江苏省苏锡常镇四市2015年高三教学情况调研(二)数学试题及答案
2024届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试卷
2024届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★) 5. 羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知非零向量，，若，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（）A．B．C．-1D．二、多选题(★★) 9. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（）A．若，，，则B．，，，则C．若，，，则D．若，，，则(★★★) 10. 已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（）A．若2为的周期，则为奇函数B．若为奇函数，则2为的周期C．若4为的周期，则为偶函数D．若为偶函数，则4为的周期(★★★★) 11. 在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（）A．，B．为定值C．的最小值50D．的最大值为三、填空题(★★★) 12. 已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为 ____________ . (★★★) 13. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 ________ .(★★★) 14. 如果函数在区间[ a，b]上为增函数，则记为，函数在区间[ a，b]上为减函数，则记为.如果，则实数m的最小值为 ________ ；如果函数，且，，则实数 ________ .四、解答题(★★) 15. 如图，直三棱柱的体积为1，，，．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．(★★)16. 某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．(1)请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？阅读附：，．0.1k 2.706(2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望．(★★★★) 17. 已知函数.(1)当时，证明：；(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.(★★★★★) 18. 已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.(1)求C的方程；(2)存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；(3)对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，| MN|存在最小值，试求出这个最小值.(★★★★) 19. 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.。
学苏锡常镇四市高三二模数学试卷
学苏锡常镇四市高三二模数学试卷Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n ii x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UAB = ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等 于 ▲ ．8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V ，则12SS 的值为 ▲ ．11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值； （2）若c =，△ABC的面积S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）C B 1A 1PDCBA在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA ，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1ACD ．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数）．（1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C ，求椭圆C 的方程；（2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3n n na b =()n *∈N ﹒（1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列；（3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围； （3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论． 2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高． 求证：BA AC BE AD ⋅=⋅． B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止． （1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列． 23．（本小题满分10分） 设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ． 2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{125}，， 2．1- 3．654．125．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 103211．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)-14．1二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分∵A B C ++=，∴sin sin()A B C =+﹒又∵()0,A ∈，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． (6)分（2）∵()0,C ∈， 1cos 4C =，∴sin C =．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒① …………9分∵c =，由余弦定理得22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =b =，∴a b = …………14分16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分（2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ (8)分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分17．解：（1）当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， (2)分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ (4)分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， (6)分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增，所以当20x =时，()f x 有最大值120000． (8)分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x y ab+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒① (2)分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒②由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分（2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--，令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ (12)分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQ c a c， …………13分 从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒ …………15分所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ，∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分（1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列，所以213n n b +=． …………4分（2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分又163(1)3033c -=+=≠--λλλ，所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒ (8)分（3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-．从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，． (9)分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---．若3λ>时， 103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ，因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可．于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln 22b -≥． (3)分（2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2exx a -=，令2()exx G x =，则(2)()exx x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． (5)分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24ea ->，从而0a =或24ea <-，所以当0a =或24ea <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分（3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )e x m x m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m+-=-，不妨设00t x m =->，则2e e et t m m m t++-=﹒两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =，∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分∴BAE ADC ∠=∠． …………4分又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分∴BE AC BAAD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，为参数)， (2)分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， (6)分设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222x x x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ (4)分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， (8)分所以，原不等式成立． …………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分（2）由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ，22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分X 的分布列为…………10分23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分（2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． (3)分则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤， (5)分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，∴由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-≤， …………7分∴1121121|||1k k k k k a a b b b b b b b k k ++-++++=++++++ 111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。
2015-2016学年度苏锡常镇四市高三二模数学试卷
2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl p ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B =ð ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面 向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等 于 ▲ ． 8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．（第7题）9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12SS 的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若c =，△ABC的面积S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA =，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =， 求证：AP ⊥平面1ACD ．C B 1A 1PDCBA某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-（a ，b 为实常数）． （1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C ，求椭圆C 的方程； （2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3n n na b =()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列； （3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育科学研究院 2016．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高． 求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．（第21-A 题）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{125}，， 2．1- 3．65 4．125．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 10．p11．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)- 14． 1 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分 ∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分（2）∵()0,C ∈p ， 1cos 4C =，∴sin C ==．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒① …………9分∵c =22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =，所以b =，∴a b =． …………14分 16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分 在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分 又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分 （2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分 又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分 17．解：（1）当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， …………2分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ …………4分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， …………6分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增， 所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分 当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒① …………2分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分 （2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分 把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--， 令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQ c a c， …………13分 从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒ …………15分 所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分 （1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列， 所以213n n b +=． …………4分 （2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分 又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分 （3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分 当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---． 若3λ>时，103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分 若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分 若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可． 于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分 由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln 22b -≥． …………3分 （2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()e x x G x =，则(2)()e xx x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24ea <-， 所以当0a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 （3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex m x m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m +-=-，不妨设00t x m =->，则2e e e t t m m m t ++-=﹒ 两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分 令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分 即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =，∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分 ∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分 ∴BAE ADC ∠=∠． …………4分 又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分 即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，为参数)， …………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分 直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， …………6分 设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222x x x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ …………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， …………8分所以，原不等式成立． …………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分 （2）由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分 X 的分布列为…………10分23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分 （2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． …………3分 则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤， …………5分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且 1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k +-+++++-≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a a b b b b b b b k k ++-++++=++++++ 1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++-)|≤- 111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分∴。
江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研二数学试题及答案
2014-2015学年度苏锡常镇四市高三数学调研（二模）试卷2015/05/04一．填空题（5×14=70分）1．已知集合{}{}{}1,1,3,2,21,1a A B A B =-=-=，则实数a 的值为 ▲2．设12a b +i=2i(+i)(i 为虚数单位，,a b ∈R ），则a b +的值为 ▲3．某工厂生产某种产品5000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为::122，则乙生产线生产了 ▲ 件产品4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 值为1-，则输出的y 值为 ▲5．从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 ▲6．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点 到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲7．已知向量()()()1,2,0,1,,2a b c k ==-=-，若()2c a b -⊥，则实数k = ▲8．已知常数0a >，函数()(1)1a f x x x x =+>-的最小值为3，则a 的值为 ▲ 9．函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ= ▲10．已知等差数列{}n a 满足：128,6a a =-=-．若将145,,a a a 都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为 ▲11．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 ▲12．已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN ⋅的最大值为 ▲13．已知函数()342f x x x ax =-+-恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ 14．已知,,0a b a ∈≠R ，曲线2,21a y y ax b x+==++，若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为 ▲二．解答题（本大题共6小题,共计90分）15．(本小题满分14分)已知函数()sin()cos 6f x x x π=++（1）求函数()f x 的最大值，并写出当()f x 取得最大值时x 的取值集合；（2）若(0,),()26f ππαα∈+=，求()2f α的值16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2,AB AD ==PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,CD PB 的中点求证：（1）//CF 平面PAE ；（2）AE ⊥平面PBD17．(本小题满分14分)如图，甲船从A 处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B 处沿固定方向匀速航行，B 在A 北偏西0105方向且与A 相距20分钟到达C 处时，乙船航行到甲船的北偏西0120方向的D 处，此时两船相距10海里（1）求乙船每小时航行多少海里？（2）在C 处的北偏西030方向且与C 相距3海里处有一个暗礁E ，暗礁E 海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险？如无危险，请说明理由18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点1(1,0)F -和右焦点2(1,0)F ，且AC BD ⊥，椭圆的一条准线方程为4x =（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围19．(本小题满分16分)已知函数()x ex f x e=，其导数记为()f x '（e 为自然对数的底数） （1）求函数()f x 的极大值；（2）解方程()()f f x x =；（3）若存在实数1212,()x x x x ≠使得12()()f x f x =，求证：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭20．(本小题满分16分)已知,λμ为常数，且为正整数，1λ≠，无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，对任意正整数n ，n n S a λμ=-．数列{}n a 中任意不同两项的和构成集合A（1）证明无穷数列{}n a 为等比数列，并求λ；（2）如果2015A ∈，求μ；（3）当1n ≥时，设集合{}13232,n n n B x x x A μμ-=⋅<<⋅∈，n B 中元素的个数记为n b 求数列{}n b 的通项公式.。
2015年江苏省苏南四市(苏州无锡常州镇江)高三二模考试数学试题含答案
2015年江苏省苏南四市(苏州无锡常州镇江)高三二模考试数学试题含答案2015年苏锡常镇高三数学（二模）试卷及答案一．填空题（5×14=70分）1.已知集合 $A=\{-1,1,3\},B=\{2,2,-1,A\}$，则实数 $a$ 的值是 $\boxed{2}$。
2.设 $1+2i=2i(a+bi)(i$ 为虚数单位，$a,b\in R)$，则$a+b$ 的值是 $\boxed{1}$。
3.某工厂生产某种产品 $5000$ 件，它们来自甲、乙、丙$3$ 条不同的生产线。
为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样。
若从甲、乙、丙 $3$ 条生产线抽取的件数之比为$1:2:2$，则乙生产线生产了$\boxed{2000}$ 件产品。
4.根据XXX所示的伪代码，若输入的 $x$ 值为 $-1$，则输出的 $y$ 值为 $\boxed{1}$。
5.从 $3$ 名男生和 $1$ 名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 $\boxed{\dfrac{3}{4}}$。
6.已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$ 的离心率等于 $2$，它的焦点到渐近线的距离等于 $1$，则该双曲线的方程为$\boxed{\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1}$。
7.已知向量 $a=(1,2),b=(0,-1),c=(k,-2)$，若 $a-2b\perp c$，则实数 $k=\boxed{4}$。
8.已知常数 $a>0$，函数 $f(x)=x+\dfrac{a}{x}$ 在定义域$(1,+\infty)$ 内单调递减，则 $a$ 的值为 $\boxed{4}$。
9.函数$y=3\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})(x>1)$ 的最小值为$3$，则 $a$ 的值为 $\boxed{\dfrac{1}{2}}$。
2015-2016学年苏锡常镇四市高三教学情况调研含答案word版
2015—2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学I 2016.3一、填空题；本大题共14小矗，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x|x<3．x ∈R}，B={x|x>l ，x ∈R ），则A B =I ． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足43zi i+=，则复数z 的模为 ．3．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频致 和频率分别为40，0.125．则n 的值为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知方程2242x y m m--+=1 表示双曲线，则实数m 的取值范围为 ．5．为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机 选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连 续2天的概率是 ．6．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为 ．7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱BB 1的 中点，则四棱锥P - AA 1C 1C 的体积为 ．8．设数列{an}是首项为l ，公差不为零的等差数列，S n 为 其前n 项和，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则数列{a n }的公差 为 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f(x)= 24x x+ (x>0)的图象上任意一点，过M点向直线y=x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA MB ⋅=u u u r u u u r．10,若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的 取值范围是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线，与圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相交 于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线，的距离为 ．12．已知函数f(x)= 224,04,log (2),46x x x x x ⎧-+≤<⎨-≤≤⎩若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时， f(x 1)=f(x 2)．则x 1f(x 2)的取值范围是 ．13．已知函数f(x)=2x-1+a,g(x)= bf(1-x)．其中a ，b ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥g(x)的解的最小值为2，则a 的取值范围是 ．14．若实数x ，y 满足x 2 -4xy+4y 2 +4x 2y 2=4，则当x+2y 取得最大值时，xy的值为 ． 二、解答题，本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分） 已知函数f(x)= sin(2x 十3π一3sin(2x 一6π)． (l)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间： (2)当x ∈[一6π,3π]时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．16.（本小题满分14分） 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 的中点，N 是PC 的中点． (1)求证：MN ∥平面PAB;(2)若平面PMC ⊥平面PAD ．求证：CM ⊥AD ．17.（本小题满分14分）如图是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OA ，OB ，OC 两两成120°， OC=l ，AB=OB+OC ，且OA> OB ．现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M ，且M 与OB 长成 正比，比例系数为k （k 为正常数）：在△AOC 区域（阴影区域） 内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N,且N 与△AOC 的 面积成正比，比例系数为43k ．设OA =x ，OB=y. (1)求y 关于工的函数解析式，并写出x 的取值范围； (2)求N-M 的最大值及相应的x 的值．18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C: 2222x y a b +=1（a>b>0）过点(1, 32）．离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线，与椭圆C 交于A ，B 两点．①若直线，过椭圆C 的右焦点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ． 求t 的最大值；OA 2+ OB 2是否为定值，若是定值，则求出此 定值；若不是定值，请说明理由． 19.（本小题满分16分）设函数f(x)=x -2e x - k(x-2lnx)（k 为实常数．e=2.71828…是自然对数的底数）． (1)当k=l 时，求函数f(x)的最小值：(2)若函数f(x)在区间(0，4)内存在三个极值点，求k 的取值范围．20.（本小题满分16分）已知首项为1的正项数列{an}满足22115,*.2n n n n a a a a n N +++<∈ (1)若a 2=32，a 3=x ，a 4=4．求x 的取值范围； (2)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }前n 项的和， 若1122n n n S S S +<<, n ∈N*，求q 的取值范围： (3)若a 1，a 2，…，a k （k ≥3）成等差数列，且a 1+a 2+…+a k =120．求正整数k 的最小 值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k 的公差．2015—2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学II （附加题） 2016.321．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在 答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4-1:几何证明选讲如图，直线AB 与⊙O 相切于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ，且AD=3DC ，BC=.2，求⊙O 的直径．B ．选修4-2:矩阵与变换设M=1012 ⎡⎤⎢⎥ ⎣⎦．N=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥0 1⎣⎦，试求曲线y-=sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．C ．选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线，的参数方程为13232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2以sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．D ．选修4-5:不等式选讲 己知函数f(x)=36x +，g(x)= 14x -；，若存在实数xf(x)+g(x)>a 成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题．第23题．每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA l =AB=2AD=2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F=2FE.(l)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC;(2)求二面角A-DF-C 的大小．23.（本小题满分10分）在杨辉三角形中，从第3行开始，除l 以外， 其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这 三角形数阵开头几行如右图所示．(l)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行 中三个相邻的数之比为3：4：57若存在， 试求出是第几行；若不存在，请说明理由： (2)已知n ．r 为正整数．且n ≥r+3. 求证：任何四个相邻的组合数r n C ，1r n C +，2r n C +，3r n C +不能构成等差数列．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案 2016．3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．(1,3) 2．5 3．320 4．(2,4)- 5．25 6．6 7．138．2 9．－2 10．(2,)+∞ 11．3612．256[3,]27 13．1(,2](,)4-∞--+∞U 14．2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． 解：（1）由题意知，2())cos(2)2sin(2)333f x x x x πππ=+++=+，……4分 所以()f x 的最小正周期为22T π==π． …………………………………………6分 当2222()232k x k k πππ-+π++π∈Z ≤≤时，()f x 单调递增， 解得[]()1212x k k k 7ππ∈-+π,-+π∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为[]()1212k k k 7ππ-+π,-+π∈Z ．………………………8分（2）因为[,]63x ππ∈-，所以22333x ππ4π+≤≤， ………………………………10分当2232x ππ+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值2， …………………………12分当2233x π4π+=，即3x π=时，()f x 取得最小值 ………………………14分 16． 证明：（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，△PBC 中，//EN BC 且12EN BC =，又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =， …………………………………3分 得EN ∥AM ，=EN AM ，四边形ENMA 是平行四边形， …………………5分 得//MN AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，//MN ∴平面PAB ． ………………………………………………………7分 （2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，Q 平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC I 平面PAD PM =，AH PM ⊥， AH ⊂平面PAD ，AH ∴⊥平面PMC ，平面PMC ，AH ∴⊥CM ． ………………………10分 Q PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM . …………………12分 Q PA AH A =I ，PA ,AH ⊂平面PAD ，CM ⊥平面PAD ，AD ⊂Q 平面PAD ，CM AD ∴⊥． ……………………………………………14分 17． 解：（1）因为,,1OA x OB x AB y ===+，由余弦定理，2222cos120(1)x y xy y +-︒=+，解得212x y x-=-， …………………3分由0,0x y >>得12x <<，又x y >，得212x x x ->-，解得1x <<， …………6分所以OA 的取值范围是． ………………………………………………7分（2）M kOB ky ==，3AOC N S kx ∆=⋅=，则21(3)(3)2x N M k x y k x x--=-=--，…………………………………………………8分设2)x t -=∈，则2(2)1[3(2)]t N M k t t ---=--=3[10(4)](10(10k t k k t -+-=-≤.…………………………11分当且仅当34t=即)1t 取等号，此时2x =取等号， ………13分 所以当2x =时，N M -的最大值是(10k -.……………………………14分18．解：（1）22191,42a b +== 得224, 3.a b == …………………………2分所以椭圆22143x y C +=:. ……………………………………………………………3分（2）①设直线l 的方程为1x my =+，直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，由221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得()2234690m y my ++-=，易知0∆>， ………………5分所以12122269,3434m y y y y m m +=-=-++， 所以()121212122121212333339122222411AP BPy y y y y y y y k k x x my my m y y -----++⋅=⋅=⋅=⋅--＝134m --， ……………………………………………7分所以22131394864AB AP BPtk k k m m m ⎛⎫=⋅⋅=--=-++ ⎪⎝⎭， …………………………9分所以当83m =-时，t 有最大值964. ………………………………………………10分 ②设直线l 的方程为2y x n =+，直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，22,1,43y n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得223260x n ++-=，22)43(26)0n ∆=-⨯->，即n2121226,,33n x x x x -+=-= …………………………12分222222222211221212()()OA OB x y x y x x y y +=+++=+++=2222222121212127))()()24x x n n x x x x n +++++=+++=2212121277()()242x x x x x x n +-+++ ……………………………………14分=2227726()()()2423n n --++=7. …………………………16分 19．解：（1）由函数()()()2e 2ln 0xf x x x x x=-->，可得()()()232e x x x f x x --'=. ……………………………………………………2分因为当0x >时，2e x x >.理由如下：要使0x >时，2e x x >，只要2ln x x >，设()2ln x x x ϕ=-，22()1x x x xϕ-'=-=，于是当20<<x 时，()0x ϕ'<；当2>x 时，()0x ϕ'>.即()2ln x x x ϕ=-在2x =处取得最小值(2)22ln 20ϕ=->，即0x >时，2ln x x >，所以2e 0x x ->， …………………………………………………………………5分 于是当20<<x 时，()0f x '<；当2>x 时，()0f x '>.所以函数()x f 在()2,0上为减函数，()+∞,2上为增函数. ……………………6分所以()f x 在2x =处取得最小值 2e (2)22ln 24f =-+. ……………………7分（2） 因为()()()()22'3e 22e x x x k x kx xf x x x⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==， 当0k ≤时，2e 0xk x->，所以()x f 在()2,0上单调递减，()2,4上单调递增，不存在三个极值点，所以0>k . ……………………………………………8分又()()()()223e 22e x x x k x kx x f x x x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'==，令()2e x g x x=，得()()23e 2x g x x ⋅-'=， 易知()x g 在()2,0上单调递减，在()∞+，2上单调递增，在2=x 处取得极小值， 得()2e 24g =，且()4e 416g =， ………………………………………………………10分于是可得k y =与()2e xg x x =在()4,0内有两个不同的交点的条件是 24e e ,416k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………12分 设k y =与()2e xg x x=在()4,0内有两个不同交点的横坐标分别为21,x x ，则有42021<<<<x x ，下面列表分析导函数()x f '及原函数()x f ：可知()x f 在()1,0x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增， 在()2,2x 上单调递减，在()4,2x 上单调递增，所以()x f 在区间()4,0上存在三个极值点. ………………………………………15分即函数()x f 在()4,0内存在三个极值点的k 的取值范围是24e e ,416⎛⎫⎪⎝⎭. ……16分20．解：（1）由题意得，1122n n n a a a +<<， …………………………………………2分 所以3342,42xx x <<<<，解得()2,3x ∈. ………………………………4分 （2）由题意得，∵1122n n n a a a +<<，且数列{}n a 是等比数列，11a =， ∴11122n n n q q q --<<，∴111()02(2)0n n q q q q --⎧->⎪⎨⎪-<⎩，∴1,22q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． ……………………6分又∵1122n n n S S S +<<，∴而当1q =时，212S S =不满足题意. …………………7分当1q ≠时，1111122111n n nq q q q q q+---⋅<<⋅---，∴①当1,12q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2)1,(21)1,n n q q q q ⎧->-⎨-<⎩11(2)1,(21)1,q q q q ⎧->-⎨-<⎩解得1,12q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ……9分②当()1,2q ∈时，(2)1,(21)1,n n q q q q ⎧-<-⎨->⎩，11(2)1,(21)1,q q q q ⎧-<-⎨->⎩无解．∴1,12q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． …11分（3）∵1122n n n a a a +<<，且数列12,,k a a a L 成等差数列，11a =， ∴1[1(1)]12[1(1)]2n d nd n d +-<+<+-， 1,2,,1n k =-L ． ∴(1)1,(2)1,d n d n +>-⎧⎨-<⎩∴1,1d k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ……………………………………13分又∵12120k a a a ++=L ，∴221()(1)1202222k d d d dS k a k k k =+-=+-=， ∴22402kd k k -=-，∴224021,1k k k k -⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭，解得()15,239k ∈，*k ∈N ， 所以k 的最小值为16，此时公差为1315d =． ………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：因为DE 是O e 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒，又,BC DE ⊥所以90CBD EDB ∠+∠=︒， ……………………………………3分 又AB 切O e 于点B ，得ABD BED ∠=∠，所以CBD DBA ∠=∠. ………………5分 即BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD==，又BC =，从而AB =，所以4AC ==，所以3AD =， ……8分由切割线定理得2AB AD AE =⋅，即26AB AE AD ==， 故3DE AE AD =-=，即O e 的直径为3. ……………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002， ………………………………………4分 设(x ，y )是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x ′，y ′)．则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， …………………………………………………………6分 所以1,2,2x x y y ''== 且12,2x x y y ''==， …………………………………8分 代入y ＝sin x ，得12y ′＝sin2x ′，即y ′＝2sin2x ′. 即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x . ……………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=， ………3分所以(223x y +=. …………………………………………………………5分设132P t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，C，PC ==，…8分 故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0). ………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：存在实数x 使()()f x g x a +>成立，等价于()()f x g x +的最大值大于a ， …………………………………………2分因为()()1f x g x + ………………4分由柯西不等式：21≤(31)(214)64x x +++-=， ………7分所以()()f x g x +8，当且仅当x＝10时取“＝”， …………9分故常数a 的取值范围是(－∞，8)． ……………………………10分【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2).∵E 为AB 的中点，∴E 点坐标为E (1,1,0),∵D 1F =2FE ， ∴1122224(1,1,2)(,,)33333D F DE ==-=-u u u u u r u u u u r , 11224222(0,0,2)(,,)(,,)333333DF DD D F =+=+-=u u u r u u u u r u u u u r ……………2分 设(,,)x y z =n 是平面DFC 的法向量，则00DF DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ,∴222033320x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，，取x =1得平面FDC 的一个法向量(1,0,1)=-n ， …………………………………3分设(,,)x y z =p 是平面ED 1C 的法向量，则1100D F D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r ，，p p ∴2240333220x y z y z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩，，取y =1得平面D 1EC 的一个法向量(1,1,1)=p , ……………4分∵(1,0,1)(1,1,1)0⋅=-⋅=n p ，∴平面DFC ⊥平面D 1EC . ……………………5分（2）设(,,)x y z =q 是平面ADF 的法向量，则00DF DA ⋅=⋅=u u u r u u u r ，，q q ∴22203330x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，，取y =1得平面ADF 的一个法向量(0,1,1)=-q , …………7分 设二面角A -DF -C 的平面角为θ，由题中条件可知π(,π)2θ∈， 则cos θ＝－||||||⋅⋅n q n q12=-,…………………………………………9分 ∴二面角A -DF -C 的大小为120°. ……………………………………10分23．解：（1）杨辉三角形的第n 行由二项式系数k n C ，k ＝0,1,2,…,n 组成．如果第n 行中有11314,145k k n n k k n n C C k k C n k C n k -++====-+-， 那么 3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5， ……………………………………………2分解这个联立方程组，得k ＝27，n ＝62． ……………………………………………3分即第62行有三个相邻的数262728626262,,C C C 的比为3:4:5．………………………………4分（2）若有n ，r (n ≥r ＋3)，使得123,,,r r r r n n n n C C C C +++成等差数列，则122132,2,r r r r r r n n n n n n C C C C C C +++++=+=+，即2⋅n !(r ＋1)!(n －r －1)!＝n !r !(n －r )!＋n !(r ＋2)!(n －r －2)!， 2⋅n !(r ＋2)!(n －r －2)!＝n !(r ＋1)!(n －r －1)!＋n !(r ＋3)!(n －r －3)!. ………………………6分 所以有2(r ＋1)(n －r －1)＝1(n －r －1)(n －r )＋1(r ＋1)( r ＋2)， 2(r ＋2)(n －r －2)＝1(n －r －2)(n －r －1)＋1(r ＋2)(r ＋3)， 经整理得到n 2－(4r ＋5)n ＋4r (r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0． 两式相减可得n ＝2r ＋3，于是C r 2r +3，C r +12r +3，C r +22r +3，C r +32r +3成等差数列， ……………………………………8分 而由二项式系数的性质可知C r 2r +3＝C r +32r +3＜C r +12r +3＝C r +22r +3，这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立． ………………………………10分。
苏锡常镇四市二模 江苏省苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研(二)地理试题 Word版含答案
2014～2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）一、选择题（共60分）（一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共计36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
图1为澳大利亚各州夏令时使用状况示意图，每年10月最后一个周日到来年3月最后一个周日，为澳大利亚夏令时段，时钟拨快一小时。
读图回答1～2题。
1.北方地区不再使用夏令时，其主要影响因素是A．纬度 B．经度 C．地形 D．经济2.夏令时段内堪培拉地区A．居民晚睡晚起节约能源B．正午太阳高度先减后增C．与北京时差减小1小时D．东南日出西南日落为主图 2为飓风“马西娅”影响某大陆的云系图，读图回答 3～4题。
3．生成此云系图所运用的地理信息技术是A．APP B．RS C．GPS D．GIS4．此时，甲地风向大致为A．西北 B．东北 C．东南 D．西南图 3为某同学绘制的地理学习模式图，读图回答5～6题。
5．若该图表示海陆间水循环模式图， S线代表地球表面，则下列叙述正确的是A．环节①参与地球表面形态的塑造B．环节②是纬度地带性形成的基础C．环节③基本态势与海陆分布无关D．环节④受到人类活动影响最深刻6．若该图表示世界洋流模式图的一部分，S线代表纬线，则下列叙述错误的是A．洋流①、③为风海流B．此模式图位于南半球C．D处一般形成世界著名渔场D．洋流②、④影响气候的分布苏州留园三宝之一的“鱼化石”是来自云南大理苍山的大理石。
图 4为留园“鱼化石”景观图，图 5为岩石圈物质循环示意图（甲乙丙丁戊为三大类岩石和岩浆），图6为世界地质公园中国成员分布示意图，“地质公园既为观光旅游、文化娱乐的场所，又是地质遗迹景观和生态环境的重点保护区，地质科学研究与普及的基地。
”读图回答 7～8题。
7.若图5中A表示沉积物，则“鱼化石”属于A．乙 B．丙 C．丁 D．戊8.我国西部地区世界地质公园分布稀少的原因是A．人口稀少、市场匮乏 B．经济落后、交通不便C．资源种类与东部雷同 D．地质遗迹景观数量少酱油是我国的主要调味品之一，图 7所示为广式优质酱油生产过程。
年苏锡常镇四市高三教学情况调查二数学参考答案及评分标准
年苏锡常镇四市高三教学情况调查二数学参考答案及评分标准TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2007年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，满分50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADADBCBCCC二、填空题（每小题5分，满分30分） 11． 12. 70 13. [2,5] 14. －2 15.1336三、解答题17．（1）21111()cos sin (cos21)sin 22222f x x x x x x ωωωωω=+⋅-=++- 当28x ππ-≤≤时，32.442x πππ-≤+≤∴当242x ππ+=-时，())4f x x π+取得最小值为（2）令24x k ππ+=，得4,228k k x k Z ππππ-==-∈ ∴当0k =时，8x π=-，当1k =时，38x π=，∴满足要求的对称中心为(,0).8π-18．解：（1）取AB 中点O ，连接1.A O 设.AB a = AD ∴⊥平面11,AA B B AD ⊂而ABCD∴平面11AA B B ⊥平面ABCD .111,AB AA A B a AO AB ===∴⊥， 1AO ∴⊥平面ABCD . 1A AB ∴∠为直线1A A 与平面ABCD 所成的角. 160A AB ∠=，∴直线1A A 与平面ABCD 所成角的大小为60（2）过O 作1OH A B ⊥，垂足为H ，连结CH .//,OC DA DA ⊥平面11AA B B ，CO ∴⊥平面11.AA B BCHO ∴∠为二面角1C A B A --的平面角.在正1A AB ∆中，1sin sin 60224a OH OB A BA OB =∠==⋅= 在RtCOH ∆中，,tan OCOC a CHO OH=∠===∴二面角1C A B A -- （3）存在。
2024届苏锡常镇四市高三下学期教学情况调研(二)数学答案
2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学（参考答案） 2024. 5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A B C D A D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 题号9 10 11 答案 BCD ABD AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1y =或3450x y ++= 1314．4，1四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分） 【法一】（1）证明：在直棱柱111C B A ABC −中，1B B ⊥面ABC ，则面11BB CC ⊥面ABC ， ……2分面11BB CC 面ABC BC =，AB ⊂面ABC ，BC AB ⊥，所以⊥AB 面11B BCC ……4分因为11//B A AB ，所以⊥11B A 面11B BCC . 则1A C 在面11B BCC 的射影为1B C ， 在正方形11B BCC 中，有.11C B BC ⊥所以由三垂线定理得：.11C A BC ⊥ ……6分（2）解：直三棱柱111ABC A B C 的体积为111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA =. ……7分由（1）⊥11B A 平面11B BCC ，1BC ⊂平面11B BCC ，则⊥11B A 1BC ， 在正方形11B BCC 中，1B C ⊥1BC ，且111A B B C ⊂，平面C B A 11， 1111A B B C B = ，所以⊥1BC 平面C B A 11.……8分设11B C BC O = ， 在△11A B C 中，过O 作C A OH 1⊥于H ，连接BH . 因为OH 为BH 在面11A B C 的射影，由三垂线定理得：⊥C A 1.BH 所以BHO ∠为二面角11B A B C −−的平面角. ……10分 因为Rt △COH ∽Rt △11CA B ，111B A CA OH CO =，得33=OH ， 又在Rt △BOH 中，22=BO ，得630=BH ， ……12分 .51063033cos ===∠BHOHBHO所以二面角B C A B −−11的余弦值为.510……13分【法二】直三棱柱111ABC A B C 的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=，则11AA =. ……1分（1）证明：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系.…2分 (0,0,0)B ，1(0,0,1)B =，(1,0,0)C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C .1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ， ……4分11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以.11C A BC ⊥ ……6分（2）(0,0,0)B ，1(0,0,1)B =，(1,0,0)C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C .(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量1η111(,,)x y z =，则111111020BC x BA y z ⋅==⋅+，，ηη取11y =，得1η(0,1,2)−. ……8分1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2η222(,,)x y z =， 则21222112020B C x z B A y ⋅=−= ⋅== ，，ηη 取21x =，得2η(1,0,1)=. ……10分 设二面角11B A B C −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|⋅=<>==ηηθηηηη. ……12分 因为θ为锐角，所以二面角11B A B C −−余弦值为510. ……13分16.（15分） （1）提出假设0H ：是否喜爱阅读与性别没有关系． ……3分根据列联表的数据，可以求得：2250(10121315)0.725 2.70625252327χ×−×=≈<×××，……5分所以没有90%的把握认为喜爱阅读与性别有关. ……7分 （2）随机变X 服从超几何分布(3,2,6)H ，X 可能取0，1，2. ……8分……2分0324361(0)5C C P X C ===，1224363(1)5C C P X C ===，2124361(2)5C C P X C ===. ……11分……14分答：抽取男生人数的数学期望为1． ……15分17.（15分）解：（1）因为函数的定义域为(0,)+∞，当0a =时，e 1()x f x x−=.要证()1f x >，只需证：当0x >时，e 1x x >+. ……1分令()e 1x p x x =−−，则()e 10x p x ′−>，则()p x 在(0,)x ∈+∞单调递增，……3分 所以()(0)0p x p >=，即e 1x x >+. ……5分 （2）2(1)e 1()x x a f x x x −+=+′1(1)e 1x x a x x −+=⋅+， ……6分令(1)e 1()(1)x x g x a x x−+=+>， 则()2222e (1)1(1)110x x x x x x g x x x x ′−+−−+−−=>=>.所以()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)1g x g a >=+， ……8分 ①当1a − 时，()(1)10g x g a >=+ ，()0f x ′>. 则()f x 在(1,)+∞为增函数，()f x 在(1,)+∞上无极值点，矛盾. ……11分 ②当1a <−时，(1)10g a =+<. 由（1）知，e 1x x x >+>，(1)e 1(1)e (1)()1x x x x x xg x a a a x a x x x−+−−=+>+>+=−+，则(1)0g a −>，则0(1,1)x a ∃∈−使0()0g x =. ……14分 当0(1,)x x ∈时，()0g x <，()0f x ′<，则()f x 在0(1,)x 上单调递减； 当0(),x x ∈+∞时，()0g x >，()0f x ′>，则()f x 在0(,)x +∞上单调递增. 因此，()f x 在区间(1,)+∞上恰有一个极值点，所以a 的取值范围为(,1)−∞−. ……15分18. （17分）（1）解： F (0，2p)，设A (211,2x x p )，则FA = 211(,)22x p x p−1)4−，……1分所以1211224x x p p = −=−，得：2260p p −−=，解得2p =或32p =−（舍）， 所以抛物线C 的方程为24x y =①. ……4分（2）设直线MN ：y kx m =+②， M (11,x y )，N (22,x y )， 联立①②，得2440x kx m −−=. 所以216()0k m ∆=+>③，121244x x k x x m +=⋅=−，④.111111222y kx m m k k x x x ++++===+，222222222y kx m m k k x x x ++++===+，则1212121211(2)2(2)()2(2)x x k m k k k m k m x x x x m+−+=+++=++⋅=， ……5分 121212(2)(2)kx m kx m k k x x ++++=2222121212(2)()(2)8(2)4k x x k m x x m k m x x m+++++++=−. ……6分因为12123()24k k k k +−=，即：22(2)8(2)32404k m k m m m−++×−×−=−， 即：(22)(42)0k m k m +−+−=， 则22m k =−或24m k =−，能满足③式. ……8分则MN ：22(2)2y kx k k x =+−=−+，或MN ：24(4)2y kx k k x =+−=−+， 所以定点Q 的坐标为(2,2)或(4,2)，……10分（3）如MN 过(4,2)点，当122k k ==时， 12123()24k k k k +−=，但此时M ，N 重合，则||MN 无最小值，所以MN 只能过(2,2)点，此时||MN 有最小值. ……11分 由（2），在④中，令22m k =−得：1212488x x k x x k +=⋅=−，，MN 2x −===. ……13分令432()2322f k k k k k =−+−+，则32246622(21)(1)0()k f k k k k k k ′=−+−=−−+=，12k =. ……15分当12k <时,()0f k ′<，()f k 在1(,)2−∞上为减函数， 当12k >时,()0f k ′>，()f k 在1(,)2+∞上为增函数， ……16分所以当12k =时，()f k 有最小值，MN 有最小值.min5MN =. ……17分19.（17分）（1）解：第1行最后两数0101C C 1==，第2行的最后两数120233C C C 2=−=. ……1分 第m （3m ）行的第m 个数为132222C C m m m m −−−−−，第1m +个数为22121C C m m m m −−−−，猜测：132********C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−. ……2分【法一】即证：12321222122C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−，……3分 因为11233222222222222C C C C C C m m m m m m m m m m m m −−−−−−−−−−−+−=+−，……5分只要证明22222C C m m m m −−−=，该式显然成立，所以12321222122C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−，所以每行最后两个数相等.……6分【法二】因为22121(21)!(21)!C C !(1)!(2)!(1)!m m m m m m m m m m −−−−−−=−−−+[](21)!(1)(1)!(1)!m m m m m m m −+−−+2(21)!(2)!!(1)!!(1)!m m m m m m m −=++； ……4分 又因为132222(22)!(22)!C C (1)!(1)!(3)!(1)!m m m m m m m m m m −−−−−−−=−−−−+[](22)!(1)(1)(2)(1)!(1)!m m m m m m m −+−−−−+(42)(22)!(1)!(1)!m m m m −−=−+2(21)!(2)!(1)!(1)!!(1)!m m m m m m −=−++. 即：13222222121C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−.所以每一行的最后两个数相等. ……6分（2）第1行所有数之和为0101C C 2+=，第2行的最后一个数为0323312C C =−−=， 此时结论成立. ……7分因为11C C C k k k n n n −++=，第m （2m ）行的1m +个数之和为：0120312111222121C C (C C )(C C )(C C )m m m m m m m m m m −−++++−−++−+−++−01201211211221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m −−+−++−=++++−+++0120121212221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m −+−++−=++++−+++1212211213321(C C C )(C C C )m m m m m m m m −++−++−=+++−+++222C C m m m m −==− . ……10分而第1m +行倒数第二个数为222C C m m m m −−，由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证. ……11分（3）当1n =，3k =时，1111C 1S a ===，11341S =−，当4k ≥时，此时显然不成立. 猜测：存在正整数k ，使得41n n kS − 恒成立，k 的最大值为3. ……12分 下证：当2n 时，341n n S <− 恒成立. 由（1）知，(2)!!(1)!n n n a n +=，则1(22)!(1)!(2)!n a n n n +=+++，因为1(22)!(22)(1)!(!)!(1)!(212)!(2)())(12n n a n n n n n n n a n n n +++++++=++×=2(21)4(2)6644222n n n n n ++−===−<+++. ……14分又0n a >，当2n 时，2111214444n n n n n a a a a −−−−<<<<= . ……15分当2n 时，211241...144 (4)3n n n n S a a a −−=+++<++++=，所以341n n S <−. 综上：存在正整数k ，k 的最大值为3，使得41n n kS − 恒成立. ……17分。
2015年苏锡常镇四市高三二模调研试典型错误分析
2015年苏锡常镇高三二模调研测试阅卷典型错误及情况分析第10题：考察用打点计时器研究物块运动速度变化的规律。
要求考生根据已知的实验数据作出物块的v—t图像。
并且分析为什么做出的v—t图像不是直线的原因。
本题难度不大，但考生得分并不高。
造成容易题得分低的主要原因是考生在答解时不规范，分析问题不深入而导致失分。
主要错误有以下几种情况：在解答第1小问作图题时，有的考生未用平滑曲线拟合实验数据在图像中的点，而直接将相邻的点用直线连接，将平滑曲线画成了折线；有的考生未充分利用实验数据进行描点，画出的图线未过坐标原点；有的考生作图时图线画得太细，导致试卷扫描后出现不清楚的情况；还有的考生坐标比例标度选择不合理，作出的图像不规范。
在分析作出的v—t图像为什么不是直线的原因时，大部分的考生选择了C选项，认为图线不是直线的原因是由于钩码质量m没有满足远小于物块质量M而导致的，考生之所以选择C选项的主要原因是受到了教材上“探究加速度与物体质量、物体受力的关系”实验的影响，死记硬背了实验结论，未能深入分析图像不是直线的真正原因而导致本题失分严重。
第11题：本题总分10分，学生所得均分3.939分。
典型错误及分析如下：1、第（1）题前面两个小问题考察了多用电表的读数，从阅卷情况来看，正确率不高。
说明还有相当一部分学生并没有掌握多用电表的读数方法。
第三个小问题要求学生能掌握“欧姆表不能测电源内阻”，但是绝大多数学生做本题时回答的是“没有欧姆调零”，这说明学生做题时只是机械记忆，并没有真正理解欧姆表的原理和使用。
今年高考物理考试说明中，实验部分新增一个《练习使用多用电表》的实验，所以，我们应当高度重视此实验的复习，接下来的复习中，建议大家把《练习使用多用电表》实验再复习一遍。
2、第（2）题考察的是利用电流表和电阻箱测量电源内阻。
要求学生掌握本实验的原理和掌握图象法处理数据的方法。
从阅卷情况来看，答题正确率较低。
主要原因有三个。
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2014-2015学年度苏锡常镇四市高三数学调研（二模）试卷2015/05/04
一．填空题（5×14=70分）
1．已知集合{}{}{}1,1,3,2,21,1a A B A B =-=-=，则实数a 的值为 ▲
2．设12a b +i=2i(+i)(i 为虚数单位，,a b ∈R ），则a b +的值为 ▲
3．某工厂生产某种产品5000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为::122，则乙生产线生产了 ▲ 件产品
4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 值为1-，
则输出的y 值为 ▲
5．从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名
男生和一名女生的概率为 ▲
6．已知双曲线22
221(,0)x y a b a b
-=>的离心率等于2，它的焦点 到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲
7．已知向量()()()1,2,0,1,,2a b c k ==-=-，若()2c a b -⊥，则实数k = ▲
8．已知常数0a >，函数()(1)1a f x x x x =+
>-的最小值为3，则a 的值为 ▲ 9．函数3sin(2)4y x π
=+的图象向左平移(0)2π
ϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于原点成中心对
称，则ϕ= ▲
10．已知等差数列{}n a 满足：128,6a a =-=-．若将145,,a a a 都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为 ▲
11．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 ▲
12．已知A 为椭圆22
195
x y +=上的动点，MN 为圆22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN ⋅的最大值为 ▲
13．已知函数()342f x x x ax =-+-恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 ▲
14．已知,,0a b a ∈≠R ，曲线2,21a y y ax b x
+==++，若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个
公共点，则22a b +的最小值为 ▲
二．解答题（本大题共6小题,共计90分）
15．(本小题满分14分)
已知函数()sin()cos 6f x x x π
=++
（1）求函数()f x 的最大值，并写出当()f x 取得最大值时x 的取值集合；
（2）若(0,),()265
f ππαα∈+=，求()2f α的值
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2,AB AD ==
PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,CD PB 的中点
求证：（1）//CF 平面PAE ；
（2）AE ⊥平面PBD
17．(本小题满分14分)
如图，甲船从A 处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B 处沿固定方向匀速航行，
B 在A 北偏西0105方向且与A 相距海里处．当甲船航行20分钟到达
C 处时，乙船航行到甲船的北偏西0120方向的
D 处，此时两船相距10海里
（1）求乙船每小时航行多少海里？
（2）在C 处的北偏西030方向且与C E ，暗礁E 海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险？如无危险，请说明理由
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>> 上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点1(1,0)F -和右焦点2(1,0)F ，且AC BD ⊥，椭圆的一条准线方程为4x =
（1）求椭圆方程；
（2）求四边形ABCD 面积的取值范围
19．(本小题满分16分)
已知函数()x ex f x e
=，其导数记为()f x '（e 为自然对数的底数） （1）求函数()f x 的极大值；
（2）解方程()()f f x x =；
（3）若存在实数1212,()x x x x ≠使得12()()f x f x =，求证：1202x x f +⎛⎫'<
⎪⎝⎭
20．(本小题满分16分)
已知,λμ为常数，且为正整数，1λ≠，无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，对任意正整数n ，n n S a λμ=-．数列{}n a 中任意不同两项的和构成集合A
（1）证明无穷数列{}n a 为等比数列，并求λ；
（2）如果2015A ∈，求μ；
（3）当1n ≥时，设集合{}13232,n n n B x x x A μμ-=⋅<<⋅∈，n B 中元素的个数记为n b 求数列{}n b 的通项公式.。