是解题的关键.3.如图,在ABC 中,点A 的坐标为()0,1,点B 的坐标为()0,4,点C 的坐标为()4,3,点D 在第二象限,且ABD 与ABC 全等,点D 的坐标是______.【答案】(-4,2)或(-4,3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D (4,2),这时△ABD 与△ABC 全等,分别作点C ,D 关于y 轴的对称点(-4,3)和(-4,2),所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(-4,2)或(-4,3).4.如图,在01A BA △中,20B ∠=︒,01A B A B =,在1A B 上取点C ,延长01A A 到2A ,使得121A A AC =;在2A C 上取一点D ,延长12A A 到3A ,使得232A A A D =;…,按此做法进行下去,第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________.【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1,∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数,找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数.【详解】解:∵在△A 0BA 1中,∠B=20°,A 0B=A 1B ,∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°, ∵A 1A 2=A 1C ,∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角,∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°; 同理可得,∠DA 3A 2=20°,∠EA 4A 3=10°,∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()802n -︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠CA 2A 1,∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数,找出规律是解答此题的关键.5.如图,△ABC 中,AB =AC ,∠A =30°,点D 在边AB 上,∠ACD =15°,则AD BC=____.【答案】22. 【解析】【分析】根据题意作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH =DH ,连接DH ,并设AD =2x ,解直角三角形求出BC (用x 表示)即可解决问题.【详解】解:作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH=DH ,连接DH .设AD=2x , ∵AB=AC ,∠A=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°,DF 12=AD=x ,AF 3=x , ∵∠ACD=15°,HD=HC ,∴∠HDC=∠HCD=15°,∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°,∴DH=HC=2x ,FH 3=x ,∴AB=AC=2x+23x ,在Rt △ACE 中,EC 12=AC=x 3+x ,AE 3=EC 3=x+3x , ∴BE=AB ﹣AE 3=x ﹣x ,在Rt △BCE 中,BC 22BE EC =+=22x , ∴2222AD BC x ==. 故答案为:22. 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.6.如图,在△ABC 中,AB 的中垂线交BC 于D ,AC 的中垂线交BC 于E ,若∠BAC=126°,则∠EAD=_____°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB 的中垂线可得BAD ∠,再根据AC 的中垂线可得EAC ∠,再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD .【详解】根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=72DAE ︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质,重点在于等量替换表示角度.7.如图,已知∠MON =30°,点A 1,A 2,A 3,…在射线ON 上,点B 1,B 2,B 3,…在射线OM 上,△A 1B 1A 2,△A 2B 2A 3,△A 3B 3A 4,…均为等边三角形,若OA 2=4,则△A n B n A n +1的边长为_____.【答案】2n .【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,以及A 2B 2=2B 1A 2,得出A 3B 3=4B 1A 2=8,A 4B 4=8B 1A 2=16,A 5B 5=16B 1A 2…进而得出答案.【详解】解:∵△A 1B 1A 2是等边三角形,∴A 1B 1=A 2B 1,∵∠MON =30°,∵OA 2=4,∴OA 1=A 1B 1=2,∴A 2B 1=2,∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形,∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,B 1A 2∥B 2A 3,∴A 2B 2=2B 1A 2,B 3A 3=2B 2A 3,∴A 3B 3=4B 1A 2=8,A 4B 4=8B 1A 2=16,A 5B 5=16B 1A 2=32,以此类推△A n B n A n +1的边长为 2n .故答案为:2n .【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质,由条件得到OA 5=2OA 4=4OA 3=8OA 2=16OA 1是解题的关键.8.如图,在第一个△A 1BC 中,∠B =30°,A 1B =CB ,在边A 1B 上任取一D ,延长CA 2到A 2,使A 1A 2=A 1D ,得到第2个△A 1A 2D ,在边A 2B 上任取一点E ,延长A 1A 2到A 3,使A 2A 3=A 2E ,得到第三个△A 2A 3E ,…按此做法继续下去,第n 个等腰三角形的底角的度数是_____度.【答案】1752n - 【解析】【分析】先根据∠B =30°,AB =A 1B 求出∠BA 1C 的度数,在由A 1A 2=A 1D 根据内角和外角的关系求出∠DA 2A 1的度数,同理求出∠EA 3A 2=754,∠FA 4A 3=758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数=1752n . 【详解】∵在△ABA 1中,∠B =30°,AB =A 1B ,∴∠BA 1C =1802B ︒-∠=75°, ∵A 1A 2=A 1D ,∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角,∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×75°=37.5°; 同理可得,∠EA 3A 2=754,∠FA 4A 3=758, ∴第n 个等腰三角形的底角的度数=1752n . 故答案为1752n -. 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质,利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.9.如图,已知AB=A 1B ,A 1B 1=A 1A 2,A 2B 2=A 2A 3,A 3B 3=A 3A 4,…若∠A=70°,则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】 根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中,AB=A 1B ,∠A=70°可得:∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中,A 1B 1=A 1A 2可得:∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得:∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得:∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推:∠A n =1702n -︒故答案为:1702n -︒. 【点睛】 本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索,准确识图,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..10.如图:在ABC ∆中,D ,E 为边AB 上的两个点,且BD BC =,AE AC =,若108ACB ∠=︒,则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ,用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC,然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080,∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800, ∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质,注意两条等边所在三角形,依此判断对应的两个底角相等.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.在平面直角坐标系中,等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(0,0)、(2,2),若顶点C落在坐标轴上,则符合条件的点C有()个.A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形,可分三种情况(①若AC=AB,②若BC=BA,③若CA=CB)讨论,通过画图就可解决问题.【详解】①若AC=AB,则以点A为圆心,AB为半径画圆,与坐标轴有4个交点;②若BC=BA,则以点B为圆心,BA为半径画圆,与坐标轴有2个交点(A点除外);③若CA=CB,则点C在AB的垂直平分线上.∵A(0,0),B(2,2),∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点.综上所述:符合条件的点C的个数有8个.故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识,还考查了动手操作的能力,运用分类讨论的思想是解决本题的关键.12.如图,坐标平面内一点A(2,-1),O为原点,P是x轴上的一个动点,如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】以O点为圆心,OA为半径作圆与x轴有两交点,这两点显然符合题意.以A点为圆心,OA为半径作圆与x轴交与两点(O点除外).以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与x 轴有一交点.共4个点符合,13.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,若△ADC的周长为14,BC=8,则AC 的长为A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】根据题意可得MN是直线AB的中点,所以可得AD=BD,BC=BD+CD,而△ADC为AC+CD+AD=14,即AC+CD+BD=14,因此可得AC+BC=14,已知BC即可求出AC.【详解】根据题意可得MN是直线AB的中点AD BD∴=ADC的周长为14AC CD AD++=14AC CD BD++=∴BC BD CD=+14AC BC=∴+已知8BD=6AC∴=,故选B【点睛】本题主要考查几何中的等量替换,关键在于MN是直线AB的中点,这样所有的问题就解决了.14.如图所示,△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形,且PA⊥PD,有下列四个结论:①∠PBC=15°,②AD∥BC,③PC⊥AB,④四边形ABCD是轴对称图形,其中正确的个数为()A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D【解析】【分析】根据周角的定义先求出∠BPC 的度数,再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形,∠PBC 即可求出;根据题意:有△APD 是等腰直角三角形;△PBC 是等腰三角形;结合轴对称图形的定义与判定,可得四边形ABCD 是轴对称图形,进而可得②③④正确.【详解】根据题意,BPC 36060290150∠=-⨯-= , BP PC =,()PBC 180150215∠∴=-÷=,①正确;根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形,④正确;∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°,∴AD//BC ,②正确;∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°,∴PC ⊥AB ,③正确,所以四个命题都正确,故选D .【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等,熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.15.如图,在等边三角形ABC 中,在AC 边上取两点M 、N ,使∠MBN =30°.若AM =m ,MN =x ,CN =n ,则以x ,m ,n 为边长的三角形的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .随x ,m ,n 的值而定【答案】C【解析】【分析】 将△ABM 绕点B 顺时针旋转60°得到△CBH .连接HN .想办法证明∠HCN=120°HN=MN=x即可解决问题.【详解】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH.连接HN.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.∵∠MON=30°,∴∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°,∴∠NBM=∠NBH.∵BM=BH,BN=BN,∴△NBM≌△NBH,∴MN=NH=x.∵∠BCH=∠A=60°,CH=AM=n,∴∠NCH=120°,∴x,m,n为边长的三角形△NCH是钝角三角形.故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.16.如图,在锐角△ABC中,AC=10,S△ABC=25,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是()A.4 B.245C.5 D.6【答案】C【解析】试题解析:如图,∵AD是∠BAC的平分线,∴点B关于AD的对称点B′在AC上,过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M,由轴对称确定最短路线问题,点M即为使BM+MN最小的点,B′N=BM+MN,过点B作BE⊥AC于E,∵AC=10,S△ABC=25,∴12×10•BE=25,解得BE=5,∵AD是∠BAC的平分线,B′与B关于AD对称,∴AB=AB′,∴△ABB′是等腰三角形,∴B′N=BE=5,即BM+MN的最小值是5.故选C.17.如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则下列结论:①AP⊥BC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC,根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确;根据HL证明Rt△APR≌Rt△APS,即可判断②正确;根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ,根据三角形外角的性质得到然后得到∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,然后根据同位角相等两直线平行可得QP∥AB,从而判断出③正确,④由③易证△QPC是等边三角形,得到PQ=PC,等量代换得到BP=PQ,用HL证明Rt△BRP≌Rt△QSP,即可得到④正确.【详解】∵△ABC是等边三角形,PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴P在∠A的平分线上.∵AB=AC,∴AP⊥BC,故①正确;∵PA=PA,PR=PS,∴Rt△APR≌Rt△APS,∴AS=AR,故②正确;∵AQ=PQ,∴∠APQ=∠PAQ,∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,∴PQ∥AR,故③正确;由③得:△PQC是等边三角形,∴△PQS≌△PCS,∴PQ=PC.又∵AB=AC,AP⊥BC,∴BP=PC,∴BP=PQ.∵PR =PS ,∴Rt △BRP ≌Rt △QSP ,故④也正确.∵①②③④都正确.故选D .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质,准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键.18.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,在直线AC 上取一点P ,使得△PAB 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有( )A .6个B .5个C .4个D .3个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.【详解】解:根据题意,∵△PAB 为等腰三角形,∴可分为:PA=PB ,PA=AB ,PB=AB 三种情况,如图所示:∴符合条件的点P 共有4个;故选择:C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题,其关键是根据等腰三角形的判定定理解答.19.如图,已知AD 为ABC ∆的高线,AD BC =,以AB 为底边作等腰Rt ABE ∆,连接ED ,EC ,延长CE 交AD 于F 点,下列结论:①DAE CBE ∠=∠;②CE DE ⊥;③BD AF =;④AED ∆为等腰三角形;⑤BDE ACE S S ∆∆=,其中正确的有( )A .①③B .①②④C .①③④D .①②③⑤【答案】D【解析】【分析】 ①根据等腰直角三角形的性质即可证明∠CBE =∠DAE ,再得到△ADE ≌△BCE ; ②根据①结论可得∠AEC =∠DEB ,即可求得∠AED =∠BEG ,即可解题;③证明△AEF ≌△BED 即可;④根据△AEF ≌△BED 得到DE=EF, 又DE ⊥CF ,故可判断;⑤易证△FDC 是等腰直角三角形,则CE =EF ,S △AEF =S △ACE ,由△AEF ≌△BED ,可知S △BDE =S △ACE ,所以S △BDE =S △ACE .【详解】①∵AD 为△ABC 的高线,∴CBE +∠ABE +∠BAD =90°,∵Rt △ABE 是等腰直角三角形,∴∠ABE =∠BAE =∠BAD +∠DAE =45°,AE =BE ,∴∠CBE +∠BAD =45°,∴∠DAE =∠CBE ,故①正确;在△DAE 和△CBE 中,AE BE DAE CBE AD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△ADE ≌△BCE (SAS );②∵△ADE ≌△BCE ,∴∠EDA =∠ECB ,∵∠ADE +∠EDC =90°,∴∠EDC +∠ECB =90°,∴∠DEC =90°,∴CE ⊥DE ;故②正确;③∵∠BDE =∠ADB +∠ADE ,∠AFE =∠ADC +∠ECD ,∴∠BDE =∠AFE ,∵∠BED +∠BEF =∠AEF +∠BEF =90°,∴∠BED =∠AEF ,在△AEF和△BED中,BDE AFEBED AEFAE BE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△AEF≌△BED(AAS),∴BD=AF故③正确;∵△AEF≌△BED∴DE=EF, 又DE⊥CF,∴△DEF为等腰直角三角形,故④错误;④∵AD=BC,BD=AF,∴CD=DF,∵AD⊥BC,∴△FDC是等腰直角三角形,∵DE⊥CE,∴EF=CE,∴S△AEF=S△ACE,∵△AEF≌△BED,∴S△AEF=S△BED,∴S△BDE=S△ACE.故④正确;故选:D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键.20.如图,ABC△,AB AC=,56BAC︒∠=,BAC∠的平分线与AB的垂直平分线交于O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与O点恰好重合,则∠OEC的度数为()A .132︒B .130︒C .112︒D .110︒【答案】C【解析】【分析】 连接OB 、OC ,根据角平分线的定义求出∠BAO ,根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ,根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ,再求出∠OBC ,然后判断出点O 是△ABC 的外心,根据三角形外心的性质可得OB=OC ,再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ,根据翻折的性质可得OE=CE ,然后根据等边对等角求出∠COE ,再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.【详解】如图,连接OB 、OC ,∵56BAC ︒∠=,AO 为BAC ∠的平分线 ∴11562822BAO BAC ︒︒∠=∠=⨯= 又∵AB AC =, ∴()()11180180566222ABC BAC ︒︒︒︒∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线,∴OA OB =.∴28ABO BAO ︒∠=∠=,∴622834OBC ABC ABO ︒︒︒∠=∠-∠=-=∵DO 是AB 的垂直平分线,AO 为BAC ∠的平分线∴点О是ABC △的外心,∴OB OC =,∴34OCB OBC ︒∠=∠=,∵将C ∠沿EF (E 在BC 上,F 在AC 上)折叠,点C 与点O 恰好重合∴OE CE =,∴34COE OCB ︒∠=∠=,在OCE △中,1801803434112OEC COE OCB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质,等腰三角形三线合一的性质,等边对等角的性质,以及翻折变换的性质,综合性较强,难度较大,做辅助线构造出等腰三角形是解决本题的关键.。

八年级上册数学 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级上册数学 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级上册数学全等三角形同步单元检测(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为______cm.-【答案】10310【解析】解:连接BD,在菱形ABCD中,∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形,分三种情况讨论:①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10;②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP-;最小,最小值为10310③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;-(cm).综上所述,PA的最小值为10310-.故答案为:10310点睛:本题考查菱形的性质、等边三角形的性质,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.2.△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,6.现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起,使△ABC保持不动,△DEF运动,且满足点E在边BC上运动(不与B,C重合),边DE始终经过点A,EF与AC交于点M.在△DEF 运动过程中,若△AEM能构成等腰三角形,则BE的长为______.【答案】363【解析】【分析】分若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°;若AE=EM;若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°三种情况讨论解答即可;【详解】解:①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°∵∠C=45°∴∠AME=∠C又∵∠AME>∠C∴这种情况不成立;②若AE=EM∵∠B=∠AEM=45°∴∠BAE+∠AEB=135°,∠MEC+∠AEB=135°∴∠BAE=∠MEC在△ABE和△ECM中,BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△ECM(AAS),∴CE=AB6,∵AC=BC2AB=3∴BE=36;③若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°∵∠BAC=90°,∴∠BAE=45°∴AE平分∠BAC∵AB=AC,∴BE=1BC=3.2故答案为23﹣6或3.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键.3.如图,已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5,点 P 是 AD 上的一动点,则 PE+PF 的最小值是_____.【答案】10【解析】利用正多边形的性质,可得点B关于AD对称的点为点E,连接BE交AD于P点,那么有PB=PF,PE+PF=BE最小,根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形,因此可知BE 的长为10,即PE+PF的最小值为10.故答案为10.4.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5,M,N分别是射线OA和OB上的动点,若△PMN周长的最小值为5,则∠AOB的度数为_____.【答案】30°.【解析】【分析】如图:分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P'',分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N,则可证明此时△PMN周长的最小,由轴对称性,可证明△P'O P''为等边三角形,∠AOB=12∠P'O P''=30°.【详解】解:如图:分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P'',分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N,由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知,此时△PMN周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB,∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°.故答案为30°.【点睛】本题是动点问题的几何探究题,考查最短路径问题,应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.5.等腰三角形顶角为30°,腰长是4cm,则三角形的面积为__________【答案】4 【解析】如图,根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质,可由等腰三角形的顶角为30°,腰长是4cm ,可求得BD=12AB =4×12=2,因此此三角形的面积为:S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4(cm 2).故答案是:4.6.如图,在四边形ABCD 中,AB AD =,BC DC =,60A ∠=︒,点E 为AD 边上一点,连接BD .CE ,CE 与BD 交于点F ,且CE AB ∥,若8AB =,6CE =,则BC 的长为_______________.【答案】7【解析】【分析】由AB AD =,BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上,因此,可连接AC 交BD 于点O ,易证ABD △是等边三角形,EDF 是等边三角形,根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度,应用勾股定理可求解.【详解】解:如图,连接AC 交BD 于点O∵AB AD =,BC DC =,60A ∠=︒,∴AC 垂直平分BD ,ABD △是等边三角形∴30BAO DAO ∠=∠=︒,8AB AD BD ===,4BO OD ==∵CE AB ∥∴30BAO ACE ∠=∠=︒,60CED BAD ∠=∠=︒∴30DAO ACE ∠=∠=︒∴6AE CE ==∴2DE AD AE =-=∵60CED ADB ∠=∠=︒∴EDF 是等边三角形∴2DE EF DF ===∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=∴2223OC CF OF =-=∴2227BC BO OC =+=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理,综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.7.如图,在等腰直角三角形ABC 中,90ACB ∠=︒,4AC BC ==,D 为BC 中点,E 为AC 边上一动点,连接DE ,以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆,连接BF ,则BF 的最小值为______.【解析】【分析】由60°联想旋转全等,转换动长为定点到定线的长,构建等边三角形BDG,利用△BDF≌△GDE,转换BF=GE,然后即可求得其最小值.【详解】以BD为边作等边三角形BDG,连接GE,如图所示:∵等边三角形BDG,等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°,BD=GD=BG,DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD,即∠BDF=∠GDE∴△BDF≌△GDE(SAS)∴BF=GE当GE⊥AC时,GE有最小值,如图所示GE′,作DH⊥GE′∴BF=GE=CD+12DG=2+1=3故答案为:3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,解题关键是由60°联想旋转全等,转换动长为定点到定线的长.8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D为BC上一点,DA⊥AC,AD=24 cm,则BC 的长________cm.【答案】72【解析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解:∵AB=AC ,∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA ⊥AC ,AD=24 cm∴DC=2AD=48cm ,∵∠BAC=120°,DA ⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴∠B=∠BAD∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质,其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.9.如图,在△ABC 中,P ,Q 分别是BC ,AC 上的点,PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,垂足分别是R ,S ,若AQ PQ =,PR PS =,那么下面四个结论:①AS AR =;②QP //AR ;③△BRP ≌△QSP ;④BRQS ,其中一定正确的是(填写编号)_____________.【答案】①,②【解析】【分析】连接AP ,根据角平分线性质即可推出①,根据勾股定理即可推出AR=AS ,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA ,推出∠QPA=∠BAP ,根据平行线判定推出QP ∥AB 即可;在Rt △BRP 和Rt △QSP 中,只有PR=PS .无法判断△BRP ≌△QSP 也无法证明BRQS .【详解】解:连接AP①∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,∴点P在∠BAC的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°,∴∠SAP=∠RAP,在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2-PR2,AS2=AP2-PS2,∵AP=AP,PR=PS,∴AR=AS,∴①正确;②∵AQ=QP,∴∠QAP=∠QPA,∵∠QAP=∠BAP,∴∠QPA=∠BAP,∴QP∥AR,∴②正确;③在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS,不满足三角形全等的条件,故③④错误;故答案为:①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用,熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.10.如图,Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,AD 是 BC 边上的高,E 是 AD 上的一点。

八年级数学上册 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学上册 全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学上册全等三角形同步单元检测(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P有_____个.【答案】4【解析】【分析】由A点坐标可得OA=22,∠AOP=45°,分别讨论OA为腰和底边,求出点P在x轴正半轴和负半轴时,△APO是等腰三角形的P点坐标即可.【详解】(1)当点P在x轴正半轴上,①如图,以OA为腰时,∵A的坐标是(2,2),∴∠AOP=45°,OA=22,当∠AOP为顶角时,OA=OP=22,当∠OAP为顶角时,AO=AP,∴OPA=∠AOP=45°,∴∠OAP=90°,∴OP=2OA=4,∴P的坐标是(4,0)或(22,0).②以OA为底边时,∵点A的坐标是(2,2),∴∠AOP=45°,∵AP=OP,∴∠OAP=∠AOP=45°,∴∠OPA=90°,∴OP=2,∴P点坐标为(2,0).(2)当点P在x轴负半轴上,③以OA为腰时,∵A的坐标是(2,2),∴OA=22,∴OA=OP=22,∴P的坐标是(﹣22,0).综上所述:P的坐标是(2,0)或(4,0)或(2,0)或(﹣2,0).故答案为:4.【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用,注意分类讨论思想的运用是解题关键.2.在直角坐标系中,O 为坐标原点,已知点 A(1,2),点 P 是 y 轴正半轴上的一点,且△AOP 为等腰三角形,则点P 的坐标为_____________.【答案】5 5),(0,4),0,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况:①以O为圆心,以OA为半径画弧交y轴于D,求出OA即可;②以A为圆心,以OA为半径画弧交y轴于P,求出OP即可;③作OA的垂直平分线交y轴于C,则AC=OC,根据勾股定理求出OC即可.【详解】有三种情况:①以O为圆心,以OA为半径画弧交y轴于D,则OA=OD=22125+=∴D(05);②以A 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于P ,OP =2×y A =4,∴P (0,4);③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ,则AC =OC ,由勾股定理得:OC =AC =()2212OC +-,∴OC =54, ∴C (0,54); 故答案为:5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,坐标与图形性质等知识点的理解和掌握,能求出符合条件的所有情况是解此题的关键.3.如图,在锐角△ABC 中,AB=5,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M ,N 分别是AD ,AB 上的动点,则BM+MN 的最小值是______.【答案】5【解析】【分析】作BH ⊥AC ,垂足为H ,交AD 于M 点,过M 点作MN ⊥AB ,垂足为N ,则BM+MN 为所求的最小值,再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN,再由等腰直角三角形的性质即可得出结论.【详解】如图,作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M点,过M点作MN⊥AB,垂足为N,则BM+MN 为所求的最小值.∵AD是∠BAC的平分线,∴MH=MN,∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短).∵AB=5,∠BAC=45°,∴BH==5.∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5.故答案为5.【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考,通过角平分线性质,垂线段最短,确定线段和的最小值.4.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD,当△AOD是等腰三角形时,求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°,分三种情况讨论:①AO=AD,则∠AOD=∠ADO,②OA=OD,则∠OAD=∠ADO,③OD=AD,则∠OAD=∠AOD,分别求出α的角度即可.【详解】解:∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,则a+b=60°,b+c=180°﹣110°=70°,c+d=60°,∴b﹣d=10°,∴(60°﹣a )﹣d=10°,∴a+d=50°,即∠DAO=50°,分三种情况讨论:①AO=AD ,则∠AOD=∠ADO ,∴190°﹣α=α﹣60°,∴α=125°;②OA=OD ,则∠OAD=∠ADO ,∴α﹣60°=50°,∴α=110°;③OD=AD ,则∠OAD=∠AOD ,∴190°﹣α=50°,∴α=140°;所以当α为110°、125°、140°时,三角形AOD 是等腰三角形,故答案为:110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查,熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.5.已知A 、B 两点的坐标分别为 (0,3),(2,0),以线段AB 为直角边,在第一象限内作等腰直角三角形ABC ,使∠BAC =90°,如果在第二象限内有一点P (a ,12),且△ABP 和△ABC 的面积相等,则a =_____.【答案】-83.【解析】【分析】先根据AB 两点的坐标求出OA 、OB 的值,再由勾股定理求出AB 的长度,根据三角形的面积公式即可得出△ABC 的面积;连接OP ,过点P 作PE ⊥x 轴,由△ABP 的面积与△ABC 的面积相等,可知S △ABP =S △POA +S △AOB ﹣S △BOP =132,故可得出a 的值. 【详解】∵A 、B 两点的坐标分别为 (0,3),(2,0),∴OA =3,OB =2,∴AB∵△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC =90°,∴1113•222ABC S AB AC ===,作PE ⊥x 轴于E ,连接OP ,此时BE =2﹣a ,∵△ABP 的面积与△ABC 的面积相等,∴111•••222ABP POA AOB BOP S S S S OA OE OB OA OB PE ++=﹣=﹣, 111113332222222a ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=(﹣)﹣=,解得a =﹣83. 故答案为﹣83. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,坐标与图象性质,三角形的面积公式,解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程.6.如图,在01A BA △中,20B ∠=︒,01A B A B =,在1A B 上取点C ,延长01A A 到2A ,使得121A A AC =;在2A C 上取一点D ,延长12A A 到3A ,使得232A A A D =;…,按此做法进行下去,第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________.【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1,∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数,找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数.【详解】解:∵在△A 0BA 1中,∠B=20°,A 0B=A 1B ,∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°, ∵A 1A 2=A 1C ,∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角,∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°; 同理可得,∠DA 3A 2=20°,∠EA 4A 3=10°,∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()802n -︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠CA 2A 1,∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数,找出规律是解答此题的关键.7.如图,在第一个△A 1BC 中,∠B =30°,A 1B =CB ,在边A 1B 上任取一D ,延长CA 2到A 2,使A 1A 2=A 1D ,得到第2个△A 1A 2D ,在边A 2B 上任取一点E ,延长A 1A 2到A 3,使A 2A 3=A 2E ,得到第三个△A 2A 3E ,…按此做法继续下去,第n 个等腰三角形的底角的度数是_____度.【答案】1752n - 【解析】【分析】先根据∠B =30°,AB =A 1B 求出∠BA 1C 的度数,在由A 1A 2=A 1D 根据内角和外角的关系求出∠DA 2A 1的度数,同理求出∠EA 3A 2=754,∠FA 4A 3=758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数=1752n . 【详解】∵在△ABA 1中,∠B =30°,AB =A 1B ,∴∠BA 1C =1802B ︒-∠=75°, ∵A 1A 2=A 1D ,∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角,∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×75°=37.5°; 同理可得,∠EA 3A 2=754,∠FA 4A 3=758, ∴第n 个等腰三角形的底角的度数=1752n . 故答案为1752n . 【点睛】 此题考查等腰三角形的性质,利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.8.如图,Rt △ABC 中,AB=AC ,∠BAC=90°,AD 是 BC 边上的高,E 是 AD 上的一点。

八年级全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

八年级全等三角形同步单元检测(Word版 含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图,△ABC 中,AB=AC=BC,∠BDC=120°且BD=DC,现以D为顶点作一个60°角,使角两边分别交AB,AC边所在直线于M,N两点,连接MN,探究线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.(1)如图1,若∠MDN的两边分别交AB,AC边于M,N两点.猜想:BM+NC=MN.延长AC到点E,使CE=BM,连接DE,再证明两次三角形全等可证.请你按照该思路写出完整的证明过程;(2)如图2,若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点,其它条件不变,再探究线段BM,MN,NC之间的关系,请直接写出你的猜想(不用证明).【答案】(1)过程见解析;(2)MN= NC﹣BM.【解析】【分析】(1)延长AC至E,使得CE=BM并连接DE,根据△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,可以证得△MBD≌△ECD,可得MD=DE,∠BDM=∠CDE,再根据∠MDN=60°,∠BDC=120°,可证∠MDN =∠NDE=60°,得出△DMN≌△DEN,进而得到MN=BM+NC.(2)在CA上截取CE=BM,利用(1)中的证明方法,先证△BMD≌△CED(SAS),再证△MDN≌△EDN(SAS),即可得出结论.【详解】解:(1)如图示,延长AC至E,使得CE=BM,并连接DE.∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,又BD=DC,且∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,∴∠MBD=∠ECD=90°,在△MBD与△ECD中,∵BD CDMBD ECD BM CE,∴△MBD≌△ECD(SAS),∴MD=DE,∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°,即:∠MDN =∠NDE=60°,在△DMN与△DEN中,∵MD DEMDN EDN DN DN,∴△DMN≌△DEN(SAS),∴MN=NE=CE+NC=BM+NC.(2)如图②中,结论:MN=NC﹣BM.理由:在CA上截取CE=BM.∵△ABC是正三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,又∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠BCD=∠CBD=30°,∴∠MBD=∠DCE=90°,在△BMD和△CED中∵BM CEMBD ECD BD CD,∴△BMD≌△CED(SAS),∴DM= DE,∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,∴∠NDE=∠BDC-(∠BDN+∠CDE)=∠BDC-(∠BDN+∠BDM)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,即:∠MDN =∠NDE=60°,在△MDN和△EDN中∵ND NDEDN MDN ND ND,∴△MDN≌△EDN(SAS),∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.2.(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°(如图①).求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】试题分析:(1)作DF∥BC 交AC 于F ,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC 是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出△ADF 是等边三角形,∠DFC=120°,得出AD=DF ,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD ,由AAS 证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF ,即可得出结论;(2)作DF∥BC 交AC 的延长线于F ,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF ,即可得出结论.试题解析:(1)证明:如图,作DF ∥BC 交AC 于F ,则△ADF 为等边三角形∴AD=DF ,又∵ ∠DEC=∠DCB ,∠DEC+∠EDB=60°,∠DCB+∠DCF=60° ,∴ ∠EDB=∠DCA ,DE=CD ,在△DEB 和△CDF 中,120EBD DFC EDB DCF DE CD ,,∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB ≌△CDF ,∴BD=DF ,∴BE=AD .(2). EB=AD 成立;理由如下:作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ,如图所示:同(1)得:AD=DF ,∠FDC=∠ECD ,∠FDC=∠DEC ,ED=CD ,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE ≌△CFD (AAS ),∴EB=DF ,∴EB=AD.点睛:此题主要考查了三角形的综合,考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,平行线的性质等知识,综合性强,有一定的难度,证明三角形全等是解决问题的关键.3.如图,AB=12cm,AC⊥AB,BD⊥AB ,AC=BD=9cm,点P在线段AB上以3 cm/s的速度,由A向B运动,同时点Q在线段BD上由B向D运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当运动时间t=1(s),△ACP与△BPQ 是否全等?说明理由,并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;(2)将“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,其他条件不变.若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能使△ACP与△BPQ全等.(3)在图2的基础上延长AC,BD交于点E,使C,D分别是AE,BE中点,若点Q以(2)中的运动速度从点B出发,点P以原来速度从点A同时出发,都逆时针沿△ABE三边运动,求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇.【答案】(1)△ACP≌△BPQ,理由见解析;线段PC与线段PQ垂直(2)1或32(3)9s【解析】【分析】(1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ,得出∠ACP=∠BPQ,进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可;(2)由△ACP≌△BPQ,分两种情况:①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得答案即可.(3)因为V Q<V P,只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的路程,据此列出方程,解这个方程即可求得.【详解】(1)当t=1时,AP=BQ=3,BP=AC=9,又∵∠A=∠B=90°,在△ACP 与△BPQ 中,AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACP ≌△BPQ (SAS ),∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°,∠CPQ=90°,则线段PC 与线段PQ 垂直.(2)设点Q 的运动速度x,①若△ACP ≌△BPQ ,则AC=BP ,AP=BQ ,912t t xt =-⎧⎨=⎩, 解得31t x =⎧⎨=⎩, ②若△ACP ≌△BPQ ,则AC=BQ ,AP=BP ,912xt t t =⎧⎨=-⎩解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩, 综上所述,存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. (3)因为V Q <V P ,只能是点P 追上点Q ,即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程,设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇,∵AC=BD=9cm ,C ,D 分别是AE ,BD 的中点;∴EB=EA=18cm.当V Q =1时,依题意得3x=x+2×9,解得x=9;当V Q =32时, 依题意得3x=32x+2×9, 解得x=12.故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.4.如图1,在等边△ABC 中,E 、D 两点分别在边AB 、BC 上,BE =CD ,AD 、CE 相交于点F .(1)求∠AFE 的度数;(2)过点A 作AH ⊥CE 于H ,求证:2FH +FD =CE ;(3)如图2,延长CE 至点P ,连接BP ,∠BPC =30°,且CF =29CP ,求PF AF的值. (提示:可以过点A 作∠KAF =60°,AK 交PC 于点K ,连接KB ) 【答案】(1)∠AFE =60°;(2)见解析;(3)75【解析】【分析】(1)通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等,等量代换推导出60AFE ∠=︒;(2)由(1)得到60AFE ∠=︒,CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半,等量代换可得;(3)通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ,作辅助线证明ABK 和ACF 全等,利用对应边相等,等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】(1)解:如图1中.∵ABC 为等边三角形,∴AC =BC ,∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°,在BCE 和CAD 中,60BE CDCBE ACDBC CA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴BCE CAD≌(SAS),∴∠BCE=∠DAC,∵∠BCE+∠ACE=60°,∴∠DAC+∠ACE=60°,∴∠AFE=60°.(2)证明:如图1中,∵AH⊥EC,∴∠AHF=90°,在Rt△AFH中,∵∠AFH=60°,∴∠FAH=30°,∴AF=2FH,∵EBC DCA≌,∴EC=AD,∵AD=AF+DF=2FH+DF,∴2FH+DF=EC.(3)解:在PF上取一点K使得KF=AF,连接AK、BK,∵∠AFK=60°,AF=KF,∴△AFK为等边三角形,∴∠KAF=60°,∴∠KAB=∠FAC,在ABK和ACF中,AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ABK ACF≌(SAS),BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°,∴∠BKE=120°﹣60°=60°,∵∠BPC=30°,∴∠PBK=30°,∴29 BK CF PK CP===,∴79PF CP CF CP=-=,∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP==-+=-=∴779559CPPFAF CP== .【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质,及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.5.已知△ABC中,AB=AC,点P是AB上一动点,点Q是AC的延长线上一动点,且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同,PQ与BC相交于点D,若AB=82,BC=16.(1)如图1,当点P为AB的中点时,求CD的长;(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P、Q在移动的过程中,设BE+CD=λ,λ是否为常数?若是请求出λ的值,若不是请说明理由.【答案】(1)4;(2)8【解析】【分析】(1)过P点作PF∥AC交BC于F,由点P和点Q同时出发,且速度相同,得出BP=CQ,根据PF∥AQ,可知∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD,则可得出∠B=∠PFB,证出BP=PF,得出PF=CQ,由AAS证明△PFD≌△QCD,得出,再证出F是BC的中点,即可得出结果;(2)过点P作PF∥AC交BC于F,易知△PBF为等腰三角形,可得BE=12BF,由(1)证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=12CF,即可得出BE+CD=8.【详解】解:(1)如图①,过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ,∵点P 和点Q 同时出发,且速度相同, ∴BP=CQ ,∵PF ∥AQ ,∴∠PFB=∠ACB ,∠DPF=∠CQD ,又∵AB=AC ,∴∠B=∠ACB ,∴∠B=∠PFB ,∴BP=PF ,∴PF=CQ ,又∠PDF=∠QDC ,∴△PFD ≌△QCD ,∴DF=CD=12CF , 又因P 是AB 的中点,PF ∥AQ , ∴F 是BC 的中点,即FC=12BC=8, ∴CD=12CF=4; (2)8BE CD λ+==为定值.如图②,点P 在线段AB 上,过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ,易知△PBF 为等腰三角形,∵PE ⊥BF∴BE=12BF∵易得△PFD ≌△QCD∴CD=12CF ∴()111182222BE CD BF CF BF CF BC λ+==+=+== 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判断与性质,熟悉相关性质定理是解题的关键.6.在ABC 中,AB AC =,点D 在BC 边上,且60,ADB E ∠=︒是射线DA 上一动点(不与点D 重合,且DA DB ≠),在射线DB 上截取DF DE =,连接EF .()1当点E 在线段AD 上时,①若点E 与点A 重合时,请说明线段BF DC =;②如图2,若点E 不与点A 重合,请说明BF DC AE =+;()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时,用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明).【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF =AE-CD【解析】【分析】(1)①根据等边对等角,求到B C ∠=∠,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ∆是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC ∠=∠=︒,推出ABF ACD ∆∆≌,根据全等三角形的性质即可得出结论;②过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ,由△DEF 为等边三角形得到DA =DG ,再推出AE =GF ,根据线段的和差即可整理出结论;(2)根据题意画出图形,作出AG ,由(1)可知,AE=GF ,DC=BG ,再由线段的和差和等量代换即可得到结论.【详解】(1)①证明:AB AC =B C∴∠=∠,60DF DE ADB=∠=︒,且E与A重合,ADF∴∆是等边三角形60ADF AFD∴∠=∠=︒120AFB ADC∴∠=∠=︒在ABF∆和ACD∆中AFB ADCB CAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD∴∆∆≌BF DC∴=②如图2,过点A做AG∥EF交BC于点G,∵∠ADB=60°DE=DF∴△DEF为等边三角形∵AG∥EF∴∠DAG=∠DEF=60°,∠AGD=∠EFD=60°∴∠DAG=∠AGD∴DA=DG∴DA-DE=DG-DF,即AE=GF由①易证△AGB≌△ADC∴BG=CD∴BF=BG+GF=CD+AE(2)如图3,和(1)中②相同,过点A做AG∥EF交BC于点G,由(1)可知,AE=GF,DC=BG,BF CD BF BG GF AE∴+=+===-.故BF AE CD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.7.探究与发现:如图(1)所示的图形,像我们常见的学习用品一圆规,我们,不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下问题:①如图(2),把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=40°,则∠ABX+∠ACX=°.②如图(3),DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE 的度数.【答案】(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由见解析;(2)①50;②∠DCE=85°.【解析】【分析】(1)首先连接AD并延长至点F,然后根据外角的性质,即可判断出∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①由(1)可得∠A+∠ABX+∠ACX=∠X,然后根据∠A=40°,∠X=90°,即可求解;(3)②由∠A=40°,∠DBE=130°,求出∠ADE+∠AEB的值,然后根据∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC,求出∠DCE的度数即可.【详解】(1)如图,∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由是:过点A、D作射线AF,∵∠FDC=∠DAC+∠C,∠BDF=∠B+∠BAD,∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B,即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①如图(2),∵∠X=90°,由(1)知:∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°,∵∠A=40°,∴∠ABX+∠ACX=50°,故答案为:50;②如图(3),∵∠A=40°,∠DBE=130°,∴∠ADE+∠AEB=130°﹣40°=90°,∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=12∠ADB,∠AEC=12∠AEB,∴∠ADC+∠AEC=1(ADB AEB)2∠+∠=45°,∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°.【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用,熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.8.(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.求证:DE=BD+CE.(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,求证:△DEF是等边三角形.【答案】(1)见解析;(2)成立,理由见解析;(3)见解析【解析】【分析】(1)因为DE=DA+AE ,故通过证BDA AEC ≅△△,得出DA=EC ,AE=BD ,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证明BDA AEC ≅△△,得出BD=AE ,AD=CE ,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由BDA AEC ≅△△得BD=AE ,=BDA AEC ∠∠,ABF 与ACF 均等边三角形,得==60BA AC ︒∠F ∠F ,FB=FA ,所以=BA BA AC AC ∠F +∠D ∠F +∠E ,即FBD FAB ≅∠∠,所以BDF AEF ≅△△,所以FD=FE ,BFD AFE ≅∠∠,再根据=60BFD FA BFA =︒∠+∠D ∠,得=60AF FA =︒∠E +∠D ,即=60FE =︒∠D ,故DFE △是等边三角形.【详解】证明:(1)∵BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m∴∠BDA=∠CEA=90°,∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°,∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD,又AB=AC ,∴△ADB≌△CEA∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD= BD+CE(2)∵∠BDA =∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE ,∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC∴△ADB≌△CEA,∴AE=BD,AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE(3)由(2)知,△ADB≌△CEA, BD=AE,∠DBA =∠CAE∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF,∴△DBF≌△EAF∴DF=EF,∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.9.已知点P是线段MN上一动点,分别以PM,PN为一边,在MN的同侧作△APM,△BPN,并连接BM,AN.(Ⅰ)如图1,当PM=AP,PN=BP且∠APM=∠BPN=90°时,试猜想BM,AN之间的数量关系与位置关系,并证明你的猜想;(Ⅱ)如图2,当△APM,△BPN都是等边三角形时,(Ⅰ)中BM,AN之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,试说明理由.(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,连接AB得到图3,当PN=2PM时,求∠PAB度数.【答案】(1)BM=AN,BM⊥AN.(2)结论成立.(3)90°.【解析】【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP,得出MB=AN,∠PAN=∠PMB,再延长MB交∠=︒,因此有BM⊥AN;AN于点C,得出MCN90(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN,得出结论BM=AN;(3)取PB的中点C,连接AC,AB,通过已知条件推出△APC为等边三角形,∠PAC=∠PCA=60°,再由CA=CB,进一步得出∠PAB的度数.【详解】解:(Ⅰ)结论:BM=AN,BM⊥AN.理由:如图1中,∵MP=AP,∠APM=∠BPN=90°,PB=PN,∴△MBP≌△ANP(SAS),∴MB=AN.延长MB交AN于点C.∵△MBP≌△ANP,∴∠PAN=∠PMB,∵∠PAN+∠PNA=90°,∴∠PMB+∠PNA=90°,∴∠MCN=180°﹣∠PMB﹣∠PNA=90°,∴BM⊥AN.(Ⅱ)结论成立理由:如图2中,∵△APM,△BPN,都是等边三角形∴∠APM=∠BPN=60°∴∠MPB=∠APN=120°,又∵PM=PA,PB=PN,∴△MPB≌△APN(SAS)∴MB=AN.(Ⅲ)如图3中,取PB的中点C,连接AC,AB.∵△APM,△PBN都是等边三角形∴∠APM=∠BPN=60°,PB=PN∵点C是PB的中点,且PN=2PM,∴2PC=2PA=2PM=PB=PN,∵∠APC=60°,∴△APC为等边三角形,∴∠PAC=∠PCA=60°,又∵CA=CB,∴∠CAB=∠ABC=30°,∴∠PAB=∠PAC+∠CAB=90°.【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目,充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力,此类题目常常需要数形结合,借助辅助线才得以解决,因此,作出合理正确的辅助线是解题的关键.10.如图1,已知CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线,D 为CF 上一点,且DA =DB .(1)求证:∠ACB =∠ADB ;(2)求证:AC +BC <2BD ;(3)如图2,若∠ECF =60°,证明:AC =BC +CD .【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】【分析】(1)过点D 分别作AC ,CE 的垂线,垂足分别为M ,N ,证明Rt △DAM ≌Rt △DBN ,得出∠DAM=∠DBN ,则结论得证;(2)证明Rt △DMC ≌Rt △DNC ,可得CM=CN ,得出AC+BC=2BN ,又BN <BD ,则结论得证;(3)在AC 上取一点P ,使CP=CD ,连接DP ,可证明△ADP ≌△BDC ,得出AP=BC ,则结论可得出.【详解】(1)证明:过点D 分别作AC ,CE 的垂线,垂足分别为M ,N ,∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线,∴DM =DN ,在Rt △DAM 和Rt △DBN 中,DA DB DM DN=⎧⎨=⎩ , ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN (HL ),∴∠DAM =∠DBN ,∴∠ACB =∠ADB ;(2)证明:由(1)知DM =DN ,在Rt△DMC和Rt△DNC中,DC DCDM DN=⎧⎨=⎩,∴Rt△DMC≌Rt△DNC(HL),∴CM=CN,∴AC+BC=AM+CM+BC=AM+CN+BC=AM+BN,又∵AM=BN,∴AC+BC=2BN,∵BN<BD,∴AC+BC<2BD.(3)由(1)知∠CAD=∠CBD,在AC上取一点P,使CP=CD,连接DP,∵∠ECF=60°,∠ACF=60°,∴△CDP为等边三角形,∴DP=DC,∠DPC=60°,∴∠APD=120°,∵∠ECF=60°,∴∠BCD=120°,在△ADP和△BDC中,APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADP≌△BDC(AAS),∴AP=BC,∵AC=AP+CP,∴AC=BC+CP,∴AC=BC+CD.【点睛】本题是三角形综合题,考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.已知,如图A 在x 轴负半轴上,B (0,-4),点E (-6,4)在射线BA 上,(1) 求证:点A 为BE 的中点(2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°,求点F 的坐标.(3) 如图,点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上,MN=NB=MA ,点I 为△MON 的内角平分线的交点,AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证:C△POQ=2 HI.【答案】(1)证明见解析;(2)22(0,)7F ;(3)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)过E 点作EG ⊥x 轴于G ,根据B 、E 点的坐标,可证明△AEG ≌△ABO ,从而根据全等三角形的性质得证;(2)过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ,过D 作DK ⊥x 轴于K ,然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ,进而求出D 点的坐标,然后设F 坐标为(0,y ),根据S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD 可求出F 的坐标;(3)连接MI 、NI ,根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ,从而得到∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ,由角平分线的性质,求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI ,作IS⊥OM 于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ,得到C △POQ 周长.试题解析:(1)过E 点作EG⊥x 轴于G ,∵B (0,-4),E (-6,4),∴OB=EG=4,在△AEG 和△ABO 中,∵90EGA BOAEAG BAOEG BO∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEG≌△ABO(AAS),∴AE=AB∴A为BE中点(2)过A作AD⊥AE交EF延长线于D,过D作DK⊥x轴于K,∵∠FEA=45°,∴AE=AD,∴可证△AEG≌△DAK,∴D(1,3),设F(0,y),∵S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD,∴()()() 111347463222y y +⨯=+⨯++∴227y=∴220,7F⎛⎫⎪⎝⎭(3)连接MI、NI∵I为△MON内角平分线交点,∴NI平分∠MNO,MI平分∠OMN,在△MIN和△MIA中,∵MN MANMI AMIMI MI=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MIN≌△MIA(SAS),∴∠MIN=∠MIA,同理可得∠MIN=∠NIB,∵NI平分∠MNO,MI平分∠OMN,∠MON=90°,∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°,∴∠AIB=135°×3-360°=45°,连接OI,作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON,OI平分∠MON,∴IH=IS=OH=OS,∠HIS=90°,∠HIP+∠QIS=45°,在SM上截取SC=HP,可证△HIP≌△SIC,∴IP=IC,∠HIP=∠SIC,∴∠QIC=45°,可证△QIP≌△QIC,∴PQ=QC=QS+HP,∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.2.(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°(如图①).求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】试题分析:(1)作DF∥BC 交AC 于F ,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC 是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出△ADF 是等边三角形,∠DFC=120°,得出AD=DF ,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD ,由AAS 证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF ,即可得出结论;(2)作DF∥BC 交AC 的延长线于F ,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF ,即可得出结论.试题解析:(1)证明:如图,作DF ∥BC 交AC 于F ,则△ADF 为等边三角形∴AD=DF ,又∵ ∠DEC=∠DCB ,∠DEC+∠EDB=60°,∠DCB+∠DCF=60° ,∴ ∠EDB=∠DCA ,DE=CD ,在△DEB和△CDF 中,120EBD DFC EDB DCF DE CD ,,∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB ≌△CDF ,∴BD=DF ,∴BE=AD .(2). EB=AD 成立;理由如下:作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ,如图所示:同(1)得:AD=DF ,∠FDC=∠ECD ,∠FDC=∠DEC ,ED=CD ,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE ≌△CFD (AAS ),∴EB=DF ,∴EB=AD.点睛:此题主要考查了三角形的综合,考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,平行线的性质等知识,综合性强,有一定的难度,证明三角形全等是解决问题的关键.3.(1)如图1,在Rt △ABC 中,AB AC =,D 、E 是斜边BC 上两动点,且∠DAE=45°,将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后,得到△AFC ,连接DF .(1)试说明:△AED ≌△AFD ;(2)当BE=3,CE=9时,求∠BCF 的度数和DE 的长;(3)如图2,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,D 是斜边BC 所在直线上一点,BD=3,BC=8,求DE 2的长.【答案】(1)略(2)∠BCF=90° DE=5 (3)34或130【解析】试题分析:()1由ABE AFC ≌, 得到AE AF =,BAE CAF ∠=∠,45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠,从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌得到ED FD =,再证明90DCF ∠=︒,利用勾股定理即可得出结论. ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得,1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长,即可求得2DE .试题解析:()1ABE AFC ≌,AE AF =,BAE CAF ∠=∠,45,EAD ∠=90,BAC ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=在AED和AFD中,{AF AEEAF DAEAD AD,=∠=∠=.AED AFD∴≌()2AED AFD≌,ED FD∴=,,90.AB AC BAC=∠=︒45B ACB∴∠=∠=︒,45ACF,∠=︒90.BCF∴∠=︒设.DE x=,9.DF DE x CD x===- 3.FC BE==222,FC DC DF+=()22239.x x∴+-=解得: 5.x=故 5.DE=()3过点A作AH BC⊥于H,根据等腰三角形三线合一得,14.2AH BH BC===1DH BH BD=-=或7,DH BH BD=+=22217AD AH DH=+=或65.22234DE AD==或130.点睛:D是斜边BC所在直线上一点,注意分类讨论.4.如图,在ABC∆中,90C∠=︒,4cmAC BC==,点D是斜边AB的中点.点E从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动,点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动,规定当点E 到终点C 时停止运动.设运动的时间为x 秒,连接DE 、DF .(1)填空:ABC S ∆=______2cm ;(2)当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时,求证:DE DF =;(3)若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动,在点E 、点F 运动过程中,如果存在某个时间x ,使得ADF ∆的面积是BDE ∆面积的两倍,请你求出时间x 的值.【答案】(1)8;(2)见解析;(3)45或4. 【解析】【分析】(1)直接可求△ABC 的面积;(2)连接CD ,根据等腰直角三角形的性质可求:∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°,即BD=CD ,且BE=CF ,即可证△CDF ≌△BDE ,可得DE=DF ;(3)分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论,根据题意列出方程可求x 的值.【详解】解:(1)∵S △ABC =12⨯AC×BC ∴S △ABC =12×4×4=8(cm 2) 故答案为:8(2)如图:连接CD∵AC=BC ,D 是AB 中点∴CD 平分∠ACB又∵∠ACB=90°∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°∴CD=BD依题意得:BE=CF∴在△CDF与△BDE中BE CFB DCABD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDF≌△BDE(SAS)∴DE=DF(3)如图:过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,∵AD=BD,∠A=∠B=45°,∠AND=∠DMB=90°∴△ADN≌△BDM(AAS)∴DN=DM当S△ADF=2S△BDE.∴12×AF×DN=2×12×BE×DM∴|4-3x|=2x∴x1=4,x2=45综上所述:x=45或4【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,全等三角形的性质和判定,利用分类思想解决问题是本题的关键.5.如图,在平面直角坐标系中,A、B坐标为()6,0、()0,6,P为线段AB上的一点.(1)如图1,若P 为AB 的中点,点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点,且保持AM ON =,则在点M 、N 运动的过程中,探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系,并说明理由.(2)如图2,若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点,过B 点作BD OP ⊥,交OP 、OA 分别于F 、D 两点,E 为OA 上一点,且PEA BDO =∠∠,试判断线段OD 与AE 的数量关系,并说明理由.【答案】(1)PM=PN ,PM ⊥PN ,理由见解析;(2)OD=AE ,理由见解析【解析】【分析】(1)连接OP .只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题;(2)作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G .由△DBO ≌△GOA ,推出OD=AG ,∠BDO=∠G ,再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题;【详解】(1)结论:PM=PN ,PM ⊥PN .理由如下:如图1中,连接OP .∵A 、B 坐标为(6,0)、(0,6),∴OB=OA=6,∠AOB=90°,∵P 为AB 的中点, ∴OP=12AB=PB=PA ,OP ⊥AB ,∠PON=∠PAM=45°, ∴∠OPA=90°,在△PON 和△PAM 中, ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PON ≌△PAM (SAS ),∴PN=PM ,∠OPN=∠APM ,∴∠NPM=∠OPA=90°,∴PM ⊥PN ,PM=PN .(2)结论:OD=AE .理由如下:如图2中,作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G .∵BD ⊥OP ,∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°,∴∠ODF+∠AOG=90°,∠ODF+∠OBD=90°,∴∠AOG=∠DBO ,∵OB=OA ,∴△DBO ≌△GOA ,∴OD=AG ,∠BDO=∠G ,∵∠BDO=∠PEA ,∴∠G=∠AEP ,在△PAE 和△PAG 中,AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PAE ≌△PAG (AAS ),∴AE=AG ,∴OD=AE .【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.6.如图,在ABC ∆中,903, 7C AC BC ∠=︒==,,点D 是BC 边上的动点,连接AD ,以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE .(1)填空:ABC ∆的面积等于 ;(2)连接CE ,求证:CE 是ACB ∠的平分线;(3)点O 在BC 边上,且1CO =, 当D 从点O 出发运动至点B 停止时,求点E 相应的运动路程.【答案】(1)212;(2)证明见解析;(3)32【解析】【分析】 (1)根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得;(2)如图所示作出辅助线,证明△AEM ≌△DEN (AAS ),得到ME=NE ,即可利用角平分线的判定证明;(3)由(2)可知点E 在∠ACB 的平分线上,当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=1()2AC CD +,根据CD 的长度计算出CE 的长度即可.【详解】解:(1)903, 7C AC BC ∠=︒==, ∴112137222ABC S AC BC =⨯=⨯⨯=, 故答案为:212 (2)连接CE ,过点E 作EM ⊥AC 于点M ,作EN ⊥BC 于点N ,∴∠EMA=∠END=90°,又∵∠ACB=90°,∴∠MEN=90°,∴∠MED+∠DEN=90°,∵△ADE 是等腰直角三角形∴∠AED=90°,AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°,∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM 与△DEN 中,∠EMA=∠END=90°,∠AEM=∠DEN ,AE=DE∴△AEM ≌△DEN (AAS )∴ME=NE∴点E 在∠ACB 的平分线上,即CE 是ACB ∠的平分线(3)由(2)可知,点E 在∠ACB 的平分线上,∴当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,∵△AEM ≌△DEN∴AM=DN ,即AC-CM=CN-CD在Rt △CME 与Rt △CNE 中,CE=CE ,ME=NE ,∴Rt △CME ≌Rt △CNE (HL )∴CM=CN∴CN=1()2AC CD +, 又∵∠MCE=∠NCE=45°,∠CME=90°, ∴CE=22()CN AC CD =+, 当AC=3,CD=CO=1时,CE=2(31)222+= 当AC=3,CD=CB=7时, CE=2(37)522+= ∴点E 的运动路程为:522232-=,【点睛】本题考查了全等三角形的综合证明题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.7.综合实践如图①,90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥,垂足分别为点D E 、,2.5, 1.7AD cm DE cm ==.(1)求BE 的长;(2)将CE 所在直线旋转到ABC ∆的外部,如图②,猜想AD DE BE 、、之间的数量关系,直接写出结论,不需证明;(3)如图③,将图①中的条件改为:在ABC ∆中,,AC BC D C E =、、三点在同一直线上,并且BEC ADC BCA α∠=∠=∠=,其中α为任意钝角.猜想AD DE BE 、、之间的数量关系,并证明你的结论.【答案】(1)0.8cm;(2)DE=AD+BE;(3)DE=AD+BE ,证明见解析.【解析】【分析】(1)本小题只要先证明ACD CBE ≅,得到AD CE =,CD BE =,再根据2.5, 1.7AD cm DE cm ==,CD CE DE =-,易求出BE 的值;(2)先证明ACD CBE ≅,得到AD CE =,CD BE =,由图②ED=EC+CD ,等量代换易得到AD DE BE 、、之间的关系;(3)本题先证明EBC DCA ∠=∠,然后运用“AAS”定理判定BEC CDA ≅,从而得到,BE CD EC AD ==,再结合图③中线段ED 的特点易找到AD DE BE 、、之间的数量关系.【详解】解:(1)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∵90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠ 在ACD 与CBE △中,90ADC E ACD BCEAC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ 2.5, 1.7AD cm DE cm ==, 2.5 1.70.8()CD CE DE AD DE cm =-=-=-= ∴0.8BE cm =(2)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∴90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中,90ADC E ACD BCE AC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ED EC CD =+∴ED AD BE =+(3)∵BEC ADC BCA α∠=∠=∠=∴180BCE ACD a ︒∠+∠=-180BCE BCE a ︒∠+∠=-∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中, ADC E a ACD BCE AC BC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ED EC CD =+∴ED AD BE =+【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定,确定一种判定定理,根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键.8.如图,在ABC ∆中,5BC = ,高AD 、BE 相交于点O , 23BD CD =,且AE BE = . (1)求线段 AO 的长;(2)动点 P 从点 O 出发,沿线段 OA 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动,动点 Q 从 点 B 出发沿射线BC 以每秒 4 个单位长度的速度运动,,P Q 两点同时出发,当点 P 到达 A 点时,,P Q 两点同时停止运动.设点 P 的运动时间为 t 秒,POQ ∆的面积为 S ,请用含t 的式子表示 S ,并直接写出相应的 t 的取值范围;(3)在(2)的条件下,点F是直线AC上的一点且CF BO=.是否存在t值,使以点,,B O P为顶点的三角形与以点,,F C Q为顶点的三角形全等?若存在,请直接写出符合条件的t值; 若不存在,请说明理由.【答案】(1)5;(2)①当点Q在线段BD上时,24QD t=-,t的取值范围是12t<<;②当点Q在射线DC上时,42QD t=-,,t的取值范围是152t<≤;(3)存在,1t=或53.【解析】【分析】(1)只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题;(2)分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时,QD=2-4t,②当点Q在射线DC 上时,DQ=4t-2时;(3)分两种情形求解即可①如图2中,当OP=CQ时,BOP≌△FCQ.②如图3中,当OP=CQ时,△BOP≌△FCQ;【详解】解:(1)∵AD是高,∴90ADC∠=∵BE是高,∴90AEB BEC∠=∠=∴90EAO ACD∠+∠=,90EBC ECB∠+∠=,∴EAO EBC∠=∠在AOE∆和BCE∆中,EAO EBCAE BEAEO BEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOE∆≌BCE∆∴5AO BC==;(2)∵23BD CD=,=5BC∴=2BD,=3CD,根据题意,OP t=,4BQ t=,①当点Q在线段BD上时,24QD t=-,∴21(24)22S t t t t =-=-+,t 的取值范围是102t <<. ②当点Q 在射线DC 上时,42QD t =-, ∴21(42)22S t t t t =-=-,t 的取值范围是152t <≤ (3)存在. ①如图2中,当OP=CQ 时,∵OB=CF ,∠POB=∠FCQ ,∴△BOP ≌△FCQ .∴CQ=OP ,∴5-4t ═t ,解得t=1,②如图3中,当OP=CQ 时,∵OB=CF ,∠POB=∠FCQ ,∴△BOP ≌△FCQ .∴CQ=OP ,∴4t-5=t ,解得t=53. 综上所述,t=1或53s 时,△BOP 与△FCQ 全等. 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.9.探究与发现:如图(1)所示的图形,像我们常见的学习用品一圆规,我们,不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”,试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下问题:①如图(2),把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=40°,则∠ABX+∠ACX=°.②如图(3),DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE 的度数.【答案】(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由见解析;(2)①50;②∠DCE=85°.【解析】【分析】(1)首先连接AD并延长至点F,然后根据外角的性质,即可判断出∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①由(1)可得∠A+∠ABX+∠ACX=∠X,然后根据∠A=40°,∠X=90°,即可求解;(3)②由∠A=40°,∠DBE=130°,求出∠ADE+∠AEB的值,然后根据∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC,求出∠DCE的度数即可.【详解】(1)如图,∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由是:过点A、D作射线AF,∵∠FDC=∠DAC+∠C,∠BDF=∠B+∠BAD,∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B,即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①如图(2),∵∠X=90°,由(1)知:∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°,∵∠A=40°,∴∠ABX+∠ACX =50°,故答案为:50;②如图(3),∵∠A =40°,∠DBE =130°,∴∠ADE+∠AEB =130°﹣40°=90°,∵DC 平分∠ADB ,EC 平分∠AEB ,∴∠ADC =12∠ADB ,∠AEC =12∠AEB , ∴∠ADC+∠AEC =1(ADB AEB)2∠+∠=45°, ∴∠DCE =∠A+∠ADC+∠AEC =40°+45°=85°.【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用,熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.10.如图,ABC ∆是等边三角形,点D 在边AC 上( “点D 不与,A C 重合),点E 是射线BC 上的一个动点(点E 不与点,B C 重合),连接DE ,以DE 为边作作等边三角形DEF ∆,连接CF .(1)如图1,当DE 的延长线与AB 的延长线相交,且,C F 在直线DE 的同侧时,过点D 作//DG AB ,DG 交BC 于点G ,求证:CF EG =;(2)如图2,当DE 反向延长线与AB 的反向延长线相交,且,C F 在直线DE 的同侧时,求证:CD CE CF =+;(3)如图3, 当DE 反向延长线与线段AB 相交,且,C F 在直线DE 的异侧时,猜想CD 、CE 、CF 之间的等量关系,并说明理由.【答案】(1)证明见详解;(2)证明见详解;(3)CF =CD +CE ,理由见详解.【解析】【分析】(1)由ABC ∆是等边三角形,//DG AB ,得∠CDG=∠A=60°,∠ACB=60°,CDG ∆是等边三角形,易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS),即可得到结论;(2)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ,易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS),即可得到结论;(3)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ,易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS),即可得到结论.【详解】(1)∵ABC ∆是等边三角形,//DG AB ,∴∠CDG=∠A=60°,∠ACB=60°,∴CDG ∆是等边三角形,∴DG=DC.∵DEF ∆是等边三角形,∴DE=DF ,∠EDF=60°,∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF ,即:∠GDE=∠CDF ,在∆ GDE 和∆ CDF 中,∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS),∴CF EG =;(2)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ,如图2,∵ABC ∆是等边三角形,//DG AB ,∴∠CDG=∠A=60°,∠ACB=60°,∴CDG ∆是等边三角形,∴DG=DC.∵DEF ∆是等边三角形,∴DE=DF ,∠EDF=60°,∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ,即:∠GDE=∠CDF ,在∆ GDE 和∆ CDF 中,∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS),∴CF GE =,∴CD CG CE GE CE CF ==+=+(3)CF =CD +CE ,理由如下:过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ,如图3,∵ABC ∆是等边三角形,//DG AB ,∴∠CDG=∠A=60°,∠ACB=60°,∴CDG ∆是等边三角形,∴DG=DC=GC.∵DEF ∆是等边三角形,∴DE=DF ,∠EDF=60°,∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE ,即:∠GDE=∠CDF ,在∆ GDE 和∆ CDF 中,∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS),∴CF GE ==GC+CE=CD+CE.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.。

相关文档
最新文档