2013年高考考前模拟仿真试题

高考考前模拟仿真试题第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B = ( )（A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <- （D ）{3}x x > 【答案】A【解析】{10}{1},A x x x x =+<=<-{30}{3},B x x x x =-<=<画出数轴可以求得答案为A.2.设i 是虚数单位，则设i 是虚数单位，则31ii =- ( ) A.1122i - B.112i + C.1122i + D.112i -【答案】C 【解析】22121)1)(1()1(113ii i i i i i i i i +=+=-+-⋅=+=-，故选Ｃ． 3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出 16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )（A ）8，8 （B ）10，6（C ）9，7 （D ）12，4【答案】C【解析】一班被抽取的人数是5416996⨯=人;二班被抽取的人数是4216796⨯=人,故选C. 4.(理科)设随机变量X 服从正态分布N （0，1），P(X>1)= p,则P(X>－1)= （ ） (A)p (B) 1－p (C) 1－2p (D) 2p 【答案】B【解析】∵P(X<－1)= P(X>1),则P(X>－1)= 1－p .(文科) sin15cos15=( )A.14【答案】A【解析】1sin15cos15sin 302==14,故选A. 5．已知直线,l m αβ⊥⊂平面直线平面，有下面四个命题：（1）//l m αβ⇒⊥；（2）//l m αβ⊥⇒；（3）//l m αβ⇒⊥；（4）//l m αβ⊥⇒ 其中正确的命题 （ ）A ．（1）（2）B ．（2）（4）C ．（1）（3）D ．（3）（4）【答案】C【解析】对于(1),由,//l l ααββ⊥⇒⊥,又因为m β⊂直线平面,所以l m ⊥,故(1)正 确;同理可得(3)正确,(2)与(4)不正确,故选C. 6.已知数列{n a }满足*331l o g 1l o g ()n n a a n ++=∈N ，且2469a a a ++=，则15793l o g ()a a a ++的值是( ) （A ）15-（B ）5- （C ）5 （D ） 15【答案】B【解析】由*331log 1log ()n n a a n ++=∈N ，得13n n a a +=，所以数列{}n a 是公比等于3的等比数列，35579246()33a a a a a a ++=++⨯=，所以5157933log ()log 55a a a ++=-=-,故选B.7．在ABC ∆中，90C =，且3CA CB ==，点M 满足2,BM MA CM CB =⋅则等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B【解析】()CM CB CB CM CB ⋅=+⋅= 2||93cos135CB BM CB +⋅=+⨯=3.8．若函数()sin cos (0)f x ax ax a =+>的最小正 周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ）A ．(,0)8π-B ．(,0)8πC ．（0，0）D ．(,0)4π-【答案】A.【解析】()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+，这个函数的最小正周期是2πω，令21πω=，解得2ω=，故函数()sin cos )4f x x x x πωω=+=+，把选项代入检验点(,0)8π-为其一个对称中心.9．实数y x ,满足条件2,4,20,x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩目标函数3z x y =+的最小值为5，则该目标函数y x z +=3的最大值为( )A. 10B. 12C. 14D. 15【答案】A【解析】根据题意，不等式组2,4,20x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩所表示的平面区域一定是三角形区域，根据目标函数的几何意义，目标函数取得最小值的点必需是区域下方的顶点，求出c ，再确定目标函数的最大值.如图，目标函数取得最小值的点是其中的点A ，其坐标是(2,4)c -，代入目标函数得645c +-=，解得5c =。

目标函数取得最大值的点是图中的点B ，由方程组4,250,x y x y +=⎧⎨-++=⎩解得3,1x y ==，故目标函数的最大值是33110⨯+=.10.函数)(x f 在定义域R 上不是常数函数，且)(x f 满足条件：对任意x R ∈ ，都有)()1(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+,则)(x f 是A. 奇函数但非偶函数B. 偶函数但非奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】B【解析】()()211(1)()f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，即()f x 是周期函数，2T =，又()f x 的图像关于直线2x =对称，所以()f x 的图像关于y 轴对称，是偶函数.第II 卷(共100分)二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.向量)1,1(-=在向量)4,3(=方向上的投影为 【答案】15【解析】设向量)1,1(-=a 与)4,3(=b 的夹角为θ则向量a 在向量b方向上的投影为15a b a coa b θ===12. 已知函数f (x )的图像在点M (1,f (1))处的切线方程是2x -3y +1=0，则f (1)+f ′(1)= . 【答案】53【解析】因为(1)1f =,'2(1)3f =,所以f (1)+f ′(1)=53. 13.（理科）二项式3521()x x -的展开式中的常数项为 . 【答案】10-【解析】()()53155155211rrr rrr r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以()3345110.T C =-=- （文科）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y=x-1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为 .【答案】22(3)4x y -+= 【解析】待定系数法求圆的方程.14．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积为 cm 3.【答案】(23π+【解析】由三视图知, 该几何体为圆柱上面加上一个圆锥,所以体积为21123ππ⨯⨯+=(2π+. 15．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y =bx +a 必过点 ． 【答案】(1.5,4)【解析】线性回归直线一定经过样本中心点(,)x y .16.已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，那么双曲线的离心率为【答案】52【解析】设双曲线221kx y -=为2221x y a-=，它的一条渐近线方程为1y x a =直线210x y ++=的斜率为－2 ∵直线1y x a=与直线210x y ++=垂直 ∴1(2)1a⨯-=- 即2a =∴22c e a ===17.右面的程序框图输出的结果为 .【答案】510【解析】812892(12)2222251012-+++==-=- . 三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且1sin sin 4)cos(2-=-C B C B ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若3=a ，312sin=B ，求b ． 【解析】（Ⅰ）由1sin sin 4)cos(2-=-C B C B ，得1sin sin 4)sin sin cos (cos 2-=-+C B C B C B ， …3分 即1)sin sin cos (cos 2-=-C B C B ． 从而1)cos(2-=+C B ，得21)cos(-=+C B ． …5分 ∴32π=+C B ,故3π=A ． …7分 （Ⅱ）由312sin=B ，得3222cos =B ， …9分 ∴9242cos 2sin 2sin ==B B B ． …11分∵A aB b sin sin =，∴233924=b ，解得968=b ． …14分 19． （本小题满分14分）在数列{}n a 中，11,2a n =≥当时，其前n 项和n S 满足：21.2n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）令21nn S b n =+，求数列{}n b 的前项和.n T20．（本小题满分14分）如图，已知三角形ABC ∆与BCD ∆所在平面互相垂直，且090BAC BCD ∠=∠=，AB AC =，CB CD =，点P ,Q 分别在线段,BD CD 上，沿直线PQ 将∆PQD 向上翻折，使D 与A 重合．（Ⅰ）求证：AB CQ ⊥；（Ⅱ）求直线AP 与平面ACQ 所成的角.【解析】（I ）证明 面ABC ⊥面BCQ 又CQ BC ⊥ CQ ∴⊥面ABCCQ ∴⊥AB ……………5分（Ⅱ）解1：作AO BC ⊥，垂足为O ，则AO ⊥面BCQ ，连接OP设1AB =，则2BD =，设BP x = 由题意AP DP =则2222()2cos 45((2)222x x x ︒+-⨯⨯+=- 解得1x = ……………9分 由（Ⅰ）知AB ⊥面ACQ∴直线AP 与平面ACQ 所成的角的正弦值sin α就是直线AP 与直线AB 所成角的余弦值cos BAP ∠， ……………12分即sin α=cos BAP ∠=12，6πα∴=， 即直线AP 与平面ACQ 所成的角为6π……………14分 解2：取BC 的中点O ，BD 的中点E ，如图以OB 所在直线为x 轴，以OE 所在直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系. …6分 不妨设2=BC ，则()()()0,1,,0,2,1,1,0,0x x P D A --，……8分 由DP AP =即()()()22221111+++=+-+x x x x ，解得0=x ，所以()0,1,0P ， …………10分 故()1,1,0-=设()z y x n ,,=为平面ACQ 的一个法向量，因为()()0,1,0,1,0,1λλ==--=由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=00CQ n n 即⎩⎨⎧==--020y z x所以()1,0,1-= ……………12分 设直线AP 与平面ACQ 所成的角为,α则21221sin ===α所以6πα=即直线AP 与平面ACQ 所成的角为6π……………14分 21.（本小题满分15分）已知直线30x ky +-=所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=，直线:1l mx ny +=，试证：当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=直线30x ky +-=所经过的定点是（3，0），即点F （3，0） ∵椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8 ∴38a += 5a = ∴22216b a c =-=∴椭圆C 的方程为2212516x y += （2）∵点(,)P m n 在椭圆C 上∴2212516m n +=，22161625m n =- ∴原点到直线:1l mx ny +=的距离1d ==∴直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=恒相交222214()4(1)91625L r d m =-=-+∵05m ≤≤∴25L ≤≤22.（本小题满分15分）已知函数2()2ln f x x x =-.(I) 求函数()y f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. (II)如果函数()()g x f x ax =-的图像与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x ，且120x x <<. /()y g x =是()y g x =的导函数，若正常数,p q 满足1,p q q p +=≥.求证：/12()0g px qx +<.【解析】(Ⅰ)由2()2ln f x x x =-得到：2(1)(1)()x x f x x-+'=， 1[,2]2x ∈，故()0f x '=在1x =有唯一的极值点，11()2ln 224f =--， (2)2ln 24f =-，()(1)1f x f ==-极大值， 且知1(2)()(1)2f f f <<，所以最大值为(1)1f =-．…………………6分 (Ⅱ)2()2g x x a x'=-- ，又()0f x ax -=有两个不等的实根12,x x ， 则211122222ln 02ln 0x x ax x x ax ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，两式相减得到:1212122(ln ln )()x x a x x x x -=-+- …………………8分 于是1212121212122(ln ln )2()2()[()]x x g px qx px qx x x px qx x x -'+=-+--++- 122112122(ln ln )2(21)()x x p x x px qx x x -=-+--+- 2121,0p x x ≤>> ，21(21)()0p x x ∴--≤…………………10分要证：12()0g px qx '+<，只需证：1212122(ln ln )20x x px qx x x --<+- 只需证：211122ln 0x x x px qx x -+<+ ① 令12,01x t t x =<<，只需证：1()ln 0t u t t pt q-=+<+在01t <<上恒成立， 又∵22222(1)()11()()()q p t t p u t t pt q t pt q --'=-=++∵11,2p q q +=≥，则221,1q q p p ≥∴≥，于是由1t <可知10t -<，220q t p -< 故知()0u t '>()u t ∴在(0,1)t ∈上为增函数，则()(1)0u t u <=，从而知211122ln 0x x x px qx x -+<+，即①成立，从而原不等式成立.…15分。