三角函数的诱导公式教案

三角函数的诱导公式(第一课时)
教学目标：
1、知识目标：理解四组诱导公式及其探究思路，学会利用四组诱导公式求解任意角的
三角函数值，会进行简单的化简与证明。

2、能力目标：培养学生数学探究与交流的能力，培养学生直觉猜想与抽象概括的能力。

3、情感目标与价值观：通过不断设置悬念、疑问，来引起学生的困惑与惊讶，激发学
生的好奇心和求知欲，通过小组的合作与交流，来增强学生学习数学的自信心。

教学重点：理解四组诱导公式
利用四组诱导公式求任意角的三角函数值和简单的化简与证明。

教学难点：四组诱导公式的推导过程
为了区分下节课的几组公式，要理解为何名称不变 理解确定符号的方法
教学方法：启发式结合讨论式教学方法，结合多媒体课件演示 教学工具：多媒体电脑，投影仪 教学过程:
一．问题情景：
回顾前面已经学习的理论知识，我们已经学习了任意角的三角函数的定义，学
习了三角函数线，还有同角三角函数关系，但是我们还有一个关键问题没有解决，那就是：我们如何来求任意角的三角函数值呢？
二．学生活动： 小组讨论：
1、找出我们可以解决的和目前无法解决的
2、对于还无法解决的，可否借助前面学习的知识求解
3、这些角之间有何关联 教师指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道角的终边和单位圆的交点的
坐标就是角对应的三角函数值，大家先画出一个单位圆，然后把第一个角的终
边画出来，它和单位圆的交点记为（00,x y ），然后我们以每两排为一组前后左
右可以相互讨论，分别画出另外四个角的终边和单位圆的交点，每组画一个，然后每组推出一名代表发言，看看你在画图的时候发现了什么。

（给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角和开始的锐角的关系） 三．意义建构： 教师指导：请每组推出的代表发言。

（按顺序，没合适人选时，教师可以随机指出一名代表）
第一组：由画图发现0
390的角的终边和
6
π的终边是重合的，它们相差0
360，由三角函数定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等，表中第二列和第一列值相同。

教师指导：第一组总结的很好，我们可否也把它推广到任意的角呢？总结一下就是“终边相
同的角的三角函数值相同”，如何用符号表示？ 诱导公式一: απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k
απαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ） 教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充） 作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0
00360之间角的
正弦、余弦、正切，其方法是先在0
00
360内找出与角α终边相同的角再把它写成诱导公
式（一）的形式，然后得出结果简单来说就是“大化小”。

此处还可以得出三角函数是“多对一”的单值对应，为下面研究函数的周期性打下铺垫。

（此处引出本节课题，在运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用） 第二组：由画图发现0
30-的角的终边和
6
π
的终边是关于x 轴对称的，由三角函数定义可知,它们的余弦值相等，正弦值和正切值互为相反数。

教师指导：第二组总结的也不错，我们可否也把它推广到任意的角？总结一下就是“函数名
不变，正号是余弦”，如何用符号表示？
诱导公式二： αα-sin sin(=-）
ααcos cos(=-）
ααtan tan(
-=-） 教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充）
作用：把任意负角的正弦、余弦、正切化为该角正角的正弦、
余弦、正切，其方法是对于正弦和正切直接提出负号，对于余弦可以直接去掉负号，简单来说就是“负变正”。

此处还可以得出正弦函数与正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

第三组：由画图发现
56π的角的终边和6
π
的终边是关于y 轴对称的，由三角函数定义可知,它们的正弦值相等，余弦值和正切值互为相反数。

教师指导：第三组总结的也非常好，我们是否也可以把它推广到任意的角？总结一下就是“钝
角化锐角，正弦不变号”，如何用符号表示？
诱导公式三: ααπsin sin(=-） ααπ-cos cos(=-）
ααπtan tan(
-=-） 教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充）
作用：主要是建立钝角到锐角的一个桥梁，对任意角也是成立的。

第四组：根据画图得到
76π的角的终边和6
π
的终边是关于原点对称的，由三角函数定义可知,它们的正切值相等，正弦值和余弦值互为相反数。

教师指导：第四组总结的很好，我们可以把它推广到任意的角吗？总结一下就是：“第三象
限角，正切不变号”，符号表示？
诱导公式四：ααπ-sin sin(=+）
ααπ-cos cos(=+）
ααπtan tan(
=+） 四．数学理论：
1、 我们今天学习的四组诱导公式：
诱导公式一: απαsin )2sin(=+k
απαcos )2cos(=+k
απαtan )2tan(
=+k （其中Z ∈k ） 诱导公式二： αα-sin sin(=-）
ααcos cos(=-）
ααtan tan(
-=-） 诱导公式三: ααπsin sin(=-）
ααπ-cos cos(=-）
ααπtan tan(
-=-） 诱导公式四：ααπ-sin sin(=+）
ααπ-cos cos(=+）
ααπtan tan(
=+） 教师指导：观察这四组诱导公式，然后回答下列问题：
1、 公式两边具有什么特点
2、 每个公式中符号特点是什么？如何确定符号的？
3、 如何记忆这几组公式？
小结：函数的名称不变，符号判断是把α“看作”锐角时的符号。

口诀：“函数名不变，符
号看象限。

”
2、 思考：公式的互推与转化：
（1） 由公式二、三推导公式四
（2）由公式二、三、四任意两个公式，能否推出另外一组公式？ （此处安排学生思考可以分成三组讨论，中间两组并成一大组。

）
四、 数学应用： 例1、求值 (1)π67sin
(2)π4
11
cos (3))1560tan( - 教师指导：做题之前，仔细想想，遇到不同的角，该选择什么样的公式？使用顺序又是如何？ 解析：（1）71
sin
sin()sin 6662
ππππ=+=-=- （2）1133cos
cos(2)cos cos()cos 44444πππππππ=+==-=
-=（3）00000tan(1560)tan1560tan(4360120)tan120-=-=-⨯+=-
000tan(18060)tan60=--==
总结：一般我们在求解任意角的三角函数值的时候，一般遵循的规则为：“负变正，大化小，
诱导公式到锐角。

” 例2、判断下列函数的奇偶性
(1)x x f cos 1)(-= (2)x x x g sin )(-=
教师指导：回忆判断奇偶性的步骤和注意点，思考与本节课所学习内容的联系（公式二）。

解析：（1）因为函数()f x 的定义域为R ，且
()1cos()1cos ()f x x x f x -=--=-= ，所以()f x 是偶函数。

（2） 因为()g x 得定义域为R ，且
()sin()(sin )(sin )g x x x x x x x -=---=---=--()g x =- 所以()g x 是奇函数。

例3、化简0000sin(1440)cos(1080)cos(180)sin(180)
αααα+-----
教师指导：含字母问题，如何处理？注意和例1的联系。

()()sin(sin sin sin παπααα+=--=-=-⎡⎤⎣⎦）()()cos(cos cos cos παπααα+=--=--=-⎡⎤⎣⎦）()()tan(tan tan tan παπααα
+=--=--=⎡⎤⎣⎦）
解析：原式0000sin(3604)cos(3603)
cos[(180)]sin[(180)]αααα⨯+-⨯=-+-+00sin cos cos(180)[sin(180)]
αααα=+-+
sin cos 1(cos )sin αα
αα
=
=--
变式训练:sin(3)cos(4)
1.
cos(5)sin()
πααπαππα+⋅---⋅--
解析：原式()sin()cos cos(5)[sin ]παα
αππα+=
+-+sin cos 1cos sin αααα
-==-
sin [(21)]2sin [(21)]
2.
()sin(2)cos(2)
n n n Z n n απαπαππα⋅+++⋅-+∈--
解析：原式
（此处学生板书，查漏补缺，第二小题难度较大，因为包含了字母n ，有的同学可能会进行
讨论，这样也是可以的，最关键的是要注意符号。

） 课堂练习:
1、教材20P 1、
2、3 2、已知2
1)cos(-
=+απ，23π<α<2π，则)2sin(απ-=___________________
3、化简sin(2)cos(2)tan(24)ππ-+--⋅-=_________________
4
、00002sin(1110)sin960225)cos(210)---+-=________________ 5、
)
180sin()180cos()
1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα=______________________
六、回顾与反思：
1、本节课学习了哪几组公式？
2、如何记忆这几组公式？
3、任意给出一个角，如何去求解它的三角函数值？步骤是什么？ 七、课后作业：
书第24页13、14两题。

sin[()2]2sin[()2]sin(2)cos(2)
sin()2sin()sin 2sin sin cos sin cos 3 cos n n n n παπαππαππαπααπααααααα+++--=--++---==
=-。