高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

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高等数学(同济6版)重要笔记

b> 0, c> 0 曲面的图形一般说来，若绝对值级数发散，不能断定原级数也发散．根值审敛法根据判定绝对值级数发散，不趋于零，从而原级数也是发散的．n u +++n u +++1lim 1n n nu u ρ+→∞=>11.n -♦ 幂级数求和幂级数求和的基本思路利用分析运算性质把幂级数求和的问题转化为几何级数的1(1n x x +++=-常用函数的麦克劳林展开式牢记级数的一般项，n 从零开始．, (,!n x x n +++∈-∞21(1), 2(1,11]n nx n x +++∈+--+21(1), (,)(21)!n nx x n +++-+∈-∞+∞+2(1), (,)(2)!nnx x n ++-+∈-∞+∞牢记级数的一般项，n 从零开始．常用的麦克劳林展开式（P.283例6）(1(1)(1), )!,1 nm m m n mx x n x --∈+++-+(1,1), n x x ++∈-+(1()1,1), n n x x ∈+-+-+函数展开成幂级数的方法2⎩非周期函数的傅里叶级数展开式0).+(),(,).(0)(0),2f x x f f x πππππ∈--+-+=±♦ 奇延拓和偶延拓设f (x )在区间[0, π] 上满足狄利克雷充分性条件，则可按下列两种方式把f (x )延拓到(−π, 0]上，得到定义在(−π, π]上的函数F (x )．❝奇延拓⇒正弦级数❝偶延拓⇒余弦级数奇延拓和偶延拓(),0()0,0.(),0f x x F x x f x x ππ<≤⎧⎪==⎨⎪---<<⎩(),0().(),0f x x F x f x x ππ≤≤⎧=⎨--<<⎩变为−π≤z ≤2π的周期函数）2,).3,)。

高数A(上)总复习(同济六版)-cxz

《高等数学》上册期末总复习1、极限求法：1、四则运算法则：极限存在才可拆开求【约分、通分、有理化】2、复合运算法则（变量替换法）；一般是尽可能将变化过程变换为：3、初等函数的连续性（代入法）：；4、两个重要极限：构造法1），【构造式：】2）（或）；【构造式：】5、无穷小的性质：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小；6、存在准则：1）夹逼准则、2）单调有界准则；7、等价无穷小：只适用于积商式，不适用于和差式【待等价的函数应与剩余部分之间是积商关系】当时，,(为常数))8、洛必达法则：未定式或：直接利用法则；：取倒数；：通分；：取对数.9、泰勒公式(麦克劳林公式)：只能用于解决型；其它情况必须通过换元变为型.10、导数或定积分定义*:未定式：等价无穷小洛必达法则泰勒公式1）【导数定义】设在点处可导，则.2）【定积分定义】设在上可积，则；2、函数的连续性1、函数在点处连续；2、间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间断点：无穷，振荡.3、连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函数；连续函数的复合仍为连续函数4、初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处连续5、闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】；4）介值定理及其推论.3、导数与微分分段点处连续性判断或求导必须用定义。

开区间内才可以用导数公式。

1、定义：1）；2）；特别注意此处记号的书写3）；4）2、求导法则：【必须牢记14个基本导数公式】1）显函数：①、四则运算法则：；②、复合函数的求导法则：设都可导，则的导数为，或③、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：，（化简），2）参数方程：，，，以此类推.3）隐函数：（方程两边同时对自变量求导）3、高阶导数：等；莱布尼兹公式4、微分：5、关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必.6、抽象函数的求导：注意、之别4、导数的应用1、曲线的切线与法线方程：，，；2、微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后根据定理下结论！1）罗尔定理：；【依结论构造辅助函数】2）拉格朗日中值定理：；【同一函数在两点上相减都可能用到此定理】3）柯西中值定理：；4）泰勒中值定理：3、泰勒公式：熟悉5个常见带Peano型余项的麦克劳林公式4、函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线拐点的判断类似于极值点的判断，只是前者利用二阶导数的符号，后者利用一阶导数符号5、不等式的证明：1）单调性；2）最值；3）凹凸性；6、方程根的存在性及唯一性(结合以下3点讨论)：1）零点定理；2）罗尔定理；3）单调性；7、恒等式的证明：若在区间I上，则在区间I上五、积分：不定积分，定积分，反常积分【必须牢记13个基本积分公式】1、常用性质：线性性质，区间可加性，定积分中值定理【】，定积分的奇偶对称性、周期性【与起点无关】；【定积分是与积分变量无关的常数】2、常用公式：【此类公式或题目常用换元或】3、设，即为的原函数，则有与牛顿-莱布尼兹公式：4、换元法：1）第一类（凑微分法）；2）第二类：三角代换，倒代换，根式代换等5、分部积分法:反对幂指三【先将后者凑微分】；或先将较易积分者凑微分6、变上限积分的导数：，【视为复合函数】，其中连续，可导，为常数，积分中的表达式必须与无关，若有关须先换元7、有理函数的积分【假分式用除法化为多项式加真分式，真分式因式分解加待定系数法化为部分分式】附：可化为有理函数的积分①有理三角函数：万能代换；②简单根式：线性函数或分式函数的根式直接代换，开方不同则取最小公倍数开方8、反常积分：无穷限的反常积分或瑕积分，广义牛顿-莱布尼兹公式，特别注意瑕点在积分区间内部的瑕积分瑕点的判定：，则即为瑕点。

关于高等数学同济第六版上册期末复习重点

关于高等数学同济第六版上册期末复习重点标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

高等教育数学[同济第六版](上册)期末复习重点

第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。

3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

高等数学(同济六版)上册总结

高等数学知识纲要一、定义1、基本初等函数、初等函数2、极限（数列、函数）理解定义3、无穷小与无穷大4、函数连续与间断（点、区间）5、导数与微分（点、区间）6、原函数与不定积分7、定积分理解定义二、性质1、极限的性质2、收敛函数的性质3、闭区间上连续函数性质4、中值定理5、不定积分与定积分的性质三、关系1、数列（函数）敛散性与有界性之间2、收敛数列及其子数列之间3、函数极限与左右极限4、无穷小与无穷大5、连续与可导、可导与可微6、驻点与极值点、极值之间、极值与最值之间7、连续与可积四、计算（极限、导数、积分）五、应用1.导数的几何意义应用（切线、法线方程）2.导数的应用（单调性、凹凸性、极值、最值）3.定积分的应用极限的运算运算法则（四则、复合、换序）1、特殊极限1sin lim ,1sin lim ,1sin lim 000===→→→uux x x x u x x 对比0sin lim =∞→x x x e ue x e x uu xx x x =+=+=+∞→→∞→)11(lim ,)1(lim ,)11(lim 10 2、等价无穷小当0→x 时，kx kx kx kx arctan ,arcsin ,tan ,sin ～kxx cos 1-～22x ,11-+nx ～nx3、有理函数的极限?)()(lim0=→x Q x P x x当0)(0≠x Q 时, )()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)()(lim0x Q x P x x .当Q (x 0)=P (x 0)=0时, 先将分子分母的公因式(x -x 0)约去. ⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mn m n b a mn b x b x b a x a x a mm m n n n x 0 lim 00110110 4、导数定义若)(0x f '存在，则=+-→hh x f x f h )()(lim000)(0x f '-. =--+→hh x f h x f h )()5(lim000)(60x f '5、罗比达法则（00或∞∞型，∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0∞型的未定式）1.0)3562(lim 20142013=-+∞→x x x 2.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ3. e x x xx x x xx =+=+⋅→→sin sin 101)sin 1(lim )sin 1(lim4. =-+=-→-→xx xx x x111111)11(lim lim 1-e .5.=+-=+++-⋅+∞→-∞→xx x x x x xx x 633361)631(lim )63(lim 3-e .6.2211)1(4lim 145lim 11=⋅--=---→→x x x x x x x 7.21)1cos ()1(cos 2lim )1cos )(1(cos 1cos lim )1(cos 1cos lim 2000-=+-=+--=--→→→x x x x x x x x x x x x x 8.3232lim 2sin 3)1(cos tan lim )1sin 1)(11(tan sin lim 22020320-=⋅⋅-=⋅-=-+-+-→→→xx x x xx x x x x xx x x x216lim 2sin tan sin lim 2)1sin 1(tan sin limsin 1tan 1sin 1lim33020202-==-=-+-=-++-+→→→→x x x x x x x x x x xx x x x x x x x10.81)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222-=--=-→→x x x x x x x ππππ 11.2111lim )1112(lim 2121-=--=---→→x x x x x x 12.1lim )(sin lim )ln(sin lim )ln(sin 0===→→→x x x x xx x xe e x13. ex xe xdt e xdte xx x t x xt x 212sin lim limlim222cos 02cos 121cos 0==--→-→-→⎰⎰导数与微分的运算练习1.已知1sin +=x xey ，求22dxy d . y d dy 2,解：1)cos (sin ++=x e x x dxdy ，122cos 2+=x xe dx y d dx e x x dy x 1)cos (sin ++=，212cos 2dx xe y d x +=2.已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin 求3π=t 时dx dy的值. （参看P112-5.6.7）解：tt tt t e t e t e t e t x t y dx dy tt t t sin cos sin cos sin cos sin cos )()(+-=+-=''=，所以3π=t 时=dxdy23-. 3.已知0333=-+xy y x ,求dxdy .（参看P111-1）解：0333322=--+dxdy x y dx dy yx ，x y x y dx dy --=224.已知xy e yx 2=+,求dxdy .解： dx dy x y dx dy e yx 22)1(+=++，xxy xyy dx dy --=5.已知5ln 2+=x x y ,求dxdy .解：xx x e x ln =于是有)1(ln )()(ln +='='x x e x x x x x 故)1(ln 2+=x x dxdy x（或先用对数求导法求x x y =的导数） 6.x x y sin = ，求y '.解：等式两端取自然对数得x x y ln sin ln =，等式两端对x 求导，得xx x x y y sin ))(ln (cos +='，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='x x x x x x x x x y y x sin ))(ln (cos sin ))(ln (cos sin 练习：1cos sin +=xx y ，求y '. 7、()()54132+-+=x x x y 求'y解：两端同时取自然对数得()()()1ln 53ln 42ln 21ln +--++=x x x y两端同时对x 求导得153421211'+--++=⋅x x x y y故()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=1534221132153422154'x x x x x x x x x y y 8.32)3()2(1-++=x x x y ，求y '.解：等式两端取自然对数得[])3ln(3)2ln(2)1ln(21ln --+-+=x x x y等式两端对x求导，得)332211(21--+-+='x x x y y ，)332211()3()2(12132--+-+-++='x x x x x x y （对数求导法参看P112-4）9. ⎰-=2)(x tdt e x f ，x e dxdudt e du d x f u x u u t 2)(20-=-=⋅='⎰=22xxe -10.⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=xx x x x xdt t dt t dt t dt t dt t x f 011111)(222xx x dt t dt t x f x x +-+='+-'+='⎰⎰1)2(1)1()1()(202（对数求导法参看P243-5）积分的计算练习1.dxx x ⎰-1tan cos12解：dxx x ⎰-1tan cos 12=)1(tan 1tan 1--⎰x d x =C x +-1tan 22.计算不定积分⎰xx dxsin cos .解：==⋅=⎰⎰⎰x xd xxx dx x x dx tan tan sec cos sin sin cos 2C x +tan ln 3.计算不定积分dx x x x⎰+2)ln (ln 1. 解： ==+⎰⎰)ln ()ln (1)ln (ln 122x x d x x dx x x x C xx +-ln 1（凑微分参看P207习题4-2和P253第1题）4.⎰-10dx xe x=⎰--10)(xe xd =[]dx exexx ⎰--+-101=[]e e e e ex 21)11(1110-=+-+-=-+--（分部积分参看P212习题4-3和P254第7题）5.dx xx ⎰--145解：令tdt dx t x t x 2,5,52-=-==-，2,1,3,4===-=t x t x dx xx ⎰--145=38532)5(2)2(5233232232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰⎰t t dt t dt t t t6.dx x 2312)1(-⎰+解：令4,1;0,0,sec ,tan 2π======t x t x tdt dx t xdx x 23102)1(-⎰+=22sin cos )(sec sec )tan 1(4040401223402====+⎰⎰⎰--ππππttdt dt t tdt t （提示：t a x x a t a x x a tan ,;sin ,2222=+=-）7、dx x x x ⎰+--6512解：dx x x x ⎰+--6512=()()⎰⎰+-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=---C x x dx x x dx x x x 3ln 22ln 3221321 （提示：设32)3)(2(1-+-=---x Bx A x x x 通分求出A,B ） 8.⎰⎰+---=---dx x x x dx x x x )1()1(352)1)(1(52622 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----=dx x x x )1(1)1(1)1(1522 C x x x +--+--=)1(5211ln 52 （提示：设)1()1(1)1()1(322++-+-=+--x C x B x A x x x 通分求出A,B,C ）（有理函数积分参看P215例1.2.3）9.计算由x y x y ==、32所围成的图形的面积.（参看P284习题6-2）解解方程组⎩⎨⎧==xy x y 32可得⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==33y x所求面积为21)3(212=-=⎰-dy y y a 10.求曲线2223336x y +=所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解：星形线的参数方程⎩⎨⎧==t a y ta x 33sin cos ，上半平面图形对应π≤≤t 0，第一象限对应20π≤≤t ，注意上下限对应的t 值 ⎰⎰⎰===2422233sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t at a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰.当a=6时，旋转体体积为272π （参看P285第13题）证明：P74-2.3；P134-6.9.10.11;P153-5。

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方法2 . 利用莱布尼兹求导公式
x e x (n) n e x (n1)
uv
(n)
u(((n11)))vnn(xxneuxn(n)e1n)vx(1)nn(1ne2! x1)
u(n2)v
uv(n)
例9. 设 y x 1 , 求 y(n) . x 1
解:
y
1
2 x 1
1
2(x
1)1
y 2 (1)( x 1)2
0
11
1 et
d
t
1
01
1
t
d
t
[
t
ln(1
e
t
)]
0 1
ln(1 t)
1 0
ln(1 e)
例9. 已知 f ( x)
x sin t d t , 求
f (x)dx .
0 t
0
解: 由已知条件得
f (0) 0 , f ( x) sin x
x
0
f (x)dx
x
f (x) 0
2
0
1 2
1
0
x
1
1
dx
2
1
x
1
1
dx
可见原积分发散.
发散
例6. 求 11x2 arctan x 2 1 x2 dx .
奇函数
偶函数
解: 利用“偶倍奇零”再, 令 x sin t, 得
原式 4
1
1 x2 dx 4
2 cos2 t d t
0
0
例7.
已知
x
f
( x) dx
arcsin
(包括对数微分法) (3) 参数方程求一阶、二阶导数 ; (4) 用导数定义求特殊点的导数值 ; (5) 计算 n 阶导数 . 例题分析

高等数学同济六版考试课本知识及习题重点

数学（三）具体学习内容（与以上表格中的任务代码相对应）任务名称：MIII-JC1-01a（数学三，高等数学，基础阶段，01任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第1章第1节映射与函数函数的概念★函数的有界性★★、单调性、周期性和奇偶性★复合函数、反函数、分段函数和隐函数★初等函数具体概念和形式，函数关系的建立★习题1-14(1)(3)(7)(9)，5(1)(2)，7(1)，8★，9(2)★，15(1)，15(4)★，18★8，9(2)，15(4)，181.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运2.5小时第1章第2节数列的极限数列极限的定义★数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性) ★习题1-21(1)(4)(8)第1章第3节函数的极限函数极限的概念★函数的左极限、右极限与极限的存在性★★函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）★习题1-31，3，4★42.5小时第1章第4节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的定义★无穷小与无穷大之间的关系★习题1-41，4，5第1章第5节极限运算法则极限的运算法则(6个定理以及一些推论)★习题1-51(1)(3)(6)(10)，1(11)★，2(1)★，3(1)★，4(2)(4)★，5(1) (3)★1(11)，2(1)，3(1)，4(2)(4)，5(1)(3)算法则.任务名称：MIII-JC1-02a（数学三，高等数学，基础阶段，02任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第1章第6节极限存在准则两个重要极限函数极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）★两个重要极限（注意极限成立的条件，熟悉等价表达式）★利用函数极限求数列极限★习题1-61(1)，1(6)★，2(1)，2(3)★，4(2)(3)★1(6)，2(3)，4(2)(3)1.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.2.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.3.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.4.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些第1章第7节无穷小的比较无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小）及其应用★★★★★一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法★习题1-71，2，3(2)★，4(3)(4)★3(2)，4(3)(4)2.5小时第1章第8节函数的连续性与间断点函数的连续性，函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）判断函数的连续性和间断点的类型★★习题1-81，2(1)，3(1)★，4★，5★3(1)，4，5第1章第9节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的、和、差、积、商的连续性★反函数与复合函数的连续性★初等函数的连续性★★习题1-91，3(4)，3(6)★，4(5)(6)★，5，63(6)，4(5)(6)2.5小时第1章第10节闭区间上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理★★★零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法)★★★习题1-101，3★3性质.第1章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题一1，2，3(2)，9(2)(4)，9(6)★，11★，12★，13★9(6)，11，12，13任务名称：MIII-JC1-03a（数学三，高等数学，基础阶段，03任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2小时第1章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第一章2.5小时第2章第1节导数概念导数的定义★、几何意义★★★单侧与双侧可导的关系★可导与连续之间的关系★函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质★★按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限★会求平面曲线的切线方程和法线方程★习题2-13★，6(1)(3)★，7，8★，9(1)(4)(7)，11，13，16(1)★，173，6(1)(3)，8，16(1)1. 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数.2.5小时第2章第2节函数的求导法则导数的四则运算公式（和、差、积、商）反函数的求导公式★复合函数的求导法则习题2-22(1)(6)(7)(9)，3 (3)，4，7(1)(3)(6)，7(8)★，8(8)★，9★，10(2)★，11(2)(4)7(8)，8(8)，9，10(2)，11(10)★基本初等函数的导数公式★分段函数的求导★(6)(8)，11(10)★任务名称：MIII-JC1-04a（数学三，高等数学，基础阶段，04任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第2章第3节高阶导数高阶导数★n阶导数的求法（归纳法，莱布尼兹公式）★★习题2-33，4★，10 (2)★，11(1)(3)★4，10 (2)，11(1)(3)1.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.2.会求反函数与隐函数的导数.3. 了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.第2章第4节隐函数的导数隐函数的求导方法，对数求导法★习题2-41，2，3，4(1)(2)★，104(1)(2)2.5小时第2章第5节函数的微分函数微分的定义，几何意义★基本初等函数的微分公式★微分运算法则，微分形式不变性★★一元函数微分在函数近似计算中的应用习题2-51，2，3(1)(4)，3(7)(10)★，4(1)(3)(5)(7)，5，6★3(7)(10)，63小时第2章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第二章任务名称：MIII-JC1-05a（数学三，高等数学，基础阶段，05任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第2章总复习题二总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题二1★，2，3★，6(1)，7★，8(1)(3)，8(5)★，9(1)，1，3，7，8(5)，1111★，12(2)，13，162.5小时第3章第1节微分中值定理费马定理、罗尔定理★、拉格朗日定理★★、柯西定理及其几何意义★构造辅助函数习题3-14，5，6，7，8，9★，11★，12，159，111.理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用.2.会用洛必达法则求极限.2.5小时第3章第2节洛必达法则洛必达法则及其应用★★★★习题3-21(1)(3)(5) (6)(12)，1(15)★，2★，4★1(15)，2，4任务名称：MIII-JC1-06a（数学三，高等数学，基础阶段，06任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第3章第3节泰勒公式泰勒中值定理★麦克劳林展开式★习题3-32，3，4★，5★，6，7，10(1)，10(3)★4，5，10(3)1.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.2.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数. 当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线.2.5小时第3章第4节函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调区间★★，极值点函数的凹凸区间，拐点★渐进线★习题3-43(3)，3(6)★，5(1)(4)，5(3)★，6★，9(2)(4)，9(5)★，10(1)，10(3)★，12，153(6)，5(3)，6，9(5)，10(3)2.5小时第3章第5节函数的极值与最大值最小值函数极值的存在性：一个必要条件，两个充分条件最大值最小值问题★★★函数类的最值问题和应用类的最值问题★习题3—51(1)(5)，1(8)(9)★，4(1)，4(3)★，5，6，10，11★，141(8)(9)，4(3)，11任务名称：MIII-JC1-07a（数学三，高等数学，基础阶段，07任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第3章第6节函数图形的描述利用导数作函数图形（一般出选择题）：★函数的间断点、和的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内和的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点习题3-61，4★P165例141.会描绘简单函数的图形.2.5小时第3章总复习题三总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题三1，2(1)，2(2)★，4★，6，9★，10(1)(3)，11(3)，12，17★，19★2(2)，4，9，17，192小时第3章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第三章任务名称：MIII-JC1-08a（数学三，高等数学，基础阶段，08任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第4章第1节不定积分的概念与性质原函数和不定积分的概念与基本性质（之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系）★基本的积分公式★原函数的存在性、几何意义★习题4-12(1)(2)(7)(10)(13)(14)(18) (21)(25)，5★51.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.2.掌握不定积分的换元积分法.2.5小时第4章第2节换元积分法第一类换元积分法（凑微分法）★习题4-22(1)(3)(6)(9)(12)(15)(18) (24)(26)(30)(33)，2(21)★2(21)2.5小时第4章第2节第二类换元积分法★★习题4-22(36)，2(37) (44)★P201例21，P205例242(37)(44)换元积分法任务名称：MIII-JC1-09a（数学三，高等数学，基础阶段，09任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第4章第3节分部积分法分部积分法★习题4-31，2，3，4，6★，11，16，17，20★，24★6，20，241.掌握不定积分的分部积分法.2.5小时第4章总复习题四总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题四1，2，5，8，10★，15★，16，19，21★，23，33★，35，3810，15，21，332小时第4章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第四章任务名称：MIII-JC1-10a（数学三，高等数学，基础阶段，10任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第5章第1节定积分的概念与性质定积分的定义与性质(7个性质)★★★函数可积的两个充分条件★习题5—13(3)(4)，11★，12(2)★，13(5)11，12(2)1.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理.2.理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.3. 掌握定积分的换元积分法与分部积分法.4. 了解反常积分的概念，会计算反常积分.总复习题五3(1)，14第5章第2节微积分的基本公式积分上限函数及其导数★牛顿-莱布尼兹公式★习题5—22，3，4，5(3)★，6(6)(12)，7(4)，8(1)，10★，12★5(3)，10，12总复习题五4(2)★，8(1)，114(2)2.5小时第5章第3节定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法★★定积分的分部积分法★★★习题5—31(9)(15)(24)，1(21)★，2，5★，6★，7(7)，7(10)★1(21)，5，6，7(10)总复习题五5(1)★，6，10(1)(4)5(1)第5章第4节反常积分无穷限的反常积分★无界函数的反常积分★习题5—41(5)(7)，2★2总复习题五1(1)(2)(4)，2(2)(4)，10(8)10(8)★2小时第5章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第五章任务名称：MIII-JC1-11a（数学三，高等数学，基础阶段，11任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第6章第1节定积分的元素法元素法 1. 会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值.2. 会利用定积分求解简单的经济应用问题.第6章第2节定积分在几何学上的应用平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）★★旋转体的体积★★习题6—21(1)(4)，2(1)，3，5(1)，7，6★，8(2)★，11，14，15(3)★，19★6，8(2)，15(3)，19第6章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题六2，3★32小时第6章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第六章2.5小时第7章第1节微分方程的基本概念微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解★习题7—11(1)(4)，2(3) (4)，4(2)，5(1)，61.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程的求解方法.第7章第2节可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程的概念及其解法★★习题7—21(1)(3)(5)(8)，3，4，6★6第7章第3节齐次方程齐次微分方程的形式及其解法★习题7—31(1)(4)，2(1)，3任务名称：MIII-JC1-12a（数学三，高等数学，基础阶段，12任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第7章第4节一阶线性微分方程一阶线性微分方程的形式和解法★★习题7—41(1)(4)，1(10)★，2(1)★1(10)，2(1)1.一阶线性微分方程的求解方法.2. 了解线性微分方程解的性质及解的结构定理.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.4.会用微分方程解决一些简单的应用问题.第7章第6节高阶线性微分方程二阶线性微分方程的解的结构：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质★习题7—61(1)(3)(6)(9)，4(2)(4)第7章第7节常系数齐次线性微分方程特征方程，特征方程的根与微分方程通解中的对应项★二阶常系数齐次线性微分方程的通解★习题7—71(1)(5)，2(1)(4)2.5小时第7章第8节常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程，其中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数★习题7—81(1)(7)，1(3)(9)★，2(1)★，2(2)，6★1(3)(9),2(1), 6第7章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题七1，2，3(1)(2)(7)，3(3)(6)★，4(3)(4)★，73(3)(6),4(3)(4)3小时第7章总结归纳错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第七章任务名称：MIII-JC1-13a（数学三，高等数学，基础阶段，13任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第9章第1节多元函二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理习题9—12,5 (2)(4),6(1)(4),7(1),81.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.数的基本概念2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分.2.5小时第9章第2节偏导数偏导数的概念，高阶偏导数的求解习题9—21(4)(5),1(6)★,4,6(2)★,9(1)1(6),6(2)第9章第3节全微分全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件习题9—31(1)(4),3,52.5小时第9章第4节多元复合函数的求导法则多元复合函数求导法则（共3个定理）全导数习题9—42,6,8(1)(3)★,9,11★,12(2)(3)★8(1)(3),11,12(2)(3)任务名称：MIII-JC1-14a（数学三，高等数学，基础阶段，14任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第9章第5节隐函数的求导公式一个方程的情形（定理1，定理2）习题9—52,3,5,8★81.会求多元隐函数的偏导数.2.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问2.5小时第9章第8节多元函数的极值及其求法多元函数极值、极值点的概念多元函数极值的必要条件、充分条件条件极值，拉格朗日乘数法习题9—81,3,5,7,9,11★112.5小时第9章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题九1,3,5★,6(2),9,11★,175,11题.任务名称：MIII-JC1-15a（数学三，高等数学，基础阶段，15任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求3小时第9章总结归纳单元测试题中错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第九章2.5小时第10章第1节二重积分的概念与性质二重积分的定义、几何意义和物理意义二重积分的性质（6个）二重积分的中值定理习题10—14(2)(3),5(2)(4)1.了解二重积分的概念与基本性质.2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）.3. 了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.2.5小时第10章第2节二重积分的计算法利用直角坐标计算二重积分习题10—21(2),2(3)(4),4(1),4(3)★,6(2)(4),6(5)★4(3),6(5)任务名称：MIII-JC1-16a（数学三，高等数学，基础阶段，16任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第10章第2节二重积分的计算法利用极坐标计算二重积分习题10—211(2),12(1)★,12(3),13(1)★,13(2),14(1),15(2)★,15(4)12(1),13(1),15(2)1. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）.2.5小时第10章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题十2(1),2(4)★,3(1),3(2)★,5★,6★2(4),3(2),5,63小时第10章总结归纳单元测试题中错题《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第十章的知识点、题型任务名称：MIII-JC1-17a（数学三，高等数学，基础阶段，17任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第12章第1节常数项级数的概念和性质常数项级数的概念收敛级数的基本性质等比级数（几何级数）敛散性的判别级数收敛的必要条件习题12—11(1)(4),2(3)(4),3(1),4(1)(2)(5)1.了解级数的收敛与发散.收敛级数的和的概念.2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法.4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数.2.5小时第12章第2节常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法（正项级数收敛的充要条件，比较审敛法及其推论、比较审敛法的极限形式，比值审敛法、根值审敛法，极限审敛法）p级数敛散性的判别交错级数及其审敛法（莱布尼茨定理）绝对收敛与条件收敛习题12—21(1)(4),1(5)★,2(1)(4) ,3(1)(3),4(1)(3)(5),5(2)(3),5(5)★1(5),5(5)2.5小时第12章第3节幂级数函数项级数的概念幂级数及其收敛性（阿贝尔习题12—31(1)(2)(3),1(6)★,2(1)(2)★1(6),2(1)(2)定理及其推论，幂级数的收敛半径）幂级数的运算（幂级数的和函数的性质）任务名称：MIII-JC1-18a（数学三，高等数学，基础阶段，18任务，a任务）时间复习章节复习知识点习题章节习题重难点题大纲要求2.5小时第12章第4节函数展开成幂级数泰勒级数、麦克劳林级数把函数展开成幂级数的步骤、、、、的麦克劳林展开式习题12—42(1)(2),2(4)(6)★2(4)(6)1.了解 , , , 及的麦克劳林（Maclaurin）展开式.2.5小时第12章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题十二1,2(1)(2),1(5)★,4★,5(1)★,5(2) ,7(1)(4),8(1)(3)★,10(2)★1(5),4,5(1),8(1)(3),10(2)3小时第12章总结归纳单元测试题中错题的知识点、题型《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第十二章。

同济大学高等数学第六版上册总复习PPT

y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) A x o( x )
则称函数
y f ( x ) 在点 x 0 可微，记 dy
x x0
A x
定理
函数f ( x )在点x 0 可微的充要条件是函数 f ( x )
在点x 0 处可导, 且 A f ( x 0 ).
定理1(最大值和最小值定理) 闭区间上的连续函数
y
一定有最大值和最小值.
f ( x 1 ) min f m f ( x 2 ) max f M
M
y f ( x)
a
o
x1
x2
b
x
m
推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
定理 2 (零点定理)
且 f ( a ) 与 f ( b ) 异号(即 f ( a )
f x0
,
f x 0 0
x0
(2)、罗尔中值定理
如果函数 f ( x )
(1)在闭区间[a , b]上连续,
(2)在开区间 ( a , b ) 内可导,
(3)在区间端点的函数值相等，即 f ( a ) f ( b ) ,
那末在 ( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ,
应用 (如果下列各极限存在) 1.若则
~ ,

lim
lim

或
lim

lim

2 .若
lim c 0
则
lim

lim
c
或
lim

lim
c
~ c

大一期末高数（同济第六版）复习提纲（精选5篇）

大一期末高数（同济第六版）复习提纲（精选5篇）第一篇：大一期末高数(同济第六版)复习提纲高数一期末考试复习大纲题型：解答题（共12小题）类型：求极限、求导数及微分（包括导数的应用）、求不定积分、求定积分（包括定积分的应用）、求解微分方程具体知识点第一章数列的极限、函数的极限（以上只需掌握求极限方法、极限定义了解即可）无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则，两个重要极限无穷小的比较、函数的连续性、连续函数的运算和初等函数的连续性第二章导数定义及几何意义、函数的求导法则、高阶导数、隐函数导数、参数方程所确定的函数的导数（会求二阶导数）、函数的微分公式第三章洛必达法则、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数的极值与最值第四章求不定积分（换元法、分部积分法）、有理函数的积分第五章微积分基本公式、定积分的换元法和分部积分法第六章定积分在几何学上的应用第七章可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程第二篇：高数复习提纲第一章1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、五章不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加C）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第三篇：高数(上)(复习提纲)《高等数学I》复习提纲一、基本概念、公式、法则：“极限，连续，导数，微分，积分”的定义、性质--------基础1、导数(微分)部分：无穷小之间的比较（高阶、同阶、等价、k 阶），常见的等价无穷小（x→0）,两个重要极限，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的介值定理，基本初等函数的求导公式，复合函数求导的链式法则，求极限的洛必达法则，微分中值定理（Rolle、Lagrange、Cauchy），泰勒公式（特别地，麦克劳林公式），函数的单调性与凹凸性，极值存在的必要条件与充分条件，曲线的水平（竖直）渐近线，平面曲线（直角坐标系、极坐标系、参数方程）的曲率公式、弧微分公式；求极限夹逼准则，可导与连续的关系，可导与可微的关系。

同济六版高等数学上册总结共17页word资料

同济六版高等数学上册总结第一章函数与极限一. 函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1） y ⎰=xdt t f 0)(，其中)(x f 连续，则，)(x f dxdy= （2）⎰=)()()(x x dt t f y ϕφ，其中)(),(x x φϕ可导，)(t f 连续，则)())(()())((''x x f x x f dxdyφφϕϕ-= 2 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 3 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则（1）若n n x x ≤+1（n 为整数），且m x n ≥，则A n x n =∞→lim 存在（单调递减有下界，极限存在）（2）若n n x x ≥+1，且m x n ≤，则A n x n =∞→lim存在（单调递增有上界，极限存在）2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim3．两个重要公式公式11sin lim0=→xxx公式2e x x x =+→/10)1(lim4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n nn nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 6．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e 1lim x x x→-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx→．解该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''L二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nxx x n e →+∞>．解所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n x x n n x -→+∞-= !lim 0ex x n →+∞===L ．使用洛必达法则时必须注意以下几点：)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。

同济大学数学系高等数学第6版笔记和课后习题答案

第1章函数与极限1.1 复习笔记一、映射与函数1．集合（1）集合概念集合（简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）。

常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素。

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A。

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

（2）表示集合的方法通常有以下两种：①列举法，就是把集合的全体元素一一列举出来表示；②描述法，若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，就可表示成M＝{x|具有性质P}。

（3）常见的集合①空集，指不包含任何元素的集合，记为φ；②非负整数集，全体非负整数即自然数的集合，记作N，即N＝{0，1，2，…，n，…}；③正整数集，全体正整数的集合，记作，即＝{1，2，3，…，n，…}；④整数集，全体整数的集合，记作Z，即Z＝{…，－n，…，－2，－1，0，1，2，…，n，…}；⑤有理数集，全体有理数的集合，记作Q，即Q＝{∈z，q∈且P与q互质}；⑥实数集，全体实数的集合，记作R，R为排除数0的实数集，为全体正实数的集合。

（4）集合的关系①包含关系设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A B（读作A包含于B）或B A（读作B包含A）。

规定空集φ是任何集合A的子集，即φA。

若且，则称A是B的真子集，记作（读作A真包含于B）。

②等价关系若集合A与集合B互为子集，即A B且B A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B。

（5）集合的运算①并、交、差a．并集设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集（简称并），记作，即。

b．交集由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集（简称交），记作，即。

c．差集由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即。

高等数学(上)定义定理归纳(同济六版)

高等数学（上）定义、定理及一些重要结论归纳（按照同济第六版上册第一章到第六章，不含第七章微分方程，定理证明从略）第一章函数与极限（1）（数列极限的定义）{}{}{}lim ,()n n n n n n n x a N n N x a a x x a x a x a n εε→∞>−<=→→∞设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或（2）（数列极限的唯一性）{}n x 如果数列收敛，那么它的极限唯一.（3）（收敛数列的有界性）{}{}n n x x 如果数列收敛，那么数列一定有界。

（4）（收敛数列的保号性）n lim ,0(0),0,,0(0).n n n x a a a N n N x x →∞=><>>><如果且或那么存在正整数当时都有或（5）（收敛数列保号性的推论）{}00lim ,0(0).n n n n n x x x x a a a →∞≥≤=≥≤如果数列从某项起有（或）,且那么或（6）（收敛数列与其子数列间的关系）{},.n x a a 如果数列收敛于那么它的任一子数列也收敛，且极限也是（7）（自变量趋于有限值时函数极限的定义）0000(),0,0()(),()lim ()()()x x f x x A x x x f x f x A A f x x x f x A f x Ax x εδδε→><−<−<→=→→设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（8）（函数极限存在的条件）000()()().f x x x f x f x −+→=函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即（9）（自变量趋于无穷大时函数极限的定义）().,,()(),()lim ()()().x f x x A X x x X f x f x A A f x x f x A f x Ax εε→∞>−<→∞=→→∞设函数当大于某一正数时有定义如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（10）（函数极限的唯一性）lim ().x x f x →如果存在，那么这极限唯一（11）（函数极限的局部有界性）0lim (),00,0().x x f x A M x x f x M δδ→=>><−<<如果那么存在常数和使得当时，有（12）（函数极限的局部保号性1）0lim (),0(0)00()0(()0).x x f x A A A x x f x f x δδ→=><><−<><如果且或，那么存在常数，使得当时，有或（13）（函数极限局部的保号性2）000lim ()(0),().2x x f x A A x U x x U x Af x →=≠∈>��如果那么就存在着的某一去心邻域()，当()时，就有（14）（函数极限局部保号性的推论）0()0(()0),lim (),0(0).x x x f x f x f x A A A →≥≤=≥≤如果在的某一去心邻域内或而且那么或（15）（函数极限与数列极限的关系）{}{}000lim (),(),(),()lim ()lim ().n n x x n n n x x f x x f x x x x n N f x f x f x →+→∞→≠∈=如果极限存在为函数的定义域内任一收敛于的数列且满足：那么相应的函数值数列必收敛，且（16*）（Heine 归并定理）{}000lim (),()(),lim ().n n n x x n n f x x x x n x x n N f x →+→∞→→∞≠∈极限存在的充分必要条件是：对任何数列满足且有存在（17）（无穷小的定义）0()()lim ()0,()().x x x f x f x f x x x x →→∞=→→∞如果函数的极限那么称函数为当或时的无穷小（18）（无穷小与函数极限的关系）0()()lim ()(),.x x x x x x f x A f x A αα→→∞→→∞==+在自变量的同一变化过程或中，函数的充分必要条件是其中是无穷小（19）（无穷大的定义）000()0(),0(0),0()(),()().f x x x M X x x x X f x M f x x x x δδ∀>∃>∃><−<>>→→∞设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）.如果对于不论它有多大或使得当或时，总有成立则称函数为当或是的无穷大（20）（无穷大与无穷小之间的关系）1,(),;()()1()0,.()f x f x f x f x f x ≠在自变量的同一变化过程中如果为无穷大则为无穷小反之，如果为无穷小，且则为无穷大�以下为一些极限运算法则的相关定理（21）.有限个无穷小的和也是无穷小（22）.有界函数与无穷小的乘积是无穷小（23）.常数与无穷小的乘积是无穷小（24）.有限个无穷小的乘积也是无穷小（25）（函数极限运算法则）[]lim (),lim (),(1)lim ()()lim ()lim ();(2)lim[()()]lim ()lim ();lim ()()(3)0,lim .()lim ()x x x x x x x x x x x f x A g x B f x g x f x g x A B f x g x f x g x A B f x f x A B g x g x B→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==±=±=±⋅=⋅=⋅≠==如果那么若有则（26）（数列极限运算法则）{}{}n .lim ,lim ,1lim();(2)lim ;(3)0(),0,lim.n n n n n n n n n n n n n x y A B x y A B x y A B x Ay n N B y B→∞→∞→∞→∞+→∞==±=±⋅=⋅≠∈≠=设有数列和如果那么（）当且时（27）[]lim (),,lim ()lim ().x x x f x c cf x c f x →∞→∞→∞=如果存在而为常数则（28）[]lim (),lim ()lim ().nnx x x f x n N f x f x +→∞→∞→∞⎡⎤∈=⎣⎦如果存在,而则（29）()(),lim (),lim (),.x x x x x a x b a b ϕψϕψ→∞→∞≥==≥如果而那么（30）（复合函数的极限运算法则）000000[()]()()[()]lim (),lim (),0,(,),(),lim [()]lim ().x x u u x x u u y f g x u g x y f u f g x x g x u f u A x U x g x u f g x f u A δδ→→→→=====∃>∈≠==�设函数是由函数与函数复合而成,在点的某一去心邻域内有定义，若且当时有则（31）（数列极限的夹逼准则极限存在准则I ）{}{}{}{}001,,2lim ,lim ,lim .n n n n n n n n n n n n n x y z n N n n y x z y a z a x x a →∞→∞→∞∃∈>≤≤===如果数列、及满足下列条件：（）当时，有（）那么数列的极限存在，且（32）（函数极限的夹逼准则极限存在准则I ’）0()()()()1(,)()()()()(2)lim (),lim ,lim ()lim ().x x x x x x x x x x U x r x M g x f x h x g x A A f x f x A →→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞∈>≤≤===�如果（）当或时，那么存在，且（33）（数列极限存在准则极限存在准则II ）.单调有界数列必有极限（34）（函数极限存在准则极限存在准则II II’’）00000()()().(,,,)f x x f x x f x x x x x x x −−+→→→−∞→+∞设函数在点的某个左邻域内单调且有界，则在的左极限必定存在类似（35）（柯西极限存在准则）{}00,,.n n m x N N N m N n N x x εε+∀>∃∈>>>−<数列收敛的充分必要条件是：对于,且使得当时，就有（36）（两个无穷小之间的比较）0:lim 0,lim ,lim 0,;(4)lim 0,0,.(5)lim 1,x x x k x x c c k k αβαββαβοααββααββααββααββααβα→∞→∞→∞→∞→∞≠==∞=≠=≠>=∼已知和是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且(1)如果就说是比高阶的无穷小，记作=();(2)如果就说是比低阶的无穷小.(3)如果就说与是同阶无穷小如果就说是关于的阶无穷小如果就说与是等价无穷小,记作.（37）().βαβαοα=+与是等价无穷小的充分必要条件是（38）（等价无穷小替换定理）''',',limlim lim .''x x x βββααββααα→∞→∞→∞=∼∼设且存在，则（39）（函数连续性的定义1）[]00000()lim lim ()()0,().x x y f x x y f x x f x y f x x ∆→∆→=∆=+∆−==设函数在点的某一邻域内有定义，如果那么就称函数在点连续（40）（函数连续性的定义2）000()lim ()(),().x x y f x x f x f x f x x →==设函数在点的某一邻域内有定义,如果那么就称函数在点连续（41）（连续函数的和、差、积、商的连续性）000()(),(()0).ff xg x x f g f g g x gx ±⋅≠设函数和在点连续则它们的和(差)、积及商当时都在点连续（42）（反函数的连续性）{}1()()(),().x y x y f x I x f y I y y f x x I −====∈如果函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数也在对应的区间上单调增加或单调减少且连续（43）（复合函数的连续性1）[][]00000()()(),().lim (),(),lim ()lim ()().f g x x x x u u y f g x u g x y f u U x D g x u y f u u u f g x f u f u →→→===⊂=====��设函数由函数与函数复合而成若而函数在连续则（44）（复合函数的连续性2）[][][][]000000000()()(),().(),(),(),(),lim ()lim ()()().f g x x u u y f g x u g x y f u U x D u g x x x g x u y f u u u y f g x x x f g x f u f u f g x →→===⊂==========�设函数是由函数与函数复合而成若函数在连续且而函数在连续则复合函数在也连续即（45）（初等函数的连续性）..基本初等函数在它们的定义域内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的（46）（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得它的最大值和最小值.（47）（零点定理）[]()(),,()()0,,()0.f x a b f a f b a b f ξξ⋅<=设函数在闭区间上连续且那么在开区间内至少有一点，使得（48）（介值定理）()[,],()(),(,),(,)().f x a b f a A f b B C A B a b f C ξξ==∀∈∃∈=设函数在闭区间上连续且在这区间的端点取不同的函数值及那么对于使得（49）（介值定理的推论）.M m 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值（50）（一致连续性的定义）121212().0,0,,,,()().().f x I x I x I x x f x f x f x I εδδε∀>∃>∀∈∀∈−<−<设函数在区间上有定义如果对于使得对于和当时就有那么就称函数在区间上是一致连续的（51）（一致连续性定理）()[,],.f x a b 如果函数在闭区间上连续那么它在该区间上一致连续第二章导数与微分（1）（导数的定义）000000000000000()(),()();lim(),(),(),()()()lim lim lim x x x x x y f x x x x x x x yy f x x f x xy f x x y f x x f x f x x f x f yf x x x ∆→∆→∆→→=∆+∆∆∆=+∆−∆′==+∆−∆′===∆∆设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量点仍在该邻域内时相应的函数取得增量如果存在，则称函数在点处可导并称这个极限为函数在点处的导数记为即0000()(),,().x x x x x x x f x dyy x x dxdf x dx===−′−也可记作或（2）（函数可导的充分必要条件）000000()()()()()().f x x f x f x f x f x f x −+−+′′′′′==函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等，即（3）（可导与连续的关系）(),.y f x x =如果函数在点处可导则函数在该点必连续（4）（函数的和、差、积、商的求导法则）[]2()(),(1)()()()()(2)[()()]()()()()()()()()()(3)(()0).()()u u x v v x x x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x u x v x u x v x v x v x v x ==′′′±=±′′′=+′′′⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦如果函数及都在点具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点具有导数且（5）（反函数的求导法则）{}11()()0,()11(),,().()y x y x f y I f y y f x dy I x x f y y I f x dx f y dxdy−−′=≠=′⎡⎤==∈==⎣⎦′如果函数在区间内单调、可导且则它的反函数在区间内也可导且或（6）（复合函数的求导法则）[](),()(),(),()().u g x x y f u u g x y f g x x dy dy dy du f u g x dx dx du dx====′′=⋅=⋅如果在点可导而在点可导则复合函数在点可导且其导数为或（7）（微分的定义）000000(),,()()(),,()(),,.y f x x x x y f x x f x y A x x A x y f x x A x y f x x x dy dy A x ο=+∆∆=+∆−∆=∆+∆∆=∆=∆=∆设函数在某区间内有定义及在这区间内如果增量可表示为其中是不依赖于的常数那么称函数在点是可微的,而叫做函数在点相应于自变量增量的微分记作即（8）（可微与可导的关系）0000()(),(),(),().f x x f x x f x x dy f x dx dy f x dx ′′==函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导且当在点可微时其微分一定是即函数微分的表达式（9）（函数和、差、积、商的微分法则）()()2()(),(1)(2)(3)(0).u u x v v x x x d u v du dv d uv vdu udv u vdu udvd v v v ==±=±=+−⎛⎞=≠⎜⎟⎝⎠如果函数及都在点可微,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点可微且（10）（复合函数的微分法则）[]()()()()(),().x u y f u u g x x f g x dy y dx f u g x dx dy f u du dy y du ==′′′′′====设函数及都在点处可导,则复合函数的微分为也可以写成或第三章微分中值定理与导数的应用（1）（费马引理）0000000()(),,(),()()(()()),()0.f x x U x x x U x f x f x f x f x f x ∀∈′≤≥=设函数在点的某邻域内有定义并在处可导如果对有或那么（2）（罗尔定理）[]()()(),(2),;(3),()().,()()0.f x a b a b f a f b a b a b f ξξξ=′<<=如果函数满足：(1)在闭区间上连续;在开区间上可导在区间端点处的函数值相等即那么在内至少有一点，使得（3）（拉格朗日中值定理）[]()()()(1),;(2),;,(),()()()().f x a b a b a b a b f b f a f b a ξξξ′<<−=−如果函数满足：在闭区间上连续在开区间上可导那么在内至少有一点使等式成立（4）()0,().f x I f x I 如果函数在区间上的导数恒为那么在区间上是一个常数（5）（柯西中值定理）[]()()()()()(1),;(2),;(3),,()0;()()(),,.()()()f x F x a b a b x a b F x f b f a f a b F b F a F ξξξ′∀∈≠′−=′−如果函数及满足：在闭区间上连续在开区间上可导对那么在内至少有一点使等式成立（6）（洛必达法则）000000()()()()()0()()()(1)lim ()0lim ()0,lim ()lim ()lim()0;0(2)(),()(),()0;()(3)lim ,()limx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x g x f x g x g x f x g x U x x X g x f x g x f →→→→→→∞→∞→∞→∞→∞→→∞→→∞===∞=∞∞∞′>≠′∞′�且或者且，即极限为未定式或在某去心邻域或时可导且存在或为则0()()()lim .()()x x x x f x g x g x →→∞′=′（7）（泰勒中值定理泰勒公式）()()()()0()20000000(1)10(1)0(),(1),,,()()()()()()()()(),2!!()()()().(1)!,,(),()n n n n n n n n f x x a b n a b f x f x f x f x f x x x x x x x R x n f R x x x a b n x a b f x M R x x x ξξο++++∀∈′′′=+−+−++−+=−<<+∈≤=−⋯如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数则对x 恒有其中称为拉格朗日型余项.如果当时则有.n⎡⎤⎣⎦，称为佩亚诺型余项（8）（麦克劳林公式）()20(0)(0)0,()(0)(0)(),2!!n nn f f x f x f f x x x R x n ′′′==+++++⋯在泰勒公式中，当时称为麦克劳林公式.（9）（函数单调性的判定定理）[]()()[]()[](),,,.(1),()0,(),.(2),()0,(),.y f x a b a b a b f x y f x a b a b f x y f x a b =′>=′<=设函数在上连续在内可导如果在内那么函数在上单调增加如果在内那么函数在上单调减少将闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）,结论也同样成立.（10）（曲线凹凸性的定义）1212121212(),,()(),()()();22()()(2),()()().22f x I I x x x x f x f x f f x I x x f x f x f f x I ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠++⎛⎞>⎜⎟⎝⎠设在区间上连续对上任意两点(1)如果恒有那么称在上的图形是向上凹的或凹弧如果恒有那么称在上的图形是向上凸的或凸弧（11）（曲线凹凸性的判定定理）[]()()[]()[](),,,,(1),()0,(),;(2),()0,(),f x a b a b a b f x f x a b a b f x f x a b ′′>′′<设在上连续在内具有一阶和二阶导数那么若在内则在上的图形是凹的若在内则在上的图形是凸的.（12）（函数极值的定义）000000()(),(),()()(()()),()()f x x U x U x x f x f x f x f x f x f x <>�设函数在点的某邻域内有定义如果对于去心邻域内的任意一点有或那么就称是函数的一个极大值（或极小值）.（13）（可导函数取得极值的必要条件）000(),,()0.f x x x f x ′=设函数在处可导且在处取得极值那么（14）（判定极值的第一充分条件）()()()()()()000000000000000(),,.(1),,()0,,,()0,();(2),,()0,,,()0,();(3),,(),().f x x x U x x x x f x x x x f x f x x x x x f x x x x f x f x x x U x f x f x x δδδδδδ′′∈−>∈+<′′∈−<∈+>′∈��设函数在处连续且在的某去心邻域内可导若时而时则在处取得极大值若时而时则在处取得极小值若时的符号保持不变则在处没有极值（15）（判定极值的第二充分条件）0000000()()0,()0,(1)()0,();(2)()0,()f x x f x f x f x f x x f x f x x ′′′=≠′′<′′>设函数在处具有二阶导数且那么当时函数在处取得极大值当时函数在处取得极小值.（16）（区间内单一极值时最值的判定）000000()(,),()(),()();(2)()()().f x x x f x f x f x f x f x f x f x 函数在一个区间有限或无限开或闭内可导且只有一个驻点并且这个驻点是函数的极值点,那么(1)当是极大值时就是在该区间上的最大值当是极小值时,就是在该区间上的最小值第四章~第六章一元函数积分学（1）（原函数的定义）,()(),,()()()(),()()(()).I F x f x x I F x f x dF x f x dx F x f x f x dx I ′∀∈==如果在区间上可导函数的导函数为即对都有或那么函数就称为或在区间上的原函数（2）（原函数存在定理）(),(),()()..f x I I F x x I F x f x ∀∈′=如果函数在区间上连续那么在区间上存在可导函数使对都有即连续函数一定有原函数（3）（原函数之间的关系）{}()().()()(),()()(),(),().f x I f x F x x f x x F x C C f x F x C C ΦΦ−=+−∞<<+∞如果在区间上有一个原函数,那么就有无限多个原函数假设和均为的原函数则为某个常数且的全体原函数所组成的集合就是函数族（4）（不定积分的定义）,()()(()),().,(),(),.I f x f x f x dx I f x dx f x f x dx x ∫∫在区间上函数的带有任意常数项的原函数称为或在区间上的不定积分记作其中记号称为积分号称为被积函数称为被积表达式称为积分变量（5）（不定积分的性质1）[]()(),()()()().f xg x f x g x dx f x dx g x dx ±=±∫∫∫设函数及的原函数存在则（6）（不定积分的性质2）(),()().f x k kf x dx k f x dx =∫∫设函数的原函数存在为非零常数,则（7）（不定积分的凑微分法第一类换元法）[]()(),(),()()()u x f u u x f x x dx f u du ϕϕϕϕ==⎡⎤′=⎣⎦∫∫设具有原函数可导则有换元公式（8）（不定积分的代入法第二类换元法）[]11()(),()0.[()](),()()(),()().t x x t x f x x f x dx f t t dt x x t ψψψψψψψψψ−−=′′=≠⎡⎤′==⎣⎦∫∫设是单调的、可导的函数并且又设具有原函数则有换元公式其中是的反函数（9）（不定积分的分部积分法）()(),.u u x v v x udv uv vdu ===−∫∫设函数及具有连续导数那么（10）（定积分的定义）[][][][][][]{}[][][]012101121112111(),,,,,,,,,,,max ,,,,,,()0,n n n n i i i n i i i ni i i i i i f x a b a b a x x x x x b a b n x x x x x x x x x x x x x x a b f x x x λξξλξ−−−−−==<<<<<=∆=−=∆∆∆∈∆→∈∑⋯⋯⋯设函数在有界闭区间上有定义，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间各个小区间的长度依次为记,令若无论区间怎么分划,在时总存在与选取无关的确定的[][][]01(),(),(),()lim (),(),(),,,,,nbi i ai I f x a b I f x a b f x dx I f x f x f x dx x a b a b λξ→===∆∑∫极限,则称函数在上是可积的,这个极限称为函数在区间上的定积分简称积分记作其中叫做被积函数叫做被积表达式叫做积分变量叫做积分下限叫做积分上限叫做积分区间.（11）（函数可积的条件1）[][](),,(),.f x a b f x a b 设在区间上连续则在上可积（12）（函数可积的条件2）[][](),,,(),.f x a b f x a b 设在区间上有界且只有有限个间断点则在上可积（13）（定积分的性质1）[]()()()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx±=±∫∫∫（14）（定积分的性质2）()()()bbaa kf x dx k f x dx k =∫∫是常数（15）（定积分的性质3）,()()()bcbaaca cb f x dx f x dx f x dx<<=+∫∫∫设则（16）（定积分的性质4）[],()1,1.b baaa b f x dx dx b a ≡==−∫∫如果在区间上则（17）（定积分的性质5）[],,()0(()0),()0(()0).b baaa b f x f x f x dx f x dx a b ≥≤≥≤<∫∫如果在区间上或则或 ()（18）（定积分性质5的推论1）[],,()(),()()().b baaa b f x g x f x dx g x dx a b ≤≤<∫∫如果在区间上则（19）（定积分性质5的推论2）()()bbaaf x dx f x dx a b ≤<∫∫ ().（20）（定积分的性质6）[](),,()()())baM m f x a b m b a f x dx M b a a b −≤≤−<∫设及分别是函数在区间上的最大值和最小值则(（21）（定积分中值定理积分中值公式）[][](),,,()()().baf x a b a b f x dx f b a ξξ=−∫如果函数在积分区间上连续则在上至少存在一个点,使得成立（22）（积分上限函数的可导性）[][](),,()(),,()()()xaxa f x ab x f t dt a b d x f t dt f x a x b dxΦ=′Φ==≤≤∫∫如果函数在区间上连续则积分上限的函数在上可导并且它的导数 ().（23）[][](),,()()(),.xaf x a b x f t dt f x a b Φ=∫如果函数在区间上连续则函数就是在上的一个原函数（24）（牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式微积分基本公式）()()[,],()()().baF x f x a b f x dx F b F a =−∫如果函数是连续函数在区间上的一个原函数则（25）（定积分的换元法）[][][]()()()(1)(),();(2)(),(,)()()().bay f x x t t x t a b t f x dx f t t dt βαϕαβϕϕαϕβϕαββαϕϕ==≤≤===′=∫∫假设函数在函数的值域上连续(),函数满足条件：在或上具有连续导数，则有（26）[][]0(1)(),,()2().(2)(),,()0.aaaaaf x a a f x dx f x dx f x a a f x dx −−−=−=∫∫∫若在上连续且为偶函数则若在上连续且为奇函数则（27）[]2200()0,1,(1)(sin )(cos );(2)(sin )(sin ).2f x f x dx f x dx xf x dx f x dx πππππ==∫∫∫∫若在上连续则（28）(),,(1)()();(2)()()().a T Taa nTTaf x T f x dx f x dx f x dx n f x dx n N ++==∈∫∫∫∫设是连续的周期函数周期为则（29）（定积分的分部积分法）[][],()(),.bbba aaa b u x v x udv uv vdu =−∫∫设在区间上函数和可导则（30）（无穷限的反常积分的定义）[)[)[)(),,,lim (),(),,(),()lim ().();,(),(),()tat taaat aaf x a t a f x dx f x a f x dx f x dx f x dx f x dx f x a f x dx f x →+∞+∞+∞→+∞+∞+∞+∞>+∞=+∞∫∫∫∫∫∫(1)设函数在区间上连续取如果极限存在则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则函数在无穷区间上的反常积分没有意义习惯上称为反常积分(](],().(2)(),,,lim (),(),,(),()lim ().();,().(aabtt bbbtt b bdx f x dxf x b t b f x dx f x b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +∞+∞→−∞−∞−∞→−∞−∞−∞−∞<−∞=∫∫∫∫∫∫∫∫发散这时记号不再表示数值设函数在区间上连续取如果极限存在则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则称反常积分发散()()03)(),,()(),(),(),()()()lim ()lim (),();t tt t f x f x dx f x dx f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +∞−∞+∞−∞+∞+∞−∞−∞→+∞→−∞+∞−∞−∞+∞−∞+∞=+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫设函数在区间上连续如果反常积分和都收敛则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分，记作即这时也称反常积分收敛否则就称反常积分().f x dx +∞−∞∫发散（31）（瑕点的定义）()()().f x a a f x 如果函数在点的任一邻域内都无界,那么点称为函数的瑕点也称为无界间断点（32）（无界函数的反常积分的定义）(](][)(),,(),lim (),(),,(),()lim ().().,().(2)(),,()btt ab b baatt ab baaf x a b a f x t a f x dx f x a b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x a b b f x ++→→>=∫∫∫∫∫∫(1)设函数在上连续点为的瑕点.取如果极限存在则称此极限为函数在上的反常积分仍然记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则称反常积分发散设函数在上连续点为的瑕点.取[],lim (),()lim ().().(3)(),(),().()()()()()lim ()l tat bbt baaat bc abbcbtcaacat ct b f x dx f x dx f x dx f x dx f x a b c a c b c f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx −−−→→→<=<<=+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫如果极限存在则定义否则,就称反常积分发散设函数在上除点外连续点为的瑕点如果两个反常积分与都收敛，则定义im ().().btt cbaf x dx f x dx +→∫∫否则,就称反常积分发散（33）（无穷限反常积分的审敛法1）[)[)(),,()0.()(),()xaaf x a f x F x f t dt a f x dx +∞+∞≥=+∞∫∫设函数在区间上连续且若函数在上有上界,则反常积分都收敛.（34）（无穷限反常积分的审敛法2比较审敛原理）[)()(),.0()()(),(),()0()()(),(),().aaaaf xg x a f x g x a x g x dxf x dxg x f x a x g x dx f x dx +∞+∞+∞+∞+∞≤≤≤<+∞≤≤≤<+∞∫∫∫∫(1)设函数和在区间上连续如果并且收敛则也收敛;(2)如果并且发散则也发散（35）（无穷限反常积分的审敛法3比较审敛法1）[)(),(0),()0.(1)01,()(),();0,()(),().p a a f x a a f x MM p f x a x f x dx xNN f x a x f x dx x+∞+∞+∞>≥>>≤≤<+∞>≥≤<+∞∫∫设函数在区间上连续且如果存在常数及使得则反常积分收敛(2)如果存在常数使得则反常积分发散（36）（无穷限反常积分的审敛法4极限审敛法1）[)(),,()0.1,lim (),()(2)lim ()0(lim ()),().p a x ax x f x a f x p x f x f x dx xf x d xf x f x dx +∞→+∞+∞→+∞→+∞+∞≥>=>=+∞∫∫设函数在区间上连续且(1)如果存在常数使得存在则反常积分收敛;如果或则反常积分发散（37）（无穷限反常积分的审敛法5）[)(),.(),().().aaaf x a f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞+∞∫∫∫设函数在区间上连续如果反常积分收敛则反常积分也收敛即绝对收敛的反常积分必定收敛（38）（无界函数的反常积分的审敛法1比较审敛法2）(](),,()0().(1)01,()(),();()(2)0()(),().b q a b a f x a b f x x a f x MM q f x a x b f x dx x a NN f x a x b f x dx x a≥=>>≤<≤−>≥<≤−∫∫设函数在区间上连续且，为的瑕点如果存在常数及使得则反常积分收敛如果存在常数，使得则反常积分发散（39）（无界函数的反常积分的审敛法2极限审敛法2）(](),,()0,().(1)01,lim ()()();(2)lim ()()0(lim ()()),().bq a x abax ax af x a b f x x a f x q x a f x f x dx x a f x d x a f x f x dx +++→→→≥=<<−−=>−=+∞∫∫设函数在区间上连续且为的瑕点如果存在常数使得存在,则反常积分收敛如果或则反常积分发散（40）（Γ函数的相关性质）21101220(1):()(0).0.(2)(1)()(0).,(1)!(3)0,().(4)()(1)(01).sin (5)(),,()2x s x s xs u s e x dx s e x dx s s s s s n N n n s s s s s ss e x dx x u s eu ππ+∞+∞−−−−+++∞−−−ΓΓ=>>Γ+=Γ>∈Γ+=→Γ→+∞ΓΓ−=<<Γ==Γ=∫∫∫函数定义反常积分对任意都收敛递推公式: 当时当时余元公式：在中作代换有2100.11121,()(1).222s u tdu t t s t s e u du t +∞−+∞−++−===Γ>−∫∫再令或即有（41）.光滑曲线弧是可求长的。

同济大学高数上册知识点

高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f xx -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量.2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a) 1sin lim 0=→x xx b) e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c)x e x ~1- （a x a x ln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （axx a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+二、导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔ 2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义； 2）基本公式； 3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）； 5）隐函数求导数；5、高阶导数1）定义：⎪⎭⎫⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22 2）Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二）微分1）定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A与x ∆无关.2）可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、 Rolle 罗尔定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.2、 Lagrange 拉格朗日中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使.3、 Cauchy 柯西中值定理：若函数)(),(x F x f 满足：1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二）洛必达法则（三） T aylor 公式（四）单调性及极值1、单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f .b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点 1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的；b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点. （五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）. （六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性. （七）渐近线1、铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线； 3、斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线. （八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分. 3、基本积分表（P188，13个公式）； 4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三）分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv（四）有理函数积分 1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：∑⎰=→∆=niiibaxfdxxf1)(lim)(ξλ2、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二）微积分基本公式（N —L 公式） 1、变上限积分：设⎰=Φxadt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三）换元法和分部积分 1、换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)(2、分部积分法：[]⎰⎰-=bab abavdu uv udv（四）反常积分 1、无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat a dx x f dx x f )(lim )( ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、瑕积分：⎰⎰+→=btat ba dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1 ,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b x a x x qb a q b a q六、定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=badx x f x fA )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、旋转体体积：a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=ba x dx x f V )(2π b)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bay dx x xf V )(2π （柱壳法）2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(12、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()( 3、极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设x y u =，则dx dux u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dydv y v dy dx += （四）一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dxx P )()()(（五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f y n =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dy dp p y =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根： 21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m xλ=设特解)(*x Q e x y m x k λ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 2102、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=，其中 },max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。

高等数学第六版（同济版）第八章复习资料汇总

高等数学第六版（同济版）第八章复习资料汇总第一篇：高等数学第六版(同济版)第八章复习资料汇总第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算一、向量的相关概念1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2.向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为或.3.向量的模：称向量的大小为向量的模，记为.4.自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5.单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作.6.零向量：称模为0的向量为零向量，记作7.两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作.(即两个向量平移后重合 8.两向量的夹角：，9.两向量平行：若非零向量与所成的角或，则称的与平行，记作.规定: 零向量与任何向量平行10.两向量垂直：若非零向量与所成的角，则称的与垂直，记作注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直 11.向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线 12.向量共面：将个向量的起点放到同一点时，若个终点与公共起点在一个平面上，则称这个向量共面.二、向量的线性运算1．向量的加减法(1).向量的加法①．运算法则：设有向量与，求与的和.I.三角形法则： II.平行四边形法则：.②.运算规律：1°.交换律：2°.结合律：注:，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即.(2).向量的减法①．负向量：称与向量同模反向的向量为它的负向量，记作②.两向量的差：称向量与向量的负向量的和为与的差向量，记作.注：特别地，当时，.③．运算法则：设有向量与，求与的差.I.平行四边形法则：.II.三角形法则：.(3).运算定理：.2．向量与数的乘法(1).定义：称向量与实数的乘积为向量的数乘.注：1°.规定是一个向量2°.3°.若，则与同向；若，则与反向；若，则.(2).运算规律：①．结合律：.②．分配律：.(3).性质①．向量的同向单位向量：，.②．向量平行的充要条件(定理)：若向量，则向量平行于唯一的实数，使③．数轴上的点的坐标为的充要条件为：，其中向量为数轴的单位向量，实数称为有向线段的值.例1.如图，用、表示、、以及，进而.又，故，进而三、空间直角坐标系解：由于，故1.空间直角坐标系：坐标系或坐标系2.坐标面：面；面；面.3.卦限：；；；；；；；4.空间点的坐标：(向径).(1).向量的坐标分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐标：.(4).点的坐标：注：1°.面上点的坐标：；2°.轴上点的坐标：；面上点的坐标：；轴上点的坐标：；面上点的坐标：.z轴上点的坐标：四、利用坐标作向量的线性运算：设，.1.向量线性运算的坐标表示：(1).加减法：.(2).数乘：(3).两向量平行：注：1°.若，则2.若，则例2.已知，求线性方程组的解向量解：方程①乘2减去方程②乘3得：，方程①乘3减去方程②乘5得：例3.已知两点、在直线AB上求一点M，使.及实数，解：因为，因此有，整理得，代入坐标得，从而得到点M的坐标注：线段AB中点坐标公式五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间距离公式：(1).向量的模：，.(2).两点间距离公式：点与之间的距离：推导：因为，所以例4.求证以三点、、为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点间距离公式，有；；，由于，故为等腰三角形.例5.在z轴上求与两点、等距离的点.解：由题可设所求点为，有，即，整理得，故所求点为.例6.已知两点、，求与同向的单位向量解：因为，所以，于是 2.方向角与方向余弦(1).向量的方向角：称非零向量与三条坐标轴的夹角为向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.；2°..例7.已知两点、，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，从而有于是，，由此可得例8．设点A位于第I卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为的坐标、，且，求点A，解：由于，并且，有由题可知，故，于是，故点A的坐标为.3.向量在轴上的投影(1).向量在轴上的投影：设向量与u轴正向的夹角为，称数为向量在u轴上的投影，记作或注：向量在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即，(2).投影的性质：①．.②．例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|= a，求在解：记，有，于是.§8.2数量积、向量积一、两向量的数量积1．常力沿直线所作的功：2.两向量的数量积(1).定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积为与的数量积，内积或点积，记作注：1°.2°..3°..(2).运算规律①．交换律：.(由定义可知)②．分配律：③．结合律：； 3.两向量数量积的坐标表示式：若，则4.两非零向量夹角余弦的坐标公式：例1.试用向量证明三角形的余弦定理：.解：在中，记，，，有，从而，即例2.已知三点、和，求解：由题可得，于是，故例3.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m(液体的密度为解：单位时间内经过该区域的液体的体积为，所求质量为.二、两向量的向量积1.力对支点的力矩：模：；方向：与及的方向成右手规则.2.两向量的向量积(1).定义：设有向量与，夹角为，称为与的向量积(叉积、外积)，其中，方向与和的方向符合右手规则，记作.注：1°.2°.3°.的几何意义：以与为邻边的平行四边形的面积.(2).运算规律①．反交换律：.②．分配律：.③．结合律：(3).两向量的向量积的坐标表示式：设，则.例4..证明：在三角形中，记，，由于，即，整理得.例5.设，计算解：.例6.已知三角形ABC 的顶点分别是、和，求三角形ABC的面积解：由于，有，于是.例7.设刚体一角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解：在轴l上引进一个角速度向量，使，其方向与旋转方向符合右手法则，在l上任取一点O，作向径，它与的夹角为，则点M离开转轴的距离，由物理学中线速度和角速度的关系可知，且、、符合右手规则，于是.§8.3曲面及其方程一、曲面方程的相关概念1.曲面方程：若曲面S上任一点的坐标都满足方程，且不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S的方程，而称曲面S为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1).已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2).已知关于点的坐标、、之间的一个方程，研究该方程所表示曲面的形状例1.建立球心在点、半径为R的球面方程解：设为所求球面上任一点，有，即，整理得例2.设有点和，求线段AB的垂直平分面的方程.解：设为所求平面上任一点，由题意，有，即，整理得例3.方程表示怎样的曲面？解：原方程变形为，表示以为球心，以5为半径的球面.二、旋转曲面1.定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2.旋转曲面的方程：曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.(绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁推导：在曲线C上任取一点，有，且点到z轴的距离.当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴旋转到点，其中，点到z轴的距离，由于，有，即，代入曲线方程有注：1°.曲线C：绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：2°.曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：3.常见旋转曲面及其方程(1).圆锥面及其方程①．圆锥面：称由直线L绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角为圆锥面的半顶角②．圆锥面的方程：以坐标原点o为顶点，以为半顶角，以z轴为旋转轴的圆锥面的方程为：，其中推导：在坐标面上，过原点且与z轴夹角为的直线方程为，于是，直线L绕z轴旋转而成的圆锥面的方程为，整理得注：1°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以x，其中2°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以y，其中(2).旋转双曲面及其方程①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双叶双曲面②．旋转双曲面的方程：(双曲线：.旋转单叶双曲面的方程：(绕z轴旋转.旋转双叶双曲面的方程：(绕x轴旋转)三、柱面1.柱面的定义：称由直线L沿定曲线C平行于定直线l 移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C为柱面的准线，动直线L为柱面的母线.2.几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁(1).圆柱面：.(准线为坐标面上的圆：，母线平行z轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行x 轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行y轴(2).过坐标轴的平面：，过z 轴，准线为坐标面上的直线，过x轴，准线为坐标面上的直线.，过y 轴，准线为坐标面上的直线四、二次曲面 1.椭球面：.2.椭圆锥面： 3.单叶双曲面：.4.双叶双曲面：5.椭圆抛物面：.6.双曲抛物面：7.椭圆柱面：.8.双曲柱面： 9.抛物柱面：§8.4空间曲线及其方程一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C.二、空间曲线的方程1.一般式(面交式)方程：例如：表示圆柱面与平面的交线.表示上半球面又如：与圆柱面的交线 2.参数方程：，其中点随着参数t的变化遍历曲线C 例1.称由点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，又同时以线速度v沿平行z轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程解：取时间t为参数，对应点，对应点，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋线的参数方程为，令，则螺旋线的参数方程为三、空间曲线在坐标面上的投影 1．投影柱面：称以空间曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面为曲线C关于坐标面的投影柱面2.空间曲线的投影：称空间曲线C关于坐标面的投影柱面与坐标面的交线为空间曲线C在坐标面上的投影曲线，也称为投影3.空间曲线的投影方程：空间曲线C：在坐标面上的投影方程，其中为方程组消去z所得的投影柱面方程.注：1.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为2°.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为例2.求曲线在坐标面上的投影方程.解：现求曲线C在关于坐标面上的投影方程，将方程组消去z 得投影柱面方程：，于是所求投影方程为例3.求由上半球面和锥面所围成的立体在坐标面上的投影解：先求曲线关于坐标面的投影方程，消去z 在坐标面上的投影方程为，从而所求投，故曲线影为圆域：§8.5平间及其方程一、平面的点法式方程1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量2.平面的点法式方程：过点，以向量为一法向量的平面推导：在平面上任取一点，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点不在平面上，则向量不垂直法向量，从而，即不在平面上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面的点法式方程.例1.求过点且以为法向量的平面的方程解：由平面的点法式方程得，整理得.例2.求过三点、和的平面的方程解：先求所求平面的一个法向量，由题可得向量，可取，于是所求平面的方程为，整理得.二、平面的一般方程1.平面的一般方程：(*)推导：若点满足方程(*)，则有，(**)两方程相减得，(*** 方程(***)为过点，以向量为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)为平面的一般方程，其一法线向量为2.几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁(1).过原点的平面方程：，法向量为.(2).平行x轴的平面方程：，法向量为(3).垂直于x轴(平行坐标面)的平面方程：，法向量为.例3．求通过x轴和点的平面的方程解：由题意，可设所求平面的方程为：，(*)又点在该平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.设一平面与x、y、z轴的交点依次为、，求该平面的方程解：设所求平面的方程为，(*)将PQR三点坐标代入得，，代入方程(*)，从而有所求平面方程为，称之为平面的截距式方程三、两平面的夹角及点到平面的距离得1.两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角 2.两平面夹角的余弦：设平面1的法线向量为，平面，两平面的夹角为，则注：1°..2°.3.点到平面的距离：平面外一点到平面的距离为推导：在平面上任取一点，过点作平面的一法向量，有，由于，，由于于是，又点在平面上，故有，从而例5.求两平面和的夹角.解：由两平面夹角余弦公式，故所求夹角为例6.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程.解：设所求平面的一个法线向量为，由题可知向量在平面上，已知平面的一个法线向量为，由题意有，有；，有；由以上两方程可得，故所求平面的法线向量为，于是所求平面的方程为，整理得另解：由题可知所求平面上一向量，又已知平面的一个法线向量为，易知不平行于，故可取所求平面的一个法线向量为，于是所求平面方程为：，整理得第六节空间直线及其方程一、空间直线：称空间两平面1、的交线为空间直线.二、空间直线的方程1.一般(面交式)方程：2.对称式(点向式)方程(1).直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量(2).直线的点向式方程：过点以向量为方向向量的直线L.推导：在直线L上任取一点，有向量，由于，故有，(*)即直线L上点的坐标都满足方程(*)反之，若点不在直线L上，则由于不平行，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L 的方程，称为直线的对称式或点向式方程.注：1°.mnp不同时为零2°.若，则直线L的方程为，即平面上的直线3°.若，则直线L的方程为，即平面与交线，过点且平行z轴 3.参数方程：注：一般式对称式参数式例1.用对称式方程以及参数方程表示直线解：先找出该直线上一点：不妨取，代入原方程组得，解得，即为该直线上一点再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为，故可取.，得到所给直线的参数方程：令.三、两直线的夹角 1.两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角 2.两直线夹角的余弦：直线的方向向量为，直线的方向向量 ,两直线的夹角为，则注：1°.2°.例2.求直线.和的夹角.解：由题可知直线的方向向量为，直线的方向向量为，设的夹角为，则由两直线夹角余弦公式得故四、直线与平面的夹角 , 1.直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影直线的夹角为直线与平面的夹角..2.直线与平面夹角的正弦：若直线的方向向量为，平面为.与的夹角为，则.注：1°.2°..例3.求过点且与平面垂直的直线的方程解：由题意，可取为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为.五、平面束及其方程1.平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束2.平面束的方程：设有直线，其中与不成比例则通过直线的平面束的方程为：.注：该平面束不包含平面例4.求直线在平面上的投影直线的方程解：过直线的平面束的方程为，即，其中为待定常数.由题可知，该平面与已知平面垂直，故，即，解得.由此可得所给直线关于所给平面的投影平面的方程为，整理得,故所求投影直线的方程为.六、点到直线的距离：直线外一点到直线的距离为：为直线上的一点推导：在直线上任取一点，有向量，设点到直线的距离为，由于，故例5.求点的距离.解：由题可知，所给直线的方向向量为，点，由平面外一点到直线的距离公式得：.七、杂例：例6.求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程.解法一(点向式由题可知两已知平面的法向量分别为和，故可取线的一个方向向量，即，于是所求直线方程为.解法二(一般式过点且与平面平行的平面方程为，过点平行的平面方程为以所求直线方程为例7.与平面的交点.解：易知所给直线的参数方程为，，解得，代入直线的参数方程得所求交点的坐标例8.求过点垂直相交的直线方程.第二篇：高等数学第六版(同济版)第九章复习资料[模版]第九章多元函数微分法及其应用引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至元函数上去第一节多元函数的基本概念一、平面点集的相关概念 1.平面点集：具有性质P} 例如：，其中点表示点2.邻域：(1).邻域：(2).去心邻域：3.坐标面上的点与平面点集的关系：(1).内点：若，使，则称为的内点.(2).外点：若，使，则称为的外点(3).边界点：若，且，则称为的边界点边界：的边界点的全体称为它的边界，记作.(4).聚点：若，则称为的聚点导集：的聚点的全体称为它的导集注：1°.若为的聚点，则可以属于，也可以不属于2°.内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：；.4.一些常用的平面点集：(1).开集：若点集的点都是其内点，则称为开集(2).闭集：若点集的边界，则称为闭集.(开集加边界(3).连通集：若中任何两点都可用属于的折线连接，则称为连通集.(4).开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域.(5).闭区域：开区域加上其边界称为闭区域例如：为区域.为闭区域.(6).有界集：若，使，则称为有界集.(7).无界集：若，使，则称为无界集二、维空间：对取定的自然数，称元数组的全体为维空间，记为.注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间.三、多元函数的概念 1.，或，其中因映自变变量射量定义域：D 值域：注：可推广：元函数：，.例: 1.，2.，2.几何表示：函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:.四、二元函数的极限1.定义：设函数的定义域为，点若，，为，满足，则称为当，称之为的二重极限例1.设证明：，要使不等式，求证成立，只须取，于是，，总有，即例2.不存在，其中证明：当沿直线趋于时，总有，随着的不同而趋于不同的值，故极限不存在例3.求极限五、二元函数的连续性 1.二元函数的连续性:设函数的定义域为D，点为D的聚点，且，则称在点连续 2.二元函数的间断点: 设函数的定义域为D，点为D的聚点，若在点不连续，则称为的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点.3.性质：设D为有界闭区域(1).有界性：，有(2).最值性：，使得，有(3).介值性：，使得.4.二元连续函数的运算性质(1).和、差、积仍连续；(2).商(分母不为零)连续；(3).复合函数连续.5.二元初等函数及其连续性(1).二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.(2)..例4.，则解：令例5...(分子有理化)第二节偏导数引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数.一、偏导数的相关概念1.偏导数：设函数在点的某邻域内有定义，把暂时固定在，而处有增量时，相应地有增量.若极存在，则称此极限值为函数在点处对的；或注: 1°..2°..2.偏导函数：若函数在区域D内每一点处对或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数, 或；或.注：可推广：三元函数在点处对的偏导数定义为例1.求在处的偏导数.，.例2.求的偏导数.，.例3.求的偏导数.，..3.偏导数的几何意义(1).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率(2).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率.4.函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系.(1).函数在点处偏导数存在，但它在点却未必连续例如：函数在点的两个偏导数都存在，即，.不存在，故在点不连续(2).函数在点连续，但它在点处却未必存在偏导数例如：函数在点连续，但它在点对及的偏导数都不存在，这是因为：，即在点对及的偏导数都不存在.二、高阶导数1.二阶偏导数：若函数对及的偏导数及对及的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数记作：；；(二阶纯偏导数)；.(二阶混合偏导数)(二阶纯偏导数注：1°.一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为它的阶偏导数2°.二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数.3°.二元函数的阶偏导数至多有个.例4.设，求它的二阶偏导数.；；；；；.总结：从这一例题，我们看到：，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如：，在点，有，事实上，；而，，于是，，即那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理：2.二阶混合偏导数的性质定理：若函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续，则它们在D内必相等，即注：1°.可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.2°.一般地，若二元函数的高阶混合偏导数都连续，则的阶偏导数只有个第三节全微分一、全微分的相关概念1.偏增量：称为函数对的偏增量称为函数对的偏增量2.偏微分：称与为对及的偏微分.注：，但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量、时，相应的函数增量与自变量的增量、之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量.3.全增量：称为函数在点、的全增量一般来讲，计算全增量是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用、的线性函数来近似代替函数的全增量，为此，引入了全微分4.全微分：若函数在点的某领域内有定义，且在的全增不依赖于、，可表示为，其中而仅与、有关，则称在点可微分，而称为在点的全微分，记作，即若在区域D内每一点都可微分，则称在D内可微分.注：我们知道，当一元函数在点的微分存在时，那么，当二元函数在点的全微分存在时，、又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到、的值.二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系1．函数可微分的必要条件定理1.若函数在点可微分，则它在点的两个偏导数必定存在，且在点的全微分证明：由于在点可微分，则有，。

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点(可编辑修改word版)

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加 C ）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）4、空间平面5、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1 则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2 称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1… 中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。