高数总结

(log a
x)′
=
1 x ln a
(a
>
0, a
≠ 1)
d loga
x
=
dx x ln a
(a
> 0, a
≠ 1)
(ln x)′ = 1
x
d ln x = 1 dx x
( )a x ′ = a x ln a (a > 0, a ≠ 1)
da x = a x ln adx (a > 0, a ≠ 1)
整数），则
lim
n→∞
xn
=
A 存在，且 A ≤
M
准则 2．（夹逼定理）设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
（注：如果
lim
f ′(x) g ′(x )
不存在且不是无穷大量情形，则
不能得出
lim
f (x) g(x)
不存在且不是无穷大量情形）
若 lim g(x) = A ， lim h(x) = A ，则 lim f (x) = A
用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式
（1） y = e x
y(n) = e x
（2）在开区间 (a,b)内可导；
则存在ξ ∈ (a,b)，使得 f (b) − f (a) = f ′(ξ )
b−a
或写成 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a)
(a < ξ < b)
(t )
连续，
公 式 2 ． lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n = e ； lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞u = e ；
n→∞⎝ n ⎠
u→∞⎝ u ⎠
lim (1
+
v
)1 v
=
e
v→0
则 dy dx
=
f [ϕ2 (x)]ϕ2′ (x) −
f [ϕ1(x)]ϕ1′(x)
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和
2!
n!
6．洛必达法则
法则 1．（ 0 型）设（1）lim f (x) = 0 ，lim g(x) = 0
0
（2） x 变化过程中， f ′(x) ， g′(x) 皆存在
（3）
lim
f ′(x) g ′(x )
=
A
（或
∞
）
则 lim
f (x) g(x)
=
A （或 ∞ ）
（2）若 xn+1 ≥ xn （ n 为正整数）又 xn ≤ M （ n 为正
f ′(x) ≠ 0
则
g′(y) =
f
1
′(x
)
=
1
f ′[g(y)]
( f ′(x) ≠ 0)
二阶导数
g ′′( y )
=
d [g ′( y )]
=
⎡ d⎢
⎣
f
1⎤
′(x)⎥⎦
⋅
1
dy
dx dy
dx
=
−
[
f f
′′(x) ′(x)]3
=
−
{
f f
′′[g ( y )] ′[g(y)]}3
( f ′(x) ≠ 0)
+ (−1)n
x 2n
(2n)!
+
0
x 2n
( ) ln(1 + x) = x − x2 + x3 − Λ + (− )1 n+1 xn + 0 xn
23
n
f (x) ~ g(x)
3．常见的等价无穷小
当x → 0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，arcsin x ~ x ，arctan x ~ x
(sin x)′ = cos x (cos x)′ = − sin x
d sin x = cos xdx d cos x = − sin xdx
(tan x)′ = sec2 x
d tan x = sec2 xdx
四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间 [a,b]上连续的函数 f (x) ，有以下几个基本
性质。这些性质以后都要用到。
(cot x)′ = − csc2 x d cot x = − csc2 xdx (sec x)′ = sec x tan x d sec x = sec x tan xdx
定理 1．（有界定理）如果函数 f (x) 在闭区间 [a,b]上 (csc x)′ = − csc x cot x d csc x = − csc x cot xdx
与 f (b)异号，则在 (a,b)内至少存在一个点ξ ，使得
f (ξ ) = 0
这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算
1．导数与微分表
(c)′ = 0
d(c) = 0
( ) ( ) xα ′ = α xα−1（α 实常数）d xα = α xα−1dx（α 实常数）
（2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断 点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
1− x2
1− x2
(arctan x)′ = 1
1+ x2
(arc cot x)′ = − 1
1+ x2
d arctan x = 1 dx 1+ x2
darc cot x = − 1 dx 1+ x2
[ ( )]′
ln x + x 2 + a 2 =
1
x2 + a2
dy dx
=
ψ ϕ
′(t ) ′(t )
f (x) g(x)
=
A （或
∞）
7．利用导数定义求极限
基本公式： lim ∆x→0
f (x0 + ∆x) −
∆x
f (x0 ) =
f ′(x0 )
[如果
值，如果对于区间 [a,b]上的任一点 x ，总有 f (x) ≤ M ，
则称 M 为函数 f (x) 在 [a,b]上的最大值。同样可以定义最
小值 m 。
小。
（2） l ≠ 0 ，称 f (x) 与 g(x) 是同阶无穷小。 （3） l = 1 ，称 f (x) 与 g(x) 是等价无穷小，记以
( ) sin x
=
x−
x3 3!
+
x5 5!
+Λ
+ (−1)n
x 2n+1
(2n +1)!
+
0
x 2n+1
( ) cos x
=1−
x2 2!
+
x4 4!
−Λ
y (n) = cos⎜⎛ x + nπ ⎟⎞ ⎝ 2⎠
这里 x0 相当 a 或 b 都可以， ∆x 可正可负。
推论 1．若 f (x) 在 (a,b)内可导，且 f ′(x) ≡ 0 ，则 f (x) 在 (a,b)内为常数。
(5) y = ln x
y (n) = (−1)n−1 (n −1)!x −n
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a, ]b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义 设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
(ϕ ′(t) ≠ 0)
二阶导数
d2y dx 2
=
d
⎡ ⎢⎣
dy dx
⎤ ⎥⎦
dx
=
d
⎡ ⎢⎣
dy dx
⎤ ⎥⎦
dt
⋅
1 dx
=
ψ
′′(t
)ϕ
′(t) −ψ ′(t [ϕ ′(t )]3
)ϕ
′′(t
)
dt
5．反函数求导法则
设 y = f (x) 的反函数 x = g(y) ，两者皆可导，且
( ) d ln x + x2 + a2 = 1 dx x2 + a2
2
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月
( )e x ′ = e x
de x = e x dx
考研数学知识点-高等数学
ψ ′(t)存在，且ϕ ′(t) ≠ 0 ，则
(arcsin x)′ = 1
1− x2
d arcsin x = 1 dx 1− x2
(arccos x)′ = − 1
d arccos x = − 1 dx
考研数学知识点-高等数学
一. 函数的概念 1．用变上、下限积分表示的函数
公式 1． lim sin x = 1 x→0 x
（1） y
=
x
∫0
f (t)dt ，其中
f (t)连续，则 dy
dx
=
f (x)
∫ （2）y =
ϕ2 (x) ϕ1 (x)
f
(t )dt
，其中 ϕ1 (x )
，ϕ 2
(x ) 可导，f
且有
dy = dy du = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x)
dx du dx
对应地 dy = f ′(u)du = f ′(u)du 不管 u 是自变量或中间变量
6．隐函数运算法则
设 y = y(x) 是由方程 F (x, y) = 0 所确定，求 y′ 的方
三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点
设 x0 是函数 y = f (x)的间断点。如果 f (x) 在间断点