分式、根式讲义
分式与二次根式的知识点
分式与二次根式的知识点分式与二次根式是数学中的重要知识点，它们在代数运算、方程求解、函数图像等方面都有应用。
本文将逐步介绍分式与二次根式的基本概念、运算规则以及解题思路。
1.分式的基本概念分式是由两个整数或多项式构成的比值形式，通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母。
分子和分母可以是整数、多项式或含有变量的表达式。
分式可以表示实数、有理数、无理数等不同类型的数。
2.分式的化简与运算（1）分式的化简：当分式的分子和分母有公约数时，可以通过约分的方式化简分式。
即找到分子和分母的最大公约数，将其约去，使得分子和分母互质。
（2）分式的加减乘除：分式的加减运算可以通过通分的方式进行。
即将两个分式的分母化为相同的数，然后将分子进行加减运算。
分式的乘除运算可以直接对分子和分母进行相应的运算。
3.二次根式的基本概念二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
当a为正实数时，二次根式的值为正实数；当a为零时，二次根式的值为零；当a为负实数时，二次根式的值为虚数。
4.二次根式的化简与运算（1）二次根式的化简：当二次根式内部存在完全平方数因子时，可以将其化简为有理数的形式。
即将完全平方数因子提取出来，使得根号内只剩下非完全平方数。
（2）二次根式的加减乘除：二次根式的加减运算可以通过化简后的形式进行。
即先将二次根式化简为有理数形式，然后进行加减运算。
二次根式的乘除运算可以直接对根号内的数进行相应的运算。
5.解题思路在解题时，我们需要根据具体的问题，灵活运用分式与二次根式的知识。
常见的解题思路包括：（1）化简分式与二次根式，使得问题更加简化。
（2）通过分式与二次根式的运算规则，将复杂的表达式转化为简单的形式。
（3）注意分式与二次根式在方程求解、函数图像等问题中的应用。
分式与二次根式是数学中的重要知识点，掌握了它们的基本概念、运算规则和解题思路，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
在学习过程中，我们应该多进行练习，加深对分式与二次根式的理解和掌握。
中考总复习：分式与二次根式—知识讲解(提高)与例题讲解
中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误！未找到引用源。
±错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n =-++进行裂项. (4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质1.0(0)≥≥；a a2.()2(0)a a a =≥； 3.2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩； 4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b =≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >. 要点诠释： 与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式；（3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c互为有理化因式.【典型例题】 类型一、分式的意义1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于 ．【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，由x +1≠0，得x ≠﹣1， ∴x =1， 故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三： 【变式1】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 .【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0，由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0， ∴x=-3或x=3， 由x-3≠0，得x≠3． 综上，得x=-3，分式23273x x --的值为0．故答案为：-3．【分式与二次根式 ：例1】 【变式2】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是 ．【答案】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0，设22y xx m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞.答案m ＞1.类型二、分式的性质2．已知,b c c a a b abc+++==求()()()abca b b c c a +++的值.【答案与解析】设b c c a a b k abc+++===,所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+= 所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++ 所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-= 即2k =或()0,a b c ++= 当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-.【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解. 举一反三：【变式】已知111111111,,,6915abbcac +=+=+=求abcab bc ac++的值. 【答案】因为 111111111,,,6915abbc a c+=+=+=各式可加得1111112,6915abc ⎛⎫++⨯=++ ⎪⎝⎭所以11131180a b c ++=，所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++类型三、分式的运算3．已知1,x y zy z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值.【答案与解析】 因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++） 即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三： 【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111a b ca b c +++++的值. 【答案】由已知得1,y z a x+=所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y za x+++=,所以1a xa x y z=+++,同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 【分式与二次根式：例2】【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求+++11x y 11++y x 的值．【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =1121222++++++++y x xy x x y y 1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式， ∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2类型四、分式方程及应用4．a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 【答案与解析】方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=- 整理得(1)10a x -=-. 当a = 1 时,方程无解. 当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 .所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． （1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：120204020=++x解得x ＝80，经检验x ＝80是原分式方程的解． 答：乙单独整理80分钟完工． （2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得1408030≥+y 解得：y ≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间． （1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可． 举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（ ） A ．00253010(18060xx -=+）B ．00253010(180xx-=+）C ．00302510(18060x x -=+） D ．00302510(180x x -=+）【答案】设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，00253010(18060x x -=+）故选A ．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为 ．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0． 故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x 的范围．类型六、二次根式的运算 【分式与二次根式 ：例3】7．（2015春•泗阳县期末）已知m是的小数部分．（1）求m2+2m+1的值；（2）求的值．【答案与解析】解：依题意得21m=-，则121=+m（1）原式=（m+1）2=2；（2）原式=|1m-|=|﹣1﹣（21+）|=2．m【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2018•苏州模拟）计算：．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．。
数学知识点二次根式与分式的运算
数学知识点二次根式与分式的运算数学知识点：二次根式与分式的运算在数学中，二次根式与分式是常见的运算形式。
二次根式表示被开方数的平方根，而分式则表示数之间的比值。
正确地运用二次根式与分式的运算规则，能够更高效地解决问题。
本文将详细介绍二次根式与分式的运算方法和规则。
一、二次根式的运算二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
在运算二次根式时，常见的操作有合并同类项、分解因式、有理化等。
1. 合并同类项合并同类项是将同一根号内的数合并，然后再进行开方。
例如：√9 + √4 = √(9+4) = √132. 分解因式分解因式是将根号内的数按照倍数的形式分解，以便于提取出根号外的因式。
例如：√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√33. 有理化有理化是将二次根式中含有根号的分母进行处理，使其变为分母不含根号的形式。
例如：1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2二、分式的运算分式是形如a/b的表达式，其中a为分子，b为分母。
分式的运算包括四则运算、化简、通分、约分等。
1. 四则运算分式的四则运算与整数的四则运算类似，根据需要进行加、减、乘、除的操作。
例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/62. 化简化简是将分式的分子与分母进行约分，使其达到最简形式。
例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/23. 通分通分是将分式的分母化为相同的公共分母，以便于进行加减运算。
例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/64. 约分约分是将分数的分子与分母进行化简，使其达到最简形式。
例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2三、综合运算在实际问题中，常常需要综合运用二次根式与分式的运算。
例如：例1：计算√(5+2√6) × √(5-2√6) 的值。
第三讲--分式与二次根式
5、二次根式：式子 a（a≥0）
注意：（1）式子 a 表示 a的算术平方根 （2） a ≥0
6、二次根式的性质： （1）（ a）² =a(a≥0）（2） a2 |a|
（3） ab a b（ a≥0, b≥0 ）
（4） a a（ a≥0, b>0 ）
bb
7、二次根式的运算：加减，乘除，分母有理化
a 1
a2 2a 1 的值
a2 a
例6、汽车从A地开往B地，每小时行驶 v1km，t小时可以到达，如果每小时多行 v2km，那么可以提前a小时到达。
（1）已知t, v1，v2，求a
（2）已知a, t，v2，求v1
例7、判断下列各式是否立？
2 2 2 2 33
请用含有m的式子表 示以上规律：
(A) 2x2 (B) b2 1 (C)
4a (D)
1 x
（2）若b<0,化简 ab2 的结果是 ( D )
(A) -b ab (B) b ab (C) b ab (D) b a
(3)下列运算正确的是 (C )
1
(A) 2 1 1 2
(B) 3－ 2 0＝0
(C) 18 50＝ 36 25 (D) （ 3)2 3
（3）（ 5）²=5 （4）52 =5 中
正确的是：（__4_）____
4、若y= x 3 3 x +4 ，则xy=_1_2_
5、当式子
x2
x
5 4x 5
的值为零时，x的值是_-_5__
6、若 a 12 +a+1=0，则a的范围: a≤-1
7、下列各式中，正确的是 （D）
说明：运算结果必须为最简根式
整式、分式、根式
第二节 整式、分式、根式的运算中学数学中，随着数的范围的扩充，目前运算范围扩充到有理数运算，实数运算，随着字母表示数，运算对象又由数发展到式，相应地引入了整式的运算，分式的运算，根式的运算，随着学习的深入，今后还要扩充到复数运算，熟练掌握这些运算的法则和运算技能，对学好中学数学起起到至关重要的作用．一、知识回顾1、 幂运算：①=⋅n m a a ②()=n m a ③()=mab ④=÷n m a a2、乘法公式：()=±2b a ()()=-+b a b a ()=±3b a ()=++2c b a3、一个正数有 个平方根，它们 ，0的平方根是 ， 数没有平方根．4、在的符号应为被开方数中a ，a ，，=2a ，()=2a5、定义：（1）最简二次根式：①根号内不含分母；②被开方数的每个因式的指数小于2．（2）分母有理化：分子分母同时乘以分母有理化因式（或称共轭因式），化去分母中的根号的过程．（3）繁分式：在分式的分子或分母含有分式的式子．二、诊断练习1、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--222322322 ．2、()的范围为则x x x ,112-=- ． 3、估算：23250+的值在整数 和整数 之间． 4、=+=+x x ，xx 1212则若 ．5、的值为则若221111,1ba ab +++= ． 6、=++=+2241,51aa a a a 则 ．三、例题讲解【例1】化简下列各式：()3281b a - ()721822-()35353+- ()xy y x x y xy ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-24()()b a b a a<-22115【例2】：化简下列分式：（1）b a b a ba +-+-+11 （2）a ---11111四、训练巩固1、化简下列各式：（1）232- （2）aa a a 166-+- （3）1227- （4）()ab ab b a ab -+23 （5）3535-+ 2、化简下列分式：（1）111+-b b a （2）111111++-+++a a a a的值求时、当122115433+--=a a ，a ． 的值求、33221,1,414xx x x x x -+=-． 的值求、若yxy x y xy x y x ---+=-2232,3115．。
因式分解分式和根式
专题复习：因式分解、分式和根式【知识梳理】一、因式分解：1、常用的公式：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； ()2222222c b a ca bc ab c b a ++=+++++； ()2222222c b a ca bc ab c b a -+=--+++； ()2222222c b a ca bc ab c b a --=-+-++； 立方和（差）公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+；()()2233b ab a b a b a ++-=-；2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：（1）()()111±±=+±±b a a b ab ；（2）()()111±=-±b a b a ab ；（3）()()22224224+-++=+a a a a a ；（4）()()12212214224+-++=+a a a a a ；（5）()2222222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； （6）()()ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2223333。
二、分式：1、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
2、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：()()011011>=⋅≠=⋅a a a a a a ，；若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅nn a a （0≠a ，n 是整数）； ()021>≥+a aa 。
(中考考点梳理)分式与二次根式-中考数学一遍过
考点03 分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 【注意】①若B ≠0，则AB有意义；②若B =0，则AB无意义；③若A =0且B ≠0，则AB＝0．学=科网2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C⋅=≠⋅或(0)A A CC B B C ÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则 （1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． （2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7．分式的运算（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：((nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 二、根式1．二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0． （2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 （1）a ≥ 0（a ≥0）； （2）)0()(2≥=a a a ；（3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)a b =≥≥；（50,0)a b ≥>． 3．二次根式的运算 （1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥；0,0)a b ≥>． （3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一 分式的有关概念1．分式的三要素： （1）形如AB的式子； （2）,A B 均为整式；学科!网 （3）分母B 中含有字母． 2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B ≠． （2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例1 x 的取值范围是 A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ＞﹣1且≠0D ．x ≥﹣1且x ≠0【答案】D【解析】根据题意得：100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥-1且x ≠0．故选：D ．1．若分式21xx-在实数范围内无意义，则x 的取值范围是 A ．x ≠1 B ．x =1C ．x =0D ．x ＞1考向二 分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例2 分式233x yxy+中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为 A ．扩大为原来2倍 B ．缩小为原来的12倍 C ．不变D ．缩小为原来的14倍【答案】B【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．2．不改变分式的值，下列变形正确的是A ．2233a ab b -=-- B ．33a ab b -=-- C ．55a a b b=--D ．7744a a b b=- 考向三 分式的化简与求值约分与通分的区别与联系：1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值； 2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例3 把分式x x y -，y x y +，222x y-的分母化为x 2-y 2后，各分式的分子之和是 A ．x 2＋y 2＋2 B ．x 2＋y 2-x ＋y ＋2 C ．x 2＋2xy −y 2＋2D ．x 2−2xy ＋y 2＋2【答案】C【解析】由平方差公式将x 2−y 2可化简为(x +y )(x −y )， 故将xx y-的分母化为x 2−y 2后可得()22x x y x y +-，将y x y+的分母化为x 2−y 2后可得()22y x y x y --， 所以分式的x x y -,y x y +,222x y-的分母化为x 2−y 2后,各分式的分子之和为 x (x +y )+y (x -y )+2，展开得x 2+xy +xy −y 2+2合并同类项,得x 2+2xy −y 2+2， 故选C.【名师点睛】本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．求最简公分母的方法是： （i ）将各个分母分解因式； （ii ）找各分母系数的最小公倍数；（iii ）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的. 满足（ii ）（iii ）的因式之积即为各分式的最简公分母．3．下列分式中，是最简分式的是A ．2xyx B ．222x y -C ．22x yx y+- D ．22xx + 考向四 分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例4 计算(1－1x)÷221x x x -+的结果是A ．x －1B ．11x - C ．1xx -D ．1x x-【答案】B【解析】原式=（x x −1x ）÷()21x x -=1x x -. •()21x x -=11x -， 故选B ．4．先化简，再求值：2221()211x x x x x x+÷--+-，其中x =4．考向五 二次根式的概念与性质1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例5 下列各式： ①；②；③；；；．其中一定是二次根式的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个【答案】B5的取值范围是 A ． B． C ．D ．典例6 下列二次根式是最简二次根式的是 ABCD【答案】Cx 1x ≠1x ≥>1x 0x ≥6；．其中是最简二次根式的有 A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个考向六 二次根式的运算1．二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 2．比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较； （2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．典例7 下列计算正确的是A =B 6=C 5+=D 4=【答案】A【解析】A 、原式-B 、原式，错误；C 为最简结果，错误；D 、原式，错误， 故选：A ．7．已知x =，y =，则y xx y +=_____________．典例8 比较大小：______5（填“＞，＜，=”）． 【答案】＞【解析】因为2228,525==，28＞25，所以＞5．【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．8．设a ，b －1，c ，则a ，b ，c 之间的大小关系是 A ．c ＞b ＞a B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c1．下列根式中属于最简二次根式的是A BCD 2．若分式24x x-的值为0，则x 的值是A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．03．如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值 A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．不变D ．缩小2倍4A BCD5．下列关于分式的判断，正确的是A ．当x =2时，12x x +-的值为零 B ．当x ≠3时，3x x-有意义C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．无论x 为何值，231x +的值总为正数6．若x 、y 为实数，且|2|0x +=，则2019x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2B ．−2C ．1D ．−17的被开方数相同，则a 的值为 A ．1B ．2C ．23D ．328．下列运算中，错误的是 A ．x y y xx y y x--=-++ B ．a ba b--+=−1C −1D a9．已知 1x <，则 化简的结果是A ．1x -B ．1x -C ．1x --D ．1x +10．下列分式是最简分式的是A BCD ．22121x x x --+11．若分式11x x -+的值为0，则x 的值为 A ．1 B ．−1 C ．±1D ．无解12 A ．2B ．21x - C ．23x -D ．41x x --13．若x 、y ()2210y +-=，则x y +的值等于A ．1B ．32 C ．2D ．5214a =，则1x x +的值为A ．22a - B ．2a C ．24a -D ．不确定15＝_____________． 16．当x =_____________时，分式323xx -+的值为零．17．比较大小：（填“＞、＜、或=”）18．当a =2_____________．19．已知a ，b 互为倒数，代数式222a ab b a b+++÷11a b ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为_____________．20．已知::2:3:4x y z =，则23x y zx y z+--+的值为_____________．21．计算：（1）|1|+（2018−π）0；（2+（（．22．先化简，再求值：221a b a b a b⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中1a =+，1b =-．23．先化简，再求值：2-，其中，．24．先化简，再求值：2212111121m m m m m -⎛⎫-÷- ⎪+--+⎝⎭，其中m 为一元二次方程230x x +-=的根．1．（2018·德阳市）下列计算或运算中，正确的是A ．=B =C ．÷=D ．-=2．（2018·兰州市）下列二次根式中，是最简二次根式的是A BCD3．（2018·绥化市）若y =x 的取值范围是 A ．12x ≤且0x ≠ B ．12x ≠C ．12x ≤D ．0x ≠4．（2018·绥化市）下列运算正确的是A ．2235a a a +=B 5=-C ．3412a a a ⋅=D ．0(π3)1-=5．（2018·曲靖市）下列二次根式中能与合并的是ABCD6．（2018·上海市）的结果是A．4 B．3C．D7．（2018·日照市）计算：（12）−1+tan30°•sin60°=A．﹣32B．2C．52D．728．（2018·莱芜市）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是A．2xx y+-B．22yxC．3223yxD．()222yx y-9．（2018·陇南市）有意义的x的取值范围是____________．10．（2018·毕节市）观察下列运算过程：1========-……请运用上面的运算方法计算：+=____________．11．（2018____________．12．（2018·莱芜市）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是和2，则图中阴影部分的面积是____________．13．（2018·镇江市）=____________．14．（2018·梧州市）在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是____________．15．（2018·巴彦淖尔市）化简3m m ++269m -÷23m -的结果是____________． 16．（2018·绥化市）当2x =时，代数式211()x x x x x+++÷的值是____________．17．（2018·大连市）计算：+2）2+22-.18．（2018·百色市）已知a 2=19，求22211118a a a --+-的值．19．（2018·福建省b 卷）先化简，再求值：2211(1)m m m m+--÷，其中m ．20．（2018·锦州市）先化简，再求值： 233212,322x x x x x x +-+-÷=++（其中.21．（2018·毕节市）先化简，再求值：22214244aa a a a a ⎛⎫-÷⎪--++⎝⎭，其中a 是方程a 2+a ﹣6=0的解．22．（2018·兰州市）计算：101()(π3)1tan452--+-+-.23．（2018·甘孜州）（1()03.144cos45--π- ；（2）化简：2211x xx x x ÷---.24．（2018·益阳市）化简：2()y x y x y x y x+-+⋅+.25．（2018·莱芜市）先化简，再求值：233(111a aa a a -+÷--+，其中a +1．26．（2018·曲靖市）先化简，再求值（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b --，其中a ，b 满足a +b ﹣12=0．27．（2018·梧州市）解不等式组36451102x xx x -≤⎧⎪++⎨<⎪⎩，并求出它的整数解，再化简代数式2321x x x +-+•（3x x +﹣239x x --），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．28．（2018·抚顺市）先化简，再求值：（1﹣x +31x +）÷2441x x x +++，其中x =tan45°+（12）−1．1．【答案】B 【解析】∵分式21xx-在实数范围内无意义， ∴1﹣x =0，即x =1， 故选：B ．3．【答案】D 【解析】A 、2xy x ＝yx，错误； B 、222x y -＝1x y -，错误；C 、22x y x y +-＝1x y -，错误；D 、22xx +是最简分式，正确． 故选D ．4．【答案】21x x -；163.【解析】2221()211x x x x x x+÷--+- =2(+1)2(111)()()x x x x x x x --÷-- =2()(+1)111)(x x x x x x -⋅-+ =21x x -， 当x =4时，原式=2416413=-． 5．【答案】B【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，要使．故选B ．6．【答案】B= =， =，∴. 故选：B .8．【答案】D【解析】a −1），b ，c ）， ＞1，∴a ＞b ＞c ．故选D ． 101x x -≥⇒≥【解析】A、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；B、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；C、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数4，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数9，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；故选A．【名师点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．【答案】A【解析】∵分式24xx-的值为0，∴x2﹣4=0，解得：x=2或﹣2．故选：A．3．【答案】B【解析】把分式xyx y+中的x和y都扩大2倍，则22222x y xyx y x y⋅=++，故选B．5．【答案】D【解析】A选项：当x=2时，该分式的分母20x-=，该分式无意义，故A选项错误．B选项：当x=0时，该分式的分母为零，该分式无意义．显然，x=0满足x≠3．由此可见，当x≠3时，该分式不一定有意义，故B选项错误．C选项：当x=0时，该分式的值为3，即当x=0时该分式的值为整数，故C选项错误．D选项：无论x为何值，该分式的分母x2+1>0，该分式的分子3>0．由此可知，无论x为何值，该分式的值总为正数，故D选项正确．故本题应选D．【名师点睛】本题考查了与分式概念相关的知识．分式有意义的条件是分式的分母不等于零，并不是分母中的x的值不等于零．分式的值为零的条件是分式的分母不等于零且分式的分子等于零．在分式整体的符号为正的情况下，分式值的符号由分子与分母的符号共同确定：若分子与分母同号，则分式值为正数；若分子与分母异号，则分式值为负数．【解析】由非负数的性质可得：x+2=0，y−2=0，即x=−2，y=2，∴2019xy⎛⎫⎪⎝⎭=（−1）2019=−1．故选C．7．【答案】D【解析】31+4,2a a a=-=解得，故选D．8．【答案】D【解析】A．x y y xx y y x--=-++，正确，故不符合题意；B．a ba b--+=−1，正确，故不符合题意；C−1，正确，故不符合题意；D=|a|，错误，故符合题意．故选D．9．【答案】B【解析】∵x＜1，∴x-1＜0x-1|=1-x．故选：B．10．【答案】C【解析】A选项：化简该分式，得()222a ba ab bam am m+++==，故A选项不符合题意．B选项：化简该分式，得623xy xya a=，故B选项不符合题意．C选项：对该分式的分子进行因式分解，得()()222111x xxx x+--=．由此可见，该分式的分子与分母没有公因式，符合最简分式的定义，故C选项符合题意．D选项：化简该分式，得()()()22211112111x xx xx x xx+--+==-+--，故D选项不符合题意．故本题应选C．11．【答案】A【解析】∵分式11x x -+的值为0，∴|x |−1=0，且x +1≠0，解得：x =1．故选A ． 12．【答案】B（13x -−11x -）•（x −3）=13x -•（x −3）−11x -•（x −3）=1−31x x --=21x -．故选B ． 15==． 16．【答案】3【解析】依题意得：3﹣x =0且2x +3≠0．解得x =3，故答案为：3．17．【答案】＜【解析】将两式进行平方可得：(2=12，(2=18，因为12＜18，所以＜18．【答案】3- 【解析】∵()()2121214122121a a a a a a +--==-++，∴当a =2时，原式=1223-⨯=-．故本题应填写：3-．19．【答案】1 【解析】对待求值的代数式进行化简，得22211a ab b a b a b ++⎛⎫÷+ ⎪+⎝⎭()2a b a b a b ab ++⎛⎫=÷ ⎪+⎝⎭()ab a b a b =+⋅+ab =， ∵a ，b 互为倒数，∴ab =1，∴原式=1．故本题应填写：1．20．【答案】411【解析】根据分式的性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）解答．∵::2:3:4x y z =，∴可设234x k y k z k ===、、，∴226444323121111x y z k k k k x y z k k k k +-+-===-+-+， 故答案为：411．21．【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式−1−+1=．（2）原式=3−−5=2−．22．【答案】化简见解析，结果为． 【解析】221a b a b a b ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ ()()a b a b a a b a b b+--+=⋅- ()()a b a b b a b b+-=⋅- a b =+，当1a =+，1b =时，原式11++-=23．【答案】8-+．【解析】原式2(2)x y x y =---+22x y x y =--+-2y =-．当34x y ==,时，原式=2−2×4=4 −8． 24．【答案】化简见解析，结果为13． 【解析】原式=()()()22122111111m m m m m m m --+--÷++-- =()()()()21121112m m m m m m m ---⋅++-- =()1111m m m m --++=()()11m m m m --+ =()11m m + =21m m +． 由m 是方程230x x +-=的根，得到23m m +=，所以原式=13． 【名师点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．1．【答案】B【解析】A 、=，此选项错误； B ＝，此选项正确；C 、÷=D 、-=，此选项错误；故选：B ．2．【答案】B【解析】A =不是最简二次根式，错误；B 是最简二次根式，正确；C =不是最简二次根式，错误；D =不是最简二次根式，错误，故选B ．3．【答案】A【解析】由题意可知：1200x x -≥⎧⎨≠⎩，解得：12x ≤且0x ≠， 故选A ．4．【答案】D 【解析】A. 23a a +=5a ，故A 选项错误；B. =5，故B 选项错误；C. 347a a a ⋅=，故C 选项错误；D. 0(π3)1-=，故D 选项正确，故选D.5．【答案】B【解析】A ＝，不能与B 合并，故该选项正确；C ＝不能与D 3不能与故选B ．6．【答案】C【解析】，故选C ．7．【答案】C【解析】（12）−1+tan30°•sin60°=2+12 =52， 故选C ．9．【答案】x ＞3有意义， ∴x ﹣3＞0，∴x ＞3， ∴x 的取值范围是x ＞3，故答案为：x ＞3．10．【解析】原式=12﹣1）+12+12+ (12)+12=12…）． 11．【答案】6【解析】原式．故答案为：6．12．【答案】2【解析】设正三角形的边长为a ，则12a 2解得a ．则图中阴影部分的面积．故答案是2．13．【答案】2，故答案为2. 14．【答案】x ≥3【解析】由题意可得：x ﹣3≥0，解得：x ≥3，故答案为：x ≥3．15．【答案】1 【解析】3m m ++269m -÷23m - =()()63·3332m m m m m -+++- =333m m m +++ =1，故答案为1.16．【答案】3【解析】原式221()1x x x x x x +=+⋅+ =2(1)1x x x x +⋅+ 1x =+，当2x =时，原式213=+=，故答案为：3．17．【答案】294【解析】原式﹣14=294． 18．【答案】16- 【解析】原式=22121a a a ---（）﹣118 =221a ---118， ∵a 2=19，∴原式=2191--﹣118=﹣318=﹣16．19．【解析】2211(1)m m m m+--÷ =()()2111m m m m m m +-⋅+- =()()111m m m m m +⋅+- =11m -，当m +1时，原式==． 20．【答案】11;12x -- 【解析】原式=()23322)21x x x x ++-⨯+-（ ， ()()22433221x x x x x +--+=⨯+-，()()21221x x x x -+=⨯+-，11x =-， 当x =3时，原式=113-=12-. 21．【答案】13 【解析】22214244a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ =()()()()222222a a a a a a -++⋅+-=2222a a a a a--+⋅- =222a a a a-+⋅-， =2a a +，由a 2+a ﹣6=0，得a =﹣3或a =2，∵a ﹣2≠0，∴a ≠2，∴a =﹣3，当a =﹣3时，原式=32133-+=-． 22．1．【解析】101()(π3)1tan 2--+-+-45°=2111-++1=．（2）2211x x x x x ÷--- =()()211·1x x x x x+---x =x (x +1)-x=x 2.24．【答案】x 【解析】原式=222x y y x y x y x-++⋅+ =2x x y x y x+⋅+ =x ．25．【答案】【解析】当a +1时，原式=()()333111a a a a a a++-+⨯-+=()()4111a a a a a+⨯-+ =41a -. 26．【答案】原式=1a b+=2 【解析】（1a b -﹣22b a b -）÷2222+a ab a ab b -- =()()()()2•a b a b b a b a b a a b -+-+-- =1a b+， 由a +b ﹣12=0，得到a +b =12， 则原式=112=2． 27．【答案】原式=11x -，当x =2，原式=1． 【解析】解不等式 3x ﹣6≤x ，得：x ≤3， 解不等式4510x +＜12x +，得：x ＞0， 则不等式组的解集为 0＜x ≤3，所以不等式组的整数解为 1、2、3， 原式=()231x x +-•[()()2333x x x x --+- ()()333x x x -+-] =()231x x +-•()()()()1333x x x x --+- =11x -， ∵x ≠±3、1，∴x =2， 则原式=1．28．【答案】-1 5【解析】原式=（21311xx x-+++）÷()221xx++=()()()2 221·12x x xx x +-+++=22xx -+，当x=tan45°+（12）−1=1+2=3时，原式=231235-=-+。
初中数学 分式二次根式知识点归纳
第四节 分式与二次根式考点一：分式的概念分式：两个整式相除，且除式中含有字母，这样的代数式叫做分式。
分式中字幕的取值不能使分母为零，当分母为零时，分式就没有意义。
<分式为零的条件>分式为零的条件：当分子为零时，分式的值为零。
<分式有意义的条件>分式有意义的条件：当分母不为零时，分式有意义。
考点二：分式的基本性质与运算<分式的基本性质>分式的分子与分母都乘以（或除以）一个不等于零的整式，粉饰的值不变。
A A×X A A÷M= =B B×X , B B÷M ， （其中M 是不等于零的整式）<约分>分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分，约分要约去分子、分母的所有公因式。
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。
利用分式的约分，可以进行多项式的除法。
把两个多项式相除先表示成分式，然后通过分解因式、约分等把分式简化，用整式或最简分式表示所求的商。
<分式的运算>分式的乘除：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
a c = aca c a d adb d bd , b d bc bc分式的加减：同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。
a b = a b c c c 通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做痛分，一分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算。
通分时，一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高词目的积为公分母。
分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
考点三：二次根式<二次根式有意义的条件>二次根式：表示算术平方根的代数式叫做二次根式。
一般地，式子a （ a≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。
新高一数学暑假提升讲义03 有意义的根式和分式及相关计算(解析版)
新高一数学暑假提升讲义03 有意义的根式和分式及相关计算【基础内容与方法】1.分式有意义的条件对于分式，分母不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义。
即若0B ≠,式子A B 有意义；若0B =，则式子A B无意义；若A=0且0B ≠，则0A B=，即分式的值为0的条件．2.0a ≥．考点一：二次根式的概念例1：在式子，（x ＞0），，（y ＝﹣2），（x ＞0），，，x +y 中，二次根式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据二次根式的定义作答．【解答】解：（x ＞0），，符合二次根式的定义．（y ＝﹣2），（x ＞0）无意义，不是二次根式．属于三次根式． x +y 不是根式．故选：B ．【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a ≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．考点练习：1．在式子①②③x2④⑤（x≤1）中，二次根式有 3 个．【分析】根据二次根式的定义填空即可．【解答】解：因为形如（a≥0）叫二次根式，所以①②⑤都符合要求，而③二次根号，④中的被开方数小于0，即二次根式有3个，故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单．考点二：二次根式有意义的条件例2：（1）当x满足x＞0 时，代数式有意义；【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不等于零可得x＞0．【解答】解：由题意得：x＞0，故答案为：x＞0．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．（2）要使式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2，且x≠﹣1 ．【分析】首先保证被开方数x+2≥0，再保证分母x+1≠0，解出不等式即可．【解答】解：∵式子有意义，∴x+2≥0，且x+1≠0，解得：x≥﹣2，且x≠﹣1．故答案为：x≥﹣2，且x≠﹣1．【点评】此题主要考查了分式，二次根式有意义的条件，关键是把握：①二次根式中的被开方数是非负数；②分母≠0．考点练习：1.二次根式有意义，则x应满足的条件是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可列出不等式求解．【解答】解：根据题意得：1﹣2x≥0，解得：x≤．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2.若二次根式有意义，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m＞﹣2C．m≥﹣2且m≠﹣1D．m≤﹣2且m≠1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范围．【解答】解：由题意得，m+2≥0且m+1≠0，解得m≥﹣2且m≠﹣1．故选：C．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3.代数式有意义，则x的取值范围是x．【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≤且x≠2，∴x的取值范围为：x≤故答案为：x【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．考点三：与二次根式有关的计算类型（一）1．已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2b﹣ab2的值．【分析】先计算出a﹣b和ab的值，再分解因式得到∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算；【解答】解：∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a﹣b＝4，ab＝9﹣8＝1，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝1×4＝4；【点评】本题考查了整体代入的思想．2．已知a＝+2，b＝2﹣，则a2020b2019的值为（）A．﹣﹣2B．﹣+2C．1D．﹣1【分析】由积的乘方与同底数幂的乘法，可得a2016b2015＝（ab）2015•a，然后由平方差公式求解即可求得答案．【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣，∴a2020b2019＝（ab）2019•a＝[（+2）（2﹣）]2019•（+2）＝﹣（+2）＝﹣﹣2．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的乘法以及积的乘方与同底数幂的乘法．注意掌握积的乘方与同底数幂的乘法公式的逆用．类型（二）阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）请用两种不同的方法化简：；（2）化简：．【分析】（1）利用分母有理化和平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）方法一：原式＝＝﹣；方法二：原式＝＝﹣；（2）原式＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．类型（三）先阅读然后解答问题：化简解：原式＝根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简：（2）化简：．【分析】（1）把4写成2，把9写成4+5，根据完全平方公式配方即可求解；（2）把算式平方然后再求算术平方根即可得解．【解答】解：（1），＝，＝，＝﹣2；（2）∵（）2，＝4++2+4﹣，＝8+2，＝10，∴＝．【点评】本题考查了二次根式的化简，读懂并理解题目信息，根据完全平方公式把被开方数整理成完全平方的形式是解题的关键，难度较大．考点四：分式的意义例3：若分式的值为0，则x的取值为（）A．x≠1B．x≠﹣1C．x＝1D．x＝﹣1【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣1＝0，且x+1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，解得：x＝1，故选：C．[来源:Z§xx§]【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．考点练习：1．若分式的值为零，则x的值是（）A．2或﹣2B．2C．﹣2D．4【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：由x2﹣4＝0，得x＝±2．当x＝2时，x2﹣x﹣2＝22﹣2﹣2＝0，故x＝2不合题意；当x＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝（﹣2）2﹣（﹣2）﹣2＝4≠0．所以x＝﹣2时分式的值为0．故选：C．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．2．分式与都有意义的条件是（）A．x B．x≠﹣1C．x且x≠﹣1D．以上都不对【分析】根据分式的分母不能为零分式有意义，可得答案．【解答】解：由分式与都有意义，得2x﹣3≠0且x+1≠0，解得x≠，x≠1，[来源:]故选：C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不等于零是分式有意义的条件．3．当x＝9 时，分式的值等于零．【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：∵|x|﹣9＝0，∴x＝±9，当x＝9时，x+9≠0，当x＝﹣9时，x+9＝0，∴当x＝9时分式的值是0．[来源:Z#xx#]故答案为9．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．考点五：分式的计算例4：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣．【分析】（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．【解答】解：（2）原式＝•＝，当x＝1+，y＝1﹣时，原式＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤．考点练习：1．已知a+＝1+，求a2+的值．【分析】根据题目中的式子，两边平方整理化简即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a+＝1+，∴∴∴a2+＝9+2．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．。
整式、分式、二次根式
第二讲 整式、分式一、课标下复习指南 (一)代数式1．代数式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式．2．求代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值． 3．代数式的分类(二)整式1．整式的有关概念(1)单项式及有关概念由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式．单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数．(2)多项式及有关概念几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数．(3)同类项的概念 多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项．2．整式的运算(1)整式的加减 ①合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．②添(去)括号法则如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．③整式的加减几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项．(2)整数指数幂及其运算性质①整数指数幂正整数指数幂：⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅==),2(),1(为正整数个n n a a a a n aa n n零指数幂：10=a (a ≠0)．负整数指数幂：n n aa 1=-(a ≠0，n 为正整数)． ②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数) a m ·a n ＝a m ＋n ： (a m )n ＝a mn ；(ab )m ＝a m ·b m ． a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0)． (3)整式的乘法①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式．②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．④乘法公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；常用的几个乘法公式的变形：a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ．(4)整式的除法(结果为整式的)①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式．②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．3．因式分解的概念 (1)因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解．②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号．③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法： a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2：*③十字相乘法：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法：ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)．(当b 2－4ac ≥0时，,2421a acb b x -+-=)2422aac b b x ---=(3)因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用乘法公式分解；③对于二次三项式，可先尝试用十字相乘法分解；④检查每一个因式是否都已分解彻底，是否符合要求．必要时，可用多项式的乘法运算从结果逆推回去，以检验因式分解所得结果是否正确． 4．分式(1)分式的有关概念①分式：若A 和B 均为整式(其中B 中含有字母)，则形如BA的式子叫做分式． 注意 对于一个分式BA，字母的取值必须使分母B 的值不为零． ②最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注意 关于分式概念的应用，一般有以下几种： 分式有意义⇔分母≠0； 分式无意义⇔分母＝0；分式值为0⇔⎩⎨⎧≠=.0,0分母分子分式值为1⇔⎩⎨⎧==.0,分母分母分子分式值为正⇔分子、分母同号． 分式值为负⇔分子、分母异号．(2)分式的基本性质分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． (3)分式的运算①加减法：bd bc ad d c b a ±=±．特别地，当b ＝d 时，b c a b c b a ±=±． ②乘法：⋅=bdacd c b a . ③除法：bcadc d b a d c b a ==÷.(此法则将分式的除法转化为乘法)． ④乘方：n nn b a ba =)((n 为正整数)．二、例题分析例1 下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12；(2)a 6÷a 3＝a 2；(3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9；(5)(－ab 2)2＝ab 4；(6)⋅=-22212x x A ．无 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解 A ．说明 整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆．其原因是做题时不按性质做，而是跟着感觉走，必须培养良好的做题习惯．例2 如果关于x ，y 的单项式2ax my 与5bx 2m －3y 是同类项，(1)求(9m －28)2009的值；(2)若2ax m y ＋5bx 2m －3y ＝0，并且xy ≠0，求(2a ＋5b )2009的值． 解 ∵2ax m y 与5bx 2m －3y 是同类项， ∴2m －3＝m ．解得m ＝3． (1)(9m －28)2009＝(9×3－28)2009＝－1．(2)∵m ＝3，且2ax my ＋5bx 2m －3y ＝0， ∴2ax 3y ＋5bx 3y ＝0，即(2a ＋5b )x 3y ＝0． 又∵xy ≠0，∴2a ＋5b ＝0． ∴(2a ＋5b )2009＝02009＝0．说明 此题考查了同类项的概念，要注意同类项与单项式的系数无关．在合并同类项时，只要将它们的系数合并，而字母及字母的指数不变．例3 计算： (1);)3()41(212335a b a b a -⋅-÷ (2)(3xy 3－9x 4y 2)÷3xy －(x 2－2xy )·4x 2．解 (1)原式＝23359)41(21a b a b a ⋅-÷.189)4(21242335b a a ba b a -=⋅-⨯=(2)原式＝y 2－3x 3y －4x 4＋8x 3y＝y 2＋5x 3y －4x 4．说明 正确运用幂的运算法则是进行幂的运算的关键．单项式相乘除时，要注意运算顺序，先做乘方，然后按从左到右的顺序做乘除法．例4 计算：(1)8x 2－(x －2)(3x ＋1)－2(x ＋1)(x －5)； (2)(a ＋b －1)(a －b ＋1)－a 2＋(b ＋2)2． 解 (1)原式＝8x 2－(3x 2－5x －2)－2(x 2－4x －5) ＝8x 2－3x 2＋5x ＋2－2x 2＋8x ＋10 ＝3x 2＋13x ＋12．(2)原式＝[a ＋(b －1)][a －(b －1)]－a 2＋(b ＋2)2 ＝a 2－(b －1)2－a 2＋(b ＋2)2＝(b ＋2)2－(b －1)2＝(b ＋2＋b －1)(b ＋2－b ＋1) ＝(2b ＋1)×3＝6b ＋3．说明 在整式运算中，要注意：(1)灵活运用运算律、运算法则和乘法公式，寻找合理、简捷的运算途径；(2)利用乘法公式进行计算时，要分析式子的特点，正确选择公式，尤其要注意公式中字母的顺序及符号；(3)当几个多项式乘积前面出现负号时，处理负号的方法是可将负号视为(－1)先与其中的一个因式相乘，或将负号后面的多项式结合在一起先相乘，然后利用去括号法则去括号．例5 把下列各式分解因式：(1)6(a －b )2＋8a (b －a )； (2)(x ＋y )2－4(x ＋y )＋4； (3)16x 2－(x 2＋4)2； (4).4412+-x 解 (1)原式＝6(a －b )2－8a (a －b ) ＝2(a －b )[3(a －b )－4a ] ＝2(a －b )(3a －3b －4a ) ＝－2(a －b )(a ＋3b )．(2)原式＝[(x ＋y )－2]2＝(x ＋y －2)2． (3)原式＝(4x )2－(x 2＋4)2 ＝[4x ＋(x 2＋4)][4x －(x 2＋4)] ＝－(x 2＋4x ＋4)(x 2－4x ＋4) ＝－(x ＋2)2(x －2)2．(4)原式)16(412--=x).4)(4(41-+-=x x说明 (1)分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止(每个因式分别整理、化简后，一般要按降幂排列)；(2)如果多项式最高次项的系数是负数，一般要提出负号，使括号内该项的系数是正数；(3)遇到有多项式乘方时，应注意下面的规律：(b －a )2k ＝(a －b )2k ；(b －a )2k ＋1＝－(a －b )2k ＋1(k 为整数)．(4)注意换元思想在因式分解中的应用：将题目中相同的代数式看成一个整体去提取公因式、运用乘法公式或进行十字相乘．例6 (1)当x 取何值时，分式6532+--x x x 无意义?(2)当x 取何值时，分式12922---x x x 有意义?值为零?解 (1)要使分式无意义，只需x 2－5x ＋6＝0．解得x 1＝2，x 2＝3．∴当x ＝2或x ＝3时，分式无意义．(2)要使分式有意义，只要使x 2－x －12≠0，解得x ≠－3且x ≠4． ∴当x ≠－3且x ≠4时，分式有意义．要使分式的值为零，只⎪⎩⎪⎨⎧=/--=-.012,0922x x x解得⎩⎨⎧≠-=/-==.43,33x x x x 且或∴当x ＝3时，分式的值等于零．说明 (1)确定分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式；(2)只有当字母的取值使分子的值等于零且分母的值不等于零时，分式的值才等于零；(3)注意准确使用“或”和“且”字．例7 计算： (1)2121111x x x ++++-； (2)⋅--++--÷++-+296.4144222222x x x x x x x x x x 解 (1)原式212)1)(1(11x x x x x +++--++=)1)(1()1(2)1(21212222222x x x x x x +--++=++-= 414x-=． (2)原式.1)2)(2(.)2()2)(1(2--+++-=x x x x x x ⋅+++=++=-++1961)3()2)(1()3(222x x x x x x x x说明 对异分母的分式相加减时，一般先通分，变为同分母的分式，然后再加减．对于某些具体的分式运算也可以采取一些特殊的方法，如(1)题采用逐步合并的方法．对于分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一为乘法，最后再进行约分，如(2)题．对于运算结果，一般的，二次的多项式应乘开．例8 已知12-=a ，化简求值：⋅+-÷++--+-24)44122(22a a a a a a a a解法一 原式42])2(1)2(2[2-+⨯+--+-=a a a a a a a 41)212(-⨯+---=a a a a a ⋅+=-⨯+-=)2(141)2(4a a a a a a .122,12+=+∴-=a a ∴原式.1)12)(12(1=+-=解法二 由12-=a ，得21=+a ，平方，移项，可得a 2＋2a ＝1．∴将原式化简为aa 212+后，立即得其值为1． 例9 已知x ＋y ＝－4，xy ＝－12，求+++11x y 11++y x 的值． 解 原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y＝1121222++++++++y x xy x x y y1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式，∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2说明 求代数式的值的问题，一般先将所求代数式进行化简，然后利用已知条件求值．在使用条件时有三种方式：(1)将已知条件直接代入计算；(2)将已知条件变形后再代入计算；(3)将已知条件整体代入再计算求值．例10 已知321=+xx ，求441x x +的值．解 2)1(122244-+=+xx x x2]2)32[(2]2)1[(2222--=--+=xx＝102－2＝98．说明 此题是反复运用完全平方公式把所求代数式变形，使问题得解． 三、课标下新题展示例11 在解题目“当x ＝1949时，求代数式x x x x x x x 122444.222-+-÷-+-＋1的值．”时，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说得有道理吗?请说明理由．解 聪聪说得有道理．∵原式11)2(2.)2)(2()2(2+--+-+-=xx x x x x x ,1111=+-=xx ∴只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1．例12 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第＝分钟收费a (a ＜8)元，之后的每＝分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是( )．A ．ba-8分钟 B ．b a +8分钟 C ．bba +-8分钟D ．bba --8分钟解 C ．说明 用代数式表示实际问题中的数量关系，是一类常见的考题．二次根式一、课标下复习指南 (一)二次根式的有关概念 1．二次根式形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式． (二)二次根式的主要性质1．)0(≥a a 是一个非负数； 2．);0()(2≥=a a a 3．⎩⎨⎧<-≥==);0(),0(||2a a a a a a4．);0,0(≥≥⋅=b a b a ab5．);0,0(>≥=b a ba ba6．若a ＞b ≥0，则.b a > (三)二次根式的运算1．二次根式的加减二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． *3．分母有理化把分母中的根号化去，分式值不变，叫做分母有理化．常用的二次根式的有理化因式： (1)a 与a 互为有理化因式；(2)b a +与b a -，一般的，b c a +与b c a -互为有理化因式；(3)b a +与b a -，一般的，b d a c +与b d a c -互为有理化因式． 二、例题分析例1 当x 为何值时，下列代数式有意义? .1)2(;322)1(232x x x x x -+----解 (1)欲使3222---x x x 有意义，只要使⎩⎨⎧=/--≥-.032,022x x x 即⎩⎨⎧≠-=/≥.31,2x x x 且 解得x ≥2且x ≠3． ∴当x ≥2且x ≠3时，3222---x x x 有意义．(2)欲使231x x -+-有意义，只要使－x 2≥0，解得x ＝0． ∴当x ＝0时，231x x -+-有意义．说明 代数式有意义的条件：分式有意义的条件是分式的分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；由实际意义得到的代数式还要符合实际意义．例2 化简：(1);14962123xx x x x -+ *(2)已知1＜x ＜2，化简122+-x x .442x x +-+ 解 (1)原式x x x x x x 4221-+=x x 23-=(2)∵1＜x ＜2，∴x －1＞0，2－x ＞0． 224412x x x x +-++-∴22)2()1(x x -+-=＝|x －1|＋|2－x |＝(x －1)＋(2－x )＝1．说明 (1)二次根式的化简要考虑最简二次根式的两个条件，根号内是多项式时，要考虑是否是完全平方式；(2)化简2a 时，要考虑字母a 的取值范围；(3)在二次根式运算中，根号外的因式可以平方后作为被开方数的因式移进根号内，从而使运算简化．例3 计算：(1);22)8321464(÷+- (2)+⋅-+-5()625()2332(202.)6219 解 (1)原式22)262264(÷+-=.232+=(2)原式＝5)(625[()1861212(-++-62561230)625()]6219-+-=-⋅+.61435-=说明 整式和分式的运算性质在二次根式的运算中同样适用，乘法公式、分配律、约分等都有可能简化运算过程，要根据式子的结构特征灵活使用．例4 已知xy ＝3，求yxyx y x+的值． 分析 因为xy ＝3，所以x ，y 同正或同负，要分情况讨论． 解 当x ＞0，y ＞0时， 原式.322==+=xy xy xy 当x ＜0，y ＜0时，原式.322-=-=--=xy xy xy 综上可知，原式.32±= 三、课标下新题展示例5 若n 20是整数，则满足条件的最小正数n 为( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解 D ．说明 对于二次根式的性质：||);0()(22a a a a a =≥=，会有多种形式进行考查，要熟练掌握．例6 对正实数a ，b ，定义,*b a ab b a +-=若4*x ＝44，则x 的值是______． 解 依题意，得.4444=+-x x 整理，得.484=+x x 变形，得.4912)(2=++x x.49)1(2=+∴x71=+∴x 或,71-=+x 6=x 或8-=x (舍)． ∴x ＝36．经检验，x ＝36是原方程的解． ∴x 的值是36．说明 此题考查了阅读理解能力、完全平方公式、二次根式的性质、配方法解方程，是一道代数综合题，要求每个基本知识点都熟练掌握．四、课标考试达标题(一)选择题1．下列各式中正确的是( )． A ．－2(a －b )＝－2a －b B ．(－x )2÷x 3＝xC ．xyz ÷(x ＋y ＋z )＝yz ＋xz ＋xyD ．(－m －n )(m －n )＝n 2－m 2 2．下列等式中不成立的是( )．A ．y x y x y x -=--22 B ．y x yx y xy x -=-+-222 C ．y x yxyx xy -=-2 D ．xyx y y x x y 22-=-3．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中是完全对称式的是( )． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．用配方法将代数式a 2＋4a －5变形，结果正确的是( )． A ．(a ＋2)2－1B ．(a ＋2)2－5C ．(a ＋2)2＋4 D ．(a ＋2)2－95．已知411=-b a ，则ab b a b ab a 7222+---的值等于( )．A ．6B ．－6C ．152D ．72-(二)填空题6．某公司2009年5月份的纯利润是a 万元，如果每个月纯利润的增长率都是x ，那么预计7月份的纯利润将达到______万元(用代数式表示)． 7．多项式9x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是______ (填上一个正确的即可)．8．若2x＝3，4y＝5，则2x －2y的值为______． 9．观察下面的单项式：x ，－2x 2，4x 3，－8x 4，…根据你发现的规律，写出第7个式子是______．10．已知),3,2,1()1(12=+=n n a n ， b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出b n 的表达式为b n ＝______．(用含n 的代数式表示) (三)解答题 11．求63)(41)(21ba b a b a b a --++++-的值，其中|a －1|＝－(b ＋2)2．12．在实数范围内分解因式：(1)4x 4－1；(2)x 2＋2x －5．13．观察下列等式：,322322,211211-=⨯-=⨯＝.,433433 -=⨯(1)猜想并写出第n 个等式；(2)证明你写出的等式的正确性．14．按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律?(1)填写表内空格：(2)发现的规律是：(3)用简要的过程证明你发现的规律．(一)选择题1．在根式⑤④③②①;2;15;;5223ab a a -2;12a a ⑥中，最简二次根式是( )．A ．②③⑤B ．②③⑥C ．②③④⑥D ．①③⑤⑥2．如果最简根式ab b -3和22+-a b 是同类二次根式，那么a 、b 的值分别是( )．A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－23．下列各式中，运算正确的是( )． A ．553322=+ B ．236=÷ C ．632=D ．12233=-(二)填空题4．当x 满足______条件时，32++-x x在实数范围内有意义． 5．若式子|2|)1(2-+-x x 化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是______． 6．已知x 为整数，且满足32≤≤-x ，则x ＝______．7．观察下列各式：=+=+412,312311514513,413=+…请你将发现的规律用含自然数n 的等式表示出来______．(n ≥1)(三)解答题 8．计算：.)2(xy yxxyxy ⋅+-9．化简：.)23(36329180-++--10．先化简，再求值：423)225(--÷---a a a a ，其中.33-=a。
5、不等式解法1(整式、分式、根式)
精心整理§6.5不等式的解法（一）【一线名师精讲】 基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。
2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求出对应方程的根。
（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。
方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。
即“奇过偶不过”。
（4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为0)())((21>---n x x x x x x a 的解，数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a 的解。
（二）、分式不等式的解法 标准形式：0)()(>x f x g ，或0)()(<x f x g 。
解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将分式不等式转化为整式不等式求解。
若分母的正负可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以)；≥00 解析：将0)1)(3(<-+x x 化为标准形式0)1)(3(>-+x x ，易得：1,3>-<x x 或。
由222+<x x 得01)1(2>+-x ，所以R x ∈。
综上所述，原不等式组的解集为{}13|>-<x x x 或，。
（2）解析：由已知，0)4)(2()3(2≥-+-x x x ， 用数轴穿根法易得原不等式的解集为： 误区警示：若不化为标准形式求解，易将解集错写为{}42|≤≤-x x 。
另外，建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉3=x 这类解。
（3）思路导引：解分式不等式的关键是去分母。
但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法较好。
2.分式方程与根式方程
3、解无理方程的注意点
在解根式方程后必需检验,这是因为从根式 方程到有理方程的转化有时不是等价的.
典
例4（1）解方程 x 7 x 1
型
例
x 7 (x 1)2 *
解： x 7 0
x 1 0
题
为什么会产 生增根？
解得 x 2 （ x 3 为增根 ）
此题也可先解出方程*的根， 再代回原方程检验.
例
解： 移项得 3x 2 3 x 3
题
两边平方，整理得 3 x 3 7 x
再两边平方，化简得 x2 23x 22 0
解得 x1 1, x2 22 经检验 x1 1 为原方程的根，
x2 22 是增根. 方程一边出现两个根号时要先移项.
解无理方程的思路是：
无理 方程
去根号
有理 方程
新高一数学
第二讲 分式方程与根式方程
内容概况
两边同乘以最简公分母、
分式方程
换元
整式方程
两边平方、换元
根式方程
有理方程
一、分式方程的解法
知
1、什么是分式方程
识
要
分母中含有未知数的方程叫分式方程. 点
2、分式方程的解法
我们可通过将方程两边同乘以最简公分母 或者换元将分式方程转化为整式方程.
3、解分式方程的注意点
一化二解三检验
课
堂
小
1.两种方程分式、根式方程的解法
结
2.一个方法——换元
3.一个思想——等价转化的数学思想
新高一数学
原方程可化为
t 3 2 t
题
即 t 2 2t 3 0
解得 t1 3, t2 1
所以
x2 2 2x2 1
分式与二次根式
分式、二次根式一、考点分析：1. 分式的概念及性质：（1）能确定分式有意义；（2）分式值为零的条件；（3）利用分式的基本性质进行约分和通分。
2. 解分式方程3. 分式的运算：分式的加减乘除运算4. 分式方程的实际应用：（列分式方程解应用题）5.二次根式及其性质：（1）二次根式有意义，则被开方数为非负数；6.二次根式的加、减、乘、除混合运算。
二、考点总结：纵观北京市近三年中考题，对分式的考查内容主要是确定分式有意义或分式值为零的条件，尤其重视对分式方程解法的考查，一般在中考的第14题出现，如果解答题中未出现解分式方程，则在解答题“列方程和方程组解应用题”中会考查分式方程应用题，而对二次根式的考查内容主要是确定二次根式有意义的条件。
其他内容如分式的基本性质、二次根式的运算出题较少，但应引起足够的重视。
三、典型例题：例1：（2011年北京中考）若分式x x 8-的值为0，则x 的值等于___________ 例2：（2010年北京中考）若二次根式12-x 有意义，则x 的取值范围是 例3：（2010年房山区一模）在函数12-+=x x y 中，自变量x 的取值范围是 例4：（2010年北京中考）解分式方程423-x -2-x x =21例5：（2011年朝阳二模）解分式方程11612+-=-x x x例6：（2008年北京中考）已知x －3y ＝0，求)(2222y x yxy x y x -+-+⋅的值例7：（2011年东城一模）：先化简，再求值：1)1213(22-÷-+-x x xx x x ，其中13-=x例8：（2011北京中考）列方程或方程组解应用题：京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车。
已知小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的73，小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？例9：（2011年东城一模）列方程或方程组解应用题：随着人们节能意识的增强，节能产品进入千家万户，今年1月小明家将天燃气热水器换成了太阳能热水器．去年12月份小明家的燃气费是96元，从今年1月份起天燃气价格每立方米上涨25%，小明家2月份的用气量比去年12月份少10立方米，2月份的燃气费是90元．问小明家2月份用气多少立方米．四、习题巩固：（一）选择题： 1.0312=++-y x ，则2()xy -的值为A.－6B. 9C.6D. －92.若31-+a 在实数范围内有意义， 则a 满足的条件是（ ）A 2=aB 2≥aC 4-≤aD 2≥a 或4-≤a3.下列计算正确的是A ．44a a a ÷=B ．325(2)4a a =C ．223355+=D ．1025÷=4.已知分式 11x x -+的值是零，那么x 的值是 A ．1 B. 0 C. －1 D. 1±（二）填空题1. 若分式2x 4x 2--的值为0，则x 的值为 2. 若分式223x x --有意义,则x 的取值范围是 3. 若x5-有意义时，x 的取值范围是________.（三）计算题1.解分式方程311323162x x -=--2.解分式方程2111x x x =-+-3.已知21(2)02a b -++=，求2()(2)(2)()(32)a b a b a b a b a b +--+++-的值4.当x ＝9，y ＝4时，求代数式3222234141y xy y x xy y x x +++++的值5. 化简：=-+---1)2)(1(31x x x x ，并指出x 的取值范围6. 已知a 2+2a=4，求121111122+-+÷--+a a a a a 的值7. 已知22690x xy y -+=，求代数式2235(2)4x y x y x y +⋅+-的值8.当x ＝2010时，求代数式1x 12x x )12x 1(22-++÷-+的值9.某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．根据以上信息，原来报名参加的学生有多少人？10.列方程（组）解应用题“五一”期间某校学生到相距学校10千米的“老年公寓”开展“献爱心”活动，部分同学骑自行车从学校出发，20分钟后另部分同学乘汽车从学校出发，结果乘汽车的同学比骑自行车的同学提前10分钟到达“老年公寓”．已知汽车速度是自行车速度的4倍，求两种车的速度各是多少？11.列方程或方程组解应用题：根据城市规划设计，某市工程队准备为该城市修建一条长4800米的公路. 铺设600 m后，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，该工程队增加人力，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果9天完成任务，该工程队原计划每天铺设公路多少米？12.列方程或方程组解应用题：在2011年春运期间，我国南方发生大范围冻雨灾害，导致某地电路出现故障，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米，抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车每小时分别行驶多少千米．。
第3讲 分式与二次根式
数与式
第3课时 分式与二次根式
知识点一：分式的概念及其性质 1. 分式的概念：形如AB(A，B 都是整式，且 B 中含有字母，B≠0)
的式子，叫做分式，其中 A 叫做分式的(1) 分分子子 ，B 叫做分 式的(2) 分分母母 .
【例 1】下列各式中，是分式的是( C )
3 A. 5
x2－x＋2 B. 3
13. 若(a＋ 2)2 与|b＋1|互为相反数，则b－1 a的值为 2＋＋1 1 ． 14. 当 1＜x＜4 时，|x－4|＋ x2－2x＋1＝ 3 .
15. 计算：(－3)2－51－1＋(－2)0.
解：原式＝9－5＋1＝5.
16. 计算：x－1 4－x2－2x16.
解：原式＝x－1 4－（x－4）2x（x＋4） ＝（x－x＋ 4）4－ （2xx＋4） ＝（x－4）4－（xx＋4）＝－x＋1 4.
ab××dc
ad ＝(23) bc
.
③分式的乘方：把分式的分子、分母分别(24)
an ＝(25) bn .
乘乘方方
. 即：abn
④分式的加减乘除、乘方混合运算：先算(26) 乘方 ，再算
(27) 乘乘除 ，最后算(28) 加加减减 . 有括号的先算(29)
括括号号里里 的顺序. 要保证最后结果为(30) 最最简简分式 .
有( BB )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
3. 下列各式中，正确的是( DD )
A. －－53yx＝－3x5y
B. －a＋c b＝－ac＋b；
C. －ac－b＝a－c b
D. －b－a a＝a－a b
4. 下列各式中属于最简二次根式的是( A ).
第三讲：分式和二次根式
3 m 1 (2) m 4 m 4
分式的加减法： 同分母加减法： a b a±b ± ＝ c c c __________________； 异分母加减法：
b d bc±ad ± ＝ __________________． a c ac
(3)
3 m 1 2 m4 m 4
1 ∴x－ ＝± 5. x
1 1 练习： （2012浙江绍兴）化简 可得【 B】 x x 1
1 A． 2 x x
1 B． x 2 x
2x 1 C． 2 x x
2x 1 D． 2 x x
分式的运算 例2、请从下列三个代数式中任选两个，分别作为分子、 分母构成一个分式，并将分式化简：
x -1
2
x - 的二次根式，一般都要化成最简二次根式． 最简二次根式，需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
1. (2008年· 上海)函数 y
2、下列计算正确的是（ D）
x 的定义域是 x>-1 . x 1
A.2 3 3 2 5 5, C .5 3 2=5 6, 5
B. 8 2 2, D.
6
2
-6
3、(2012·南通) 计算： 48÷ 3－
1 × 12＋ 24 2
解 原式＝ 16－ 6＋2
6＝4＋ 6.
4、(2011·烟台) 如果 （2a－1） ＝1－2a，则 1 1 A．a＜ B. a≤ 2 2 1 C．a＞ 2 1 D. a≥ 2
2
知识点：分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)________________ 整式 同一个不等于零的 A A×M A A÷M ＝ ，＝ (M 是不等于零的 分式的值不变，用式子表示为：_______________ B B×M B B÷M (M 是不等于零的整式)
新高一数学暑假提升讲义06 从分式,根式的意义到函数的定义域(原卷版)
新高一数学暑假提升讲义06 从分式，根式的意义到函数的定义域【基础内容与方法】1.分式的的意义和根式的意义在专题三已有详述．2.函数的概念：设A，B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记法为：y＝f(x)，x∈A．3.定义域：x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域．这里要指出，函数定义中强调“三性”----任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．4.方法指引(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化；(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．类型一：依据函数形式结构来进行定义域的求取方法：利用函数的形式结构，从分式，根式的意义来找限定条件．例1：求下列函数的定义域：(1)y ＝1x+1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3．类型二：已知f (x )的定义域，求f [ϕ(x )]的定义域方法：指出:若已知()x f 的定义域x ∈(a,b )，求()[]x f ϕ的定义域，其方法是：由a <ϕ(x ) < b 求得x 的范围，即为()[]x f ϕ的定义域．例2：已知函数()x f 的定义域为[1, 4]，求)21(+x f 的定义域．考点练习一：1．函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________． 3．求下列函数的定义域：(1)y ＝2＋3x －2；(2)y ＝3－x ·x －1；(3)y ＝(x －1)0＋ 2x ＋1.4．试求下列函数的定义域：(1)f (x )＝(x －1)2＋1；(2)f (x )＝5x ＋4x －1；(3)f (x )＝x －x ＋15．记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，求A ．考点练习二6. 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞) D．（0,4]7．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．8．若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．9．若函数f （2x ）的定义域是[-2，2]，则函数y =f （x +1）的定义域是 ______．10．若函数f (x )＝3x －1mx 2＋x ＋3的定义域为R ，则m 的取值范围为多少？ 11．已知函数f (x )的定义域为[-1, 2]，求g (x ) = f (x ) + f (-x )的定义域.12．已知f（x+1）的定义域为（2，4），（1）求f（x）的定义域；（2）求f（2x）的定义域．。
根式分式章节知识点总结
根式分式章节知识点总结根式分式是数学中的一个重要概念，涉及到有理数和无理数的运算。
在这篇文章中，我将总结根式分式的主要知识点，包括定义、性质、简化和运算等内容。
一、根式的基本概念1.根式的定义：根式是表示一个数的平方根、立方根、n次根的表示式。
例如，√2、³√8、⁴√16等都是根式。
2.根指数与根式：根指数是指根式中的指数，如²√4、³√27中的指数分别是2和3、根指数为奇数时，根式的值可以是正数或负数；根指数为偶数时，根式的值只能是正数。
3.幂与根式的关系：一个数的n次方和它的n次根是互为逆运算的，即若a^n=b，则b^1/n=a。
二、根式的性质1.幂的运算律：对于任意非负数a、b和正整数m、n，有以下运算律：a^m*a^n=a^(m+n)（幂的乘法法则）a^m÷a^n=a^(m-n)（幂的除法法则）(a^m)^n=a^(m*n)（幂的乘方法则）2.根式的运算律：对于任意正数a、b和正整数m、n，有以下运算律：√(a*b)=√a*√b（根式的乘法法则）√(a/b)=√a/√b（根式的除法法则）(√a)^m=√(a^m)（根式的乘方法则）三、简化根式1.互素指数：如果一个根式的指数和底数之间没有公因数，可以约分。
例如，√50可以约分为√(5*10)=√5*√10。
2. 合并根式：如果一个根式的指数是偶数，可以将其拆分成两个根式的乘积。
例如，√(ab^2) 可以拆分为√a * √(b^2) = √a * b。
3.有理化分母：将分母含有根式的分数转化为分母不含根式的形式。
例如，1/√2可以有理化为(√2/2)。
4.化简根式：通过对根式中的数进行因式分解，可以将根式化简。
例如，√50可以化简为5√2四、根式的数值运算1.根式的加减法：当根指数相同，并且底数相同（或互素）时，可以进行加减运算。
例如，√5+√5=2√5，√2-√3则是不能进行运算的。
2.根式的乘法：将根式看作一个整体进行运算，对底数和指数进行运算。
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初高中衔接知识训练三
分式、根式
（一）分式：一 、分式知识要点
1．分式的有关概念
设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简 2.分式的基本性质
;A A M B B M
⨯=⨯
A A M
B B M
÷=÷ (M 为不等于0的整式)
3．分式的运算
(分式的运算法则与分数的运算法则类似)． ①
a c ac
b d bd
⋅=； ②
a c ad bc b
d
bd
±±
=
；（异分母相加，先通分）；
③ a c a d ad b d b c bc ÷=⋅= ； ④ ()n
n n a a
b b
=
4．零指数
5. 繁分式形如
a
b c d
+，2m n p m n p
+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。
二、 典型例题 例1 化简 (1)
11x x x x x
-+
-
（2）
3
2
4
11241
1
1
1
x x
x x x x +
+
+
-+++
（3）3
2
3396127
629x x x x x x
x x
++-+
-
-+-
例2计算： （1）1111
(1)
(1)(2)
(2)(3)
(9)(10)
a a a a a a a a +
+
++
+++++++
（2） 2
2
2
2
111121
32
43
x x
x x x x x x +
-
-
+++++++
三、 巩固练习 1 化简 2
11
a
a a ---
2 （1）为何值时，分式
1111
x -
+有意义？ （2）3(1)x -中的x 满足什么条件?
3 当为何值时，分式2
26
x x x -+-的值为零
4 计算：111112
23
34
99100
+
+
+⨯⨯⨯⨯
5 化简 2
2
2
222a b c b c a c a b a ab ac bc
b ab b
c ac
c ac bc ab
------+
+
--+--+--+
（二）根式：一 、 根式的知识要点
1.
0)a ≥的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非
负数时， 2. 二次根式的性质：
①2(0)a a =≥
(0)0
(0)(0)
a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩
0,0)a b =≥≥
0,0)a b ≥>
3. 二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减． （1）二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
（2
0,0)a b =≥≥
（3
0,0)a b =
≥≥
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
二 、 典型例题 例1． （1
（2）已知：
2
1
a a +
--
例2 ．（1）已知：
的值．
（2）已知、是实数，且
2
3
x
+
+
，求56
x y
+的值．
三、巩固练习
一、填空题：（每小题2分，共20分）
1．当______时，2
a a
-=-．
2=-______．
3．比较--_______．
4．分母有理化：
（1）
=__________；（2）=__________；（3=__________．
(4)
= ;(5) = .
5．已知3,4,5
x y z
===．
6．若
6
x-
有意义，则的取值范围是___________．
二、选择题：（每小题2分，共20分）
1．下式中不是二次根式的为（）
A．B0)
a<；C；D
2．化简
-）
A
B -
C
D -
3．2
(的值为（）
A．a B．a
-C．D．
4的取值范围是（）
A
2
3
x>且3
x≠ B
2
3
x≥ C
2
3
x≥且3
x≠ D
2
3
x≤且3
x≠-
5．计算(1) 2
2
3
2
2
3+
+
-; (2) 3
2
7
3
2
7+
+
-。