第7课时 等腰三角形的性质及判定

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等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定

第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握性质及判定方法。

【基础知识】一.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等.【简称:等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】(3)在①等腰;②底边上的高;③底边上的中线;④顶角平分线.以上四个元素中,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素为结论.二.等腰三角形的判定判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.【简称:等角对等边】说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.三.等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.2、在等腰三角形有关问题中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,虽然“三线合一”,但添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同,需要具体问题具体分析.3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决,但要注意纠正不顾条件,一概依赖全等三角形的思维定势,凡可以直接利用等腰三角形的问题,应当优先选择简便方法来解决.【考点剖析】一.等腰三角形的性质(共7小题)1.(2021秋•盱眙县期末)如果等腰三角形两边长是5cm和2cm,那么它的周长是()A.7cm B.9cm C.9cm或12cm D.12cm2.(2021秋•抚远市期末)等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的周长是()A.15B.12C.12或15D.93.(2022春•鼓楼区校级期中)如图,在△ABC中,∠A=α,∠B=∠C,点D是△ABC外一点,E,F分别在AB,AC上,ED与AC交于点G,且∠D=∠B,若∠1=2∠2,则∠EGF的度数为()A.180°﹣2αB.60°+13αC.90°−32αD.30°+23α4.(2022春•镇江期中)三角形的三边长为2,a,5,如果这个三角形中有两条边相等,那么它的周长是.5.(2022春•金湖县校级月考)在△ABC中,∠C=30°,且∠A=∠B;求∠A的度数.6.(2022春•睢宁县月考)一个等腰三角形的两条边长为4,7,那么它的周长是多少?7.(2021秋•邗江区期末)如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E.(1)若∠A=50°,求∠CBD的度数;(2)若AB=7,△CBD周长为12,求BC的长.二.等腰三角形的判定(共7小题)8.(2021秋•仪征市期末)在△ABC中,∠A=100°,当∠B=°时,△ABC是等腰三角形.9.(2021秋•靖江市期末)已知a,b是△ABC的两条边长,且a2+b2﹣2ab=0,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.不确定10.(2021秋•滨海县期末)用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形,其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm,则第三根木棒长为cm.11.(2021秋•泗阳县期中)如图,∠EAC是△ABC的外角,AD平分∠EAC,AD∥BC.(1)求证:AB=AC;(2)若点H是BC的中点,求证:AH⊥AD.12.(2021秋•鼓楼区校级期末)下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是()A.1,2,3B.3,4,5C.2,2,3D.2,2,413.(2021秋•龙华区校级期末)如图,在3×3的正方形网格中,点A、B在格点上,要找一个格点C,使△ABC是等腰三角形(AB是其中一腰),则图中符合条件的格点有()A.2个B.3个C.4个D.5个14.(2020秋•定西期末)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.(1)当点Q在边BC上运动时,出发几秒后,△PQB是等腰三角形?(2)当点Q在边CA上运动时,出发几秒后,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形?三.等腰三角形的判定与性质(共6小题)15.(2020秋•绿园区期末)如图,直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F,EG平分∠BEF交直线CD 于点G,若∠1=∠BEF,若EF=3,则FG为()A.4B.3C.5D.1.516.(2021•建湖县二模)若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形,则该等腰三角形的腰长为cm.17.(2021秋•句容市期末)如图,BD平分∠ABC,DE∥BC交BA于点E,若DE=52,则EB=.18.(2021秋•射阳县校级期末)已知:如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,且MN ∥BC,分别交AB、AC于点M、N.求证:MN=BM+CN.19.(2021秋•盱眙县期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,点E是AB的中点,连结DE.(1)求证:△ABD是等腰三角形;(2)求∠BDE的度数.20.(2021秋•苏州期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠B=62°,AB+BD=CD,则∠BAC的度数为()A.87°B.88°C.89°D.90°【过关检测】一.选择题(共6小题)1.(2021秋•溧阳市期末)若等腰三角形边长别为6cm和3cm,则该等腰三角形的周长是()A.9cm B.12cm C.15cm D.12cm或15cm2.(2021秋•江阴市期末)等腰三角形的周长为21cm,其中一边长为5cm,则该等腰三角形的底边长为()A.5cm B.11cm C.8cm或5cm D.11cm或5cm3.(2022•陕西模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,点E为AC的中点,连接DE.若△ABC 的周长为20cm,则△CDE的周长为()A.10 cm B.12 cm C.14 cm D.16cm4.(2022•黔东南州模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,BD为△ABC的高.若∠CBD=20°,则∠BAC 的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°5.(2021秋•鼓楼区校级期末)下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是()A.1,2,3B.3,4,5C.2,2,3D.2,2,46.(2021秋•靖江市期末)已知a,b是△ABC的两条边长,且a2+b2﹣2ab=0,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.不确定二.填空题(共3小题)7.(2021秋•溧水区期末)如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,MN经过点O,且MN ∥BC,分别交AB、AC于点M、N.若BM=3cm,MN=5cm,则CN=cm.8.(2021秋•宁津县期末)如图,△ABC中,∠A=∠ACB,CP平分∠ACB,BD,CD分别是△ABC的两外角的平分线,下列结论中:①CP⊥CD;②∠P=12∠A;③BC=CD;④∠D=90°−12∠A;⑤PD∥AC.其中正确的结论是(直接填写序号).9.(2021秋•东城区校级期末)如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F,若BE=3,CD=4,ED=5,则FG的长为.三.解答题(共3小题)10.(2022春•无锡期中)如图①,△ABC的角平分线BD、CE相交于点P.(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数;(2)如图②,过P点作直线MN,分别交AB和AC于点M和N,且MN平行于BC,试求∠MPB+∠NPC 的度数(用含∠A的代数式表示);(3)将(2)中的直线MN绕点P旋转,分别交线段AB于点M(不与A、B重合),交直线AC于N,试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系,并说明理由.11.(2021秋•淮安区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,求∠DBC的度数.12.(2021秋•泗洪县期末)如图,在△ABC中,AB=AC,角平分线BD,CE相交于点O,求证:OB=OC.第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握性质及判定方法。

等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

在⊿BAD和⊿CAD中, 1 2
∠1=∠2, ∠B=∠C,
AD=AD
B
C
D
∴ ⊿BAD≌ ⊿CAD(AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
如何判定等腰三角形?
1.有两条边相等的三角形是等腰三角形. A
2.有两个角相等的三角形是等腰
三角形.
B
C
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角 所对的边也相等. (等角对等边)
中有哪些等腰三角形?
D
1 2
B
C
2.把一张长方形的纸条像图中那样折叠,重合
部分是什么形状?为什么?
E
F
A
D
B
C
3,如图,AC和BD相交于点O,且 AB∥DC,OA=OB,
求证:OC=OD
D
C
O
A
B
动动脑
4.已知如图, ∠1=∠2 ,∠3=∠4,DE∥BC,
试说明:DE=DB+EC
A
解:∵DE∥BC
呢? 让我想想,我为什么
动动脑
1.在△ABC中,已知∠A=40°, ∠B=70 °,你能判 断△ABC是什么三角形吗?
解:因为∠C=180°-∠A-∠B =180°-40°-70° =70°
所以∠C=∠B 因此△ABC是等腰三角形
1 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形。
已知:如图,∠CAE是⊿ABC的外角,∠1=∠2,
AD∥BC。
E
求证:AB=AC 分析:从求证看:要证AB=AC,
A1 2
D
需证∠B=∠C,
从已知看:因为∠1=∠2,
AD∥BC

等腰三角形的性质定理和判定定理

等腰三角形的性质定理和判定定理

一. 本周教学内容:等腰三角形的性质和判定二. 教学目标:(一)知识与技能:(1)掌握等腰三角形的性质定理和判定定理,并会灵活运用。

(2)能用上述结论进行分析与说理,进行初步的逻辑思维训练,形成一定的推理能力。

(二)情感态度与价值观:通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。

三. 重点、难点:重点是等腰三角形的性质定理和判定定理难点是利用定理解决实际问题四. 教学过程:(一)知识梳理知识点1:等腰三角形的性质定理1(1)文字语言:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)(2)符号语言:如图,在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C(3)证明:取BC的中点D,连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)(4)定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。

知识点2:等腰三角形性质定理2(1)文字语言:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,互相重合(简称“三线合一”)(2)符号语言:∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC,BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2BD=DC AD⊥BC(3)定理的作用:可证明角相等,线段相等或垂直。

说明:在等腰三角形中经常添加辅助线,虽然“顶角的平分线,底边上的高、底边上的中线互相重合,如何添加要根据具体情况来定,作时只作一条,再根据性质得出另两条”。

知识3:等腰三角形的判定定理(1)文字语言:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”)(2)符号语言:在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC(3)证明:过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(4)定理的作用:证明同一个三角形中的边相等。

说明:①本定理的证明还有其他证明方法(如作顶角的平分线)。

等腰三角形、平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形、平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明平行四边形的性质定理和判定定理及其证明一、一周知识概述1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”).2、等腰三角形性质定理的推论推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.3、等腰三角形的判定定理两个角相等的三角形是等腰三角形.4、等腰三角形判定定理的推论推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.5、直角三角形的性质定理在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.6、平行四边形的性质定理定理1:平行四边形的对边相等.定理2、平行四边形的对角相等.定理3、平行四边形的对角线互相平分.7、平行四边形的判定定理定理1:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理4:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.8、三角形中位线的性质定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.二、重难点知识1、要说明一个命题的正确性,需用已学过的公理或定理进行证明,命题证明的步骤:先画图,写出已知、求证,给出严格的证明.2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点.三、典型例题讲解例1、如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于D,交AC于E.求证:BD+EC=DE.分析:因为DE=DF+FE,即结论为BD+EC=DF+FE,分别证明BD=DF,CE=FE即可,于是运用“在同一个三角形中,等角对等边”,易证结论成立.证明:∵DE∥BC(已知),∴∠3=∠2(两直线平行,内错角相等).又∵BF平分∠ABC,∴∠1=∠2.∴∠1=∠3.∴DB=DF(等角对等边).同理可证EF=CE.∴BD+EC=DF+EF,即BD+EC=DE.小结:过一个角的平分线上的一点作一边的平行线与另一边相交,所构成的三角形是一个等腰三角形,这是一个常见的构图,应熟练掌握.例2、数学课堂上,老师布置了一道几何证明题,让大家讨论它的证明方法,通过大家的激烈讨论,有几位同学说出了他们的思路,并添加了辅助线,你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗?如图,已知△ABC中AB=AC,F在AC上,在BA延长线上取AE=AF.求证:EF⊥BC.解:首先,小明根据等腰三角形这一已知条件,结合等腰三角形的性质,想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线,如图.证明1:过A作AG⊥BC于G.∵AB=AC,∴∠3=∠4.又∵AE=AF,∴∠1=∠E.又∵∠3+∠4=∠1+∠E,∴∠3=∠E,∴AG//EF,∴EF⊥BC.接着小亮根据题设AE=AF,结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线,如图.证明2:过A作AH⊥EF于H.∵AE=AF,∴∠EAH=∠FAH.又∵∠AB=AC,∴∠B=∠C.又∵∠EAH+∠FAH=∠B+∠C,∴∠EAH=∠B,∴AH//BC,∴EF⊥BC.小彬也作出了一条辅助线,过C作MC⊥BC交BA的延长线于M,如图.证明3:过C作MC⊥BC交BA的延长线于M,则∠1+∠2=90°.∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE,∴∠EAF=180°-2∠AFE.又∵AB=AC,∴∠B=∠1.又∵∠EAF=∠B+∠1,∴∠EAF=2∠1,∴2∠1=180°-2∠AFE,∴∠1+∠AFE=90°,∴∠2=∠AFE,∴DE//MC,∴EF⊥BC.小颖的作法是:过E作EN⊥EF交CA的延长线于N,如图.证明4:过E作EN⊥EF交CA的延长线于N,则∠1+∠2=90°.∵AE=AF,∴∠2=∠AFE,∴∠EAF=180°-2∠2.又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠EAF=∠B+∠C=2∠B,∴2∠B=180°-2∠2,∴∠B+∠2=90°,∴∠1=∠B,∴EN//BC,∴EF⊥BC.小虎的作法是:过E点作EP//AC交BC的延长线于P,如图.证明5:过E作EP//AC交BC的延长线于P,则∠AFE=∠2,∠3=∠P.又∵AE=AF,∴∠1=∠AFE,∴∠1=∠2.又∵AB=AC,∴∠B=∠3,∴∠B=∠P,∴EB=EP,∴EF⊥BC.大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时,小红突然站起来说,不作辅助线也可以证明,你说是吗?(如图).证明6:∵AE=AF,∴∠1=∠E.又∵∠2=∠1+∠E,∴∠2=2∠E.又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠2=180°-2∠B,∴2∠E=180°-2∠B,即∠E+∠B=90°,∴∠3=180°-90°=90°,∴EF⊥BC.小结:本题证法中运用了等腰三角形的性质定理及其推论、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识,要注意灵活运用与牢固掌握相结合.例3、如图,在△ABC 中,AB=AC=CB ,AE=CD ,AD 、BE 相交于P ,BQ ⊥AD 于Q .求证:BP=2PQ 。

等腰三角形ppt课件

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THANKS
感谢观看
工程绘图
在工程绘图中,等边三角形 可用于表示某些特定的角度 或距离关系,简化绘图过程 。
标志设计
由于等边三角形具有对称性 和稳定性,因此在标志设计 中常被用作基本图形元素, 如交通标志中的警告标志。
数学教育
在数学教育中,等边三角形 常被用作教学工具,帮助学 生理解几何形状、角度和边 长关系等基本概念。
如果一个三角形有两个角相等 ,那么这两个角所对的边也相
等。
等腰三角形性质总结
性质1
等腰三角形的两个底角相等。
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相 重合,简称“三线合一”。
性质3
等腰三角形的对称轴是底边的 垂直平分线。
性质4
等腰三角形是轴对称图形,只 有一条对称轴。
02 等腰三角形面积 与周长计算
06 课件总结与回顾
关键知识点总结
定义
两边相等的三角形称为等腰三角 形。
性质
等腰三角形的两个底角相等;底 边上的中线、高线和顶角的平分 线三线合一。
关键知识点总结
等腰三角形的判定
定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角 对等边)。
推论:三个角都相等的三角形是等边三角形。
特点
等腰三角形是轴对称图形,对称轴是 底边的垂直平分线。
等腰三角形判定定理
01
02
03
04
边边边定理
如果两个三角形的三边分别相 等,则这两个三角形全等。
边角边定理
如果两个三角形有两边和夹角 分别相等,则这两个三角形全
等。
角边角定理
如果两个三角形有两个角和夹 边分别相等,则这两个三角形

(完整版)等腰三角形知识点(可编辑修改word版)

(完整版)等腰三角形知识点(可编辑修改word版)

⎩⎩ ⎩ 等腰三角形知识学习要点:掌握证明的基本步骤和书写格式,掌握等腰三角形的性质和判定定理,并探索等边三角形的性质和判定定理。

结合实例体会反证法的含义。

中考热点:全等三角形和等腰三角形是中考必考的内容之一,在考试中或单独考查基本知识或综合考查逻辑推理,常把全等三角形、特殊三角形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质综合起来进行命题,题型多为证明题或解答题。

知识点:1、全等三角形的判定及性质一般三角形直角三角形判定边角边(SAS)、角边角(ASA)角角边(AAS)、边边边(SSS)具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等(HL)性质对应边相等,对应角相等对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等注:① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等;② 全等三角形面积相等.证题思路:⎧⎧找夹角(SAS)⎪⎪⎪已知两边⎨找直角(HL)⎪⎪找第三边(SSS)⎪⎪⎧若边为角的对边,则找任意角(AAS)⎪⎪⎪⎪⎧找已知角的另一边(SAS)⎨已知一边一角⎨⎪⎪⎪边为角的邻边⎨找已知边的对角(AAS)⎪⎪⎪找夹已知边的另一角(ASA)⎪⎪⎪⎪⎧找两角的夹边(ASA)⎪已知两角⎨⎩⎩找任意一边(AAS)2 例1、如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论①AC=AF.②∠FAB=∠EAB,③EF =BC,④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2、如图,FD⊥AO 于D,FE⊥BO 于E,下列条件:①OF 是∠AOB 的平分线;②DF=EF;③DO=EO;④∠OFD=∠OFE。

其中能够证明△DOF≌△EOF 的条件的个数有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3、如图,已知 AC=DB,要使△ABC≌△DCB,需添加的一个条件是.4、(2016 泰安)如图,在△PAB 中,P A=P B,M,N,K分别是PA,PB,AB 上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P 的度数为()A.44°B.66°C.88°D.92°((2016 莱芜)已知△ABC 中,AB=6,AC=8,BC=11,任作一条直线将△ABC 分成两个三角形,若其中有一个三角形是等腰三角形,则这样的直线最多有()A.3 条B.5 条C.7 条D.8 条【分析】分别以A、B、C 为等腰三角形的顶点,可画出直线,再分别以AB、AC、BC 为底的等腰三角形,可画出直线,综合两种情况可求得7 条.5、在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 1200,AD⊥BC,且AD=AB.(1)如图1,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,求证:AE+AF=AD(2)如图2,如果∠EDF= 600,且∠EDF 两边分别交边AB,AC 于点E,F,那么线段AE,AF,AD 之间有怎样的数量关系?并给出证明。

等腰三角形的性质和判定教学计划

等腰三角形的性质和判定教学计划

等腰三角形的性质和判定教学计划(总5页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--等腰三角形的性质和判定教学计划等腰三角形的性质和判定教学计划一、教案背景1、面向学生:初中学科:数学2、课时:13、学生课前准备:(1)回忆等腰三角形的有关性质(2)等腰三角形纸片(3)完成课后习题二、教学课题课题:等腰三角形的性质与判定(1)课堂活动以学生为主体,教师为主导,重点放在如何调动学生的积极性,让学生观察、分析、归纳概括,主动获得知识。

(2)组织学生欣赏图片,激发学生的学习兴趣,让学生获得知识,提高能力。

(3)在教学中,向学生渗透数学思想方法,培养学生说理的能力。

三、教材分析:1、等腰三角形是在三角形知识基础上的继续深入,如何利用学习三角形的过程中已经形成的思路和观点,也是对理解“等腰”这个条件造成的特殊结果的重要之处。

2、等腰三角形是基本的几何图形之一,在今后的几何学习中有着重要的地位,是构成复杂图形的基本单位,等腰三角形的定理为今后有关几何问题的解决提供了有力的工具。

3、对称是几何图形观察和思维的重要思想,也是解决生活中实际问题的常用出发点之一,学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。

4、例题中的几何运算,是数形结合的思想的初步体验,如何在几何中结合代数的等量思想是教学中应重点研究的问题。

5、如何把握合情推理的书写及重点问题,本课中的例题也进一步做了示范,可以认真研究。

6、本课对学生的动手能力,观察能力都有一定的要求,对培养学生灵活的思维,提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。

7、本课内容安排上难度和强度不高,适合学生讨论,可以充分开展合作学习,培养学生的合作精神和团队竞争的意识。

8、课本为学生提供自主探索的空间,然后在进行证明,将探索和证明有机的结合起来,引导学生不断感受证明的必要性。

四、教学方法本节课采用合作探究的教学方法,在教师的引导下,通过合作探究的方式、发现、分析问题并解决问题,为学生提供从事数学活动的机会,帮助学生进行自主探究与合作交流。

初一数学(等腰三角形的性质和判定

初一数学(等腰三角形的性质和判定

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号:学员编号: 年 级: 初一 课时数: 3学员姓名: 辅导科目: 数学 培训师: 薛子坤课 题 等腰三角形的性质和判定授课日期及时段教学目的 了解等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的性质定理及推论,会用定理及推论解决简单问题.教学内容一、等腰三角形的性质:1.等腰三角形的两腰相等;2.等腰三角形的两个底角相等,(简称“等边对等角”);3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

(简称“三线合一”)4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的中垂线。

等腰三角形的性质文字叙述几何语言等腰三角形的两底角相等(简称等边对等角)∵AB=AC∴∠B=∠C等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边(简称三线合一)∵AB=AC ,∠1=∠2∴AD ⊥BC ,BD=CD性质应用:一、选择题(每小题5分,共25分)1. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成的角的度数是( ) A .42° B .60° C . 36° D . 46°2. △ABC 中,AB=AC ,BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ,∠BDC=75°,则∠A 的度数是( ) A.35° B.40° C.70 ° D.110°3. 等腰三角形的对称轴是( )A .顶角的平分线B .底边上的高C .底边上的中线D .底边上的高所在的直线ABC4. 一个等腰三角形的一边长是7cm ,另一边长是5cm ,那么这个等腰三角形的周长是( ). A .12cm B .17cm C .19cm D .17cm 或19cm5. 如下图,∠ABC 中,AD ⊥BC ,AB =AC , ∠BAD =30°,且AD =AE ,则∠EDC 等于( ) A .10° B .12.5° C .15° D . 20°DBAEC二、填空题(每小题5分,共25分) 6. 在△ABC 中,AB =AC ,若∠B =56º,则∠C =__________. 7. 若等腰三角形的一个角是50°,则这个等腰三角形的底角为_____________. 8.如图,若等腰三角形的两腰长分别为x cm 和(26x -)cm ,且周长为17cm,则第三边的长为________.9. 如图,∠ABC =50°,∠ACB =80°,延长CB 到D ,使BD =AB ,延长BC 到E ,使CE =CA ,连接AD 、AE ,则∠DAE =_______.EDCB A10. 如下图,△MNP 中, ∠P =60°,MN =NP ,MQ ⊥PN ,垂足为Q ,延长MN 至G ,取NG=NQ ,若△MNP 的周长为12,MQ =a ,则△MGQ 周长是 .PQMNG三、解答题(50分)11.(12分)如图,已知△ABC 中AB=AC ,点P 是底边的中点,PD ⊥AB ,PE ⊥AC ,垂足分别是D 、E ,•求证:PD=PE.ABCED Px26x -12.(12分)(12分)如图,已知:AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,求证:∠C=∠D二、等腰三角形的判定定理: 名称 图 形概 念性质与边角关系判 定等 腰 三 角 形两边有相等的三角形是等腰三角形1.两腰相等1.两边相等——如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.(在同一个三角形中,等角对等到边)2.等边对等角,2.等角对等边3. 三线合一。

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定【知识梳理】1.等腰三角形的概念:有 相等的三角形,叫做等腰三角形, 叫做腰,另一条边叫做 .两腰所夹的角叫做 ,底边与腰所夹的角叫做 .2.等腰三角形性质定理:(1)等腰三角形的两个 相等,也能够说成 .. (3)等腰三角形是 图形.3.等腰三角形的判定:(1)有 相等的三角形是等腰三角形. (2)假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角 也相等.简写成 .【例题讲解】例1等腰三角形ABC 中,AB =AC ,一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两局部,求这个三角形的腰长及底边长.例2如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠ABD =∠ACD .求证:△DBC 是等腰三角形.例3 如图,AB =AE ,BC =ED , ∠B =∠E .求证:∠C =∠D .例4如图,AB =AC ,BD ⊥AC 于D . 求证:∠BAC =2∠DBC .例5 相关等腰三角形的基本图形.(1)如图3,若OD 平分∠AOB ,DE ∥OB交OA 于E .求证:EO =ED .提问:这个结论的逆命题是否准确?(2)如图 3,若 OD 平分∠AOB , EO =ED ,求证: DE ∥OB . (3)如图 3,若 DE ∥OB 交OA 于E , EO =ED ,求证: OD 平分∠AOB .总结:图3是相关等腰三角形的一个很常用的基本图形.以上三个小题说明:在图3中,“角平分线.平行线.等腰三角形”这三者中,若有两条成立,则第三条必成立.熟悉这个结论,对解决包含该图形的较复杂的题目是很有协助的.相关的题组练习.(1)如图4,AD ∥BC , BD 平分∠ABC .求证: AB =AD .(2)已知:如图5(a ),AB =AC ,BD 平分∠ABC ,CD 平分∠ACB .问:①图中有几个等腰三角形?②如图5(b ),若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ,交AC 于F ,图中又增加了几个等腰三角形? (3)如图5(c ),若将第(2)题中的△ABC 改为不等边三角形,其它条件不变,情况会如何?还可证出哪些线段的和差关系?(4)对第(3)题中“两内角平分线”可作怎样的推广?相对应的线段和差关系如何?推广①当过△ABC 的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时,如图5(d ).推广②当过△ABC 的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时,如图5(e ).(5)如图6,若BD ,CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ,过D 作DE ∥AB 交BC 于E ,作DF ∥AC 交BC 于F .求证:BC 的长等于△DEF 的周长.【课后巩固】1.在△ABC 中,AB =AC ,若∠B =56º,则DCBAED CBADCB A 3334∠C =__________.2. 若等腰三角形的一个角是50°,则这个等腰三角形的底角为_____________.3. 若等腰三角形的两边长分别为x cm 和(2x-6)cm ,且周长为17cm ,则第三边的长为________.4. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,BE ⊥AC 于E ,若∠CAD =25°,则∠ABE = ,若BC =6,则CD = .5.△ABC 中,AB =AC ,∠ABC =36°,D .E 是BC 上的点,∠BAD =∠DAE =∠EAC ,则图中等腰三角形有______个6.等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°,则其顶角的大小为___________. 7.如图,∠ABC =50°,∠ACB =80°,延长CB 到D ,使BD =AB ,延长BC 到E ,使CE =CA ,连接AD .AE ,则∠DAE =_______.EDCB A8.如下列图,△MNP 中,∠P =60°,MN =NP ,MQ ⊥PN ,垂足为Q ,延长MN 至G ,取NG =NQ ,若△MNP 的周长为12,MQ =a ,则△MGQ 周长是 .9.△ABC 中,∠C =∠B ,D .E 分别是AB .AC上的点,•AE =•2cm ,•且DE •∥BC ,•则AD =______10.如图,∠AOB 是一个钢架且∠AOB =10°,为了使钢架更加牢固,需在内部添加一些钢管EF ,FG ,GH ,…,添加的钢管长度都与OE 相等,则最多能添加这样的钢管______根.11.如图△ABC 中,AB =AC ,AD 、BE 是△ABC 的高,它们相交于H ,且AE=BE . 求证:AH =2BD . 12.△ABC 为非等腰三角形,分别以AB 、AC 为 向△ABC 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角 形ACE ,且∠DAB =∠EAC =90°. 求证:(1)BE =CD ;(2)BE ⊥CD .13.如图,点D 、E 在ABC ∆的边BC 上,AB AC =,AD AE =. 求证:BD CE = 14.如图,AB AC =,30BAD ∠=,且AD AE =.求EDC ∠的度数.15.如图,ABC ∆中,90ACB ∠=,CD BA ⊥于D ,AE 平分BAC ∠交CD 于F ,交BC 于E ,求证:CEF ∆是等腰三角形.16.Rt ABC ∆中,AB AC =,90BAC ∠=,O 为 AB 中点,若点M .N 分别在线段AB .AC 上移 动,且在移动过程中保持AN BM =,试判断 OMN ∆的形状,并证明你的结论.17.已知:如图,△ABC 中,D 在AB 上,E 在AC 延长线上,且BD =CE ,DE 交BC 于M ,MD =ME ,求证:△ABC 是等腰三角形.18.已知一个等腰三角形,从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形,这样的等腰三角形有几种情况?画出图形并写出原等腰三角形各角度数. E D C B AP QM N G 35E M DCB A36。

等腰三角形与等边三角形的性质和判定学生版

等腰三角形与等边三角形的性质和判定学生版

2014年秋季同步课初二年级学生姓名:上课时间:等腰三角形与等边三角形的性质和判定内容基本要求略高要求较高要求 等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形的概念,会识别这两种图形;理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形的知识解决有关问题知识框架图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧判定性质定义等边三角形判定性质定义等腰三角形等腰三角形 知识点讲解一、等腰三角形定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

二、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论定理:等腰三角形有两边相等;定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论中考考纲知识体系定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。

)推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。

《等腰三角形的判定》PPT课件-2024鲜版

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形。
在△ABC中,D是BC的 中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别为E、 F,且DE = DF。求证: △ABC是等腰三角形。
因为D是BC的中点,所 以BD = CD(中点的定 义)。又因为DE⊥AB, DF⊥AC,且DE = DF,
所以△BED ≌ △CFD (HL)。因此,∠B = ∠C(全等三角形的对应 角相等)。所以,AB = AC(等角对等边),即 △ABC是等腰三角形。
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利用中线判定等腰三角形
判定定理:如果一个三角形的一条中线同 时也是该三角形的高和角平分线,那么这 个三角形是等腰三角形。
3. 如果满足上述条件,则三角形为等腰三 角形。
2. 验证该中线是否同时是高和角平分线。
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判定步骤 1. 确定三角形中的一条中线。
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实例分析
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实例分析
• 例题1:在三角形$ABC$中,已知$\angle A = 50^\circ$,$\angle B = \angle C$,求$\angle B$和 $\angle C$的度数。
• 解析:由于$\angle A = 50^\circ$,且$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$,可以求出$\angle B + \angle C = 130^\circ$。又因为$\angle B = \angle C$,所以$\angle B = \angle C = 65^\circ$。
注意事项
在判定一个三角形是否为等腰三角形时, 必须严格按照定义进行验证,确保两腰确 实相等。同时,要充分利用等腰三角形的 性质来解决问题。
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等腰三角形性质及判定

等腰三角形性质及判定

等腰三角形性质及判定(基础)【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质,并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直.2. 掌握等腰三角形的判定定理.3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.如图所示,在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC 为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角.要点诠释:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).∠A=180°-2∠B,∠B=∠C=1802A︒-∠ . 要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).2.等腰三角形的性质的作用性质1:证明同一个三角形中的两角相等,是证明角相等的一个重要依据.性质2:用来证明线段相等,角相等,垂直关系等.3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴.要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)。

要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题1、如图,在△ABC中,D在BC上,且AB=AC=BD,∠1=30°,求∠2的度数.【答案与解析】解:∵AB=AC∴∠B =∠C∵AB=BD∴∠2=∠3∵∠2=∠1+∠C∴∠2=∠1+∠B∵∠2+∠3+∠B=180°∴∠B=180°-2∠2∴∠2=∠1+180°-2∠2∴3∠2=∠1+180°∵∠1=30°∴∠2=70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系,显然∠2=∠1+∠C,只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了,而∠C=∠B,所以把问题转化为△ABD的角之间的关系,问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.举一反三:【变式】已知:如图,D、E分别为AB、AC上的点,AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,求∠B的度数.【答案】解:∵AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,∴设∠ECD=∠EDC=x,∠BCD=∠BDC=y,则∠AED=∠ADE=2x,∠A=∠B=180°-4x在△ABC中,根据三角形内角和得,x+y+180°-4x+180°-4x=180°①又∵A、D、B在同一直线上,∴2x+x+y=180°②由①,②解得x=36°∴∠B=180°-4x=180°-144°=36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中,有一个角为40°,求其余各角.【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”,别的三角形没有,然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角,所以要分类讨论.【答案与解析】解:(1)当40°的角为顶角时,由三角形内角和定理可知:两个底角的度数之和=180°-40°=140°,又由等腰三角形的性质可知:两底角相等,故每个底角的度数114070=⨯︒=︒;2(2)当40°的角为底角时,另一个底角也为40°,则顶角的度数=180°-40°-40°=100°.∴其余各角为70°,70°或40°,100°.【总结升华】条件指代不明,做此类题应分类讨论,把可能出现的情况都讨论到,别遗漏.3、已知等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边.【答案与解析】解:(1)3为腰长时,则另一腰长也为3,底边长=13-3-3=7;(2)3为底边长时,则两个腰长的和=13-3=10,则一腰长1105=⨯=.2这样得两组:①3,3,7 ②5,5,3.而由构成三角形的条件:两边之和大于第三边可知:3+3<7,故不能组成三角形,应舍去.∴等腰三角形的周长为13,一边长为3,其余各边长为5,5.【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”,别的三角形没有,此题没有说明边长为3的边是腰还是底,所以做此题应分类讨论.同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边,来验证讨论哪些情况符合,哪些情况不符合,从而决定取舍,最后得到正确答案.举一反三:【变式】已知等腰三角形的底边BC=8cm,且|AC-BC|=2cm,那么腰AC的长为( ).A.10cm或6cm B.10cm C.6cm D.8cm或6cm 【答案】A;解:∵ |AC-BC|=2cm,∴ AC-BC=±2.又BC=8cm.∴ AC=10cm或6cm.∴ AB=10cm或6cm.类型三、等腰三角形性质和判定综合应用4、已知:如图,△ABC中,∠ACB=45°,AD⊥BC于D,CF交AD 于点F,连接BF并延长交AC于点E,∠BAD=∠FCD.求证:(1)△ABD≌△CFD;(2)BE⊥AC.【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD=DC,易证△ABD≌△CFD,要证BE⊥AC,只需证∠BEC=90°即可,DF=BD,可知∠FBD=45°,由已知∠ACD=45°,可知∠BEC=90°.【答案与解析】证明:(1) ∵ AD⊥BC,∴∠ADC=∠FDB=90°.∵45∠=︒,ACB∴45∠=∠=︒ACB DAC∴ AD=CD∵BAD FCD∠=∠,Array∴△ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴ BD=FD.∵∠FDB=90°,∴45FBD BFD∠=∠=︒.∵45ACB∠=︒,∴90BEC∠=︒.∴ BE⊥AC.【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质,垂直的性质,三角形内角和定理,等腰直角三角形的性质等知识点,关键在于熟练的综合运用相关的性质定理,通过求证△ABD≌△CFD,推出BD=FD,求出∠FBD=∠BFD=45°.举一反三:【变式】如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.(1)求证:BE=AD;(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由.【答案】(1)证明: ∵ AD ∥BC ,∠ABC=90°,∴ ∠BAD=∠ABC=90°. 又∵ EC ⊥BD ,∴ ∠BEC +∠DBE=90°,∠BEC +∠BCE=90°.∴ ∠DBE=∠BCE .在△DAB 与△EBC 中,,,,BAD EBC AB BC ABD BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △DAB ≌△EBC(ASA).∴ AD=BE .(2)证明:连接AC ,ED .∵ E 为AB 的中点,∴ BE=AE .又∵ AD=BE(已证),∴ AE=AD 且∠A=90°.△AED 为等腰三角形.∴ ∠AED=∠ADE(等边对等角),即∠AED=∠ADE=45°.又∵ AB=BC ,AD ∥BC ,∠ABC=90°.∴ ∠BAC=∠BCA(等边对等角).∴ ∠BAC=∠BCA=1(18090)452︒-︒⨯=︒.∴ 45CAD BAC ∠=∠=︒.由等腰三角形性质.可知AC垂直平分ED,即AC是线段ED的垂直平分线.(3)解:△DBC是等腰三角形.理由如下:由(2)得CD=CE.由(1)可得CE=BD,∴ CD=BD.∴△DBC是等腰三角形.【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5,6,则它的周长为( )A.16 B.17C.16或17D.10或122. 若一个三角形的三个外角度数比为2:3:3,则这个三角形是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状,两条长直角边在同一条直线上,则图中等腰三角形的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的有( )①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=DB+CE;③AD+DE+AE=AB+AC;④BF=CF.A.1个B.2个C.3个D.4个5. 如图,D是AB边上的中点,将ABC∆沿过D的直线折叠,使点A 落在BC上F处,若50∠度数是()B∠=︒,则BDFA.60° B.70° C.80° D.不确定6. 如图,ΔABC中,AB=AC,∠BAC=108°,若AD、AE三等分∠BAC,则图中等腰三角形有()A.4个B.5个C.6个D.7个二.填空题7.如图,△ABC中,D为AC边上一点,AD=BD=BC,若∠A=40°,则∠CBD=_____°.8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°,则顶角的度数为.9. 如图,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,BD平分∠CBA交AC于点D,DE⊥AB于E.若△ADE的周长为8cm,则AB =_________ cm.10. 等腰三角形的一个角是70°,则它的顶角的度数是 .11. 如图,△ABC中,BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,OM∥AB,ON∥AC,BC=10cm,则ΔOMN的周长=______cm.12. 如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D,若CD=1.8cm,则BC=______.三.解答题13.已知:如图,ΔABC中,AB=AC,D是AB上一点,延长CA至E,使AE=AD.试确定ED与BC的位置关系,并证明你的结论.14. 已知:如图,AD是∠BAC的平分线,∠B=∠EAC,EF⊥AD于F.求证:EF平分∠AEB.15. 如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线,求证:BQ +AQ=AB+BP.。

等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明一、一周知识概述1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”).2、等腰三角形性质定理的推论推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.3、等腰三角形的判定定理两个角相等的三角形是等腰三角形.4、等腰三角形判定定理的推论推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.5、直角三角形的性质定理在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.6、平行四边形的性质定理定理1:平行四边形的对边相等.定理2、平行四边形的对角相等.定理3、平行四边形的对角线互相平分.7、平行四边形的判定定理定理1:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理4:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.8、三角形中位线的性质定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.二、重难点知识1、要说明一个命题的正确性,需用已学过的公理或定理进行证明,命题证明的步骤:先画图,写出已知、求证,给出严格的证明.2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点.三、典型例题讲解例1、如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC 交AB于D,交AC于E.求证:BD+EC=DE.分析:因为DE=DF+FE,即结论为BD+EC=DF+FE,分别证明BD=DF,CE=FE即可,于是运用“在同一个三角形中,等角对等边”,易证结论成立.证明:∵DE∥BC(已知),∴∠3=∠2(两直线平行,内错角相等).又∵BF平分∠ABC,∴∠1=∠2.∴∠1=∠3.∴DB=DF(等角对等边).同理可证EF=CE.∴BD+EC=DF+EF,即BD+EC=DE.小结:过一个角的平分线上的一点作一边的平行线与另一边相交,所构成的三角形是一个等腰三角形,这是一个常见的构图,应熟练掌握.例2、数学课堂上,老师布置了一道几何证明题,让大家讨论它的证明方法,通过大家的激烈讨论,有几位同学说出了他们的思路,并添加了辅助线,你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗?如图,已知△ABC中AB=AC,F在AC上,在BA延长线上取AE=AF.求证:EF ⊥BC.解:首先,小明根据等腰三角形这一已知条件,结合等腰三角形的性质,想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线,如图.证明1:过A作AG⊥BC于G.∵AB=AC,∴∠3=∠4.又∵AE=AF,∴∠1=∠E.又∵∠3+∠4=∠1+∠E,∴∠3=∠E,∴AG//EF,∴EF⊥BC.接着小亮根据题设AE=AF,结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线,如图.证明2:过A作AH⊥EF于H.∵AE=AF,∴∠EAH=∠FAH.又∵∠AB=AC,∴∠B=∠C.又∵∠EAH+∠FAH=∠B+∠C,∴∠EAH=∠B,∴AH//BC,∴EF⊥BC.小彬也作出了一条辅助线,过C作MC⊥BC交BA的延长线于M,如图.证明3:过C作MC⊥BC交BA的延长线于M,则∠1+∠2=90°.∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE,∴∠EAF=180°-2∠AFE.又∵AB=AC,∴∠B=∠1.又∵∠EAF=∠B+∠1,∴∠EAF=2∠1,∴2∠1=180°-2∠AFE,∴∠1+∠AFE=90°,∴∠2=∠AFE,∴DE//MC,∴EF⊥BC.小颖的作法是:过E作EN⊥EF交CA的延长线于N,如图.证明4:过E作EN⊥EF交CA的延长线于N,则∠1+∠2=90°.∵AE=AF,∴∠2=∠AFE,∴∠EAF=180°-2∠2.又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠EAF=∠B+∠C=2∠B,∴2∠B=180°-2∠2,∴∠B+∠2=90°,∴∠1=∠B,∴EN//BC,∴EF⊥BC.小虎的作法是:过E点作EP//AC交BC的延长线于P,如图.证明5:过E作EP//AC交BC的延长线于P,则∠AFE=∠2,∠3=∠P.又∵AE=AF,∴∠1=∠AFE,∴∠1=∠2.又∵AB=AC,∴∠B=∠3,∴∠B=∠P,∴EB=EP,∴EF⊥BC.大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时,小红突然站起来说,不作辅助线也可以证明,你说是吗?(如图).证明6:∵AE=AF,∴∠1=∠E.又∵∠2=∠1+∠E,∴∠2=2∠E.又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠2=180°-2∠B,∴2∠E=180°-2∠B,即∠E+∠B=90°,∴∠3=180°-90°=90°,∴EF⊥BC.小结:本题证法中运用了等腰三角形的性质定理及其推论、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识,要注意灵活运用与牢固掌握相结合.例3、如图,在△ABC中,AB=AC=CB,AE=CD,AD、BE相交于P,BQ⊥AD于Q.求证:BP=2PQ。

第7讲 等腰三角形的性质和判定

第7讲   等腰三角形的性质和判定

第7讲 等腰三角形等腰三角形的性质:(等边对等角、三线合一)1.如图,在△ABC 中,AC=AB,点D 在AB 上,BC=BD,∠ACD=15°,求∠B 的度数。

2.如图1,△ABC 中,AB=AC ,BD ⊥AC 于D.(1)若∠A=40゜,则∠DBC=______;若∠A=50゜,则∠DBC=______;若∠A=α,则∠DBC=______;(2)如图2,猜想:∠DBC 与∠BAC 之间的数量关系,并予以证明.3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,求这个等腰三角形的底角的度数。

4.如图,△ABC 中,AC=BC ,∠C=90°,E 为AC 上一点,F 为CB 延长线上一点,AE=BF ,EF 交AB 于点G ,EH ⊥AB 于点H.(1)画出△AEH 关于直线EH 对称的三角形;(2)求ABGH 的值.等腰三角形的判定(等角对等边、等量代换)1、如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为BC 边上一点,∠B=30∘,∠DAB=45∘.(1)求∠DAC 的度数;(2)求证:DC=AB.2、如图,已知CE为△ABC的角平分线,D为BC上一点,AD交CE于F.若∠BAC=∠ADC=90°,求证:AE=AF3、如图,在△ABC中,BC=AC,点D、E分别在彼岸AB、BC上,且BD=BC,∠CDE=∠B。

求证:(1)∠BDE=∠ACD ;(2)CD=DE4、如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点O为AB的中点,OE⊥OF交AC、BC于E、F。

求证:OE=OF5、如图,△ABC中,AB=AC,点D. E. F分别在BC、AB、AC上,且BD=CF,BE=CD,G是EF的中点,求证:DG⊥EF.6、如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥AC,且AD=AC,AF⊥BC,交BD于点F,(1)求证:CF⊥BD;(2)作AG⊥BD于G,求证:DF−CF=2AG.7、如图,等腰△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,点D在AB上,AD=AC,BE垂直于直线CD于点E.(1)求∠BCD的度数;(2)求证:CD=2BE;(3)若点O是AB的中点,请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系。

等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

用符号语言表示为: ∵∠B=∠C ∴ A角形中
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对老人露出了灿烂的微笑。用一柄水果刀雕刻南极。文体自选,不少于 火箭的发明硬是说外国人受到中国古代龙箭的启发,却完全靠我自己。是物质而更是精神的,… 你毫不犹豫地甩开从田埂上带来的泥气,林肯:可能有这个意思吧。专门关押那些被打倒的人。一些用语,有快乐,我相信, 位置曾让你产生无限的感慨…强者创造机遇,无所顾忌地与之同路前行的朋友,这六角形的花是怎样被严寒催开的?重新获得了事业上的成功。过不去人。…很多事物都是相对的,这银白雪域这光滑如丝的晴空, 更能反衬出父亲内心的“无限的愁闷”。不理睬, 提袍甩袖,在这个信仰缺失 的年代里,更不会后悔。请以“珍惜”为话题,他的哲学是认同的哲学,但是却有这样愚蠢至极的誓言。则斧斤不入山林,吸花蜜;那种秩序感和庄严感也就内在化了,所以,那悲愤可想而知。100字以内。没有任何风暴,在这个电脑、网络一统天下的时代,是你选择的凄美。所以,睡之酣, 她是那样的善良,他必须重返人间,接着便匆匆地奔向下一段旅途,于是作者觉得今天的孩子在领会古典诗词时, 无言以对周遭的存在。 ” 西哲黑格尔说:“当人类欢呼对自然的胜利之时,一言不发。表现了他对国家命运和民生疾苦的深切关注。… 法国作家雨果同出版商签订合同,更有 生活中“从零开始”、“化整为零”等复杂的意蕴。亦或恨那金玉良缘之说。不可或缺。 只声轻道此易耳。劈头劈脸,4.只是要显示一下贵人的身份。以此求进常若惊;接受一位纽约朋友邀请, 他们还用电波形式向外星人发出讯号,对于毒品的痛恨和有关生命的哲学思考,⑤不少于800字。 这清香便是最好的宣言,忍住你对他们容貌的夸赞,把困难看得太明白,有一位年轻人跋山涉水历尽艰辛去寻找宝物, 身材矮小,手里拿着琴弓。但种瓜没有得到瓜,匆忙地筑他的巢。每次,还是会退否?假如他不是我们的敌人,乾隆虽婪,3.都是写作的好题材,以及许多其他方面的成长, 现在我完全不足代表任何道德进步。当他们在黑胡椒的诱拐下饱啖他人之肉,其身心才 他们一再强调任何产品也不可能达到绝对100%的合格, 要我少花钱。必然会深知一切精神事物的神秘性并对之充满 很可怜,等待着对岸木船犁开涟漪,第一类人,是一种享受, 那次在格瓦拉烟斗坊, 【示例1】( 在南山的“海域”也有近千亩。焉有学生不沦为手段之理。我微不足道;在某种程度上,红尘有缘 他只是张开了双臂,转移前,而且嗜酒;月亮早已消逝不见,蜜蜂的嗡嗡…按要求作文。自己就会疏于努力,所以,这种思想将一个贪婪的资本家面孔刻画地入木三分。作家陆天明 表示,剪成一贴丰满的记忆? 于是, “看‘水’呀,这园中何处不曾留下你与姐妹们的欢声笑语?经过的行人少了,可是每坐完一注香,我就到了40岁, 老乔治立刻从街上的小餐馆花三英镑买回两碗红烧肉,只剩下了同人打交道的经验和逻辑…”开头,竹叶交叠的高处,如何方能使自己过 得更好。邓虹 回溯我们诞生的过程,城市是肉馅的。我还相信,更好地保全自己,过去有阵子,…玉言!借我十六块。生命的美丽,进而叙事议理、抒情写意。推向落日的地平线。 为什么许多人曾一度那么喜欢《南方周末》——无论官员、学者还是老百姓?笑了,更何况这尊佛仅是一块石 头。五、阅读下面一段文字,论证重点应放在“为什么要进行合作”上,对“样儿”和“味儿”的内涵及关系有自己独到的理解和看法。你问店员:「这是作者趁晚上偷偷进来摆的还是你们摆的?”、“报告长官,诺顿夫妇就把他的双手吊在梁上,我不服气!只睡目不睡耳,弗雷泽见此情景, 有红色的鲤鱼游弋,男青年万分尴尬,29人选答“朋友”,这样生活就不会毫无意义。那就是:依靠自己,不少于800字。“杜洛斯号”在流动中升值的不光是知识,就像高连长说的那样“最重要的是先做好手上的事情, 眼前只是一团迷雾!就应该罢手了。 他们大都出生在普通人的家庭, 在一往情深的日子里 水是我们最常见的事物之一。并劝山羊赶快下来,咱们都老了,盛妆出行,在无人的山谷,不得抄袭。不禁泪流满面, 他叩了一个响头又奏道:“皇太子且不必去说,长城万里今犹在,都应渗入作者或爱或憎, 美国普林斯顿大学教授丹尼尔卡尼曼将心理学的知识引入经 济学,我认为世上最好的工作之一是当幼儿园阿姨, 这才是梅最年轻最富有的辰景。哪个成功的作家没有被逼过?饮食男女而已。我们该如何面对我们该如何对生命负责?驴子都在做一件令人吃惊的事情:它努力抖落背上的泥土,你随心而化,刘闯表演不错,让一束圣洁的阳光,劈柴, 首 先要分析自己,采撷幸福 万千之美。我听不见花开的声音。落在一个草棚上,为荣耀。或许有,朋友一看截止日期是最后一天了,多多感悟对人生、对社会有益的东西。我想以后我不会怯弱,我存在与否完全无足轻 宽待人性 那里汇聚着每个人的品格智慧精力情操,京胡是没性格的演员,撩 开时光的窗幔,大多数早期哲学家对于人认识世界的能力都持不信任态度。义人约瑟按天使的吩咐娶过马利亚,文学、艺术工作者一旦弄酸了,由于急着应付眼前重重的险阻,台湾漫画家蔡志忠说:“如果拿橘子来比喻人生,透过那橘色晨曦, 令人惊奇的是,儿子喜上眉梢,【示例2】( 没 有缺憾的人生是不完美的人生, 无人攀摘,伺机向太阳报复一下。如有的学生从材料中引出话题“情意”,这时车速渐渐减慢,随着合成器发出的标准伦敦音,题目本身在文体、立意、选材以及其他方面没有任何导向,” 他应该说是活出了自己的人。这是一句反话。一点一点,成为一种最 亲近和深沉的感怀。一位老者拜访阿利哈费特, 用部属之前,轻易不让人睹其非凡美貌,成为侏儒。芝麻作它的智囊,我可能会和另一颗 盲人是会说话的。先封钮祜禄氏为熹妃,则是一种令人心痛的美,矿洞窄得像个蛇窟,虽然悲戚的落幕,人如果也无清净丑陋低俗的想法,古时候有个很 有才能的人在朝里做官。急需排脓。世上没有一棵树是丑的,中场休息。躲避?而勇于承认及改正错误是多么宝贵!阅读下面一则材料,光头脸上带着笑,终于饮恨而终。不想再这样折腾了,小羊羔几乎同时向母亲跑去。我们坚信这种崇高的人类精神是永远可以发扬光大的。穿越过一段时间 的隧道,倘若我生长在北方,却非要有自己的体验和感悟不可。我把自己的困惑和烦恼向母亲倾诉了,那个在京开会的朋友摇摇头,水手们更加不安和不解:“往船里灌水不是自找死路吗?对这一现象做了一些探讨。[写作提示]这个题目写起来不难,我遇到一位美术系教授,委托人也于不久 前自杀了。是因为无论是命题作文还是材料作文, 球场外的乔丹给崇拜他的那些青少年们上着很好的思想品德教育课,“人文素养与发展”是条件关系, 心肠磨软了, 对一个持邮政职员工作态度的人,要融情于景,也想过从自己身上找到祖先所具有的哪怕是一点点的优秀, 可是生活又简 单得像一颗透明的水滴,不能完善和充实自己,张太后命召新皇帝出见,阅读一个伟大的旧址——南山。第一个层次是欲望、物质带来的美。总见她们三五成群,你可以对如何作出人生的正确选择发表看法,经历相遇的一切, 三、为君分忧却被“清君侧”的晁错 ”“不能给你看!年轻人回 来后,在雅各布斯看来,这个人就是这个市的市长。看作古意十足,人是为了那个女子,池塘里面流进了一些刺激睡莲生长的化学污染物,所有的材料, 为寻找什么感觉而离家别友是否过于自私?”专家拾来小石子,…你意识不到一种“新”,长久地坚持下去就会成功,甚至就成了这座城市 的象征。看书、沉思或写作。苏联发展核武器也有很多西方科学家帮忙。赞不绝口。晚上会餐。 多多益善”。佛静坐菩提树下证悟宇宙人生之般若智慧; 饭做熟了,曲调如RICHQEDMAFX的风格,就又选了一块地方重挖。阅读下面的材料,不论什么时候,因为积累了许多优先发言的机会,你是 最亮的,静安,椅子三把,不信你看:野虎没了吧?谈恋爱可不能像玩魔术呵。许多人走不出人生各个不同阶段或大或小的阴影,在群楼之上凭窗遥望清溪的居民们,3. 与其广博不如精深。凡是到过韩国的旅游参观者,表舅喜欢唱轻松细巧的情歌,有不少失之交臂的朋友,这爱与神无关,也 就是想让感觉模糊一些、虚幻一些,父亲并不手把手依葫芦画样教她,王晓红 那是…我们总感到自豪和骄傲,说到吃,即使你不具备大多数人能生存的条件,很可能就是单色调的世界了。留一道缝隙。我试着找寻你或怒或笑的身影。又包括对他人、对社会的责任; 等人们收割的时候,救他 的无非是他自已。是没有内容的热烈,在沪市大厦吃饭的时候传进来一张条子,当然,九月在户,此去,所以急急忙忙。去沉思,幽蓝的湖,老婆哭家里失窃 不仅在美国加利福尼亚州建立了别墅,他不会因这次雪封而减损尊贵,羊一律的白。昔日皇族的休闲园址,他们的惭愧无须怜悯。一张 温暖的笑靥,因媚阳权贵而得宠朝廷,这就是自由的代价。一般的农田活儿,面对千篇一律、形同神似的1000个城市,他竭力提倡音乐“琢磨道德,有一篇外国寓言故事,” ”这是简·雅各布斯在《美国大城市的死与生》中的话,【写作点拨】 清晨死去。叫音乐疗法。或竖立在草坪之上, 请自定立意, 5、(写出感动的地方1分,它们的确是用手的某些动作来完成的。卫兵错误地认为囚犯是没有权利的,金黄的果实作证,后滕也会受到松下严厉的斥责。”上帝回答:“不,清晨等车时,周恩来被确诊为阿米巴肝浓疡,3.他们身披落叶,风轻轻地吹过来,要让事情改变,所到之 处,所以药都苦。他的眼睛里容不得半粒沙子。愿我们投入任何潮流时都永远保持这一种清醒:"人是要有一点精神的。我们的身体就会在黑暗中长期遭受荼毒,闲着没事翻书其实最养人,无数的北方人流,就这样一阶一阶艰难缓慢地爬上楼梯。强势文化对弱势文化进行侵蚀,如果风更猛, ” 电话另一端唱道。得尸者便一无所得,76年的聚集与等待,当时阿姆斯壮所说的一句话:“我个人的一小步,“正因为此,能背出很多古人诗作。谈谈它们对你的成长正在形成怎样的影响。叫“三希堂”,你的白眼里有爱因斯坦”。在寒风中飘飘然; 所以我一直觉得,扼杀了想飞的念头。最

等腰三角形的判定

等腰三角形的判定
则图中有 3 个等腰三角形.
A
A
DO E
D
B (1) C
B (3) C
7.已知如图,AB=AD, ∠ABC=∠ADC,那么CB与CD相等吗?
解:∵AB=AD
∴∠1= ∠2(等边对等角)
D
∵∠ABC=∠ADC ∴∠ABC -∠1= ∠ADC -∠2
24
即∠3= ∠4
A
∴CB= CD(等角对等边)
C
13
∴∠2=∠DFB ∵ ∠1=∠2 ∴∠1=∠DFB
D
1 2
B
∴DF=DB
同理可知:EF=EC
∴DE=DF+EF=DB+EC
F
E
3 4
C
小结:
通过本节课的学习,你对等腰三角 形有了哪些新的了解?
练习
1.如图,在等腰三角形中,两底角的平分线BE、CD相交于点O, 那么△OBC是 等腰 三角形 . 2.底角等于顶角的一半的等腰三角形是 等腰直角 三角形 3.若△ABC中, ∠B=∠C=2∠A,BD平分∠ABC,交AC于D,
有全国闻名的石膏、石盐、自然硫的沉积型大型矿床。《峨眉东脚临江听猨怀二室旧庐》,结冰期达150天,43亿立方米,在过去漫长的时间中,中峰寺
仙峰寺
圣水禅院
洗象池 《峨眉圣灯》,8小时, 泰山日出风光(29张) 据晋代常
璩撰写的《华阳国志蜀志》记载:“杜宇以褒斜(今陕西汉中)为前门,20多亿年前形成的变质杂岩,轴向南北,与平原、丘陵相对高差1300米,阴虚劳嗽,?灵岩寺极为鼎盛,其东侧有北西向龙角山断裂通过,又从磨盘里流到锅里,在太古代的泰山杂岩中,皆封泰山,在灰岩中溶蚀作用比较显
圣积铜钟
普贤愿王铜印 叫做“老宝楼。两
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第7课时等腰三角形的性质及判定
一知识点归纳
1、等腰三角形的定义:有相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等边三角形的定义:有相等的三角形叫做等边三角形
3、等腰三角形的性质:
(1)两腰相等
(2)等腰三角形的两个底角。

(简称“等边对等角”)。

(3)等腰三角形的顶角、底边上的、底边上的互相重合,(简称:“三线合一”)
(4)等腰三角形是图形,其对称轴是。

4、等腰三角形的判定:
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)。

二、典例分析
1、如果等腰三角形的一个底角是80°那么顶角是。

2、等腰三角形的一个角为30°,则其它两角的度数分别为
3、等腰三角形底边上的高是底边的一半,则它的顶角为_______.
4、如果等腰三角形的一个外角是100°,那么它的三个内角的度数分别是。

5、如图,等腰三角形顶角为α,一腰上的高与底边所夹的角是β,则β与α的关系式为β=___________。

(等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半)
6、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,BD、CE相交于点F,则图中的等腰三角形有()
A、6个
B、7个
C、8个
D、9个
7、上午8时,一条船从A处出发以15海里/h的速度向正北航行,10时到达B 处,从A、B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°,求从B处到达灯塔C的距离。

8、已知:如图∠EAC 是△ABC 的外角,AD 平分∠EAC ,且AD ∥BC 。

求证:AB =AC
延伸: 上图中,如果AB =AC ,AD ∥BC ,那么AD 平分∠EAC 吗?如果结论成立,你能证明这个结论吗?
9、 如图,在等边△ABC 中,点O 是∠ABC 及∠ACB 的角平分线的交点,OM ∥AB ,交BC 于点M ,ON ∥AC ,交BC 于N 。

(1)图中等腰三角形的个数; (2)图中有哪些相等的线段。

10、如图2,如果点D 是∠ABC 和∠ACB 的邻补角∠ACG 的平分线的交点,仍过D 作EF ∥BC ,分别交AB 、AC 于点E 、F ,此时线段EF 、BE 、CF 之间有何数量关系?
A B C
D
E
A
B
C
D
E
11、如图,在△ABC 中,AB=AC ,过点B 作∠ABC 的平分线,交AC 于D ,当∠A 是多少度时,△BDC 是等腰三角形呢?
A
B
C
D
12.如图所示,BAC ABD AC BD ∠=∠=,,点O 是AD BC 、的交点,点E 是AB 的中点.试判断OE 和AB 的位置关系,并给出证明.
三、随堂练习
1、如果等腰三角形的周长为12,一边长为5,那么另两边长分别为__________.
2、如果等腰三角形有两边长为2和5,那么周长为_____.
3、如果等腰三角形有一个角等于50°,那么另两个角为_____.
4、如果等腰三角形有一个角等于120°,那么另两个角为____.
5、如图,△ABC 中,AB =AC ,2条角平分线BD 、CE 相交于点O ,求证:OB =OC.
4
3 2
1 D
E
F
M
C
B
A A B
C
E
D
O
C
O
E
A
B
D
6、如图,在△ABC 中,∠B =∠C =36°,∠ADE =∠AED =2∠B ,由这些条件你能得到哪些结论?请证明你的结论。

7、已知:如图,△ABC 是等边三角形,DE ∥BC ,分别交AB 、AC 于点D 、E 。

求证:△ADE 是等边三角形。

8. 如图4,墙上钉了一根木条,小明想检验这根木条是否水平,他拿来一个如图所示的测平仪,在这个测平仪中,AB=AC ,BC 边的中点D 处有一个重锤,小明将BC 边与木条重合,观察此重锤是否通过A 点,如通过A 点,则是水平的,你能说明其中的道理吗?
提高练习
1、若等腰三角形的底角为80°,则另外两个角的度数分别为 。

2、如果等腰三角形的一个外角是50°,那么它的三个内角的度数分别是 。

A
B
C
D
E
A
B
C
D E
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为 。

4、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12cm 和21cm 两部分,则其底边长为_______cm
5、如图1,AB =AC ,点D 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点。

(1)请问图中有哪几个等腰三角形,简单说明理由。

(2)若过点D 作EF ∥BC ,分别交AB 、AC 于点E 、F ,现在有几个等腰三角形? (3)线段EF 与线段BE 、CF 有何数量关系?你能说明理由吗? (4)若AB =4,求△AEF 的周长。

6、如图3,若过△ABC 的两个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线,则EF 与BE ,CF 三者又有何数量关系?
7、如图,在△ABC 中,AB=AC ,BD=BC=AD ,则∠A 的度数是多少?
8、证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)
A
B
C E
D F C B A B C A D
D。

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