2020届四川省凉山州高三毕业班第三次诊断性检测数学(文)试题

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四川省凉山州2020届高三第三次诊断性检测数学(文科)试题(wd无答案)

四川省凉山州2020届高三第三次诊断性检测数学（文科）试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 设集合，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知（ i是虚数单位），则( )A．3B．C．D．(★★) 3. 若，则“ 是”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★) 4. 如图所示的程序框图，若输出的 y的值为2，则输入的 x的值为( )A．4B．C．2或D．4或(★★★) 5. 已知正项等比数列，向量，若，则( )A．12B．16C．18D．(★★) 6. 已知角的顶点与原点重合，始边与 x轴正半轴重合，终边经过点，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 若双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的两条渐近线的夹角为( )A．B．C．D．(★★★) 8. 设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为( )A．B．C．D．(★★★) 9. 已知为平面区域内的两个动点，向量，则的最大值是( )A．1B．2C．3D．4(★★★) 10. 小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径为12厘米，轴的直径为4厘米.当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于( )A．6厘米B．7厘米C．8厘米D．9厘米(★★★) 11. 已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为 S，则 S的最小值为( )A．B．C．D．(★★) 12. 已知函数的图象关于直线对称，且当时，.若，，，则的大小关系是( )A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知，若，则_____.(★★) 14. 如图，是圆 O的直径，，假设向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_______.(★★) 15. 设的内角所对的边分别为，若，，,则______.三、双空题(★★★) 16. 阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.①若定点为，写出的一个阿波罗尼斯圆的标准方程__________；②△ 中，，则当△ 面积的最大值为时，______.四、解答题(★★★) 17. 为等差数列的前 n项和，已知.（1）求及；（2）设，数列的前 n项和为，证明：.(★★★) 18. 州电视台为了解州卫视一档中华诗词类节目的收视情况，抽查东西区各5个县，统计观看该节目的人数的数据得到如下的茎叶图（单位：百人）.其中一个数字被污损.（1）求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率；（2）该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习诗词的周平均时间 y（单位：小时）与年龄 x（单位：岁）的关系，如下表所示：x20304050y 2.534 4.5根据表中的数据，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众学习诗词的时间.（参考公式）(★★) 19. 如图，四面体中，分别是的中点，, .（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.(★★★) 20. 已知函数.（1）设函数在点处的切线方程为，求 a的值.（2）若曲线与曲线至少有一条公共切线，求 a的取值范围.(★★★★) 21. 已知椭圆，右顶点，上顶点为 B，左右焦点分别为，且，过点 A作斜率为的直线 l交椭圆于点 D，交 y轴于点 E.（1）求椭圆 C的方程；（2）设 P为的中点，是否存在定点 Q，对于任意的都有？若存在，求出点 Q；若不存在，请说明理由.(★★) 22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.两点的极坐标分别为，曲线 C的参数方程为（为参数）.（1）求两点的直角坐标及曲线 C的普通方程；（2）设P是曲线C上任意一点（P不在y轴上），若直线，分别交轴于点，，试问是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.(★★★) 23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设不等式的解集为 M，若，求实数 a的取值范围.。

四川省凉山州2020届高三第三次诊断检测语文试题及参考答案

凉山州2020届高中毕业班第三次诊断性检测语文第I卷阅读题(共70分)一、现代文阅读(36分)(一)论述类文木阅读(木题共3小题，9分)阅读下面文字，完成1}3题近些年，思维模式十分热门。

在众多的思维方法当中，批判性思维最受关注。

许多人看到“批判”二字，就本能地将之和批评甚至吵架画上了等号;至少，也会觉得这是一种激烈的思维模式，咄咄逼人，让人紧张批判性思维是一种评估、比较、分析、探索和综合信息的能力。

其中“批判”指的是审慎地判断，所以仅仅持有与他人或主流不同的观点并不是批判性思维。

最早给出“批判性思维”定义的人是美国哲学家约翰·杜威杜威在《我们如何思考》中称之为“反思性思维”(reflective thought)，并做了这样的定义:对观点和被认同的知识所采取的主动的、持续的、仔细的思考;其方式是探究知识具备什么样的支撑，可以得出什么样的结论从这个定义来看，批判性思维是一种建构性的思维，一种实践取向的思维，并不代表对他人论点的一味话难。

批判性思维要求不能仅仅停留在对信息的盲目吸收这一层级，而是要进行分析、比较与评估，全面地审视之后再去得出自己的认知。

从这个角度来说，批判性思维当然也是一种具有质疑与反驳倾向的思维;但是，这种质疑与反驳首先是“理性”的，它不以单纯的肯定或否定为目的，而以合理的判断为宗旨，以建构与发展为方向。

因此，它的质疑与反驳是基于实证与逻辑的。

批判性思维是一种重要的思维技能，在西方的教育体系中，批判性思维被普遍确立为高等教育的基本目标。

换言之，这是每个接受过高等教育的人，都应当具备的思维模式举一个例子，很多人都有非黑即白的二元思维方式。

在新闻热点事件中，非此即彼的道德绑架处处可见:你在这个问题上支持日本，你是不是不爱国?贩卖儿童罪大恶极，死刑你竟然不支持，你为何这么冷血?其实，爱国与是否支持某国家的某个具体举动没有直接关联;法律代表着程序正义，并不是倾泻愤恨的工具，是否判处死刑，需要足够的证据支撑，并依照严格的审判方能认定这种思维方式就像“不好好读书将来就要扫大街!”“是中国人就转发!”一样，无助于我们更好地理解现实世界批判性思维的要点，就是“理性考察之后再决定”，“理性考察”才是开锁的钥匙;它的内容，或者我们说的“探究和实证”，才是批判性思维的心脏地带。

(审核版)四川省凉山州2020届高中毕业班第三次诊断性检测语文试题(含答案解析).doc

凉山州2020届高中毕业班第三次诊断性检测语文试题本试题卷共10页，22题。

全卷满分150分。

考试用时150分钟。

★祝考试顺利★【注意事项】1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用合乎要求的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷阅读题（70分）一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1-3题。

关于秦始皇的形象，《过秦论》《史记》《战国策》《新语》《淮南子》《盐铁论》《汉书》等典籍都有不同程度的描述，主要是“刑法太酷、奢靡与横征暴敛、穷兵黩武”。

北大藏汉简《赵正书》亦有对秦始皇形象的刻画，虽然对秦始皇的描述性文字不多，但却非常具体，从不同侧面彰显了秦始皇将死之时的悲痛、疑虑、惆怅、不舍的感情。

这为我们加深对秦始皇的了解提供了更好的资料。

秦始皇的“天命观”在传世文献中很少涉及，《赵正书》则可以补充这方面的资料。

秦始皇曰：“吾自视天命，年五十岁而死，吾行年十四而立，立卅七岁矣。

吾当以今岁死，而不知其月日，故出游天下，欲以变气易命，不可于？……吾霸王之寿足矣，不奈吾子之孤弱。

”据此，秦始皇的“天命观”可总结为：知天命但却想易命。

从某种程度上看，这是一个很矛盾的逻辑。

简文中秦始皇以“霸王”自居，《管子》：“能为霸王者，盖天子圣人也。

”秦始皇自视功绩很大，“功盖五帝”，自当享有“至尊之寿”。

《新书》：“至尊之寿，轻百年耳。

四川省凉山州2020届高三毕业班第三次诊断性检测数学(文)试题PDF版含答案

凉山州 2020 届高中毕业班第三次诊断性检测
数学渊文科冤
本试卷分选择题和非选择题两部分. 第玉卷渊选择题冤袁第域卷渊非选择题冤袁共 4 页袁满分 150 分袁考试时间 120 分钟.
注意事项院 1.答题前袁考生务必将自己的姓名尧座位号尧准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上袁并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上曰非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内袁超出答题区域书写的答案无效曰在草稿纸尧试题卷上答题无效. 3.考试结束后袁将答题卡收回.
渊1冤求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率曰渊2冤该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情袁现从观看节目的观众中随机统计了 4
位观众学习诗词的周平均时间 y渊单位院小时冤与年龄 x渊单位院岁冤的关系袁如下表所示院
x
20
30
40
50
y
2.5
3
4
4.5
根据表中的数据袁试求线性回归方程 y=bx+a袁并预测年龄为 60 岁的观众学习诗词的时间遥
第玉卷渊选择题袁共 60 分冤
一尧选择题渊本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.冤 1. 设集合 A = 嗓 x 丨 2x 跃1 瑟袁B= 嗓 x 丨 x 臆1 瑟袁则 A 疑B=渊冤
A. 渊-1,1冤
B. 渊0,1暂
C. 咱-1,1暂
A援
-
仔 6
B.
仔 3
C援
仔 6
D援
-
仔 3
扇设设x-y臆0
设

四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性测试数学(文)试题解析word版

2020年高考（文）数学三诊试卷一、选择题（共12小题）.1．复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1﹣2i2．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．33．已知单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝（）A．0B．C．1D．24．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险5．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．96．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．28．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），若f（﹣1）＜1，f（2019）＝ln（a﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（﹣∞，e+1）C．（e+1，+∞）D．（1，e+1）9．某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）11．如图，教室里悬挂着日光灯管AB，AB＝90cm，灯线AC＝BD，将灯管AB绕着过AB 中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A′B′，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为（）A．30cm B．40cm C．60cm D．75cm12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．已知，则sinα＝．14．曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为．15．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．三、解答题17．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率[60，75）三等品100.1[75，90）二等品30b[90，105）一等品a0.4[105，120）特等品200.2合计n1（1）求a，b，n；（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．18．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．（1）求S n；（2）设b n＝log3S n，求使得＞0.99成立的最小自然数n．19．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，PA＝AB＝2．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F﹣PCD的体积．20．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．（1）若直线OG的斜率为，求直线l的方程；（2）设点P（x0，0），若∠FMP恒为锐角，求x0的取值范围．21．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解：＝．故选：A．2．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2．故选：C．3．已知单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝（）A．0B．C．1D．2【分析】直接把已知代入数量积求解即可．解：因为单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝﹣•＝12﹣0＝1．故选：C．4．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．解：根据A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，患者占有比例可知：A型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．5．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．9【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，∴4x＝＝＝9，故选：D．6．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】由三角形的内角和定理得到B＝π﹣（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到A＝C，利用等角对等边即可得到三角形为等腰三角形．解：∵sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝2sin A cos C，∴cos A sin C﹣sin A cos C＝sin（C﹣A）＝0，即C﹣A＝0，C＝A，∴a＝c，即△ABC为等腰三角形．故选：B．7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．2【分析】利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．解：双曲线＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得a＝1，c＝3，b＝2，所以双曲线的离心率为：e＝＝3．故选：B．8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），若f（﹣1）＜1，f（2019）＝ln（a﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（﹣∞，e+1）C．（e+1，+∞）D．（1，e+1）【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝f（﹣1），进而可得ln（a﹣1）＜1，变形可得0＜a﹣1＜e，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f （x），函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+4×505）＝f（﹣1），又由f（2019）＝ln（a﹣1）且f（﹣1）＜1，则有ln（a﹣1）＜1，变形可得0＜a﹣1＜e，解可得：1＜a＜e+1；故a的取值范围为（1，e+1）；故选：D．9．某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝32＝9，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数m＝＝6，由此能求出这两位居民参加不同服务队的概率．解：某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，基本事件总数n＝32＝9，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数m＝＝6，则这两位居民参加不同服务队的概率p＝＝．故选：A．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．解：∵函数的最小周期是π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），∵f（x）关于中心对称，∴2×（﹣）+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ+，k∈Z，∵，∴当k＝0时，φ＝，即f（x）＝sin（2x+），则函数在[﹣，]上递增，在[，]上递减，f（0）＝f（），∵＜1＜2，∴f（）＞f（1）＞f（2），即f（2）＜f（1）＜f（0），故选：D．11．如图，教室里悬挂着日光灯管AB，AB＝90cm，灯线AC＝BD，将灯管AB绕着过AB 中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A′B′，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为（）A．30cm B．40cm C．60cm D．75cm【分析】设A′B′与OO′交于点N，过点A′作A′M⊥AC于M，连接MN，由等边三角形求出A′M，由勾股定理求得AC的值．解：设A′B′与OO′交于点N，过点A′作A′M⊥AC于M，连接MN，如图所示；则CM＝AC﹣15，△A′MN中，A′N＝AB＝45，MN＝45，∠A′MN＝60°，所以A′M＝45；在Rt△A′MC中，由勾股定理得，（AC﹣15）2+452＝AC2，解得AC＝75（cm）．故选：D．12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的交点个数．由y＝﹣，得y′＝．可知当x＜1时，y′＜0，函数单调递减，当x＞1时，y′＞0，函数单调递增．作出两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象如图：由图可知，函数的零点个数为2个．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则sinα＝．【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵，∴两边平方可得：cos2+sin2﹣2cos sin＝，可得1﹣sinα＝，∴sinα＝．故答案为：．14．曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为x+y+2＝0．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x＝﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解：y'＝2﹣3x2y'|x＝﹣1＝﹣1而切点的坐标为（﹣1，﹣1）∴曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为x+y+2＝0故答案为：x+y+2＝015．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝2．【分析】根据正余弦定理可得PF1•PF2＝16且4c2＝（2a）2﹣16，解出b即可．解：△F1PF2的面积＝PF1•PF2sin120°＝PF1•PF2＝4，则PF1•PF2＝16，又根据余弦定理可得cos120°＝，即4c2＝PF12+PF22+16＝（2a）2﹣32+16，所以4b2＝16，解得b＝2，故答案为：2．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．【分析】设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．解：设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；则h2+2a2＝（2×2）2，所以a2＝8﹣h2，所以正四棱柱容器的容积为V＝a2h＝（8﹣h2）h＝﹣h3+8h，h∈（0，4）；求导数得V′＝﹣h2+8，令V′＝0，解得h＝，所以h∈（0，）时，V′＞0，V（h）单调递增；h∈（，4）时，V′＜0，V（h）单调递减；所以h＝时，V取得最大值．所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率[60，75）三等品100.1[75，90）二等品30b[90，105）一等品a0.4[105，120）特等品200.2合计n1（1）求a，b，n；（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．【分析】（1）由10÷0.1＝100，得n＝100，由此能求出a，b．（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得x＝2，y＝4，在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，由此利用列举法能求出至少有1件特等品被抽到的概率．解：（1）由10÷0.1＝100，即n＝100，∴a＝100×0.4＝40，b＝30÷100＝0.3．（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得x＝2，y＝4，∴在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况有15种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，∴至少有1件特等品被抽到的概率为：p＝．18．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．（1）求S n；（2）设b n＝log3S n，求使得＞0.99成立的最小自然数n．【分析】（1）利用数列的递推关系式，推出数列{S n}是等比数列，然后求解即可．（2）化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式推出n的范围，然后求解即可．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．所以S n+1＝3S n，所以{S n}是等比数列，首项为1，公比为3等比数列．S n＝3n﹣1．（2）b n＝log3S n＝n﹣1，＝＝＝1，＞0.99成立，即1＞0.99，解得n＞99，所以最小自然数n为100．19．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，PA＝AB＝2．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F﹣PCD的体积．【分析】（1）取PC的中点G，连接DG，FG．利用正方形的性质、三角形中位线定理可得：DE∥BC，且DE＝BC．于是四边形DEFG为平行四边形，可得EF∥DG，即可证明EF∥平面PCD．（2）根据EF∥平面PCD，可得F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，可得V F﹣PCD＝V E﹣PCD＝V A﹣PCD＝V P﹣ACD．由PA⊥平面ABCD，可得V P﹣ACD＝PA ×S△ACD，即可得出．【解答】（1）证明：取PC的中点G，连接DG，FG．∵四边形ABCD为正方形，且DE＝BC，FG∥BC，且FG＝BC．∴DE∥BC，且DE＝BC．∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG，∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，∴EF ∥平面PCD．（2）解：∵EF∥平面PCD，∴F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，∴V F﹣PCD＝V E﹣PCD＝V A﹣PCD＝V P﹣ACD．∵PA⊥平面ABCD，∴V P﹣ACD＝PA×S△ACD＝××2＝．∴V F﹣PCD＝．20．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．（1）若直线OG的斜率为，求直线l的方程；（2）设点P（x0，0），若∠FMP恒为锐角，求x0的取值范围．【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而可得中点G的坐标，求出直线OG的斜率，再由题意可得直线中参数的值，进而求出直线方程；（2）∠FMP恒为锐角，等价于＞0，设M的坐标，求出向量的代数式，使其大于0恒成立，令函数h（t），分两种情况讨论函数大于0时的x0的范围．解：（1）由题意得F（1，0），设直线l的方程为：x＝ty+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点G（x0，y0），联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣4ty﹣4＝0，可得y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以y0＝2t，x0＝ty0+1＝2t2+1，即G（2t2+1，2t），所以k OG＝，由题意可得＝，解得t＝或t＝1，所以直线l的方程为：x﹣y﹣1＝0，或2x﹣y﹣2＝0；（2）∠FMP恒为锐角，等价于＞0，设M（，y1），F（1，0），P（x0，0），＝（x0﹣，﹣y1），＝（1﹣，﹣y1），则＝（x0﹣）（1﹣）+y12＝+y12+（1﹣）x0＞0恒成立，令t＝，则t＞0，原式等价于t2+3t+（1﹣t）x0＞0，对任意的t＞0恒成立，令h（t）＝t2+（3﹣x0）t+x0，①△＝（3﹣x0）2﹣4x0＝x02﹣10x0+9＜0，解得1＜x0＜9，②，解得：0≤x0≤1，又x0≠1，故0≤x0＜1，综上所述：x0的取值范围[0，1）∪（1，9）．21．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．【分析】（1）把a＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．解：（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx﹣+2，＝，x＞0，易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，故当x＝时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4，（2）＝，当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点；当0即时，f（x）在（1，e）上单调递减，由题意可得，，解可得，0，当即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1）﹣＝，令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）ln﹣a+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，令h（a）＝，则＜0，所以h（a）在（）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，所以g（a）在（）上递增，g（a）＞g（）＝2﹣，即f（）＞0，所以f（x）在（1，e）上没有零点，综上，当0＜a＜时，f（x）在（1，e）上有唯一零点，当a≤0或a时，f（x）在（1，e）上没有零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．（2）由（1）得：|MN|＝|．显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，设PC2与直线MN垂直于点H，如图所示：在Rt△OHC2中，|，所以点P到直线MN的最大距离d＝，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值m，然后由a+4b+9c＝m，根据++＝++（a+4b+9c），利用基本不等式求出的最小值．解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝．∵f（x）≤5，∴或﹣1≤x≤2或，∴﹣2≤x≤3，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}．（2）∵f（x）＝|x﹣2|+|x+1|⩾|（x﹣2）﹣（x+1）|＝1∴f（x）的最小值为1，即m＝3，∴a+4b+9c＝3．＝＝3，当且仅当时等号成立，∴最小值为3．。

(审核版)四川省凉山州2020届高中毕业班第三次诊断性检测语文试题(含答案解析).doc

凉山州2020届高中毕业班第三次诊断性检测语文试题本试题卷共10页，22题。

全卷满分150分。

考试用时150分钟。

★祝考试顺利★【注意事项】1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用合乎要求的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷阅读题（70分）一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1-3题。

这为我们加深对秦始皇的了解提供了更好的资料。

秦始皇的“天命观”在传世文献中很少涉及，《赵正书》则可以补充这方面的资料。

秦始皇曰：“吾自视天命，年五十岁而死，吾行年十四而立，立卅七岁矣。

吾当以今岁死，而不知其月日，故出游天下，欲以变气易命，不可于？……吾霸王之寿足矣，不奈吾子之孤弱。

”据此，秦始皇的“天命观”可总结为：知天命但却想易命。

从某种程度上看，这是一个很矛盾的逻辑。

简文中秦始皇以“霸王”自居，《管子》：“能为霸王者，盖天子圣人也。

”秦始皇自视功绩很大，“功盖五帝”，自当享有“至尊之寿”。

《新书》：“至尊之寿，轻百年耳。

四川省凉山州2020届高中毕业班第三次诊断性检测数学试题文科含答案

凉山州2020届高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．2．选择题使用2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{}|21,{|||1}x A x B x x =>=…，则A B ⋂=（） A ．(1,1)- B ．(0,1] C ．[1,1]- D ．[0,1] 2．已知1z i =-（是虚数单位），则4z z+=（） A ．3 B ．3i C ．3i + D ．3i -3．若,a b R ∈，则“0a b ->是22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图所示的程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（）A ．4B ．2-C ．2或2-D ．4或2-5．已知正项等比数列{}n a ，向量()()37,8,,2a a b a =-=r r，若a b ⊥r r ，则212229log log log a a a +++=L （）A ．12B ．16C ．18D ．26log 5+6．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()sin30,tan135︒︒，则cos2α=（） A ．35-B ．35C ．45-D ．457．若双曲线2221(0)3x y b b-=>与抛物线28y x =有相同的焦点，则该双曲线的两条渐近线的夹角为（） A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π8．设函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与函数()2cos(3)||3g x x π⎛⎫=+∅∅ ⎪⎝⎭…的对称轴完全相同，则∅的值为（）A ．6π-B ．3πC ．6πD ．3π- 9．已知, M N 为平面区域0303x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩内的两个动点，向量(1,0)a =r ，则MN a ⋅u u u u r r 的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径为12厘米，轴的直径为4厘米．当小明用掉34的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于（）A ．6厘米B ．7厘米C ．8厘米D ．9厘米11．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积12,2V AB ==，若四面体11A B CD -的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为（）A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π12．已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(0,)x ∈+∞时，ln ()x f x x =．若2e a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．c b a >>第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知(1,2),(1,)a b m =-=r r ，若//a b rr ，则m =_____．14．如图，AB 是圆O 的直径，OC AB ⊥，假设向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_______．15．设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若,2,2A c b π===(1)(0)AD AB AC λλλ=+->u u u r u u u r u u u r，2DAB DAC ∠=∠,则λ=______．16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．（1）若定点为(1,0),(1,0)A B -，写出12k =的一个阿波罗尼斯圆的标准方程__________；（2）ABC V 中，||2,||||(1)AB AC k BC k ==>，则当ABC V面积的最大值为时，k =______．三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共70分） 17．（12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17914,81a a S +==．（1）求n a 及n S ；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1132n T <…． 18．（12分）州电视台为了解州卫视一档中华诗词类节目的收视情况，抽查东西区各5个县，统计观看该节目的人数的数据得到如下的茎叶图（单位：百人）．其中一个数字被污损．（1）求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率；（2）该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习诗词的周平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁）的关系，如下表所示：根据表中的数据，试求线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测年龄为60岁的观众学习诗词的时间．（参考公式1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynx y bay bx xnx ==-⋅==--∑∑） 19．（12分）如图，四面体ABCD 中，O E 、分别是BD BC 、的中点，2CA CB CD BD ====,AB AD ==（1）求证：//OE 平面ADC ；（2）求直线AE 与平面BDC 所成角的余弦值． 20．（12分）已知函数()ln (0)f x a x a =>．（1）设函数2()()g x f x x =-在点(1,(1))g 处的切线方程为20x y --=，求a 的值．（2）若曲线()y f x =与曲线2y x =至少有一条公共切线，求a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右顶点(2,0)A ，上顶点为B ，左右焦点分别为12,F F ，且1260F BF ︒∠=，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥？若存在，求出点Q ；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23两题中选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．A B 、两点的极坐标分别为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）求A B 、两点的直角坐标及曲线C 的普通方程；（2）设P 是曲线C 上任意一点（P 不在y 轴上），若直线PA PB 、分别交x 轴于点M N 、，试问||||OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 23．（10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()||f x x a =-．（1）当1a =时，求不等式11()x f x +>的解集；（2）设不等式|21|()x f x x -+…的解集为M ，若1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．参考答案及评分意见评分说明：1．本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题不给中间分．一、选择题（每小题5分，共60分） 1-12：BCADC ABCCB CD 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．2- 14．1π15．1316．①2251639x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭（写对一个即可）3（2分）三、解答题（共70分）17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由1714a a +=得：137a d += ① 1分又981S =1989812a d ⨯∴+=即149a d += ② 2分由①②解得：11,2a d == 4分221,n n a n S n ∴=-= 6分（2）由（1）得：111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭8分 ∴数列{}n b 的前n 项和123n n T b b b b =+++⋯+1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭10分显然，n T 随n 的增大而增大．112n T T ∴≤<，即1132n T ≤< 12分 18解：（1）设被污损的数字为x ，(,09)x N x ∈≤≤，则(80)8990919244255x x X ++++++==东 858687949945155X ++++==西由题意得：X X >西东即45144255x+>即9x < 2分所以，西部各县观看该节目的观众的平均数超过东部各县观看该节目的观众的平均数的概率为910p = 4分（2）由已知得：20304050354x +++==， 2.534 4.53.54y +++== 6分4120 2.530340450 4.5525i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221203040505400ii x==+++=∑41422214525435 3.5ˆ0.0754004354i ii ii x yx ybxx ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑ ˆˆ 3.50.0735 1.05ay bx =-=-⨯= ∴回归直线方程为ˆ0.07 1.05yx =+ 10分 ∴当60x =时，ˆ0.0760 1.05 5.25y=⨯+=即年龄为60岁的观众学习诗词的时间为5.25小时 12分19．（1）证明：Q 在BDC V 中，O E 、分别是BD BC 、的中点//OE CD ∴ 2分又OE ⊄平面ADC ，CD ⊂平面ADC//OE ∴平面ADC 4分（2）解：连接OCQ 在BDC V 中，2BD BC CD ===且O 是BD 的中点OC ∴=Q 在ABD V 中，2AB AD BD ===ABD ∴V 为等腰直角三角形又O 是BD 的中点112AO BD ∴==且AO BD ⊥ ∴在AOC V 中，222AO OC AC +=即AO OC ⊥而BD OC O ⋂=AO ∴⊥平面BCD 8分∴直线AE 与平面BCD 所成的角为AEO ∠，AO OE ⊥ 10分 Q 在BDC V 中，O E 、分别是BD BC 、的中点112OE CD ∴==∴在Rt AOE ∆中，AE =cos AEO ∴∠=即直线AE 与平面BCD 所成的角的余弦值为212分 20．解（1）2()()g x f x x =-Q2()ln g x a x x ∴=-()2(0)ag x x x x'∴=-> 又函数()g x 在(1,(1))g ）处的切线方程为20x y --=(1)1g '∴=，即21a -=，即3a = 5分（2）设公切线l 与函数()ln f x a x =相切于点()00,ln x a x ，则由()a f x x'=，得()00a f x x '=∴公切线l 为：()000ln ay x x a x x =-+ 即()000ln 0axy a a x x x =-+> 6分由002ln ax y a a x x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，得：200ln 0ax x a a x x -+-= Q 直线l 与曲线2y x =相切()20204ln 0a a a x x ∴∆=--=，即()22000044ln 0,0a x x x x a =->> 8分设22()44ln (0)h x x x x x =->，则()4(12ln )h x x x '=-由()0h x '>，得0x <<()0h x '<得x >∴函数()h x在上单增，在)+∞上单减max ()4(12h x h e e ∴==-= 02a e ∴<≤()y f x ∴=与曲线2y x =至少有一条公切线时，a 的取值范围为(0,2]e 12分21．解：（1）由题意得：2a =Q 在2Rt OBF V 中，1260F BF ︒∠=，230OBF ︒∴∠=，2||,OB b OF c == 2BF a ∴=，cos30ba︒∴=，22b =，b =∴椭圆方程为22143x y += 4分（2）解法一：设直线:(2)(0)*AD y k x k =-≠L 令0x =，则2y k =-，(0,2)E k ∴-将*代入22143x y +=整理得()2223416120k x k +--= 设()00,D x y ，则2216234D k x k+=+， 228634D k x k -∴=+，222861223434D k k y k k k ⎛⎫-=-=- ⎪++⎝⎭6分设(),p p P x y ，p Q为AD 的中点22221868223434p k k x k k ⎛⎫-∴=+= ⎪++⎝⎭，22112623434p k ky k k ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 22286,3434k k OP kk ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭u u u r 8分设存在()00,Q x y 使得OP EQ ⊥，则()00,2EQ x y k =+u u u r，0OP EQ ⋅=u u u r u u u r220022861203434k x ky k k k +∴-=++，即()20024236034k x ky k--=+对任意的0k ≠都成立 00230,0x y -=⎧∴⎨=⎩，032x ∴=，∴存在3,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭使得OP EQ ⊥ 12分解法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y22111(1)43x y ∴+=L ，22221(2)43x y +=L 由(1)(2)-，得()()()()12121212143x x x x y y y y +-+-+=P Q 为AB 中点，0012123022x y y y x x -∴+⋅=-1212(0)AB y y k k k x x -==≠-Q ，0013022y kx ∴+=0OP y k x =Q ，34OP k k∴=- 8分设存在()33,Q x y 使得OP EQ ⊥，则332143OP y kk x k +=-=，即()3322330*k kx y --=L对任意0k ≠都成立，即332x =，30y =，∴存在3,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭使得OP EQ ⊥ 12分22．解：（1）A B 、两点的直角坐标为：(0,1)A 、(0,1)B - 2分由2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩得cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩2214x y ∴+=∴曲线C 得普通方程为2214x y += 5分（2）解法一：设(2cos ,sin )(cos 0)P θθθ≠sin 1:12cos AP l y x θθ-∴=+，令2cos 0,1sin y x θθ==- 同理sin 1:12cos BP l y x θθ+=-，令2cos 0,1sin y x θθ==+2cos ,01sin M θθ⎛⎫∴ ⎪-⎝⎭，2cos ,01sin N θθ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ 7分2224cos 4cos ||||4(1sin )(1sin )cos OM ON θθθθθ∴⋅===-+||||4OM ON ∴⋅=为定值． 10分解法二：设(,)(0)P m n m ≠1:1AP n l y x m -∴=+，令0,1m y x n ==-，同理1:1BP n l y x m +=-，令0,1m y x n==+ ,01m M n ⎛⎫∴ ⎪-⎝⎭，,01m N n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭7分又P 在椭圆上，22221144m m n n ∴+=⇒=-，2222||||414m m OM ON m n⋅===- ||||4OM ON ∴⋅=为定值 10分23．解（1）1a =时，111|1|(1)|1|x x x x x +>⇔+>-≠-111x x x >⎧⇔⎨+>-⎩或111x x x<⎧⎨+>-⎩，解之得：1x >或01x <<4分 ∴不等式得解集为(0,1)(1,)⋃+∞ 5分（2）Q 不等式得解集为M ，且1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦210x ∴-≥ 6分|21|()21||x f x x x x a x ∴-+≤⇔-+-≤||111x a x x x a x ⇔-≤-+⇔-≤-≤-+112a a x ≤⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩当1a >时，M 为∅，显然不满足1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦； 7分当1a ≤时，1,2a M +⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦Q 112a +∴≥即1a ≥1a ∴= 9分综上，a 的取值范围为{1}. 10分。

2020届四川省成都市高中毕业班第三次诊断性检测数学(文)试题(解析版)

2020届四川省成都市高中毕业班第三次诊断性检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,A x =，{}0,2,4B =.若A B ⊆，则实数x 的值为（） A ．0或2 B ．0或4C ．2或4D ．0或2或4【答案】C【解析】利用子集的概念即可求解. 【详解】集合{}0,A x =，{}0,2,4B =若A B ⊆，则集合A 中的元素在集合B 中均存在，则0,2x =或4，由集合元素的互异性可知2x =或4，故选：C 【点睛】本题考查了子集的概念，理解子集的概念是解题的关键，属于基础题.2．若复数z 满足25zi i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点的坐标为（） A ．()2,5 B ．()2,5-C ．()5,2-D ．()5,2-【答案】D【解析】根据题意两边同时除以i 可求出复数z ，然后即可求出z 在复平面上对应的点的坐标. 【详解】解：因为25zi i =+，所以2552iz i i+==-，故z 在复平面上对应的点的坐标为()5,2-.故选：D. 【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标一一对应的关系，考查复数除法的四则运算，属于基础题.3．命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是（）A ．0x R ∃∈，20010x x -+> B ．x R ∀∈，210x x -+≤ C ．0x R ∃∈，20010x x -+≥D ．x R ∀∈，210x x -+>【答案】D【解析】含有全称量词和特称量词的否定是：否量词，否结论，不否范围. 【详解】解：命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是x R ∀∈，210x x -+>.故选：D. 【点睛】本题考查含有全称量词和特称量词的命题的否定，熟练掌握否定的规则是解题的关键，本题属于基础题.4．如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果. 【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体为三棱柱，当选A 时，正视的中间的竖线应为虚线，选项BCD 均可能，故选：A 【点睛】此题考查三视图与几何体之间的转换，考查学生的转换能力和空间想象能力，属于基础题.5．已知函数()22x x f x -=-，则()2log 3f =（） A ．2B ．83C ．3D ．103【答案】B【解析】根据函数解析式及指数对数恒等式计算可得；【详解】解：因为()22x x f x -=- 所以()22log 3log 3218log 322333f -=-=-=故选：B 【点睛】本题考查函数值的计算，对数恒等式的应用，属于基础题.6．已知实数,x y 满足102050x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，可得当3x =，2y =时，2z x y =+取得最大值8．【详解】作出实数x ，y 满足10,20,50x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，其中(3,2)A ，(1,2)B ，(1,4)C设(,)2z F x y x y ==+，将直线:2l z x y =+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值()3,22328max z F ∴==⨯+=．故选：C ．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数2z x y =+的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m 的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（）A ．4002mB ． 24002mC ．6002mD ．8002m【答案】D【解析】连接OD ，设COD θ∠=，则sin CD OD θ=，cos OC OD θ=，2ABCD S OC CD =⋅根据三角函数的性质求出面积最值；【详解】如图连接OD ，设COD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 202sin CD OD θθ==，cos 202OC OD θθ==所以22202202800sin 2ABCD S OC CD θθθ=⋅=⨯⨯=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,θπ∈，所以(]sin 20,1θ∈，所以(]0,800ABCD S ∈，当4πθ∈时()max 800ABCD S =故选：D 【点睛】本题考查三角函数的应用，属于基础题.8．在等比数列{}n a 中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是（）A ．－3B ．3C ．3±D ．9【答案】B【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解公比. 【详解】解：因为190nn n a a +=>，所以11111999nn n n n n n n a a a a a a ++---===，所以29q =，所以3q =或3q =-，当3q =-时，109nn n a a +=<不合题意，故选：B 【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.9．已知函数()33f x x x =-，则“1a >”是“()()1f a f >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对函数()33f x x x =-进行求导可得到：()()()2()31311f x x x x '=-=-+从而可得出函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性可知：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立，所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件. 【详解】由题意可得：()()()2()31311f x x x x '=-=-+，令()0f x '>解得1x >或1x <-，即函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立，所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了函数的单调性及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.10．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y ab a b-=>>的左，右焦点，经过点2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且1264F AF ππ≤∠≤.则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．5,7⎡⎤⎣⎦B ．5,13⎡⎤⎣⎦C ．3,13⎡⎤⎣⎦D ．7,3⎡⎤⎣⎦【答案】B【解析】由题意画出图形，求得122tan a F AF b ∠=，再由1264F AF ππ∠求得b a的范围，结合双曲线的离心率公式得答案．【详解】如图，由题意，(,)bcA c a，12||2F F c =，则12122||22tan ||F F c aF AF bc AF b a∠===．由1264F AF ππ∠，得321ab，即223ba． 21()[5,13]c be a a∴=+．故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等； ②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π；④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE + 其中所有正确结论的编号是（） A ．①② B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】C 【解析】根据三角形全等判断①，根据sin PAB ∠的值和三角形的内角和得出PAB ∠的范围，计算外接球半径判断③，将棱锥侧面展开计算最短距离判断④．【详解】解：如图1，AB BC ⊥，D 是AC 的中点，DA DB DC ∴==，又PD ⊥平面ABC ，Rt PDA RtPDB RTPDC ∴∆≅≅，PA PB PC ∴==，故①正确；PA PB =，PAB PBA ∴∠=∠，又PAB PBA APB π∠+∠+∠=，2PAB π∴∠<，过P 作PM AB ⊥，M 为垂足，如图2，则1PM PD >=，又PA sin2PM PAB PA ∴∠=>=，4PAB π∴∠>，故②正确；AB BC ⊥，D ∴为平面ABC 截三棱锥外接球的截面圆心，设外接球球心为O ，则O 在直线DP 上，如图3，设DO h =，则(1)h ±=0h =，故D 为外接球的球心．∴外接球的体积为344133ππ⨯⨯=，故③错误．若AB BC =，则2BC =，又2PB PC ==，故PBC ∆是等边三角形，将平面PCD 沿PC 翻折到平面PBC 上，如图4，图5. 则DE BE +的最短距离为线段BD 的长．6045105BCD ∠=︒+︒=︒，2BC =1CD =，6221221cos10523BD +∴=+-⨯⨯⨯︒=+④正确．故选：C ．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．12．已知函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是（）A ．34π B ．23π C ．712π D ．2π 【答案】A【解析】将点20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭代入解析式，求出A ，然后再利用三角函数的平移变换求出ω，再由()()12min max 2f x f x ≥，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得sin142A π-=，解得1A =+ 函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个长度单位可得()(1sin 314g x x πωπω⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据两函数的图象重合，可知32,k k Z πωπ=∈，解得2,3kk Z ω=∈，又因为01ω<<，所以23ω=，对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立，则()()12min max 2f x f x ≥，由[]12,0,x x t ∈，则12222,,3434434x x t ππππ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦，若要实数t 取最大值，由()()2max1min2f x f x ≥，只需()min 1122f x ≥=，所以23344t ππ+≤，解得34t π≤，所以实数t 的最大值是34π. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式、三角不等式恒成立问题、正弦函数的性质，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥，则实数λ的值为______. 【答案】23-【解析】由a b ⊥，故1230a b λ=⨯+=，即可解得；【详解】解：因为()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥，所以1230a b λ=⨯+=，解得23λ=- 故答案为：23- 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.14．某实验室对小白鼠体内x ，y 两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为y bx a =+.若下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =，则b 的值为______. 【答案】0.54【解析】由已知表格中的数据，求得x 和y ，代入回归方程，再把点()170,117代入y bx a =+，联立方程组即可求解b 的值.【详解】解：由已知表格中的数据，求得：1201101251301151205x ++++==，9283909689905y ++++==，则12090b a +=，①又因为下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =，则170117b a +=，② 联立①②，解得：0.54b =. 故答案为：0.54. 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，属于基础题.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则12310a a a a ++++的值为______.【答案】792【解析】首先求出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得到232344n S n n =-+，再利用作差法求出31322n a n =-+，最后利用分组求和计算可得；【详解】解：因为15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设公差为d ，所以15S =，525S =，所以513544S S d -==-，所以32344n S n n =-+，所以232344n S n n =-+①；当2n ≥时，()()213231144n S n n -=--+-②；①减②得31322n a n =-+，显然15a =符号故31322n a n =-+，当14n ≤≤时0n a ≥，5n ≥时0n a <所以12310a a a a ++++41102356789a a a a a a a a a a -----+-=++()4104S S S --=4102S S =-2232332344101044442⨯+⨯-⎪=⨯⨯⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭+357911222⎛=⎫⨯--= ⎪⎝⎭故答案为：792【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题.16．已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过点F 且倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A ，B 点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M .则4pFM的值为______. 【答案】2【解析】先写出过点F 且倾斜角为4π的直线方程，然后与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系得到线段AB 的中点坐标，从而可得到线段AB 的垂直平分线方程，进而可求出点M 的坐标，于是就得到FM 的值，即可得结果. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF ，则经过点F 且倾斜角为4π的直线为2py x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 为00(,)N x y ，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22304p x px -+=，所以12003,22x x px y p +===，所以线段AB 的垂直平分线方程为3()2py p x -=--，令0y =，得52p x =，所以5(,0)2pM ，所以5222p p FM p =-=，所以4422p p FM p ==，故答案为：2 【点睛】此题考查抛物线方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，运用了根与系的关系，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题17．某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；（Ⅱ）从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率. 【答案】（Ⅰ）不需要对该销售小组发放奖励；（Ⅱ）710. 【解析】（Ⅰ）求出月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例，与65%比较判断即可；（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ，利用列举法，列举出5名销售员中随机抽取2名的所有结果和至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果，最后根据古典概型求概率，即可得出结果. 【详解】解：（Ⅰ）该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元，分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70， ∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1155%20=， ∵55%65%<，故不需要对该销售小组发放奖励.（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ，从上述5名销售员中随机抽取2名的所有结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，()12,a a ，()13,a a ，()23,a a ，共有10种，其中至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，共有7种，故选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率为710P =. 【点睛】本题考查利用列举法写出基本事件和古典概率求概率，以及利用概率对实际问题进行评估，属于基础题.18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()sin()()(sin sin )a c A B a b A B -+=-+.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4b =，求a c +的最大值. 【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）8.【解析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可得()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+，再根据正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2216a c ac +-=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）在ABC 中，∵sin()sin()sin A B C C π+=-=， ∴()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+. 由正弦定理，得()()()a c c a b a b -=-+. 整理，得222c a b ac +-=.∴222122c a b ac +-=.∴1cos 2B =. 又0B π<<，∴3B π=.（Ⅱ）∵4b =，∴2216a c ac +-=，即2()163a c ac +-=，∵22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22()1632a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭. ∴21()164a c ≤+. ∴8a c +≤，当且仅当a c =时等号成立. ∴a c +的最大值为8. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，需熟记定理的内容，属于基础题. 19．如图，在多面体ABCDEF 中，ADEF 为矩形，ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，2BC =，4=AD ，且AB BD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为EF ，CD 的中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面ACF ；（Ⅱ）若2DE =，求多面体ABCDEF 的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；103. 【解析】（Ⅰ）取AD 的中点O .连接OM ，ON ，可证//OM AF ，//ON AC ，然后利用平面//MON 平面ACF ，可证//MN 平面ACF .（Ⅱ）将多面体分为四棱锥B ADEF -和三棱锥B CDE -两部分，将B CDE V -转化为V E BCD -，然后利用四棱锥和三棱锥的体积公式分别求出然后求和即可. 【详解】解：（Ⅰ）如图，取AD 的中点O .连接OM ，ON .在矩形ADEF 中，∵O ，M 分别为线段AD ，EF 的中点， ∴//OM AF .又OM ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ， ∴//OM 平面ACF .在ACD 中，∵O ，N 分别为线段AD ，CD 的中点， ∴//ON AC .又ON ⊄平面ACF ，AC ⊂平面ACF ， ∴//ON 平面ACF . 又OMON O =，,OM ON ⊂平面MON ，∴平面//MON 平面ACF又MN ⊂平面MON ，∴//MN 平面ACF . （Ⅱ）如图，过点C 作CH AD ⊥于H . ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，CH ⊂平面ABCD ，∴CH ⊥平面ADEF .同理DE ⊥平面ABCD .连接OB ，OC .在ABD △中，∵AB BD ⊥，4=AD ， ∴122OB AD ==. 同理2OC=.∵2BC =，∴等边OBC 的高为3，即3CH =. 连接BE .∴ABCDEF B ADEF B CDE B ADEF E BCD V V V V V ----=+=+1111124323233332ADEF BCD S CH S DE =⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯△ 103=.【点睛】本题考查利用线线平行，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，考查分割法求多面体的体积，考查四棱锥和三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.20．已知函数()ln xm e f x x e=-，其中m R ∈.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当2m =时，证明：()0f x >.【答案】（Ⅰ）单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）利用导数求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）先证明存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =，再利用导数求出()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】解：（Ⅰ）当1m =时，()ln x e f x x e =-.则()1'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增（增函数+增函数=增函数），且()'10f =，∴当()0,1x ∈时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. ∴()f x 的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,.（Ⅱ）当2m =时，()2ln x e f x x e =-.则()21'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增，且()1'110f e =-<，()1'2102f =->， ∴存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =.∴当()00,x x ∈时，()'0f x <，即()f x 在()00,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >，即()f x 在()0,x +∞上单调递增， ∴()()0002ln x e f x ef x x ==-最小值.又0201x e e x =，即0201ln ln x ex -=.化简，得002ln x x -=-. ∴()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值. ∵()01,2x ∈，∴()001220x x f x =+->=最小值. ∴当2m =时，()0f x >. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F，点2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点.（i ）当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .求证：121k k =-；（ii ）求ABMN的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（Ⅰ）把点Q ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，结合222a b c =+，c =，即可求得椭圆的标准方程.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ,写出切线方程()00y k x x y =-+，联立方程组()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，再由0∆=，结合韦达定理，写出12k k 的表达式，化简得出结果; （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，进而求得直线PA 和PB 的直线方程，结合两条直线的形式，可写出直线AB 的方程，运用弦长公式求得ABMN，结合0y 的范围，可求得ABMN的取值范围. 【详解】（Ⅰ）∵椭圆C 的左焦点()1F ，∴c =将Q ⎛ ⎝⎭代入22221x y a b +=，得221314a b +=. 又223a b -=，∴24a =，21b =.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为()00y k x x y =-+. 由()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=.()()()222200006444144k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()22200004210x k x y k y -++-=.由已知，则212214y k k x -=-. 又22005x y +=，∴()220012220154144x x k k x x ---===---. （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y .当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为()111y k x x y =-+.由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()22211111111148440k xk y k x x y k x ++-+--=.()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=. 则11111122111444x y x y x k x y y =-=-=--. ∴直线PA 的方程为()11114x y x x y y =--+. 化简，可得22111144x x y y y x +=+，即1114x xy y +=. 经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为2x =或2x =-，也满足1114x xy y +=. 同理，可得直线PB 的方程为2214x xy y +=. ∵()00,P x y 在直线PA ，PB 上，∴101014x x y y +=，202014x xy y +=.∴直线AB 的方程为0014x xy y +=.由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得()22200035816160y x x x y +-+-=.∴01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+.∴12x AB =-=)20203135y y +==+. 又由（i ）可知当直线PA ，PB 的斜率都存在时，PM PN ⊥；易知当直线PA 或PB 斜率不存在时，也有PM PN ⊥.∴MN 为圆O 的直径，即MN =∴)2022022003131413535y y y y ABMN++===-++. 又[]200,5y ∈，∴204141,3555y ⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦. ∴AB MN 的取值范围为14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识,考查学生分析问题解决问题的能力.采用了设而不求的方法，运用韦达定理和弦长公式求得AB MN，结合椭圆纵坐标的有界性可求得范围，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为832432x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos a ρρθ+=，其中0a >.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.若点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点，求a 的值.【答案】（Ⅰ）40x y -+=；2260x y x a ++-=；（Ⅱ）4a =.【解析】（Ⅰ）利用消参法消去参数t ，即可将直线l 的参数方程转化为普通方程，利用互化公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得出关于t 的一元二次方程，根据韦达定理得出12t t +和12t t ，再利用直线参数方程中的参数t 的几何意义，即可求出a 的值.【详解】解：（Ⅰ）由于直线l的参数方程为83243x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y -+=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x a ++-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理，得26409t a +--=，(*) 设1t ，2t 是方程(*)的两个根，则有>0∆，得12t t +=，12649t t a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点，所以不妨设122t t =-， ∴223250929a t =+=，解得：4a =，符合条件0a >和>0∆，.∴a 的值为4.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，以及利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数方程中的参数t 的几何意义求参数值，考查化简运算能力.23．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）求不等式()f x x <的解集；（Ⅱ）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求193c a c ab ac--+的最小值. 【答案】（Ⅰ）1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）36. 【解析】（Ⅰ）根据零点分段去掉绝对值，分别求出x 的取值范围，可得不等式的解集；（Ⅱ）由绝对值三角不等式求出()f x 的最大值为M ，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件．【详解】解：（Ⅰ）不等式()f x x <即12x x x --+<.①当1x ≥时，化简得3x -<.解得1x ≥；②当21x -<<时，化简得21x x --<.解得113-<<x ； ③当2x -≤时，化简得3x <.此时无解. 综上，所求不等式的解集为1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）∵()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时等号成立. ∴3M =，即491a b c ++=. ∵193413111c a c a b ab ac ab c a a b c--++=+-=++，又,,0a b c >， ∴111111(49)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭2≥ ()212336=++=. 当且仅当11149a b c a b c==,即16a =，112b =，118c =时取等号， ∴193c a c ab ac--+的最小值为36. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题．。

2020年四川省凉山州高考数学三诊试卷(文科)(有答案解析)

∴使得 m+n=6 的概率为 P= = ．
故选 A．
5.答案：B
解析：解：∵
，
∴sin2θ=2sinθcosθ= ．
∴cos4θ=
．
故选：B．由已知直接利用倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
6.答案：C
解析：【分析】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量 n 的初值为 1，终值为 2019，步长为 2，故循环共执行了 1009 次，由 S 中第一次累加的是 21-1=1，第二次累加的是 23-1=4，…… 故该算法的功能是求首项为 1，公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和．故选 C．
A. 1+i
B. 1-i
C.
D.
3. 抛物线 y=4x2 的准线方程为（）
A. x=-1
B. x=1
C. y=-
}中随机抽取一个数 m，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数 n，则使得 m+n=6 的概率为（）
A.
B.
C.
D.
5. 若
，则 cos4θ=（）
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为：
（θ 为参数）．以原点 O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
（1）若 t=1，分别求出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；（2）令 t=-1，求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离．

2020年四川凉山高三三模数学试卷(文科)

2020年四川凉山高三三模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，则（）．A. B. C. D.2.已知（是虚数单位），则（）．A. B. C. D.3.若，，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（）．开始输入是否输出结束A. B. C.或 D.或5.已知正项等比数列，向量，，若，则（）．A.C.D.6.已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点（，），则（）．A.B.C.D.7.若双曲线（）抛物线有相同的焦点，则该双曲线的两条渐近线的夹角为（）．A.B.C.D.8.设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为（）．A.B.C.D.9.已知，为平面区域内的两个动点，向量，则的最大值是（）．A.B.C.10.小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径为厘米，轴的直径为厘米．当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于（）．A.厘米B.厘米C.厘米D.厘米11.已知长方体的体积，，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为（）．A.B.C.D.12.已知函数的图象关于直线对称，且当时，．若，，，则，，的大小关系是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，若，则．如图，是圆的直径，，假设向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．15.设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，，，则．（1）（2）16.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若定点为，，写出的一个阿波罗尼斯圆的标准方程．中，，（），则当面积的最大值为时，．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.为等差数列的前项和，已知，．求及．设，数列的前项和为，证明：．（1）（2）18.州电视台为了解州卫视一档中华诗词类节目的收视情况，抽查东西区各个县，统计观看该节目的人数的数据得到如下的茎叶图（单位：百人）．其中一个数字被污损．东部西部求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率．该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情，现从观看节目的观众中随机统计了根据表中的数据，试求线性回归方程，并预测年龄为岁的观众学习诗词的时间．（参考公式：，）（1）（2）19.如图，四面体中，、分别是、的中点，，．求证：平面．求直线与平面所成角的余弦值．（1）（2）20.已知函数．设函数在点处的切线方程为，求的值．若曲线与曲线至少有一条公共切线，求的取值范围．（1）（2）21.已知椭圆，右顶点，上顶点为，左右焦点分别为，，且，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．求椭圆的方程．设为的中点，是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出点；若不存在，请说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．、两点的极坐标分别为，．曲线的参数方程为（为参数）．求、两点的直角坐标及曲线的普通方程．【答案】解析:∵，∴，∴，，∴，∴，∴．故选．解析:∵，∴设是曲线上任意一点（不在轴上），若直线、分别交轴于点、，试问是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．（1）（2）23.已知函数．当时，求不等式的解集．设不等式的解集为，若求实数的取值范围．B1.C2. ．故选．解析:∵，而，∴充分性得证，但推不出，故必要性不行．故选．解析:∵，∴若，则，满足成立，若，则，∴，综上：或．故选：．解析:∵，，，∴，又为等比数列，∴，，A 3.D 4.C 5.，选．解析:∵，∴，．故选.解析:∵抛物线的焦点为，∴点为双曲线（）的焦点，则（），解得，∵双曲线的渐近线为，则倾斜角为，倾斜角为，∴该双曲线的两条渐近线的夹角为．故选．解析:∵，，对称轴完全相同，A 6.B 7.C 8.对称轴为：，对称轴为：，又∵对称轴完全一样，∴，∵，∴．故选．解析:如图不等式组，表示的平面区域为．xyO∵、为平面区域内的两点，，要使取得最大值则横坐标取最大值，∴．解方程组，得点坐标为，解方程组，得点坐标为，则，，∴的最大值为．故选．解析:C 9.B 10.则，化简得，即，∴，即，则剩下的这卷纸的直径为．故选．解析:∵，，∴另两边乘积为，设宽为，高为，∴．又∵外接球半径为，∴．故选：．解析:∵关于对称，∴关于轴对称，又设，∴，令，∴，∴时单增，时单减，，时，时，∴大致图象如下图，C 11.D 12.∵，∴，∴，又∵，，，，，，∴，∴．故选．解析:∵，，又∵，∴，解得．解析:假设，则，，∴．故答案为：．解析:13.14.圆15.（1）（2）由，，，得，则，，∵，∴，，三点共线，即在上，又，∴，，在中，由正弦定理可得，即，∴．在中，由正弦定理得，即，∴，∴，即，则，∴，故．故答案为：．解析:设点为，则，，或，即，由知，（1）（2）16.（1）（2），∴点轨道为圆，又∵，，∴边上高，设，，，，，，∴，，此时，∴，，∴．解析:设等差数列的公差为，则由得：①，又，∴，即②，由①②解得：，，∴，．由得：（1），．（2）证明见解析．17.（1）（2），∴数列的前项和，显然，随的增大而增大．∴，即．解析:设被污损的数字为，（，），则，，由题意得：，即，即，所以，西部各县观看该节目的观众的平均数超过东部各县观看该节目的观众的平均数的概率为．由已知得，，，，∴，，∴回归直线方程为，∴当时，，即年龄为岁的观众学习诗词的时间为小时．（1）．（2），小时．18.东西西东（1）（2）解析:∵在中，、分别是、的中点，∴，又平面，平面，∴平面．连接，∵在中，且是的中点，∴，∵在中，，，∴为等腰直角三角形，又是的中点，∴且，∴在中，，即，而，∴平面，∴直线与平面所成的角为，，∵在中，、分别是、的中点，∴，∴在中，，∴，即直线与平面所成的角的余弦值为．解析:（1）证明见解析．（2）．19.（1）．（2）．20.（1）（2）（1）（2）∵，∴，∴，又函数在处的切线方程为，∴，即，即．设公切线与函数相切于点，则由，得，∴公切线为：，即，由，得：，∵直线与直线相切，∴，即，设，则，由，得，又由，得，∴函数在上单增，在上单减，∴，∴，∴与曲线至少有一条公切线时，的取值范围为．解析:由题意得：，∵在中，，∴，，，∴，∴，∴，，∴椭圆方程为．方法一：（1）．（2）存在使得．21.设直线，令，则，∴，将代入整理得，设，则，∴，，设，∵为的中点，∴，，∴，设存在使得，则，，∴，即对任意的都成立，∴，∴，∴存在使得．方法二：设，，，∴①，②，由①②，得，∵为中点，∴，∵，∴，∵，∴，设存在使得，则，即，（1）（2）对任意都成立，即，，∴存在使得．解析:、两点的直角坐标为：、，由，得，∴，∴曲线的普通方程为．方法一：设，∴，令，，同理，，令，，∴，，∴，∴为定值．方法二：设，∴，令，，同理：，令，，∴，，又在椭圆上，∴，，∴为定值．（1）、，．（2）存在，．22.（1）．23.（1）（2）解析:时，或．解之得：或.．∴不等式得解集为．∵不等式得解集为，且，∴．∴，，∴，当时，为，显然不满足；当时，，∵，∴，即，∴．综上，的取值范围为．（2）的取值范围为．。

四川省凉山州2020届高考数学三诊试卷1 (含答案解析)

四川省凉山州2020届高考数学三诊试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|(x −3)(x +1)<0}，B ={x|x >1}，则A ∩B =( )A. {x|x >3}B. {x|x >1}C. {x|−1<x <3}D. {x|1<x <3}2. 若z =1−2i i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数是( )A. −2−iB. 2−iC. 2+iD. −2+i3. 已知a ，b ∈R ，则“ab >0“是“ba +ab >2”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件4. 一算法的程序框图如图，若输出的y =1，则输入的x 值可能为A. −1B. 0C. 1D. −25. 设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，a 5，3a 3，a 4成等差数列，则S 8S 4的值为( )A. 116 B. 117C. 16D. 176. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =−√3x 上，则sin2θ=( )A. 12B. √32C. −12D. −√327. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(b >a >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( ) A. √3B. 2C. 43D. 2√338. 若函数f(x)=2sin(ωx +φ)对任意x 都有f(π3+x)=f(−x)，则f(π6)=( )A. 2或0B. 0C. −2或0D. −2或29. 已知不等式{x +y −1≥0x −y +1≥02x −y −2≤0表示的平面区域为D ，若对任意的(x,y)∈D ，不等式x −2y −t ≥0恒成立，则实数t 的最大值为( )A. 1B. −1C. −4D. −510. 如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( )A. 827πB. 1627πC. 89πD.169π11. 在四面体P −ABC 中，PA =PB =PC =1,∠APB =∠BPC =∠CPA =90∘，则该四面体 P −ABC的外接球的表面积为( )A. πB. √3πC. 2πD. 3π12. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则a =f(√2)，b =f(π2)，c =f(32)的大小关系是( )A. b <a <cB. a <c <bC. b <c <aD. c <a <b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(−1,3)，b ⃗ (x,−1)，且a ⃗ //b ⃗ ，则x 等于______ ．14. 如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______．15. 在△ABC 中，若点E 满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ1+λ2= ______ ． 16. 若AB =2，AC =√2BC ，则S △ABC 的最大值________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=9S 3，3a 6=8a 1a 3．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a n −nlog 23，求数列{b n }的通项公式．18. 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的面积x(单位：m 2)的数据：房屋面积 115 110 80 135105销售价格24.821.618.429.2 22̂(2)并据(1)的结果估计当房屋面积为150m 2时的销售价格(精确到0.1万元)．b ̂=∑(ni=1x i −x)(y i −y)∑(ni=1x i −x)2，a ̂=y .−b ̂x .．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AD//BC ，AB =BC =CD =1，DA =2，DP ⊥平面ABP ，O ，M 分别是AD ，PB 的中点．(Ⅰ)求证：PD//平面OCM ；(Ⅱ)若AP 与平面PBD 所成的角为60°，求线段PB 的长．20. 设函数f(x)=ax −bx ，曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x −4y −12=0.求y =f(x)的解析式．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的长轴长为2√3，右焦点F(1,0)，过F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆G 于点A ，B 和C ，D ，设AB ，CD 的中点分别为P ，Q ． (Ⅰ)求椭圆G 的方程；(Ⅱ)若直线AB ，CD 的斜率均存在，求OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值，并证明直线PQ 与x 轴交于定点．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23. 已知函数f(x)=｜x −1｜，g(x)=｜2x −1｜．(Ⅰ)求不等式f(x +5)≤xg(x)的解集；(Ⅱ)若函数F(x)=f(x +2)+f(x)+a 存在零点，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A={x|(x−3)(x+1)<0}={x|−1<x<3})，B={x|x>1}，则A∩B={x|1<x<3}，故选：D求出两个集合，然后求解交集即可．本题考查集合的交集的求法，基本知识的考查．2.答案：D解析：解：z=1−2ii =(1−2i)(−i)−i=−2−i，∴z=−2+i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得z的共轭复数．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．根据充分必要条件的定义判断即可．解：由ba +ab>2，得(a−b)2ab>0，故ab>0且a≠b，故“ab>0“是“ba +ab>2”的必要不充分条件，故选B．4.答案：D解析：本题考查程序框图，是容易题．解：当x≥0时，若输出的y=1，则√x−3=1，得x=16，当x<0时，若输出的y=1，则x2+x−1=1，解得x=−2或x=1(舍去)，综上可知，x=16或x=−2．5.答案：D解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．设等比数列的公比为q，q>0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q>0，a5，3a3，a4成等差数列，可得6a3=a5+a4，即6a1q2=a1q4+a1q3，化为q2+q−6=0，解得q=2(−3舍去)，则S8S4=a11−q(1−q8)a11−q(1−q)=1−q81−q4=1+q4 =1+16=17．故选：D．6.答案：D解析：解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=−√3x上，∴tanθ=−√3则sin2θ=2sinθ⋅cosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=−2√33+1=−√32，故选：D．利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2θ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵b>a>0，∴ba>1．∵双曲线x2a2−y2b2=1(b>a>0)的两条渐近线的夹角为60°，∴ba=√3．∴e=√1+3=2．故选：B．由双曲线x2a2−y2b2=1(b>a>0)的两条渐近线的夹角为60°，可得ba=√3，进而可得离心率．本题考查双曲线的性质及其应用，解题的关键是由渐近线的夹角求出ba=√3．解析：解：由题意：函数f(x)=2sin(ωx+φ)，∵f(π3+x)=f(−x)，可知函数的对称轴为x=π32=π6，根据三角函数的性质可知，当x=π6时，函数取得最大值或者最小值．∴f(π6)=2或−2故选：D．利用三角函数的性质求解即可．本题考查了三角函数对称轴的性质．属于基础题．9.答案：D解析：本题考查线性规划问题，属于中档题．根据已知不等式组画出可行域，可通过直线z=x−2y的纵截距最大时，z最小，代入A点坐标求得z min，则t≤z min，即可得到结果．解：由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示：可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．设z=x−2y，当直线z=x−2y经过点A(3,4)时，直线的纵截距最大，z最小，∴z min=3−2×4=−5，又不等式x−2y−t≥0恒成立，即x−2y≥t恒成立，∴t≤−5．即实数t的最大值为−5．故选：D．10.答案：A解析：解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则4r +2ℎ=4，即2r +ℎ=2，∴2r +ℎ=r +r +ℎ≥3√r 2ℎ3，∴r 2ℎ≤(23)3，∴V =πr 2ℎ≤827π，∴圆柱体积的最大值为827π，故选：A ．设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则4r +2ℎ=4，即2r +ℎ=2，利用基本不等式，可求圆柱体积的最大值．本题考查圆柱的体积，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．11.答案：D解析：本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．以PA 、PB 、PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体，则长方体的外接球同时也是三棱锥P −ABC 外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P −ABC 外接球的表面积．解：由题意，以PA 、PB 、PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P −ABC 外接球． ∵长方体的对角线长为√1+1+1=√3， ∴球直径为√3，半径R =√32，因此，三棱锥P −ABC 外接球的表面积是4πR 2=4π×(√32)2=3π，故选D ．12.答案：B。

2020年四川省凉山州高考数学三诊试卷2 (含答案解析)

2020年四川省凉山州高考数学三诊试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|x∈N}，则A∩B=()A. {0,1，2}B. {1,2}C. [0,2]D. [1,2]2.设复数z满足z(1+i)=2，i为虚数单位，则复数z的虚部是()A. 1B. −1C. iD. −i3.已知集合A={1,2，3，4，5，6}，集合B={1,3，5}，从集合A中随机选取一个数a，从集合B中随机选取一个数b，则a≤b的概率为()A. 19B. 16C. 13D. 124.命题p：“sinα=12是α=π6的充分不必要条件”，命题q：“lga>lgb是√a>√b的充分不必要条件”，下列为真命题的是()A. ¬p∧¬qB. p∧¬qC. p∨qD. p∨¬q5.设随机变量ξ～N(2,4)，若P(ξ>2a+1)=P(ξ<2a−1)，则实数a的值为()A. 1B. 2C. 3D. 46.执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=()A. 5B. 6C. 7D. 87.图为长方体与圆柱构成的组合体的三视图，则该几何体的体积为()A. 64+32πB. 64+64πC. 256+64πD. 256+128π 8. 等比数列{a n }中，a 3=3，a 4=9，若a 1⋅a 2⋅a 3⋅⋯⋅a n =344，则n =( )A. 13B. 12C. 11D.10 9. 函数是常数，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，为得到函数，只需将函数f(x)的图象( )A. 向右平移2π3个长度单位 B. 向右平移π3个长度单位 C. 向左平移π6个长度单位D. 向左平移π3个长度单位10. 已知点A(0,1)，曲线C ：y =alnx 恒过定点B ，P 为曲线C 上的动点且AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为2，则a =( )A. −2B. −1C. 2D. 111. 如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(3,6)，圆C 2：x 2+y 2−6x +8=0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q 点和M ，N 点，则|PN|+3|QM|的最小值为( )A. 12+4√3B. 16+4√3C. 16+6√3D. 20+6√312. 设数列{a n }满足a 1=13，a n+1=e a n −1(n ∈N ∗)(其中e 为自然对数的底数)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. S 2019>S 2018，a 2019>a 2018B. S 2019<S 2018，a 2019>a 2018C. S 2019>S 2018，a 2019<a 2018D. S 2019<S 2018，a 2019<a 2018二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 求值：log 39+ln √e +2−log 23+(8116)−14=_____________．14. 设a =∫sin π0xdx ，则二项式(a √x −1√x)6的展开式中的常数项是________． 15. 在直角坐标系xOy 中，点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2)，设集合M ={(x,y)|x 2+y 2=1}，且A ，B ∈M ，|AB|=1，则x 1x 2+y 1y 2=______；点A ，B 到x 轴距离之和的最小值为______． 16. 若正项数列{a n }满足a 2=12，a 6=132，且a n+1a n=a n a n−1(n ≥2,n ∈N)，则______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 从某地区一次中学生知识竞赛中，随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的2×2列联表：优秀一般合计男生 7 6女生 5 12合计(2)用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学(人数很多)中随机抽取3人，用ξ表示所选3人中优秀的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．K 2=n(ad−bc)2(a+b)(a+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．独立性检验临界表：P(K 2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.841 6.635 10.82818.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠PAB=90°，AB//CD，且PB=BC=BD=√6，CD=2AB=2√2，∠PAD=120°，E和F分别是棱CD和PC的中点．(1)求证：CD⊥BF；(2)求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值．19.已知在ΔABC中，2cos(B−C)+1=4cosBcosC．⑴求角A；⑴若a=2√7，SΔABC=2√3，求b+c．20.如图，已知椭圆C的离心率为√3，点A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF=21−√3．2(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．+lnx−1,g(x)=x3−3a2x−2a+4，其中a>0．21.已知函数f(x)=1x,e]上有两个不同的实数根，求m的取值范围；(1)若关于x的方程f(x)=m在x∈[1e(2)若对任意x1∈[1,e]，总存在x2∈[0,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为{x=cosθ,y=√3sinθ(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρcos(α+π4)=1．(1)求椭圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在椭圆C上，求△PAB面积的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−2|+|2x+3|．(1)求不等式f(x)<15的解集；(2)若f(x)≥a−x2+x对于x∈R恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A ={x|−2≤x ≤2}； ∴A ∩B ={0,1，2}．故选：A ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z(1+i)=2，得z = 2 1+i = 2(1−i) (1+i)(1−i)=1−i ， ∴复数z 的虚部是−1．故选B ．3.答案：D解析：【分析】本题考查古典概率的求法，先求出基本事件总数n =6×3=18，再用列举法求出a ≤b 包含的基本事件个数由此能求出a ≤b 的概率．【解答】解：从集合A 中选一个数有6种可能，从集合B 中选一个数有3种可能，通过列举可知共有18种可能，其中满足a ≤b 的有{a =1b =1,{a =1b =3,{a =1b =5,{a =2b =3,{a =2b =5,{a =3b =3,{a =3b =5,{a =4b =5,{a =5b =5，共9种可能，用古典概型的概率计算公式可得P =918=12．故选D ．4.答案：C解析：【分析】本题考查了命题必要条件、充分条件及充要条件的判断和复合命题的判断，属于基础题．分别判断命题p、q的真假性即可得到答案．【解答】解：不一定成立，反之α=π6，sinπ6=12一定成立，∴“sinα=12是α=π6的必要不充分条件”，∴命题p是假命题；lga>lgb⇒a>b>0⇒√a>√b；如果√a>√b=0，则lga>lgb不成立，所以命题q：“lga>lgb是√a>√b的充分不必要条件”为真命题，由命题的真值表易得p∨q为真命题，故选C．5.答案：A解析：解：∵随机变量ξ～N(2,4)，∴μ=2，由P(ξ>2a+1)=P(ξ<2a−1)，可得2a+1与2a−1关于直线μ=2对称，则(2a+1)+(2a−1)=4，即a=1．故选：A．由已知可得μ=2，由P(ξ>2a+1)=P(ξ<2a−1)，可得2a+1与2a−1关于直线μ=2对称，再由中点坐标公式列式求得a值．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查程序框图的输入输出值的确定，涉及循环结构，属于基础题．当需要循环次数较多时，看清楚程序的功能是必要的，在这里先求出1−12−...−(12)n，利用等比数列的求和公式解决即可．【解答】解：本程序的功能是求当S 开始小于等于0.01时，n 的值，其中S =1−12−...−(12)n=1−12[1−(12)n]1−12=(12)n，当n =6时，S =(12)6=164>0.01，当n =7时，S =(12)7=1128<0.01，当n =7时，S 才开始小于0.01， ∴输出的n 的值为7，故选C ．7.答案：C解析：【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此计算即可．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体． ∴该几何体的体积V =8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C ．8.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式以及指数幂的运算性质，属于中档题．先求出数列的通项公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式可得n 2−3n 2=44，解得即可．【解答】解：设数列{a n }的公比为q.依题意有{a 1q 2=3a 1q 3=9，解得a 1=13，q =3，所以a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n =a 1n⋅q1+2+⋯+(n−1)=a 1n ⋅q(n−1)n 2=13n ⋅3(n−1)n 2=3n 2−3n 2=344，所以n 2−3n 2=44，解得n =11.故选C ．9.答案：B解析：【分析】本题主要考查了三角函数的图象和性质应用以及函数图象的平移，属于基础题．根据函数图象得到f(x)的解析式，结合三角函数的图象平移规律求解即可．【解答】解：2πω4=T 4=2π3−5π12=π4，所以ω=2,又cos(2×5π12+φ)=−1⇒5π6+φ=2kπ+π⇒φ=π6，所以f(x)=cos(2x +π6)，又cos(2(x −π3)+π6)=cos(2x +π6−2π3)=cos(2x −π2)=sin2x ，只需将函数f(x)的图象向右平移π3个长度单位即可．故选B ．10.答案：D解析：解：曲线C ：y =alnx 恒过点B ，则令x =1，可得y =0，即B(1,0)，又点A(0,1)，设P(x,alnx)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =f(x)=x −alnx +1，由于f(x)=x −alnx +1在(0,+∞)上有最小值2，且f(1)=2，故x =1是f(x)的极值点，即最小值点． f′(x)=1−ax =x−a x，a <0，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a >0，x ∈(0,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,a)是减函数，在(a,+∞)是增函数，有最小值为f(a)=2，即a −alna +1=2，解得a =1；故选：D ．运用对数函数的图象特点可得B(1,0)，设P(x,alnx)，运用向量的数量积的坐标表示，可得f(x)=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −alnx +1，x ∈(0,+∞)再由导数，求得极值点即为最值点，对a 讨论通过单调性即可判断．本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x 的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a ．11.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，基本不等式的应用，属于较难题．设出抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的定义，求得1|PF|+1|QF|=2p ，根据基本不等式，即可求得答案．【解答】解：设抛物线的方程：y 2=2px(p >0)，焦点为F ，则36=2p ×3，则2p =12，∴抛物线的标准方程：y 2=12x ，焦点坐标F(3,0)，准线方程为x =−3，圆C 2：x 2+y 2−6x +8=0的圆心为(3,0)，半径为1，由直线PQ 过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l 的方程为：my =x −3，设P 、Q 坐标分别为，由{y 2=12x my =x −3，联立得 y 2−12my −36=0， ∵(3,0)在抛物线内，则Δ>0恒成立，∴y1+y2=12m，y1·y2=−36，∴x1+x2=12m2+6，x1·x2=9，∴1|PF|+1|QF|=1x1+3+1x2+3=12m2+6+69+3(12m2+6)+9=13，则|PN|+3|QM|=|PF|+1+3(|QF|+1)=|PF|+3|QF|+4=3(|PF|+3|QF|)(1|PF|+1|QF|)+4=3(4+3|QF||PF|+|PF||QF|)+4≥3×(4+2√3)+4=16+6√3.当且仅当|PF|=√3|QF|时等号成立，故选C．12.答案：A解析：【分析】本题考查数列的函数特征，利用导数研究函数的单调性，属一般题．构造函数f(x)=e x−x−1，求导研究单调性，进而得到答案．【解答】解：设f(x)=e x−x−1，则f′(x)=e x−1，所以当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(0)=0，所以e x≥x+1，所以a n+1=e a n−1≥a n，当且仅当a n=1时等号成立，而a1=13，所以a n+1>a n>0对任意n成立，所以S2019>S2018，a2019>a2018．故选A．13.答案：72解析：【分析】本题考查了指数与对数运算性质，属于基础题．利用指数与对数运算性质即可得出．【解答】解：=2+12+13+23=72故答案为72．14.答案：−160解析：【分析】本题主要考查二项式定理的应用，求定积分，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．【解答】解：a =∫sin π0xdx =(−cosx)|0π=2，所以(a √x −1√x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6r (2√x)6−r (−1√x)r =C 6r 26−r(−1)r x 3−r ，令3−r =0.则r =3，∴T 4=C 6323(−1)3=−160．故答案为−160．15.答案：12 √32解析：解：因为|AB|=|OA|=|OB|=1，所以三角形AOB 为等边三角形，所以∠AON =60°，∴cos∠AOB =OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，∴x 1x 2+y 1y 2=12，法2：利用x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，且|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=1，得(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=1，即x 12+y 12+x 22+y 22−2x 1y 1−2x 2y 2=1，则2(x 1x 2+y 1y 2)=1，得x 1x 2+y 1y 2=12．假设A ，B 在x 轴的上方，AB 的中点为C ，分别过A ，B ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，则点A ，B 到x 轴距离之和为AD +EB =2CE ，要求AD +EB 的最小值，即求出CE 的最小值即可，当A ，D 重合，即A 在x 轴上时，AD +EB =0+EB =BE =√32，故答案为：12，√32利用两点间的距离公式以及数形结合进行求解即可．本题主要考查两点间距离的计算，利用条件建立方程组关系以及利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：−3解析：【分析】根据数列的递推关系得到数列{a n }为等比数列，结合等比数列的性质求出a 4的值即可．本题主要考查等比数列的通项公式的应用，根据条件判断数列是等比数列是解决本题的关键．【解答】解：∵a n+1a n=a n a n−1(n ≥2,n ∈N)，∴数列{a n }为等比数列， ∵a 2=12，a 6=132，∴a 42=a 2a 6=12×132=164，则a 4=18，则，故答案为：−3．17.答案：解：(1)填写2×2列联表，如下：优秀一般合计男生 7 6 13 女生 51217 合计 12 1830由列联表数据代入公式得K 2的观测值为k =30×(7×12−6×5)213×17×12×18≈1.83，因为1.83<2.706，所以没有90%的把握认为成绩优秀一般与性别有关； (2)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是优秀学生，抽取1名学生是优秀学生的概率为1230=25，那么从所有的中学生中抽取1名学生是优秀学生的概率是25，又因为所取总体数量较多，抽取3名学生可以看出3次独立重复实验，于是ξ服从二项分布B(3,25)，显然ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，且P(ξ=k)=C 3k⋅(25)k ⋅(1−25)3−k ，k =0，1，2，3，所以ξ的分布列为：数学期望E(ξ)=3×25=65．解析：本题考查了独立性检验与n 次独立重复实验的概率分布列、数学期望的计算问题，属于中档题．(1)根据题意，填写2×2列联表，根据公式计算K 2的观测值，对照临界表得出结论；(2)求出从所有学生中抽取1名学生是优秀学生的概率值，得出ξ服从二项分布B(3,25)，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望E(ξ)．18.答案：(1)证明：∵E 为CD 的中点，CD =2AB ，∴AB =DE ，又∵AB//CD ，∴四边形ABED 为平行四边形，又∵BC =BD ，∴BE ⊥CD ，∴四边形ABED 为矩形，∴AB ⊥AD ， ∵∠PAB =90°，∴PA ⊥AB ，又PA 、AD 为平面PAD 内两条相交直线， ∴AB ⊥平面PAD ，∵AB//CD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∵PD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PD ， ∵E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点， ∴EF//PD ，∴CD ⊥EF ，又∵CD ⊥BE ，BE 、EF 为平面BEF 内两条相交直线， ∴CD ⊥平面BEF ，∵BF ⊂平面BEF ，∴CD ⊥BF ；(2)解：设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，由(1)知AB ⊥平面PAD ，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，∵∠PAD =120°，∴∠PAz =30°，∵PB =√6，AB =√2，AB ⊥PA ，∴PA =2， ∴点P 到z 轴的距离为1，∴P(0,−1,√3)，A(0,0，0)，B(√2,0，0)，∵BC =BD =√6，CD =2√2，BE =2，∴C(2√2,2，0)，D(0,2，0)， PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−√3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,0，0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,1,−√3)，设平面PCD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3y −√3z =0n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2x =0，取y =1，得n⃗ =(0,1，√3)， ∴sinθ=|n ⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6⋅4=√66， ∴直线PB 与平面PCD 所成的角的正弦值为√66．解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)推导出AB =DE ，从而四边形ABED 为平行四边形，推导出BE ⊥CD ，得四边形ABED 为矩形，从而AB ⊥AD ，进而AB ⊥平面PAD ，由AB//CD ，得CD ⊥平面PAD ，CD ⊥PD ，由EF//PD ，得CD ⊥EF ，由CD ⊥BE ，得CD ⊥平面BEF ，由此能证明CD ⊥BF ．(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB 与平面PCD 所成的角的正弦值．19.答案：解：(1)2cos(B −C)+1=4cosBcosC⇒2(cosBcosC +sinBsinC)+1=4cosBcosC ⇒2(cosBcosC −sinBsinC)=1⇒cos(B +C)=12⇒cosA =−12⇒A =2π3．(2)S ΔABC =12bcsinA =√34⋅bc =2√3⇒bc =8，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA 得： (2√7)2=b 2+c 2+bc =(b +c)2−bc ，又bc =8，所以(b +c)2=36⇒b +c =6．解析：本题考查两角和与差的余弦公式，考查余弦定理及三角形面积公式在解三角形中的应用，属中档题．(1)本小题考查两角和与差的余弦公式的应用，利用两角和与差的余弦公式化简已知等式可得cos(B +C)=12，再利用三角形内角和得到cosA =−12，结合三角形内角的范围即可得到A 的大小． (2)本小题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，根据三角形面积公式，结合已知条件算出bc 的值.再由余弦定理即可求出b +c 的值．20.答案：解：(1)由已知得椭圆的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a +y 2b =1(a >b >0)，则A(a,0)，B(0,b)，F(c,0)(c =√a 2−b 2). 由已知可得e 2=a 2−b 2a 2=34，所以a 2=4b 2，即a =2b ，故c =√3b. 又S △ABF =12|AF|·|OB|=12(a −c)b =1−√32．所以b =1，a =2，c =√3.所以椭圆C 的方程为x 24+y2=1．(2)圆O 的圆心为坐标原点，半径r =1，由直线l:y =kx +m ，即kx −y +m =0与圆O:x 2+y 2=1相切，得√1+k 2=1，故有m 2=1+k 2.①由{x 24+y 2=1,y =kx +m,消去y 得(14+k 2)x 2+2kmx +m 2−1=0．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−2km 14+k 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=m 2−114+k 2=4m 2−44k 2+1．所以|x 1−x 2|2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(−8km4k 2+1)2−4×4m 2−44k 2+1=16(4k 2−m 2+1)(4k 2+1)2.②将①代入②中，得|x 1−x 2|2=48k 2(4k 2+1)2，故|x 1−x 2|=4√3|k|4k 2+1．所以|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2·4√3|k|4k 2+1=4√3k 2(k 2+1)4k 2+1．故△OMN 的面积S =12|MN|×1=12×4√3k 2(k 2+1)4k 2+1×1=2√3k 2(k 2+1)4k 2+1．令t =4k 2+1(t ≥1)，则k 2=t−14，代入上式，得S =2√3×t−14(t−14+1)t2=√32√(t−1)(t+3)t 2=√32√t 2+2t−3t2=√32√−3t2+2t +1=32√−1t 2+23t +13=32√−(1t−13)2+49，所以当t =3，即4k 2+1=3，解得k =±√22时，S 取得最大值，且最大值为32×√49=1．解析：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)设出椭圆方程，利用椭圆C 的离心率为√32，S △ABF =1−√32，建立方程，联立，即可求椭圆C 的方程；(2)直线l:y =kx +m ，即kx −y +m =0与圆O:x 2+y 2=1相切，得√1+k 2=1，确定m ，k 的关系，由{x 24+y 2=1,y =kx +m,，得|x 1−x 2|=4√3|k|4k 2+1，|MN|即可求得，△OMN 面积的最大值即可确定．21.答案：解：(1)由题意，f′(x )=x−1x 2，令f′(x)>0，得x >1，令f′(x)<0，得0<x <1，所以f(x)在区间[1e ,1)上单调递减，在区间[1,e ]上单调递增，则f (1e )=e −2,f (1)=0,f (e )=1e ,e −2>1e ,所以当0<m ≤1e ，f(x)=m 在x ∈[1e ,e]上有两个不同的实数根，所以m 的取值范围是(0,1e ]．(2)f(x)在区间[1,e ]上单调递增，当x 1∈[1,e]时，f (x 1)∈[0,1e ]，由题意知，f(x 1)的值域是g(x 2)值域的子集，又有g′(x )=3x 2−3a 2,x ∈[0,1]，当0<a <1时，g(x)在[0,a]上单调递减，在[a,1]上单调递增，所以g (x )min =g (a )=−2a 3−2a +4>0，不符合题意，当a ≥1时，g′(x )≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减， g(1)=1−3a 2−2a +4，g(0)=−2a +4，由1−3a 2−2a +4≤0，且−2a +4≥1e ，解得1≤a ≤2−12e ，所以a 的取值范围是[1,2−12e ]．解析：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性，导数中的恒成立与存在性问题，属于较难题．(1)先对f(x)求导，在根据f′(x)>0，f(x)单调递增，f′(x)<0，f(x)单调递减，再分析f(1e)=e−2,f(1)=0,f(e)=1e ,e−2>1e,所以当0<m≤1e，f(x)=m在x∈[1e,e]上有两个不同的实数根；(2)f(x)在区间[1,e]上单调递增，当x1∈[1,e]时，f(x1)∈[0,1e]，由题意知，f(x1)的值域是g(x2)值域的子集，再对g(x)求导，再分别讨论当0<a<1时，当a≥1时的情况．22.答案：解：(1)由{x=cosθ,y=√3sinθ,消去θ，得椭圆C的普通方程x2+y23=1．由√2ρcos(α+π4)=1，得ρcosα−ρsinα−1=0，直线l的直角坐标方程为x−y−1=0．(2)设P(cosθ,√3sinθ)，则点P到直线l的距离d=|cosθ−√3sinθ−1|√2=|2cos(θ+π3)−1|√2≤3√2，当且仅当cos(θ+π3)=−1时取等号．由l：x−y−1=0，得A(1,0)，B(0,−1)，∴|AB|=√2，∴△PAB的面积的最大值为S=12×√2×3√2=32．解析：本题考查了椭圆的参数方程，考查了极坐标方程，以及点到直线的距离公式，属于中档题．(1)由由题意得参数方程消去θ，得椭圆C的普通方程x2+y23=1．由极坐标方程可得ρcosα−ρsinα−1=0，则直线l的直角坐标方程为x−y−1=0．(2)设P(cosθ,√3sinθ)，则点P到直线l的距离公式可得结果．23.答案：解：当x≤ −32时，有，解得x>−4，即；当−32<x<1时，5<15恒成立，即−32<x<1；当x≥1时，有4x+1<15，解得x<72，即．综上，不等式的解集为(−4,72);(2)由f(x)≥a−x2+x恒成立得a≤|2x−2|+|2x+3|+x2−x恒成立，∵|2x−2|+|2x+3|≥|(2x−2)−(2x+3)|=5，当且仅当(2x−2)⋅(2x+3)≤ 0，即−32≤x≤ 1是等号成立；又因为x2−x⩾−14，当且仅当x=12时等号成立，又因为12∈(−32,1)，所以|2x−2|+|2x+3|+x2−x≥5−14=194，所以a≤194．解析：本题考查绝对值不等式的求解及三角不等式的应用，同时考查不等式恒成立问题．(1)将f(x)写成分段函数的形式，然后分段求解即可;(2)将问题转化为a≤|2x−2|+|2x+3|+x2−x恒成立，然后由绝对值不等式的三角不等式及二次函数得出|2x−2|+|2x+3|+x2−x≥194即可求解．。

四川省凉山州2020届高三第三次诊断性检测考试数学(文)试卷

四川省凉山州2020届高三第三次诊断性检测考试数学（文）试卷一、选择题1.设集合{}21x A x =>，{}1B x x =≤，则AB =（）A ．()1,1-B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．[]0,12.已知1i z =-（i 是虚数单位），则4z z +=( )A ．3B ．3iC ．3i +D ．3i -3.若,a b ∈R ，则“0a b ->是22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.如图所示的程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为( )A ．4B ．2-C ．2或2-D ．4或2-5.已知正项等比数列{}n a ，向量()()37,8,,2a a b a =-=，若a b ⊥，则212229log log log a a a +++=( )A ．12B ．16C ．18D ．26log 5+6.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(sin 30,tan135)︒︒，则cos 2α=( )A ．35-B ．35C ．45-D ．457.若双曲线2221(0)3x y b b -=>与抛物线28y x =有相同的焦点，则该双曲线的两条渐近线的夹角为( )A ．π2B ．π3C ．4πD ．6π8.设函数2π()3sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与函数π()2cos(3)||3g x x ϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴完全相同，则ϕ的值为( ) A ．π6-B ．π3C ．6πD ．π3-9.已知, M N 为平面区域0303x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩内的两个动点，向量=(1,0)a ，则MN a ⋅的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．410.小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径为12厘米，轴的直径为4厘米.当小明用掉34的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于( )A ．6厘米B ．7厘米C ．8厘米D ．9厘米11.已知长方体1111ABCD A B C D -的体积12,2V AB ==，若四面体11A B CD -的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为( ) A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π12.已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(0,)x ∈+∞时，ln ()xf x x=.若2e a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．c b a >>二、填空题13.已知(1,2),(1,)a b m =-=，若//a b ，则m =_____________.14.如图，AB 是圆O 的直径，OC AB ⊥，假设向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_______.15.设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若π,2,2A c b ===(1)(0)AD AB AC λλλ=+->，2DAB DAC ∠=∠,则λ=_________.16.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.①若定点为(1,0),(1,0)A B -，写出12k =的一个阿波罗尼斯圆的标准方程__________；②ABC △中，||2,||||(1)AB AC k BC k ==>，则当ABC △面积的最大值为k =______. 三、解答题17.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17914,81a a S +==. （1）求n a 及n S ；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1132n T <. 18.州电视台为了解州卫视一档中华诗词类节目的收视情况，抽查东西区各5个县，统计观看该节目的人数的数据得到如下的茎叶图（单位：百人）.其中一个数字被污损.（1）求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率；（2）该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习诗词的周平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁）的关系，如下表所示：根据表中的数据，试求线性回归方程ˆˆy bx a =+，并预测年龄为60岁的观众学习诗词的时间.（参考公式1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑） 19.如图，四面体ABCD 中，O E 、分别是BD BC 、的中点,2CA CB CD BD ====,AB AD =（1）求证：//OE 平面ADC ；（2）求直线AE 与平面BDC 所成角的余弦值. 20.已知函数()ln (0)f x a x a =>.（1）设函数2()()g x f x x =-在点(1,(1))g 处的切线方程为20x y --=，求a 的值. （2）若曲线()y f x =与曲线2y x =至少有一条公共切线，求a 的取值范围.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右顶点(2,0)A ，上顶点为B ，左右焦点分别为12,F F ，且1260F BF ︒∠=，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆于点D ，交y 轴于点E . （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥？若存在，求出点Q ；若不存在，请说明理由.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.A B 、两点的极坐标分别为π1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，π1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求A B 、两点的直角坐标及曲线C 的普通方程；（2）设P 是曲线C 上任意一点（P 不在y 轴上），若直线PA ，PB 分别交x 轴于点,M N ，试问||||OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.23.已知函数()||f x x a =-. （1）当1a =时，求不等式11()x f x +>的解集；（2）设不等式|21|()x f x x -+的解集为M ，若1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.参考答案1.答案：B解析：2.答案：C解析：3.答案：A解析：4.答案：D解析：5.答案：C解析：6.答案：A解析：7.答案：B解析：8.答案：C解析：9.答案：C解析：10.答案：B解析：11.答案：C解析：12.答案：D解析：13.答案：2-解析：14.答案：1π解析：15.答案：1 3解析：16.答案：2251639 x y⎛⎫±+= ⎪⎝⎭解析：17.答案：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由1714a a +=得：137a d += ① 又981S = 1989812a d ⨯∴+=即149a d += ② 由①②解得： 11,2a d == 21,n a n ∴=- ()21+212n n n S n -=⨯=（2）由（1）得：111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴数列{}n b 的前n 项和 123n n T b b b b =+++⋯+1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ 由10(21)(21)n b n n =>-+，显然n T 随n 的增大而增大.112n T T ∴≤<，即1132n T ≤<解析：18.答案：（1）设被污损的数字为x ，(,09)x N x ∈≤≤，则1(80)8990919244255x x X ++++++==，2858687949945155X ++++==，由题意得：21X X >，即45144255x+>，即9x <，所以西部各县观看该节目的观众的平均数超过东部各县观看该节目的观众的平均数的概率为910p =.（2）由已知得：20304050354x +++==， 2.534 4.53.54y +++==，4120 2.530340450 4.5525i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4222221203040505400ii x==+++=∑，41422214525435 3.5ˆ0.0754004354i ii ii x yx ybxx ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑，ˆˆ 3.50.0735 1.05a y bx =-=-⨯=， ∴回归直线方程为ˆ0.07 1.05yx =+，∴当60x =时，ˆ0.0760 1.05 5.25y =⨯+=，即年龄为60岁的观众学习诗词的时间为5.25小时. 解析：19.答案：（1）证明：在BDC 中，O E 、分别是BD BC 、的中点//OE CD ∴ 又OE ⊄平面ADC ，CD ⊂平面ADC//OE ∴平面ADC（2）解：连接OC在BDC 中，2BD BC CD ===且O 是BD 的中点OC ∴=在ABD △中，2AB AD BD ==ABD ∴△为等腰直角三角形又O 是BD 的中点 112AO BD ∴==且AO BD ⊥ ∴在AOC △中，222AO OC AC +=即AO OC ⊥而BD OC O ⋂=AO ∴⊥平面BCD∴直线AE 与平面BCD 所成的角为AEO ∠，AO OE ⊥在BDC △中，O E 、分别是BD BC 、的中点 112OE CD ∴==∴在Rt AOE ∆中，AE =cos AEO ∴∠=即直线AE 与平面BCD.解析： 20.答案：（1）2()()g x f x x =-,2()ln g x a x x ∴=-,()2(0)ag x x x x'∴=->. 又函数()g x 在(1,(1))g 处的切线方程为20x y --=,(1)1g '∴=，即21a -=，即3a =.（2）设公切线l 与函数()ln f x a x =相切于点()00,ln x a x ，则由()af x x'=，得()00a f x x '=,∴公切线l 为：()000ln ay x x a x x =-+, 即()000ln 0axy a a x x x =-+>. 由002ln ,,ax y a a x x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得：200ln 0ax x a a x x -+-=, 直线l 与曲线2y x =相切,()20204ln 0a a a x x ∴∆=--=，即()22000044ln 0,0a x x x x a =->>,设22()44ln (0)h x x x x x =->，则()4(12ln )h x x x '=-, 由()0h x '>，得0x <()0h x '<得x >∴函数()h x在上单增，在)+∞上单减,max ()4(12h x h e e ∴==-=, 02a e ∴<≤,()y f x ∴=与曲线2y x =至少有一条公切线时，a 的取值范围为(0,2]e .解析：21.答案：（1）由题意得：2a =在2Rt OBF 中，1260F BF ︒∠=，230OBF ︒∴∠=，2||,OB b OF c ==2BF a ∴=，cos30ba ︒∴=，2b =，b =∴椭圆方程为22143x y +=（2）设直线:(2)(0)*AD y k x k =-≠令0x =，则2y k =-，(0,2)E k ∴-将代入22143x y +=整理得()2223416120k x k +--=设()00,D x y ，则2216234D k x k+=+，228634D k x k -∴=+，222861223434D k k y k k k ⎛⎫-=-=- ⎪++⎝⎭设(),P P P x y ，P 为AD 的中点22221868223434P k k x k k ⎛⎫-∴=+= ⎪++⎝⎭，22112623434P k ky k k ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 22286,3434k k OP k k ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭设存在()00,Q x y 使得OP EQ ⊥，则()00,2EQ x y k =+，0OP EQ ⋅= 220022861203434k x ky k k k +∴-=++，即()20024236034k x ky k--=+对任意的0k ≠都成立 00230,0x y -=⎧∴⎨=⎩，032x ∴=，∴存在3,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭使得OP EQ ⊥解析：22.答案：（1）A B 、两点的直角坐标为：(0,1)A 、(0,1)B -由2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩得cos 2sin xy θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 2214x y ∴+= ∴曲线C 得普通方程为2214xy +=（2）设(2cos ,sin )(cos 0)P θθθ≠ sin 1:12cos AP l y x θθ-∴=+，令2cos 0,1sin y x θθ==-同理sin 1:12cos BP l y x θθ+=-，令2cos 0,1sin y x θθ==+2cos ,01sin M θθ⎛⎫∴ ⎪-⎝⎭，2cos ,01sin N θθ⎛⎫⎪+⎝⎭2224cos 4cos ||||4(1sin )(1sin )cos OM ON θθθθθ∴⋅===-+ ||||4OM ON ∴⋅=为定值.解析：23.答案：（1）1a =时，111|1|(1)|1|x x x x x +>⇔+>-≠- 111x x x >⎧⇔⎨+>-⎩或111x x x <⎧⎨+>-⎩，解之得：1x >或01x << ∴不等式的解集为(0,1)(1,)⋃+∞（2）不等式的解集为M ，且1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，依题意不等式21x x a x -+-≤在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴210x -≥，∴|21|()21||x f x x x x a x -+≤⇔-+-≤||111x a x x x a x ⇔-≤-+⇔-≤-≤-+112a a x ≤⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩当1a >时，M 为∅，显然不满足1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当1a ≤时，1,2a M +⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，112a +∴≥即1a ≥，1a ∴= 综上，a 的取值范围为{1}.。

四川省凉山州2024届高三第三次诊断性检测数学(文)试题含答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A =｛x x=2k+1，k ∈Z ｝,B ={x x=4k+1，k ∈Z},则C A B=（）A.｛x x=4k+3｝B.｛x x=4k+3，k ∈Z ｝C.｛x x=2k+3，k ∈Z ｝D. 2.已知S n 是等比数列｛a n ｝的前n 项和，a 2=-3，S 3=7，则公比q =（）A.-3B.-13C.3或13D.-3或-133.若x ，y 满足约束条件x -3y +1≤0x+2y ≤93x+y ≥7⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐，则z =2x -y 最大值为（）A.8B.1C.-2D.04.工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量y （单位：mg/L ）与过滤时间t 小时的关系为y=y 0e -a t（y 0，a 均为正的常数）.已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（）(最终结果精确到1h,参考数据：1g2≈0.301,1g3≈0.477)A.43hB.38hC.33hD.28h5.调查某校高三学生的身高x 和体重y 得到如图所示散点图，其中身高x 和体重y 相关系数r =0.8255，则下列说法正确的是（）A.学生身高和体重没有相关性B.学生身高和体重呈正相关C.学生身高和体重呈负相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.82556.某考点在高考期间安排了高一、高二年级各两名同学参与执勤，电视台从4名执勤同学中随机抽取2名同学采访，则这两名同学来自于同一个年级的概率是（）A.16B.14C.13D.12凉山州2024届高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.数学（文科）试卷第1页（共4页）体重身高xy7.已知平面向量a ,b 夹角为θ，且满足=32√,=1，若当t=-4取得最小值，则sin θ=（）A.14B.15√4C.13D.22√38.已知直线l ∶x-ky +1=0与圆C ∶（x -1）2+y 2=4交于M,N 两点，记△MNC 的面积为S,则“k =±2”是“S=85”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m ，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min.某游客坐上摩天轮的座舱10min 后距离地面高度约为（）.A.92.5mB.87.5mC.82.5mD.（553√2+65）m10.已知正六棱锥S-ABCDEF 底面边长为2，体积为43√，则S-A BCDEF 外接球的体积为（）A.8π3B.16π3C.32π3D.64π311.椭圆的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点；双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的延长线会经过另一个焦点.如图示椭圆光学装置1，光线经过椭圆焦点F 1射出经椭圆两次反射后又回到焦点F 1，经历时长为t 1.在装置1中放入与椭圆具有公共焦点双曲线构成如图示装置2，光线从焦点F 1射出依次经双曲线及椭圆反射后回到F 1经历时长t 2.若t 1t 2=8，则该装置中椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为（）A.12B.23C.34D.4512.已知f （x ）为定义在R 上且不恒为零的函数，若对x,y ∈R ，都有f （xy ）=xf （y ）+yf （x ）成立，则下列说法中正确的有（）个.①f （0）=f （1）=0；②若当x ﹥1时，f （x ）﹥0,则函数g （x ）=f （x ）x在（0，+∞）单调递增；③对n ∈N*,f （x n ）=nx n -1f （x ）；④若f （12）=-12，则n∑f （2i ）i =2n -2A.1B.2C.3D.4数学（文科）试卷第2页（共4页）i =1F 1装置1装置2F 2M N F 2F 1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知z =1+a i 1+i2023（a ∈R ），若z 为纯虚数，则z =.14.过抛物线C∶y 2=4x 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点，若AB =8，则线段AB 的中点到y 轴距离为.15.在锐角△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m =（sin A,3√），n =（a ，2b ）.若m ∥n ，则sin A +sin B +sin C 的取值范围是.16.在△A BC 中，已知A B=1,AC =3，点G 为△ABC 的外心，点O 为△A BC 重心，OG ·BC .三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）17.(12分)某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），下图是该校高一1000名学生选择各个模块扇形统计图.已知该校学生选择物理类男女比例为8∶7，选择历史类男女比例为2∶3.（1）完成2×2列联表，并判断能否有99%把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”？（2）从该校选择历史类学生中按照性别分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加历史知识趣味问答比赛，求至少有1名男生被抽到的概率.附：K 2=n （ad-bc ）2（a+b ）（c+d ）（a+c ）（b+d ）.18.（12分）如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A B=2,AA 1=4，点E,F,G,H 分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AE =1,BF=DH =2,CG =3.（1）证明：点H 在平面EFG 中；（2）求多面体A 1-EFGH 的体积.数学（文科）试卷第3页（共4页）男生女生合计物理类历史类合计1000P (K 2≥k )0.050.010.001k3.8416.63510.828比例物化地政史地物化生物化政24%18%10%48%D 1C 1B 1A 1GH FDE ABC数学（文科）试卷第4页（共4页）19.（12分）如图，点A i （i ∈N*）均在x 轴的正半轴上，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，…，△A n -1A n B n 分别是以a 1，a 2，…，a n （n ∈N*）为边长的等边三角形，且顶点B j （j ∈N*）均在函数y =x √.（1）求a 1，a 2，a 3的值，并写出｛a n ｝的通项公式（不用证明）；（2）求数列1a n ·a n+1{}的前n 项和T n .20.（12分）已知平面内动点P 与两定点A 1（-1,0），A 2（1，0）连线的斜率之积为3.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点（2,0）的直线与轨迹E 交于A,B 两点，点A,B 均在y 轴右侧，且点A 在第一象限，直线AA 2与BA 1交于点M ，证明：点M 横坐标为定值.21.（12分）已知函数f （x ）=（2x-1）e x -mx 2-mx+m .（1）当m=0时，求f （x ）的极值点；（2）若m>0且函数f （x ）有三个零点，求实数m 的取值范围.请考生在第22、23两题中选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线C （如图）的普通方程为（x 2+y 2）2=2（x 2-y 2），直线l 的参数方程为x =t cos α，y =t sin α{（其中α为直线l 倾斜角，t 为参数）.（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求C 和l 的极坐标方程；（2）设M,N 是曲线C 与x 轴异于原点的两个交点，l 与C 在第一象限的交点为P.当cosα=22√3时，求△MNP 的面积.23.（10分）[选修4-5：不等式选讲］已知函数f （x ）=1-2x +2x 的最小值为a .（1）求实数a 的值；（2）求12x +8a-x（x ∈（0，a ））的最小值.yxa 1a 2A 1A 2B 1B 2B 3A 3a 3O y =x√MN凉山州第三次诊断性考试文科数学参考答案一，选择题（每题5分，共60分）：1-5：BDADB 6-10：CCAAC11-12：CC12题解析：令，0)1(1,0)0(0=⇒===⇒==f y x f y x ①对；)()(()()()()()()(),,0(121121221x xg x g x x x g x g y g x g xy g x x f x g x x +=⋅=+=⇒=+∞∈<∀，0)()()()(12121212>==-⇒x x x x f x x g x g x g ②对；当0=x 时由①知③成立，当0≠x 时，由②)()1()()()()()()()()(11x g n x g x g x g x g x g xg x g x g n n n n n-+=⇒=-⇒+=--)()()()()(1x f nx x f x x f n x x f x ng n n nn -=⇒=⇒=所以③正确.由①得2)2(0)1()21(2)2(21=⇒==+f f f f 由③得22)2(2)2()2(2)2()()(111111-==∴=∴=+=-=--∑∑n n i i ni i n n n n f i f f n f x f x n x f 得④错.二，填空题（每题5分，共20分）13.【答案】114.【答案】315【答案】233,2323(+16【答案】3422116()()()21114()()4(91)2333OG BC AG AO AC AB AG AC AG AB AO AC AB AB AC AB AC AB =--=---=--+-=--= 题解析：三，解答题（共70分，17题10分，18-22每题12分）17.解：根据扇形统计图易得选择物理类学生为900%)18%24%48(1000=++⨯人，其中男生480158900=⨯人，女生420157900=⨯，选择历史类100人，其中男生人人，女生60531004052100=⨯=⨯男生女生合计物理类480420900历史类4060100合计5204801000....................................................................................................................................................3分635.6410.639250480520100900)4042060480(1000))()()(()(222<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 所以没有99%把握认为“该校学生选择物理类与性别有关”.................................6分(2)记“至少有一名男生被抽到”为事件M,按照性别分层抽样抽取5人，则抽到男生2名，记作,A B ，女生3名，记作,,C D E .从5人中随机抽取2人，共：{,},{,},A B A C {,},{,},{,},{,},A D A E B C B D {,},{,},{,},{,}B E C D C E D E 10种不同取法，事件M发生包含：{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A C A D A E B C B D B E 共7个基本事件，由古典概型得7()10P M =，所以至少有1名男生被抽到的概率为7.10...............12分.18.解：(1)取GQ FM GQ FM QH MQ EM M BF Q CC //,1.,,1== ，连接中点，中点∴四边形MQGF 为平行四边形//MQ FG ∴...①.. (3)分又//,//,////HQ DC DC AB AB EM HQ EM ∴ ∴四边形EMQH 为平行四边形//EH MQ ∴...②由①②得//EH FG ,,,E F G H ∴四点共面，即点H EFG 在平面中................................................................................................................................................6分1111111111111111111(2),,,,,//............................................8HF A C HF EG O ABCD A B C D B D ACC A F H BB DD FH B D FH ACC A FH EFGH EFGH ACC A EFGH A EG ⋂=-∴⊥∴∴⊥⊂∴⊥⊥ 连接为正四棱柱平面又，分别是中点平面平面平面平面即平面平面分11111133RT A C G A G A E A G A E ∆==∴=在中由勾股定理得，由(1)可得四边形EFGH 为平行四边形且1EFGH O EG A O EG∴∴⊥四边形为菱形为中点11111,...................................................................................10EFGH A EG EFGH A EG EG A O A EG A O EFGH ⊥=⊂∴⊥ 平面平面，平面平面平面平面分12222111112,5312623,3614 (123)EFGH A EFGH EFGH RT EOH OH EH OE EH OH S EG HF RT EOA A E OE A O A E OE V S A O -∆==∴=-=∴=⋅=∆==∴=-==⋅=在中，在中，分解：（1）第一个等边三角形顶点坐标)23,21(111a a B 代入y x =得123a =，将点212213(,)22B a a +231233413,(,)322y x a B a a a =⇒=++坐标代入将点坐标代入382,33n y x a a n ==∴=得......................................................................................6分（2）由（1）得11919111911111(...)(1...)4(1)41223(1)42231n n n T a a n n n n n n +=∴=+++=--++-⋅+⨯⨯⨯++919(1)4144n n n =-=++........................................................................................................12分20.解:(1)设动点)1(13311),,(2212±≠=-⇒=+⋅-=⋅x y x x y x y k k y x P P A P A .................4分(2)易知直线AB 斜率不为.0设AB 方程为),,().33,33(,211y x A t ty x 设且-∈+=).,(22y x B 分，6....................0)1(36319,3112)013(0912)13(132222122122222>+=∆--=⋅-=+∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-=++-⇒=-+=t ty y t t y y t ty y t yx ty x由题意易得)1()1(3)1(3322122121+-=∴-=⇒=⋅x y x y BA y x k k k BA BA BA 方程为直线.....①直线2AA 方程为)1(111--=x x y y ......②............................................................................8分由①÷②得分横坐标为定值点12 (2)1213)31129(39)13112319(3319)1)((3)1)(1(3)1)(1(31122222222212122121212121M x t t t tt t t t y y t y y t y y ty ty y y x x y y x x ∴=⇒-=-++--+-+----=+++=++=--=-+备注：非对称式处理方式比较多，此处只提供利用第三定义转化回避非对称式，整体代换，半配凑，硬解方式处理非对称式均给满分.'''121.0,()(21)0 (22)11(,()0,()(,)()0,() (422)1(),..................................2x m f x x e x x f x f x x f x f x f x ==+=⇒=-∈-∞-<∈-+∞>∴解：(1)当时分；当时单调递减；当时单调递增分极小值点是-无极大值点...................................6.分'1(2)()(21)()0ln 2x f x x e m x m=+-=⇒=-或当',()()m f x f x e=≥∴时0,函数单调递增，至多一个零点，不满足条件...7分；当0m e <<时函数()f x 在1(,ln ),(ln ,-)2m m -∞单调递增单调递减，1(,)2-+∞单调递增,(ln )ln (1ln )0f m m m m =-<，函数()f x 至多一个零点，不满足..................8分当m e >时，函数()f x 在11(,-,(-)(ln ,)22m m -∞+∞单调递增单调递减，单调递增.5(5)11190,f e m --=--<令'()1,()100()x x g x e x g x e x g x =--=->⇒>∴在区间(,0)(0,)()(0)01x g x g e x -∞+∞≥=∴≥+单调递减，单调递增，即1x x e x e ex -≥⇒≥222322322.()(21)(21)244x x m e e e e x e x f m m e m m m m m m m m⇒≥⇒≥=---+≥---+22225[(1)(1)1)(31)0...............................10242e e m m m m m m =--++>-+>分158(012455(ln )ln (1ln )001m f m m m e ee f m m m m m m e⎧⎧-=->>⎪⎪⇒⇒<<>⎨⎨⎪⎪=-<<<>⎩⎩或或综上：8(,1)(,)5m e e⋃+∞的取值范围是.....................................................................12分()0;,()01x f x x f x →-∞<→+∞>（若用极限说明：，，扣分）22.解：(1)由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==,则C 为()422222cos sin 2cos 2ρρθθρθ=-=,C ∴的极坐标方程为22cos 2ρθ=,由题意易得直线l 的极坐标方程为,R θαρ=∈....................................4分(2)M N θρ=由题意得=0时1||,2MN P P P l S MN y ∴=⋅= 直线过原点22cos 222,cos 3C l ρθαθα⎧==⎨=⎩联立方程，且，143ρ===则,1sin 393P y MN ρα====又11427299MNP S =⨯ 所以分23.解:(1)()1221221f x x x x x =-+≥-+=当102x ≤≤时取“=”1a ∴=..........5分(2)法一：由(1)可知1a =，原式181161116()(222)212222222x x x x x x x x=+=+=++----11161251161(17)(17,(0,1)"".212215x x x x x x x x x --++≥+==⇒=∈=--当时取10分法二：由柯西不等式得211161(14)25()(222))2222222x x x x +=++-=≥=-原式当且仅当121"" (10215)x x x =⇒==-时取分法三:由权方和不等式得22214(14)25141,"" (1022222222225)x x x x x x x +=+≥==⇒==-+--原式当时取分。

2020年四川凉山高三三模文科数学试卷-学生用卷

2020年四川凉山高三三模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第1题5分设集合A={x|2x>1}，B={x||x|⩽1}，则A∩B=（）．A. (−1,1)B. (0,1]C. [−1,1]D. [0,1]2、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第2题5分2020年四川凉山高三三模理科第2题5分已知z=1−i（i是虚数单位），则4z+z=（）．A. 3B. 3iC. 3+iD. 3−i3、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第3题5分2020年四川凉山高三三模理科第3题5分若a，b∈R，则“a−b>0”是“(a+b2)2>ab”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第4题5分2020年四川凉山高三三模理科第4题5分如图所示的程序框图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（）．A. 4B. −2C. 2或−2D. 4或−25、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第5题5分2020年四川凉山高三三模理科第5题5分已知正项等比数列{a n}，向量a→=(a3,−8)，b→=(a7,2)，若a→⊥b→，则log2a1+log2a2+⋯+log2a9=（）．A. 12B. 16C. 18D. 6+log256、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第6题5分2020年四川凉山高三三模理科第6题5分已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（sin⁡30°，tan⁡135°），则cos⁡2α=（）．A. −35B. 35C. −45D. 457、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第7题5分若双曲线x 23−y 2b =1（b >0）抛物线y 2=8x 有相同的焦点，则该双曲线的两条渐近线的夹角为（）．A. π2B. π3C. π4D. π68、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第8题5分2020年四川凉山高三三模理科第8题5分设函数f(x)=3sin⁡(ωx +2π3)(ω>0)与函数g(x)=2cos⁡(3x +∅)(|∅|⩽π3)的对称轴完全相同，则∅的值为（）．A. −π6B. π3C. π6D. −π39、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第9题5分2020年四川凉山高三三模理科第9题5分已知M ，N 为平面区域{x −y ⩽0x +y −3⩾0y ⩽3内的两个动点，向量a →=(1,0)，则MN →⋅a →的最大值是（）．A. 1B. 2C. 3D. 410、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第10题5分2020年四川凉山高三三模理科第10题5分小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径为12厘米，轴的直径为4厘米．当小明用掉34的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于（）．A. 6厘米B. 7厘米C. 8厘米D. 9厘米11、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第11题5分2020年四川凉山高三三模理科第11题5分已知长方体ABCD−A1B1C1D1的体积V=12，AB=2，若四面体A−B1CD1的外接球的表面积为S，则S的最小值为（）．A. 8πB. 9πC. 16πD. 32π12、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第12题5分2020年四川凉山高三三模理科第12题5分已知函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且当x∈(0,+∞)时，f(x)=|ln xx|．若a=f(−e2)，b=f(2)，c=f(23)，则a，b，c的大小关系是（）．A. b>a>cB. a>b>cC. a>c>bD. c>b>a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第13题5分已知a →=(−1,2)，b →=(1,m )，若a →//b →，则m = ．14、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第14题5分2020年四川凉山高三三模理科第14题5分如图，AB 是圆O 的直径，OC ⊥AB ，假设向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．15、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第15题5分2020年四川凉山高三三模理科第15题5分设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A =π2，c =2，b =√3，AD →=λAB →+(1−λ)AC →(λ>0)，∠DAB =2∠DAC ，则λ= ．16、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第16题5分2020年四川凉山高三三模理科第16题5分阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262∼190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k >0，k ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．(1) 若定点为A(−1,0)，B(1,0)，写出k =12的一个阿波罗尼斯圆的标准方程．(2) △ABC 中，|AB |=2，|AC |=k |BC |（k >1），则当△ABC 面积的最大值为2√2时，k = ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第17题12分2020年四川凉山高三三模理科第17题12分S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1+a 7=14，S 9=81．(1) 求a n 及S n ．(2) 设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：13⩽T n <12．18、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第18题12分2020年四川凉山高三三模理科第18题12分州电视台为了解州卫视一档中华诗词类节目的收视情况，抽查东西区各5个县，统计观看该节目的人数的数据得到如下的茎叶图（单位：百人）．其中一个数字被污损．(1) 求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率．(2) 该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习诗词的周平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁）的关系，如下表所示：根据表中的数据，试求线性回归方程y ^=b ^x +a ^，并预测年龄为60岁的观众学习诗词的时间．（参考公式：b ^=∑x i y i −nx⋅yn i=1∑x i 2−nx n i=12，a ^=y −b ^x ）19、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第19题12分如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=√2．(1) 求证：OE//平面ADC．(2) 求直线AE与平面BDC所成角的余弦值．20、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第20题12分2020年四川凉山高三三模理科第20题12分已知函数f(x)=aln⁡x(a>0)．(1) 设函数g(x)=f(x)−x2在点(1,g(1))处的切线方程为x−y−2=0，求a的值．(2) 若曲线y=f(x)与曲线y=x2至少有一条公共切线，求a的取值范围．21、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第21题12分2020~2021学年1月广东深圳盐田区深圳外国语学校高三上学期月考第21题12分2020年四川凉山高三三模理科第21题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，右顶点A(2,0)，上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2=60°，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E．(1) 求椭圆C的方程．(2) 设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由．四、选考题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第22题10分2020年四川凉山高三三模理科第22题10分在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．A、B两点的极坐标分别为(1,π2)，(1,−π2)．曲线C的参数方程为{x=2cos⁡θy=sin⁡θ（θ为参数）．(1) 求A、B两点的直角坐标及曲线C的普通方程．(2) 设P是曲线C上任意一点（P不在y轴上），若直线PA、PB分别交x轴于点M、N，试问|OM|⋅|ON|是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年四川凉山高三三模文科第23题10分2020年四川凉山高三三模理科第23题10分已知函数f(x)=|x−a|．(1) 当a=1时，求不等式x+1f(x)>1的解集．(2) 设不等式|2x−1|+f(x)⩽x的解集为M，若[12,1]⊆M求实数a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】−2;14 、【答案】1π;15 、【答案】13;16 、【答案】 (1) (x±53)2+y2=169;(2) √2;17 、【答案】 (1) a n=2n−1，S n=n2．;(2) 证明见解析．;18 、【答案】 (1) 910．;(2) y^=0.07x+1.05，5.25小时．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √22．;20 、【答案】 (1) a=3．;(2) (0,2e]．;21 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) 存在Q(32,0)使得OP⊥EQ．;+y2=1．22 、【答案】 (1) (0,1)、(0,−1)，x24;(2) 存在，4．;23 、【答案】 (1) (0,1)∪(1,+∞)．;(2) a的取值范围为{1}．;。

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15.设吟A
BC
的内角
A
袁B袁C
所对的边分别为
a袁b袁c,若
A
=
仔 2
,c=2袁b=姨 3
,
A D =姿A B +渊1-姿冤A C 渊姿跃0冤,蚁DA B=2蚁DA C,则姿=
.
16. 阿波罗尼斯渊古希腊数学家袁约公元前 262-190 年冤的著作叶圆锥曲线论曳是古代世界光辉的科
学成果袁它将圆锥曲线的性质网罗殆尽袁几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题院
A援
-
仔 6
B.
仔 3
C援
仔 6
D援
-
仔 3
扇设设x-y臆0
设
9.
已知
M袁N
为平面区域
设
缮设设x+y-3逸0
内的两个动点袁向量
a =渊1,0冤袁则
MN窑a 的最大值是渊
冤
设
y臆3 设
设墒设
A援 1
月援 2
悦援 3
阅援 4
10. 小明有一卷纸袁纸非常的薄且如图所示袁
Q曰若不存在袁请说明理由.
请考生在第 22尧23 两题中选一题作答.注意院只能做所选定的题目.如果多做袁则按所做的第一
个题目计分袁作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22. 渊10 分冤[选修4-4院坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中袁以坐标原点 O 为极点袁x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.A尧B 两点的极坐
凉山州 2020 届高中毕业班第三次诊断性检测
数学渊文科冤
本试卷分选择题和非选择题两部分. 第玉卷渊选择题冤袁第域卷渊非选择题冤袁共 4 页袁满分 150 分袁考试时间 120 分钟.
注意事项院 1.答题前袁考生务必将自己的姓名尧座位号尧准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上袁并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上曰非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内袁超出答题区域书写的答案无效曰在草稿纸尧试题卷上答题无效. 3.考试结束后袁将答题卡收回.
.
三尧解答题渊解答过程应写出必要的文字说明袁解答步骤.共 70 分冤
17. (12 分)Sn 为等差数列嗓 an 瑟的前 n 项和袁已知 a1+a7=14袁S9=81. 渊1冤求 an 及Sn曰
渊2冤设
bn=
1 anan+1
袁数列嗓 bn
瑟
的前
n
项和为
Tn袁证明院
1 3
臆Tn约
1 2
.
18. 渊12 分冤州电视台为了解州卫视一档中华诗词类节目的收视情况袁抽查东西区各 5 个县袁统计观看该节目的人数的数据得到如下的茎叶图渊单位院百人冤.其中一个数字被污损.
渊1冤求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率曰渊2冤该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情袁现从观看节目的观众中随机统计了 4
位观众学习诗词的周平均时间 y渊单位院小时冤与年龄 x渊单位院岁冤的关系袁如下表所示院
x
20
30
40
50
y
2.5
3
4
4.5
根据表中的数据袁试求线性回归方程 y=bx+a袁并预测年龄为 60 岁的观众学习诗词的时间遥
第域卷渊非选择题袁共 90 分冤
二尧填空题渊共 4 小题袁每小题 5 分袁共 20 分冤
13. 已知 a =渊-1,2冤袁b =渊1袁m冤袁若a 椅b 袁则 m=
.
14. 如图袁A B 是圆 O 的直径袁OC彝A B袁假设向该圆
随机撒一粒黄豆袁则它落到阴影部分的概率为
.
数学渊文科冤试卷第 2 页渊共 4 页冤
A援 8仔
月援 9仔
悦援 16仔
阅援 32仔
12. 已知函数 y=f渊x-1冤的图象关于直线 x=1 对称袁且当 x沂渊0袁﹢肄冤时袁f渊x冤=
lnx x
.
若
a=f渊-
e 2
冤袁b=f渊2冤袁c=f渊
2 3
冤袁则 a袁b袁c
的大小关系是渊
冤
A援 b跃a跃c
B. a跃b跃c
C援 a跃c跃b
D援 c跃b跃a
第玉卷渊选择题袁共 60 分冤
一尧选择题渊本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.冤 1. 设集合 A = 嗓 x 丨 2x 跃1 瑟袁B= 嗓 x 丨 x 臆1 瑟袁则 A 疑B=渊冤
A. 渊-1,1冤
B. 渊0,1暂
C. 咱-1,1暂
20. 渊12 分冤已知函数 f渊x冤=alnx渊a跃0冤. 渊1冤设函数 g渊x冤=f渊x冤-x2 在点渊1袁g渊1冤冤处的切线方程为 x-y-2=0袁求 a 的值曰渊2冤若曲线 y=f渊x冤与曲线 y=x2 至少有一条公共切线袁求 a 的取值范围.
圆1.
渊12
分冤已知椭圆
C院
x2 a2
+
y2 b2
D. 咱0,1暂
2.
已知
z=1-i渊i
是虚数单位冤袁则
4 z
+z=渊
冤
A援 3
B援 3i
C援 3+i
D援 3-i
3.
若
a袁b沂R袁则野a-b跃0冶是野渊
a+b 2
冤2跃ab冶的渊
冤
A援充分不必要条件
B援必要不充分条件
C援充分必要条件
D援既不充分也不必要条件
4援如图所示的程序框图袁若输出的 y 的值为 2袁则输入的 x 的值为渊
圆3. 渊10 分冤[选修 4-5院不等式选讲暂
已知函数 f渊x冤= x-a .
渊1冤当
a=l
时袁求不等式
x+1 f渊x冤
跃1
的解集曰
蓘蓡渊2冤设不等式 2x-1
+f渊x冤臆x 的解集为 M袁若
1 2
,1
M袁求实数 a 的取值范围.
数学渊文科冤试卷第 4 页渊共 4 页冤
C援 18
D. 6+log25
数学渊文科冤试卷第 1 页渊共 4 页冤
6. 已知角琢的顶点与原点重合袁始边与 x 轴正半轴重合袁终边经过点渊sin30毅袁tan135毅冤袁则 cos2琢=渊冤
A援
-
3 5
B援
3 5
C援
-
4 5
D援
4 5
蓸蔀蓸蔀嗓标分别为
1袁
仔 2
袁
1袁-
仔 2
.曲线 C 的参数方程为 xy==s2icno兹s兹袁渊兹为参数冤.
渊1冤求 A 尧B 两点的直角坐标及曲线 C 的普通方程曰
渊2冤设 P 是曲线 C 上任意一点渊P 不在 y 轴上冤袁若直线 PA 尧PB 分别交 x 轴于点 M尧N袁试问
OM 窑 ON 是否为定值钥若是袁请求出这个定值曰若不是袁请说明理由.
A. 4
B. -2 C. 2 或-2 D. 4 或-2
冤
是
y=log2x
开始输入 x x跃1钥
输出 y
否 y=x2-2
结束
5援已知正项等比数列嗓 an 瑟袁向量 a =渊a3袁-8冤袁 b =渊a7袁2冤袁若 a 彝 b 袁则 log2a1+log2a2+噎+log2a9=渊冤
A援 12
B援 16
平面内与两定点距离的比为常数 k渊k跃0袁k屹1冤的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯
圆.渊1冤
若定点为
A 渊-1,0冤袁B渊1,0冤袁写出
k=
1 2
的一个阿波罗尼斯圆的标准方程
曰
渊2冤吟A BC 中袁 A B =2袁 A C =k BC 渊k跃1冤袁则当吟A BC 面积的最大值为 2姨 2 时袁k=
纸卷的直径为 12 厘米袁轴的直径为 4 厘米.
当小明用掉 3 4
的纸后袁则剩下的这卷纸的直径最
接近于渊冤
A. 6 厘米
B. 7 厘米
C. 8 厘米
D. 9 厘米
11. 已知长方体 A BCD-A 1B1C1D1 的体积 V =12, A B=2 , 若四面体 A -B1CD1 的外接球的表面积为 S, 则 S 的最小值为渊冤
n
移 xiyi-n x窑y
(参考公式:b= i = 1
袁a=y -b x )
n
移xi2-n x 2
i=1
数学渊文科冤试卷第 3 页渊共 4 页冤
19. 渊12 分冤如图袁四面体 A BCD 中袁O尧E 分别是 BD尧BC 的中点袁CA =CB=CD=BD=2袁A B=A D=姨 2 . 渊1冤求证院OE椅平面 A DC曰渊2冤求直线 A E 与平面 BDC 所成角的余弦值.
=1渊a跃b 跃0冤袁右顶点
A 渊2,0冤,上顶点为
B袁左右焦点分别为
F1,F2袁且
蚁F1BF2=60毅袁过点 A 作斜率为 k渊k屹0冤的直线 l 交椭圆于点 D,交 y 轴于点 E.
渊1冤求椭圆 C 的方程曰
渊2冤设 P 为 A D 的中点袁是否存在定点 Q袁对于任意的 k渊k屹0冤都有 OP彝EQ钥若存在袁求出点
7.
若双曲线 x2 3
-
y2 b2
=1渊b跃0冤与抛物线 y2=8x 有相同的焦点袁则该双曲线的两条渐近线的夹角为渊
冤
A援
仔 2
B.
仔 3
C.
仔 4