(完整word版)北师版九年级下册第三章圆知识点及习题,推荐文档.doc
(完整版)北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
北师大数学九年级下《第三章圆》复习与训练含答案解析(2)
圆知识点与练习（1）圆是到定点的距离 定长的点的集合；圆的内部可以看作是到圆心的距离半径的点的集合； 圆的外部可以看作是到圆心的距离 半径的点的集合（2） 点和圆的位置关系：若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么：点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 点P 在圆 d r例1：如图已知矩形ABCD 的边AB=3厘米，AD=4厘米，以点A 为圆心，4厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系分别为点B 在圆A ，点C 在圆A ，点D 在圆A ，（3）定理： 的三个点确定一个圆（4）垂径定理： 垂直于弦的直径 这条弦并且平分弦所对的推论1 ①平分弦(不是直径)的直径 ，并且（注：运用垂径定理进行证明几何问题时，常需做出的辅助线的方法是 ）推论2 圆的两条平行弦所夹的弧例2：如图，将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 例3：在的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=800mm ，油的最大深度为200mm ，则油槽截面的直径为 。
（例2图） （例3图）（5）圆是轴对称图形，其对称轴是 ；圆也是中心对称图形，对称中心是（6）定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ，所对的弦的弦心距推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都例4：如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC,则∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？（7） 定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 ;90°的圆周角所对的弦是（注：当问题中有直径时，常需做出的辅助线是 ）例5：如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=350 ∠BOC =_______°、∠BDC =_______°⇔⇔⇔例6：如图，AB是⊙O的直径，若AB=AE①BD 和 CD相等吗？为什么？② BD与 CD的大小有什么关系？为什么？（8）圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角例7：⊙O中，弦长等于半径的弦，所对的圆周角的度数为（9）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，直线L和⊙O相交⇔d r ；直线L和⊙O相切⇔d r ；直线L和⊙O相离⇔d r 例8：在△ABC中，AB＝5cm,BC=4cm,AC=3cm,①若以C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系；②若直线AB与半径为r的⊙C相切，则r的值为。
九年级数学下册 第三章 圆知识总结北师大版
九年级数学下册第三章圆知识总结北师大版年级：姓名：圆的知识总结24.1 圆定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d 表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
周长计算公式1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长：1\2周长+直径 面积计算公式：1、已知半径：S=πr 平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方24.2 点和圆、直线和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系① 点在圆内⇔点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上⇔点到圆心的距离等于半径③ 点在圆外⇔点到圆心的距离大于半径2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
北师大新版九年级下册《第3章 圆》知识点
∵OC 过 O，
∴AC＝BC＝ AB＝12，
在 Rt△AOC 中，由勾股定理得：OC＝
＝5．
故选：B．
2．如图，在半径为 5cm 的⊙O 中，弦 AB＝6cm，OC⊥AB 于点 C，则 OC＝（ ）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
【分析】连接 OA，先利用垂径定理得出 AC 的长，再由勾股定理得出 OC 的长即可解答．
⊙O 的半径为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质知：若过 A 作 BC 的垂线，设垂足为 D，则 AD
必垂直平分 BC；由垂径定理可知，AD 必过圆心 O；根据等腰直角三角形的性质，易求
出 BD、AD 的长，进而可求出 OD 的值；连接 OB 根据勾股定理即可求出⊙O 的半径．
故选：D．
7．如图，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC＝AB
B．∠C＝ ∠BOD C．∠C＝∠B
D．∠A＝∠BOD
【分析】根据垂径定理得出 ＝ ， ＝ ，根据以上结论判断即可． 【解答】解：A、根据垂径定理不能推出 AC＝AB，故 A 选项错误； B、∵直径 CD⊥弦 AB， ∴＝，
，
∴△OCE≌△ODE， 故选：B． 5．如图，AB 为圆 O 的直径，BC 为圆 O 的一弦，自 O 点作 BC 的垂线，且交 BC 于 D 点．若 AB＝16，BC＝12，则△OBD 的面积为何？（ ）
A．6
B．12
C．15
D．30
【分析】根据垂径定理，由 OD⊥BC 得到 BD＝CD＝ BC＝6，再在 Rt△BOD 中利用勾
．
17．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，连接 AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝
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A图5圆的总结一 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三 位置关系：1点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内 点在圆上 d=r 点B 在圆上 点在此圆外 d>r 点A 在圆外2 直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d<r 3 圆与圆的位置关系:外离（图1） 无交点外切（图2） 相交（图3） 内切（图4） 内含（图5） 无交点DBB ABA四 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD五 圆心角定理六 圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形»»BC BD =»»AC AD =P即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
(完整版)北师版九年级下册第三章圆知识点及习题
九年级下册第三章圆【知识梳理】一、圆的认识1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心．．；以点O为圆心的圆，记作⊙．．；线段OA叫做半径O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心．．．．，圆．．，定长叫做圆的半径心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2、与圆相关的概念①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。
直径：经过圆心的弦叫做直径．．。
②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.3、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
北师大版数学九年级下册：第三章 圆 知识点及习题
九年级下册第三章圆【知识梳理】一、圆的认识1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心．．；以点O为圆心的圆，记作⊙．．；线段OA叫做半径O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心．．．．，圆．．，定长叫做圆的半径心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2、与圆相关的概念①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。
直径：经过圆心的弦叫做直径．．。
②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.3、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
新北师版九下《圆》知识点归纳总结
新北师版九下《圆》知识点归纳总结(圆的三大定理：垂径定理；圆心角定理和圆周角定理)3.1圆（1）圆的有关概念：弦、直径、圆弧（简称“弧”可分为优弧和劣弧）、半圆、等圆、等弧. （2）点和圆的位置关系：点在圆外，即d————r；点在圆上，即d————r；点在圆内，即d————r.（共三种）反之也成立.3.2圆的对称性（1）轴对称性；（2）中心对称性；（3）圆心角关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的—————相等；所对的—————相等. （圆心角定理）推论：在同圆或等圆中，如果两个—————、两条—————、两条—————、两条—————中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等.3.3垂径定理（1）内容：垂直于弦的直径平分—————————，并且平分—————————————.推论：平分弦（不是———————）的直径———————，并且平分—————————————.3.4圆周角和圆心角的关系（1）圆周角的概念：顶点在——————，且两边都与圆——————，（2）圆周角定理：圆周角的度数等于——————————的圆心角度数的一半.推论1：同弧或等弧所对的———————————————。
推论2：直径所对的—————————是直角；90°的圆周角所对的弦是——————————。
（3）圆内接四边形的概念：四边形的四个顶点都在——————————————；这个圆叫做四边形的——————————————。
推论：圆内接四边形的—————————互补。
3.5确定圆的条件（1）——————————————————————的三个点确定一个圆；（2）外接圆：外心是指——————————————————，它是三角形———————的交点。
3.6直线和圆的位置关系（1）圆的切线：直线和圆有——————————的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做——————————————，这个公共点叫做————————。
最新北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
北师大版九年级下册 第三章：圆专题二 【圆的基本性质】经典知识点+经典例题+巩固训练 讲义设计(无
第三章 圆专题二：圆的基本性质知识点一：圆的对称性例1：下列所述图形中对称轴对多的是（ ）A 圆B 正方形C 正三角形D 线段例2：判断对错，如果错误，请加以改正： 直径是圆的对称轴。
例3：世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，如图，是来自现实生活中的图形，图中都有圆：上述三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的 有 （用代号填写）知识点二：垂径定理及其推论C铜钱B 汽车方向盘A一石击起千层浪垂径定理例1： 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。
OA B例2：在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm 。
例3： 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。
求证：AD BD a b ·=-22例4：如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F 。
（1）求证：四边形OEHF 是正方形。
（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离。
例5：如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求：（1）CD 的长；（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
例6：如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，AB ＝AC ，tanB ＝31。
求： （1）BC 的长； （2）AB 边上高的长。
挑战自我，勇攀高分1.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 。
2.如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（ ）A 、28B 、26C 、18D 、353.探索与创新：【问题一】不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。
圆北师大版九年级下册知识点及题库
圆圆一章中在近年的考试中有所弱化，从分值上由原来的20分降到10分左右；从难度上看，只需垂径定理、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质的简单运用。
所以，教师复习时，要在难易方面有所体现。
1、理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。
2、探索圆的性质：垂径定理，圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质。
3、探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线。
124、了解三角形的内心、外心。
5、a 、h 、r 、d 中，知二求二6、会计算弧长及扇形的面积，阴影图形面积，圆锥的侧面积和全面积。
三、技能和方法1、能正确利用用辅助线解决圆的证明和计算（已知r ，作弦；与弦有关作弦心距；与切线有关作半经）2、能用比较、分析、综合、数形结合、化归、建模等数学思想方法解答比较简单的综合性、实际性问题。
3、充分感受数学与现实生活的紧密联系。
四、例题解析 1.己知：⊙Ｏ１和⊙Ｏ２直径分别是１０和8，Ｏ１Ｏ２＝７，则两圆的位置关系是： ； 2.己知⊙Ｏ１和⊙Ｏ２内切，且⊙Ｏ１的半经为6 cm ，两圆的圆心距为3 cm ，那么⊙Ｏ２的半径长为： ；3.己知：直角三角形的两直角边分别为3和4cm ，求以一条直角边为轴旋转所得图形的表面积。
4．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 5，AB = 8，求OC 的长。
5．如图，AB 是的直径，BD 是的弦，延长BD 到C ，使CA = AB 。
BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？五、练习拓展3．1 车轮为什么做成圆形1.⊙O 外一点P 和⊙O 上一点的距离最小3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________．2.⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为O （0，0），点A 的坐标为A （4，2位置关系是（ ）A.点A 在⊙O 内B.点A 在⊙O 上C.点A 在⊙O 外D.点A 在⊙O 内或在⊙O 上3.如图，一根绳子长4 m ，一端拴着一只羊，另一端拴在 墙BC 边A 处的柱子上，请画出羊的活动区域．4.如图，已知在同心圆O 中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点．求证：∠AOC3．2 圆的对称性（一）1.若⊙O 的直径为10厘米，弦AB 的弦心距为3厘米，则弦AB 的长为________．2.已知⊙O 的半径为8cm ，OP =5cm ，则在过点P 的所有弦中，最短的弦长为最长的弦长为___________3.已知⊙O 的半径为5cm ，则垂直平分半径的弦长为__________．4.已知圆的两弦AB 、CD 的长分别是18和24，且AB ∥CD ，又两弦之间的距离为的半径长是（ ） A.12 B.15 C.12或15 D.215.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），3水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ．3．2 圆的对称性（二）1.在⊙O 中，60°的圆心角所对的弦长为5cm ，则这个圆的半径为_________．2.若⊙O 的弦AB 的长为8cm ，O 到AB的距离为，弦AB 所对的圆心角为__________．3.下列结论中正确的是（ ）A.长度相等的两条弧相等 B.相等的圆心角所对的弧相等 C.圆是轴对称图形 D.平分弦的直径垂直于弦4.如图，三点A 、B 、C 在⊙O 上．（1）已知：∠ABC =∠ACB ，求证：AB=AC ；（2）已知：AB=AC ，求证：∠ABC =∠ACB 3．3 圆周角和圆心角的关系（一）1.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上．（1）若∠AOB =70°，则∠ACB =_____°；（2）若∠ACB =40°，则∠AOB =________°． 2.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 的延长线相交于点P ，∠AOC =64°，∠BOD =16°， 则∠APC 的度数为______°．3.如图，⊙O 的直径AD =6，∠BAC =30°，则弦BC 的长为 （ ）A.3B. C.6D.（第3题）4.在同圆或等圆中，同一弦所对的两个圆（ ）A.相等B.互补C.互余D.相等或互补3．3 圆周角和圆心角的关系（二）1.如图，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点E ，AC 所对的圆心角是100°，弧AB 所对的圆心角是50°．则∠AEC =_______．2.下列命题中，①顶点在圆上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤同弧或等弧所对的圆周角相等．正确的个数为 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3．4 确定圆的条件1.____________________的三个点确定一个圆．2.锐角三角形的外心位于三角形的_______，直角三角形的外心在_________，钝角三角形的外心位于三角形的__________．3.等腰直角三角形外接圆半径为3，则这个三角形三边的长为____________．4.直角三角形两条直角边长为6和8，则外接圆面积为________．5.下列四个命题中，①直径是弦；②经过三点可以作圆；③三角形的外心到各顶点的距离都相等；④钝角三角形的外心在三角形的外部.正确的有 （ ）CD4A.个B.2个C.3个D.4个6. 如图，以⊙O 的半径OA 为直径作⊙D ，⊙O 的弦AB 与⊙D 相交于点C ，已知AB =20，求AC 的长．3．5 直线和圆的位置关系（一）1.在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，AB =5cm ，BC =3cm ，以A 为圆心，4cm 为半径作圆，则：（1）直线BC 与⊙A 的位置关系是_________；（2）直线AC 与⊙A 的位置关系是_________．（3）以C 为圆心，半径为________的圆与直线AB 相切．2.半径等于3的⊙P 与x 轴相切，且OP 与x 轴正半轴的夹角为30°，则点P 的坐标为_______．3.如果直线l 与⊙O 有公共点，那么直线l 与⊙O 的位置关系是 （ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交3．5 直线和圆的位置关系（二）1.如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别是切点，∠ACB =90°，∠BOC =115°，则∠A =______，∠ABC =_______．2.如图，⊙I 是Rt △ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别是切点，∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ，则⊙I 的半径IE 的长为_______．3.如图，直线l 1、l 2、 l 3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路距离相等，则可选择的地址有 （ ）A.一处B.两处C.三处D.四处4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．求证：DC 是⊙O 的切线．3．6 圆和圆的位置关系1.课本上的奥运五环图中，红环与绿环的位置关系是______，红环与黑环的位置关系是____．2.已知两圆的半径分别是2，3，圆心距是d ，若两圆有公共点，则下列结论正确的是（ ）A.d ＝1B.d ＝5C.1≤d ≤5D.1＜d ＜5 3.半径分别为1和2的两个圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3的圆的个数有（ ） A.1个 B.3个 C.5个 D.6个4.如图，⊙O 1和⊙O 内切于点A ，AB 为⊙O 的直径，点O 1在OA 上，⊙O 的弦BC 切⊙O 1于点D ，两圆的半径R =4，r =3．A（第1第2题 C l 1l 3l 2 B5（1）求BD 的长（2）求CD 的长3．7 弧长及扇形的面积1.如图，当半径为30cm 的转动轮转过120 的角时，传送带上的物体A 平移的距离为________cm ．2.水平放置的一个水管的截面半径为10厘米，其中有水部分的水面宽103厘米．求截面上有水部分的面积．3.如图，AB 是半⊙O 的直径，C 、D 是半圆的三等分点，半圆的半径为R ．（1）CD 与AB 平行吗？为什么？ （2）求阴影部分的面积．4.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，并且分别与⊙O 内切于A 、B ，若⊙O 的半径为3，⊙O 1和⊙O 2的半径都为1．求阴影部分的面积和周界长．3．8圆锥的侧面积1.粮仓的顶部是一个底面直径为4m ，母线长为3m 的圆锥，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为 （ ）A.6m 2B.6πm 2C.12m 2D.12πm 2 2.用铁皮做一个圆锥形的烟囱帽（图中上部），它的底面直径是80cm ， 高是30cm ，不计加工余料，求需用铁皮的面积．3.如图，在半径为40米的圆形广场中央点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面（经过圆锥的轴的截面）ASB 的顶角为60°，求光源离地面的高度SO （精确到0.1米）．C DOO CAB O 2 O 1·OABSO CA B O 2O 1·64.如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若滚珠轴承的内外半径分别为6cm 和8cm ，那么该轴承内最多能放________颗半径为1cm 的滚珠．5.如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，围成一个圆锥模 型，设围成的圆锥底面半径为r ，母线长为R ，则r 与R 之间 的关系为 （ ）A.2R r =B.49R r =C.3R r =D.4R r =6.如图，A 、B 、C 在直角坐标系中的坐标分别为A （1，0），B （3，0），C （0，1）．求△ABC绕y 轴旋转一周所得几何体的表面积．7.如图，⊙P 与扇形OAB 的半径OA 、OB 分别相切于点C 、D ，与弧AB 相切于点E ，已知OA =15cm ，∠AOB =60°，求图中阴影部分的面积．8.如图，一根木棒（AB ）的长为2米，斜靠在与地面（OM ）垂直的墙壁（ON ）上，与地面的倾角为60°，若木棒A 端沿NO 下滑，B 端沿OM 向右滑行，于是木棒的中点P 也随之运动，已知A 端下滑到A ′时，AA ′P 随之运动的路线有多长圆锥O B DP ′· ·N MOBA B ′ A ′ P。
新北师大版九年级下册第三章《圆》复习资料
新北师大版九年级下册第三章《圆》复习资料（一）圆 2015、1、151、定义A：一条线段绕一个端点在平面内旋转一周，另一个端点运动所形成的图形叫圆。
定义B：到定点距离等于定长的点的集合是圆。
定义C：正多边形的边数趋向于无穷大时，图形趋向圆。
2、点与圆的位置关系若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆⇔ d r点P在圆⇔ d r点P在圆⇔ d r练习1、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C 在⊙A ；点D在⊙A 。
2、已知⊙O的直径为10cm.(1)若OP=3cm，那么点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ；(2)若OQ= cm，那么点Q与⊙O的位置关系是：点Q在⊙O上；(3)若OR=7cm，那么点R与⊙O的位置关系是：点R在⊙O .（二）圆相关概念1、连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2、经过圆心的弦叫做直径。
3、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
4、圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
5、定点在圆心的角叫做圆心角。
6、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
7、能够互相重合的两个圆叫做等圆。
8、能够互相重合的弧叫做等弧。
9、同圆或等圆的半径相等。
练习：1、下列语句不正确的是（）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径。
A、1B、2C、3D、42、等于23圆周的弧是（）A、劣弧B、半圆C、优弧D、圆3、如图，⊙O的直径AB=4，半径O C⊥AB，点D在上，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求EF的长.（三）圆的对称性1、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
3、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们对应的其余各组量都分别相等。
最新北师版初三数学下册第三章 圆概念.讲义资料
ABC九年级（下）第三章圆1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；记作“⊙O ”，读作“圆O ”2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；一.圆的基本概念1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径2.弧.圆上任意两点间的部分，简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”.3.半圆，劣弧，优弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD.小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ⋂(用三个字母).4.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.也就是等弧一定是同圆或等圆5.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角6.同心圆：圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆7.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距二.点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内 点在圆上 d=r 点B 在圆上 点在此圆外 d>r 点A 在圆外图1图2图4图5直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 d<r 有两个交点相离 相交 相切圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 d>R+r 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r<d<R+r 内切（图4） 有一个交点 d=R-r 内含（图5） 无交点 d<R-r外离 外切 相交内切 内含三.圆的对称性(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;注意：不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，二直径是线段，应该叙述为每条直径所在的直线都是圆的对称轴。
九年级下册北师大版圆知识点
九年级下册北师大版圆知识点圆是我们学习数学的重要内容之一。
在九年级下册北师大版教材中，圆的知识点被分散在不同的章节中，下面我将逐一介绍这些知识点。
首先是圆的基本概念。
圆是由一个平面上所有到定点距离相等的点组成的集合。
在圆中，距离圆心最远的点称为圆的半径，而连接圆心和任意一点的线段称为半径。
圆心到圆上任意一点的距离称为弦长，而通过圆心的弦则是圆的直径。
接下来是圆的性质。
圆的直径是圆的最长弦，它等于圆的半径的两倍。
两个半径相互垂直的圆被称为互相垂直的圆。
圆的半径、弦和切线之间有一定的关系，具体可以用切线定理和弦切角定理来描述。
此外，同一个圆内的两个相交弦的弦积等于这两个弦所夹的弧的弧积。
圆上的一个弧所对的圆心角等于这个弧所对的弦所对的圆心角的一半。
在九年级下册北师大版教材中，我们还学习到了圆与直线的相关知识。
当直线与圆相交时，根据位置与长度可以分为两个弦相交、切线相交和弦切线相交三种情况。
对于弦切线相交，我们需要掌握切线与半径的关系，以及如何根据已知条件求解问题。
另外，我们还学习到了与圆相关的计算问题。
例如，根据圆的半径或直径求解圆的周长和面积的公式。
这些公式是基础且实用的，能够帮助我们更好地理解和应用圆的知识。
除了圆的基本概念和性质，我们还学习到了与圆相关的证明问题。
通过证明，我们可以深入理解圆的性质，并通过推理和演绎的方法得出结论。
对于证明问题，我们需要灵活运用已有的圆的定理和性质，寻找合适的证明方法，从而解决各种与圆相关的问题。
在学习圆的知识时，我们还要注意与其他几何知识的联系和应用。
例如，我们可以将圆与三角形、四边形等图形进行结合，进一步理解并应用圆的性质和定理。
通过九年级下册北师大版教材中关于圆的学习，我们可以学会运用圆的基本概念和性质解决与圆相关的问题。
同时，我们还需要注重思维的拓展，灵活运用已有的知识和方法，培养数学思维能力和解决问题的能力。
最后，通过积极参与课堂讨论和练习，我们可以更好地掌握圆的知识，提高自己的数学水平。
北师大版九年级数学下册第三章圆
A
错误 只有这两条弧在同圆或等圆中,且长度相等,才是等弧
B
错误 同圆要求圆心相同,半径相等,而等圆只要求半径相等,即圆心相同的等圆才是同圆
C
正确 符合直径与弦的定义
D
错误 同圆或等圆中的弦有无数条,不一定相等
答案 C
知识点二 点与圆的位置关系
若点到圆心的距离为d,圆的半径为r,则点与圆的位置关系如下表:
知识点二 点与圆的位置关系 4.(2019河北保定一模)已知☉O的半径OA长为 2 ,若OB= 3 ,则正确的图形 可能是 ( )
答案 A ∵☉O的半径OA长为 2 ,OB= 3 , ∴OA<OB,∴点B在圆外,故选A.
5.若☉O的面积为25π,在同一平面内有一个点P,且点P到圆心O的距离为4. 9,则点P与☉O的位置关系为 ( ) A.点P在☉O外 B.点P在☉O上 C.点P在☉O内 D.无法确定
解析 E,F,G,H四点在以点O为圆心的圆上.理由如下: 如图3-1-2所示,连接OE,OF,OG,OH. ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD.
又∵E为边AB的中点,∴OE= 12AB. 同理,OF= 12BC,OG= 12CD,OH= 12DA,
∴OE=OF=OG=OH.
点与圆的 位置关系
图形
数量关系
数学语 言描述
点在圆内
d=OA<r
d<r⇔点在圆内
点在圆上
d=OB=r
d=r⇔点在圆上
点在圆外
d=OC>r
d>r⇔点在圆外
例2 已知☉O的半径为10 cm,根据下列点P到圆心O的距离,判断点P和☉ O的位置关系,并说明理由. (1)8 cm;(2)10 cm;(3)12 cm.
北师版九年级下册数学第三章 圆
第三章圆3.1 圆1.回顾圆的基本概念.2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、半圆、等圆、等弧等.(重点)3.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系.(难点)阅读教材P65～66，完成预习内容.(一)知识探究1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.2.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r.(二)自学反馈1.下列命题中正确的有(A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，图中共有2条弦.3.在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在圆内.活动1 小组讨论例1 ⊙O的半径为2 cm，则它的弦长d的取值范围是0<d≤4_cm.直径是圆中最长的弦.例2⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形.与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型.例3 已知AB＝4 cm，画图说明满足下列条件的图形.(1)到点A和B的距离都等于3 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和B的距离都小于3 cm的所有点组成的图形；(3)到点A的距离大于3 cm，且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形.解：(1)如图1，分别以点A和B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的交点C、D为所求；图1 图2(2)如图1，分别以点A和点B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的重叠部分为所求；(3)如图2，以点A为圆心，3 cm为半径画⊙A，以点B为圆心，2 cm为半径画⊙B，则⊙B中除去两圆的重叠部分为所求.活动2 跟踪训练1.已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的内部.2.已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足0<r<5.3.如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条.这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数.4.如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝3 cm 、AD ＝4 cm.(1)以点A 为圆心，4 cm 为半径作⊙A ，则点B 、C 、D 与⊙A 的位置关系怎样？(2)若以A 点为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？解：(1)点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外，点D 在⊙A 上；(2)3<r<5.(2)问中B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，是指哪个点在圆内？至少有一点在圆外是指哪个点在圆外？活动3 课堂小结1.这节课你学了哪些知识？2.学会了哪些解圆的有关问题的技巧？3.2 圆的对称性1.理解圆的轴对称性及其中心对称性.2.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.(重难点)阅读教材P70～71，完成预习内容. (一)知识探究1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等. (二)自学反馈1.圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2.在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦.(1)如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵.活动1 小组讨论例 如图，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？解：BE ＝CE.理由是：∵∠AOD ＝∠BOE ，∴AD ︵＝BE ︵. 又∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.活动2 跟踪训练1.如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，则∠BAC ＝30°.2.如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形. ∴AB ＝AC ＝BC.∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.3.如图，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵，∠AOD ＝80°，求∠AOB 的度数.解：∵AB ︵＝DC ︵， ∴∠AOB ＝∠DOC. ∵∠AOD ＝80°，∴∠AOB ＝∠DOC ＝12(180°－80°)＝50°.活动3 课堂小结圆心角、弧、弦是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.*3.3 垂径定理1.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论.(重点).2.能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.(难点)阅读教材P74～75，完成预习内容. (一)知识探究1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A 、B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ；那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.2.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (二)自学反馈1.如图，弦AB ⊥直径CD 于E ，相等的线段有：AE ＝EB ，CO ＝DO ；相等的弧有：AD ︵＝DB ︵，AC ︵＝BC ︵，CAD ︵＝CBD ︵.2.在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离OC 为3 cm ，则弦AB 的长为8_cm.活动1 小组讨论例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵，点O 是CD ︵所在圆的圆心)，其中CD ＝600 m ，E 为CD ︵上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF ＝90 m ，求这段弯路的半径.解：连接OC.设弯路的半径为R m ，则OF ＝(R －90)m. ∵OE ⊥CD ，∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m).在Rt △OCF 中，根据勾股定理，得OC 2＝CF 2＋OF 2，即 R 2＝3002＋(R －90)2. 解得R ＝545.所以，这段弯路的半径为545 m.常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.活动2 跟踪训练1.如图，在⊙O 中，弦AB ＝4 cm ，点O 到AB 的距离OC 的长是2 3 cm ，则⊙O 的半径是4_cm.2.CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，且AB ⊥CD ，垂足是E ，如果CE ＝2、AB ＝8，那么ED ＝8，⊙O 的半径r ＝5.3.已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD.证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ， ∴AE ＝BE.∴AE －CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD.过圆心作垂径是圆中常用辅助线.活动3 课堂小结用垂径定理及其推论进行有关的计算.3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角定理及其推论11.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.(重点)2.理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆推论1，能在证明或计算中熟练地应用它们处理相关问题.(难点)阅读教材P78～80，完成预习内容. (一)知识探究1.顶点在圆上，它的两边与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.2.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.同弧或等弧所对的圆周角相等. (二)自学反馈1.如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，则∠BAC ＝50°.2.如图所示，点A 、B 、C 在圆周上，∠A ＝65°，则∠D ＝65°.活动1 小组讨论例1 如图所示，点A 、B 、C 在⊙O 上，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝25°，则∠C ＝65°.例2 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB ＝64°.(1)求圆周角通常先求同弧所对的圆心角.(2)求圆心角可先求对应的圆周角.(3)连接OC ，构造圆心角的同时构造等腰三角形.活动2 跟踪训练1.如图，锐角△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠OAC ＝20°，则∠B ＝70°.2.OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角，∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角， ∴∠AOB ＝2∠ACB. 同理∠BOC ＝2∠BAC. ∵∠AOB ＝2∠BOC. ∴∠ACB ＝2∠BAC.求圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角.活动3 课堂小结圆周角的定义、定理及推论.第2课时 圆周角定理的推论2、31.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明.(重点)2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质.(难点)阅读教材P81(问题解决)～83(议一议)，完成预习内容. (一)知识探究1.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.2.四个顶点都在圆上的四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆内接四边形的对角互补.(二)自学反馈1.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，若∠BAD ＝110°，则∠BCD 等于(C) A.110° B.90° C.70° D.20°2.如图，AB 是⊙O 的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是55°.活动1 小组讨论例1 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为(C) A.30° B.45° C.60° D.75°例2 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠CBE 是它的外角，若∠D ＝120°，则∠CBE 的度数是120°.例3 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD.证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝90°， ∴∠BAE ＋∠E ＝90°. ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＋∠C ＝90°. ∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C.∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CAD.涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.活动2 跟踪训练1.如图，⊙O 的直径AB ＝4，点C 在⊙O 上，∠ABC ＝30°，则AC 的长是(D)A.1B. 2C. 3D.22.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4.3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，则∠BOD＝140度.4.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数.解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOD＝50°.∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝40°.活动3 课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师强调：①直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；②圆内接四边形定义及性质；③在圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形.3.5 确定圆的条件1.了解不在同一条直线上的三点确定一个圆以及三角形的外接圆及外心等概念.(重点)2.经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.(难点)阅读教材P85～86做一做，完成预习内容.(一)知识探究1.(1)经过一个已知点A画圆；想一想：经过已知点A可以画多少个圆？解：无数个.(2)经过两个已知点C、B画圆.想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？解：无数个.②圆心在哪儿？半径怎么确定？解：圆心选取线段BC的垂直平分线上任意一点.半径取这一点与点B(C)的距离.2.设三点A，B，C不在同一直线上.(1)过三点A，B，C的圆的圆心在哪儿？怎么确定？解：圆心为线段AB，BC垂直平分线的交点.(2)过不在同一直线上的三点A，B，C如何作圆？已知不在同一直线上的三点A，B，C，求作圆O，使它经过点A，B，C.作法：①连接AB，作线段AB的垂直平分线EF；②连接BC，作线段BC的垂直平分线MN；③以EF和MN的交点O为圆心，以OA(或OB或OC)为半径作圆，则圆O就是所求作的圆.(3)过不在同一直线上的三点A，B，C能作多少个圆？解：1个.(4)过同一直线上的三点A，B，C能作一个圆吗？解：不能.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.强调：①过同一直线上三点不行；②“确定”一词应理解成“有且只有”.3.经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点.(二)自学反馈1.下列说法错误的是(C)A.过一点有无数多个圆B.过两点有无数多个圆C.过三点只能确定一个圆D.过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)A.点PB.点QC.点RD.点M活动1 小组讨论例作出下列三角形的外接圆(只要作图痕迹，不要求作法)解：略.活动2 跟踪训练1.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形.2.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为(2，0).3.⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD是⊙O的直径，连接AD.求AD的长.解：∵BD是直径，∴∠BAD＝90°.又∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝30°.∴∠D＝30°.又∵AB＝3，∴BD＝2AB＝6.∴AD＝62－32＝3 3.活动3 课堂小结本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？3.6 直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质1.了解直线和圆的三种位置关系及相关概念；能运用直线与圆的位置关系解决问题.2.理解和掌握圆的切线的性质；能运用圆的切线的性质进行相关的计算和证明.(重难点)阅读教材P89～91，完成预习内容.(一)知识探究1.直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.2.设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，则：(1)当d＜r时，直线与圆恰好有两个不同的公共点，这时称直线与圆相交.(2)当d＝r时，直线与圆只有一个公共点，这时称直线与圆相切.(3)当d＞r时，直线与圆没有公共点，这时称直线与圆相离.3.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.那么：(1)直线l和⊙O相交⇔d＜r；(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；(3)直线l和⊙O相离⇔d＞r.4.圆的切线垂直于过切点的半径.(二)自学反馈1.设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d>r.2.已知⊙O的半径是6，点O到直线a的距离是5，则直线a与⊙O的位置关系是相交.3.已知⊙O的半径r＝3 cm，直线l和⊙O有公共点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d≤3cm.4.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，⊙O 的半径为25，AB ＝4，则OA 的长是6.5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，∠B ＝25°，则∠D 等于40°.活动1 小组讨论例1 已知Rt △ABC 的斜边AB ＝8 cm ，AC ＝4 cm.(1)以点C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与⊙C 相切？(2)以点C 为圆心，分别以2 cm 和4 cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与AB 分别有怎样的位置关系？解：(1)如图所示，过点C 作AB 的垂线，垂足为D. ∵AC ＝4 cm ，AB ＝8 cm. ∴cosA ＝AC AB ＝12.∴∠A ＝60°.∴CD ＝AC ·sinA ＝4sin60°＝23(cm).因此，当半径长为2 3 cm 时，AB 与⊙C 相切.(2)由(1)可知，圆心C 到AB 的距离d ＝2 3 cm ，当r ＝2 cm 时，d>r ，⊙C 与AB 相离； 当r ＝4 cm 时，d ＜r ，⊙C 与AB 相交.例2 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点.直线PO 与⊙O 交于B 、C 两点，∠C ＝30°，AP ＝3，连接AO 、AB 、AC.求⊙O 的半径.解：∵OA ＝OC ，∠C ＝30°， ∴∠AOP ＝60°. ∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠PAO ＝90°，在Rt △AOP 中，∠AOP ＝60°，AP ＝3， ∴AO ＝1，即⊙O 的半径为1.已知圆的切线，利用圆的切线性质解题时，一般先要作出过切点的半径，再分析题中的关系，合理解答问题.活动2 跟踪训练1.已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是相交.直线a 与⊙O的公共点个数是2个.2.已知⊙O 的直径是6 cm ，圆心O 到直线a 的距离是4 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是相离.3.如图，AB 与⊙O 相切于点C ，∠A ＝∠B ，⊙O 的半径为6，AB ＝16.求OA 的长.解：连接OC ，∵AB 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥AB. ∵∠A ＝∠B ，∴OA ＝OB. ∴AC ＝BC ＝12AB ＝8.∵OC ＝6，∴OA ＝62＋82＝10. 活动3 课堂小结1.直线与圆的三种位置关系.2.根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，判断出直线与圆的位置关系.3.切线性质：①切线和圆有且只有一个公共点； ②切线和圆心的距离等于半径； ③圆的切线垂直于经过切点的半径. 4.能运用切线性质定理进行计算与证明. 5.掌握常见的关于切线的辅助线作法.第2课时 切线的判定与三角形的内切圆1.理解和掌握圆的切线的判定定理；能运用圆的切线的判定定理进行相关的计算和证明.(重点)2.了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆.会进行三角形内切圆的相关计算.(难点)阅读教材P92～93，完成预习内容. (一)知识探究1.经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.(二)自学反馈1.下列说法中，正确的是(B) A.垂直于半径的直线是圆的切线B.经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线C.经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线2.已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，如果以AD 为直径作圆，那么与这个圆相切的矩形的边共有(D) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条3.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径作⊙O ，则⊙O 与AC 的位置关系是相切.4.如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于60度时，AC 与⊙O 相切.活动1 小组讨论例1 如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠D ＝30°.求证：CD 是⊙O 的切线.证明：连接OC ，∵AC ＝CD ，∠D ＝30°， ∴∠A ＝∠D ＝30°. ∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°. ∴∠COD ＝60°.∴∠OCD ＝90°，即OC ⊥CD. ∴CD 是⊙O 的切线.一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.例2 如图所示，在△ABC 中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切.解：1.作∠B 、∠C 的平分线BE 和CF ，交点为I(如图所示). 2.过I 作BC 的垂线，垂足为D. 3.以I 为圆心，以ID 为半径为⊙I. ⊙I 就是所求的圆.例3 如图，已知⊙O 是Rt △ABC(∠C ＝90°)的内切圆，切点分别为D 、E 、F. (1)求证：四边形ODCE 是正方形.(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略；(2)a ＋b －c2.这里(2)的结论可记住作为公式来用.活动2 跟踪训练如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AE 交⊙O 于点E ，AE ⊥CP 于点D ，如果AC 平分∠DAB.求证：直线CP与⊙O 相切.证明：连接OC.∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC.∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠OAC.∴∠DAC ＝∠OCA.∴OC ∥AD. 又∵AD ⊥CP ， ∴OC ⊥CP.∴直线CP 与⊙O 相切. 活动3 课堂小结1.判定切线的方法有哪些？直线l ⎩⎪⎨⎪⎧与圆有唯一公共点→l 是切线与圆心的距离等于圆的半径→l 是切线经过半径外端且垂直于这条半径→l 是切线2.常用的添辅助线方法：(1)直线与圆的公共点已知时，则连半径，证垂直. (2)直线与圆的公共点不确定时，则作垂直，证半径.3.会进行三角形的内切圆相关计算及内心，直角三角形内切圆半径公式的应用.*3.7 切线长定理理解并掌握切线长定理、能熟练运用所学定理来解答问题.(难点)阅读教材P94～95，完成预习内容. (一)知识探究1.过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.2.过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等. (二)自学反馈1.如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别是A ，B ，若PA ＝6 cm ，则PB ＝6cm.2.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P ＝60度.3.自学教材P95随堂练习.活动1 小组讨论例 如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长.解：20 cm.这里CD ＝AD ＋BC.活动2 跟踪训练1.如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B.如果∠APB ＝60°，PA ＝8，那么弦AB 的长是(B)A.4B.8C.4 3D.8 32.如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD ，下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D ，C ，E.若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是(D)A.9B.10C.12D.14活动3 课堂小结能根据切线长定理进行相关计算.3.8 圆内接正多边形1.了解正多边形的概念.2.会进行有关圆与正多边形的计算.(重点)3.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形，并能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形.(难点)阅读教材P97～98，完成预习内容. (一)知识探究1.顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.2.把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于360°边数.3.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.(二)自学反馈1.如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为6.2.已知正六边形的外接圆半径为3 cm ，那么它的周长为18cm.3.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是互补.4.圆内接正方形的半径与边长的比是 4 cm ，那么边心距是2cm.活动1 小组讨论例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OC ＝4，OG ⊥BC ，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.解：连接OD.∵六边形ABCDEF 为正六边形. ∴∠COD ＝360°6＝60°.∴△COD 为等边三角形. ∴CD ＝OC ＝4.在Rt △COG 中，OC ＝4，GC ＝12BC ＝12×4＝2.∴OG ＝OC 2－CG 2＝42－22＝2 3.∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°，边长为4，边心距为2 3. 活动2 跟踪训练1.正n 边形的一个内角与一个外角之比是5∶1，那么n 等于12.2.若一正四边形与一正八边形的周长相等，则它们的边长之比为2∶1.3.正八边形有8条对称轴，它不仅是轴对称图形，还是中心对称图形.正n 边形的中心对称性和轴对称性.4.有两个正多边形边数比为2∶1，内角度数比为4∶3，求它们的边数. 解：10，5.本题应用方程的方法来解决.5.教材第99页习题. 活动3 课堂小结1.正多边形的概念及正多边形与圆的关系.2.正多边形的半径、中心、边心距、内角度数、中心角度数.3.通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出圆内接正多边形.4.用直尺和圆规作一些特殊的正多边形的方法.3.9 弧长及扇形的面积1.了解扇形的概念，复习圆的周长、圆的面积公式.2.探索n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR 180、扇形面积S ＝n πR 2360和S ＝12lR 的计算公式，并应用这些公式解决相关问题.(重难点)阅读教材P100～101，完成预习内容. (一)知识探究1.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是πR 180，n °的圆心角所对的弧长是n πR180.2.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是πR 2360，n °的圆心角所对应的扇形面积是n πR2360.3.半径为R ，弧长为l 的扇形面积S ＝12lR.(二)自学反馈1.已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧长AB ︵的长是3π.2.一个扇形所在圆的半径为3 cm ，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为3πcm 2. 3.在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm ，那么这个圆的半径r ＝18cm. 4.已知扇形的半径为3，圆心角为60°，那么这个扇形的面积等于32_π.活动1 小组讨论例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即AB ︵的长(结果精确到0.1 mm).解：R ＝40 mm ，n ＝110，所以 AB ︵的长＝n 180πR ＝110180×40π≈76.8(mm).因此，管道的展直长度约为76.8 mm.例2 扇形AOB 的半径为12 cm ，∠AOB ＝120°，求AB ︵的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1 cm 2).解：AB ︵的长＝120180π×12≈25.1(cm).S 扇形＝120360π×122≈150.7(cm 2).因此，AB ︵的长约为25.1 cm ，扇形AOB 的面积约为150.7 cm 2.活动2 跟踪训练1.已知扇形的半径为6 cm ，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为4πcm.2.已知弓形的弧所对的圆心角∠AOB 为120°，弓形的弦AB 长为12，则这个弓形的面积为弓形的面积等于扇形面积减去三角形的面积.3.已知，如图，AC 是⊙O 的直径，AB 、BD 是弦，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°，OF ＝ 3 cm ，求图中阴影部分的面积.解：∵AC ⊥BC 于F ，∠A ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∠OBF ＝30°，∠BOD ＝120°， ∵OF ＝ 3 cm ， ∴OB ＝2 3 cm.∴S 扇形＝120π（23）2360＝4π(cm 2).活动3 课堂小结1.n °的圆心角所对的弧长公式l ＝n πR180.2.n °的圆心角所对的扇形面积公式S ＝S=2360n R .3.圆环的面积求法.。
北师大版九年级下册圆的知识点
北师大版九年级下册圆的知识点圆是几何学中的一个基本概念，也是数学中非常重要的一个知识点。
在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点涉及到圆的定义、性质、面积和周长的计算等方面。
下面我们就来一起探索一下这些知识点。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是平面上一组离一个定点距离相等的点构成的集合。
这个定点称为圆心，记作O；到圆心距离相等的点称为圆上的点，它们组成了圆。
圆的性质是我们学习圆的关键。
首先，圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离，我们用字母r表示。
半径相等的两个圆互为同心圆。
圆上任意两点与圆心连线的长度相等，这个长度称为弦。
弦通过圆心时，称为直径，直径的长度是半径的两倍，记作d=2r。
圆的面积是我们计算圆的重要指标之一。
圆的面积公式为S=πr²，其中π≈3.14是一个固定的近似值。
在计算圆的面积时，我们需要将半径的平方与π相乘，就可以得到圆的面积。
而圆的周长则是另一个重要的指标。
圆的周长公式为C=2πr，即圆的周长等于半径的二倍乘以π。
对于给定的圆，只要知道了半径，就可以根据公式计算出圆的周长。
正如我们在初中学习的内容一样，圆的知识点离不开实际生活中的应用。
例如，我们常常看到的钟表就是以圆形为基础的，它的指针不断地绕圆形表盘运动。
又如，在木匠工作中，我们需要制作木桶、木头盆等物品时，往往会采用圆的造型。
圆的知识点也有助于我们更好地理解其他几何图形，例如圆柱体、圆锥等等。
最后，我们还可以通过算术方式来深入理解圆的知识点。
例如，可以通过设定一个半径，计算圆的面积和周长，并与其他图形进行对比，从而更好地理解圆形的特点。
此外，还可以通过解决实际问题来应用圆的知识点，例如计算一个花坛的周长或面积，或者计算一个游泳池的圆周长度等等。
在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点仅限于上述内容。
通过学习这些内容，我们可以对圆有一个全面而深入的认识，并能够应用这些知识点进行问题的求解。
总的来说，圆是几何学中非常重要的一个概念，也是数学中基础而重要的知识点。
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九年级下册第三章圆【知识梳理】一、圆的认识1.圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段．．．O旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成OA叫做半径；以点 O为圆心的圆，记作⊙．．O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆．．．．．．心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；② 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2、与圆相关的概念① 弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
．．② 弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD 为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
．．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
( 为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
．．)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥ 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.．．．⑧弦心距 : 从圆心到弦的距离叫做弦心距.．．．3、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d，则①点在圆上<===> d=r;②点在圆内<===> d<r;③点在圆外<===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二.圆的对称性:1 、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
2 、圆是中心对称图形，对称中心为圆心3 、定理：在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论 : 在同圆或等圆中 , 如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 .2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
三.圆周角和圆心角的关系 :1.1 °的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成 360份时 , 每一份的角都是 1°的圆心角 , 相应的整个圆也被等分成360 份 , 每一份同样的弧叫 1°弧 .2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等, 而不是角与弧相等. 即不能写成∠AOB= ,这是错误的.3.圆周角的定义 : 顶点在圆上 , 并且两边都与圆相交的角 , 叫做圆周角 .4.圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论 3：圆内接四边形的对角互补。
圆周角的三种情况：AA AO O OBBC B CC四.确定圆的条件 :1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径 , 圆心决定圆的位置, 半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆, 经过两点也可以作无数个圆, 其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2.经过三点作圆要分两种情况:(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点 , 能且仅能作一个圆 .定理 :不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1) 三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆, 这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质 : 三角形外心到三顶点的距离相等.五.直线与圆的位置关系外接圆1.直线和圆相交、相切相离设⊙ O的半径为r ，圆心 O到直线的距离为d；① d<r <===>直线L和⊙ O相交.——两个公共点② d=r <===>直线L和⊙ O相切.——惟一公共点，惟一的公共点做切点.③ d>r <===>直线L和⊙ O相离.——没有公共点rd d=rr d相离相切相交2. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.3. 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径 .※推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系, 可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个, 就可推出第三个.①垂直于切线;②过切点;③过圆心.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两切线长相等即：∵ PA 、 PB 是的两条切线∴ PA PB PO 平分BPA 4.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.BO PA和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 , 内切圆的圆心叫做三角形的内心 , 这个三角形叫做圆的外切三角形 .内切圆三角形内心的性质 : (1) 三角形的内心到三边的距离相等.(2) 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点, 该线平分三角形的这个内角 .六. 圆和圆的位置关系 .1.外离、外切、相交、内切、内含外离（图1）无交点外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点内切（图4）有一个交点内含（图5）无交点dRr图 1 ( 包括同心圆 )d R r ； d rRd R r ；R r d R r ；(R≥r)图 5d R r ；(R>r)d R r ；(R>r)dd drR R r R r图 2 图 3图 42.相切两圆的性质 : 如果两个圆相切 , 那么切点一定在连心线上 .3.相交两圆的性质 : 相交两圆的连心线垂直平分公共弦.七.弧长及扇形的面积1.圆周长公式:圆周长C=2R (R 表示圆的半径 )2. 弧长公式 : 弧长 ln R 表示弧所对的圆心角的度数) (R 表示圆的半径 , n1803. 扇形定义 : 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形 .4. 弓形定义 : 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5. 圆的面积公式：圆的面积 SR 2 (R 表示圆的半径 )6. 扇形的面积公式 : 扇形的面积 S 扇形n R 2= 1Rl (R 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数， l360 2表示弧长 ) 弓形的面积公式 :ABOOOABA BS弓形 S扇形S三角形(1) 当弓形所含的弧是劣弧时,CCC(2) 当弓形所含的弧是优弧时 , S 弓形 S 扇形 S 三角形(3) 当弓形所含的弧是半圆时,S 弓形1 R2 S 扇形2八. 圆锥的有关概念 :1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形 , 另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面, 斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 :圆锥的侧面展开图是一个扇形 , 这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长 、弧长 是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点 .如果设圆锥底面半径为r, 侧面母线长 ( 扇形半径 ) 是 l,底面圆周长 ( 扇形弧长 ) 为 c, 那么它的侧面积是:S 侧1cl12 rlrlS 表S 侧S底面rlr 2r (r l )圆锥的体积： V1 r 2h223圆柱： （ 1）圆柱侧面展开图S 表S 侧 2S 底 =2 rh2 r 2B1（ 2）圆柱的体积： Vr 2h* 九 . 与圆有关的辅助线O1. 如圆中有弦的条件 , 常作弦心距 , 或过弦的一端作半径为辅助线 .2. 如圆中有直径的条件, 可作出 直径上的圆周角 .R3. 如一个圆有切线的条件 , 常作 过切点的半径 ( 或直径 ) 为辅助线 .CArB4. 若条件交代了某点是切点时 , 连结圆心和切点 是最常用的辅助线 .* 十 . 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上, 这个四边形叫做圆内接四边形 , 这个圆叫做这个四边形的外接圆 .圆内接四边形的特征 : ①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一 . 北师版数学未出现的有关圆的性质定理1. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如图 6，∵ PA ， PB 分别切⊙ O 于 A 、 B∴ P A=PB ， PO 平分∠ APBA2． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
如图 7， CD 切⊙ O 于 C ，则，∠ ACD=∠ B3．和圆有关的比例线段：OPB图 6① 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；② 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
如图 8， AP?PB=CP?PD2如图 9，若 CD ⊥AB 于 P ，AB 为⊙ O 直径，则 CP=AP?PB 4．切割线定理①切割线定理， 从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图 10， ① PT 切⊙ O 于 T ， PA 是割线，点 A 、 B 是它与⊙ O 的交点，则 PT 2=PA?PB② PA 、 PC 是⊙ O 的两条割线，则PD?PC=PB?PA 5．两圆连心线的性质①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。
②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图 11，⊙ O 1 与⊙ O 2 交于 A 、 B 两点，则连心线 O 1O 2⊥ AB 且 AC=BC 。
6．两圆的公切线两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。
如图 12， AB 分别切⊙ O 1 与⊙ O 2 于 A 、 B ，连结 O 1A ， O 2B ，过 O 2 作 O 2C ⊥O 1A 于 C ，公切线长为l ，两圆的圆心距为 d ，半径分别为 R ， r 则外公切线长： Ld 2 ( R r ) 2如图 13， AB 分别切⊙ O 1 与⊙ O 2 于 A 、 B ， O 2C ∥ AB ， O 2C ⊥ O 1C 于 C ，⊙ O 1 半径为 R ，⊙ O 2 半径为 r ，则内公 切线长： Ld 2(R r )2CB DCAPDOOP BOAAPBDAOBT图 7 图 10CAAROd1O1 C O O2 2rB 图 11B C图 133. 1圆的认识1、（ 1 ）下列命题：①直径是弦；②半径确定了，圆就确定了；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④长度相等的弧是等弧；⑤弦是直径。