吉林省吉林市2009-2010学年上学期高三年级期末教学质量检

吉林省吉林市2009-2010学年上学期高三年级期末教学质量检测数学试卷（理科）数学(理科) 编辑：王宁宁本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。

注意事项：1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上。

2、答案请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

参考公式：样本数据n x x x ,21，的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-= 其中x 为样本的平均数 柱体体积公式Sh V =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式Sh V 31=其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式24R S π=，334R V π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集}5,4,3{},3,1{},5,4,3,2,1{===Q P U ，则∪)(Q P =A ．{3}B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{1,2,4,5}2．复数i z +=31，i z -=12，则21z z z ⋅=在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．用p ，q ，r ，s 表示命题，下列选项中满足：“若p 是真命题，则q 也是真命题”的是A.p ：r 是s 的必要条件 q ：s r ⇒B ．p ：s r ⇒ q ：s r ⌝⇒⌝C. p ：s r ∧ q ： s r ∨D ． p ：)(00x P M x ，∈∃ q ：)(x P M x ⌝∈∀，4．已知数列}{n a 是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列，则公比q 的值为A ．1或21-B ．1C ．21- D ．－2 5．如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为21．则该几何体的俯视图可以是6．已知ABC Δ 的顶点），（），，（），（0101,C B y x A - ，若ABC Δ满足的条件分别是：（1）ABC ∆的周长是6 （2）090=∠A （3）1=⋅AC AB k k （4）2-=-AC AB k k ； 下列给出了点A 的轨迹方程：（a ） ）（0122≠=+y y x ， (b))0(122≠=-y y x (c) ）（01422≠=+y y x ， （d ））（012≠-=y x y 其中与条件（1）、（2）、（3）、（4）分别对应的轨迹方程的代码依次是 A.（a ）（b ）（c ）（d ）B.（c ）（a ）（d ）（b ）C.（d ）（a ）（b ）（c ）D.（c ）（a ）（b ）（d ）7．框图表示的程序所输出的结果是A ．121B ．132C ．1320D ．118808．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-+=)20(cos 2)02(2)(πx x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 A ．23B ．1C ．4D ．21 9．函数1()()sin 2xf x x =-在区间［0，π2］上的零点个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于A ，B 两点，且||||OB OA OB OA -=+（其中O为坐标原点），则实数a 是A ．2B ．－2C ．2或－2D ．以上答案都不对11．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE Δ是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A B C D 1 1 1 1 （第5题图）（第7题图）A B C DθA ．）（+∞,1 B ．）（2,1 C ．）（21,1+ D ．）（21,2+ 12．若函数)10()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 且在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图象是第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4个小题,每小题5分. 13．观察下列式子：2222221311511171,1,1,222332344+<++<+++<……，则可以猜想：当2n ≥时，有 ．14．在三棱锥P —ABC 中，ABC PA 底面⊥，BC AC ⊥，BC AC PA ==，则两直线PC 与AB所成角的大小是 .15．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率 是___16．已知函数)(x f 的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,)(x f '为)(x f 的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示，若两正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则33++a b 的取值范围是 ．三．解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2A n A =，且72m n ⋅= ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3a =，bc =3,试判断ABC ∆形状．x －20 4 f (x ) 1 －1 1 （第15题图）A B C Dx yO -218．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111C B A 为底面）被 一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111==C B B A ,90111=∠C B A ，,41=AA ,21=BB 31=CC .（Ⅰ）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111C B A ； （Ⅱ）求二面角1A AC B --的大小.19．（本小题满分12分）甲、乙两种鱼的身体吸收汞，当汞的含量超过体重的1.00ppm(即百万分之一)时，就会对人体产生危害。

质检部门对市场中出售的一批鱼进行检测，在分别抽取的10条鱼的样本中，测得汞含量与鱼体重的百分比如下：甲种鱼1.31 1.55 1.42 1.35 1.27 1.44 1.28 1.37 1.36 1.14 乙种鱼1.01 1.35 0.95 1.16 1.24 1.08 1.17 1.03 0.60 1.11 （Ⅰ）用前两位数做茎，画出样本数据的茎叶图，并回答下面两个问题： （ⅰ）写出甲、乙两种鱼关于汞分布的一个统计结论.（ⅱ）经过调查，市场上出售汞超标的鱼的原因是这些鱼在出售前没有经过检验，可否得出每批这两种鱼的平均汞含量都超过1.00ppm ？（第18题图）A 1B 1C 1ACOB（Ⅱ）如果在样本中选择甲、乙两种鱼各一条做一道菜，（在烹饪过程中汞含量不会发生改变）（ⅰ）如果20条鱼中的每条鱼的重量都相同，那么这道菜对人体产生危害的概率是多少？（ⅱ）根据算出的结论，你对政府监管部门有什么建议？（提出一条建议即可）20. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数） （Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n ，n S k ≤恒成立，求实数k 的最大值.21．（本小题满分12分）定义在R 上的函数3)(23+++=cx bx ax x f 同时满足以下条件：①)(x f 在()1,-∞-上是增函数，在()0,1-上是减函数；②)(x f 的导函数是偶函数； ③)(x f 在0=x 处的切线与第一、三象限的角平分线垂直. （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）设xmx x g -=ln )(，若存在[]e x ,1∈，使)()(x f x g '<，求实数m 的取值范围. 22．（本小题满分12分）如图，已知点A 、 B 是椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 的两个顶点，若点 C （t ，t ）（t>0）在椭圆上，且满足23,3=⋅=OA OC OB OA .（其中O 为坐标原点） （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆交于两点N M ,，当2) (0, ,∈=+m OC m ON OM 时，求OMN ∆面积的最大值。

xy OAB吉林市普通中学2009—2010学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学(理科)参考答案及评分标准一.选择题（每题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DDCACDACBCBA二.填空题（每题5分，共20分）13． n n n12131211222-<++++ (2)n ≥ 14. 60 15. 231- 16. )37,53(三.解答题17. 解：（Ⅰ）由2(4,1),(cos,cos 2)2Am n A =-= 24coscos 22A m n A ⋅=-21cos 4(2cos 1)2A A +=⋅-- 22cos 2cos 3A A =-++ ……(2分)又因为77,2cos 322m n A A ⋅=++=2所以-2cos 解得1cos 2A =…………………………………（3分）0,3A A ππ<<∴=…………………………………（5分）（Ⅱ）在2222cos ,3ABC a b c bc A a ∆=+-=中，且，2221(3)22b c bc ∴=+-⋅22b c bc =+- …………………(6分)6,322=+∴=c b bc ………………………………（7分）()32622=+∴=-+c b bc c b ……………………………（9分）∴3===a c b 故ABC ∆为等边三角形．……………………（10分）18.解：法一：（Ⅰ）证明：作1||AA OD 交11B A 于D ，连D C 1．……（1分）则11||||CC BB OD ． 因为O 是AB 的中点，所以1113)(21CC BB AA OD ==+=． 则C ODC 1是平行四边形，因此有D C OC 1||．……………………（3分） ⊂D C 1平面111A B C 且⊄OC 平面1!1A B C ，则||OC 面111C B A ． ……………………（5分） （Ⅱ）如图，过B 作截面||22C BA 面111C B A ，分别交11,CC AA 于22,C A ． 作22C A BH ⊥于H ，连CH ． ……………………（7分） 因为⊥1CC 面22C BA ，所以BH CC ⊥1，则⊥BH 平面C A 1． 又因为3,2,5===AC BC AB 222AC BC AB +=⇒．所以AC BC ⊥，根据三垂线定理知AC CH ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角． ……………………（9分） 因为22=BH ，所以21sin ==∠BC BH BCH ，故 30=∠BCH ，………（11分） 即：所求二面角的大小为30． ……………………（12分）法二：（Ⅰ）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系， ………………（1分） 则)3,0,1(),2,0,0(),4,1,0(C B A 因为O 是AB 的中点，所以)3,21,0(O ，)0,21,1(-=OC ．易知，)1,0,0(=n 是平面111C B A 的一个法向量． ……（3分）因为,0=⋅n OC ⊄OC 平面111C B A ，所以||OC 平面111C B A ． ………………（5分） （Ⅱ）)1,0,1(),2,1,0(=--=BC AB ，设),,(z y x m =是平面ABC 的一个法向量，则0,0=⋅=⋅m BC n AB 得：⎩⎨⎧=+=--02z x z y取)1,2,1(,1-=-==m z x ． ……………………（7分） 显然，)0,1,1(=l 为平面C C AA 11的一个法向量． ……………………（9分）则23)cos(=⋅⋅=⋅lm lm l m ， ……………………（11分） 结合图形可知所求二面角为锐角．所以二面角1A AC B --的大小是30． ……………………（12分） 19.解:(Ⅰ)(ⅰ) 甲 乙0.6 00.8 0.9 51.0 1 8 34 1.1 6 7 1 8 7 1.2 4 6 75 1 1.3 5 4 2 1.4 5 1.5 …………………………（2分） 1. 甲种鱼的汞含量分布成对称性，基本都集中在1.3左右。