精化双正交Lanczos方法
第七章 特征值问题的迭代解法
在幂迭代中, 我们取 x(m−1) 为近似特征向量. 显然, 如果我们在 Km (A, x(0) ) 中找出 “最佳” 的近似特征向 量, 则收敛速度就可能会大大加快. 下面我们讨论如何在 Km = Km (A, x(0) ) 中寻找 “最佳” 的近似特征向量. 设 A ∈ Rn×n , 并设 Km 和 ˜ x Lm 是 Rn 的两个 m 维子空间. 投影算法就是在寻找 A 的近似特征对 (λ, ˜), 满足下面的 Petrov-Galerkin 条 件 ˜ ∈ C and x find λ ˜ ∈ Km such that ˜x Ax ˜−λ ˜ ⊥ Lm . (7.1)
· 7-4 ·
7.2
Rayleigh-Ritz 算法
事实上, 我们可以在 Km (A, x(0) ) 中找出 m 个最佳近似特征向量及相应的最佳近似特征值. 这些近似 特征值和近似特征向量就是 Ritz 值 和 Ritz 向量. 定义 7.1 设 Km 是 Rn×n 的 一 个 m 维 子 空 间, 它 的 一 组 标 准 正 交 基 为 v0 , v1 , . . . , vm−1 , 并 令 Vm = T ˜ y ) 是 Tm 的一组特征对, 即 Tm y = λy ˜ 且 ∥y ∥2 = 1. 则我们成 [v0 , v1 , . . . , vm−1 ]. 记 Tm = Vm AVm , 设 (λ, ˜ 是 A 的一个 Ritz 值, x λ ˜ = Vm y 是 A 的一个 Ritz 向量. Rayleigh-Ritz 算法 就是用 Ritz 值和 Ritz 向量来近似 A 的特征值与特征向量. 算法 7.2 Rayleigh Ritz procedure
T Tm = Vm AVm
α1 β1 β ... 1 = .. .
lanczos法
lanczos法Lanczos法是一种用于计算矩阵特征值和特征向量的迭代算法。
它是由Cornelius Lanczos在20世纪40年代提出的，被广泛应用于科学和工程领域中的大规模矩阵计算问题。
Lanczos法的主要思想是通过迭代的方式逼近矩阵的特征值和特征向量。
它利用了矩阵的三对角化特性，即将原始矩阵转化为一个三对角矩阵，这样可以大大降低计算的复杂性。
Lanczos算法的步骤如下：1. 选择一个初始向量b0，并进行归一化处理，得到q0。
2. 计算矩阵A和向量q0的乘积，得到向量v1=Aq0。
3. 利用正交化方法将向量v1与向量q0正交化，得到向量q1。
4. 计算矩阵A和向量q1的乘积，得到向量v2=Aq1。
5. 利用正交化方法将向量v2与向量q1正交化，得到向量q2。
6. 重复以上步骤，直到得到k个正交向量q0,q1,...,qk-1。
7. 构造矩阵T=Q^T*A*Q，其中Q=[q0,q1,...,qk-1]。
8. 对矩阵T进行迭代计算，得到T的特征值和特征向量。
通过Lanczos法，我们可以得到原始矩阵A的特征值和特征向量的近似解。
这对于很多实际问题来说是非常有用的，比如在机器学习中的主成分分析、图像处理中的特征提取等。
Lanczos法的优点是它只需要存储和计算矩阵A的乘积，而不需要存储和计算整个矩阵A。
这在处理大规模矩阵时非常重要，因为大规模矩阵往往无法一次性存储在内存中。
Lanczos法还可以通过选择适当的初始向量和迭代次数，得到更高精度的特征值和特征向量近似解。
这使得它在实际应用中具有较高的灵活性。
然而，Lanczos法也有一些限制。
首先，它只能用于对称或厄米矩阵的特征值和特征向量计算。
其次，它只能得到矩阵A的部分特征值和特征向量，而不是全部。
如果需要计算全部特征值和特征向量，需要使用其他方法。
总结一下，Lanczos法是一种用于计算矩阵特征值和特征向量的迭代算法。
它通过迭代的方式逼近矩阵的特征值和特征向量，并且只需要存储和计算矩阵的乘积，适用于处理大规模矩阵。
基于投影正交化LANCZOS算法的广义特征值求解方法
基于投影正交化LANCZOS算法的广义特征值求解方法作者：莫晓聪来源：《软件导刊》2016年第04期摘要：正交化Lanczos算法是求解复杂结构振动、振频、振型的有效方法，它将高阶振动问题转化为低阶振动问题来求解，且不会损失特征值和特征根。
针对半正定矩阵的广义特征值及重特征值求解问题，利用正交化Lanczos算法给出了一个简单而又方便的求解方法。
关键词关键词：特征值；特征向量；Lanczos算法中图分类号：TP312文献标识码：A文章编号文章编号：1672-7800（2016）004-0025-030引言在结构动力分析中，求解特征值与特征根问题的方法可分为变换方法和向量迭代法。
变换方法直接对原始矩阵进行一系列变换，将它变成便于求解特征值与特征根的形式，如Jacobi方法。
但在计算机求解时，变换方法要存储整个矩阵，只适合求解低阶矩阵；向量迭代法通过一系列的矩阵向量迭代乘积而逼近求得特征值与特征根，正交化Lanczos算法是这类解法的典型[1]。
1基本原理振动方程为：KX=ω2Mx（1）4结语本文所采用的方法作为同步迭代的迭代初始向量求特征值与特征向量非常有用。
由于用同步迭代法迭代一次的时间相当于用一次Lanczos正交截尾的计算时间，因而这两种方法替代使用对于节省时间弥补同步迭代的不足，效果十分明显。
参考文献参考文献：[1]王坤，周岩.线性代数[M].北京：机械工业出版社，2016.[2]王欣欣.求解对称矩阵特征值问题的Lanczos算法的改进及分析[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2008.[3]法捷耶夫，法捷耶娃.线性代数计算法[M].上海：上海科学技术出版社，1995.[4]KONSTANTINOSEPARSOPOULOS，MICHAELNVRAHATIS.Particleswarmoptimizationmethodinmultiobjectiveproblems[C].Madrid：InProceedingsofthe2002ACMSymposiumonAppliedComputing（SAC’2002），2002：603-607.[5]REYES-SIERRAM，COELLOCAC.Fitnessinheritanceinmulti-objectiveparticleswarmoptimization[C].SwarmIntelligenceSymposium（SIS2005），2005：116-123.[6]SSUN，CLTSENG，YHCHENSC.Cluster-basedsupportvectormachinesintext-independentspeakeridentifi cation[C].Proc.oftheInt’lJointConf.onNeuralNetwork，2004.[7]WYSHI，YFGUO，XYXUE.Matrix-basedkernelprincipalcomponentanalysisforlarge-scaledataset[C].InternationalJointConferenceonNeuralNetworks，2009.责任编辑（责任编辑：孙娟）。
隐式重新启动精化Lanczos双对角化方法
隐式重新启动精化Lanczos双对角化方法
赖降周;卢琳璋
【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(048)002
【摘要】给出一种计算少数几个最小奇异三元组的隐式重新启动精化Lanczos双对角化方法,采用调和Ritz值作为位移,有效地逼近大规模矩阵的小奇异值的奇异三元组,算法用精化残量,精化奇异向量和精化Rayleigh商,同时采取压缩技术压缩掉已经求出的小的奇异三元组,数值实验表明,算法更有效地求解大规模矩阵的小奇异三元组,收敛速度也快.
【总页数】7页(P153-159)
【作者】赖降周;卢琳璋
【作者单位】厦门大学数学科学学院,福建,厦门,361005;厦门大学数学科学学院,福建,厦门,361005
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
nczos双对角化:一种快速的非负矩阵初始化方法 [J], 王炫盛;陈震;卢琳璋
2.隐式重新启动的Lanczos算法在模型降阶中的应用 [J], 王瑞瑞;卢琳璋
3.半精化双正交Lanczos方法 [J], 吴钢
4.隐式重新启动的上、下双对角化Lanczos方法之比较 [J], 牛大田
5.精化双正交Lanczos方法 [J], 王耀卫
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
krylov子空间算法
Krylov 子空间的定义:定义:令N R υ∈,由1m A υυυ-L ，，，A 所生成的子空间称之为由υ与A 所生成的m 维Krylov 子空间,并记(),m K A v 。
主要思想就是为各迭代步递归地造残差向量,即第n 步的残差向量()n r 通过系数矩阵A 的某个多项式与第一个残差向量()0r 相乘得到。
即()()()0n r p A r =。
但要注意,迭代多项式的选取应该使所构造的残差向量在某种内积意义下相互正交,从而保证某种极小性(极小残差性),达到快速收敛的目的。
Krylov 子空间方法具有两个特征:1、极小残差性,以保证收敛速度快。
2、每一迭代的计算量与存储量较少,以保证计算的高效性。
投影方法线性方程组的投影方法方程组Ax b =,A 就是n n ⨯的矩阵。
给定初始()0x ,在m 维空间K(右子空间)中寻找x 的近似解()1x 满足残向量()1r b Ax =-与m 维空间L(左子空间)正交,即()1b Ax L -⊥,此条件称为Petrov-Galerkin 条件。
当空间K=L 时,称相应的投影法为正交投影法,否则称为斜交投影法、投影方法的最优性:１、 (误差投影)设A 为对称正定矩阵,()0x 为初始近似解,且K=L,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件就是()()()()01min z x Kx z ϕϕ∈+=其中,()()()12,z A x z x z ϕ=--2.(残量投影)设A 为任意方阵,()0x 为初始近似解,且L AK =,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件就是()()()()01min z x Kx z ψψ∈+=其中()()122,z b Az b Az b Az ψ=-=--矩阵特征值的投影方法对于特征值问题Ax x λ=,其中A 就是n ×n 的矩阵,斜交投影法就是在m 维右子空间K 中寻找i x 与复数i λ满足i i i Ax x L λ-⊥,其中L 为m 维左子空间、当L=K 时,称此投影方法为正交投影法、 误差投影型方法: 取L=K 的正交投影法非对称矩阵的FOM 方法(完全正交法) 对称矩阵的IOM 方法与DIOM 方法 对称矩阵的Lanczos 方法 对称正定矩阵的CG 方法 残量投影型方法: 取L=AK 时的斜交投影法 GMERS 方法(广义最小残量法)重启型GMERS 方法、QGMERS 、DGMERSArnoldi 方法标准正交基方法:Arnoldi 方法就是求解非对称矩阵的一种正交投影方法。
Lanczos
iv
前
言
值线性代数中的基础方法, 例如 QR 分解、奇异值分解以及 Givens 变换等. 书中 几个章节提供了算法的部分程序编码, 以便读者能够运用 MATLAB 语言或其他高 级程序设计语言来具体实现. 过去 25 年里, 我和一大批人在 Lanczos 方法的诸多层面进行过合作. 在此特别 感谢加州大学伯克利分校的 Beresford Parlett 教授和斯坦福大学的 Gene Golub 教 授, 感谢他们在理论上对我的巨大影响. 我很喜欢他们的书籍, 也十分乐于和他们 探讨问题. 我也非常感激伯克利国家实验室的 Horst Simon 博士, 波音公司的 John Lewis 博士和加州大学戴维斯分校的 Zhaojun Bai 教授. 他们和我在 Lanczos 方法 的实际应用上有非常重要的合作. 最后, 特别感谢我的同事 Tom Kowalski 博士, 他不仅参与了将本书提到的一 些方法应用到工程软件 NASTRAN1 中的工作, 还完成了本书的校对, 并提供了宝 贵的更正建议.
第2章
精确算术的 Lanczos 方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1 计算公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 三对角问题的求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
三种常用固有振动特征值解法的比较
2005全国结构动力学学术研讨会海南省海口市，2005.12.19-20中国振动工程学会结构动力学专业委员会三种常用固有振动特征值解法的比较宫玉才1周洪伟 陈 璞 袁明武（北京大学力学与工程科学系 北京，100871）Email ：yuanmw@摘要： 本文以高效的细胞稀疏直接快速解法为核心步骤，实现了快速的固有振动广义特征值问题解法, 并在相同的允许模态误差的意义下检验了三种结构动力学中常用的大型矩阵特征模态算法——子空间迭代法、迭代Ritz 向量法和迭代Lanczos 法的计算效率。
迭代Ritz 向量法平均而言最快，子空间迭代法最慢，三种解法效率相差不是太大。
与ANSYS 的子空间迭代和Lanczos 法相比，本文的子空间迭代比ANSYS 的效率高很多，Lanczos 法和ANSYS 的差不多 。
大量较大规模的例题显示，本文对特征值算法的改进是十分有效的，算法的健壮性，通用性都达到了高水平。
关键词：特征值，结构振动，迭代法，高效能计算1高等学校博士学科点专项科研基金资助项目 （编号：20030001112）引言在工程有限元分析中常常要求解广义代数特征值问题0K M ϕλϕ−= (1)的部分低阶特征值与特征向量。
对于矩阵阶数超过1000的大型问题，子空间迭代法、Ritz 向量法和Lanczos 法被公认为求解部分低阶极端特征值和特征向量的有效方法。
尽管国内外的有限元软件都提供广义代数特征值问题(1)的多种解法，但结果仍然不能令人完全满意，漏根与多根、自由模态误判都时有发生。
传统上，低端特征值问题求解过程极度依赖于谱变换的线性方程组()T K M x LDL x My µ−==(2)的解法，移轴矩阵K M µ−的LDLT 三角分解是计算量最大的主要步骤。
在以变带宽解法为核心步骤的特征值解法中，它常常占到特征值问题计算时间的70%到90%。
本文采用了文[1]提出的一个效率非常高的有限元解法-细胞稀疏直接快速解法（简称细胞解法）替换变带宽解法，极大地提高了三角分解的效率。
Lanczos方法PPT课件
范数
x B
(x,x)B 。读者不难验证,
矩阵
M 1K和 （ KM 都） 1 是M M一对称矩阵。
第15页/共21页
任何初始向量U，U K 设1 向量U 0 = 0 , 用三项 递推公式进行迭代:
{ U k 1 } ( K { U k } k { U k } k { U k 1 } /k 1 )（11）
(ij) （9） (ij)
第6页/共21页
Lanczos法
Lanczos方法利用三项递推关系产生一组正交规 范的特征向量，同时将原矩阵约化成三对角阵，将 问题转化为三对角阵的特征问题的求解。以20世纪 匈牙利数学家Cornelius Lanczos命名。
Lanczos方法实际上是Arnoldi算法对于对称矩 阵的特殊形式，可应用于对称矩阵线性方程组求解 的Krylov子空间方法以及对称矩阵的特征值问题。
(ij) （5） (ij)
{i}TK {j} 0 kii
(ij) (ij) （6）
在式 K中M 将特征向量归一化，即：
第5页/共21页
{i }
1 mii
{i }
（7）
上式称为归一化特征向量。
则式（5），（6）有
{ i} TM { j} 1 0
{i}TK {j} 0 i
(ij)
（8）
(ij)
工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构 的动态特性分析和结构动态响应分析。
第2页/共21页
结构无阻尼自由振动方程
将简谐运动
..
M{y}K{y}{0}
（1）
ysin(t) （2）
代入上式可得
(K2M )0 （3）
或写成
KM
（4）
特征值解法
《结构动力学》大作业结构大型特征值问题的求解0810020035 吴亮秦1振动系统的特征值问题1.1实特征值问题n 自由度无阻尼线性振动系统的运动微分方程可表示为：[]{}[]{}()M u K u F t += （1.1）其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。
此系统的自由振动微分方程为[]{}[]{}0M u K u += （1.2）设其主振型为： {}{}sin()u v t ωϕ=+ （1.3） 其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，ϕ为初相位。
将(1.3)代入自由振动微分方程(1.2)， 得：[]{}[]{}K v M v λ= （1.4） 其中2λω=，(1.4)具有非零解的条件是()[][]det 0M K λ-= (1.5)式(1.4)称为系统的特征方程，由此可以确定方程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。
因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解：[][][]TM L L = (1.6)其中，[]L 是下三角矩阵。
引入向量{}x 满足：{}[]{}Tx L v =，则：1{}([]){}T v L x -= (1.7) 代入(1.4)，得：([][]){}0I P x λ-= (1.8)其中，()11[][][][]TP L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。
1.2复特征值问题多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组：[]{()}[]{()}[]{()}0 M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。
krylov子空间算法知识讲解
Krylov 子空间的定义：定义：令N R υ∈，由1m A υυυ-L ，，，A 所生成的子空间称之为由υ与A 所生成的m 维Krylov 子空间，并记(),m K A v 。
主要思想是为各迭代步递归地造残差向量，即第n 步的残差向量()n r 通过系数矩阵A 的某个多项式与第一个残差向量()0r 相乘得到。
即()()()0n r p A r =。
但要注意，迭代多项式的选取应该使所构造的残差向量在某种内积意义下相互正交，从而保证某种极小性（极小残差性），达到快速收敛的目的。
Krylov 子空间方法具有两个特征：1.极小残差性，以保证收敛速度快。
2.每一迭代的计算量与存储量较少，以保证计算的高效性。
投影方法线性方程组的投影方法方程组Ax b =,A 是n n ⨯的矩阵。
给定初始()0x ,在m 维空间K(右子空间）中寻找x 的近似解()1x 满足残向量()1r b Ax =-与m 维空间L(左子空间）正交，即()1b Ax L -⊥，此条件称为Petrov-Galerkin 条件。
当空间K=L 时，称相应的投影法为正交投影法，否则称为斜交投影法.投影方法的最优性：１. (误差投影)设A 为对称正定矩阵,()0x 为初始近似解,且K=L,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件是()()()()01min z x Kx z ϕϕ∈+=其中,()()()12,z A x z x z ϕ=--2.(残量投影)设A 为任意方阵,()0x 为初始近似解,且L AK =,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件是()()()()01min z x Kx z ψψ∈+=其中()()122,z b Az b Az b Az ψ=-=--矩阵特征值的投影方法对于特征值问题Ax x λ=,其中A 是n ×n 的矩阵，斜交投影法是在m 维右子空间K 中寻找i x 和复数i λ满足i i i Ax x L λ-⊥,其中L 为m 维左子空间.当L=K 时，称此投影方法为正交投影法. 误差投影型方法： 取L=K 的正交投影法非对称矩阵的FOM 方法（完全正交法） 对称矩阵的IOM 方法和DIOM 方法 对称矩阵的Lanczos 方法 对称正定矩阵的CG 方法 残量投影型方法： 取L=AK 时的斜交投影法GMERS 方法（广义最小残量法）重启型GMERS 方法、QGMERS 、DGMERSArnoldi 方法标准正交基方法：Arnoldi 方法是求解非对称矩阵的一种正交投影方法。
lanczos算法及C++实现（一）框架及简单实现
lanczos 算法及C++实现（⼀）框架及简单实现1. lanczos ⽅法的⼤致思路为了求m 阶⽅阵X 最⼤的r 个特征值和特征向量： X m ×m ≈U m ×r S r ×r U T m ×r ,其中U 是列正交矩阵，即 U T U =I ，每⼀列为⼀个特征向量，S 是对⾓阵，对⾓线上每个元素为特征值。
r 为分解的秩lanczos 算法分三步求解:1） 对X 进⾏正交变换得到⼀个三对⾓阵T ：X =PTP T ，其中P 为正交阵T =α0β10000…β1α1β2000…0β2α3β300…00β3α4β40…000β4α5β5…………………… 2） 对T 进⾏奇异值分解：T =W m ×r SW T m ×r3） 最后 X ≈PWS (PW )T 即为所求2. lanczos ⽅法的优点1） T 矩阵是⼀个三对⾓阵，很稀疏，因此对它的特征值分解会⾮常快。
2） 如果r 很⼩，可以不⽤求整个T ，⽽是求其左上1.5r 阶的⽅阵即可得到很好的近似。
这样对T 的特征值分解会更快。
() 另外⼀种⽅法动态决定求多少lanczos 向量， 这⾥简单总结⼀下，初始选取n ≤m 个lanczos 向量，然后求T 的最⼤特征值和最⼩特征值，然后逐渐增加n ，并更新这两个特征值，直到这种更新⾮常⼩为⽌。
如果⽤在求r 个主特征向量，那么可以更新第1个和第r 个特征值。
3. lanczos ⽅法的导出考虑幂迭代产⽣的⼀系列向量P =[v ,Xv ,X 2v ,…X m −1v ]，其中v 是任意向量。
假设X 的特征值分解为X =∑i λi ξi ξT i ，并且特征值按绝对值从⼤到⼩排序 |λ1|≥|λ2|≥…。
则 Xv =∑i λi ξi ξT i v =∑i λi v ′i ξi ，其中v ′i =ξT i v 是v 在正交基[ξ1,ξ2…]下的坐标。
求解大规模非线性优化问题的修正LANCZOS方法
v
南京航空航天大学硕士学位论文
绪论
在航空航天、交通科学、水利工程和经济等领域，经常会碰到大规模优化问 题。大规模优化问题是指问题变量的个数比较大的优化问题，具体说大于 500 或 者更高量级的问题都称为大规模问题。
在六十至八十年代，针对小规模和中规模的问题，已经有了很多有效的算法。 但是对于大规模问题，我们遇到很多的困难。主要的原因是：
本文作了大量的数值试验，实验的平台环境为 CPU Pentium IV，主频 1.4GHZ，内存 256M， Window XP 系统和 Matlab 6.5。
2
南京航空航天大学硕士学位论文
第一章 截断牛顿算法和 Ｌａｎｃｚｏｓ 方法
１．１ 引言
考虑大规模无约束优化问题 min f ( x)
（1）、小规模问题的算法不能直接应用到大规模问题上，计算机处理能力的 提高和改善不能对问题的处理有实质性的提高。
（2）、大规模优化问题的处理过程中出现了小规模问题无需考虑的问题，例 如，矩阵的存储、矩阵的求逆、矩阵的分解等等。
（3）、二阶 Hessian 阵结构的特殊性。 （4）、调比处理的畸形。 尽管如此，从八十年代末到现在为止，大规模问题的理论和算法都有了很好 的发展，并取得了显著的成绩。截断牛顿算法就是其中的一个非常优秀算法。 众所周知，牛顿法是求解无约束优化问题的最重要、最基本方法之一。鉴于 其局部收敛，以及求解牛顿方程的计算量大等不足，Dembo 和 Steihuaug 在 1983 年提出了求解无约束优化问题的截断牛顿方法[10](Truncated Newton method)， 利用共轭梯度法，根据一种截断机制来求解牛顿方程，获得一个（截断）牛顿方 向。在求解无约束问题时，当迭代点远离最优解点处，没有必要花很大的计算量 去精确求解牛顿方程，每次迭代利用共轭梯度法求得搜索方向，其计算量比精确 求解牛顿方程少得多。它不但保持了牛顿法收敛速度快的特点，而且特别适合求 解大规模问题，同时具有整体收敛性。大量的数值实验表明该方法对于求解大部 分无约束优化问题具有稳定、有效的特点，能与拟牛顿法相媲美。 近年来，截断牛顿方法用于求解大规模优化问题、组合优化问题、人工神经 网络优化问题等等，在工程设计、分子研究、工业控制、气候预测、金融经济等 领域做出了很大的贡献。同时在应用截断牛顿方法求解优化问题时，发现了一些 （例如截断机制、Lagrange 函数的 Hessian 矩阵非正定等）问题，这些问题有待 于进一步得到解决。 对于大规模无约束问题，其目标函数的二阶 Hessian 阵往往具有稀疏性。如 果我们在求解搜索方向的时候，能够充分考虑到其稀疏性，那么算法就会有更大 的改进。Krylov 子空间方法是 50 年代提出，70 年代至 80 年代初被重新认识的
lanczos算法 步骤
lanczos算法步骤Lanczos算法是一种用于计算矩阵特征值和特征向量的常用算法。
它可以有效地处理大规模矩阵，并且具有高度的准确性和稳定性。
本文将介绍Lanczos算法的步骤及其应用。
一、引言Lanczos算法是由Cornelius Lanczos于1950年提出的，它是一种迭代算法，用于计算实对称矩阵的特征值和特征向量。
它的特点是只需进行少量的矩阵乘法运算，就能够得到特征值的一个很好的近似解。
二、Lanczos算法的步骤1. 初始化首先，选择一个初始向量v0，并将其归一化，即v0 = v0 / ||v0||。
然后，计算矩阵A与向量v0的乘积，得到向量w0 = Av0。
2. 迭代过程a. 计算向量v1利用正交化的方法，计算出向量v1，使得v1与v0正交，并且v1与w0的模长相等。
即v1 = w0 - β0v0，其中β0 = (v1·w0) / (v0·v0)。
b. 计算向量w1利用矩阵A与向量v1的乘积，计算出向量w1。
即w1 = Av1。
c. 计算特征值的估计值利用向量v0、v1和w1，构造一个对称三对角矩阵T。
然后，使用QR分解方法，将矩阵T分解为Q和R两个矩阵。
特征值的估计值即为矩阵R的对角线元素。
d. 更新向量v0和v1利用矩阵Q，更新向量v0和v1。
即v0 = v1，v1 = Qv1。
e. 迭代重复步骤b到步骤d，直到满足收敛条件。
三、Lanczos算法的应用Lanczos算法在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 量子力学Lanczos算法可以用于求解量子力学中的薛定谔方程，从而得到量子系统的能级和波函数。
2. 图像处理Lanczos算法可以用于图像压缩和图像增强等方面。
它可以提取图像中的特征信息，并进行图像去噪和图像复原等操作。
3. 机器学习Lanczos算法可以用于求解机器学习中的最优化问题，如支持向量机和主成分分析等。
它可以帮助我们找到数据集中的主要特征和模式。
模态分析的模态提取方法的区别
模态分析的模态提取方法的区别1 Block Lanczos法特征值求解器是却省求解器，它采用Lanczos算法，是用一组向量来实现Lanczos递归计算。
这种方法和子空间法一样精确，但速度更快。
无论EQSLV命令指定过何种求解器进行求解，分块Lanczos法都将自动采用稀疏矩阵方程求解器。
2. Subspace法使用子空间迭代技术，它内部使用广义Jacobi迭代算法。
由于该方法采用完整的刚度和质量矩阵，因此精度很高，但是计算速度比缩减法慢。
这种方法经常用于对计算精度要求高，但无法选择主自由度（DOF）的情形。
3. PowerDynamics法内部采用子空间迭代计算，但采用PCG迭代求解器。
这种方法明显地比子空间法和分块Lanczos法快。
但是，如果模型中包含形状较差的单元或病态矩阵时可能出现不收敛问题。
该法特别适用于求解超大模型（大于100,000个自由度）的起始少数阶模态。
谱分析不要使用该方法提取模态。
4.Reduced(householder)法采用HBI算法（Householder-二分-逆迭代）来计算特征值和特征向量。
由于该方法采用一个较小的自由度子集即主自由度（DOF）来计算，因此计算速度更快。
主自由度（DOF）导致计算过程中会形成精确的刚度矩阵和近似的质量矩阵（通常会有一些质量损失）。
因此，计算结果的精度将取决于质量阵的近似程度，近似程度又取决于主自由度的数目和位置。
5. Unsymmetric法也采用完整的刚度和质量矩阵，适用于刚度和质量矩阵为非对称的问题（例如声学中流体-结构耦合问题）。
此法采用Lanczos算法，如果系统是非保守的（例如轴安装在轴承上），这种算法将解得复数特征值和特征向量。
特征值的实部表示固有频率，虚部是系统稳定性的量度─负值表示系统是稳定的，而正值表示系统是不稳定的。
该方法不进行Sturm序列检查，因此有可能遗漏一些高频端模态。
6. Damped法用于阻尼不能被忽略的问题，如转子动力学研究。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四川师范大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｍ￣ ｏ ｆ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍ￣ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｍｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
ＮＯ Ｖ ．， ２ ０１ ３
Ｖ０ １ ． ３ ６． Ｎｏ ． ６
精化双正交 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ 方法
王 耀 卫
（ 仰恩大学 数学系 ， 福建 泉州 ３ ６ ２ ０ １ ４）
摘要 ： 根据精化投影方法 的思想对经典 的双正交 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ 方 法进行改进 ， 提 出了精化双正 交 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ 方 法， 即把非对称矩阵 Ａ 的投影矩阵 构造成另一个三对角矩 阵 ， 理论上 亍 与 具有相同的特征值 ， 而 且 ＝ ， 并用矩 阵 的特征值作为Ａ的特征值 的近似 ， 进一步用Ａ的左 、 右精化向量分别近似矩 阵Ａ的 左、 右特征 向量． 在计算 过程 中 ， 的特征值很 容易得到 ， 而 且 由它 可计算高 精度近 似特征值． 理论 表明这
Ｃ ｕ ｌ ｌ ｕ ｍ等 将 不必 再 正 交 的 对称 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ 算 法 推
用它计算近似特征值只需存储两个 向量 ， 其特征 向
量 能 由它 产生 的 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ向量 得 到 ， 而 且 这种 方 法
简 单易 用． 当 Ａ 是 非 对称 矩 阵 时 ， 常 选 择 的特 征 问 题 解法 都是 基 于 Ａ ｒ ｎ ｏ ｌ ｄ ｉ 算 法 或 非对 称 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ 算
精 度下 ， 用 这 种方 法 可 以计 算 出高 精 度 的 特 征值 ． 但 在每 次 重新 正 交 化过 程 中 ， 所有的 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ向量 必 须或 者存储 在 内存 中或者 要从 硬 盘里 读 取 ， 这 会 大 大 增 加 内 存 消 耗 或 增 加 计 算 量．后 来 Ｊ ．Ｋ ．
需要 存储 ４个 向量 ， 但 最大 的缺 陷是 用矩 阵 的初 始 形式计 算 出 的特征值 精度不 够 高 ． 为解 决 这 一 问题 而提 出的双 正 交 Ｌ ａ ｎ ｅ ｚ ｏ ｓ 算法 ， 它 用 了 ２组 正 交 向 量． 从理 论 上来 说 ， 为 了得 到 高精 度 的 特 征值 最 简
简 单 易 用 ， 但 存 储 量 大 ； 隐 式 重 新 开 始 的 Ａｒ ｎ ｏ ｌ ｄ ｉ （ Ｉ Ｒ Ａ）方 法 ， 从某 种程 度上 只是缓 解 了存储 量大 的 问题 ． Ａ Ｒ Ｐ Ａ Ｃ Ｋ工 具 软 件 健 壮 而且 稳 定 ， 但
若矩阵 Ａ规模大 ， 它就需要 占用很大 的内存 ， 特别
法． Ａ ｒ ｎ ｏ ｌ ｄ ｉ 算 法是 一种 正交 化 的 Ｋ ｒ ｙ ｌ ｏ ｖ投影 方 法 ，
广至非对称情况 ， 并提出一种新 的处理方式 ， 其基 本思想 是导 出 的三对 角 矩 阵 ， 满足 ＝ 于 。 利 用这种思想可以很容易地计算 出高精度的特征值 ，
而且 占内存很 低 ， 但 可 能会 是一个 复 矩 阵 ， 需 要 进行 复运算 ， 这样 会使 用 复 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ向量 ， 从 而增加 内存 量和 Ｃ Ｐ Ｕ消耗 ．
单 的方 式就 是 重 新双 正 交 化这 ２个 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ向量．
的求 解 ， 其 中， Ａ为 凡阶实 （ 或复 ）矩 阵 ， （ Ａ ， ） ｉ＝ １ ， ２ ， …， 为 Ａ 的特征 对 （１ Ｉ Ｉ ｌ＝ １ ） ． 因此 ， 研 究 如何 求解 矩 阵 的特 征 问题 ， 给 出有效 和 可 靠 的计 算
为 了求 出高精度 的特征对 ， 需要 设 计 出好 的算 法． 一个 好 的算 法要 求数 值稳 定 、 存 储量 小 、 运 算 量 少， 而且 要易 于计算 机 实现． 当 Ａ是 对称 矩 阵时 ， 常 选 择 的方 法 之 一就 是 不必 再 正 交 的 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ 算法 ，
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １— ８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ６ ． ０ １ ２
很 多 实 际 问题 可 归 结 为 非对 称 矩 阵 的 特征 问 题， 如有阻 尼 的振 动 问题 、 化 学 反 应 问题 、 宏 观经 济 平衡 问题 等 ， 它 们最 后都 可归 纳为矩 阵 的特征 问题 Ａ ＝Ａ （ １ ）
方 法将是 非 常重要 ， 并有 着实 际意 义 的．
然而， 在 得 到 高 精度 特 征 值 的 同 时 ， 双 正 交 性 也会 失去¨ Ｊ ． 此外 ， 进 行 重新 双 正交 化 会 大大 增 加 Ｃ Ｐ Ｕ
的 消 耗 而 且 会 破 坏 ＵＬ Ａ 占 内 存 小 的 优 点． Ｄ ． Ｄ ａ ｙ 口 提 出了 一 种半 正 交 化 方 法 ， 证明了 ： 在 有 限
种方法在计算大规模非对称特征问题方面 比双正交 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ 方法更为优越．
关键词 ： 双正交 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ 过程； Ｒ ｉ ｔ ｚ 值； Ｒ ｉ ｔ ｚ向量 ；精化双正 交 Ｌ ａ ｎ ｃ ｚ ｏ ｓ 算法
中图分类号 ： ０ ２ ４ １ ． ６ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １— ８ ３ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６— ０ ８ ６ ６— ０ ５
是如果 遇 到 矩 阵分 解 ， 内存 的 问题 会更 突 出． 非 对
精化投影类算法 是 目 前求解矩阵特 征问题 数值更稳定 ， 求 出近似特征对的精度更高的一种数 值方法 ， 其基本思想为 ： 对每一个近似特征值 Ａ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， 在