同济六版高等数学(下)知识点整理
高等数学第六版上下册全同济大学出版社
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引例2.
引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
名称. 例如,
X (≠ ) f Y (数集)
f
X (≠ )
X
X (数集 或点集 ) f R
f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换
f 称为定义在 X 上的函数
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三、函数
1. 函数的概念
定义5. 设数集 D R , 则称映射
为定义在
D 上的函数 , 记为
定义域
y f (x), x D
因变量
自变量
Rf f (D) y y f (x), x D
y y
称为值域
函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D O
D f (D)
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ax bx ( D [a,b])
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引例2
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高数下(同济六)知识点
高等数学下册习题常见鬓型
求向疑得坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积
计算一阶偏导数及高阶偏导数
利用直角坐标计算二重枳分
利用二重积分证明恒等式
例1. 求
解:(将二次积分交换顺序)
；沁4,胡注
如y+JJ 空竺畑y 才 y " y Di y 址 y
= JJ sin 兀'y dxdy = J" d)j 对 n "舐=Jjy -1) sin 九•ydy = cos
1 — sin 1 qua y I y y ' 题型14利用投影法讣算三重积分
题型27—阶线性微分方程 题型29可降阶方程
题型15 利用柱坐标计算三重积分
题型16 利用球坐标讣算三重积分 题型17 利用切片法讣算三重积分 题型18 利用三重积分计算立体得体积 题型19 il 算对弧长得曲线积分 题型20 il 算对而积得曲而积分 题型21 讣算对坐标得曲线积分
题型22 利用格林公式计算对坐标得曲线枳分 题型23 曲线枳分与路径无关及全微分求枳 题型24 讣算对坐标得曲而积分
题型
25 利用高斯公式计算对坐标得曲面积分
题型26 可分离变量得微分方程、齐次方程 题型1 题型2 由已知条件求平而与直线方程
题型4 求多元复合函数得偏导数 题型5 求方程所确定得隐函数得偏导数
题型6 求方向导数、梯度、曲线得切线、曲而得切平而 题型7 求极值、利用拉格郎日乘数法求最值
题型9 利用极坐标讣算二重积分 题型10 计算带绝对值得二重积分
题型12 利用对称性质计算二重枳分 题型13
只有一种积分次序可计算得积分
题型30二阶常系数非齐次线性方程
第八章向量与解析几何
同济大学数学系高等数学(第 6 版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解思维导图
高等数学(同济六版)下册期末总复习
2） 求导法则：对 x 求偏导，暂时视 y 为常量；对 y 求偏导，暂时视 x 为常量 3） 复合函数的求导法则（链式法则） ：若 z = f (u , v ) 具有连续偏导数，而 u = g ( x, y ) 与 v = h( x, y ) 都具 有偏导数，则复合函数 z = f [ g ( x, y ), h ( x, y )] 的偏导数为：
G
G
x y z + + =1 a b c
1
第 1 页 共 11 页
4）平面束方程：过直线 ⎨
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 的平面束方程为 ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
（三） 偏导数： 1、 显函数： z = f ( x, y ) 1） 定义： f x ( x0 , y0 ) = lim
Δx → 0
f ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ， Δx
f y ( x0 , y0 ) = lim
Δy → 0
f ( x0 , y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 ) Δy （重点掌握定义法求偏导）
高数复习大纲同济六版下册
1、向量与空间几何 向量：向量表示((a^b));
向量的模 向量的大小叫做向量的模. 向量a 、→a 、→
AB 的模分别记为|a |、||→
a 、||→
AB . 单位向量 模等于1的向量叫做单位向量.
零向量
模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→
0. 零向量的起点与终点重
合, 它的方向可以看作是任意的.
向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行. 向量运算(向量积)； 1． 向量的加法 2. 向量的减法 3．向量与数的乘法
设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )
即 a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ,
则 a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b = (a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )k =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ).
a =(a x i +a y j +a z k ) =(a x )i +(a y )j +(a z )k =(a x , a y , a z ). 向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r
点A 与点B 间的距离为 →
212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==
高数(同济第六版)下册无穷级数要点
ϕ ( x) 展开成傅里叶级数， 最后限制 x 在 (−π , π ) 内， 此时 ϕ ( x) ≡ f ( x) ， 这样便得到 f ( x) 的
Pn ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) +
1 1 f ′′( x0 )( x − x0 )2 + ⋯ + f ( n ) ( x0 )( x − x0 )n 2! n!
近似代替，误差等于余项的绝对值 Rn ( x) 。 � 当 n → ∞, Rn ( x ) → 0 时，则函数 f ( x) 在点 x0 的邻域内能展开成泰勒级数：
注： （1）幂级数的收敛域在发散域内部； （2）幂级数的收敛域为区间；
∞
（3）存在正数 R ，使
∑a x
n n =0
n
在 (− R, R ) 内收敛，且绝对收敛；
（4） R —收敛半径； (− R, R ) 收敛区间；收敛域：收敛区间 (− R, R ) ∪ 收敛端点。 � 收敛半径 R 的求法
∞
f ( n+1) (ξ ) ( x − x0 )n +1 ，这里 ξ 是 x0 与 x 之间的某个值。 (n + 1)!
称（*）式为带有拉格朗日型余项的 n 阶泰勒公式， Rn ( x) 为拉格朗日型余项。 � 当 n = 0, 有 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 ) + f ′(ξ )( x − x0 ) ， ξ 是 x0 与 x 之间的某个值。 即泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。 � 在点 x0 的邻域内， f ( x) 可以用 n 次多项式
同济版高等数学_下_知识点整理
z z u
函 数 z f [(x, y), ( y)] 在 点 (x, y) 的 两 个 偏 导 数 都 存 在 ， 且
；
x u x
z z u z v
y u y v y
8、隐函数求导公式：
（1）函数 F (x, y) ： dy Fx
z （2）函数 F (x, y, z) ：
Fx
，
z
Fy
数，则复合函数 z f [(x, y), (x, y)] 在点 (x, y) 的两个偏导数都存在，且
z z u z v z z u z v
；
x u x v x y u y v y
（3）其他情形：若函数 u (x, y) 在点 (x, y) 具有对 x 及对 y 的偏导数，函数
v ( y) 在点 y 可导，函数 z f (u, v) 在对应点 (u, v) 具有连续偏导数，则复合
(z
z0 )
0
10、曲面的切平面与法线：设曲面方程为 F (x, y, z) 0 ， M (x0 , y0 , z0 ) 为曲面 上一点，则曲面在点 M 处的切平面方程为： Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0 ， 法 线 方 程
x x0 mt （3） 空间直线的参数方程： y y0 nt
同济大学数学系《高等数学》第6版下册笔记和课后习题(含考研真题)详解(曲线积分与曲面积分)【圣才出品
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同济大学数学系《高等数学》第 6 版下册笔记和课后习题（含考研真题）详解 第 11 章 曲线积分与曲面积分
11.1 复习笔记
一、对弧长的曲线积分
1．对弧长的曲线积分的概念与性质
（1）概念
【定义】设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧，函数 f（x，y）在 L 上有界。在 L 上任意
L Pdx Qdy （L P cos Q cos ）ds ，
其中α（x，y）、β（x，y）为有向曲线弧 L 套点（x，y）处的切向量的方向角，表达式
y ） 在 有 向 曲 线 弧 L 上 对 坐 标 x 的 曲 线 积 分 ， 记 作 P（x, y）dx ， 类 似 地 ， 如 果 L
n
lim
0 i1
Q（i ,i）yi
总存在，则称此极限为函数
Q（x，y）在有向曲线弧
L
上对坐标
y
的
曲线积分，记作 Q（x, y）dy 。即 L
n
L
P x,
n；M0＝A，Mn＝B）。
2 / 76
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设 xi xi xi1、yi yi yi1 ，点（i ,i）为 M i1M i 上任意取定的点。如果当各小
高数下册复习资料同济第六版
第十章 重积分
积分类型
二重积分
I f x, y d
D
重积分
计算方法
（1） 利用直角坐标系
X—型 Y—型
f (x, y)dxdy
D
f ( x, y) dxdy
D
b
2 (x)
dx
f (x, y) dy
a
1 ( x)
d
2 (y)
dy
f (x, y) dx
c
1( y)
（2） 利用极坐标系
使用原则
典型例题
P141—例 1、例 3
角
叉乘（向量积）
c ab
c a b sin
为向量 a 与 b 的夹角
向量 c 与 a ， b 都垂直
定理与公式
垂直
a b ab 0
平行
a // b a b 0
交角余弦 投影
两向量夹角余弦 cos
ab
ab
向量 a 在非零向量 b 上的投影
prj ba
a cos(a b)
ab b
(ax, ay , az )
ea
a x2 a y2 az 2
cos
arx ， cos
ay r
，
cos
arz
a
a
a
ea ( cos ， cos ， cos )
高等数学同济第六版第10章公式总结
高等数学同济第六版（下册）
（第10章）
第10章重积分
10.1 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
1 性质 1 设、为常数，则
2 性质 2 如果闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭
区域，则在上的二重积分等于在各部分闭区域
上的二重积分的和。(可加性)
3 性质 3 如果在上，，为的面积，则
4 性质 4 如果在上，，则有
特殊地，由于
又有
5 性质 5 设、为分别是在闭区域上的最大值和最小
值，是的面积，则有
6 性质 6(二重积分的中值定理) 设函数在闭区域
上连续，是的面积，则在上至少存在一
点，使得
10.2 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
7 型(先后)
型(先后)
例 4 求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积。
解设这两个圆柱面的方程分别为
及
由对称性，将其分为8部分
在第一卦限中，所求立体的顶为柱面
又积分区域
则
即所求立体的体积为
二、利用极坐标计算二重积分
8
例 5 计算
其中是由中心在原点、半径为的圆周所围成的闭
区
域。
解在极坐标系中，闭区域
则
例 6 求球体被圆柱面
所截得的(含在圆柱面内的部分) 立体的体积。
解由对称性，有
在极坐标系中，闭区域
则
*三、二重积分的换元法
10.3 三重积分
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
1 利用直角坐标计算三重积分9 (先一后二)
其中，
例 1 计算三重积分
其中为三个坐标面及平面所围成的
闭区域。
解闭区域
则
(先二后一)
其中，
是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面
闭区域。
例 2 计算三重积分
其中是由椭球面所围成的空间闭区
域。
解闭区域
则
高数下册复习资料(同济第六版)
高数下册复习资料(同济第六版)
前言
高等数学作为大学数学教育中的一门基础课程，对于学生的学习和打好数学基础起着至关重要的作用。本文为高数下册的复习资料，是根据同济大学数学系教授精心编写的同济第六版教材精华所整理而成，帮助大家更好地掌握高数知识。
第一章序列与极限
本章主要讲述了数列和极限的基本概念，以及对于极限运算的一些基础性质。在数学中，序列可以看作是一种精确的数学表达式，是数学运算过程中的重要工具之一。在学习高数下册的过程中，掌握好数列的各种性质以及它与极限的关系，对于深入理解数学知识和解决数学问题会有很大的帮助。
第二章一元函数微分学
本章主要介绍了一元函数微分学的基本概念和方法。其中包括导数与微分的概念，微分法则，函数的凹凸性以及最值和最优化等内容。通过学习这些内容，可以更好地理解和掌握函数的性质，提高解决实际问题的能力。
第三章一元函数积分学
本章主要阐述了一元函数积分学的基本概念和方法。其中包括不定积分和定积分的概念，牛顿-莱布尼茨公式，变量代换法以及分部积分法等内容。掌握好这些概念和方法，可以在高数的学习中更加深入地理解函数的性质和运算，以及在数学上更高效地处理各种复杂问题。
第四章微分方程
微分方程作为一种重要的数学工具，具有广泛的应用价值。本章主要介绍了微分方程的基本概念和一些解法的方法，包括常微分方程的一些基本解法以及一些特殊类型微分方程的解法。通过学习这些内容，可以更加深入地理解微分方程的概念和运用，为今后在工程技术等领域的应用打下坚实的数学基础。
第五章无穷级数
本章介绍了无穷级数的基本概念和运算方法，以及级数收敛和发散的相关性质和定理。无穷级数作为数学中的一种重要的概念和操作，对于数学的进一步发展和应用也起到了重要的作用。
同济大学高等数学第六版下册第八章方向导数与梯度
割线转化为切线
上式极限存在就意味着当点
( x0 x, y0 y )
趋于点
( x0 , y0 )
P0
T
C
曲线C在点 P0 有唯一的切线 它关于
P
l 方向的斜率
f 就是方向导数 l
( x 0 , y0 )
M0
M
l
L
定理 如果函数z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 是可微分 的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都
f l
f x (1,1) cos f y (1,1) sin
( 1 ,1 )
推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数u f ( x , y , z ) ，它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数 ，可定义
为 f
l lim
0
f ( x x , y y , z z ) f ( x , y , z )
P
6 ; 14
8 ; 14
P
u 6 x 2 8 y 2 14 . z P z2 P
故 u
u u u 11 ( cos cos cos ) . n P x y z 7 P
二、梯度的概念
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快?
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三、函数
1. 函数的概念
定义5. 设数集 D R , 则称映射
为定义在
D 上的函数 , 记为
定义域
y f (x), x D
因变量
自变量
Rf f (D) y y f (x), x D
y y
称为值域
函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D O
D f (D)
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y
若
f
(x1) ,
f( M
x2
), 称 f (x),
f称(x)为为有I下上界的
若 f若则(x对1称)任f (意fx(正x)2无数),界称单单M.调调f, (均增减x)存函函为在数数I 上x;. 的D, 使O f (xx)1 xM2 , x
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• 对应规律的表示方法: 解析法、图像法、列表法
2
例如, 反正弦主值 定义域
又如, 绝对值函数
值域
1 O 1x
2
定义域
值域
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例4. 已知函数
y
f (x)
2 1
x, x,
0 x 1 x 1
写出
f (x) 的定义域及值域,
高数下册(同济六版)复习资料
第八章向量与解析几何
=－
c a b
第十章 重积分
2()
(cos ,sin )(cos ,sin )D
f d d d f d β
ϕθρθρθρρθ
θρθρθρρ
=⎰⎰⎰⎰
02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤
（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）0(,)f x y x ⎧
对于是奇函数，
第十一章曲线积分与曲面积分
所有类型的积分：
○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；
○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；
○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
第十二章级数
无穷级数常
数
项
级
数
傅
立
叶
级
数
幂
级
数
一
般
项
级
数
正
项
级
数
用收敛定义，
n
n
s
∞
→
lim存在
常数项级数的基本性质
常数项级数的基本性质
○1若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛.
○2两个收敛级数的和差仍收敛.
注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.
○3去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性.
○4若级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成
的级数仍收敛，且其和不变。
推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数
也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛.
○5（必要条件）如果级数收敛,则0
lim
=
→
n
n
u
莱布尼茨判别法若
1+
≥
n
n
u
u且0
lim=
∞
→
n
n
u，则∑∞
=
-
-
1
1
)1
(
n
n
n u收敛
n
u
∑和
n
v
∑都是正项级数，且
n
n
v
u≤.若
n
v
∑收敛，则
n
u
∑也收敛；若
n
u
∑发散，则
n
v
∑也发散.
比较判别法
比较判别法
的极限形式
n
u
∑和
n
v
∑都是正项级数，且l
v
u
n
n
n
=
∞
→
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第八章
1、向量在轴上的投影：
性质：ϕcos )(a a u =（即Prj u ϕcos a a =），其中ϕ为向量a
与u 轴的夹角；
u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a
+ Prj u b ）；
u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）.
2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x
++=，k b j b i b b z y x ++=，则
=⨯b a
x x b a i
y
y b a j z z b a k
=1
1)
1(+-y
y b a
z z b a i +21)1(+-x x b a z z
b a
j +3
1)1(+- x x b a
y
y
b a k
=k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y
)()()(-+-+-
注：a b b a
⨯-=⨯
3、二次曲面
（1） 椭圆锥面：222
22z b
y a x =+；
（2） 椭圆抛物面：z b
y a x =+22
22； （旋转抛物面：z a y x =+2
22（把把xOz 面上的抛物线z a
x =22
绕z 轴旋转））
（3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122
2
22=++c
z a y x （把xOz 面上的椭圆122
22=+c
z a x 绕z 轴旋转））
（4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122
222=-+c
z a y x （把
xOz 面上的双曲线122
22=-c
z a x 绕z 轴旋转）
）
（5） 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x ； （旋转双叶双曲面：12
2
222=+-
c z y a x （把xOy 面上的双曲线122
22=-c
z a x 绕x 轴旋转）
） （6） 双曲抛物面（马鞍面）：z b
y a x =-22
22；
（7） 椭圆柱面：12222=+b y a x ； 双曲柱面：122
22=-b
y a x ； 抛物柱面：ay x =2
4、平面方程
（1） 平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，其中
),,(0000z y x M 是平面上一点，),,(C B A n =
为平面的一个法向量.
（2） 平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax ，其中),,(C B A n =
为平面的一个
法向量.
注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量),,(C B A n =
若D =0，则平面过原点；
若⎩⎨⎧≠==轴，则平面平行于轴
则平面过x D x D A 0,0,0
若⎩
⎨
⎧≠===面，则平面平行于面
，则平面表示，xOy D xOy D B A 000 （3） 平面的截距式方程：
1=++c
z
b y a x ，其中
c b a ,,分别叫做平面在z y x ,,轴上的截距.
5、两平面的夹角：2
2
2
22
22
12
12
12
12121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=
θ
特殊：0212121=++⇔C C B B A A 两平面互相垂直 2
1
2121C C B B A A ==⇔两平面互相平行或重合 6、点),,000z y x P （到平面
0=+++D Cz By Ax 的距离公式：
2
2
2
000C
B A D
Cz By Ax d +++++=
7、空间直线方程
（1） 空间直线的一般方程：⎩⎨⎧=+++=+++00
22221111D z C y B x A D z C y B x A
（2） 空间直线的对称式（点向式）方程：
p
z z n y y m x x 0
00-=-=-，其中),,(p n m s =
为直线的一个方向向量，),,(000z y x M 为直线上一点
（3） 空间直线的参数方程：⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=pt
z z nt y y mt x x 000
8、两直线的夹角：2
2
2
22
22
12
12
12
12121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=
ϕ
特殊：0212121=++⇔p p n n m m 两直线互相垂直 2
12121p p
n n m m ==⇔
两直线互相平行或重合 9、直线与平面的夹角：2
2
2
2
2
2
sin p
n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=
ϕ
特殊：p
C n B m A ==⇔
直线与平面垂直 直线与平面平行或在平面内：0=++Cp Bn Am 10、平面束的方程：
设直线L 由方程组⎩⎨⎧=+++=+++00
22221111D z C y B x A D z C y B x A 所确定，其中222111,,,,C B A C B A 与不
成比例，则平面0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ为通过直线L 的所有平面（不包含平面02222=+++D z C y B x A ）