《高等数学》-各章知识点总结——第1章
高数部分知识点总结
高数部分知识点总结1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0,0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0,1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。
(1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,,1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答,案中少写这个C会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，,f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了,这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下af(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,aaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利aaa奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。
高数大一知识点总结前四章
高数大一知识点总结前四章在大一的学习生活中，高等数学是一个非常重要的课程。
对于初学者来说，高数可能是一个挑战，因为它包含了许多新的概念和方法。
然而，只要我们掌握了一些基本的知识点，就能够更好地理解和应用高数。
下面，我将总结前四章的知识点，希望能够对大家的学习有所帮助。
第一章：数列与极限1. 数列的概念和表示方式：数列是按照一定规律排列的一组数，通常用通项公式表示。
2. 数列的分类：常数数列、等差数列、等比数列等。
常数数列的通项公式是恒等于一个常数；等差数列的通项公式是数列的第一个项加上公差与项数的乘积；等比数列的通项公式是数列的第一个项乘以公比的n-1次方。
3. 数列极限：当数列的项数逐渐增加时，数列可能会无限接近于某个数或取得无穷大的值。
这个无限接近的数被称为数列的极限。
第二章：函数与连续1. 函数的概念与性质：函数是一种描述两个变量之间关系的数学工具。
函数有定义域和值域两个重要的概念。
同时，函数有奇偶性、周期性等性质。
2. 基本初等函数：常见的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
3. 函数的图像与性质：通过研究函数的图像，我们可以了解函数的性质，如单调性、极值点、零点、拐点等。
4. 连续性与间断点：函数在某一点处的极限等于函数在该点处的取值时，我们称该函数在该点处连续。
函数的间断点有可去间断、跳跃间断和无穷间断三种情况。
第三章：导数与微分1. 导数的概念与计算：导数描述了函数在某一点附近的变化率。
导数的计算可以使用极限的方法，也可以使用导数的基本性质进行计算。
2. 导数的性质与应用：导数有用于判断函数的增减性、求解极值和绘制函数图像的重要作用。
导数可以用于线性逼近、速度、密度和最优化等实际问题的求解。
3. 高阶导数与微分：高阶导数是导数的导数，它描述了函数在某一点处的曲率和变化率。
微分是函数值的增量与自变量的增量之间的关系。
第四章：不定积分1. 不定积分的概念与性质：不定积分是求解原函数的过程，常用的记号是∫f(x)dx。
(完整版)高等数学笔记
(完整版)高等数学笔记第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1。
函数的定义: y=f(x ）， x ∈D定义域： D(f ）, 值域: Z(f ）。
2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3。
隐函数： F(x,y ）= 04。
反函数： y=f （x) → x=φ(y ）=f —1(y ）y=f -1(x)定理:如果函数: y=f （x), D （f ）=X ， Z （f ）=Y 是严格单调增加（或减少）的； 则它必定存在反函数：y=f —1（x)， D （f —1）=Y, Z （f —1)=X 且也是严格单调增加（或减少）的。
㈡ 函数的几何特性1。
函数的单调性： y=f （x ），x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x ）在D 内单调增加（ )；若f （x 1)≥f(x 2），则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1）＜f （x 2)，则称f （x)在D 内严格单调增加( ）；若f(x 1)＞f （x 2)，则称f(x)在D 内严格单调减少（ ).2。
函数的奇偶性：D(f ）关于原点对称 偶函数：f(—x ）=f （x) 奇函数：f （-x ）=-f （x ） 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x ）, x ∈(-∞，+∞) 周期：T-—最小的正数4。
函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1。
常数函数： y=c ， (c 为常数）2.幂函数： y=x n， （n 为实数）3.指数函数: y=a x， （a ＞0、a ≠1） 4.对数函数： y=log a x ,（a ＞0、a ≠1） 5。
三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6。
反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x ， y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1。
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
高等数学第一章笔记
高等数学第一章笔记高等数学第一章笔记第一章的主要内容是函数和极限。
函数是数学中非常重要的概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
在高等数学中，我们主要研究实函数和实变量，即定义域和值域都是实数集的函数。
1. 函数的定义和性质函数是一种映射关系，它将定义域上的每个元素映射到值域上的唯一元素。
函数可以用公式、图像或者表格来表示。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
2. 函数的运算函数之间可以进行加减乘除等基本运算。
例如，两个函数的和、差、积、商仍然是函数。
函数的复合也是一种常见的运算，表示将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
3. 函数的图像和性质函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质，如增减性、奇偶性、周期性等。
函数的图像可以用手绘或者计算机绘制。
4. 函数的极限极限是函数的重要概念，它描述了函数在某一点的趋势。
函数在某一点的左极限表示函数从左边趋近于这个点的情况，右极限表示函数从右边趋近于这个点的情况。
如果函数在某一点的左右极限相等，则函数在这一点处有极限。
5. 极限的性质和运算函数的极限具有一些重要的性质，如唯一性、保序性、保不等式性等。
在进行函数的极限运算时，我们可以利用极限的性质进行简化，如极限的四则运算、复合函数的极限等。
6. 函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的每一点都有极限，并且函数的极限与函数值相等。
连续函数是一种重要的函数类型，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。
总结起来，高等数学第一章主要介绍了函数和极限的概念、性质和运算。
函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
极限是函数在某一点的趋势，它描述了函数在这一点的值与函数在这一点的左右极限之间的关系。
理解和掌握函数和极限的概念和性质，对于后续学习高等数学的内容非常重要。
高数第一章 知识点总结
式中有多个参数，需进一步从所给极限中挖掘信息，获得额外关系式。特别地，
① 分段函数在分段点的极限： lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A = lim f (x) ；
x → x0
x → x0−
x → x0+
② 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大； g(x)
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim
x→ x0
f
(x) 不存在；
③
f
(
x)
在点
x0
有定义，
lim
x→ x0
f (x) 存在，但 lim x → x0
f (x) ≠
f (x0 ) ；
4. 间断点的类型：
① 第一类间断点，左右极限都存在(包括：可去和跳跃间断点)；
② 第二类间断点，左右极限至少一个不存在(包括：无穷、震荡和其他间断点)；
aϕ(x) −1 ~ ϕ(x) ln a ， (1+ ϕ(x))α −1 ~ αϕ(x)
此外
ϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ，
6
3
2
arcsinϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ，ϕ(x) − arctanϕ(x) ~ ϕ3(x)
往年考题: (12-13) 已知 lim a cos x + bx = 5 ，试确定待定常数 a 和 b 的值。
x→π sin x
6. 函数的连续性（间断点）
高数大一第一章知识点总结
高数大一第一章知识点总结大一的高等数学课程是大多数理工科学生的必修课程之一。
第一章是高等数学基础知识的引入部分，通过对实数、数列、函数的介绍和探讨，为后续的学习打下了坚实的基础。
本文将对第一章的主要知识点进行总结和归纳，帮助大家更好地理解和掌握这些概念。
一、实数集在第一章的开头，我们首先学习了实数集的概念。
实数集包括有理数和无理数两个部分，有理数可以表示为两个整数的比值，而无理数则不能用有理数表示。
实数集是一个无限且连续的集合，在数轴上可以无间断地排列。
二、数列数列是指按照一定规律依次排列的一组数，其中每个数被称为数列的项。
我们学习了等差数列和等比数列两种特殊的数列。
等差数列的相邻两项之差相等，而等比数列的相邻两项之比相等。
通过数列的概念和性质，我们可以在实际问题中进行抽象和分析，进而解决问题。
三、函数函数是一个非常重要的数学概念，它描述了一种变化关系。
在第一章中，我们主要学习了常用的一元函数，即自变量只有一个的函数。
函数可以用图像、公式和数据表达，在不同的形式中都会有各自的特点和应用。
通过函数，我们可以描绘出数学模型，进行定性和定量的分析，从而更好地理解和解决实际问题。
四、数学归纳法数学归纳法是一种重要的证明方法，它常用于证明数学命题和推导结论。
归纳法分为数学归纳法的第一原理和第二原理。
第一原理是指证明基线的真实性，即当 n 取某个特定值时命题成立；第二原理是指证明当 n=k 成立时，n=k+1 也成立。
通过数学归纳法的使用，我们可以简化证明的步骤，并提高证明的准确性。
五、反证法反证法是另一种常用的证明方法。
它通过假设命题的反面是成立的，然后引出矛盾，从而推导出最初的命题是正确的。
反证法在证明某些数学规律或命题时非常有效，能够极大地提高证明的简洁性和可靠性。
六、函数的单调性和极值在学习了函数的定义和性质后，我们接着研究了函数的单调性和极值。
函数的单调性描述了函数在定义域内的增减关系，可以分为单调递增和单调递减两种情况。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
高等数学第一章笔记
高等数学第一章整理老师 PPT 形成笔记 第一章 1、设 x, y 为两个变量， D为数集，若对 ∀ x ∈ D ，按某一对应关系 f ，总有唯一确定的一个数 y 与 x 相对应，则 称对应关系 f 是定义在 D 上的函数， 习惯上也称 y 是 x 的函数， 记作 y = f ( x ) x ∈ D ) ,其中 x 称为自变量， y 称 （ 为因变量，也称对应于自变量 x 的函数值． 2、函数的三要素:定义域，值域，对应法则 3、对于函数 y=f(x)，当该函数有实际意义时，它的定义域按实际意义确定．当函数没有实际意义时，它的定义域是 指使函数有意义的全体实数，这样的定义域称为自然定义域，一般所说的定义域大多指自然定义域． 4、函数的表示法： （1）图形法（2）表格法（3）解析法 5、函数的几种特性：函数的单调性 、函数的有界性、函数的奇偶型性、函数的周期性 6、 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ， 区间 I ⊂ D． 如果对于 I 上任意两点 x1及x2， x1 < x2 时， 当 恒有 f ( x1 ) < f ( x 2 ) 成立，则称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调增加；如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 ，当 x1 < x 2 时，恒有f (x1) > f (x2) 成立，则称函数 f ( x) 在区间 I 上单调减少． 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数． 从图象上看, 增函数的图象自左向右逐渐上升; 减函数的图象自左向右逐渐下降． 7、对于给定的数列{ },如果当 n 无限递增大时，数列趋近于某一确定的常数 a ，则称 a 为数列的极限，或称数 列收敛于 a，记为 lim xn = a 或 xn → a (n → ∞) n →∞9、 如果数列没有极限，就说数列是发散的。
高数第一章 知识点总结
例 3. f (x) 在[a,b] 上连续，且恒为正，证明对于任意的 x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2 并存在一点
ξ ∈[a,b]使 f (ξ ) = f (x1) f (x2 ) .
sinϕ(x) ~ ϕ(x) ， arcsinϕ(x) ~ ϕ(x) ， tanϕ(x) ~ ϕ(x) ， arctanϕ(x) ~ ϕ(x) ，
1− cosϕ(x) ~ ϕ 2 (x) ， 2
ln
(1+
ϕ
(x))
~
ϕ
(x)
，loga
(1 +
ϕ
(x))
~
ϕ( ln
x) a
，eϕ
(x)
−1
~
ϕ
(
x)
，
极限，利用极限的四则运算将其转化为已知函数的极限。
往年考题:
ln⎜⎛1 + f (x)⎟⎞
(11-12) 已知 lim ⎝ x ⎠ = 7 ，求 lim
f (x)
x→0 2 x − 1
x→0 x sin x
( ) (10-11)
设
lim
x→0
x
−
sin x x4
+
f (x)
= 1，则 lim x→0
③ 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = 0 ⇔ lim f (x) = 0 ，且两者是同阶无穷小； g(x)
④ 设 lim f (x)g(x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = 0 ⇔ lim f (x) = ∞ ；
⑤ 设 lim[ f (x) − g(x)] = A ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大。
高等数学-第1章--函数、极限和连续§1.3无穷小和无穷大
旧课复习（5′） 1．数列的极限；2．函数的极限； 3．极限的四则运算； 4、两个重要极限 新课内容§1.3 无穷小与无穷大（53'）1、无穷小定义如果 lim ()0x f x →ℜ=，则称ℜ→x x f 是)(时的无穷小量，简称无穷小。
例如，函数24y x =-是当2x →时的无穷小，因为2lim(24)0x x →-=，注：（1）不要把无穷小与很小的数混为一谈。
无穷小表达的是量（函数）变化状态，而不是量的大小。
一个量不管多么小，都不是无穷小量。
零是惟一可作为无穷小的常数。
（2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势。
2、无穷大定义当x →ℜ时，()f x 无限增大，则称)(x f 是x →ℜ时的无穷大量，简称无穷大。
记作lim ()x f x →ℜ=∞。
例如，11lim1x x →=∞-，2lim x x →∞=∞。
注：（1）不要把无穷大与很大的数混为一谈。
（2）说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋势。
（3）按极限的定义，为无穷大的函数的极限是不存在的，但为了讨论问题方便起见，我们也说“函数的极限是无穷大”。
3、无穷大与无穷小的关系 如果lim ()x f x →ℜ=∞，那么1lim0()x f x →ℜ=； 如果lim ()0x f x →ℜ=（lim ()0x f x →ℜ≠），那么1lim()x f x →ℜ=∞。
证明从略。
例1：计算分析：分母的极限为0，不能用商的极限法则。
分子的极限不为0，如果将分式倒过来则极限为0，因此可以根据无穷大与无穷小的关系计算此极限。
2123lim54x x x x →-=∞-+ 例2 计算2332lim 21x x x x →∞++-。
分析：∞→x 时分子∞→，分母∞→，不能使用商的极限法则，可以考虑分子分母同时除以分母的最高次幂3x解 23233232lim lim 021211x x x x x x x x x→∞→∞++==+-+-。
高等数学第一章总结
高等数学第一章总结
高等数学是理工科学生必修的一门重要课程，它是建立在初等数学基础之上的
一门高等数学课程，包括微积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程等内容。
第一章主要介绍了极限与连续的概念，这些概念是后续学习微积分的基础，对于理解数学的发展历程和思维方式也具有重要的意义。
首先，我们来谈谈极限的概念。
在数学中，极限是一种重要的概念，它描述了
一个函数在某一点附近的表现，也可以理解为自变量无限接近某个值时，函数的取值趋于的一个确定的值。
极限的概念是微积分的基础，它在现实生活中也有着广泛的应用，比如在物理学、工程学等领域。
通过学习极限的概念，我们可以更好地理解函数的变化规律，为后续的微积分学习打下坚实的基础。
其次，连续的概念也是高等数学中的重要内容。
在数学中，连续是一种基本的
性质，它描述了函数图像的连贯性和平滑性。
一个函数在某一点连续意味着在这一点附近函数值的变化趋于连续，没有突变的现象。
通过学习连续的概念，我们可以更好地理解函数的性质，为后续的微积分学习提供基础。
总的来说，高等数学第一章主要介绍了极限与连续的概念，这些概念是微积分
学习的基础，也是数学发展的重要内容。
通过学习这些内容，我们可以更好地理解数学的发展历程和思维方式，也可以更好地应用数学知识解决实际问题。
因此，我们应该认真对待高等数学这门课程，努力学习，掌握其中的基本原理和方法，为将来的学习和工作打下坚实的数学基础。
高等数学上册-知识点总结 (1)
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→这个定理说明：当)()(lim0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
《高等数学基础》知识点汇总
《高等数学基础》知识点汇总第1章 函数 第2章 极限与连续 （一） 单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A.2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C.3ln )(xx f =，x x g ln 3)(= D.1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D.x y =⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A.)1ln(2x y += B. x x y cos =C.2x x a a y -+=D.)1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A.1+=x y B. x y -=C.2xy = D.⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A.12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C.0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C.)()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是()+∞,3．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2-x ．⒊=+∞→xx x)211(lim 21e ． ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=ke ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是0=x ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为时的无穷小量0x x →。
高等数学第一章总结
高等数学第一章总结高等数学是大学数学课程中的一门基础课程，它涉及到了数学的许多重要概念和工具，为后续更深入的学习打下了坚实的基础。
在第一章中，我们主要学习了一元函数的一些基本概念和性质，包括函数、极限、连续性和导数等内容。
本文将对这些知识进行总结和回顾。
函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在第一章中，我们学习了如何定义和表示函数，并学习了一些常见的函数类型，比如多项式函数、指数函数和三角函数等。
通过研究不同类型的函数性质，我们可以更好地理解和应用函数。
极限是数学分析的核心概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为。
我们通过学习极限的定义和性质，掌握了计算极限的方法和技巧。
在计算极限时，我们可以运用代数运算、洛必达法则和泰勒展开等工具，来简化问题和求解极限值。
通过深入研究极限，我们可以了解函数的增长趋势、奇点和收敛性等重要性质。
连续性是函数在某一区间上的平滑性描述。
我们学习了连续函数的定义和性质，并通过判断函数的间断点和导数来研究函数的连续性。
在实际应用中，连续函数的性质给了我们很多便利，比如可以通过极限求和、积分和微分等方法求解问题。
而不连续函数则有其独特的特点，比如在某些点处不满足函数定义，或者在某些点处存在跳跃性的变化。
导数是微积分的重要工具，它描述了函数的变化率和斜率。
我们通过学习导数的定义和性质，理解了导数与函数的关系，并研究了函数的极值、拐点和凹凸性等重要问题。
利用导数我们可以求解函数的最值，优化问题和刻画曲线的特征。
在应用中，导数还可以用于解决变化率、速度、加速度等实际问题。
除了以上几个重要的概念和工具，高等数学的第一章还涉及到了一些相关的定理和公式。
比如罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒中值定理等，它们是我们理解和应用函数的重要工具。
此外，还学习了求导公式、积分公式和导数表等常用的数学工具。
总之，高等数学是一门既有理论又有实际应用的学科，它为我们提供了一种理解和分析世界的数学语言和工具。
高数第一章函数与极限知识点总结
1.2.1 数列极限的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2
数列的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7.2
...................................... 5
1.7.3
定 ......................................... 5
1.8 函数的
与
...................................... 5
1.8.1 函数的
映射的定义
映射 g
映射的
g 的值域 Rg
f f 的定
1
义域
Rg ∈ D f
则
映射 g f 的
义
g◦ f
义
义
映射 f ◦ g 与 g ◦ f
映射 的 f ◦g f ◦g 与 g◦ f
1.1.2 函数
函数的概念
定义 1.4. 设数集 D ∈ R，则称映射 f : D → R 为定 义在 D 上的函数，通常简记为 y = f (x)，x ∈ D， 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义 域，记作 D f , 即 D f = D。
). 如果
lim f (x) = a
x→x0
且 a > 0(或 a < 0), 所以 ∃(正整数 N), 当 n > N, 都有 xn > 0(或 xn < 0).
高数第一章知识点总结
高数第一章知识点总结导读：篇一：高数第一章知识点总结1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。
数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法打有准备之战，胜算才能更大。
希望各2015考研生抓紧时间复习，在考研中取得好成绩。
一分耕耘一分收获。
加油！【高数第一章知识点总结】1.高数下知识点总结大全2.高数知识点总结心得3.高数上知识点总结4.高数重要知识点总结怎么写5.成考高数二知识点总结6.考研高数知识点总结7.大一高数一知识点总结8.考研高数二知识点总结上文是关于高数第一章知识点总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
高数上第一章知识点总结
⾼数上第⼀章知识点总结第⼀章函数与极限1.1 函数及其性质1.1.1 集合集合：具有某种特定性质事物的全体称为集合。
元素：组成这个集合的事物称为该集合的元素。
集合与元素的关系：属于∈，不属于∉。
集合的表⽰⽅法：枚举法，描述法。
1.1.2 集合的运算基本运算：并、交、差。
全集\基本集：研究的问题所限定的⼤集合。
余集\补集：I - A或者A C 。
运算规律：交换律、结合律、分配律、对偶律、幂等律、吸收律。
1.1.3 区间与领域有限区间：开区间(a,b) 闭区间[a,b] 半开区间[a,b) (a,b]。
b-a：区间长度⽆限区间：开区间(a,+∞) (-∞,a) -∞,+∞) 半开区间[a,+∞) (-∞,a]邻域：以点x0为中⼼的任何开区间称为点x0的邻域，记作U(x0)。
若δ是某⼀正数，则开区间(x0-δ,x0+δ)是点x0的⼀个邻域，记作U(x0,δ)。
去⼼邻域：将点x0去掉后的x0的邻域，记作U(x0,δ)。
左邻域：(x0-δ,x0)右邻域：(x0,x0+δ)1.1.4 映射X，Y是两个⾮空集合，存在⼀个法则f，使得对X中的每个元素x，按法则f在Y中有唯⼀确定的元素y与之对应，则称f为X到Y的⼀个映射。
定义域D(f)，值域R(f)或f(X)。
满射：R(f) = Y 单射：f(x1) ≠ f(x2) ⼀⼀映射：满射+单射泛函、变换、函数逆映射：g:R(f) -> X (f是单射，y = f(x)，则 x = g(y))复合映射：g:X->Y1,f:Y2->Z,Y1包含于Y2, f g:X->Z。
1.1.5 函数D是实数集，称f:D->R为定义在D上的函数。
y = f(x),x∈D。
y是因变量，x是⾃变量，D称为定义域。
1.1.6 函数的特性（1）函数的有界性X包含于D，若存在M使得f(x) <= M，则称f(x)在X上有上界，类似可得下界的定义。
数M使得|f(x)| <= M（x∈X），则称f(x)在X上有界。
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第1章 函数与极限总结1、极限的概念(１）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正整数N ， 使得对于n >N 时的一切n , 恒有|x ｎ-ａ ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或xn →ａ (ｎ→∞)．(2)函数极限的定义设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时） 恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε ,那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限， 记为A x f x x =→)(lim 0或f (x ）→A (当x →ｘ０).（或lim ()x f x A →∞=)类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ∀>∃>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→==或显然有0lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=⇔==如果存在常数A ,对0,0,X ε∀>∃>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞→+∞==或显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞→-∞→+∞=⇔==２、极限的性质 (１）唯一性若a x n n =∞→lim ,lim n n x b →∞=，则a b =若0()lim ()x x x f x A →∞→=0()lim ()x x x f x B →∞→=，则A B =(２)有界性(i)若a x n n =∞→lim ，则0M ∃>使得对,n N+∀∈恒有n x M ≤（i ｉ)若0lim ()x x f x A →=，则0M ∃>当0:0x x x δ<-<时,有()f x M ≤(ii ｉ）若lim ()x f x A →∞=,则0,0M X ∃>>当x X >时,有()f x M ≤(3)局部保号性(i ）若a x n n =∞→lim 且0(0)a a ><或则N N +∃∈,当n N >时,恒有0(0)n n x x ><或(ii ）若0lim ()x x f x A →=，且0(0)A A ><或,则0δ∃>当0:0x x x δ<-<时,有()0(()0)f x f x ><或３、极限存在的准则(i ）夹逼准则 给定数列{},{},{}n n n x y z若①0,n N +∃∈当0n n >时有n n n y x z ≤≤②lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则lim n n x a →∞=给定函数(),(),()f x g x h x ，若①当00(,)x U x r ∈(或x X >)时，有()()()g x f x h x ≤≤ ②00()()lim ()lim ()x x x x x x g x h x A →∞→∞→→==，则0()lim ()x x x f x A →∞→=(ｉi)单调有界准则给定数列{}n x ,若①对n N +∀∈有11()n n n n x x x x ++≤≥或②()M m ∃使对n N +∀∈有()n n x M x m ≤≥或则lim n n x →∞存在若()f x 在点0x 的左侧邻域(或右侧邻域)单调有界,则0lim ()x x f x -→（或0lim ()x x f x +→)存在4、极限的运算法则（1)若0()lim ()x x x f x A →∞→=，0()lim ()x x x g x B →∞→=则(i)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→±=±（ii)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→⋅=⋅(ii ｉ）0()()lim()x x x f x Ag x B→∞→=⋅(0B ≠) (2)设（ｉ）00()lim ()x x u g x g x u →==且(ii ）当00(,)x U x δ∈时0()g x u ≠（iii ）0lim ()u u f u A →=则0lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==5、两个重要极限（１)0sin lim1x xx →=()0sin ()lim1()u x u x u x →=sin lim0x x x ∞→=,1lim sin 1x x x →∞=,01lim sin 0x x x→=（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭)()(1lim 1;()x u u x e u x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭1lim(1)xx x e→+=()()01()lim 1();v x x v v x e →+=6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若0()lim()0x x x x α→∞→=，即对0,0,εδ∀>∃>当0:0x x x δ<-<(或x X >）时有()x αε<,则称当0()()x x x x α→→∞或，无穷小量（2）若0()lim ()x x x f x →∞→=∞即对0,0(0),M X δ∀>∃>>或当0:0x x x δ<-<(或x X >）时有()f x M>则称当0()()x x x f x →→∞或，无穷大量７、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系,无穷小量的运算法则 (1）00()()lim ()()(),lim()0x x x x x x f x A f x A x x αα→∞→∞→→=⇔=+=其中(2)00()()1lim ()0()0lim()x x x x x x f x f x f x →∞→∞→→=≠⇒=∞（） (3)00()()1lim ()lim0()x x x x x x g x g x →∞→∞→→=∞⇒= (4）0()lim ()0,x x x f x M →∞→=∞∃>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤,则0()lim [()()]x x x f x g x →∞→+=∞（5)0()lim ()00,x x x f x M →∞→=∃>且当0:0x x x δ<-<（或x X >)时有()g x M ≤,则0()lim [()()]0x x x f x g x →∞→⋅=（6）0()lim ()0(1,2,,)k x x x f x k n →∞→==则01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∑01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∏8、无穷小量的比较000()()()lim ()0,lim ()0,lim ()0→∞→∞→∞→→→===x x x x x x x x x f x g x x α若（1）0()()lim0,()x x x f x C g x →∞→=≠,则称当0()x x x →→∞或时,()f x 与()g x 是同阶无穷小。
(2）0()()lim1()x x x f x g x →∞→=,则称当0()x x x →→∞或时,()f x 与()g x 是等价无穷小,记作()()f x g x (0()x x x →→∞或)。
(3)0()()lim0()x x x f x g x →∞→=，则称当0()x x x →→∞或时,()f x 是()g x 是高阶无穷小，记作()(())f x o g x =(0()x x x →→∞或)。
(4）0M ∃>00(,)x U x δ∀∈（或x X >），有()()f x Mg x ≤,则记()(())f x O g x =（0()x x x →→∞或) (５）0()()lim0(0)[()]kx x x f x C k x α→∞→=≠>,则称当0()x x x →→∞或时,()f x 是()x α是ｋ阶无穷小，9、常用的等价无穷小当0x →时，有(1）sin ~~arcsin ~tan ~arctan ~ln(1)~1,+-xx x x x x x e (２)211cos ~.2x x -（3)1~ln (01),x a x a a -<≠(4)(1)1~+-x x αα 10、函数连续的概念 （1） 函数连续的定义设()y f x =在点0x 及其邻域()U x 内有定义，若(i)000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=或（i ｉ)00lim ()()x x f x f x →=或(ｉii)0,0,εδ∀>∃>当0:x x x δ-<时，有0()().f x f x ε-< 则称函数()y f x =在点0x 处连续设()y f x =在点00(,]x x δ-内有定义，若00lim ()()x x f x f x -→=，则称函数()y f x =在点0x 处左连续,设()y f x =在点00[,)x x δ+内有定义,若00lim ()()x x f x f x +→=，则称函数()y f x =在点0x 处右连续若函数()y f x =在(,)a b 内每点都连续,则称函数()y f x =在(,)a b 内连续若函数()y f x =在(,)a b 内每点都连续,且lim ()()x af x f a +→=，lim ()()x bf x f b -→=,则称函数()y f x =在[,]a b 上连续,记作()[,]f x C a b ∈ （2） 函数的间断点设()y f x =在点0x 的某去心邻域()oU x 内有定义 若函数()y f x =： (ｉ）在点0x 处没有定义（ii ）虽然在0x 有定义, 但0lim x x →ｆ(x )不存在;(3)虽然在0x 有定义且0lim x x →f （x )存在, 但0lim x x →f (x )≠f (0x );则函数f (x )在点0x 为不连续, 而点0x 称为函数f (x )的不连续点或间断点。