(完整版)高等数学(下)知识点总结
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高等数学（下）知识点
主要公式总结
第八章 空间解析几何与向量代数 1、
二次曲面
1）
椭圆锥面：2
2
222z b y a x =+ 2）
椭球面：122
222
2=++c
z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）
单叶双曲面：122
222
2=-+c
z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）
椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b
y a x =-22
22 5）
椭圆柱面：1222
2=+b y a x 双曲柱面：122
22=-b
y a x
6）
抛物柱面：
ay x =2 （二） 平面及其方程 1、
点法式方程：
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
法向量：),,(C B A n =
，过点),,(000z y x
2、
一般式方程：
0=+++D Cz By Ax
截距式方程：
1=++c
z
b y a x 3、
两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n =
，
22
22
22
21
21
2
1
2
12121cos C
B A
C B A C C B B A A ++⋅++++=
θ
⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//
2
1
2121C C B B A A ==
4、
点
),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：
2
2
2
000C
B A D
Cz By Ax d +++++=
（三） 空间直线及其方程
1、
一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0
22221111D z C y B x A D z C y B x A
2、
对称式（点向式）方程：
p
z z n y y m x x 0
00-=-=-
方向向量：),,(p n m s =
，过点),,(000z y x 3、
两直线的夹角：),,(1111
p n m s =
，),,(2222p n m s =
，
22
22
22
21
21
21
212121cos p
n m p n m p p n n m m ++⋅++++=
ϕ
⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L
2
1
2121p p n n m m ==
4、
直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
2
2
2
2
2
2
sin p
n m C B A Cp
Bn Am ++⋅++++=
ϕ
⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ；⇔∏⊥L p
C n
B m
A ==
第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续：
),(),(lim
00)
,(),(00y x f y x f y x y x =→
2、
偏导数：
x
y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim
),(00000
00 ；y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆)
,(),(lim ),(0000000
3、
方向导数：
βαcos cos y
f
x f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中
β
α,为
l
的方向角。
4、
梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x
),(),(),(000000+=。
5、
全微分：设
),(y x f z =，则d d d z z z x y x y
∂∂=
+∂∂ （一） 性质 1、
函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
2、 微分法
1） 复合函数求导：链式法则
若
(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则
z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y
∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ （二） 应用
1）
求函数),(y x f z =的极值 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==0
y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令
),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，
① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值， 若02>-B AC ，0 ③ 若 02=-B AC ，不定。 2、 几何应用 1） 曲线的切线与法平面 曲线⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧===Γ) ()() (:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的 切线方程为： ) ()()(00 0000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x 2） 曲面的切平面与法线 充分条件