高等数学第六版上下册(同济大学出版社)

f f
Y (数集) X
f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换 X
X (数集 或点集 )
f
R
f 称为定义在 X 上的函数
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三,函数
1. 函数的概念 定义5. 定义 设数集 D R, 则称映射 D 上的函数 , 记为 因变量 称为值域 函数图形: 函数图形 定义域 自变量 为定义在
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}
半开区间 无限区间
a δ a a + δ
点的 δ 邻域 去心 δ 邻域 其中, a 称为邻域中心 , δ 称为邻域半径 . 左 δ 邻域 : 右 δ 邻域 :
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(
)
2. 集合之间的关系及运算 定义2 定义 . 设有集合 A, B, 若 x∈ A 必有 x∈ B, 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B. 子集 若 例如, 且 , 则称 A 与 B 相等 记作 A= B . 相等, ,
且 Rg D f
则
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. , . 注意: 构成复合函数的条件 Rg D f 不可少. 可定义复合函数 例如, 函数链 : y = arcsinu ,
u =1 x2 时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数, 当改
但可定义复合函数 y = arcsin(1 x2), x ∈[1, 1]
x , x ≥ 0 可表为 y = 例如 , y = x , x < 0
( 自学, P17 – P20 )
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
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非初等函数举例: 符号函数
当x>0 当x=0 当x<0
y 1
O
1
x
取整函数 当
y
21
O 12 3 4 x
O 1
y = th x x
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(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
2 π π
O π 2π
x
周期为
周期为 π 例如, 常量函数 f (x) = C 狄利克雷函数
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 定义 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射 记作 f : X →Y. 映射, 映射
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y = f (x). 像 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 原像 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; 定义域 Y 的子集 Rf = f (X ) ={ f (x) x ∈ X } 称为 f 的 值域 . 注意: 注意 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.
显然有下列关系 :
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算: 并集 AU B = { x 交集 AI B = { x 差集 余集 直积 或 且 且 xB}
}
}
AU B
B A
A\ B AI B
A\ B = { x
c BA
= A \ B (其 B A) 中
A× B = { (x, y) x∈ A, y∈B }
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
简称元 元
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 空集
M+ 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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表示法: 表示法 (1) 列举法:按某种方式列出集合中的全体元素 .
n
例: 有限集合 A = { a1 , a2 , L, an } = { ai } i=1 自然数集 N = { 0, 1, 2 , L, n,L} = { n }
反函数 y = 定义域为
( ∞ , 1] U ( 2, 2e]
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内容小结
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
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3. 反函数与复合函数 (1) 反函数的概念及性质 若函数 使 称此映射 f 为 f 的反函数 . 习惯上, y = f (x), x ∈D 的反函数记成
1
为单射, 则存在一新映射 其中
y = f 1(x) , x ∈ f (D)
性质: 1) y=f (x) 单调递增 (减) , 其反函数 且也单调递增 (减) .
2
值域
O 1x
π 2
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2 x , 0 ≤ x ≤1 例4. 已知函数 y = f (x) = 1+ x , x >1
写出 f (x) 的定义域及值域, 并求 f ( 1 )及 f ( 1 ). t 2 解: f (x) 的定义域 D =[0, + ∞) 值域
y
y =2 x
y =1+ x
f (D) =[0, + ∞)
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2) 函数 对称 . 例如 ,
与其反函数 的图形关于直线
y
Q(b, a)
y=x y = f (x)
O
x
指数函数 y = ex , x ∈(∞, + ∞) 对数函数 它们都单调递增, 其图形关于直线
互为反函数 , 对称 .
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(2) 复合函数 设有函数链 y = f (u), u ∈Df
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例1. 海伦公式
(满射 满射) 满射
例2. 如图所示, 对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射 满射) 满射
r
例3. 如图所示, 则有
(满射 满射) 满射
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说明: 说明 映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如, X (≠ ) X (≠ )
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y = u , u ≥0 u = cot v , v ≠ k π (k = 0, ±1, ± 2,L ) x v = , x ∈(∞, + ∞) 2 可定义复合函数:
k ∈Z
约定: 约定 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
(值域)
(对应规则)
定义域
使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域;
π
对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. 对应规律 对应规律的表示方法: 解析法,图像法 ,列表法 1 例如, 反正弦主值 定义域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域
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y
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(3) 奇偶性
x∈D, 且有 x∈D,
若 若 则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.
y
说明: 说明 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
x O
y x e
xx
f (x) 为奇函数 必有 f (0) = 0. 奇函数时, 奇函数
例如,
ex + ex y = f (x) = 偶函数 2 记 = ch x 双曲余弦
1 2
f (1) = 2 2
= 2
O
1
x
1 1+ , 0 <t <1 t f(1)= t 2 , t ≥1 t
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2. 函数的几种特性 设函数 y = f (x) , x ∈D , 且有区间 I D . (1) 有界性 x∈ D, M > 0, 使 f (x) ≤ M, 称 f (x)为有界函数. x∈ I , M > 0, 使 f (x) ≤ M, 称 f (x) 在 I 上有界. 说明: 说明 还可定义有上界,有下界,无界 . (见 P11 ) (2) 单调性 x1L2 ∈(x)当< x2 时, 有上界 , x, f I , x1 M, 称 为有上界 y ≤
(2) 描述法: = { x x 所具有的特征 M
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例: 整数集合 Z = { x x ∈N 或 x∈N+ } p + 有理数集 Q = p ∈Z, q ∈N , p 与 q 互质 q 实数集合 R = { x x 为有理数或无理数 } 开区间 ( a , b ) = { x a < x < b } 闭区间 [ a , b ] = { x a ≤ x ≤ b }
x π x k π < ≤ k π+ 时, cot ≥ 0 2 2 2
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4. 初等函数 (1) 基本初等函数 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数, 反三角函数 (2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
若 f (x1) < f (x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的 有下界 L, M ≤ f (x), 称 为有下界 单调增函数 ; ) M 若对任意正数 M , 均存在 x∈ D, 使 O f (xx1 > x2 , x 若 f (x1) > f (x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的 则称 f ( x ) 无界 无界. 单调减函数 .
记
Ac BA
B
y
B A× B A
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特例: R× R
R
2
为平面上的全体点集
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O
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x
二, 映射
引例1. 引例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
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引例2. 引例
引例3. 引例
(点集) (点集) 向 y 轴投影
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对映射 满射; 满射 若 f ( X ) = Y, 则称 f 为满射
引例2, 引例 3
X
若 则称 f 为单射 单射; 单射
f
Y = f (X )
有
引例2 引例
X
Y
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射 一一映射. 双射 一一映射
引例2 引例
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3x +1, x <1 求 f [ f (x)]. , 例5. 设函数 f (x) = x ≥1 x , x 换为 f (x) 解:
3 f (x) +1, f (x) < 1 f [ f (x)] = f (x) ≥ 1 f (x) ,
x<0
3(3x +1) +1
9x + 4 , x < 0
第一章 函数与极限
分析基础 函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章
第一节 映射与函数
一,集合 二,映射 三,函数
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一, 集合
1. 定义及表示法
简称集 集
集合. 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合 集合 组成集合的事物称为元素 元素. 元素 元素 a 属于集合 M , 记作 a∈M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a∈ M ( 或 aM ) . 注: M 为数集
=
3x +1, 0 ≤ x <1
x, x ≥1
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x2 , 1 ≤ x < 0 例6. 求 y = ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. y 2ex1, 1< x ≤ 2 2e 2 ∈( 0, 1] , 解: 当 1≤ x < 0 时, y = x 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 2 1 则 x = e y , y ∈( ∞, 0] 当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , 1O 1 2 x y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e]
ex
y = ch x
O
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x
结束
e e 又如, y = f (x) = 2
x
x
奇函数 ex
y
ex
y = sh x
x
记
= sh x 双曲正弦
ex ex
奇函数
O
y 1
sh x = 再如, y = ex + ex ch x
记
= th x 双曲正切
说明: 给定 f (x), x ∈(l, l) f (x) + f (x) f (x) f (x) + 则 f (x) = 2 2 偶函数 奇函数
y = f (x), x ∈D
y Rf = f (D) = { y y = f (x), x ∈D } y
C = { (x , y) y = f (x) , x∈D D× f (D)
}
O
a x b ( D=[ a, b] )
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x
x∈D
(定义域)
f
y ∈Rf = f (D) = { y y = f (x), x ∈D }