3-1高等数学同济大学第六版本
同济第六版高等数学教材pdf文档
同济第六版高等数学教材pdf文档同济大学第六版高等数学教材PDF文档数学是一门广泛应用于各个领域的学科，也是很多学生在学习过程中遇到的难题之一。
为了提供更好的教学资源和辅助学习工具，同济大学编写了第六版高等数学教材，并提供了PDF文档的电子版本供学生使用。
同济大学的高等数学教材是一本经典的教材，在教育界具有很高的声誉。
第六版的教材经过了全面的修订和更新，内容更加丰富，涵盖了高等数学的各个分支和重要概念。
教材的编写者是经验丰富的教授和专家，他们在数学教育领域拥有广泛的知识和经验。
PDF文档是一种电子文档格式，与传统的纸质书籍相比，具有很多优势。
首先，PDF文档可以在电脑、平板电脑、手机等多种设备上进行阅读，方便学生随时随地进行学习。
其次，PDF文档具有搜索功能，学生可以通过关键词快速查找到需要的知识点，提高学习效率。
此外，PDF文档还可以进行标注和批注，学生可以在文档中进行重要内容的标记和笔记，方便复习和回顾。
同济大学提供高等数学教材的PDF文档，为学生提供了便捷的学习资源。
学生可以通过在同济大学官方网站或其他合法渠道进行下载，获取到完整的教材内容。
同时，为了方便学生学习，同济大学还提供了答案和解析的附录，学生可以通过对照答案检查自己的学习情况，并理解解题思路和方法。
在使用同济大学高等数学教材的PDF文档时，我们需要注意以下几点。
首先，由于该教材是版权所有，学生应该遵守版权法律的规定，不得非法传播和使用。
其次，学生应该认真阅读教材的内容，根据自己的学习进度和需要进行学习和复习。
此外，如果学生在学习过程中遇到困难或问题，应该及时向老师和同学寻求帮助，共同解决问题。
综上所述，同济大学第六版高等数学教材的PDF文档是学生学习高等数学的重要资源。
通过利用这一资源，学生可以更加便捷地学习和理解数学知识，提高数学水平。
但同时也要注意合法使用教材，遵守版权法律的规定。
希望同济大学的高等数学教材能够帮助到更多的学生，促进他们在数学学习中取得更好的成绩。
同济大学数学系《高等数学》(第6版)上册笔记和课后习题(含考研真题)详解-微分中值定理与导数的应用(
在带有佩亚诺型余项的泰勒公式中，如果取 x0＝0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林 公式：
。 如 果 存 在 正 实数 M 使得 区 间 （ -r， r ） 里 的任意 x 都 有
，如果当 n 趋向于无穷大时，
，则
，那么 。
可得近似公式：
。
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四、函数的单调性 微分中值定理，强调了函数值与导数之间的关系。这部分主要介绍如何通过函数的导数 来判定函数的单调性或凹凸性等性质。 1．单调性的判定 【定理】设函数 y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f＇（x）＞0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f＇（x）＜0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调减少； 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。 这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。
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那么在（a，b）内至少有一点 ε，使等式
成立。
拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。
二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必 达法则针对 或 形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读 者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当 x→a 时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零； （2）在点 a 的某去心邻域内，f＇（x）及 F＇（x）都存在且 F＇（x）≠0；
（3）Biblioteka 存在（或为无穷大），那么
。
高等数学同济第六版教材pdf
高等数学同济第六版教材pdf 高等数学是大学理工科专业中必修的重要课程之一，对于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力具有重要意义。
而同济大学的《高等数学》第六版教材在教学界具有很高的声誉和影响力。
对于学习这门课程的学生来说，拥有一本全面且详细的教材十分重要。
在这里，我将介绍并推荐同济第六版教材的PDF版本，帮助大家更好地学习高等数学。
第一部分：教材简介同济大学的《高等数学》第六版教材由同济大学出版社出版，作者为王立平等。
这本教材共分为上下两册，内容涵盖了高等数学的基础知识以及一些较为深入的内容。
教材的编写风格通俗易懂，逻辑清晰，注重理论与实践相结合。
并且，该教材还融入了一些生活中的实际问题，帮助学生将数学理论应用于实际情境中。
第二部分：教材内容概览《高等数学》第六版教材共包含十章内容，分别是函数与极限、微分学、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与柯西公式、定积分应用、微分方程、无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学与多元函数积分学。
每章内容都有详细的讲解和大量的习题，帮助学生巩固知识并提高解题能力。
第三部分：PDF版本介绍同济大学的《高等数学》第六版教材的PDF版本是在线阅读和下载的电子书籍。
相比于纸质版教材，PDF版本有以下几个优点：1. 方便携带：由于PDF版本可以保存在电子设备中，学生可以随时随地进行学习，解决了携带纸质教材的不便。
2. 搜索功能：PDF版本具有搜索功能，可以快速定位特定的知识点或者习题，提高学习效率。
3. 多媒体支持：PDF版本可以嵌入图片、音频和视频等多媒体元素，使学习过程更加生动有趣。
4. 环保节约：PDF版本无需印刷和运输，节约了纸张资源，符合现代社会的可持续发展理念。
第四部分：获取PDF版本方法要获取同济大学《高等数学》第六版教材的PDF版本，可以通过以下途径进行：1. 在线教育平台：许多在线教育平台提供免费或付费的电子教材下载服务，学生可以登录平台并搜索《高等数学》第六版教材进行获取。
高等数学主要版本教材
高等数学主要版本教材高等数学作为大学的一门基础课程，对于学生的数学素养和逻辑思维能力的培养具有重要意义。
不同于中学的数学教学，高等数学的内容更加深入和抽象，因此教材的选择对于学生的学习效果具有决定性的影响。
本文将就高等数学主要版本教材进行探究和分析，并提出一些建议。
一、教材一：《高等数学》（第六版），同济大学出版社同济大学出版社的《高等数学》（第六版）是目前国内高等数学教材中最主要的版本之一。
该教材以数学分析为主线，全面系统地阐述了高等数学的基本概念、理论和方法。
教材内容丰富，涵盖了微积分、线性代数、概率统计等多个领域，并且难度层次适宜，能够满足大多数高校本科数学专业的教学需求。
该教材的编写特点是注重理论与实践的结合。
每一章的开始都有一幅生活中的实例，通过具体问题引入数学概念和方法，增强了学生的兴趣和理解。
同时，教材注重基本概念的讲解和推理证明的引导，可以帮助学生建立扎实的数学基础和逻辑思维能力。
二、教材二：《数学分析》（第二版），高等教育出版社高等教育出版社的《数学分析》（第二版）是在国内多所高校使用的一本主要版本教材。
该教材注重数学分析的方法和技巧，以及概念的严密性和推导的准确性。
教材所涉及的内容包括微积分、级数、向量和多元函数等，并对这些概念和方法进行了详细的阐述。
教材的编写风格注重推导和证明的完整性，对于数学公式和定理的推导过程进行了详细的描述和解释，能够帮助学生建立起严谨的数学思维和证明能力。
此外，教材还提供了大量的练习题和例题，能够帮助学生巩固所学的知识并培养解决实际问题的能力。
三、教材三：《高等数学》（第七版），人民教育出版社人民教育出版社的《高等数学》（第七版）是一本经典的高等数学教材，深受广大学生和教师的喜爱。
该教材继承了前几版教材的特点，强调数学思维、积累和应用，通过具体的应用问题引导学生掌握数学分析的基本方法。
该教材的编写风格干练简练，语言通俗易懂，条理清晰，符合大学生的学习习惯。
第六版高等数学同济版教材
第六版高等数学同济版教材第一章函数与极限函数是数学中的一种基本概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
在高等数学中，函数的概念被广泛应用于各个分支领域，如微积分、线性代数等。
本章将介绍函数的定义、性质以及与极限的关系。
1.1 函数的定义函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合。
在数学中，常用符号表示函数，如f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的函数值。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
1.2 函数的性质函数具有多个性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
奇偶性指函数关于原点的对称性，周期性指函数在一定区间内重复出现的性质，单调性指函数随自变量变化的方向性。
1.3 极限的概念极限是函数与自变量趋于某个值时的特殊性质。
在同济版教材中，极限的定义包括数列极限和函数极限。
数列极限是指数列中的数值随着序号的增加逐渐接近某个值，函数极限是指函数在某个点附近的取值逐渐趋近于某个值。
第二章一元函数微分学一元函数微分学是高等数学中的重要分支，涵盖了函数的导数与微分以及相关应用。
本章将介绍导数的定义、运算法则以及一些典型函数的导数计算方法。
2.1 导数的定义导数描述了函数在某一点附近的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的定义包括了函数的极限和斜率的概念，可以通过极限计算得到。
2.2 导数的运算法则导数具有多个运算法则，如和差法则、乘法法则、链式法则等。
这些法则用于简化函数导数的计算步骤，提高计算效率。
2.3 典型函数的导数计算一些常见函数的导数计算方法被广泛应用于微分学中。
如幂函数、指数函数、对数函数等，它们的导数计算方法需要掌握并灵活运用。
第三章函数的应用函数的应用十分广泛，可以用于解决实际问题、描述自然现象以及进行科学建模等。
本章将介绍一些常见的函数应用领域，并探讨如何将数学理论与实际问题相结合。
3.1 函数建模函数建模是将实际问题转化为数学模型的过程，通过构建适当的函数关系，描述问题的规律和特征。
高等数学教材六版同济大学
高等数学教材六版同济大学高等数学是大学阶段数学教育的重要组成部分，其教材的选择对于学生的学习和掌握数学知识具有至关重要的影响。
同济大学出版社出版的《高等数学》教材第六版是在前几版的基础上进行了全面的修订和更新。
本文将从教材在内容设计、语言表达和教学方法等方面的特点进行探讨，以及对于教学效果的评价。
一、内容设计《高等数学》教材六版同济大学在内容设计上力求科学系统、结构完整、层次清晰。
教材按照数列与极限、微积分、多元函数与微积分、曲线积分与曲面积分、常微分方程等模块进行划分，每个模块下又有多个章节，以确保学生可以按照系统的顺序学习和掌握知识。
同时，教材还减少了一些难度较大或过于专业的内容，根据当前数学教育的需求和学生的实际情况进行了适度的精简。
二、语言表达教材的语言表达是影响学生理解和掌握知识的重要因素。
《高等数学》教材六版同济大学在语言表达上力求准确简明、通俗易懂。
教材使用了通俗的语言，避免过多的数学符号和专业名词，力求让学生能够轻松理解和消化知识。
同时，教材还合理设置了很多例题和习题，通过具体实例的引导，帮助学生更好地理解和应用所学的数学知识。
三、教学方法《高等数学》教材六版同济大学在教学方法上强调理论联系实际、因材施教。
教材在每个章节都融入了大量的实际问题和应用背景，旨在帮助学生理解数学知识与现实生活的联系。
此外，教材还提供了一些解题技巧和思维方法，帮助学生培养良好的数学思维和解决问题的能力。
同时，教材还针对不同学生的学习特点和水平，设置了不同难度和类型的习题，以巩固和提高学生对于知识的掌握程度。
评价《高等数学》教材六版同济大学作为一种教学工具，在教学实践中受到了广大师生的肯定。
教材的内容设计合理，覆盖了高等数学的各个重要知识点，层次清晰，条理清楚。
同时，教材的语言表达简明通俗，容易理解，符合学生的接受水平。
教材提供的大量例题和习题，为学生的巩固和提高提供了可行的途径。
此外，教材还注重培养学生的数学思维和问题解决能力，增强了学生对数学学科的兴趣和掌握能力。
高等数学同济六版教材
高等数学同济六版教材高等数学是大学数学教育的重要组成部分，而同济大学编写的《高等数学》六版教材则是其中备受瞩目的经典之作。
本文将通过对高等数学同济六版教材的介绍和评价，帮助读者更好地了解和选择这本教材。
一、教材概述高等数学同济六版教材是针对大学本科高等数学教学而编写的一套教材系列，该教材由同济大学数学系编写并出版。
全套教材共分为上下两册，涵盖了数学分析、微分方程、空间解析几何、多元函数微积分等课程内容。
这套教材的编写立足于数学基本概念和基本原理的讲解，注重培养学生的数学思维和解题能力。
二、教材特点1. 系统性和完整性：高等数学同济六版教材从数学的基础概念开始，循序渐进地引入各个数学分支的知识。
教材内容结构合理，章节之间有着明确的逻辑关系，构成了一个科学完整的数学知识体系。
2. 知识清晰和逻辑性：教材在讲解数学知识时，注重概念的明确解释和理论的准确阐述。
数学推导和证明的过程详细清晰，逻辑性强，有助于学生深入理解数学的基本原理和方法。
3. 难度适中和实用性：教材在难度控制上适中，既考虑了数学基础的夯实，又具备一定的拓展性和深入性。
教材中融入了大量的实例和应用问题，使数学理论与实际问题相结合，提高了学生解决实际问题的能力。
4. 纸质优良和版式美观：高等数学同济六版教材采用了优质的纸张和印刷技术，使阅读体验更加舒适。
同时，教材的版式设计简洁美观，重点内容和例题清晰突出，方便学生查阅和理解。
三、教材的使用建议1. 学习过程中的配套教材：高等数学同济六版教材是一本经典教材，但在学习过程中不可避免地会遇到难点和疑惑。
此时，学生可以配套使用一些高等数学的辅导教材，如习题集、解题指南等，以巩固和加深对教材内容的理解。
2. 多做习题和实例题：教材的每一章都附有大量的习题和实例题，在学习过程中应主动参与，积极完成习题和实例题的练习，以提高数学思维和解题能力。
3. 多使用参考资料：除了教材本身，学生还可以查阅一些高等数学的参考资料和网络课程，扩展自己的数学知识面，了解更多的数学应用场景和问题解决方法。
高等数学第六版上下册全同济大学出版社
B ABAc
y
特例: R R 记 R2
为平面上的全体点集
高等数学第六版上下册全同济大学 出版社
B AB
OA x
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二、 映射
引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
高等数学第六版上下册全同济大学 出版社
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引例2.
引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
高等数学第六版上下册全同济大学 出版社
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
引例2
高等数学第六版上下册全同济大学 出版社
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
高等数学第六版上下册全同济大学 出版社
(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
y 1 x
值域 f (D) [0, ) y 2 x
f
(Leabharlann 1 2)21 2
2
O
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
高等数学教材 同济第六版
高等数学教材同济第六版同济大学高等数学教材第六版近年来，随着高等教育的普及和数学科学的不断发展，高等数学教材也逐渐得到了更新和改进。
其中，同济大学《高等数学》教材第六版作为一部经典教材，以其全面、准确和易于理解的特点，被广大师生所喜爱和推崇。
一、总体结构和特点同济大学《高等数学》教材第六版采用了模块化的教学方式，将数学知识划分为不同的章节和单元，以便学生更好地理解和应用。
教材以数学的逻辑性为主线，分为微积分、常微分方程、多元函数微分学、多重积分学、曲线积分与曲面积分以及无穷级数六个模块。
该教材注重培养学生的数学思维能力，突出解决实际问题的能力培养，通过大量的例题和习题，引导学生理解和运用数学知识。
同时，教材还注重数学的应用，将数学与实际生活和其他学科有机结合，提供丰富的实例和应用案例，培养学生的实际应用能力。
二、微积分模块《高等数学》教材第六版的微积分模块从极限、连续、导数和不定积分等基本概念开始，循序渐进地引导学生理解微积分的基本理论和方法。
在介绍微积分的基本概念后，教材详细讲解了一元函数微分学、一元函数积分学以及微分方程，其中又以一元函数微分学为重点。
三、常微分方程模块在解析几何学和代数学的基础上，常微分方程模块引入了常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及解法。
教材中给出了丰富的例题和习题，帮助学生掌握不同类型的常微分方程的求解方法，并应用到实际问题中。
四、多元函数微分学模块多元函数微分学模块主要介绍了二元函数及其极限、偏导数、全微分和二元函数的极值问题。
通过引入隐函数和参数方程，教材进一步拓宽了学生对多元函数微分学的理解，并引导学生运用所学知识解决实际问题。
五、多重积分学模块多重积分学模块对二重积分和三重积分进行了系统讲解，包括积分的概念、计算方法以及重要的应用。
通过大量的实例引导，学生能够灵活运用多重积分解决几何、物理、概率等领域的问题。
六、曲线积分与曲面积分模块曲线积分与曲面积分模块是《高等数学》教材第六版的重点难点内容，对曲线积分与曲面积分的概念、计算方法以及物理意义进行了详细讲解。
高等数学同济第六版教材
高等数学同济第六版教材高等数学是一门应用广泛且重要的数学学科，它是大学数学基础课程的重要组成部分。
同济大学编写的高等数学教材是高等院校广泛采用的教材之一，本文将对同济第六版高等数学教材进行简要介绍，包括教材的编写特点、内容概述以及对学习者的帮助等方面进行阐述。
一、教材的编写特点同济第六版高等数学教材的编写特点主要体现在以下几个方面：1. 结构完善：教材分为上、下两册，涵盖了高等数学的核心内容，内容按照连续性和系统性的原则编排，层次清晰。
每个章节的内容都有明确的目标和安排，使学习者能够逐步深入学习。
2. 理论与实践结合：教材注重理论与实践相结合，以解决实际问题为导向，旨在帮助学习者将数学知识应用到实际场景中。
通过具体的例子和习题，学习者能够更好地理解和掌握数学的应用方法和技巧。
3. 高度概括：教材对高等数学的各个分支进行了概括性的介绍，包括微积分、线性代数、概率统计等内容。
同时，教材还对一些常见的数学应用进行了介绍，如最小二乘法、微分方程的应用等，使学习者对数学的应用领域有更为全面的认知。
二、教材内容概述同济第六版高等数学教材的内容主要包括以下几个方面：1. 极限与连续：教材首先介绍了极限的概念和性质，包括数列极限、函数极限和无穷小量等内容。
接着，教材讨论了连续函数的基本性质和运算规则，引入了导数的概念和计算方法。
2. 导数与微分：教材详细介绍了导数的定义、性质和运算法则，包括高阶导数、隐函数与参数方程的导数等内容。
同时，教材还深入探讨了微分的概念和应用，如极值与最值、微分中值定理等。
3. 不定积分与定积分：教材重点介绍了不定积分和定积分的定义和性质，包括换元积分法、分部积分法、定积分的几何意义与物理应用等内容。
此外，教材还详细介绍了多元函数的偏导数、全微分和多元积分等知识。
4. 微分方程：教材通过具体问题引入了微分方程的概念和解法，包括一阶微分方程、二阶线性常系数齐次微分方程等内容。
此外，教材还介绍了微分方程的应用，如生物学模型、物理学问题等。
高等数学(第六版)(2007年高等教育出版社出版的图书)
教学资源
《高等数学（第六版）》提供有电子教案、与纸质教材内容配套的数字课程资源、《高等数学》MOOC课程 。
社会评价
《高等数学（第六版）》作为中国国内很多大学都在用的教材，它的优点在于：教材编写以显示微积分的直 观性与广泛的应用性为侧重；教材编写体现以人为本的教育理念；教材编写渗透现代化教学思想和手段，特别加 强学生应用能力的培养。缺点在于：有些抽象的内容处理不适当；针对性不强；与中学数学有一定的脱节 。 （南通大学理学院讲师严冬梅）
册出版，上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应 用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容，书末还附有二、三阶行列式简介、几种常用的曲线、积分表、 习题答案与提示 ；下册包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积 分、无穷级数等内容，书末还附有习题答案与提示 。
该书分上、下两册出版，上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积 分及其应用、微分方程等内容 ；下册包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲 线积分与曲面积分、无穷级数等内容 。
成书过程
《高等数学（第六版）》是同济大学数学系编《高等数学》的第六版，依据“工科类本科数学基础课程教学 基本要求”，为高等院校工科类各专业学生修订而成。
作者简介
同济大学数学系：始建于1945年，解放后几经调整，于1980年恢复应用数学系，2006年定名为数学系，2016 年发展为同济大学数学科学学院 。
同济教材第六版高等数学
同济教材第六版高等数学高等数学是大学本科数学的重要基础课程之一，对于学生的数学素养和综合能力的培养有着重要的作用。
同济教材第六版是高等数学领域的经典教材之一，本文将对其进行简要介绍，并探讨其在数学教育中的应用。
一、同济教材第六版的特点同济教材第六版以系统全面、知识点准确、逻辑性强为特点。
它以数学的发展历程为线索，将数学的基本概念、基本理论和基本方法有机地结合在一起，使学生在学习数学的同时能够了解其发展历程，增强数学的应用能力。
同济教材第六版注重理论与实践的结合，通过大量的例题和习题，使学生能够将数学理论应用于实际问题的解决中。
同时，教材中的习题设置循序渐进，从易到难，逐步提高学生的解题能力和思维能力。
二、同济教材第六版在数学教育中的应用1.提高教学效果同济教材第六版的编写遵循了教学大纲，将数学的基本概念和理论进行了系统化的整合，帮助学生建立起全面且正确的数学思维方式。
这样有利于学生对数学知识的掌握，提高教学效果。
2.培养学生的问题解决能力同济教材第六版通过丰富的例题和习题，引导学生深入理解数学的概念和方法，并将其应用于实际问题的解决中。
这样能够培养学生的问题解决能力，提高他们的数学思维能力和创新能力。
3.促进学生的综合能力发展同济教材第六版注重培养学生的综合能力，通过纵向和横向的扩展，使学生能够将不同的数学概念和方法进行整合，从而解决复杂的数学问题。
这样可以促进学生的思维发展和综合能力的提高。
4.激发学生对数学的兴趣同济教材第六版在编写过程中注重启发学生的兴趣和好奇心，通过生动有趣的例题和实际应用问题，激发学生对数学的兴趣。
这样能够增强学生的学习动力，提高他们对数学的理解和掌握。
三、结语同济教材第六版高等数学作为一部经典教材，在数学教育中发挥着重要的作用。
它通过系统全面的教学内容、准确的知识点和逻辑性强的编排，帮助学生全面理解和掌握高等数学的基本概念和方法。
同时，教材注重理论与实践的结合，培养学生的问题解决能力和综合能力。
同济六版高等数学教材
同济六版高等数学教材同济大学高等数学教材是国内一套著名的高等教育教材，经历了多个版本的更新与改进。
本文将对同济六版高等数学教材进行全面介绍。
一、教材概述同济六版高等数学教材是由同济大学数学系经过多年教学实践和研究成果编写而成。
该教材分为四册，内容涵盖了高等数学的基本概念、理论、方法和应用，是高校理工类专业学生学习高等数学的主要教材之一。
二、教材特点1. 知识体系全面：同济六版高等数学教材以数学基本概念为起点，逐步展开并完整呈现了微积分、线性代数、数理方程、概率与数理统计等高等数学的重要内容。
2. 理论与实践相结合：教材注重理论与实际应用相结合，通过大量的例题、习题以及实际问题的分析与解决，帮助学生将所学知识应用于实际问题中。
3. 知识层次分明：同济六版高等数学教材将内容划分为不同层次，分别适应本科生和研究生等不同层次的教学需求。
同时，教材通过拓展、延伸的内容，丰富了知识的广度和深度。
4. 逻辑严谨、内容准确：教材的编写注重逻辑性，理论证明严谨，精确度高，有助于培养学生的严谨思维和数学证明能力。
三、教材章节结构同济六版高等数学教材共分为四册，每册内容分别为微积分、线性代数、数理方程与数值计算、概率与数理统计。
下面将对每个册的主要章节进行简要介绍。
1. 微积分微积分是高等数学的核心内容，也是同济六版高等数学教材的第一册。
其中包括了函数、极限、导数、微分、积分以及微分方程等章节，通过逐步引入的方式，使学生逐渐熟悉和掌握微积分的基本概念和方法。
2. 线性代数线性代数是同济六版高等数学教材的第二册，内容主要包括了矩阵与行列式、向量空间、线性变换与矩阵的相似、特征值与特征向量以及二次型等内容。
通过线性代数的学习，学生可以对高维空间进行抽象与描述，奠定了后续数学及工程问题的解决基础。
3. 数理方程与数值计算数理方程与数值计算是同济六版高等数学教材的第三册。
这一册主要包括了常微分方程的基本概念与求解方法、偏微分方程的基本概念与求解方法以及数值计算方法等内容。
高等数学教材同济大学六版
高等数学教材同济大学六版同济大学的高等数学教材六版，是一本经过深入研究和不断改进的教材。
它以准确、详尽和全面的内容，以及清晰、简洁和易于理解的讲解方式，给学生提供了一个全面学习高等数学的平台。
本文将对同济大学高等数学教材六版进行一些简要介绍和评价。
首先，同济大学高等数学教材六版的内容非常丰富。
它涵盖了高等数学的各个重要概念、定理和方法，包括极限与连续、微分学、积分学、级数、微分方程等等。
每个章节都有详细的解释和例题，在学生学习的过程中，可以循序渐进地深入理解数学的知识体系和思维方式。
其次，这本教材的讲解方式非常清晰和简洁。
每个概念和定理都有详细的定义和证明，同时配有充足的图表和实例，使得学生可以更加直观地理解和应用所学的数学知识。
同时，教材中的各个公式和公式推导都非常规范和严谨，给学生提供了一个良好的学习范例。
教材六版还有一个优点就是扩展内容非常全面。
在每个章节的最后，该教材都提供了一些扩展话题和习题，帮助学生进一步巩固和应用所学数学知识。
这些扩展内容涉及到了一些应用领域，如工程、物理、经济等等，使得学生不仅仅可以学习理论知识，还可以将其应用到实际问题中。
同济大学高等数学教材六版的排版也非常整洁和美观。
每一章节都有清晰的标题和分节，使得学生在阅读过程中可以很容易地找到所需的内容。
图表和公式的插入也非常合理，与文字部分相互补充和呼应，增强了阅读的可读性和连贯性。
总的来说，同济大学高等数学教材六版是一本非常优秀的教材。
它内容丰富、讲解清晰、扩展全面，为广大学生提供了一个全面学习高等数学的平台。
同时，它的排版整洁美观，使得学生在学习过程中可以更好地理解和消化所学内容。
我相信，同济大学高等数学教材六版一定能够帮助学生建立起坚实的高等数学基础，为他们的学业和未来的发展打下坚实的基础。
《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出版社
《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出书社第一周学习任务第一章第1 节习题1－14(3)(6) (8),5(3),9(2),15(4),17函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的成立第2 节习题1－21(2) (5) (8)数列极限的定义数列极限的性质(独一性、有界性、保号性)第3 节习题1－32,4函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的根本性质〔独一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等〕第4 节习题1－44,6无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系第5 节习题1－51(5)(11)(13),3,5 极限的运算法那么(6 个定理以及一些推论)第6 节习题1－61(2)(6),2(1)(4),4(1)(3)函数极限存在的两个准那么〔夹逼定理、单调有界数列必有极限〕两个重要极限〔注意极限成立的条件，熟悉等价表达式〕操纵函数极限求数列极限第7 节习题1－71,2,3(1),4(3)(4)无穷小阶的概念〔同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶无穷小〕及其应用一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法第8 节习题1－83(4),4,5函数的持续性，函数的间断点的定义与分类〔第一类间断点与第二类间断点〕判断函数的持续性和间断点的类型第9 节习题1－93(4)(6)(7),4(4) (6),6持续函数的、和、差、积、商的持续性反函数与复合函数的持续性初等函数的持续性第10 节习题1－101,3有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在长短常重要的一种方法)总复习题一总复习题一3(2),9(2)(4)(6),10,13总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第二周学习任务在进行第二周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第一周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第二章第1 节习题2－12,6,7,8,13,16(2),17导数的定义、几何意义、物理意义单侧与双侧可导的关系可导与持续之间的关系函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质按照定义求导及其适用的情形，操纵导数定义求极限会求平面曲线的切线方程和法线方程第2 节习题2－22(9),3(2),4,7(8),8(5),11(6)(9)导数的四那么运算公式〔和、差、积、商〕反函数的求导公式复合函数的求导法那么根本初等函数的导数公式分段函数的求导第3 节习题2－31(3), 3(2),4(1),8,10(2),高阶导数n 阶导数的求法〔归纳法，莱布尼兹公式〕第4 节习题2－41(1),2,3(4),4(1),5(2),10隐函数的求导方法，对数求导法由参数方程确定的函数的求导方法第5 节习题2－52,6函数微分的定义，几何意义根本初等函数的微分公式微分运算法那么，微分形式不变性一元函数微分在函数近似计算中的应用总复习题二总复习题二1,3,6(1),7,11,13,14总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第三周学习任务在进行第三周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第二周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第三章第1 节习题3－16,8,11(1),12,15费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义构造辅助函数第2 节习题3－21(10)(13)(15),4 洛必达法那么及其应用第3 节习题3－35,7,10(2) (3)泰勒中值定理麦克劳林展开式第4 节习题3－43(6) ,5(4),6,9(5) ,10(3),12函数的单调区间，极值点函数的凹凸区间，拐点第5 节习题3—51(8),4(3),10,11函数极值的存在性：一个必要条件，两个充实条件最大值最小值问题函数类的最值问题和应用类的最值问题第6 节习题3－61,4操纵导数作函数图形〔一般出选择题〕：函数f (x)的间断点、f '(x)和f ''(x)的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内f '(x)和f ''(x)的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点第四周学习任务在进行第四周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第三周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第三章第7 节习题3－75弧微分曲率的定义，曲率的计算公式,曲率圆、曲率半径总复习题三总复习题三1,2(2),6,7,9,10(4),11(3),12,17总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第四章第1 节习题4－11(1),2(1)(6)(8)(13)(17)(19)(21)(25),5原函数和不定积分的概念与根本性质〔之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系〕根本的积分公式原函数的存在性、几何意义和力学意义第2 节习题4－22(1)(3)(6)(9)(13)(15)(16)(17)(19)(21)(30)(32)(34)(36) (37)第一类换元积分法〔凑微分法〕第二类换元积分法第3 节习题4－32,5,6,9,14,17,18,19,22,24 分部积分法第4 节习题4－42,4,8,20,23 有理函数积分法，可化为有理函数的积分总复习题四总复习题四1,2,5,9,10,12,14,16,21,23,33,35,38 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第五周学习任务在进行第五周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第四周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第五章第1 节习题5—12(1),3(2)(3),11,12(2),13(5)定积分的定义与性质(7 个性质)函数可积的两个充实条件第2 节习题5—25(2),6(5)(8)(11)(12),9(2),10,12,13积分上限函数及其导数牛顿－莱布尼兹公式第3 节习题5—31(2)(4)(6)(10)(12)(19)(21)(24)(26) ,5,6,7(11)定积分的换元法定积分的分部积分法第4 节习题5—41(4)(8)(10),2无穷限的反常积分无界函数的反常积分总复习题五总复习题五1(1) (2) (4) ,3(2),4(2),10(7) (9)(10),11,12,13,14总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第六章第1 节————元素法第2 节习题6—21(1)(4),2(1),4,5(1),9,12,15(1)(3) ,16,19,21求平面图形的面积〔直角坐标情形、极坐标情形〕旋转体的体积及侧面积平行截面面积为的立体的体积、平面曲线的弧长第3 节习题6—35,11 用定积分求功、水压力、引力总复习题六总复习题六2,3,5 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第六周学习任务在进行第六周学习任务前，先拿出两天的时间对前五周学习的内容进行简单的复习.首先用一天的时间总结归纳第五周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库；其次用一天对前五周的常识点、难题及错题进行复习章学习内容习题章节操练标题问题备注第七章第1 节习题7—11(1)(4) ,2(2)(4),4(2),5(2)微分方程的根本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解第2 节习题7—21(1)(3)(4)(7),2(3),4,6可别离变量的微分方程的概念及其解法第3 节习题7—31(1)(4),2(1),3一阶齐次微分方程的形式及其解法可化为齐次的方程第4 节习题7—41(2)(3)(7)(10),2(1)(4),3,4,7(3),8(5)一阶线性微分方程的形式和解法伯努利方程的形式和解法第5 节习题7—51(1)(4)(7),2(2),3用降阶法解以下微分方程：y(n) = f ( x)，y'' = f ( x,y')和y'' = f ( y, y')第6 节习题7—61(1)(3)(6),4(2),n 阶线性微分方程的形式线性微分方程的解的布局：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质第7 节习题7—71(1)(4)(5),2(2)(3),特征方程特征方程的根与微分方程通解中的对应项微分方程的通解第8 节习题7—81(1)(3)(7)(9),2(2),6二阶常系数非齐次线性微分方程，此中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积第9 节习题7—96 欧拉方程的形式和通解总复习题七总复习题七1(1)(2)(3)(4), 2,3(1)(2)(7),4(4) ,7总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第七周学习任务在进行第七周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第六周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第八章第1 节习题8—113,15向量概念和线性运算，空间直角坐标系操纵坐标作向量的线性运算向量的模、标的目的角、投影第2 节习题8—23,7,9(1)(2)(3),10向量积、数量积、混合积的概念、性质、运算律、物理意义两向量平行、垂直的充要条件第3 节习题8—32,7,10(1)(4),11(3)曲面方程的概念旋转曲面的概念，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程柱面的概念及二次曲面的概念与常用二次曲面〔锥面、椭球面、双曲面、抛物面〕的方程及其图形第4 节习题8—4 3,5(1),8 空间曲线的一般方程、参数方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程第5 节习题8—5 1,3,5,9平面的点法度方程、一般方程两平面的夹角，两平面垂直、平行或重合的充要条件第6 节习题8—6 1 ,3,4,5,8,14空间直线的一般方程、对称式方程、参数方程两直线的夹角，两直线垂直、平行或重合的充要条件直线与平面的夹角，直线与平面垂直、平行的充要条件平面束总复习题八总复习题八1(1)(2)(3)(4),7,10,12,13,14(1)(2),15,17,20 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第九章第1 节习题9—1 2,5(1)(2),6(1)(4),7(1),8 二元函数的极限、持续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理第2 节习题9—2 1(4)(5)(6),4,6(2),8,9(2) 偏导数的概念，高阶偏导数的求解第3 节习题9—3 1(1) (4),2,3,5 全微分的定义，可微分的必要条件和充实条件第4 节习题9—4 2,4,6,8(1),10,12(1)多元复合函数求导法那么〔共3 个定理〕全导数全微分形式不变性第5 节习题9—5 1,4,6,8,10(1)一个方程的情形〔定理1，定理2〕方程组的情形〔定理3〕第八周学习任务在进行第八周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第七周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第九章第6 节习题9—6 3,6,8空间曲线的切线与法平面，曲线在一点处的切向量曲面的切平面与法线，曲面在一点处的法向量第7 节习题9—7 2,5,8标的目的导数的概念，标的目的余弦标的目的导数与可微的关系梯度的概念与计算公式第8 节习题9—8 1,2,6,9,11多元函数极值、极值点的概念多元函数极值的必要条件、充实条件条件极值，拉格朗日乘数法第9 节习题9—9 二元函数的二阶泰勒公式总复习题九总复习题九1,2,5,6(2) ,8,9,11,15,18 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十章第1 节习题10—1 2,4(1)(2)(3),5(1)(4)二重积分的定义、几何意义二重积分的性质〔6 个〕二重积分的中值定理第2 节习题10—21(1)(4),2(1)(3),4(1)(3),6(1)(2)(6),11(1)(3),12(1)(3),13(1 )(3),14(1) (3)操纵直角坐标计算二重积分操纵极坐标计算二重积分第九周学习任务在进行第九周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第八周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库天数学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十章第3 节习题10-31(2),4,5,6,7,9(1)(2), 10(1)(2),11(1)(2)(3)(4),12(1)(3)三重积分的定义和性质、操纵直角坐标计算三重积分、操纵柱面坐标计算三重积分、操纵球面坐标计算三重积分第4 节习题10—4 1,2,3,4(1),5,7,(1)(3) ,14 曲面的面积、质心、动弹惯量、引力总复习题十总复习题十1(1),2(1)(3),3(1),6,8(1),10,11,12 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十一章第1 节习题11—1 1,3(1)(3)(5)(7) 对弧长的曲线积分的概念、性质、计算方法第2 节习题11—2 1,3(1)(3)(5)(7),4(1) (3),7(1)(2)对坐标的曲线积分的概念、性质、计算方法两类曲线积分之间的联系第3 节习题11—31(1)(2),2(1),3,4(1)(2),5(1)(3), 6(1)(3)格林公式操纵格林公式计算曲线积分平面上曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分求积第4 节习题11—4 4(1)(2),5(1) (2),6 (1) (3) 对面积的曲面积分的概念、性质、计算方法第5 节习题11—5 3(1)(3) (4),4(1)对坐标的曲面积分的概念、性质、计算方法两类曲面积分之间的联系第十周学习任务在进行第十周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第九周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十一章第6 节习题11—61(1)(3),2(1),3(1)高斯公式操纵高斯公式计算曲面积分散度的概念与计算第7 节习题11—72(1)(2),3(1)斯托克斯公式操纵斯托克斯公式计算曲线积分旋度的概念与计算总复习题十一总复习题十一1,2,3(1)(3),3(6),4(1)(3),5,7 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十二章第1 节习题12—12(3)(4),3(1)(2)4(1)(2)(5)常数项级数的概念收敛级数的根本性质等比级数〔几何级数〕敛散性的判别级数收敛的必要条件第2 节习题12—21(1)(4)(5),2(1)(4),3(1)(3),4(1) (3)(5),5(2)(3)(5正项级数及其审敛法〔正项级数收敛的充要条件，比拟审敛法及其推论、比较审敛法的极限形式，比值审敛法、根值审敛法，极限审敛法〕p 级数敛散性的判别交错级数及其审敛法〔莱布尼茨定理〕绝对收敛与条件收敛第3 节习题12—31(1)(2)(3) (6),2(1) (2)函数项级数的概念幂级数及其收敛性〔阿贝尔定理及其推论，幂级数的收敛半径〕幂级数的运算〔幂级数的和函数的性质〕第4 节习题12—42(1)(2)(4) ,4,5,6泰勒级数、麦克劳林级数把函数展开成幂级数的步调e x、sin x 、cos x、ln(1+ x)、(1 x)α + 的麦克劳林展开式用间接法把函数展开成幂级数第十一周学习任务在进行第十一周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第十周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十二章第7 节习题12—71(1)(2),2(1)(3),6三角级数三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数〔收敛定理，狄利克雷充实条件〕正弦级数和余弦级数第8 节习题12—81(1),2(1) 周期为2l的周期函数的傅里叶级数总复习题十二总复习题十二1,2(1)(5),4,5(1),5(2),6(1),7(1)(4),8(1)(3),9(1),10(1),11 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法备注以上第十二章的内容用两天的时间完成，用两天的时间将高等数学的上册做系统的复习，用两天的时间将高等数学的下册做系统的复习。
3-1高等数学同济大学第六版本
习题3-11. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y (x )=cot x =0.由y (x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y (x )=cot x =0.2. 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性. 解 因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点x(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y (x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.3. 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性.解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导,且F(x )=1-sin x 在)2,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x . 化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 4. 试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明 因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点x(a , b ), 使得y (b )-y (a )=y (x )(b -a ), 即(pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2px +q )(b -a ). 化间上式得p (b -a )(b +a )=2px (b -a ), 故2b a +=ξ.5. 不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f (x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解 由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x 1(1, 2), 使f(x 1)=0. 同理存在x 2(2, 3), 使f(x 2)=0; 存在x 3(3, 4), 使f (x 3)=0. 显然x 1、x 2、x 3都是方程f (x )=0的根. 注意到方程f(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f(x )=0的全部根.6. 证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1x 1).证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为所以f (x )C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .7. 若方程a 0x n +a 1x n -1++ a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x (0, x 0),使F(x )=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.8. 若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明:在(x 1, x 3)内至少有一点x , 使得f (x )=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点x 1(x 1, x 2), 使f (x 1)=0. 同理存在一点x 2(x 2,x 3), 使f (x 2)=0. 又由于f(x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f(x 1)=f(x 2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x(x 1, x 2)(x 1, x 3), 使f(x )=0. 9. 设ab 0, n >1, 证明:nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(b , a ), 使f (a )-f (b )=f(x )(a -b ), 即a n -b n =nx n -1(a -b ).因为 nb n -1(a -b )<nx n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) . 10. 设ab 0, 证明:bb a b a a b a -<<-ln .证明 设f (x )=ln x , 则f (x )在区间[b , a ]上连续, 在区间(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(b , a ), 使f (a )-f (b )=f (x )(a -b ), 即)(1ln ln b a b a -=-ξ.因为b <x <a , 所以)(1ln ln )(1b a b b a b a a -<-<-, 即b b a b a a b a -<<-ln .11. 证明下列不等式: (1)|arctan a -arctan b ||a -b |;(2)当x1时, e xe ×x .证明 (1)设f (x )=arctan x , 则f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x (a , b ), 使f (b )-f (a )=f(x )(b -a ), 即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ,所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -≤-+=-ξ, 即|arctan a -arctan b ||a -b |.(2)设f (x )=e x , 则f (x )在区间[1, x ]上连续, 在区间(1, x )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x (1, x ), 使f (x )-f (1)=f (x )(x -1), 即 e x -e =e x (x -1).因为x >1, 所以 e x -e =e x (x -1)e (x -1), 即e x e ×x .12. 证明方程x 5+x -1=0只有一个正根. 证明 设f (x )=x 5+x -1, 则f (x )是[0, +)内的连续函数.因为f (0)=-1, f (1)=1, f (0)f (1)0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x 5+x -1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f (x )存在零点, 但f(x )=5x 4+10, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.13. 设f (x )、g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明在(a , b )内有一点x , 使)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.解 设)()()()()(x g a g x f a f x =ϕ, 则j (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x (a , b ), 使j (b )-j (a )=j (x )(b -a ),即⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''-=-)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(ξξξξg a g f a f g a g f a f a b a g a g a f a f b g a g b f a f . 因此)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.14. 证明: 若函数.f (x )在(-, +)内满足关系式 f ¢(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明 令x ex f x )()(=ϕ, 则在(-, +)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x ee xf e x f e e x f e x f x ϕ, 所以在(-, +)内j (x )为常数.因此j (x )=j (0)=1, 从而f (x )=e x .15. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数, 且f (0)=f ¢(0)==f (n -1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:!)()()(n x f xx f n n θ= (0<q <1).证明 根据柯西中值定理111)(0)0()()(-'=--=n n n f x f x f x x f ξξ(x 1介于0与x 之间),2221111111)1()(0)0()()(-----''=⋅-'-'='n n n n n n f n n f f n f ξξξξξξ(x 2介于0与x 1之间), 3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(------'''=⋅---''-''=-''n n n n n n n f n n n n f f n n f ξξξξξξ(x 3介于0与x 2之间),依次下去可得!)(02 )1(2 )1()0()(2 )1()()(1)1(1)1(11)1(n f n n n n f f n n f n n n n n n n n n ξξξξξ=⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅--------(x n 介于0与x n -1之间),（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
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因此确有 使
3对函数f(x)sinx及F(x)xcosx在区间 上验证柯西中值定理的正确性
解因为f(x)sinx及F(x)xcosx在区间 上连续在 可导且F(x)1sinx在 内不为0所以由柯西中值定理知至少存在一点 使得
令 即
化简得 易证 所以 在 内有解即确实存在 ,使得
因为nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)
所以nbn1(ab)anbnnan1(ab)
10设ab0证明
证明设f(x)lnx则f(x)在区间[ba]上连续在区间(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使
f(a)f(b)f()(ab)即
因为ba所以
即
11证明下列不等式
(1)|arctanaarctanb||ab|
故
5不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f(x)0有几个实根并指出它们所在的区间
解由于f(x)在[12]上连续在(12)内可导且f(1)f(2)0所以由罗尔定理可知存在1(12)使f(1)0同理存在2(23)使f(2)0存在3(34)使f(3)0显然1、2、3都是方程f(x)0的根注意到方程f(x)0是三次方程它至多能有三个实根现已发现它的三个实根故它们也就是方程f(x)0的全部根
(2)当x1时exex
证明(1)设f(x)arctanx则f(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在(ab)使
f(b)f(a)f()(ba)即
所以 即|arctanaarctanb||ab|
(2)设f(x)ex则f(x)在区间[1x]上连续在区间(1x)内可导由拉格朗日中值定理存在(1x)使
13设f(x)、g(x)在[ab]上连续在(ab)内可导证明在(ab)内有一点使
解设 则(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在(ab)使
(b)(a)()(ba)
即
因此
14证明若函数f(x)在()内满足关系式f(x)f(x)且f(0)1则f(x)ex
证明令 则在()内有
所以在()内(x)为常数
f(x)f(1)f()(x1)即exee(x1)
因为1所以
exee(x1)e(x1)即exex
12证明方程x5x10只有一个正根
证明设f(x)x5x1则f(x)是[0)内的连续函数
因为f(0)1f(1)1f(0)f(1)0所以函数在(01)内至少有一个零点即x5x10至少有一个正根
假如方程至少有两个正根则由罗尔定理f(x)存在零点但f(x)5x410矛盾这说明方程只能有一个正根
因此(x)(0)1从而f(x)ex
15设函数yf(x)在x0的某邻域内具有n阶导数且f(0)f(0)f(n1)(0)0试用柯西中值定理证明
(01)
证明根据柯西中值定理
(1介于0与x之间)
(2介于0与1之间)
(3介于0与2之间)
依次下去可得
(n介于0与n1之间)
所以
由于n可以表示为nx(01)所以 (01)
又由于f(x)在[12]上连续在(12)内可导且f(1)f(2)0根据罗尔定理至少存在一点(12)(x1x3)使f()0
9设ab0n1证明
nbn1(ab)anbnnan1(ab)
证明设f(x)xn则f(x)在[ba]上连续在(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使
f(a)f(b)f()(ab)即anbnnn1(ab)
4试证明对函数ypx2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点 总是位于区间的正中间
证明因为函数ypx2qxr在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导由拉格朗日中值定理至少存在一点(ab)使得y(b)y(a)y()(ba)即
(pb2qbr)(pa2qar)(2pq)(ba)
化间上式得
p(ba)(ba)2p(ba)
习题31
1验证罗尔定理对函数yln sinx在区间 上的正确性
解因为yln sinx在区间 上连续在 内可导且 ,所以由罗尔定理知至少存在一点 使得y()cot0
由y(x)cotx0得
因此确有 使y()cot0
2验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间[01]上的正确性
解因为y4x35x2x2在区间[01]上连续在(01)内可导由拉格朗日中值定理知至少存在一点(01)使
a0nxn1a1(n1)xn2an10
必有一个小于x0的正根
8若函数f(x)在(ab)内具有二阶导数且f(x1)f(x2)f(x3)其中ax1x2x3b证明
在(x1x3)内至少有一点使得f()0
证明由于f(x)在[x1x2]上连续在(x1x2)内可导且f(x1)f(x2)根据罗尔定理至少存在一点1(x1x2)使f(1)0同理存在一点2(x2x3)使f(2)0
6证明恒等式 (1x1)
证明设f(x)arcsinxarccosx因为
所以fa0xna1xn1an1x0有一个正根x0证明方程
a0nxn1a1(n1)xn2an10
必有一个小于x0的正根
证明设F(x)a0xna1xn1an1x由于F(x)在[0x0]上连续在(0x0)内可导且F(0)F(x0)0根据罗尔定理至少存在一点(0x0)使F()0即方程