《高等数学》-各章知识点总结——第1章

第1章 函数与极限总结

1、极限的概念

(１）数列极限的定义

给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正整数N ， 使得对于n >N 时的一切n , 恒有

|x ｎ-ａ ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为

a x n n =∞

→lim 或xn →ａ (ｎ→∞)．

(2)函数极限的定义

设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时） 恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε ,

那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限， 记为

A x f x x =→)(lim 0

或f (x ）→A (当x →ｘ０).（

或lim ()x f x A →∞

=)

类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ∀>∃>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作

00

lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -

+→→==或

显然有0

lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=⇔==

如果存在常数A ,对0,0,X ε∀>∃>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞

→+∞

==或

显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞

→-∞

→+∞

=⇔==

２、极限的性质 (１）唯一性

若a x n n =∞

→lim ,lim n n x b →∞

=，则a b =

若0()

lim ()x x x f x A →∞→=0()

lim ()x x x f x B →∞→=，则A B =

(２)有界性

(i)若a x n n =∞

→lim ，则0M ∃>使得对,n N

+

∀∈恒有n x M ≤

（i ｉ)若0

lim ()x x f x A →=，则0M ∃>当0:0x x x δ<-<时,有()f x M ≤

(ii ｉ）若lim ()x f x A →∞

=,则0,0M X ∃>>当x X >时,有()f x M ≤

(3)局部保号性

(i ）若a x n n =∞

→lim 且0(0)a a ><或则N N +∃∈,当n N >时,恒有0(0)n n x x ><或

(ii ）若0

lim ()x x f x A →=，且0(0)A A ><或,则0δ∃>当0:0x x x δ<-<时,有

()0(()0)f x f x ><或

３、极限存在的准则

(i ）夹逼准则 给定数列{},{},{}n n n x y z

若①0,n N +

∃∈当0n n >时有n n n y x z ≤≤

②lim lim n n n n y z a →∞

→∞

==，

则lim n n x a →∞

=

给定函数(),(),()f x g x h x ，

若①当0

0(,)x U x r ∈(或x X >)时，有()()()g x f x h x ≤≤ ②00()

()lim ()lim ()x x x x x x g x h x A →∞→∞→→==，

则0()

lim ()x x x f x A →∞→=

(ｉi)单调有界准则

给定数列{}n x ,若①对n N +∀∈有11()n n n n x x x x ++≤≥或②()M m ∃使对

n N +∀∈有()n n x M x m ≤≥或则lim n n x →∞

存在

若()f x 在点0x 的左侧邻域(或右侧邻域)单调有界,则0

lim ()x x f x -→（或0

lim ()x x f x +→)

存在

4、极限的运算法则

（1)若0()

lim ()x x x f x A →∞→=，0()

lim ()x x x g x B →∞→=

则(i)0()

lim [()()]x x x f x g x A B →∞→±=±

（ii)0()

lim [()()]x x x f x g x A B →∞→⋅=⋅

(ii ｉ）0()

()lim

()x x x f x A

g x B

→∞→=⋅(0B ≠) (2)设（ｉ）0

0()lim ()x x u g x g x u →==且(ii ）当0

0(,)x U x δ∈时0()g x u ≠

（iii ）0

lim ()u u f u A →=

则0

lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==

5、两个重要极限

（１)

0sin lim

1

x x

x →=()0sin ()

lim

1()u x u x u x →=

sin lim

0x x x ∞→=,1lim sin 1x x x →∞=,01

lim sin 0x x x

→=

（2）1lim 1x

x e x →∞⎛

⎫+= ⎪⎝⎭)

()(1lim 1;()x u u x e u x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭

1

lim(1)x

x x e

→+=()

()0

1()

lim 1();v x x v v x e →+=

6、无穷小量与无穷大量的概念

（1）

若0()

lim

()0x x x x α→∞→=，即对0,0,εδ∀>∃>当0:0x x x δ<-<(或

x X >）时有()x αε<,则称当0()()x x x x α→→∞或，无穷小量

（2）

若

0()

lim ()x x x f x →∞→=∞

即对

0,0(0),

M X δ∀>∃>>或当

0:0x x x δ<-<(或

x X >）时有

()f x M

>则称当

0()()x x x f x →→∞或，无穷大量

７、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系,无穷小量的运算法则 (1）00()

()

lim ()()(),lim

()0x x x x x x f x A f x A x x αα→∞→∞→→=⇔=+=其中

(2)00()

()

1

lim ()0()0lim

()

x x x x x x f x f x f x →∞

→∞→→=≠⇒=∞（） (3)00

()

()

1

lim ()lim

0()x x x x x x g x g x →∞→∞→→=∞⇒= (4）0()

lim ()0,x x x f x M →∞

→=∞∃>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤,则