初一数学竞赛系列讲座13

初一数学竞赛系列讲座(13)角的认识一、 知识要点具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。

与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。

二、 例题精讲例1． 例1． 如图，已知O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线， OD平分∠AOD ，OE 在∠BOC 内，∠BOE ＝21∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数。

分析：易得∠EOC ＝32∠BOC ，而∠BOC +∠AOB ＝180°，结合OD 平分∠AOB ，可作∠BOC 平分线，结合∠DOE 可求出∠BOC ，从而求∠EOC 的度数解：作∠BOC 平分线OF ，则∠BOF ＝∠COF ＝21∠BOC∵ OD 平分∠AOB∴ ∠AOD ＝∠DOB ＝21∠AOB又∵ ∠BOC +∠AOB ＝180°∴ ∠DOB+∠BOF ＝90° 即 ∠DOF ＝90° ∴ ∠EOF ＝∠DOF-∠DOE ＝20°O又∵ ∠EOF ＝∠BOF-∠BOE而∠BOF ＝21∠BOC ，∠BOE ＝31∠BOC ∴∠EOF ＝21∠BOC-31∠BOC ＝61∠BOC∴∠BOC ＝6∠EOF ＝120°∴∠EOC ＝32∠BOC ＝32×120°＝80°即 ∠EOC ＝80°例2． 例2． 一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不能确定分析：设该锐角为α，它的余角（90°-α）的补角β应为180°-（90°-α）＝90°+α，β与α的差（90°+α）-α＝90° 故选B例3． 例3． 已知∠α的余角是∠β的补角的51，∠β＞110°，求∠α的范围。

分析：显然∠α是锐角，由互余和互补的定义及条件可求出∠α与∠β的关系，再由∠β的范围，可求出∠α的范围。

解：∠α的余角为90°-α，∠β的补角为180°-β由题意，得90°-α＝51（180°-β）∴ β＝5α-270°∵∠β＞110°∴5α-270°＞110°∴α＞76°又由条件知∠α为锐角∴α＜90°故∠α的范围是76°＜α＜90°评注：本例把∠α转化到∠β进而求出∠α的范围。

要把相关概念进解透彻，否则就会忽略α＜90°这一条件。

例4．例4．当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？解：时针每小时转1大格，即30°，所以每分针转0.5°，而分针每分转6°，当时针指向整点时，分针指向12点。

因此，我们以指向12点作为角的始边，在2点32分时，时针与12点构成的角度是2×30°+32×0.5°＝76°分针与12点构成的角度是32×6°＝192°，从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192°-76°＝116°评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于180°时，则需用360°减去这个角，例如：2点50分时，按上述方法求得的角是50×6°-(2×30°+50×0.5°)=300°-85°=215°＞180°则时针与分针的夹角为360°-215°＝145°（2）对于确定的时间，例如x点y分时，试写出用x、y表示时针与分针的夹角的表达式。

A 1oA 2A 10例5． 例5． 如图射线OA 表示北偏东60°，射线OB 表示东南方向，∠BOC 是∠AOB 的余角，射线OD 是射线OC 的反向延长线，写出射线OD 所表示的方向。

解：∠AOB=30°+45°=75°∠AOB 的余角∠BOC=90°-75°=15°∴OC 表示南偏东30°，OC 的反向延长线OD 所表示方向是北偏西30°评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线OC 就有在∠AOB 外部和内部两种不同位置，求OD 的方向也就需要分两种情况求解。

例6． 例6． 如图，OA 1，OA 2，…，OA 10是以O 为端点的十条射线，∠A 1OA 10＜90°，则图中以O 为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个？解法一：以O 为端点，以十条射线OA 1，OA 2，…，OA 10的任意两条为边组成的角，取决于从十条射线OA 1，OA 2，…，OA 10中选出两条配成的对数。

共有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45对，所以图中以O 为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有45个。

评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数。

解法二：也可化为数线段的问题。

如图作一直线，分别交OA 1，OA 2，…，OA 10于A 1，A 2，…，A 10，则每一个角对应于A 1 A 10上的某一条线段。

反过来，A 1 A 10上的每一条线段又对应于某一个角，如∠A 4OA 6，它对应线段A 4A 6，而线段A 4A 6恰好对应线段于∠A 4OA 6，因此，要数图中角的个数，只要数A 1 A 10上的线段数即可， 而A 1 A 10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45条 因此，图中共有45个角例7． 例7． 求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。

证明：如图，AB 、CD 相交于O ，则∠AOC 与∠BOD 成对顶角。

设OE 、OF 分别为∠AOC 、∠BOD 的平分线，∵ ∠AOE=21∠AOC ∠BOF=21∠BOD且 ∠AOC=∠BOD∴ ∠AOE=∠BOF又∵ ∠BOF+∠FOD+∠DOA=180° ∴ ∠AOE+∠FOD+∠DOA=180° 即 ∠EOF=180°∴ OE 、OF 在同一直线上。

评注：与对顶角有关的问题比较多，解这类题时，主要运用对顶角的定义来解题例8． 例8． 已知：直角∠AOB ，以点O 为端点在∠AOB 的内部画出1995条射线，以OA 、OB 及这些射线为边的锐角的个数是多E F少？解：设以O 为端点在∠AOB 的内部画出的1995条射线逆时针方向分别为射线OP 1，OP 2，OP 3…，OP 1995则以OA 为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP 1，OP 2，OP 3…，OP 1995）以OP 1为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP 2，OP 3，…，OP 1995，OB ）以OP 2为始边，逆时针方向旋转，形成1994个锐角（终边分别为射线OP 3，OP 4，…，OP 1995，OB ） ……以OP 1995为始边，逆时针方向旋转，形成1个锐角（终边为射线OB ） ∴ 共有1995+1995+1994+1993+…+2+1＝1993005（个） 三、 三、巩固练习选择题1、两个角β,a 的补角互余，则这两个角的和β+a 的大小是A.180°B.135°C. 270°D.90°2、如图，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 内部，ON 是∠BOC 的平分线，已知∠AOC ＝80°，则∠MON 为 （ ） A ．30° B ．40° C ．45° D ．50°3、已知一个直角∠,AOB 以O 为端点在∠,AOB 的内部画10条射线，以OB OA ,以及这些射线为边构成的锐角的个数是（ ）个。

（A ）110 （B ）132 （C ）66 （D ）O第2题第4题654、O 是直线AB 上的一点，∠AOD ＝120°，CO ⊥AB 于O ，OE 是∠BOD 的平分线，则图中彼此互补的角共有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对5、一张长方形的纸,ABCD 如图将C 角折起到E 处，作∠EFB 的平分线HF ，则∠HFG 的大小是（ ） （A ）锐角 （B ）直角 （C ）钝角 （D ）无法确定6、当时间是3点40分时，时针与分针的夹角度数是（ ）A ．110°B ．130°C ．120°D ．150° 第5题填空题7．已知角a 的补角等于角a 的3.5倍，则角a 等于＿＿度。

8．如图，AOE 是一条直线，COE AOC ∠>∠，OB 、OD 分别是COEAOC ∠∠、角平分线则图中的钝角共有＿＿个。

9．不相等的两角a 和β的两边分别平行，其中a 角比β角的3倍少200，则a 的大小是＿＿＿。

第8题10、船停在海面上，从船上看，灯塔的方向在北偏东30°，那么，从灯塔看，船的方向在。

11、O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2001条不同的直线l 1，l 2，l 3，…，12001，则可形成 对以O 为顶点的对顶角。

12、图中三角形的个数是 。

解答题13、一个角的余角的2倍和它的补角的21互为补角，求这个角的度数。

(第12题)14、如图所示的五角星形中共可数出多少个三角形。

15、∆ABC 是锐角三角形，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 上的点，连DE 、EF 、DF ，图中大于0°小于180°的角有多少个？第15 题16、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的值。

17、如图，BE 、DE 是∠ABC 、∠ADC 的角平分线BD第17题第16题求证：∠E=21(∠A+∠C)18、某人下午6点多钟外出买东西，看表上的时针与分针的夹角是110°，近7点钟返回时，发现时针与分针的夹角又是110°，则此人外出共用了多少时间？19、证明：一个锐角一半的余角的2倍，减去这个锐角2倍角的补角，仍等于原角。

20、已知∠AOB 是120°，以O 为端点在OA 与OB 之间作射线使它们与OA 、OB 之间形成的角的度数均是整数，最多可得到多少个角？多少不同的的度数？。