2021年高中数学 第三章 三角恒等变换质量评估检测(含解析)新人教A版必修4
高中数学 第三章 三角恒等变换综合练习(含解析)新人教A版必修3(2021年整理)
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第三章 三角恒等变换第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数⎪⎭⎫⎝⎛<<+=20cos sin παααy 的值域为（ ）. A ．()1,0 B ．()1,1- C ．()2,1 D ．()2,1- 2。
若0,sin cos ,sin cos ,4a b παβααββ<<<+=+=则（ )。
A ．b a <B ．b a >C ．1<abD ．2>ab 3。
若,1tan 2tan 1=+-θθ则θθ2sin 12cos +的值为( ）。
A ．3 B ．3- C ．2- D ．21-4.已知,23,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα并且,2524sin -=α则tan 2α=( ).A ．34B ．43 C 。
43- D ．34-5。
已知()(),5tan ,3tan =-=+βαβα则=α2tan （ )。
A ．47-B ．47 C. 74- D ．746.在ABC ∆中,若,sin sin cos cos B A B A >则该三角形是( ）。
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
高中数学(人教A版)必修4第3章 三角恒等变换 测试题(含详解)
第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。
人教A版数学必修四习题：第三章三角恒等变换单元质量评估含答案
单元质量评估(120 分钟150 分)一、选择题 ( 本大题共 12 小题 , 每题 5 分, 共 60 分, 在每题给出的四个选项中 , 只有一项为哪一项切合题目要求的 )1. 设 sin( π- θ)= , 则 cos 2θ= ( B )A. ±B.C.-D.-2. 已知 sin= ,- <α<0, 则 cos的值是( C )A. B. C.- D.13.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°的值是 ( B )A. B. C.- D.-4.-= ( D)A.4B.2C.-2D.-45. 若 sin( π- α)= -且α∈, 则 sin= ( A )A.-B.-C.D.6.若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移φ个单位 , 所得图象对于 y 轴对称 , 则φ的最小正当是( C )A. B. C. D.7.(2018 ·中原名校高三检测 )cos 375°+sin375°的值为( A )A. B. C.- D.-8.(2018 ·淮南高三检测 ) 为了获得函数 y=2cos2的图象,只要把函数 y=-sin 2x的图象上全部的点( C )A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C.向上平移 1 个单位D.向下平移 1 个单位9. 已知 cos 2α= , 则 tan 2α=( D )A. B.2 C. D.10. 在△ ABC中, 若 cos A= ,cos B=, 则 cos C= ( C )A. B. C. D.11.cos·cos·cos= ( A )A.-B.-C.D.12.(2018 ·洛阳高三检测 ) 设 a=cos 50°cos 127°+cos 40°·cos 37°,b= (sin 56°-cos 56°),c=, 则 a,b,c的大小关系是( D )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 5 分, 共 20 分, 将答案填在题中的横线上 )13. 已知 tanα=3,则cos 2α=-.14. 函数 f(x)=sin-2sin 2x 的最小正周期是π.15.(2018 ·广东珠海六校联考 ) 已知 tan( α+β)= ,tanβ= ,则tan的值为.16. 已知 cos 4α-sin 4α= , 且α∈, 则cos=.三、解答题 ( 本大题共 6 小题 , 共 70 分. 解答时应写出文字说明 , 证明过程或演算步骤 )17.( 本小题满分 10 分) 设向量 a=(sin x,sin x), b=(cos x,sin x),x∈.(1)若| a|=| b|, 求 x 的值 .(2)设函数 f(x)= a·b, 求 f(x) 的最大值 .【分析】 (1) 由|a| 2 =(sin x) 2 +(sin x)2=4sin2x,|b| 2=(cos x)2+(sin x)2=1,|a|=|b|,得4sin2x=1,又 x ∈,进而 sin x= ,因此 x= .(2)f(x)=a·b=sin x ·cos x+sin 2 x=sin 2x- cos 2x+ =sin+ ,当 x=∈时,sin取最大值 1.因此 f(x) 的最大值为.18.( 本小题满分 12 分)(2017 ·北京高考 ) 已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求 f(x) 的最小正周期 .(2) 求证 : 当 x∈时,f(x)≥-.【分析】 (1)f(x)=cos 2x+ sin 2x-sin 2x= sin 2x+cos 2x=sin,因此 f(x) 的最小正周期 T== π.(2)由于 - ≤x ≤ ,因此 - ≤2x+ ≤ ,因此 sin≥sin=- ,因此当 x ∈时,f(x)≥-.19.( 本小题满分 12 分) 已知 cos α=- , α∈.(1) 求 cos的值.(2) 求 tan 2α的值 .【分析】 (1) 由于 cosα=-,α∈,因此 sinα== ,因此 cos=cosαcos+sinαsin=-×+×=.(2) 由于 tanα===- ,因此 tan 2 α===.20.( 本小题满分 12 分) 已知α∈, 且 sin+cos = .(1)求 cos α的值 .(2) 若 sin( α- β)=- , β∈, 求 cos β的值 .【分析】 (1) 将 sin+cos=两边同时平方,得 1+sinα=,则 sinα=.又< α< π,因此 cosα=-=-.(2) 由于< α< π, < β< π,因此 - < α-β< .因此由 sin( α-β)=-得cos(α-β)=,因此 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=-×+×=-.21.( 本小题满分 12 分)(2018 ·济南高三检测 ) 已知函数f(x)=-2cos2 + .(1)求 f(x) 的单一区间 .(2)求 f(x) 在[0, π] 上的值域 .【分析】 (1)f(x)=1+sin x-cos x=1+2sin.由 2k π-≤x-≤2kπ+,k∈Z,得f(x) 的单一递加区间为,k ∈Z,由 2k π+≤x-≤2kπ+,k ∈Z, 得f(x) 的单一递减区间为,k ∈Z.(2)x ∈[0, π], 则 x-∈,sin∈,2sin∈[-,2],因此 f(x) 在[0, π] 上的值域为 [1-,3].22.( 本小题满分 12 分) 已知向量 m=, n=, 此中α∈, 且 m⊥n.(1) 求 sin 2α和 cos 2α的值 .(2) 若 sin=, 且β∈, 求角β.【分析】 (1) 由于 m ⊥ n, 因此 2cosα-sinα=0,即 sin α=2cos α.代入 cos 2α+sin 2α=1, 得 5cos 2α=1,又α∈,则 cosα=,sinα=.则 sin 2 α=2sinαcosα=2××= .cos 2 α=2cos 2α-1=2 × -1=- .(2) 由于α∈,β∈,因此α-β∈.又 sin( α- β)=,因此 cos( α- β)=.因此 sinβ=sin[α-(α-β)]=sin αcos( α- β)-cosαsin(α-β)=×-×=.由β∈,得β= .封闭 Word 文档返回原板块。
人教A版2020-2021学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评 答案和解析
人教A 版【最新】高中数学必修4第三章三角恒等变换测评学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．函数f (x )=1-2sin 22x的最小正周期为( ) A ．2πB ．πC ．π2D ．4π2．若cos()23πα-=，则cos(2)πα-=（ ） A ．29-B ．29C ．59-D ．593．函数f (x )=12-cos 2π-4x ⎛⎫⎪⎝⎭的单调增区间是( ) A ．ππ2π-,2π22k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z B ．π3π2π,2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z C ．π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z D ．πππ-,π44k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z 4．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-75．函数f (x )=sin 2π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭+cos 2π-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数6．已知sin 51π-124θ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则cos π26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=( ) A ．-78 B ．-1516C ．-12D ．787．2sin 50?1sin10?+的值等于( )A ．12B ．14C ．1D ．28．三角函数f (x )=sin π-26x ⎛⎫⎪⎝⎭+cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( )A π2 BC π2D ,π9．已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且tan A ,tan B 是方程3x 2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形10．已知函数f (x )=cos 4x+sin 2x ,下列结论中错误的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．函数f (x )最小值为34C ．π2是函数f (x )的一个周期 D ．函数f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数 11．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4π B ．2π C ．34π D ．π12．已知sin 2(α+γ)=n sin 2β,则tan()tan(-)αβγαβγ+++=( )A ．-11n n + B ．1n n + C ．-1n n D ．1-1n n +二、填空题13．若函数f (x )=sin 2x+cos 2x ,且函数y=f 2x ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于_____. 14．化简2222tan(45?-)sin cos ·1-tan (45?-)cos -sin αααααα=_____.15．已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．16．若函数f (x )=x+b cos x 在x=π3处取得最大值,则f (x )在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值等于_____.三、解答题17．已知函数f (x )=A sin π2-6x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭(A>0,ω>0)的最小值为-2,其图象相邻两个对称中心之间的距离为π4. (1)求f (x )的最小正周期及对称轴方程; (2)若f 5π1-4242θ⎛⎫=⎪⎝⎭,求f 5π212θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．已知cos -2βα⎛⎫⎪⎝⎭=-7,sin 1-22αβ⎛⎫= ⎪⎝⎭,且α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,β∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.求:(1)cos2αβ+; (2)tan(α+β).19．已知向量a =cos ωx ,1),b =π132sin ,-1442x ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中,函数f (x )=a·b,且f (x )图象的一条对称轴为x=5π8. (1)求f 3π4⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2)若f π-283α⎛⎫=⎪⎝⎭,f π-283β⎛⎫= ⎪⎝⎭,且α,β∈ππ-,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,求cos(α-β)的值. 20．已知函数f (x )=tan π24x ⎛⎫+⎪⎝⎭. (1)求f (x )的定义域与最小正周期; (2)设α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭,若f 2α⎛⎫ ⎪⎝⎭=2cos 2α,求α的大小. 21．如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A ，点B ，P 在单位圆上，且(.B AOB α∠=（1）求4cos 3sin 5cos 3sin -+αααα的值；（2）设2(),63AOP ππθθ∠=≤≤OQ OA OP =+，四边形OAQP 的面积为S ，2()(1)1f OA OQ θ=⋅--，求()f θ的最值及此时θ的值．22．已知函数f （x ）＝4sin （x 3π-）cos x （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 所在[0，2π]匀上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan （x 1+x 2）的值．参考答案1．A 【解析】 【分析】先根据二倍角余弦公式化简,再根据余弦函数性质求周期. 【详解】 f (x )=1-2sin 22x=cos x ,于是最小正周期为2π. 选A 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、余弦函数性质，考查基本求解能力. 2．C 【解析】cos()sin 23παα-==225cos(2)cos 22sin 12(139πααα-=-=-=⨯-=-.选C. 3．C 【分析】先根据二倍角余弦公式以及诱导公式化简，再根据正弦函数性质求单调增区间. 【详解】∵f (x )=π1cos -21222x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=-cos π-22x ⎛⎫⎪⎝⎭=-sin 2x ,令π2+2k π≤2x ≤32π+2k π,∴π4+k π≤x ≤34π+k π,∴增区间为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . 选C 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、诱导公式、正弦函数性质，考查基本求解能力. 4．B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=34,则tanπ1tan141tan7ααα-⎛⎫-==⎪+⎝⎭.选B【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力. 5．A【解析】【分析】先根据二倍角余弦公式以及诱导公式化简，再根据正弦函数性质求周期. 【详解】f(x)=sin2π4x⎛⎫+⎪⎝⎭+cos2ππ-42x⎛⎫+⎪⎝⎭-1=2sin2π4x⎛⎫+⎪⎝⎭-1=-cosπ22x⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 2x,所以周期T=2π2=π,且函数是奇函数.选A【点睛】本题考查二倍角余弦公式、诱导公式、正弦函数性质，考查基本求解能力. 6．A【解析】【分析】先根据诱导公式得cosπ12θ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据二倍角余弦公式求结果.【详解】由sin51π-124θ⎛⎫=⎪⎝⎭,可得cosπ12θ⎛⎫+⎪⎝⎭=sin5π1-124θ⎛⎫=⎪⎝⎭,所以cosπ26θ⎛⎫+⎪⎝⎭=2cos2π12θ⎛⎫+⎪⎝⎭-1=2·214⎛⎫⎪⎝⎭-1=-78.选A【点睛】本题考查二倍角余弦公式、诱导公式，考查基本求解能力. 7．A 【分析】先根据诱导公式化角，再根据二倍角正余弦公式化简求值.. 【详解】221cos80?sin 50?cos 40?11sin10?121sin10?1sin10?1sin10?21sin10?2++===⨯=++++. 选A 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式，考查基本求解能力. 8．D 【解析】 【分析】先根据两角差正弦公式展开，再根据配角公式化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求振幅与周期. 【详解】 f (x )=sin π-26x ⎛⎫⎪⎝⎭+cos 2x=sin π6cos 2x-cos π6sin 2x+cos 2x=32cos 2π2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,周期为T=2π2=π. 选D 【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 9．A 【解析】试题分析：因为tanA,tanB 是方程3x 2−5x +1=0的两个实根，由韦达定理可得到：tanA +tanB =53，与tanAtanB =13，又因为C =π−(A +B)，得tanC =−tan(A +B)=−tanA+tanB 1−tanAtanB=−52<0，故C 为钝角，即三角形为钝角三角形．故选A ． 考点：一元二次方程根与系数关系，同角三角函数基本关系． 10．D 【解析】 【分析】根据偶函数定义进行判断；将函数化为关于sin 2x 的二次函数，根据二次函数性质确定最小值；根据周期定义判断C 是否正确;举反例说明D 不成立. 【详解】由f (-x )=cos 4(-x )+sin 2(-x )=f (x ),知函数f (x )是偶函数,故A 正确;f (x )=(1-sin 2x )2+sin 2x=sin 4x-sin 2x+1=2213sin -24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又sin 2x ∈[0,1],则当sin 2x=12时,f (x )min =34,所以B 正确; f π2x ⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 4π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-sin 2π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+1=cos 4x+1-cos 2x=cos 4x+sin 2x ,则f (x )=f π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以C 也正确,因为()()43f f ππ< ，所以D 错误，选D 【点睛】本题考查偶函数、二次函数最值、周期、单调性，考查基本分析判断能力. 11．A 【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.详解：因为π()cos sin )4=-=+f x x x x ，所以由π02ππ2π,(k Z)4+≤+≤+∈k x k 得π3π2π2π,(k Z)44-+≤≤+∈k x k 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤a a a a a a a ，从而a 的最大值为π4，选A.点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质： (1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω= (3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴， (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间； 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间. 12．D 【解析】 【分析】将α+γ看作整体，化简条件sin[(δ+β)+(δ-β)]=n sin[(β+δ)+(β-δ)]，根据两角和与差正弦公式展开变形得结果. 【详解】记α+γ=δ,则原式变为sin[(δ+β)+(δ-β)]=n sin[(β+δ)+(β-δ)],展开得sin(δ+β)cos(δ-β)+cos(δ+β)sin(δ-β)=n sin(β+δ)cos(β-δ)+n cos(β+δ)sin(β-δ),等式两边同除以cos(δ-β)cos(δ+β)得tan(δ+β)+tan(δ-β)=n tan(β+δ)-n tan(δ-β),于是tan()1tan(-)-1n n αβγαβγ+++=+.选D 【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 13．π4【分析】先根据配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件，解得φ的值. 【详解】因为f (x )=sin 2x+cos 2sin π24x ⎛⎫+⎪⎝⎭,所以y=f 2x ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,则有φ+ππ42=+k π,因此φ=π4+k π(k ∈Z),当k=0时,φ=π4. 【点睛】本题考查正弦函数对称性，考查基本分析求解能力. 14．12【分析】根据二倍角正余弦以及正切公式化简即得结果. 【详解】原式=tan(90°-2α)·1sin22cos2αα=1sin2sin(90?-2)cos2sin22··cos(90?-2)cos2sin22cos2αααααααα= =12. 【点睛】本题考查二倍角正余弦以及正切公式，考查基本化简能力. 15．32. 【分析】利用两角差的正切公式展开，解方程可得3tan 2α=. 【详解】5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2α=. 【点睛】本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确. 16．2 【解析】【分析】根据三角函数有界性得3+2b =，解得b ，再根据配角公式化成基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最值.【详解】依题意有f π3⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin π3+b cos π3=,即3+2b =,解得b=2,于是f (x )=2x+2cos x=4sin π6x ⎛⎫+⎪⎝⎭,由于x ∈π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以x+πππ,663⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故最小值等于4sin π6=2.【点睛】本题考查正弦函数最值，考查基本求解能力.17．(1)T=π2,对称轴方程为x=ππ46k +(k ∈Z).(2)-74. 【解析】【分析】(1)根据最值得A ，根据对称中心得周期，解得ω，再根据正弦函数性质求对称轴，(2)先化简条件得sin θ=-14, f 5π212θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-2cos 2θ，再根据二倍角余弦公式求结果. 【详解】(1)因为函数f (x )的最小值为-2,所以A=2. 由图象相邻两个对称中心之间的距离为π4,得最小正周期T=π2,所以2ππ22ω=,即ω=2,于是f (x )=2sin π4-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由4x-π6=k π+π2,得x=ππ46k +(k ∈Z),故其图象的对称轴方程为x=ππ46k +(k ∈Z). (2)由f 5π-424θ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1,可得2sin(θ-π)=12,于是sin θ=-14,因此f 5π212θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2sin 5ππ2-36θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ =2sin 3π22θ⎛⎫+⎪⎝⎭=-2cos 2θ=4sin 2θ-2=-74. 【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.18．(1) . 【解析】【分析】(1)先根据同角三角函数关系得sin -2βα⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，cos -2αβ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据2αβ+= ---22βααβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，利用两角差余弦公式求结果，(2) 先根据同角三角函数关系得sin 2αβ+，tan 2αβ+，再根据二倍角正切公式求结果.【详解】(1)∵π2<α<π,0<β<π2, ∴π4<α-2β<π,-π42α<-β<π2.∴sin -2βα⎛⎫== ⎪⎝⎭,cos -22αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴cos 2αβ+=cos ---22βααβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=cos -2βα⎛⎫ ⎪⎝⎭·cos -2αβ⎛⎫ ⎪⎝⎭+sin -2βα⎛⎫ ⎪⎝⎭·sin 1-22αβ⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=-. (2)∵π3π424αβ+<<,∴sin 214αβ+==. ∴tan sin 22cos 2αβαβαβ++=+. ∴tan(α+β)=22tan 21-tan 2αβαβ+=+【点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 19． (1) -1(2). 【解析】【分析】(1)先根据向量数量积坐标表示得函数解析式，再二倍角公式以及配角公式化简得基本三角函数，根据正弦函数对称轴得ω ，最后代入求f 3π4⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2) 先代入化简得sin α=13,sin β=23.根据同角三角函数关系得cos α,cos β，最后利用两角差余弦公式求结果. 【详解】(1)∵向量a =cos ωx ,1),b =π2sin ,4x ω⎛⎛⎫+ ⎪ ⎝⎭⎝ -1⎫⎪⎭ =ωx+cos ωx ),-1), ∴函数f (x )=a·b =2cos ωx (sin ωx+cos ωx )-1=2sin ωx cos ωx+2cos 2ωx -1=sin 2ωx+cos 2ωx=π24xω⎛⎫+⎪⎝⎭.∵f(x)图象的一条对称轴为x=5π8,∴2ω×5πππ842+=+kπ(k∈Z).又14≤ω≤32,∴ω=1,∴f(x)sinπ24x⎛⎫+⎪⎝⎭,∴f3π4⎛⎫=⎪⎝⎭3π2π44⎛⎫⨯+⎪⎝⎭π4=-1.(2)∵fπ-283α⎛⎫=⎪⎝⎭,fπ-283β⎛⎫=⎪⎝⎭,∴sin α=13,sin β=23.∵α,β∈ππ-,22⎛⎫⎪⎝⎭,∴cos α=3,cos β=3,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=29.【点睛】向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，或转化为三角形中的“数量关系”，再利用解三角形的有关知识进行求解.20．(1)x∈R x≠ππ82k+,k∈Z,π2(2)α=π12.【解析】【分析】(1)根据正切函数性质求定义域与最小正周期; (2)代入，根据两角和正切公式以及二倍角余弦公式化简等式为sin 2α=12.再根据角范围求结果.【详解】(1)由2x+ππ42≠+kπ,k∈Z,得x≠ππ82k+,k∈Z,所以f(x)的定义域为x∈R x≠ππ82k+,k∈Z.f (x )的最小正周期为π2. (2)由f 2α⎛⎫ ⎪⎝⎭=2cos 2α,得tan π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2cos 2α, 即πsin 4πcos 4αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(cos 2α-sin 2α), 整理得sin cos cos -sin αααα+=2(cos α+sin α)(cos α-sin α). 因为α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以sin α+cos α≠0. 因此(cos α-sin α)2=12,即sin 2α=12. 由α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭,得2α∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以2α=π6,即α=π12. 【点睛】 应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.21．(1)-10;(2)当4πθ=时，()max 12f θ=，当=2πθ时()min 1.f θ-， 【分析】()1由三角函数的定义可得tan α的值，将原式化为关于tan α的函数并代入tan α的值即可求得答案 ()2利用向量的数量积的坐标运算可以求得()2f sin θθθ=-，21sin 1632ππθθ⎡⎤∈≤≤⎢⎥⎣⎦，，利用正弦函数的单调性与最值即可求得()f θ的最值和此时θ的值【详解】（1）依题意，tanα==﹣2，∴===﹣10；（2）由已知点P 的坐标为P （cosθ，sinθ），又=+， =， ∴四边形OAQP 为菱形， ∴S=2S △OAP =sinθ， ∵A（1，0），P （cosθ，sinθ）， ∴=（1+cosθ，sinθ）， ∴•=1+cosθ，∴f（θ）=（1+cosθ﹣1）2+sinθ﹣1 =cos 2θ+sinθ﹣1 =﹣sin 2θ+sinθ， ∵≤sinθ≤1， ∴当sinθ=，即θ=时，f （θ）max = ； 当sinθ=1，即θ=时，f （θ）min =﹣1 ．【点睛】 本题是一道关于三角函数的题目，主要考查了三角函数的化简求值以及三角函数中的恒等变换应用和三角函数的最值，考查了逻辑推理能力，属于中档题．22．（1）最小正周期为π，单调递增区间为：[12k ππ-，512k ππ+]，k ∈Z ；（2）m ∈2），tan （x 1′+x 2′）＝ 【分析】 （1）利用正弦和角公式，降幂扩角公式以及辅助角公式化简函数解析式为标准正弦型函数，再求函数性质即可；（2）数形结合，根据(),y f x y m ==图象有2个交点，求得m 的范围；根据对称性，即可求得12x x +，再求正切即可.【详解】函数f （x ）＝4sin （x 3π-）cos x化简可得：f （x ）＝2sin x cos x ﹣cos 2x＝sin2x -1122+cos2x ）＝sin2x cos2x＝2sin （2x 3π-） （1）函数的最小正周期T 2ππ2==， 由22k ππ-≤2x 232k πππ-≤+时单调递增， 解得：1212k x k π5ππ-≤≤π+ ∴函数的单调递增区间为：[12k ππ-，512k ππ+]，k ∈Z ． （2）函数g （x ）＝f （x ）﹣m 所在[0，2π]匀上有两个不同的零点x 1′，x 2′， 转化为函数f （x ）与函数y ＝m 有两个交点令u ＝2x 3π-，∵x ∈[0，2π]，∴u ∈[3π-，23π] 可得f （x ）＝sin u 的图象（如图）．从图可知：m 在，2），函数f （x ）与函数y ＝m 有两个交点，其横坐标分别为x 1′，x 2′．故得实数m 的取值范围是m ∈2），由题意可知x 1′，x 2′是关于对称轴是对称的：那么函数在[0，2π]的对称轴x 512π= ∴x 1′+x 2′512π=⨯256π=那么：tan （x 1′+x 2′）＝tan563π=-【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及三角函数性质的性质的求解，数形结合的思想，属综合中档题.。
高中数学 第三章 三角恒等变换测试题(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)
高中数学第三章三角恒等变换测试题（含解析）新人教A版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换测试题（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三章三角恒等变换一．选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1.15sin 951852-等于 （ ） A 。
185 B.365C 。
3635 D.18352。
已知m A A =+tan 1tan ，则A 2sin 的值为 ( ） A 。
21mB.m 1C.m 2 D 。
m 23．sin 12π—3cos 12π的值是 （ ）A ．0B ． —2C ． 2D ． 2 sin 125π4.已知3cos ()52x x ππ=-<<，则sin 2x =（ ）A.55B.55-C.255- D.2555．若△ABC 中，sin B·sin C＝cos 2错误!，则△ABC 的形状为( ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6。
函数sin 3cos 22x xy =+的图象的一条对称轴方程是 （ ）A 。
x =113π B.x =53π C 。
53x π=- D 。
3x π=-7.已知α为锐角，且cos 错误!＝错误!，则cos α的值为( )A 。
错误! B.错误! C 。
错误! D.错误!8。
函数22()cos ()sin ()11212f x x x ππ=-++-是（ )A 。
人教A版数学必修四《第三章-三角恒等变换》质量评估
章末质量评估(三)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝( )． A.2＋64 B.2－64 C.6－24 D.24解析 sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76° ＝sin 89°cos 14°－cos 89°sin 14° ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝2＋64. 答案 A2．若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是( )． A ．－65 B ．－45 C.45 D.65 解析 ∵tan θ＝13，∴原式＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝1210＝65. 答案 D3．(2012·湖南师大附中高一检测)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )． A.3365 B.6365 C ．－3365 D ．－6365 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45， 由sin β＝－513得cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.答案 A4．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )． A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝2cos 213°－1＝cos 26°＝sin 64°， c ＝32＝sin 60°，∴c <a <b . 答案 A5．在△ABC 中，若0<tan A tan B <1，则△ABC 是( )． A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定解析 ∵0<tan A tan B <1，∴0<A ，B <π2， 又tan A tan B ＝sin A cos A ·sin Bcos B <1，∴cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <π2，∴C >π2， ∴△ABC 为钝角三角形． 答案 A6．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )．A.724 B ．－724 C.247 D ．－247解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案 D7．函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为( )． A.π4 B.π2 C ．π D ．2π解析 y ＝sin 4x ＋cos 2x ＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 2－122＋34＝18cos 4x ＋78.∴T ＝π2. 答案 B8．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )．A.1925B.1625C.1425D.725解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.答案 D9．(2012·日照高一检测)当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( )．A ．1B ．±1 C. 3 D ．－1 解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝34(sin 2x ＋cos 2x )＋14sin x cos x ＋34sin x cos x ＝34＋12sin 2x .当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24，此时2x ＝2k π＋π2，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.答案 A10．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )． A ．向左平移π2个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向右平移π2个单位 D ．向左平移π4个单位解析 令y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，则y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2， ∴y ＝sin x ＋cos x 错误!y ＝sin x －cos x . 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．化简2＋cos 2－sin 21的结果是________． 解析 原式＝1＋cos 2＋(1－sin 21)＝2cos 21＋cos 21＝3|cos 1|.又0<1<π2，∴cos 1>0， ∴原式＝3cos 1. 答案3cos 112．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图，点C 在以O 为圆心 的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________． 解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°， ∴30°≤α＋30°≤150°∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取得最大值2. 答案 213．已知sin x －cos x ＝sin x cos x ，则sin 2x ＝________. 解析 ∵sin x －cos x ＝sin x cos x ， ∴(sin x －cos x )2＝(sin x cos x )2 1－2sin x cos x ＝(sin x cos x )2， ∴令t ＝sin x cos x ，则1－2t ＝t 2. 即t 2＋2t －1＝0， ∴t ＝－2±222＝－1±2.又∵t ＝sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，∴t ＝2－1，∴sin 2x ＝22－2. 答案 22－214．(2012·长沙高一检测)关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π24，所以③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确．答案 ①②③三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，求sin θ2、cos θ2、tan θ2的值．解 ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. 由cos θ＝1－2sin 2θ2， 有sin θ2＝－1－cos θ2＝－ 1＋352＝－255.又cos θ＝2cos 2θ2－1， 有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2. 16．(10分)求证：(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)sin 2x＝tan x 2. 证明 左式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2sin 2x＝4sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2sin 2x ＝4sin 2x2cos xsin 2x＝4sin 2x2cos x 2sin x cos x ＝2sin 2x 22sin x 2cos x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x2. 17．(10分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝24，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4x 的值．解 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝24，所以cos 2x ＝22.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2x ∈(π，2π)，所以sin 2x <0，所以sin 2x ＝－22.所以sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×22＝－1.18．(12分)已知sin α＝13，cos β＝－23，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 因为sin α＝13，cos β＝－23，α、β均为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，sin β＝1－cos 2β＝53.故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2－2109，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2＋2109.19．(12分)设向量a ＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))， b ＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.(1)求tan α；(2)求2cos 2α2－3sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.解 (1)a ＋b ＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.∴2cos αcos β＝45，2sin αcos β＝35，∴tan α＝34.(2)2cos2α2－3sin α－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos α－3sin αsin α＋cos α＝1－3tan α1＋tan α＝－57.。
2021-2022年高中数学第三章三角恒等变换综合测试卷A卷新人教A版
2021-2022年高中数学第三章三角恒等变换综合测试卷A卷新人教A版一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的图象的一条对称轴方程为（）A．B． C． D．【答案】B2. 若，且23cos cos2tan210πααα⎛⎫++==⎪⎝⎭，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】103)22cos(cos2=++απα，23cos2sin cos10ααα-=2212tan33tan20tan701tan10αααα-=⇒+-=+所以()1tan,tan73αα==-舍3. 为锐角，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为锐角，且，所以，所以，所以，即tan tan1471tan tan4θθπ-=π+，解得，所以13425tantan4312θθ+=+=，故选A．4．若，则等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由可得,则,故应选B.5．若，则（）A. B.1C. D.【答案】A【解析】3tan1tan1)4tan(-=-+=+ααπα，解得，2222cos4sin coscos2sin2sin cosααααααα++=+.故选A.6. 【xx天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校高三上学期期中】若点在直线上，则（）A. B. C. D.【答案】D7. 【xx甘肃省会宁县第一中学高三上学期第三次月考】若, 是第三象限的角,则1tan21tan2αα+=-（）A. B. C. 2 D. -2【答案】A【解析】试题分析：∵，为第三象限，∴,∵2sin21cos sin1tan cos cos sin2222221tan sin cos sin cos sin cos sin222222221cos2αααααααααααααααα+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫---+⎪⎪⎝⎭⎝⎭-223 11sin1sin154cos2cos sin225ααααα⎛⎫+- ⎪++⎝⎭====---．8.【xx四川省成都市双流中学高三11月月考】若，则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由，则，可得，则，故选C.9.【xx湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上学期期中】下列各式中，值为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A. 00011sin15cos15sin3024==B．223cos sin cos.121262πππ-==C．D．1cos306-2cos15=2+=故答案为B.10．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则（）A． B． C． D．【答案】D11.函数())cos3(sinsin21xxxxf+-=的图象向左平移个单位得函数的图象，则函数的解析式是( )A． B．C． D．【答案】A【解析】化简函数)62sin(2)26sin(22sin32cos2sin3sin21)(2ππ--=-=-=--=xxxxxxxf的图象向左平移个单位得函数的图象，则)22sin(2)]22(sin[2)22sin(2]6)3(2sin[2)3()(πππππππ-=++-=+-=-+-=+=xxxxxfxg，故选A．12.已知，，，，则（）A． B．C. D．【答案】B【解析】根据和的范围得出的范围，然后由和的值，利用同角三角函数间的基本关系，即可求出，及的值，然后由，利用两角差的正弦函数公式把所求的式子化简后，将各自的值代入即可求出值．因为，，得到，由，得到54)53(1)sin(2=-=-βα，由，得到，则，则)sin(cos)cos(sin)](sin[sinβααβααβααβ---=--=，故答案为：.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.求值__ __．【答案】【解析】由题意可得，由诱导公式得14.若，则 .【答案】【解析】由题tan tan1tan34tan()41tan51tan tan4παπααπαα---===++.故本题答案应填.15. 【xx山东省潍坊市高三上学期期中】已知，，则__________．【答案】【解析】，又，，∴，∴故答案为：.16．已知，，且，则的值等于__________.【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题10分）求值：．【答案】【解析】sin10cos40sin5013cos40sin5013tan10cos10sin701cos40sin701cos40⎛++⎪++⎝⎭=++cos103sin10cos40sin50cos10sin701cos40⎫++ ⎪⎝⎭+2sin40cos 40sin50cos10sin701cos40++2sin40cos40cos40cos10sin701cos 40sin701cos40+=++222222cos20sin7012cos201==+-.18．（本小题12分）【xx 河南省南阳一中高三上学期第三次考试】已知. （1）求的值； （2）求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值.【答案】（1）-3（2）1【解析】试题分析：（1）利用两角和的正切函数化简求解即可． （2）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 试题解析：（1）tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+=⎪⎝⎭-（2）原式()2222222sin cos sin sin cos 2cos 112sin cos sin sin cos 2cos 2tan 221tan tan 2222ααααααααααααααα=+---=+-⨯===+-+-19．（本小题12分）已知向量1,3,cos ,sinOA OB ，且．（1）求；（2）若是钝角，是锐角，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）02AOB OA OB π∠=∴⋅=,1cos 3sin 0tan 3ααα∴--=⇒=-，()222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 11sin 2cos 212sin cos 2cos 2tan 24παααααααααααα-+++===++++ （2）∵是钝角，，cos 1010αα∴=-=， ∵为锐角，， ．()()()1310sin sin sin cos cos sin 50βααβααβααβ∴=--=---=⎡⎤⎣⎦． 20．（本小题12分）【xx 全国18名校大联考高三第二次联考】已知向量， ，其中，且. （1）求和的值； （2）若，且，求角. 【答案】（1）， ；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知得，从而由即可得和，由二倍角公式即可得解； （2）由利用两角差的正弦展开即可得解. 试题解析： （1）∵，∴， 即.代入，得，且， 则， . 则 . .21.（本小题12分）已知函数()23sin22cos f x x x =-．（）求的值；（）求的单调递增区间．【答案】（1）0；（2）的单调递增区间是 .【解析】试题分析：（1）由三角函数二倍角公式和化一公式化简原式子，代入要求的函数值即可；（2）根据三角函数的单调性求得单调区间即可.（）函数()22cos f x x x =-，∴22πππ22cos 2666f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（）()21cos2π2cos 2cos212sin 2126x f x x x x x x x +⎛⎫=-=-⋅=--=-- ⎪⎝⎭ 令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+， ， 解得， ；所以函数的单调递增区间是 ． 22．（本小题12分）设向量，，。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习(含解析)新人教A版必修4
高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习（含解析）新人教A 版必修41．设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247B ．2425，725，247C ．－2425，－725，247D ．2425，－725，－247答案 A解析 因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725，tan2α＝sin2αcos2α＝－247．2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，cos2α＝725，则cos α＝( )A ．45B ．－45C ．－35D ．35 答案 A解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，∴22sin α＋22cos α＝7210，即sin α＋cos α＝75，∵cos2α＝725，∴cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725，∴cos α－sin α＝15，可得cos α＝45，故选A ．3．1－tan 215°2t an15°等于( )A ． 3B ．33C ．1D ．－1 答案 A解析 原式＝12tan15°1－tan 215°＝1tan30°＝3．4．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值等于( ) A ．62 B ．32 C ．54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54．5．sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan 222.5°2tan22.5°等于( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2 答案 B解析 原式＝sin90°－tan 222.5°2tan22.5°＝1－tan 222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1．6．3－sin70°2－cos 210°的值是________． 答案 2 解析3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝23－cos20°3－cos20°＝2． 7．若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝________．答案 79解析 由cos(75°－α)＝13，得cos(150°－2α)＝2cos 2(75°－α)－1＝－79，则cos(30°＋2α)＝cos[180°－(150°－2α)] ＝－cos(150°－2α)＝79．8．若α∈2，2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2 C ．2sin α2 D ．－2sin α2 答案 D解析 ∵α∈5π2，7π2，∴α2∈5π4，7π4，∴原式＝sin α2＋cos α2＋sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2． 9．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos2α－π4sin α＋π2等于( )A ．25B ．75C ．145D ．－25 答案 C解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45．∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，∴原式＝1＋2cos2αcos π4＋sin2αsinπ4cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145．10．已知sin x 2－2cos x2＝0．(1)求tan x 的值；(2)求cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x 的值．解 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43．(2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x ＝cos2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin x＝cos 2x －sin 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝cos x －sin x cos x ＋sin x22cos x －sin x sin x＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24．对应学生用书P90一、选择题1．12－sin 215°＝( ) A ．64 B ．6－24 C ．32 D ．34答案 D解析 原式＝12－1－cos 2×15°2＝cos30°2＝34．2．函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C解析 ∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1＝－cos2x 2＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x ，∴函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是最小正周期为2π的奇函数．3．已知cos π4－x ＝35，则sin2x 的值为( )A ．1825B ．725C ．－725D ．－1625 答案 C解析 因为sin2x ＝cos π2－2x ＝cos2π4－x ＝2cos 2π4－x －1，所以sin2x ＝2×352－1＝1825－1＝－725．4．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A ．1318 B ．1118 C ．79 D ．－1 答案 B解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118．5．若cos2αsin α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72 B ．－12C ．12D ．72 答案 C解析 cos2αsin α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22． ∴sin α＋cos α＝12．二、填空题6．已知tan x ＋π4＝2，则tan xtan2x 的值为________．答案 49解析 ∵tan x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13．∴tan x tan2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x2＝1－192＝49． 7．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈0，π2，则 α＝________．答案π6解析 ∵sin 22α＋sin2αcos α－(cos2α＋1)＝0． ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0． ∵α∈0，π2．∴2cos 2α>0．∴2sin 2α＋sin α－1＝0．∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6．8．设a ＝12cos7°－32sin7°，b ＝2cos12°·cos78°，c ＝1－cos50°2，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c >b >a解析 a ＝12cos7°－32sin7°＝sin30°cos7°－cos30°sin7°＝sin(30°－7°)＝sin23°，b ＝2cos12°cos78°＝2sin12°·cos12°＝sin24°，c ＝1－cos50°2＝1－1－2sin 225°2＝sin 225°＝sin25°，所以c >b >a ．三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan30°1－tan 230°； (5)求s in10°sin30°sin50°sin70°的值． 解 (1)∵sin 3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24．(2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°， ∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32． (3)2cos25π12－1＝cos 5π6＝－32． (4)tan30°1－tan 230°＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32． (5)解法一：∵sin10°sin50°sin70°＝sin20°sin50°sin70°2cos10°＝sin20°cos20°sin50°2cos10°＝sin40°sin50°4cos10°＝sin40°cos40°4cos10°＝sin80°8cos10°＝18，∴sin10°sin30°sin50°sin70°＝116．解法二：sin10°sin30°sin50°sin70°＝12cos20°cos40°cos80°＝2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20°＝sin80°cos80°8sin20°＝116·sin160°sin20°＝116．10．已知α为钝角，且tan π4－α＝2．(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值．解 (1)tan π4－α＝1－tan α1＋tan α，所以1－tan α1＋tan α＝2，1－tan α＝2＋2tan α，所以tan α＝－13．(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α＝sin α2cos 2α－1cos2α＝sin αcos2αcos2α＝sin α．因为tan α＝－13，所以cos α＝－3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为钝角，所以sin α＝1010， 所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010．。
2020_2021学年高中数学第三章三角恒等变换单元质量评估习题含解析新人教A版必修4
第三章单元质量评估时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知sin θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( A ) A ．－7226 B.7226 C ．－17226 D.17226解析：∵sin θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫－12132＝513. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θsin π4＝513×22＋⎝⎛⎭⎫－1213×22＝－7226. 2．已知cos α＝－35，则cos2α等于( B )A.725 B ．－725 C.2425 D ．－2425解析：∵cos α＝－35，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－725.3．已知－π4<α<3π4，sin(π4－α)＝55，则sin α＝( A )A.1010 B.255 C.55 D.33解析：∵－π4<α<3π4，∴－π2<π4－α<π2，又sin(π4－α)＝55，∴cos(π4－α)＝255，∴sin α＝sin[π4－(π4－α)]＝1010. 4．已知α，β为锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝( D ) A ．－3π4 B.π4或3π4 C.3π4 D.π4解析：∵α，β为锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，∴cos α＝255，cos β＝31010，且α＋β∈(0，π)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝65050－5050＝55050＝22，∴α＋β＝π4，故选D.5．已知锐角α的终边上一点P (1＋cos40°，sin40°)，则锐角α＝( C ) A ．80° B ．70° C ．20° D ．10°解析：由三角函数的定义可得tan α＝sin40°1＋cos40°＝2sin20°cos20°2cos 220°＝tan20°，因为α是锐角，所以α＝20°.6．若sin(π－α)＝－53且α∈(π，3π2)，则sin(π2＋α2)＝( B ) A ．－63 B ．－66 C.66 D.63解析：∵sin(π－α)＝sin α＝－53，α∈(π，3π2)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－23.又cos α＝2cos 2α2－1，α2∈(π2，3π4)，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－66，∴sin(π2＋α2)＝cos α2＝－66. 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( B )A ．－45B ．－35 C.35 D.45解析：由题意可知tan θ＝2，所以cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. 8．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( D )A ．－1＋a 2 B ．－1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2解析：∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 9．y ＝sin x cos x ＋sin 2x 可化为( A ) A ．y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 解析：y ＝sin x cos x ＋sin 2x＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin2x －22cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.10．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( C )A.22 B.32C. 2 D ．2 解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴原式＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°)＝2sin(15°＋30°)＝ 2.11．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x的最大值是( B )A.223B.233C.43D.263解析：由于函数f (x )的图象关于x ＝5π3对称，则f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3，∴a ＝－32－a 2，∴a ＝－33， ∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，∴g (x )max ＝233. 12．已知不等式f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ≤0，对于任意的－5π6≤x ≤π6恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A ．m ≥ 3B ．m ≤ 3C ．m ≤－ 3D ．－3≤m ≤ 3解析：f (x )＝32sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62＋m ＝322sin x 2＋62(1＋cos x 2)－62＋m ＝322sin x 2＋62cos x2＋m ＝6⎝⎛⎭⎫32sin x 2＋12cos x 2＋m ＝6sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋m . 故要使f (x )≤0对任意的－5π6≤x ≤π6恒成立，只需m ≤－6sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6在－5π6≤x ≤π6上恒成立．∵－5π6≤x ≤π6，∴－π4≤x 2＋π6≤π4，∴[－6sin(x 2＋π6)]min ＝－ 3.∴m ≤－ 3.二、填空题(每小题5分，共20分)13．若tan x ＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝22－3.解析：∵tan x ＝2，∴原式＝cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1－tan x 1＋tan x ＝1－21＋2＝(1－2)2－1＝22－3.14．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于 3.解析：由sin 2α＋cos2α＝14，得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3. 15．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝5π6.解析：y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，由0≤x <2π得，－π3≤x －π3<5π3，所以当x －π3＝π2，即x ＝5π6时取得最大值．16．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为π2. 解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知α∈(π2，π)，β是第三象限角，且sin α＝35，cos β＝－513.求cos(α－β)和sin(α＋β)的值．解：∵α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.∵β是第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1213. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－45)×(－513)＋35×(－1213)＝－1665；sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝35×(－513)＋(－45)×(－1213)＝3365.18．(本小题12分)计算：(1)3tan12°－3sin12°(4cos 212°－2)；(2)cos40°＋sin50°(1＋3tan10°)sin70°1＋cos40°.解：(1)原式＝3(sin12°－3cos12°cos12°)sin12°×2(2cos 212°－1)＝3(sin12°－3cos12°)2sin12°cos12°cos24°＝23(sin12°cos60°－cos12°sin60°)sin24°cos24°＝2×23sin (12°－60°)2sin24°cos24°＝－43sin48°sin48°＝－4 3.(2)原式＝cos40°＋sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°sin70°·2cos20°＝cos40°＋sin50°·2cos (60°－10°)cos10°sin70°·2cos20°＝cos40°＋sin100°cos10°2cos 220°＝cos40°＋122(cos40°＋1)＝ 2.19．(本小题12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－45，求sin α的值．解：(1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513. (2)由0<α<π2，－π2<β<0且sin β＝－45，可知cos β＝35，且0<α－β<π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝1213×35＋513×(－45)＝1665.20．(本小题12分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)将f (x )化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式(A >0，ω>0)； (2)求f (x )的最小正周期；(3)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x . (2)由(1)知，函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(3)由－π6≤x ≤π2，得－π3≤2x ≤π.所以－32≤sin2x ≤1.所以f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.21．(本小题12分)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝(1，tan(α＋β2))，0<α<π4，且a·b ＝73.(1)求f (x )在区间[2π3，4π3]上的最值；(2)求2cos 2α－sin2(α＋β)cos α－sin α的值．解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin(x －π3)＋2，∵x ∈[2π3，4π3]，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π，∴f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最大值是4，最小值是2. (2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73，∴sin α＝13，又0<α<π4，∴cos α＝223，∴2cos 2α－sin2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin2αcos α－sin α＝2cos α＝423.22．(本小题12分)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. (ⅰ)求实数m 的取值范围； (ⅱ)证明：cos(α－β)＝2m 25－1.解：方法一：(1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝2cos(x －π2)的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)(ⅰ)f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5(25sin x ＋15cos x )＝5sin(x ＋φ)(其中sin φ＝15，cos φ＝25)． 依题意，sin(x ＋φ)＝m 5在[0,2π)内有两个不同的解α，β当且仅当|m5|<1，故m 的取值范围是(－5，5)．(ⅱ)证明：因为α，β是方程5sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m<5时，α＋β＝2(π2－φ)，即α－β＝π－2(β＋φ)；当－5<m<1时，α＋β＝2(3π2－φ)，即α－β＝3π－2(β＋φ)，所以cos(α－β)＝－cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝2(m5)2－1＝2m25－1.方法二：(1)同方法一．(2)(ⅰ)同方法一．(ⅱ)证明：因为α，β是方程5sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m<5时，α＋β＝2(π2－φ)，即α＋φ＝π－(β＋φ)；当－5<m<1时，α＋β＝2(3π2－φ)，即α＋φ＝3π－(β＋φ)．所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．故cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－[1－(m5)2]＋(m5)2＝2m25－1.。
2021年高中数学 第三章三角恒等变换单元检测(含解析)新人教A版必修4
2021年高中数学第三章三角恒等变换单元检测（含解析）新人教A版必修4一、选择题1．的值是( )．A．B．－C．2 D．－22．cos 40°＋cos 60°＋2cos 140°cos2 15°－1的值是( )．A．0 B．C．D．3．已知sin(－)cos －cos(－)sin ＝，且在第三象限，则sin的值是( )．A．－B．－C．±D．±4．已知＝，则tan ＝( )．A．B．C．D．5．tan(+45°)－tan(45°－)等于( )．A．2tan 2B．－2tan 2C．D．－6．已知sin(－)cos－cos(－)sin ＝，且为第三象限角，则cos 等于( )．A．B．－C．D．－7．2sin 14°cos31°＋sin 17°等于( )．A．B．－C．D．－8．在△ABC中，若0＜tan Α·tan B＜1，那么△ABC一定是( )．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定9．已知为第三象限角且sin4＋cos4＝，则sin 2等于( )．A．B．C．－D．－10．sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°的值为( )．A．B．C．D．二、填空题11．若sin x－sin y＝－，cos x－cos y＝，x，y都是锐角，则tan(x－y)的值为．12．化简＝__________．13．若3sin ＝cos ，则tan 4＝．14．若＜＜，＝－，则tan ＝．15．求函数y＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x的最小正周期＝．16．已知＝k(＜＜)，试用k表示sin －cos 的值．三、解答题17．化简：cos2A＋cos2(＋A)＋cos2(＋A)．18．已知：∈(0，)，∈(，)且cos(－)＝，sin(＋)＝，求：cos ，cos(＋)．19．(1)已知tan(－)＝，tan ＝，且，∈(0，)，求2－的值．(2)已知cos(－)＝，sin(－)＝，且＜＜，0＜＜，求cos(＋)的值．20．已知tan 2＝，2∈，求．第三章三角恒等变换参考答案一、选择题1．D解析：原式＝＝＝＝－＝－2．2．C解析：原式＝＋cos 40°－cos 40°＋cos 30°＝＋＝．3．D解析：∵sin(－－)＝，∴sin ＝－．又知是第三象限角，∴cos ＝－．又cos ＝1－2sin2，∴sin＝±＝±．4．B解析：∵＝＝，∴＝，即tan＝2．∴ ＝＝＝－．5．A解析：原式＝－＝＝＝2tan 2．6．B解析：由已知得sin(－)＝，即sin ＝－，又为第三象限角，∴cos＝－．7．A解析：原式＝2sin 14°cos31°＋sin(31°－14°)＝sin 31°cos14°＋cos 31°sin14°＝sin(31°＋14°)＝sin 45°＝．8．B解析：∵A，B是△ABC内角，又∵0＜tan Α·tan B＜1，∴A，B∈(0，)．∵0＜＜1，cos A cos B＞0，∴cos A cos B－sin A sin B＞0，即cos(A＋B)＞0，∴0＜A＋B＜，∴－(A＋B)＝C＞，∴△ABC一定是钝角三角形．9．A解析：∵＝，∴(sin2＋cos2)2－2sin2·cos2＝，∴1－sin22＝，∴sin22＝．∵2k＋＜＜2k＋，∴4k＋2＜2＜4k＋3．∴sin 2＝．10．A解析：sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°＝＝＝＝．二、填空题11．答案：－．解析：由平方相加，可求cos(x－y)＝．∵0＜x＜，0＜y＜且sin x－sin y＝－＜0，∴0＜x＜y＜，∴－＜x－y＜0，∴ sin(x－y)＝－，∴tan(x－y)＝－．12．答案: －cos 2．解析：原式＝＝＝＝|cos 2|．∵＜2＜，∴cos 2＜0．∴原式＝－cos 2．13．答案：．解析：∵3sin ＝cos ，∴tan ＝．∴tan 2＝＝，tan 4＝＝．14．答案： -2．解析：∵＜＜，∴5＜2＜，＜＜，∴，2均为第三象限角，为第二象限角．∵sin 2＝－，∴cos 2＝－，又cos 2＝2cos2 －1，∴cos ＝－＝＝－．又sin 2＝2sin cos ＝－，∴sin ＝＝，∴tan ＝＝－2．15．答案：．解析：y＝1＋sin 2x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋2＝sin(2x＋)＋2．故最小正周期为．16．答案：．解析：∵＝＝2sin cos ，∴k＝2sin cos ．而(sin －cos )2＝1－2sin cos ＝1－k．又＜＜，于是sin －cos ＞0，所以sin －cos ＝．三、解答题17．解析：原式＝＋＋＝＋[cos 2A＋cos()＋cos()]＝＋(cos 2A－cos 2A＋sin 2A－cos 2A－sin 2A)＝．18．答案：＝，cos(＋)＝－．解析：∵＜＜，∴－＜－＜0．∵cos(－)＝，∴sin(－)＝－，∴cos ＝cos[－(－)]＝cos·cos(－)＋cos·sin(－)＝·＋·(－)＝．又∵0＜＜，∴＜＋＜．∵sin(＋)＝，∴cos(＋)＝，∴cos(＋)＝sin[＋(＋)]＝sin[(＋)－(－)]＝sin(＋)·cos(－)－cos(＋)·sin(－)＝·－(－)·(－)＝－．19．答案：(1)2－＝－；(2)cos(＋)＝－．解析：(1)∵tan(－)＝，∴tan 2(－)＝＝．又∵2－＝2(－)＋且tan ＝－，∴tan(2－)＝＝1．∵，∈(0，)且tan ＝－＜0，tan ＝＝∈(0，1)，∴0＜＜，＜＜0＜2＜，－＜－＜－－＜2－＜0，而在(－，0)内使正切值为1的角只有一个－，∴2－＝－．(2)∵＜＜，0＜＜，∴＜－＜，＜－＜．又∵cos(－)＝－，sin(－)＝，∴sin(－)＝，cos(－)＝，∴cos＝cos[(－)－(－)]＝cos(－)cos(－)＋sin(－)sin(－)精品文档＝，∴cos(＋)＝2cos2－1＝．20．答案：－3＋2．解析：＝＝，∵tan 2＝＝－2，∴tan 2－tan －＝0，解得 tan ＝或tan ＝－．∵＜2＜，∴＜＜，∴tan ＝，∴原式＝＝－3＋2．u&30087 7587 疇24813 60ED 惭30256 7630 瘰38739 9753 靓21688 54B8 咸23027 59F3 姳35083 890B 褋29278 725E 牞 hAD25791 64BF 撿实用文档。
2020_2021学年高中数学第三章三角恒等变换单元素养评价含解析新人教A版必修4202103231
单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.函数y=2cos2+1的最小正周期是( )A.4πB.2πC.πD.【解析】选B.因为y=2cos2+1=+2=cos x+2,所以函数的最小正周期T=2π.2.(2020·某某高一检测)已知sin α=,cos α=,则tan等于( )A.2-B.2+C.-2D.±(-2)【解析】选C.因为sin α=,cos α=,所以tan ===-2.3.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ等于( )A.-B.C.D.-【解析】选A.3sin x-cos x=2=2sin.又φ∈(-π,π),所以φ=-.4.(2020·某某高一检测)已知角α的顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,将α的终边按顺时针方向旋转后经过点(3,4),则tan α=( )A.-7B.-C.D.7【解析】选A.根据题意tan=,tan==,所以tan α=-7.5.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,则sin x=0或cos x=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三个零点.6.若α∈(0,π),且cos α+sin α=-,则cos 2α=( )A. B.- C.- D.【解析】选A.因为cos α+sin α=-,α∈(0,π),所以sin 2α=-,cos α<0,且α∈,所以2α∈,所以cos 2α==.7.=( )A.B.-C.-1D.1【解析】选B.原式==-=-=-=-.8.(2020·某某高一检测)在△ABC中,已知tan=sin C,则△ABC的形状为( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.在△ABC中,tan=sin C=sin(A+B)=2sin cos,所以2cos2=1,所以cos(A+B)=0,从而A+B=,即△ABC 为直角三角形.9.已知0<β<α<,点P(1,4)为角α的终边上一点,且sin αsin+cos αcos=,则角β=( )A. B. C. D.【解析】选D.因为P(1,4),所以|OP|=7(O为坐标原点),所以sin α=,cos α=.又sin αcos β-cos αsin β=,所以sin(α-β)=.因为0<β<α<,所以0<α-β<,所以cos(α-β)=,所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.因为0<β<,所以β=.10.已知0<α<<β<π,又sin α=,cos(α+β)=-,则sin β等于( )A.0B.0或 C. D.±【解析】选C.因为0<α<<β<π且sin α=,cos(α+β)=-,所以cosα=,<α+β<π,所以sin(α+β)=±,当sin(α+β)=时,sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=;当sin(α+β)=-时,sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sin α=-×-×=0. 又β∈,所以sin β>0,故sin β=.11.(2020·某某高一检测)已知函数f(x)=sin,若方程f(x)=的解为x1,x2(0<x1<x2<π),则sin(x1-x2)=( )A.-B.-C.-D.-【解题指南】由已知可得x2=-x1,结合x1<x2求出x1的X围,再由sin(x1-x2)=sin=-cos求解即可.【解析】选D.因为方程f(x)=的解为x1,x2(0<x1<x2<π),所以=,所以x2=-x1,所以sin(x1-x2)=sin=-cos.因为x1<x2,x2=-x1,所以0<x1<,所以2x1-∈,所以由f(x1)=sin=,得cos=,所以sin(x1-x2)=-.12.已知不等式f(x)=3sin cos+cos2--m≤0对于任意的-≤x≤恒成立,则实数m的取值X围是( )A.m≥B.m≤C.m≤-D.-≤m≤【解析】选A.f(x)=3sin cos+cos2--m=sin+cos-m,=sin-m≤0,所以m≥sin,因为-≤x≤,所以-≤+≤,所以-≤sin≤,所以m≥.二、填空题(每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=sin 2x+2cos2x+m在区间上的最大值为6,则m=.【解析】f(x)=sin 2x+2cos2x+m=sin 2x+1+cos 2x+m=2sin+m+1,因为0≤x≤,所以≤2x+≤.所以当2x+=,即x=时,f(x)max=2+m+1=6,所以m=3. 答案:314.tan+tan+tan·tan+θ的值是.【解析】因为tan=tan==,所以=tan+tan+tan-θtan.答案:15.(2020·某某高一检测)若sin α+2cos α=-(0<α<π),则cos=.【解析】由sin α+2cos α=-(0<α<π)可知,α为钝角,又sin2α+cos2α=1,可得sin α=,cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=-,cos2α=cos2α-sin2α=-,所以cos=cos 2αcos -sin 2αsin=.答案:16.关于函数f(x)=cos+cos,则下列命题:①y=f(x)的最大值为;②y=f(x)的最小正周期是π;③y=f(x)在区间上是减函数;④将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位后,将与已知函数的图象重合. 其中正确命题的序号是.【解析】f(x)=cos+cos=cos+sin=cos-sin==cos=cos,所以y=f(x)的最大值为,最小正周期为π,故①、②正确.又当x∈时,2x-∈[0,π],所以y=f(x)在上是减函数,故③正确.由④得y=cos 2=cos,故④正确.答案:①②③④三、解答题(共70分)17.(10分)(1)求值:.(2)已知sin θ+2cos θ=0,求的值.【解析】(1)原式====2+.(2)由sin θ+2cos θ=0,得sin θ=-2cos θ,又cos θ≠0,则tan θ=-2,所以====.18.(12分)已知sin sin=,且α∈,求tan 4α的值. 【解析】因为sin=sin=cos,则已知条件可化为sin cos=,即sin=,所以sin=,所以cos 2α=.因为α∈,所以2α∈(π,2π),从而sin 2α=-=-,所以tan 2α==-2,故tan 4α==-=.19.(12分)(2020·晋中高一检测)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.(1)若|a|=|b|,求x的值.(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.【解析】(1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x∈,从而sin x=,所以x=.(2)f(x)=a·b=sin x·cos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,又x∈,所以当x=时,sin取得最大值为1,所以f(x)的最大值为.20.(12分)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.(1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值.(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.【解析】方法一:(1)因为0<α<,sin α=,所以cos α=.所以f(α)=×-=. (2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 方法二:f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin.(1)因为0<α<,sin α=,所以α=.从而f(α)=sin=sin =.(2)T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.21. (12分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P的坐标为(-3,4),β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为.(1)求tan(2α-β)的值.(2)若<α<π,0<β<,求α+β.【解析】(1)由三角函数的定义知tan α=-,所以tan 2α==.又由三角函数线知sin β=.因为β为第一象限角,所以tan β=,所以tan(2α-β)==.(2)因为cos α=-,<α<π,0<β<,所以<α+β<.因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×-×=.又因为<α+β<,所以α+β=.22.(12分)如图,四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心,9为半径画弧,分别交AB、AD于点E,F,P为上一动点,过点P分别作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N,求矩形PM的面积的最小值.【解析】连接PA,设∠PAE=θ,如图所示.设矩形PM的面积为S,延长NP交AB于点H,则PM=HB=AB-AH=10-9cos θ,PN=HN-HP=10-9sin θ.所以S=PM·PN=(10-9cos θ)(10-9sin θ)=100-90sin θ-90cos θ+81sin θcos θ.设sin θ+cos θ=t.则S=100-90t+(t2-1)=t2-90t+=+.因为θ∈,所以t=sin θ+cos θ=sin∈[1,], 所以当t=时,S min=,故矩形PM的面积的最小值为.。
2020_2021高中数学第三章三角恒等变换章末质量检测课时作业含解析新人教A版必修4
章末质量检测(三) 三角恒等变换所以cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.故选C.答案：C5．已知cos α＝－45且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )A ．－17 B ．－7C.17D ．7 解析：因为cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝7.答案：D6．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan π－αtan －β＝( )A ．5B ．－1C ．6 D.16解析：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13，两式作和得sin αcos β＝512，两式作差得cos αsin β＝112，则tan π－αtan －β＝－tan α－tan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5.故选A.答案：A7．函数f (x )＝2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小正周期为( )A ．2πB.π2C ．πD ．4π解析：由题得f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：C8．已知cos θ＝－14(－180°<θ<－90°)，则cos θ2＝( )A ．－64B.64C ．－38D.38解析：因为－180°<θ<－90°，所以－90°<θ2<－45°.又cos θ＝－14，所以cos θ2＝1＋cos θ2＝1－142＝64，故选B. 答案：B 9．(23cos 20°－tan 70°)cos 10°＝( )A.12B.32 C ．1 D. 3解析：(23cos 20°－tan 70°)cos 10°＝⎝⎛⎭⎪⎫23cos 20°－sin 70°cos 70°cos 10° ＝23cos 20°cos 70°－sin 70°cos 70°·cos 10°＝23cos 20°sin 20°－sin 70°cos 70°·cos 10°＝3sin 40°－sin 30°＋40°cos 70°·cos 10°解得tan α＝－22或tan α＝2.因为π4<α<π2，所以tan α＝2.则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos α－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝cos α－sin αcos αcos α＋sin αcos α＝1－tan α1＋tan α＝1－21＋2＝22－3.故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知cos(α＋β)＝17，cos(α－β)＝－17，则cos αcos β的值为________．解析：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝17，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－17，②①＋②，得2cos αcos β＝0. ∴cos αcos β＝0. 答案：0 14．求值：3tan 10°＋4sin 10°＝________. 解析：原式＝3sin 10°＋4sin 10°cos 10°cos 10°＝3sin 10°＋2sin 20°cos 10°＝3sin 30°－20°＋2sin 20°cos 10°＝3sin 30°cos 20°－3cos 30°sin 20°＋2sin 20°cos 10°＝32cos 20°＋12sin 20°cos 10°＝sin 60°＋20°cos 10°＝sin 180°cos 10°＝1. 答案：115．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π31＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝35－131＋35×13＝29.答案：2916．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝33，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝33＋1－13＝2＋33.答案：2＋33三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知α为第二象限的角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．解析：原式＝22sin α＋cos α2sin αcos α＋2cos 2α＝2sin α＋cos α4cos αsin α＋cos α＝24cos a，又α为第二象限的角，且sin α＝154，所以cos α＝－14，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝24cos α＝－2.18．(12分)求证：2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α.证明：左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝2－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α，所以等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝32sin 2x ＋cos 2x －12，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调增区间．解析：(1)因为函数f (x )＝32sin 2x ＋cos 2x －12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故函数的最小正周期为2π2＝π.(2)对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，可得函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .20．(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3.。
人教A版数学必修四单元质量评估(三)第三章：三角恒等变换.doc
[精练精析]单元质量评估（三）第三章：三角恒等变换一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=sinx+cosx的最小正周期是（）（A）（B）π（C）2π（D）4π【解析】选C.∵y=sinx+cosx=2sin(x+),∴T=2π.2.（2009·长春高一检测）化简cos2(-α)-sin2( -α)得( )(A)sin2α (B)-sin2α(C)cos2α (D)-cos2α【解析】选A.原式=cos(-2α)=sin2α.【解析】选A.sin89°cos14°-sin1°cos76°=sin89°cos14°-cos89°sin14°=sin75°=sin(45°+30°)=6.（2009·平遥高一检测）若0<α<β<π4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则（）（A）a>b （B）a<b （C）ab<1 （D）ab>219.（12分）求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.21.（12分）（2009·新余高一检测）已知函数f(x)=2sin2x+ sinxcosx+1,求：（1）f(x)的最小正周期；（2）f(x)的单调递增区间；（3）f(x)在［0, ］上的最值.22.（12分）（2009·重庆高考）设函数f(x)=sin(x-)-2cos2x+1.(1)求f(x)的最小正周期；（2）若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈［0, ］时，y=g(x)的最大值.。
2020_2021学年高中数学第三章三角恒等变换阶段质量评估课时作业含解析新人教A版必修4
阶段质量评估(五) 三角恒等变换(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°的值等于( ) A ．0 B ．12C.32D ．－12解析： cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°＝sin 66°cos 36°－cos 66°sin 36°＝sin(66°－36°)＝sin 30°＝12.答案： B2．化简cos 2⎝⎛⎭⎫π4－θ－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－θ等于( ) A ．sin 2θ B ．－sin 2θ C ．cos 2θD ．－cos 2θ解析： 原式＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2θ ＝sin 2θ. 答案： A3．化简cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°等于( )A ．1B ．2 C.12D ．－1解析： cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝cos 10°12sin 80°＝cos 10°12cos 10°＝2.故选B.答案： B 4.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( )A ．－32B ．－12C.12D ．32解析： 原式＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案： C5．要得到y ＝sin 2x －cos 2x 的图象，只需将y ＝2sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向左平移π8个单位长度C ．向右平移π4个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析： y ＝sin 2x －cos 2x ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，因此只需将y ＝2sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度即可．答案： D6．已知sin 2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α等于( ) A.15 B ．－15C ．－75D ．75解析： 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0. 所以sin α＋cos α＞0，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝125.所以sin α＋cos α＝15.故选A.答案： A 7．若sin(π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2等于( ) A ．－63B ．－66C.66D ．63解析： 由题意知sin α＝－53，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π， 所以cos α＝－23.因为α2∈⎝⎛⎭⎫π2，34π， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2＝cos α2＝－1＋cos α2＝－66. 答案： B8．若A ，B 是△ABC 的内角，并且(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则A ＋B 等于( ) A.π4 B ．3π4C.5π4D ．2π3解析： 由(1＋tan A )(1＋tan B )＝2， 得1＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝2. 所以tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B .由tan(A ＋B )＝tan B ＋tan B 1－tan A tan B ＝1－tan A tan B 1－tan A tan B ＝1，因为A ，B 是△ABC 内角，所以A ＋B ＝π4.答案： A9．若函数g (x )＝a sin x cos x (a ＞0)的最大值为12，则函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝－3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－5π4解析： g (x )＝a 2sin 2x (a ＞0)的最大值为12，所以a ＝1，f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 令x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π，k ∈Z .故选B.答案： B10．要使12sin θ＋32cos θ＝m －62－m 有意义，则实数m 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．[8，＋∞)D ．(8，＋∞)解析： 12sin θ＋32cos θ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝m －62－m∈[－1,1]， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －62－m ≤1，所以8m －32≥0. 解得m ≥4.故选B. 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设向量a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin θ，b ＝⎝⎛⎭⎫cos θ，13，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则θ＝________. 解析： 若a ∥b ，则sin θcos θ＝12，即2sin θcos θ＝1，∴sin 2θ＝1，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π4. 答案： π412．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________. 解析： 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2 α2sin αcos α＝tan α＝22. 答案：2213．tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________. 解析： ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°，∴tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝tan 10°＋tan 50°， 即3－3tan 10°tan 50°＝tan 10°＋tan 50°， ∴3＝tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°.答案： 314．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 解析： ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，即③正确．将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )， 所以④不正确． 答案： ①②③三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.解析： 法一：原式＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.法二：原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2＝cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1.16．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)cosα＋β2； (2)tan(α＋β)．解析： (1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝217. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝32. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－277×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4＜α＋β2＜3π4，∴sin α＋β2＝1－cos 2α＋β2＝5714. ∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2.(1)求f (x )的定义域；(2)若角α在第一象限且cos α＝35，求f (α)的值．解析： (1)由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2≠0，得cos x ≠0， ∴x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由已知条件得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.从而f (α)＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2(cos α＋sin α)＝145.18．(本小题满分14分)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解析： (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. ∵图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又∵ω＞0，∴2π2ω＝4×π4，∴ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.故－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 故－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.。
全国通用高中数学第三章三角恒等变换学业质量标准检测新人教A版必修4(2021年整理)
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第三章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若tan α＝3，tan β＝错误!，则tan （α－β）等于( D )A ．－3B ．－13C ．3D ．13［解析］ tan （α－β)＝错误!＝错误!＝错误!．2．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( A )A ．错误!B ．错误!C ．32 D ．1＋错误![解析］ 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋错误!sin30°＝错误!．3．(2018·全国卷Ⅲ文，4）若sin α＝13，则cos 2α＝( B )A ．错误!B ．错误!C ．－错误!D ．－错误!［解析］ ∵ sin α＝错误!，∴ cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×错误!2＝错误!．故选B ．4．已知点P （cos α，sin α)，Q （cos β,sin β),则|错误!|的最大值是( B ）A ． 2B ．2C ．4D ．错误![解析] 错误!＝(cos β－cos α,sin β－sin α)，则|错误!|＝错误!＝2－2cos α－β，故|错误!｜的最大值为2．5。
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(1)tan ＝ ＝ ＝－7.
(6分)
(2)cos2α＝2cos2α－1＝－ ，
sin2α＝2sinαcosα＝ ，
cos ＝cos cos2α＋sin sin2α
＝ × ＋ × ＝ .(12分)
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝tan .
D．周期是2π的偶函数
解析：y＝cos2 ＋sin2 －1
＝ ＋ －1
＝
＝
＝ .
∴T＝ ＝π，且sin(－2x)＝－sin2x.故选C.
答案：C
4．已知cosα＝ ，α∈ ，则cos ＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵cosα＝ ，α∈ ，∴sinα＝－ ，
∴cos ＝ (cosα－sinα)＝ .
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈ ，若f ＝2cos2α，求α的大小．
解析：(1)由2x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，得
x≠ ＋ ，k∈Z，
所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠ ＋ ，k∈Z}．
(4分)
f(x)的最小正周期为 .(6分)
(2)由f ＝2cos2α，得tan ＝2cos2α，
பைடு நூலகம்答案：C
5．sin － cos 的值为( )
A．0 B．－
C．2 D.
解析：sin － cos ＝2sin ＝2sin ＝－ .
答案：B
6．y＝(sinx－cosx)2－1是( )
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
解析：y＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x－1＝－sin2x.
A. B.
C．2 D.
解析：∵A＋B＋C＝π，
∴原式＝ sinA－cos(π－A)＝ sinA＋cosA
＝2sin(A＋30°)＝2sin(15°＋30°)＝ .
答案：D
11．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于( )
A. B.
C．0 D．－1
解析：利用向量垂直及倍角公式求解．
故cos ＝－1.(8分)
又由0＜α＜ ，得 ＜2α＋ ＜ ，故2α＋ ＝π，
解得α＝ π.(10分)
从而tan ＝tan ＝ .(12分)
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos ＋2sin .
(1)求函数f(x)的单调减区间；
(2)求函数f(x)的最大值并求f(x)取得最大值时的x的取值集合；
答案：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知sin ＝ ，则sin2x的值为________．
解析：sin2x＝cos ＝cos2
＝1－2sin2 ＝ .
答案：
14．函数y＝sinx(sinx＋ cosx)(x∈R)的最大值是________．
解析：y＝sinx(sinx＋ cosx)
＝sin2x＋ sinxcosx＝ ＋ sin2x
＝ ＋sin ≤ .
答案：
15．已知tan ＝2，则 的值为________．
解析：由tan ＝ ＝2，
得tanx＝ ，
tan2x＝ ＝ ，故 ＝ × ＝ .
答案：
16．已知sin ＝ ，则sin ＋sin2 ＝________.
解析：sin ＋sin2
答案：D
7．已知cos2θ＝ ，则sin4θ＋cos4θ的值为( )
A. B.
C. D．－1
解析：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－ sin22θ＝1－ (1－cos22θ)＝ .
答案：B
8．已知α和β都是锐角，且sinα＝ ，cos(α＋β)＝－ ，则sinβ的值为( )
∴sin ＝sin2α·cos ＋cos2α·sin
＝ × ＋ × ＝ .(12分)
19．(本小题满分12分)已知角α∈ ，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.
(1)求tan 的值；
(2)求cos 的值．
解析：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0，
又α∈ ，∴4cosα－3sinα＝0，
A. B.
C. D.
解析：由题意得cosα＝ ，sin(α＋β)＝ (因为 ＜α＋β＜π)，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝ × － × ＝ .
答案：C
9. 的值等于( )
A．1 B．2
C. D.
解析： ＝ ＝ ＝ .
答案：C
10．在△ABC中，A＝15°，则 sinA－cos(B＋C)的值为( )
a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)．
∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，
∴cos2θ＝ ，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.
答案：C
12．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根均为tanα，tanβ，且α，β∈ ，则tan 的值是( )
A. B．－2
C. D. 或－2
又α∈ ，2α∈(π，2π)，
∴sin2α＝－ ＝－ ＝－ .
∴ ＝ ＝ ＝－ .(10分)
18．(本小题满分12分)已知α∈ ，tanα＝ ，求tan2α和sin 的值．
解析：∵tanα＝ ，
∴tan2α＝ ＝ ＝ .(4分)
∵α∈ ，∴2α∈(0，π)．
又tan2α＝ ＞0，∴2α∈ ，
∴sin2α＝ ，cos2α＝ .(8分)
＝sin ＋cos2
＝sin ＋1－sin2
＝ ＋1－ ＝ .
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知sin sin ＝ ，α∈ ，求 的值．
解析：∵sin sin ＝ ，
∴sin cos ＝ ，
sin ＝ ，即cos2α＝ .(5分)
(1)求f(x)的最大值及最小正周期；
(2)若锐角α满足f(α)＝3－2 ，求tan 的值．
解析：(1)f(x)＝6× － sin2x
＝3＋3cos2x－ sin2x
＝2 ＋3
＝2 cos ＋3，(4分)
故f(x)的最大值为2 ＋3.最小正周期T＝ ＝π.
(6分)
(2)由f(α)＝3－2 ，得2 cos ＋3＝3－2 ，
即 ＝2(cos2α－sin2α)，
整理得 ＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
(8分)
因为α∈ ，所以sinα＋cosα≠0.
因此(cosα－sinα)2＝ ，即sin2α＝ .(10分)
由α∈ ，得2α∈ .
所以2α＝ ，即α＝ .(12分)
21．(本小题满分12分)设f(x)＝6cos2x－ sin2x.
2021年高中数学 第三章 三角恒等变换质量评估检测（含解析）新人教A版必修4
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．sin75°cos30°－cos75°sin30°的值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)
＝sin45°＝ .
答案：C
2．已知sinα＝ ，则cos(π－2α)＝()
A．－ B．－
C. D.
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)
＝2× 2－1＝－ .
答案：B
3．函数y＝cos2 ＋sin2 －1是( )
A．周期是2π的奇函数
B．周期是π的偶函数
C．周期是π的奇函数
(3)若f(x)＝ ，求cos 的值．
解析：f(x)＝2cosxcos ＋2sinxsin －2cosx
＝cosx＋ sinx－2cosx
＝ sinx－cosx＝2sin .
(1)令2kπ＋ ≤x－ ≤2kπ＋ π(k∈Z)，
∴2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ (k∈Z)，
∴单调递减区间为 (k∈Z)．
(4分)
解析：由题意知： ，
∴tan(α＋β)＝ ＝ ＝ ，
tan(α＋β)＝ ＝ ，
∴tan ＝ 或tan ＝－2.
由a＞1，可得
tanα＋tanβ＝－4a＜0，
tanα·tanβ＝3a＋1＞0，
∴tanα＜0，tanβ＜0，
结合α，β∈ ，
∴α，β∈ ， ∈ ，
∴tan ＜0，故tan ＝－2，故选B.
(2)f(x)取最大值2时，x－ ＝2kπ＋ (k∈Z)，则x＝2kπ＋ (k∈Z)．
∴f(x)的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合是{x|x＝2kπ＋ ，k∈Z}．(8分)
(3)f(x)＝ 即2sin ＝ ，
∴sin ＝ .
∴cos ＝1－2sin2
＝1－2× 2＝ .(12分)35018 88CA 裊V-O33232 81D0 臐o39483 9A3B 騻31169 79C1 私31446 7AD6 竖24471 5F97 得28321 6EA1 溡20815 514F 兏