直线、平面垂直的判定及其性质(小结与复习)
直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习
教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。
第一轮复习讲义知识点三十直线、平面垂直的判定及性质
直线、平面垂直的判定及其性质考点知识梳理一、直线与平面垂直（一）、直线与平面垂直的定义条件：直线l与平面α内的______________都垂直结论：直线l与平面α垂直（二）、直线与平面垂直的判定：Array 1、判定定理：一条直线和一个平面内的__________________都垂直，则该直线和此平面垂直。
2、书写格式：________________________（三）、直线和平面垂直的性质（．1．）如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
（．3．）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
例1：给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件。
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【解析】：必要不充分变式练习1：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α。
②若m∥α，α⊥β，则m⊥β。
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α。
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β。
则其中正确命题的序号为________。
【解析】：①③④变式练习2：已知平面α、β、γ，直线l、m满足α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l ⊥m，那么：①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β。
由上述条件可推出的结论有________（填序号）。
【解析】：由条件知α⊥γ，γ∩α＝m，l⊂γ，l⊥m，则根据面面垂直的性质定理有l⊥α，即②成立；又l⊂β，根据面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立．②④变式练习3：如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC。
专题42 直线、平面垂直的判定与性质-高考数学复习资料(解析版)
2021高考领跑一轮复习资料·数学篇专题42直线、平面垂直的判定与性质一、【知识精讲】1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)范围：0，π2.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.二、【典例精练】考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离.【解析】(1)证明因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)解作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.【解法小结】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l ⊂β⇒l ⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ；(2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【解析】(1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC .在△ABC 中，∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点，∴DE ∥AC ，∴DE ∥A 1C 1.∵DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，∴直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1.∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1A ⊥A 1C 1.∵A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.∵B 1D ⊂平面ABB 1A 1，∴A 1C 1⊥B 1D ，又∵B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，∴B 1D ⊥平面A 1C 1F .∵直线B 1D ⊂平面B 1DE ，∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【解法小结】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.考点三平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】(2018·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；(3)求证：EF ∥平面PCD .【解析】(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD .所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面PAD .所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，且PA ∩AB ＝A ，所以PD ⊥平面PAB .又PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 中点G ，连接FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形.所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .【解法小结】1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题【例3－2】如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在点M ，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32，由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P －ABC 的高.又PA ＝1，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN .又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt△BAN 中，AN ＝AB ·cos∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13.【解法小结】1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.角度3空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】（2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是 DF的中点．（Ⅰ）设P 是 CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；（Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小．【解析】（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A = ，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒，因此30CBP ∠=︒（Ⅱ）解法一：取 EC的中点H ，连接EH ，GH ，CH ．因为120EBC ∠=︒，所以四边形BEHC 为菱形，所以223213AE GE AC GC ====+=．取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ．则EM AG ⊥，CM AG ⊥，所以EMC ∠为所求二面角的平面角．又1AM =，所以1313EM CM ==-=在BEC ∆中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，所以23EC =，因此EMC ∆为等边三角形，故所求的角为60︒．解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E ，3,3)G ，(3,0)C -，故(2,0,3)AE =- ，3,0)AG = ，(2,0,3)CG =，设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量．由00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得1111230,30,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取12z =，可得平面AEG 的一个法向量(3,3,2)=m ．设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得222230,230,x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取22z =-，可得平面ACG 的一个法向量(3,3,2)n =-．所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅．因此所求的角为60︒．【解法小结】 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD ∥BC ，AD ⊥PD ，得PD ⊥BC ，进而利用线面垂直的判定定理证明PD ⊥平面PBC .2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.三、【名校新题】1.(2019·安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A.α⊥β且m⊂αB.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β【答案】C【解析】由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.2．(2019·浙江模拟)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则() A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n【答案】C【解析】∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.3.(2019·福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC【答案】D【解析】依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；注意到AC⊥BC，因此MN 与BC 所成的角是90°，B 错误；注意到直线OC 与AC 不垂直，因此OC 与平面VAC 不垂直，C 错误；由于BC ⊥AC ，BC ⊥VA ，因此BC ⊥平面VAC .又BC ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平面VAC ，D 正确．故选D.4．(2019·银川模拟)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有()A．AH ⊥平面EFH B．AG ⊥平面EFH C．HF ⊥平面AEF D．HG ⊥平面AEF【答案】A【解析】由平面图形得AH ⊥HE ，AH ⊥HF ，又HE ∩HF ＝H ，∴AH ⊥平面HEF ，故选A.5.(2019·泉州模拟)在下列四个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD 1与平面EFG 不垂直的是()【答案】D【解析】如图，在正方体中，E ，F ，G ，M ，N ，Q 均为所在棱的中点，易知E ，F ，G ，M ，N ，Q 六个点共面，直线BD 1与平面EFMNQG 垂直，并且选项A、B、C 中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D 中的直线BD 1与平面EFG 不垂直，满足题意，故选D.6．(2019·重庆模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β【答案】D【解析】若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，故A 错误；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行，也可能异面，故B 错误；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误；对于D，由m ⊥α，m ∥n ，得n ⊥α，又知n ∥β，故α⊥β，所以D 正确．故选D.7．(2019·襄阳模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是()A．MN 与CC 1垂直B．MN 与AC 垂直C．MN 与BD 平行D．MN 与A 1B 1平行【答案】D【解析】如图所示，连接C 1D ，BD ，则MN ∥BD ，而C 1C ⊥BD ，故C 1C ⊥MN ，故A，C 正确，D 错误，又因为AC ⊥BD ，所以MN ⊥AC ，B 正确．8．(2019·湘东五校联考)已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③【答案】A【解析】对于①，若α∥β，m ⊥α，l ⊂β，则m ⊥l ，故①正确，排除B.对于④，若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α，又l ⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.9．(2018·济南模拟)已知如图，六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABCDEF .则下列结论不正确的是()A．CD ∥平面PAF B．DF ⊥平面PAF C．CF ∥平面PAB D．CF ⊥平面PAD 【答案】D【解析】A 中，因为CD ∥AF ，AF ⊂平面PAF ，CD ⊄平面PAF ，所以CD ∥平面PAF 成立；B 中，因为ABCDEF 为正六边形，所以DF ⊥AF ，又因为PA ⊥平面ABCDEF ，所以PA ⊥DF ，又因为PA ∩AF ＝A ，所以DF ⊥平面PAF 成立；C 中，因为CF ∥AB ，AB ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB ，所以CF ∥平面PAB ；而D 中CF 与AD 不垂直．故选D.10．(2019·甘肃二诊)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，AB ＝4，若在棱AB 上存在点P ，使得D 1P ⊥PC ，则AD 的取值范围是()A．(0,1]B．(0,2]C．(1，3]D．[1,4)【答案】B【解析】连接DP ，由D 1P ⊥PC ，DD 1⊥PC ，且D 1P ，DD 1是平面DD 1P 上两条相交直线，得PC ⊥平面DD 1P ，PC⊥DP ，即点P 在以CD 为直径的圆上，又点P 在AB 上，则AB 与圆有公共点，即0<AD ≤12CD ＝2，故选B.11.(2018·静海月考)如图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点【答案】D【解析】∵平面PAC ⊥平面PBC ，而平面PAC ∩平面PBC ＝PC .又AC ⊂平面PAC ，且AC ⊥PC ，∴AC ⊥平面PBC ，而BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC ，∴点C 在以AB 为直径的圆上，∴点C 的轨迹是一个圆，但是要去掉A 和B 两点．故选D.12.(2019·广州一模)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B 【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误.13．(2019·沈阳模拟)已知P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ，PB ，PC 两两垂直，则下列命题：①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC .其中正确的个数是________．【答案】3【解析】如图所示．∵PA ⊥PC ，PA ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ，∴PA ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥BC .同理PB ⊥AC ，PC ⊥AB .但AB 不一定垂直于BC .14．(2019·西安模拟)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .【答案】BM ⊥PC (或DM ⊥PC )【解析】∵△PAB ≌△PAD ，∴PB ＝PD ，∴△PDC ≌△PBC ，当BM ⊥PC 时，有DM ⊥PC ，此时PC ⊥平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .故填BM ⊥PC (或DM ⊥PC )．15．(2019·绵阳一诊)已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l ⊥m ，则①m ⊥β；②l ⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．【答案】②④【解析】因为γ∩β＝l ，所以l ⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m ，l ⊥m ，所以l ⊥α；因为γ∩β＝l ，所以l ⊂β，又l ⊥α，所以α⊥β.由于β可以绕l 转动，位置不定，所以m ⊥β和β⊥γ不一定成立，即②④正确，①③错误．16．(2019·泉州模拟)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________．【答案】①②④【解析】对于①，V A －D 1PC ＝V P －AD 1C ，点P 到平面AD 1C 的距离即为线BC 1与平面AD 1C 的距离，为定值，故①正确；对于②，因为平面A 1C 1B ∥平面ACD 1，所以线A 1P ∥平面ACD 1；对于③，由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直于BC 1，故③错误；对于④，由于B 1D ⊥平面ACD 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1.17.(2019·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC 的体积为312，求线段CE 的长.【解析】(1)证明∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BC 1，在△CBC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝60°，由余弦定理得BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos∠BCC 1＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴BC 1＝3，∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC ⊥BC 1，又AB ，BC ⊂平面ABC ，BC ∩AB ＝B ，∴BC 1⊥平面ABC .(2)解∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴V E －ABC ＝V A －EBC ＝13S △BCE ·AB ＝13S △BCE ·1＝312∴S △BCE ＝34＝12CE ·BC ·sin∠BCE ＝12CE ·32，∴CE ＝1.18.(2019·石家庄摸底)如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点.(1)求证：BF ∥平面ADP ；(2)已知O 是BD 的中点，求证：BD ⊥平面AOF .【解析】(1)如图，取PD 的中点为G ，连接FG ，AG .∵F 是CE 的中点，∴FG 是梯形CDPE 的中位线，∵CD ＝3PE ，∴FG ＝2PE ，FG ∥CD .∵CD ∥AB ，AB ＝2PE ，∴AB ∥FG ，AB ＝FG ，即四边形ABFG 是平行四边形，∴BF ∥AG ，又BF ⊄平面ADP ，AG ⊂平面ADP ，∴BF ∥平面ADP .(2)延长AO 交CD 于M ，连接BM ，FM .∵BA ⊥AD ，CD ⊥DA ，AB ＝AD ，O 为BD 的中点，∴四边形ABMD 是正方形，则BD ⊥AM ，MD ＝2PE ，∴FM ∥PD .∵PD ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥BD ，∵AM ∩FM ＝M ，∴BD ⊥平面AMF ，∴BD ⊥平面AOF .19.(2019·泸州模拟)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AD ＝SD ，BC ＝CD ＝12AB ，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；(2)若∠SDA ＝120°，且三棱锥S －BCD 的体积为612，求侧面△SAB 的面积.【解析】(1)证明设BC ＝a ，则CD ＝a ，AB ＝2a ，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且∠BCD ＝90°，则BD ＝2a ，∠CBD ＝45°，所以∠ABD ＝∠ABC －∠CBD ＝45°，在△ABD 中，AD ＝AB 2＋DB 2－2AB ·DB ·cos 45°＝2a ，因为AD 2＋BD 2＝4a 2＝AB 2，所以BD ⊥AD ，由于平面SAD ⊥底面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面SAD ，又BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SAD .(2)解由(1)可知AD ＝SD ＝2a ，在△SAD 中，∠SDA ＝120°，SA ＝2SD sin 60°＝6a .作SH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则SH ＝SD sin 60°＝62a ，由(1)知BD ⊥平面SAD ，因为SH ⊂平面SAD ，所以BD ⊥SH .又AD ∩BD ＝D ，所以SH ⊥平面ABCD ，所以SH 为三棱锥S －BCD 的高，所以V S －BCD ＝13×62a ×12×a 2＝612，解得a ＝1.由BD ⊥平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，可得BD ⊥SD ，则SB ＝SD 2＋BD 2＝2＋2＝2.又AB ＝2，SA ＝6，在等腰三角形SBA 中，边SA 上的高为4－64＝102，则△SAB 的面积为12×6×102＝152.20．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM 的体积．【解析】(1)证明：连接BD .∵PA ＝PD ，N 为AD 的中点，∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BN ⊥AD ，又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB .(2)∵PA ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝ 3.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ，∴V P NBM ＝V M PNB ＝23V C PNB ＝23×13×32×2＝23.21．(2019·河北衡水中学模拟)如图，在底面为梯形的四棱锥S －ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠ASC ＝60°，AD＝DC＝2，SA＝SC＝SD＝2.(1)求证：AC⊥SD；(2)求三棱锥B－SAD的体积．【解析】(1)证明：设O为AC的中点，连接OS，OD.∵SA＝SC，∴OS⊥AC.∵DA＝DC，∴DO⊥AC.又∵OS，OD⊂平面SOD，且OS∩DO＝O，∴AC⊥平面SOD，且SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD.(2)连接BD，在△ASC中，∵SA＝SC，∠ASC＝60°，点O为AC的中点．∴△ASC为正三角形，且AC＝2，OS＝ 3.∵在△ADC中，DA2＋DC2＝4＝AC2，O为AC的中点，∴∠ADC＝90°，且OD＝1.∵在△SOD中，OS2＋OD2＝SD2，∴∠SOD＝90°.∴SO⊥OD.又∵OS⊥AC，且AC∩DO＝O，∴SO⊥平面ABCD.∴V B －SAD ＝V S －BAD ＝13S △BAD ·SO ＝13×12AD ·CD ·SO ＝13×12×2×2×3＝33。
数学直线、平面垂直的判定及性质讲义
数学课程讲义 学科：数学专题：直线平面垂直的判定及性质考点梳理1.直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.（线线垂直→线面垂直）3.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒ a ∥b （线面垂直→线线平行）4.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.lα m npαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m 内任一直线是平面ααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.金题精讲题一题面：用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④题二题面：设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )．A. ⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥β B.⎭⎪⎬⎪⎫b ⊂β，a ⊥b c 是a 在β内的射影⇒b ⊥c C. ⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c b ⊂αc ⊄α⇒c ∥αD. ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥αPA O aα题三题面：如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．题四题面：如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.题五题面：如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,（1）求证：BD1⊥平面B1AC;（2）求B到平面B1AC的距离.题六题面：如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：AD⊥平面P AC.课后练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列正确命题的序号是.①若m∥α，n∥α，则m∥n，②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，m∥β，则α∥β，④若m⊥α，n⊥α，则m∥n题二题面：如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=2a，则它的5个面中，互相垂直的面有对.题三题面：a、b表示直线，α、β、γ表示平面.①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b，则α⊥β;②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ=a, β∩γ=b,则a⊥b;④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是.题四2AC，∠BDC=90°. 题面：四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，且EF=2求证：BD⊥平面ACD.题五题面：如图所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN⊥平面PCD.讲义参考答案金题精讲题一答案：C题二答案：D题三答案：4题四答案：略题五答案：（1）略（2）3a3题六答案：略课后练习题一答案：④详解：①如图：，直线m与n可以异面；②我们可以考虑墙角，两个平面都与第三个平面垂直，但这两个平面却相交；③如图：α，β是相交的；④是线面垂直的性质定理，正确。
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质【知识要点】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直的判定（1）定义：如果一条直线与一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
（2）判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
符号表示：αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊥⊥l A n m n m n l m l 、，（3）判定定理2：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
符号表示：αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a2、直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【例题1—1】下列说法中不正确的是（ ）A 、空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B 、同一平面的两条垂线一定共面C 、过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D 、过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 二、两个平面垂直的判定与性质 1、两个平面垂直的判定（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直。
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
符号表示：βααα⊥⇒⊂⊥a a ，2、两个平面垂直的性质定理（1）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。
符号表示：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥a l a a l ，，，（2）如果两个平面垂直，那么经过一个平面内的一点且垂直于另一个平面的直线必在另一个平面内。
符号表示：αβαβα⊂⇒⊥∈∈⊥a a a P P ，，，【例题2—1】如图，已知PA 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上任意一点，过A 作PC AE ⊥与E ，PB AF ⊥于F ，求证： （1）⊥AE 平面PBC ； （2）平面⊥PAC 平面PBC ； （3）EF PB ⊥。
知识讲解_直线、平面垂直的判定和性质(基础)
直线、平面垂直的判定和性质【考纲要求】1、掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；2、掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。
【知识网络】【考点梳理】考点一、直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直；2、判定定理：（1）内容：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直； （2）符合语言：l a l b a bl a b ααα⊥⎫⎪⊥⎪⎪⋂⇒⊥⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭3、证明直线和平面垂直的常用方法有： （1）利用判定定理；（2）利用平行线垂直于平面的传递性（3）利用面面平行的性质（4）利用面面垂直的性质。
要点诠释：直线、平面垂直判定定理性质定理 线面垂直面面垂直判定定理性质定理当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。
考点二、直线与平面垂直的性质1、如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
2、如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面。
考点三、平面与平面垂直的判定1、二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2、平面与平面垂直（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；（2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；（3）符号语言：aaααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭3、证明面面垂直的主要方法是：①利用判定定理。
在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论。
②用定义证明。
只需判定两平面所成二面角为直二面角。
③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。
高中数学立体几何之直线、平面垂直的判定及其性质(讲义)
直线、平面垂直的判定及其性质（讲义）知识点睛一、直线与平面垂直（简称线面垂直）1. 定义：如果直线l 与平面α内的_______直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直，其中直线l 叫做平面α的________，平面α叫做直线l 的________，直线与平面的交点叫做________． 直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α．2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条_______直线都垂直，则该直线与此平面垂直．几何语言：__________________________________． 3. 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_______．几何语言：__________________________________． 二、直线与平面所成的角（简称线面角）1. 平面的一条斜线和它在平面上的________所成的_____叫做这条直线和这个平面所成的角．2. 若直线垂直于平面，则它们所成的角为______；若直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为______． 3. 线面角θ的取值范围：_______．三、二面角 1. 定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的________．右图记作二面角___________．2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．右图二面角的平面角记作___________．3. 二面角θ的取值范围：_______．四、平面与平面垂直（简称面面垂直） 1. 定义：两个平面相交，它们所成的二面角是________，就说两个平面互相垂直．2. 判定定理：一个平面经过另一个平面的_____，则这两个平面垂直．几何语言：__________________________________．3. 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．几何语言：__________________________________．精讲精练1. 直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则有（ ）A ．l 和m 异面B ．l 和m 相交C ．l ∥mD ．l 不平行于mOPA αOB A l αβ2.下列结论不正确．．．的是（）A．若两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面B．若两条平行线中的一条不垂直于某个平面，则另一条也不垂直于这个平面C．若三条平行线中的一条垂直于某个平面，则这三条直线都垂直于这个平面D．若三条平行线中的一条不垂直于某个平面，则另两条中可以有一条和这个平面垂直3.已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是（）A．平行B．异面C．相交D．垂直4.直线a与b垂直，b⊥α，则a与α的位置关系是（）A．a⊥αB．a∥αC．a⊂αD．a⊂α或a∥α5.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（）A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直6.有以下四个命题：①a∥α，b⊥α，则a⊥b；②a⊥b，b⊥α，则a∥α；③a∥b，b⊥α，则a⊥α；④a⊥b，b∥α，则a⊥α．其中正确命题是（）A．①②B．③④C．①③D．②④7.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m∥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β8.若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β=m，m∥n，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β；⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m⊥l，n⊥l．其中正确命题的序号是________．9. 空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，则有（ ）A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADB C ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBCABDPFE D C第9题图 第10题图10. 如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABCDEF ，P A =2AB ，则下列结论正确的是（ ） A ．P A ⊥ADB ．平面ABCDEF ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABCDEF 所成的角为30° 11. 如图，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：ABCDDCBA①BD ⊥AC ； ②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D -ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC ． 其中正确的是（ ） A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④12. 如图，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC上的射影H 必在（ ） A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部13. 如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________．第12题图B 1C 1A 1A BCPCBA第13题图 第14题图14. 如图，在三棱锥D -ABC 中，若AB =BC ，AD =CD ，E 是AC 的中点，则平面ADC 与平面BDE 的关系是________．15. 已知直二面角α-l -β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB =2，AC =BD =1，则CD =（ ） A ．2B ．3CD ．1βB l αA CD BC DASABC第15题图 第16题图 第17题图16. 边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则AC 的长为（ ） A ．2aB ．22aC ．32a D ．a17. 已知三棱锥S -AB C 中，底面AB C 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面AB C ，SA =3，那么直线AB 与平面SB C 所成角的正弦值为（ ） A．4B．4C．4D ．3418. 自小于90°的二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．相等B ．互补C ．互余D ．相等或互补19. 正方体ABCD -A′B′C′D′中，二面角D′-AB -D 的大小是_____．EDCBAB′C′D′A′DC BAVABCD第19题图 第20题图20. 四棱锥V -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰V -AB -C 的平面角为________． 21. 已知△ABC 中，∠ACB =90°，SA ⊥平面ABC ，AD ⊥SC ．求证：AD ⊥平面SBC ．22. 如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点．（1）求证：BC ⊥平面P AC ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PBC ．DBAS23. 如图，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． （1）求证：MN ⊥CD ； （2）若∠PDA =45°，求证：MN ⊥平面PCD ．24. 如图，在四棱锥P -AB CD 中，底面AB CD 是正方形，PA ⊥底面AB CD ，E 是P C 的中点，已知AB =2，PA =1，求： （1）三角形P CD 的面积；（2）异面直线B C 与A E 所成的角的余弦值．NMABCDPPEDCBANM A B CDP25.如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：BD⊥平面P AC；（2）若P A=AB，求PB与AC所成角的余弦值．回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 【参考答案】【知识点睛】一、1．任意一条垂线垂面垂足2．相交a⊂α，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α3．平行a⊥α，b⊥α⇒a∥b二、1．射影锐角2．直角0° 3．0°≤θ≤90°三、1．两个半平面棱α-l-β或P-l-Q2．垂直于棱∠AOB0°<θ<180° PDCBA四、1．直二面角 2．垂线 l ⊥α，l ⊂β⇒α⊥β3．=l a a l a αβαβαβ⊥⊂⊥⇒⊥，∩，，【精讲精练】1．D 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．C 8．②④⑤ 9．D 10．A 11．B 12．A 13．4 14．垂直 15．C 16．D 17．D 18．A 19．45° 20．60° 21．证明略 22．证明略 23．证明略 24．（1；（2）2325．（1）证明略；（2直线、平面垂直的判定及其性质（随堂检测）1．在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的序号是________．DDD D CCCCBB B BAAAA① ② ③ ④2．已知P 是Rt △ABC 平面外的一点，O 是斜边AB 的中点，并且PA =PB =PC ．求证：PO ⊥平面ABC ．OCBAP【参考答案】 1．① 2．证明略直线、平面垂直的判定及其性质（作业）1. 下列选项中能得到平面α⊥平面β的是（ ）A ．存在一条直线l ，l ⊥α，l ⊥βB ．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC ．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD ．存在一条直线l ，l ⊥α，l ∥β2. 若l 为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β； ③l ∥α，l ⊥β，则α⊥β． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3. 下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 4. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ） ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5. 如右图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OPP D 1C 1B 1A 1与直线AM所成角的大小为（）A．与点P的位置有关B．45°C．60°D．90°第8题图第9题图9.对于四面体ABCD，给出下列三个命题：①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD．其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）A E图2DCBAD B14. 如图，在三棱锥D -ABC 中，BD ⊥底面ABC ，AC =BC ，N 是棱AB 的中点．求证：CN ⊥AD ．BCDN16. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证： （1）B 1D ⊥平面ACD 1；（2）B 1D 与平1A面ACD 1的交点H 是△ACD 1的重心(三角形三条中线的交点)．17. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°，PA =AB =BC ，E 是PC 的中点． 求证：（1）CD ⊥AE ； （2）PD ⊥平面ABE ．18. 如图，在底面是正方形的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，E 是CC 1的中点，O 是AC 和BD 的交点． （1）求证：AC 1∥平面BDE ； （2）求证：平面BDE ⊥平面ACC 1．PE D C B AOEA 1D 1B 1C 1ABCD【参考答案】1．D 2．C 3．D 4．A 5．D 6．D 7．B8．①②9．①1011．60° 12．60°13．证明略14．证明略15．证明略16．证明略（分析：（1）先证明CD1⊥平面AB1C1D、AD1⊥平面A1B1CD，得到CD1⊥B1D，AD1⊥B1D，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用正三棱锥的性质17．证明略18．证明略。
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【典型例题】
例题1.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
（1）求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD= ，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积
〔点评〕从条件和结论两个方面出发寻求证明所需要的定理，要理清下表中每一个箭头的含义：
章节
2.3
课题
直线、平面垂直的判定及其性质（小结与复习）
主备
陈Байду номын сангаас理
时间
教
学
目
标
1、了解直线与平面所成的角、二面角的定义；
2、掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理；
3、会运用判定定理、性质定理和已获得的结论证明简单的问题。
教学重点
教学难点
【复习回顾】
1．直线 与平面 所成角的定义：
2．平面 与平面 所成二面角的定义：
3．直线和平面垂直
（1）定义：如果一条直线和一个平面内的所有直线都垂直，则称这条直线和这个平面垂直．
（2）判定定理：
符号表示：
（3）性质定理：
符号表示：
4．平面与平面平垂直
（1）定义：两个平面相交，如果所成二面角是直二面角，就说这两个平面是互相垂直的．
（2）判定定理：
符号表示：
（3）性质定理：
符号表示：
练习1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形, ,AD=AC=1,O为AC的
中点,PO⊥平面ABCD,PO=2, 为PD的中点.
(Ⅰ)证明PB∥平面 ;
(Ⅱ)证明AD⊥平面PAC;
(Ⅲ)求直线 与平面ABCD所成角的正切值.