高一数学下册《 解三角形》教案
高中数学新教材解三角形教案
高中数学新教材解三角形教案高中数学新教材解三角形教案1一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.二、教学目标设计1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路.2、了解构造法在解题中的运用.三、教学重点及难点重点：平面对量知识在各个领域中应用.难点：向量的构造.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾1、提问：下列哪些量是向量?(1)力(2)功(3)位移(4)力矩2、上述四个量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?[说明]复习数量积的有关知识.二、学习新课例1(书中例5)向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用!请看例2(书中例3)证法(一)原不等式等价于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.证法(二)向量法[说明]本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现(等号成立的充要条件是)例3(书中例4)[说明]本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明.二、巩固练习1、如图，某人在静水中游泳，速度为km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h.(2) 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h.三、课堂小结1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系.四、作业布置1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4高中数学新教材解三角形教案2教学目标：1.了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系.2.会求一些简单函数的反函数.3.在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识.4.进一步完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培育抽象、概括的能力.教学重点：求反函数的方法.教学难点：反函数的概念.教学过程：教学活动设计意图一、创设情境，引入新课1.复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是时间t的函数;在t=中，时间t是位移S的函数.在这种情况下，我们说t=是函数S=vt 的反函数.什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容.3.板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习爱好，展示了教学目标.这样既可以拨去反函数这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性.二、实例分析，组织探究1.问题组一：(用投影给出函数与;与()的图象)(1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系?(生答：与的图像关于直线y=x对称;与()的图象也关于直线y=x对称.是求一个数立方的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算.同样，与()也互为逆运算.)(2)由，已知y能否求x?(3)是否是一个函数?它与有何关系?(4)与有何联系?2.问题组二：(1)函数y=2x 1(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一(2)函数(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数?(3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系?3.渗透反函数的概念.(老师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点) 从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培育学生抽象、概括的能力.通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在最近进展区设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础.三、师生互动，归纳定义1.(根据上述实例，老师与学生共同归纳出反函数的定义)函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为C.我们根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x = j (y) .如果对于y在C中的任何一个值，通过x = j (y)，x在A中都有的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量y 的函数.这样的函数x = j (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: .考虑到用x表示自变量, y表示函数的习惯，将中的x与y对调写成.2.引导分析：1)反函数也是函数;2)对应法则为互逆运算;3)定义中的如果意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域;5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数;6)要理解好符号f;7)交换变量x、y的原因.3.两次转换x、y的对应关系(原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的.)4.函数与其反函数的关系函数y=f(x)函数定义域AC值域CA四、应用解题，总结步骤1.(投影例题)【例1】求下列函数的反函数(1)y=3x-1 (2)y=x 1【例2】求函数的反函数.(老师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤.)2.总结求函数反函数的步骤:1° 由y=f(x)反解出x=f(y).2° 把x=f(y)中x与y互换得.3° 写出反函数的定义域.(简记为：反解、互换、写出反函数的定义域)【例3】(1)有没有反函数?(2)的反函数是________.(3)(x0)的反函数是__________.在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数.在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握.通过动画演示，表格对比，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解.通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培育学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力.题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进.并体现了对定义的反思理解.学生思考练习，师生共同分析纠正.五、巩固强化，评价反馈1.已知函数y=f(x)存在反函数，求它的反函数y =f( x)(1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x)( 3 ) y=(xR,且x)2.已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数，求f(7)的值.五、反思小结，再度设疑本节课主要讨论了反函数的定义，以及反函数的求解步骤.互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢?为什么具有这样的特点呢?我们将在下节讨论.(让学生谈一下本节课的学习体会，老师适时点拨)进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数.反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.具体实践中可实行同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的乐观性.问题是数学的心脏学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂.六、作业习题2.4第1题，第2题进一步巩固所学的知识.教学设计说明问题是数学的心脏.一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念.反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采纳了抽象的符号.由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念.为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，讨论性质，进而得出概念，这正是数学讨论的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成.另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对比、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维.使学生自然成为学习的主人。
下学期高一数学第一章解三角形全章教案 必修5
下学期高一数学第一章解三角形全章教案1.1第1课时 正弦定理(1)教学目标（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则sin a A c =， sin b B c =， sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b cA B C==． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二．学生活动学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理． 三．建构数学探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？ 证法1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =，sin ADC b=，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a cA C=， 所以sin sin sin a b cA B C ==． 若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =︒-=．同样可得sin sin sin a b cA B C==．综上可知，结论成立．证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在ABC ∆中，有BC BA AC =+．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3）），于是BC AD BA AD AC AD ⋅=⋅+⋅．设AC 与AD 的夹角为α，则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=⋅⋅︒++⋅，其中 ，当C ∠为锐角或直角时，90C α=︒-； 当C ∠为钝角时，90C α=-︒． 故可得sin sin 0c B b C -=，即sin sin b cB C=． 同理可得sin sin a cA C =． 因此sin sin sin a b c A B C==． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．解：因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b cA B C==， 所以sin 10sin 45102sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin1055256sin sin 30a C c A ︒===+︒．因此， b ，c 的长分别为102和5256+．例2．根据下列条件解三角形： （1）3,60,1b B c ==︒=； （2）6,45,2c A a ==︒=．解：（1）sin sin b cB C =，∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯︒===， ,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A ==，∴222a b c =+=．（2）sin sin a cA C=，∴sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===，∴60120C =或， ∴当sin 6sin 756075,31sin sin 60c B C B b C =====+时，； ∴当sin 6sin1512015,31sin sin 60c B C B b C =====-时，； 所以，31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 练习：在ABC ∆中，30a =，26b =，30A =︒，求c 和,B C ．说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习： （1）在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ． （2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．（3）在ABC ∆中，30bc =，1532ABC S ∆=，则A ∠= ． （4）课本第9页练习第1题． 五．回顾小结：1．用两种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．2．初步应用正弦定理解斜三角形． 六．课外作业：课本第9页练习第2题；课本第11页习题1.1第1、6题§1.1.1第2课时 正弦定理(2)教学目标（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； （2）熟记正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式．教学重点，难点利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理． 教学过程 一．问题情境上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？ 二．学生活动学生根据第5页的途径（2），（3）去思考． 三．建构数学证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有(cos ,sin )A c B c B ，(,0)C a ，所以ABC ∆的面积为1sin 2ABC S ac B ∆=．同理ABC ∆的面积还可以表示为1sin 2ABC S ab C ∆=及1sin 2ABC S bc A ∆=，所以111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==． 所以sin sin sin a b c A B C==． 证法2 如下图，设O 是ABC ∆的外接圆，直径2BD R =．（1）如图（2），当A 为锐角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又D A ∠=∠，所以2sin a R A =．（2）如图（3），当A 为钝角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又180A D ∠+∠=︒，可得sin sin(180)sin D A A =︒-=，所以2sin a R A =．（3）当A 为直角时，2a R =，显然有2sin a R A =．所以不论A 是锐角、钝角、直角，总有2sin a R A =．同理可证2sin b R B =，2sin c R C =．所以2sin sin sin a b cR A B C===． 由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径． 由此可得到正弦定理的变形形式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； （2）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 四．数学运用1．例题：例1．根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数． （1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）106a =，203b =45A =︒，求B ； （4）202a =203b =45A =︒，求B ；（5）4a =，33b =，60A =︒，求B ． 解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解． （2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于A 为锐角，而210632=，即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．（4）由于A 为锐角，而22032022031062>>=，即sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．（5）由于A 为锐角，又1034sin 605<︒=，即sin a b A <，∴B 无解． 例2．在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．解：令sin ak A=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C==，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．例3．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)． 分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆． 解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒， 所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒． 又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒． 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．例4．如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON +的最大值和最小值． 解：由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤，αβπβ-αACBD在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6OM OAMAO ππα=∠-+， ∴6sin()6OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：6sin()6ON πα=-，∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值218a， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON +取得最小值215a ． 例5．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=． 证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=， 又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=． 2．练习：（1）在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( D )A ．4:1:1 B ．2:1:1 CD（2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ， b = ，c = ． 五．回顾小结：1．了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法； 2．理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角． 六．课外作业：课本第9页练习第3题；课本第11页习题1.1第2、8题．§1.1.2 第3课时 余弦定理(1)教学目标（1）掌握余弦定理及其证明；（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形． 教学重点，难点（1）余弦定理的证明及其运用；（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形． 教学过程 一．问题情境 1．情境：复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题． 2．问题：在上节中，我们通过等式BC BA AC =+的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式BC BA AC =+数量化吗？二．学生活动如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵BC AB AC +=∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=． 三．建构数学 1． 余弦定理上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理． 2．思考：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．方法1：如图1建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．方法2：若A 是锐角，如图2，由B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则cos AD c A =，所以即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显 然成立．同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．图1 图2 3．余弦定理也可以写成如下形式：bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， acc b a C 2cos 222-+=．4．余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，（1） 已知3b =，1c =，060A =，求a ；A BCcab（2） 已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．解：（1）由余弦定理，得2222202cos 31231cos607a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以 a =（2）由余弦定理，得222222564cos 0.752256b c a A bc +-+-===⨯⨯， 所以，041.4A ≈．例2． ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m =063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 解：由余弦定理，得所以，168()AB m ≈答：,A B 两地之间的距离约为168m ．例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．证：当C 为锐角时，cos 0C >，由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-<+，即 222a b c +>．同理可证，当C 为钝角时，222a b c +<．2．练习：书第15页 练习１，２，３，４ 五．回顾小结：1．余弦定理及其应用2．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；六．课外作业：书第16页１，2，3，4，6，7题§1.1.2 第4课时 余弦定理(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题． 教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如． 教学过程 一．问题情境1．正弦定理及其解决的三角形问题（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角． 2．余弦定理及其解决的三角形问题 （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？解：如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．在ABC ∆中，由余弦定理，得2221.20.52 1.20.5cos(9015) 1.38BC =+-⨯⨯-≈， 所以 1.17()AD BC km =≈． 因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．在ABC ∆中，由正弦定理，得 0sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠∠==≈， 所以 024.4ABC ∠≈所以 00159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈．答：渡船应按北偏西09.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例2． 在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．解：由正弦定理及余弦定理，得222sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab+-==， 所以 22222a a b c b ab+-=，整理得 22b c =因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例3．如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-．证：设AMB α∠=，则0180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AM BM AM BM α=+-．在ACM ∆中，由余弦定理，得22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--．因为01cos(180)cos ,2BM MC BC αα-=-==， 所以2222122AB AC AM BC +=+，因此， 22212()2AM AB AC BC =+-． 例4．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，,a b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos()1A B +=，求：①角C 的度数； ②AB 的长度； ③ABC S ∆．解：①1cos cos(())cos()2C A B A B π=-+=-+=- ∴120C =；②由题设：232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a ， 即10AB =；③ABC S ∆11133sin sin120222222ab C ab ===⋅⋅=．2．练习：（1）书第16页 练习１，２，３，４DCBA（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=， 求BC 的长．（3）在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；（4）已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值； 五．回顾小结：1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式； 3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状． 六．课外作业：书第17页5，8，9，10，11题§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题； （2）掌握求解实际问题的一般步骤． 教学过程 一．问题情境 1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===； B acC ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．（2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；②RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角. （2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了. （4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案. 四．数学运用 1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠.在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=， 则48DBC ∠=.又100DC =， 由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠.在ABC ∆中， 由余弦定理，得3233.95≈， 所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）. 解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）.由正弦定理，得图1-3-1图1-3-2sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速. 解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-， 4415sin 2033233322AC υθυυ⋅⋅∴===. 在ACE ∆中，22520202525cos150333υ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度93/km h υ=. 2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
《解直角三角形》教案
《解直角三角形》教案
一、教学目标
【知识与技能】
理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步提析问题、解决问题的能力.
【情感态度价值观】
渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯。
二、教学重难点
【教学重点】
利用直角三角形边角关系解直角三角形。
【教学难点】
锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用。
三、教学过程
(一)引入新课
利用多媒体展示图片并提问：一棵大树在一次强烈的地震中倒下，树干断处离地面3米且树干与地面的夹角是30°;。
大树在折断之前高多少米?
引出课题：利用锐角三角函数解直角三角形。
(二)探索新知
提出问题1：直角三角形ABC中，∠C=90°;，a、b、c、∠A、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢?Rt△ABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么?
预设：(1)两锐角互余∠A+∠B=90°;；
(2)三边满足勾股定理a2+b2=c2；。
《解直角三角形》教学设计
《解直角三角形》教学设计(续表)图28－2－5 教师呈现问题并引导学生结合图形，观察已知和的正弦来求∠A的(续表)(续表)【学习目标】 1．知识技能(1)掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(2) 理解解一个直角三角形的前提条件． 2．解决问题通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．数学思考 让学生思考：为什么一个直角三角形可以解的前提条件是必须有两个元素(其中一个必须为边)．从而让学生理解画一个直角三角形的条件．4．情感态度(1) 通过给定具体的两个条件(其中一个为边)，让学生们画直角三角形，培养学生合作交流的意识和探索精神．(2)通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯． 【学习重难点】重点：直角三角形的解法．难点： (1)三角函数在解直角三角形中的灵活运用．(2)学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．课前延伸【知识梳理】(1) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3，c ＝4，则b ＝． (2) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝28°，那么∠B ＝__62°__．(3) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝5，则sin A ＝41，cos A ＝41，tan A ＝__45__(4) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A ＝30°，a ＝6，则c ＝__12__，b ＝． (5) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知c ＝6, ∠A ＝50°，则a ＝__6_sin50°__． (6) 意大利披萨斜塔在建成的时候就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1米，1972年披萨地区发生地震，这座高54.5米的斜塔在大幅摇摆后依然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2米，请你算出这时塔身中心线与垂直中心线的夹角．课内探究一、 课堂探究1(问题探究，自主学习)(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝28, ∠B ＝60°，解这个直角三角形． (2)在Rt △ACB 中，c ＝90°，a ＝30, ∠B ＝80°， 解这个直角三角形． (3)在Rt △ABC 中，c ＝90°，a ＝3，b ＝3, 解这个直角三角形．二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)(1) 画一个直角三角形，使两条直角边分别为3和4.(2) 画一个直角三角形，使一条直角边为3，一个锐角为35°.(3) 画一个直角三角形，使斜边长为8，一个锐角为40°.(4) 画一个直角三角形，使两个锐角分别为30°和60°.各小组比较由(1)(2)(3)(4)画出的直角三角形．讨论1：你觉得给出什么样的条件可以画出一个确定的三角形．讨论2：你觉得确定一个直角三角形需要的元素有什么条件？三、反馈训练1．必做题在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知b＝20, ∠B＝35°，解这个直角三角形(结果保留小数)；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝10 3，b＝20, 解这个直角三角形．2．选做题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15, ∠A的平分线AD＝10 3，解这个直角三角形．课后提升1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．2. 已知在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝6，求BC长．3. 如图，在两面墙之间有一个底端在点A的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点B处；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点D处．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3 2 m．求点B到地面的垂直距离BC.图28－2－9。
《解直角三角形》教案
课程目标与要求
01
02
03
知识目标
掌握直角三角形的定义、 性质及解法，理解勾股定 理及其应用。
能力目标
能够运用所学知识解决与 直角三角形相关的问题， 培养分析问题、解决问题 的能力。
情感目标
激发学生学习数学的兴趣 和热情，培养探索精神和 创新意识。
教学方法与手段
教学方法
采用讲解、示范、讨论、练习等多种教学方法相结合的方式。
挑战数学难题
03
鼓励学生参加数学竞赛和挑战更高难度的数学问题，可以锻炼
他们的数学思维和解决问题的能力。
THANK YOU
感谢观看
03
面积公式
通过海伦公式或底乘高的一半等方法，可以求解任意三角形的面积。
鼓励学生探索更多数学奥秘
深入研究三角函数
01
除了基本的正弦、余弦和正切函数外，还可以学习其他三角函
数，如余切、正割和余割等，以及它们的性质和应用。
探索复数领域
02
复数是一种扩展了实数范围的数，包括实数和虚数部分。学习
复数可以帮助学生理解更高级的数学概念和应用。
《解直角三角形》 教案
contents
目录
• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾 • 解直角三角形的原理与方法 • 典型例题解析 • 学生自主练习与讨论 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与目标
直角三角形的定义与性质
直角三角形的定义
有一个角为90度的三角形称为直角 三角形。
直角三角形的性质
直角三角形两直角边互相垂直，斜 边为最长边，满足勾股定理等。
$tan D=frac{EF}{DE}=frac{12}{5}
$，查表或使用计算器可得 ∠D≈68.19°。
高中数学新人教版A版精品教案《解三角形（专题课）重难点教学方法设计》
解三角形（专题课）教学设计一、教材分析本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。
可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。
是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。
二、学情分析学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。
学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。
通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。
三、教学目标知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。
过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。
培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。
让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。
情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。
四、教学重难点重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。
难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。
高一数学教案解三角形5篇
高一数学教案解三角形5篇等腰三角形,看似简单平常,实则魅力无穷.许多关键问题三角问题与等腰三角形密切相关,形变解题中若能根据题意恰当构造,则可使一些三角问题别开生面地得以解决,更给人一种形象直观、流畅清晰、解法优美之感.今天在这里整理了一些，我们一起来呢吧!高一数学教案解三角形1[教学重、难点] 认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形，体会每一类三角形的特点。
[教学准备] 学生、老师剪下附页2中的图2。
[教学过程] 一、画一画，说一说1、学生各自借助三角板或直尺分别画一个锐角、直角、钝角。
2、教师巡查练习境况。
3、学生展示练习，说一说为什么是锐角、直角、钝角?二、分一分 1、小组活动;把附页2中的图2中的三角形需要进行分类，动手前先观察这些三角形的特点，然后小组讨论怎样分后?2、汇报：进行分类的标准和方法。
可以按角来分，可以按边来分。
二、按角分类： 1、观察观察具体来说三角形有什么共同的特点，从而归纳出来三个角都是锐角的'三角形是锐角三角形。
2、观察共同第三类三角形有什么共同的特点，从而归纳出有一个角是直角的三角形是直角三角形3、观测观察第三类三角形有什么互助的特点，从而归纳出有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
三、按边分类： 1、观察这类三角形的边有什么共同的特点，引导学生发现每个三角形中都有两条边，这样三角形的三角形叫等腰三角形，并透露各部分的名称。
2、引导学生发现有的菱形三角形三条边都相等，这样的矩形是等边三角形。
讨论等边三角形是等腰三角形吗?四、填一填：24、25页让学生辨认各种三角形。
五、练一练：第1题：通过“猜三角形游戏”让学生体会到看到一个锐角，不能重新考虑是一个锐角三角形，必须三个角都是锐角总算是九个锐角三角形。
第2题：在点子图上画作三角形第3题:剪一剪。
六、完成26页实践活动。
[板书设计] 三角形的分类按角分类：按边分类：高一数学教案可解三角形2教学目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力;2、了解三角形的高，并能在一般性的三角形中作出中均它们.教学重点：在具体的三角形中作出三角形的低.教学难点：画出钝角三角形的三条高.活动准备：学生预先剪好三种三角形，一副三角板.教学过程：过菱形的一个顶点A，你能画出它的对边BC的垂线吗?试试看，你准行!从而引出新课：1、三角形的高：三角形从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.如图，线段AM是BC边上的高.∵AM是BC边上的高，∴AM⊥BC.做一做：每人准备一个锐角三角形纸片：(1)你能画出这个三角形的高吗?你能用折纸的方法得到它吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系呢?小组讨论交流.结论：锐角三角形的'三条高在正三角形的内部且交于一点.3、议一议：每人画出一个直角三角形和一个钝角三角形.(1)画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关系?(2)你能折出高德帕伦三角形的三条高吗?你能画出它们吗?(3)钝角三角形的三条高交于假脉一点吗?它们所在的直线交于一点吗?小组讨论交流.结论：1、直角三角形的等腰三条高交于直角顶点处.2、钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在四边形的外部.4、练习：如图，(1)共有___________个直角三角形;(2)高AD、BE、CF相对应的底分别是_______，_____，____;(3)AD=3，BC=6，AB=5，BE=4.则S△ABC=___________，CF=_________，AC=_____________.5、小结：(1)锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点.(2)直角三角形的三条高交于直角顶点处.(3)钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的中间层.作业：P127 1、2、3高一数学教案可解三角形3《三角形中位线》教案一、教学目标：1.使学生掌握三角形中位线概念,理解中位线定理,会运用它进行有关论证和计算2.掌握添加辅助线解题的技巧.3.提高中学生分析问题,解决问题的能力,增强学习兴趣.二、教学方法探究式自主学习：以学生的自主探究为主，教职员加以引导启发，在师生的共同探究活动中，完成本课的教学目标，提高学生的能力,使学生更好的适应新课程标准三、教学内容﹑教材重、难点分析：三角形中位线定理的学习是继学习-平行四边形与平行线等分线段定理后的一个新内容,教材首先给出了三角形中位线的定义,并与三角形中线加以区分,接着以同一法的思想探索出三角形中所位线定理,最后是利用中位线定理解答例一所给的环境问题.在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和也常线段倍分等问题.本节课的重点是三角形中位线定理,难点是定理的证明,关键在于如何添加辅助线,在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和也常线段倍分等问题.四、教学内容媒体的选择和设计通过多媒体课件，打开学生的思路,增加课堂的容量,提高课堂效率。
高中数学教案：三角函数与解三角形
高中数学教案：三角函数与解三角形一、引言三角函数是数学中的重要分支，解三角形是数学中的常见问题。
理解三角函数与解三角形对于学生的数学素养的提升至关重要。
本教案将以三角函数与解三角形为主题，设计一节高中数学课，帮助学生掌握相关知识和技能。
二、知识与技能目标1. 理解三角函数的概念和性质；2. 掌握常用三角函数的定义和计算方法；3. 学会利用三角函数解决实际问题；4. 理解解三角形的基本概念和原理；5. 掌握解三角形的常用方法。
三、教学重难点1. 三角函数的定义和性质；2. 解三角形的常用方法。
四、教学过程（一）引入教师可以从生活中的实际问题导入，如测量高楼的高度、计算两岸垂直相距较远的两点之间的距离等。
通过这些问题，引导学生思考如何利用三角函数和解三角形的知识来解决实际问题。
（二）三角函数的定义和性质1. 讲解正弦函数和余弦函数的定义，即直角三角形中的对边与斜边的比值；2. 介绍正弦函数和余弦函数的性质，如周期性、奇偶性等；3. 引导学生计算角度的度数和弧度的换算，并讲解正弦函数和余弦函数的图像特点。
（三）解三角形的基本概念和原理1. 讲解解三角形的基本概念，如角、边、高、中线等；2. 介绍解三角形的原理，即利用已知条件和三角函数的性质来确定未知边和角的关系。
（四）解三角形的常用方法1. 讲解正弦定理和余弦定理的原理和推导过程；2. 引导学生通过实例学会应用正弦定理和余弦定理解决三角形的问题；3. 介绍解直角三角形的特殊方法，如利用三角函数和勾股定理求解。
（五）练习与巩固布置相关练习题，包括计算正弦、余弦的值，解决三角形问题等。
通过练习，巩固学生对于三角函数与解三角形的理解和应用能力。
五、教学辅助手段1. 教学PPT：展示三角函数和解三角形的定义、性质、公式和解题步骤；2. 白板和马克笔：用于引导学生演算题目和解题思路。
六、教学评价与反思本节课教学以生活实际问题为切入点，通过讲解三角函数的定义和性质以及解三角形的基本概念和原理，引导学生掌握三角函数的计算和解决三角形问题的方法。
《解三角形》教学设计-优秀教案
45,C∠.求边长能够很好地激发学生的求知欲望。
在新的问题产生时这个时候也正是产生知识缺陷, 急需新知识的时候教师活动2探究一: 直角三角形边角关系如图：在中, 是最大的角, 所对的斜边是最大的边, 探究边角关系。
探究二: 斜三角形边角关系实验1: 如图, 在等边中, ,对应边的边长, 验证是否成立？实验2: 如图, 在等腰中, , , 对应边的边长, 验证是否成立？实验3：借助多媒体演示, 发现随着三角形的任意变换, 的值相等。
通过这样的一些实验, 我们可以猜想。
学生活动2探究一: 在中, 设, 根据正弦函数定义可得:cbBcaA==∴sin;sincBbAa==∴sinsin又1sin=CCcBbAasinsinsin==∴探究二: 学生通过计算验证结论是否正确探究二：学生通过计算验证结论是否正确活动意图说明从已有的知识结构出发, 不让学生在思维上出现跳跃, 逐层递进, 通过已经熟悉的直角三角形的边角关系的探究作为切入点, 再对特殊的斜三角形进行验证, 过渡到一般的斜三角形边角关系的探究。
让学亲自体验数学实验探究的过程, 逐层递进, 激发学生的求知欲和好奇心, 体会到数学实验的归纳和演绎推理两个侧面。
多媒体技术的引入演示, 让学生更加直观感受到变换, 加深理解。
环节三:教的活动3证明猜想, 得到定理学的活动3分组讨论证明方法并展示活动意图说明经历猜想到证明的过程, 让学生体会到数学新知识得获得仅仅靠猜想和演绎推理是不够的,必须经过严密的数学推导进行证明才可以。
在这个过程中, 也进一步促进学生数学思维思维品质的提升。
7.板书设计（板书完整呈现教与学活动的过程, 最好能呈现建构知识结构与思维发展的路径与关键点。
使用PPT应注意呈现学生学习过程的完整性）课题一、正弦定理定理: 例题练习。
第六部分：三角函数(4)——解三角形(教案)
①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A 的值。
.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180<<A , 4560,105.A A ∴-==13tan tan(4560)2313A +∴=+==--- , .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+== A S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin ()。
解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值。
sin cos A A +=22①在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aA b sin ，∵b 2=ac ， ∠A =60°，∴ac b c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23。
解法二：在△ABC 中， 由面积公式得21bc sin A =21ac sin B 。
∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B 。
∴cBb sin =sin A =23。
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
高中数学教学课例《解三角形的应用(高三复习课)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
线，三角形外角和问题，在两个三角形中，两两使用正
弦定理、余弦定理。
在关注学生发展核心素养的今天，对于教师而言，
课例研究综 这无疑是个巨大挑战，挑战源于教师要从“学科教学”
述
转向“学科教育”，从“知识核心时代”走向“核心素
养时代”，提升数学课堂的思维含量，构建“让学生爱
思考、会思考、享受思考”的情境教学课堂，为发展学 生的心智而教，这是必然要求，更是我们努力的方向。 本节课以高考试题为背景，通过师生互动，发现问题， 寻找解决问题的方法，我在编写三个题，让学生突破、 提升。1.在中，角的对边分别为，已知
高中数学教学课例《解三角形的应用（高三复习课）》教学 设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《解三角形的应用（高三复习课）》
称
解三角形的应用是高考考查的重点内容，主要考查 教材分析
正弦定理、余弦定理的应用。
掌握正弦定理、余弦定理，能运用正弦定理、余弦
教学目标 定理解三角形的相关问题。教学难点：利用正弦定理、
(1)求的值；（2）若,求面积的最大值. 2.如图中，已知点在边上，且，，， （1）求的长； （2）求 3.已知中，是边上的中线，且。 （1）求；（2）若，求的长。
余弦定理，结合三角恒等变换，均值不等式求解。
熟练使用正弦定理、余弦定理解三角形是学生必须
掌握的，对于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ单的问题，求角、求边，求面积，一般
学生学习能 的学生都会，但是把它综合在三角形中，涉及到三角形
力分析 的角平分线，中线，三角形外角和的应用，学生感到比
较棘手。本内容的复习采用师生互动、自主学习的研究
教学过程
用多媒体出示近三年高考解三角形的试题，：
理解数学中的三角函数与解三角形数学课教案
理解数学中的三角函数与解三角形数学课教案【课程名称】：理解数学中的三角函数与解三角形【教学目标】1. 理解三角函数的定义和性质，能够正确运用正弦、余弦和正切函数解决实际问题；2. 掌握求解三角形中各类角和边的方法，能够准确判断和应用不同的三角函数关系；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高数学运用的能力。
【教学重点】1. 理解三角函数的概念和性质；2. 掌握正弦、余弦和正切函数的计算方法；3. 掌握解三角形的方法，包括角的求解和边的求解；4. 运用所学知识解决实际问题。
【教学难点】1. 利用三角函数解决实际问题；2. 运用不同的三角函数关系求解三角形；3. 在解题过程中避免常见的错误和误解。
【教学准备】1. 教材：数学课本、习题集；2. 教具：黑板、粉笔、三角板、直尺等。
【教学过程】Step 1 引入问题1. 向学生介绍三角函数的概念，引导学生思考三角函数与三角形的关系；2. 鼓励学生讨论和分享对三角函数的理解，促进课堂氛围活跃。
Step 2 讲解三角函数的定义和性质1. 通过示意图、实例等方式，向学生展示正弦、余弦和正切函数的定义；2. 引导学生理解三角函数的周期性和基本性质，并分析其在坐标系中的几何意义；3. 通过练习，帮助学生熟练计算基本角度的三角函数值。
Step 3 解决实际问题1. 提供一些与实际生活相关的问题，要求学生运用三角函数解答；2. 引导学生分析问题、建立方程、运用三角函数关系求解，注意引导学生化简计算过程；3. 对问题的解决进行讨论和总结，巩固学生对三角函数的理解和应用能力。
Step 4 解三角形1. 引导学生认识角和边的关系，介绍解三角形的一般步骤；2. 分别讲解在已知边和已知角的情况下，如何运用三角函数求解其他未知角和边；3. 提供一些练习题，帮助学生熟悉解三角形的方法和技巧。
Step 5 拓展知识1. 引导学生思考对于无法直接利用三角函数解答的问题，是否存在其他方法；2. 介绍利用勾股定理、正弦定理和余弦定理求解三角形的方法，让学生了解更多解题的思路；3. 引导学生积极探索和学习拓展知识，提高数学解题的综合能力。
解直角三角形教学设计
解直角三角形教学设计作为一位无私奉献的人民教师，很有必要精心设计一份教学设计，教学设计是连接基础理论与实践的桥梁，对于教学理论与实践的紧密结合具有沟通作用。
教学设计应该怎么写呢？以下是店铺收集整理的解直角三角形教学设计（通用5篇），供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
解直角三角形教学设计1教学目标：理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力。
教学重点：能运用直角三角形的角与角（两锐角互余），边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形。
教学难点：能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力。
教学过程：一、课前专训根据条件，解下列直角三角形在Rt△ABC中，∠C＝90°（1）已知∠A＝30°，BC＝2；（2）已知∠B＝45°，AB＝6；（3）已知AB＝10，BC＝5；（4）已知AC＝6，BC＝8。
二、复习什么叫解直角三角形？三、实践探究解直角三角形问题分类：1、已知一边一角（锐角和直角边、锐角和斜边）2、已知两边（直角边和斜边、两直角边）四、例题讲解例1、在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°．求AB．例2、⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长（精确到0.1）．五、练一练1．在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，求平行四边形的面积．2．求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1）．六、总结通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．七、课堂练习1．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于_________．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＋b＝＋3，解这个直角三角形．3．求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积．八、课后作业1．在菱形钢架ABCD中，AB=2 m，∠BAD=72，焊接这个钢架约需多少钢材（精确到0.1m）2.思考题（选做）：CD切⊙O于点D，连接OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin ∠COD ＝，求：（1）弦AB的长；（2）CD的长．解直角三角形教学设计2一、教学目标(一)知识教学点使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
高中数学解三角形教案
高中数学解三角形教案
一、教学目标：
1. 了解三角形的定义和性质；
2. 掌握解三角形的方法；
3. 能够运用解三角形的知识解决实际问题。
二、教学重点：
1. 三角形的定义和性质；
2. 解三角形的方法。
三、教学内容：
1. 三角形的定义和性质
2. 解三角形的方法
3. 实例分析
四、教学步骤：
1. 师生互动导入：通过实际例子引入三角形的定义和性质，例如让学生观察周围的物体，
找到其中的三角形并进行分类，引导学生讨论三角形的定义和性质。
2. 教学讲解：讲解三角形的定义和性质，包括三角形的内角和为180度、三边之和大于第三边等性质，引导学生理解三角形的基本概念。
3. 解三角形的方法：介绍解三角形的方法，包括余角、角平分线、作图等方法，讲解每种
方法的应用场景和步骤。
4. 实例分析：通过实际例子进行分析和讨论，引导学生运用解三角形的方法解决实际问题，加深对知识的理解和应用能力。
五、教学评价：
教师可通过课堂练习、作业和小测验等方式进行教学评价，检验学生对三角形的理解和解
题能力。
六、拓展延伸：
师生可通过课外探究、实验等方式拓展三角形的相关知识，激发学生的学习兴趣，提高学
生的综合能力。
七、教学反思：
教师应及时总结本节课的教学效果，结合学生的表现和反馈，不断优化教学方法，提高教学质量。
苏教版高中高三数学必修5《解三角形》教案及教学反思
苏教版高中高三数学必修5《解三角形》教案及教学反思一、教学背景《解三角形》是高中数学必修5中的重要章节，这一章的重点是如何通过已知角度或边求解三角形的其他未知角度和边长。
在这一章中，学生需要掌握三角函数的基本概念和运用，特别是正弦、余弦和正切，同时还需要掌握三角函数的运算法则和三角三边的关系。
本节课程旨在帮助学生深刻理解三角函数的概念和应用，掌握几何意义和图形意义，同时加强学生的数学思维和推理能力。
二、教学目标1.理解三角函数的基本概念，特别是正弦、余弦和正切。
2.掌握三角函数的运算法则和三角三边的关系。
3.能够运用所学的知识，解决实际问题。
4.提高学生的数学思维和推理能力。
三、教学内容1. 三角函数的基本概念正弦、余弦和正切•正弦函数：$\\sin A = \\frac{a}{c}$•余弦函数：$\\cos A = \\frac{b}{c}$•正切函数：$\\tan A = \\frac{a}{b}$其中，a、b、c分别表示三角形的三条边，A表示对应的内角。
2. 三角函数的运算法则和三角三边的关系三角函数的运算法则•$\\sin (A \\pm B) = \\sin A \\cos B \\pm \\cos A \\sin B$•$\\cos (A \\pm B) = \\cos A \\cos B \\mp \\sin A \\sin B$•$\\tan (A \\pm B) = \\frac{\\tan A \\pm \\tan B}{1 \\mp \\tan A \\tan B}$三角三边的关系•正弦定理：$\\frac{a}{\\sin A} =\\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2R$•余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \\cos A$•正切定理：$\\tan \\frac{A}{2} = \\frac{r}{s - a}$其中，R表示三角形外接圆半径，r表示三角形内切圆半径，s表示三角形半周长。
高中数学解三角形复习教案
模块一：解三角形复习2.1.1 正弦定理教学过程： 一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin A =c a sin B =cb sin C =1 即c =sin sin sin a b cA B C==. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a bA B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b cA B C==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin cC. 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===同理sin b B =2R ，sin c C＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j r 垂直于AC u u u r ，由AC u u u r +CB u u u r =AB u u ur 边同乘以单位向量j r得…..④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆==中，求和.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角③ 练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 三、巩固练习：1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b cA B C++++.2.1.2 余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？ 二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导：① 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，∴()()AC AC AB BC AB BC •=+•+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222AB AB BC BC =+•+u u u r u u u r u u u r u u u r222||||cos(180)AB AB BC B BC =+•-+ou u u r u u u r u u u r u u u r 222cos c ac B a =-+.即2222cos b c a ac B =+-，→② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角 ④ 讨论：已知三边，如何求三角？→ 余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc+-=，…等.⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC中，已知=ac 060=B ，求b 及A . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b→ 讨论：如何求A ？（两种方法）（答案：b =060A =） → 小结：已知两边及夹角②在∆ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边3. 练习：① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 三、巩固练习：1. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. → 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C .3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.2.1 .3 正弦定理和余弦定理（练习）一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. (i ) A ＝6π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝6π，a ＝25b ＝50； (iii ) A ＝6π，a＝，b ＝； (iiii ) A ＝6π，a ＝50，b ＝.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. (i ) A ＝23π，a ＝25，b ＝50； (ii ) A ＝23π，a ＝25，b ＝10 例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1) a ＝20，b ＝28，A ＝120°.无解 (2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°；一解 (3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°；一解 (4) b ＝11，a ＝20，B ＝30°；两解2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型. 分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABCa b c A ABCa b c A∆是锐角三角形ABC③出示例4：已知△ABC中，cos cosb Cc B=，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？→再思考：又如何将角化为边？3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sin2sin3AB=，求a bb+的值2. 在△ABC中，sin A:sin B:sin C＝4:5:6，则cos A:cos B:cos C＝.3. 作业：2.2三角形中的几何计算一、 设疑自探正弦定理、余弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用。
人民教育出版社高中数学《解三角形》单元教材教学分析
学段及学科
高中数学
教材版本
人民教育出版社
单元名称
《解三角形》
单元教材主题内容与价值作用
主要内容：正弦定理、余弦定理、解三角形及应用举例
价值作用：通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角的数量关系，并解决一些实际问题。
单元目标
能够用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量与几何计算有关的实际问题。
第三、四课时：余弦定理的内容及推论教学
第五、六课时：正弦定理、余弦定理的习题讲解
第七、八课时：解三角形相关应用
……
说明
1补充内容要全面2例题讲解来自具有典型性，代表性3探究教学要给学生留有时间
4练习，作业要适度
重点、难点与关键
重点：三角形边角关系的探究、证明并解决有关问题
难点：怎样选择解决三角形的途径
教学方法和手段的设计
教学方法：探究法
教学手段：借助向量的方法，多种教学方法相结合
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
1教具准备充分。2师生讨论，师生互动.3多媒体辅助教学
课时安排
第一、二课时：正弦定理的内容及性质教学
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第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。
比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”3．重视加强意识和数学实践能力学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。
学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。
针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
（三）教学内容及课时安排建议1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）1.2应用举例（约4课时）1.3实习作业（约1课时）（四）评价建议1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。
在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。
如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。
在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。
对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。
教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
课题: §1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c=，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C由向量的加法可得 AB AC CB =+则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ j()()00cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a cA C同理，过点C 作⊥j BC ，可得sin sin =b cB C从而sin sin abAB=sin cC=类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin abAB=sin cC=等价于sin sin abAB=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+66.2=； 根据正弦定理，sin 42.9sin 81.880.1()sin sin 32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，sin 42.9sin 66.274.1().sin sin 32.0==≈a C c cm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：根据正弦定理，sin 28sin 40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B ⑴ 当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin 7630().sin sin 40==≈a C c cm A ⑵ 当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，sin 20sin 2413().sin sin 40==≈a C c cm A 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。