2.7 Z变换

n =0
本书只讨论第一种Z变换
பைடு நூலகம்
二、z变换的收敛域与零极点
1.收敛域：对于任意给定序列x(n)，使其z变换
X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 用符号ROC(range of convergence)表示。 根据级数理论，级数收敛的充要条件是：
n =−∞
∑
∞
x ( n) z
−n
≤
n =−∞
其z变换：X ( z ) =
n =−∞
∑
0
x(n ) z − n + ∑ x(n) z − n
n =1
n2
前式Roc: 0 ≤ z < Rx + 后式Roc: < z ≤ ∞ 0
∴当n2 ≤ 0时，Roc : 0 ≤ z < Rx+ 当n2 > 0时，Roc : 0 < z ≤ ∞ 即左边序列的收敛域是某个圆的内部 z < Rx+
列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。
2. X(z)在收敛域内不能有极点，故：
右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有 大 右边序列 限极点所在圆之外 之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 左边序列 小 限极点所在圆之内 之内
四、Z变换的基本性质与定理 变换的基本性质与定理 1、线性 、
若
则
Z [ x(n)] = X ( z ) Rx− < z < Rx+
例1 求x(n) = −a nu (−n − 1)的z变换及其收敛域 ：
解：X(z)= ∑ x(n) z = ∑ −a u ( −n − 1) z
−n n n =−∞ n =−∞ ∞ ∞ −n
= ∑ −a z = ∑ −a z
n −n
−1
∞
−n n
当 a z < 1, 即 z < a 时， 上级数收敛，且有 j Im[ z ] −a −1 z 1 X ( z) = = −1 −1 1 − a z 1 − az
注1：设 z = re jω，它的所有取值范围通常称为 ：
Z平面。 平面。 平面 注2：当 r = 1 时， ： jω X ( z ) = X (e ) =
n=−∞ n =−∞
∑ x ( n )e
∞
− jω n
Z变换等效成序列傅里叶变换，或者说序列在 变换等效成序列傅里叶变换， 变换等效成序列傅里叶变换 单位圆上的Z变换等于序列的傅里叶变换 变换等于序列的傅里叶变换。 单位圆上的 变换等于序列的傅里叶变换。 变换， 注3：上面给出的是双边 变换，另有一种单 ：上面给出的是双边Z变换 变换定义为： 边Z变换定义为： 变换定义为 ∞ X 1 ( z ) = Z1[ x(n)] = ∑ x(n) z − n
2、序列的移位
若 则
Z [ x(n)] = X ( z ) Rx− < z < Rx+
Z [ x(n + n0 )] = z X ( z )
n0
n0为任意整数
Rx − < z < R x +
Z 的收敛域相同， 注： [ x(n + n0 )]和 Z [ x(n)]的收敛域相同，但
z = 0 或 z = ∞ 可能除外。 可能除外。
az 1 z (1 − a 2 ) 当 a < 1时，X ( z ) = + = −1 1 − az 1 − az (1 − az )( z − a )
Roc : a < z < 1/ a
零点：z = 0, ∞
j Im[ z]
极点：z = a , a −1
a
0
Re[ z] 1/ a
注意：
1. 给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序
（2）0 ≤ n1 ≤ n2
∴ Roc : 0 < z < ∞ Q 0− n → ∞ ∞ − n → 0 ∴ Roc : 0 < z ≤ ∞ Q 0− n → 0 ∞ − n → ∞ ∴ Roc : 0 ≤ z < ∞
（3）n1 ≤ n2 ≤ 0
例2：求x(n) = RN (n)的z变换及其收敛域
0
n1 ≥ 0
包括z = ∞处
因果序列
♦ n1 = 0 的右边序列 ♦ Roc: Rx − < z ≤ ∞ ♦ 因果序列的z变换必在 ∞ 处收敛 ♦ 在 ∞ 处收敛的z变换，其序列必为因果序列
j Im[ z ]
Rx −
Re[ z ]
0
包括z = ∞处
3）左边序列 ）
n > n2 0 x(n) = x ( n ) n ≤ n2
j Im[ z ]
Re[ z ] 0
Rx +
n2 ≤ 0
4）双边序列 ）
n为任意值时皆有值
−1 ∞
其z变换：X ( z ) =
n =−∞
∑
x(n ) z − n + ∑ x(n) z − n
n =0
j Im[ z ]
前式Roc: 0 ≤ z < Rx + 后式Roc: Rx − < z ≤ ∞
∴当Rx− ≥ Rx+时，Roc : ∅ 当Rx− < Rx+时，Roc : Rx− < z < Rx+
n =0 −1 ∞
n = n1
前式Roc: 0 ≤ z < ∞
j Im[ z ]
后式Roc: Rx − < z ≤ ∞ ∴当n1 ≥ 0时，Roc : Rx − < z ≤ ∞
当n1 < 0时，Roc : Rx − < z < ∞ 即右边序列的收敛域是某个圆的外部 z > Rx−
Rx −
Re[ z ]
2
z >0
3、乘以指数序列
若 则
Z [ x(n)] = X ( z ) Rx− < z < Rx+ z n a Rx − < z < a R x + Z [a x(n)] = X a a为任意常数
n n =−∞ ∞
证： Z [a x(n)] =
∑ a x( n) z
n
∞
−n
−n
z = ∑ x(n) a n =−∞
z =X a
z Rx − < < R x + ⇒ a R x − < z < a R x + a
4、序列的线性加权（z域求导数）
若 则
Z [ x(n)] = X ( z ) Rx− < z < Rx+
d 1 X ( z ) = − Z [nx(n)] dz z
2
Rx − < z < R x +
∑
∞
x(n) z − n
=
n =−∞
∑ x(n)( −n) z
∞
− n −1
= −z
−1
n =−∞
∑ nx(n) z
∞
−n
= − z −1Z [nx(n)] dX ( z ) ∴ Z [nx(n)] = − z dz Rx− < z < Rx+
5、共轭序列
若 则
Z [ x(n)] = X ( z ) Rx− < z < Rx+
Roc : z<a
−1
n =−∞
n =1
Re[ z ] 0 a
零点：z = 0 极点：z = a
几种序列的Z 三、几种序列的Z变换及其收敛域 1）有限长序列 ）
x ( n ) n1 ≤ n ≤ n2 x(n) = 其它n 0
其Z变换：X ( z ) =
n = n1
∑ x(n ) z
n2
Z [ y ( n)] = Y ( z ) Ry − < z < Ry +
Z [ax(n) + by (n)] = aX ( z ) + bY ( z ) a，b为任意常数 max( Rx − , R y − ) = R− < z < R+ = min( Rx + , R y + )
注：如果这些线性组合中某些零点与 极点互相抵消，则收敛域可能扩大。 极点互相抵消，则收敛域可能扩大。
∑
∞
x ( n) z
−n
<∞
一般来讲，Z变换的收敛域是某个环行区域 Rx − < Z < Rx + 式中 Rx− , Rx+ 称作收敛域的收敛半径， x− 可以小 R 到0， + 可以大到 ∞ 。 R
x
2、零点和极点
可以表示成有理分式， 若 X ( z )可以表示成有理分式，即 P( z ) X ( z) = Q( z ) 则X(z)的零点：使X(z)=0的点，
n2 → ∞时须满足 q < 1
j Im[ z ]
零点：z = e
j
2π r N
r = 1,..., N − 1
Re[ z ]
极点：z = 0 （N − 1）阶 Roc : 0 < z ≤ ∞
0
2）右边序列 ）
x ( n ) n ≥ n1 x(n) = n < n1 0
其Z变换：X ( z ) = x(n) z − n + ∑ x(n ) z − n ∑
∞
∞
−1
∞
=∑ a z + ∑ a z
n n n =1 n =0 ∞ n n
∞
n −n
az Q∑a z = az < 1 ⇒ z < 1/ a 1 − az n =1 ∞ 1 n −n −1 Q∑a z = az < 1 ⇒ z > a −1 1 − az n =0